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Formelsammlung Mathematik

Date post: 10-Jun-2015
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14
Formelsammlung für den Modullehrgang 1 Eintrittsprüfung 1) Zahlenbereiche Natürliche Zahlen = positive Zahlen { } 1, 2, 3, = Ganze Zahlen = Positive und negative Zahlen, sowie Null { } 0, 1, 2, 3, = ± ± ± Rationale Zahlen = Bruchzahlen p p,q und q 0 q = Reelle Zahlen = Bruchzahlen und Zahlen, die sich nicht durch Brüche darstellen lassen (irrationale Zahlen) "vollständige" Zahlengerade = 2) Griechisches Alphabet 3) Logische Symbole F x t fo E x aus F von Teilmenge keine ist E F E F x t fo E x aus F von Teilmenge eine ist E F E Elemente gleiche enthalten D und C D gleich C D C A von Element kein ist A A von Element ist A vereinigt n geschnitte oder und ungefähr größer gleich größer kleiner gleich kleiner = > < lg ; lg ; , 7 7 5 5
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Page 1: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

1

Eintrittsprüfung 1) Zahlenbereiche

Natürliche Zahlen = positive Zahlen 1,2, 3,=ℕ …

Ganze Zahlen =

Positive und negative Zahlen, sowie Null 0, 1, 2, 3,= ± ± ±ℤ …

Rationale Zahlen =

Bruchzahlen p

p,q und q 0q

= ∈ ≠

ℚ ℤ

Reelle Zahlen =

Bruchzahlen und Zahlen, die sich nicht

durch Brüche darstellen lassen (irrationale

Zahlen)

"vollständige" Zahlengerade=ℝ

2) Griechisches Alphabet

3) Logische Symbole

FxtfoExausFvonTeilmengekeineistEFE

FxtfoExausFvonTeilmengeeineistEFE

ElementegleicheenthaltenDundCDgleichCDC

AvonElementkeinistA

AvonElementistA

vereinigtngeschnitte

oderund

ungefähr

größergleichgrößer

kleinergleichkleiner

∈∈⊄

∈∈⊆

=

∪∩

∨∧

>≥

<≤

lg;

lg;

,

77

55

Page 2: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

2

4) Potenz- und Wurzelgesetze Definitionen

n

n Faktoren

a a a a mit n−

= ⋅ ⋅ ⋅ ∈… ℕ 010 ≠= amita aa =1

Rechengesetze

(1) nmnmaaa

+=⋅ Multiplikation bei gleicher Basis

(2) nnn baba )( ⋅=⋅ Multiplikation bei gleichem Exponenten

(3) 0≠= −amita

a

a nm

n

m

Division bei gleicher Basis

(4) 0≠

= bmit

b

a

b

an

n

n

Division bei gleichem Exponenten

(5) ( ) nmnm aa ⋅= Potenzieren

(6) 011

==− amit

aaa

n

n

n Potenzen mit negativem Exponenten

(7) 011

≠==

amitaaa

n

n

n

Potenzen mit negativem Exponenten

(8) 0, ≠

=

bamita

b

b

ann

Potenzen mit negativem Exponenten

Wurzeln (a, b ≥ 0)

(1) m

mn na a mit a 0,m ,n= ≥ ∈ ∈ℤ ℕ (4) n n na b a b mit n⋅ = ⋅ ∈ℕ

(2) 1

n

n

1a mit a 0, n

a

= ≠ ∈ℕ (5) ( )q

m mqn na a mit n,q , m= ∈ ∈ℕ ℤ

(3) n

nn

a amit b 0, n

bb= ≠ ∈ℕ (6)

p npn m ma a mit n, p ,m= ∈ ∈ℕ ℤ

5) Satz von Pythagoras

222cba =+

Page 3: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

3

6) Binomische Formeln

( ) ( )

( )

( ) 32233

222

22

33

2

babbaaba

bababa

bababa

±+±=±

+±=±

−=−⋅+

7) Quadratische Gleichung

( ) ( )21

2

2121

2

2,1

2

:

2

40

xxxxacbxax

a

cxx

a

bxxVieta

a

acbbxcbxax

−⋅−⋅=++

=⋅−=+

−±−=⇒=++

8) Funktionen a.) Lineare Funktionen

Steigungx

ym

qmxy

…∆

∆=

+=

b.) Quadratische Funktionen

cbxaxy ++= 2

Scheitelpunktformel:

2 2 22 b b b 4ac b

y ax bx c a x c S |2a 4a 2a 4a

− = + + = ⋅ + + − −

Page 4: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

4

9) Ebene Figuren A…Flächeninhalt u… Umfang a.) Dreieck

b.) Viereck

Page 5: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

5

c.) Kreis

10) Körper

Page 6: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

6

Page 7: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

7

Algebra und Arithmetik

Folgen und Reihen

Allgemein gilt:

(1) n ∈ℕ

(2) 1a …1. Folgenglied na …n-tes Folgenglied

Teilsummenfolge n

n 1 2 3 n k

k 1

s a a a a a=

= + + + + =∑…

Arithmetische Folge

Graph

Konstante Differenz n 1 nd a a+= −

Explizite Darstellung ( )n 1a a n 1 d= + − ⋅

Rekursive Darstellung n 1 na a d+ = +

Summenformel ( )( )

n 1 n 1

n n 1 dns a a a n

2 2

⋅ − ⋅= ⋅ + = ⋅ +

Geometrische Folge

Allgemein: q 1,q 0≠ ≠

Graph

Konstanter Quotient n 1

n

aq

a

+=

Explizite Darstellung n 1

n 1a a q −= ⋅

Rekursive Darstellung n 1 na a q+ = ⋅

Summenformel

Page 8: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

8

endlich

unendlich

n n

n 1 1

1 q q 1s a a

1 q q 1

− −= ⋅ = ⋅

− −

1

1s a q 1

1 q∞ = ⋅ <

Fibonacci-Folge

n 2 n n 1 1 2a a a mit a 1,a 1+ += + = =

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Allgemeine Exponentialfunktion xy a a 1, x= > ∈ℝ

Natürliche Exponentialfunktion xy e e Eulersche Zahl, x= ∈… ℝ

Logarithmusfunktion ( )ay log x x 0, a 1= > >

Logarithmus

Basen

(1) Allgemeiner Logarithmus ( ) x

ax log b a b= ⇔ =

(2) Dekadischer Logarithmus ( ) ( ) x

10x log b lg b 10 b= = ⇔ =

(3) Natürlicher Logarithmus ( ) ( ) x

ex log b ln b e b= = ⇔ =

(4) Binärer Logarithmus ( ) ( ) x

2x log c lb c 2 c= = ⇔ =

Basiswechsel ( )( )( )b

lg xlog x

lg b=

Logarithmengesetze

p,q 0>

( ) ( ) ( )a a alog pq log p log q= +

( ) ( )a a a

plog log p log q

q

= −

( ) ( )n

a alog p n log p= ⋅

( ) ( )na a

1log p log p

n= ⋅

Page 9: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

9

Geometrie

1. Allgemeine Bezeichnungen

ABC∠ … Winkel mit dem Scheitel B ____

AB Strecke von A nach B…

Winkelbeschriftung mit griechischen Buchstaben (siehe Formelsammlung Eintrittsprüfung)

2. Winkel

Page 10: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

10

3. Winkelmaße

Grad: 1 60 (Minuten) 3600 (Sekunden)′ ′′° = = bzw.

180 b

b Bogenmass⋅

α =π

180π = °

Radiant: b180

π⋅α=

°

4. Einheitskreis und Winkelfunktionen

( )

( )

( )( )( )

Gsin x

H

Acos x

H

sin x Gtan x

cos x A

G Gegenkathete

A Ankathete

H Hypotenuse

=

=

= =

5. Trigonometrische Grundbeziehungen

„Trigonometrischer Pythagoras“ 2cos ²( ) sin ( ) 1α + α =

Komplementär- und Supplemetärwinkelsätze ( )

( )

( )

( )

sin(90 ) sin 90 cos( )

cos(180 ) cos 180 cos( )

cos(90 ) sin(180 ) sin

cos(90 ) sin(180 ) sin

° − ϕ = ° + ϕ = ϕ

° + ϕ = ° − ϕ = − ϕ

° − ϕ = ° − ϕ = ϕ

° + ϕ = ° + ϕ = − ϕ

Page 11: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

11

6. Spezielle Winkel: Höhen- und Tiefenwinkel

Horizontalebene

7. Rechtwinkliges Dreieck

Bezeichnungen im rechtwinkligen

Dreieck

Satz von Pythagoras 2 2 2c a b= +

8. Allgemeines Dreieck

Winkelsumme 180°

Sinus-Satz

( ) ( ) ( )a b c

2Rsin sin sin

R Umkreisradius

= = =α β γ

Cosinus-Satz ( )

( )

( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2 b c cos

b a c 2 a c cos

c a b 2 a b cos

= + − ⋅ ⋅ ⋅ α

= + − ⋅ ⋅ ⋅ β

= + − ⋅ ⋅ ⋅ γ

Flächenberechnung

Allgemein

Formel von Heron

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

a b sin b c sin a c sinA

2 2 2

a b c2 R sin sin sin

4 R

R Umkreisradius

⋅ ⋅ γ ⋅ ⋅ α ⋅ ⋅ β= = = =

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ α ⋅ β ⋅ γ =

( ) ( ) ( )a b c

A s s a s b s c wobei s2

+ += ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

Page 12: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

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Inkreisradius

( ) ( ) ( )

Ar

s

s a s b s c a b cr mit s

s 2

=

− ⋅ − ⋅ − + += =

Kongruenz und Ähnlichkeit

Kongruenzsätze SSS - Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der drei Seitenlängen

überein, dann sind sie ähnlich zueinander.

SWS – Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der Längen zweier

Seiten und dem von ihnen eingeschlossene Winkel überein, dann sind

sie ähnlich.

Ssw – Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis zweier Seitenlängen und

in dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, dann

sind sie ähnlich.

WSW – Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, dann sind

sie ähnlich zueinander.

Strahlensätze

Page 13: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

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Wahrscheinlichkeit

Kombinatorik n , k , k n∈ ∈ ≤ℕ ℕ

Fakultät n! 1 2 3 n 0! 1 1! 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =…

Binomialkoeffizient

( )( ) ( )n n n 1 n k 1n!

k k! n k ! 1 2 k

⋅ − ⋅ ⋅ − + = =

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

Anzahl der geordneten Stichprobe mit Zurücklegen (Variation mit Wiederholung): kn

Anzahl der geordneten Stichprobe ohne Zurücklegen (Variation ohne Wiederholung):

( )( ) ( )

n!n n 1 n k 1

n k != ⋅ − ⋅ ⋅ − +

−…

Anzahl der ungeordneten Stichproben ohne Zurücklegen (Kombination ohne Wiederholung):

n

k

Anzahl der möglichen Anordnungen von n verschiedenen Elementen (Permutation ohne

Wiederholung)

n!

Wahrscheinlichkeitsrechnung

w

w

Ereignisraum

,E Ereignis

E Gegenereignis

n Anzahl der Versuche

f Absolute Häufigkeit

h Re lative Häufigkeit

Ω

ω

( )

A B A oder B

A B A und B

P E Wahrscheinlichkeit von E

Relative Häufigkeit w

w

fh

n=

Gleichwahrscheinlichkeit ( )

g Anzahl der günstigen FälleP E

m Anzahl der möglichen Fälle= =

Gegenwahrscheinlichkeit ( ) ( )P E 1 P E= −

Page 14: Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

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Additionssätze ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P E F P E P F P E F vereinbare Ereignisse

P E F P E P F unvereinbare Ereignisse

∪ = + − ∩

∪ = +

und → Multiplikation

oder → Addition

Bernoulli – Experiment

Ziehen mit Zurücklegen

( ) ( ) k n k

n

n Gesamtumfang der Stichprobe

k Anzahl der Erfo lg e

p Wahrscheinlichkeit für Erfo lg

q 1 p Wahrscheinlichkeit für Misserfo lg

nP k P "Genau k Erfo lg e in n Versuchen" p q

k

= −

= = ⋅ ⋅

Hypergeometrische

Verteilung

Ziehen ohne Zurücklegen

( )

1

2

1 2

1

1 2

n

N Gesamtumfang der Stichprobe

n Kleine Stichprobe aus dem Gesamtumfang

T 1.Teilmenge

T 2.Teilmenge

T T N

k Anzahl der Erfo lg e aus T

T T

k n kP k

N

n

+ =

− =


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