In technischen Apparaten, in denen Verdampfung oder Kondensation stattfindet, strömenDampf und Flüssigkeit gemeinsam in einer Leitung. Man spricht bei diesen Strömungenvon Zweiphasenströmung. Für die Auslegung von Apparaten oder ganzer Anlagen ist dieBerechnung des Druckverlustes und der Druckänderung wichtig. Erst in den 70er Jah-ren erfolgte die systematische Erforschung der Strömungsvorgänge in der Zweiphasenströ-mung.
Die Parameter, die zur Bestimmung des Reibungsdruckverlustes notwendig sind, erhö-hen sich wesentlich gegenüber einer Strömung, in der nur ein Fluid als Gas oder Flüssigkeitströmt. Die Stoffwerte verdoppeln sich und als zusätzliche Parameter kommen die Oberflä-chenspannung, der Massen- und Volumenanteil des Dampfes und das Verhältnis der Ge-schwindigkeiten beider Phasen dazu. Wenn also aus Messungen die Gesetzmäßigkeit desDruckverlustes bestimmtwerden soll, sind imVergleich zur einphasigen Strömungwesent-lich mehr Messungen notwendig. Modellvorstellungen ermöglichten, Gesetzmäßigkeitenso herzuleiten, dass diese mit einem vernünftigen Messaufwand zu bewerkstelligen wa-ren. Nachfolgende Gesetzmäßigkeiten gelten nicht nur für Dampf-Kondensatströmungen,sondern auch allgemein für Gas-Flüssigkeitsströmungen wie z. B. Wasser-Luftströmung.
9.1.1 Grundlagen
Im Folgenden werden die dampfförmige Phasemit dem Index g, die flüssigemit dem Indexl versehen. Für die Beschreibung der Gesetzmäßigkeiten benötigt man den Dampfgehalt(quality, steam quality) und den Dampfvolumenanteil (void fraction, steam volume frac-tion) als zusätzliche Größen. Beide Größen werden aus der Kontinuitätsgleichung für dieZweiphasenströmung hergeleitet.
9.1.1.1 Dampfgehalt und DampfvolumenanteilDer Dampfgehalt x, oft auch als Dampfqualität bezeichnet, ist definiert als das Verhältnisdes Dampfmassenstroms zum Gesamtmassenstrom des Zweiphasengemisches, wobei derGesamtmassenstrom die Summe des Dampf- und Flüssigkeitsmassenstroms ist Gl. 9.1.
x =
mg
mg + ml(9.1)
Entsprechend wäre es auch möglich, einen Flüssigkeitsgehalt einzuführen, der definiti-onsgemäß eins minus Dampfgehalt ist.
Der Dampfvolumenanteil α ist definiert als das Verhältnis des vom Dampf eingenom-menen Strömungsquerschnitts zum Gesamtströmungsquerschnitt.
α =
Ag
Ag + Al(9.2)
In englischsprachiger Literatur wird der Flüssigkeitsvolumenanteil häufig als „hold up“angegeben.
9.1.1.2 KontinuitätsgleichungBei der stationären Strömung von Dampf-Flüssigkeitsgemischen kann sich durch Ver-dampfung oder Kondensation der Massenstrom einzelner Phasen verändern, der Gesamt-massenstrom aber bleibt konstant.
m = mg + ml = konst. (9.3)
Für die einzelnen Phasen gilt:
mg = m ⋅ x = cg ⋅ ρg ⋅ Ag = cg ⋅ ρg ⋅ A ⋅ α (9.4)
ml = m ⋅ ( − x) = cl ⋅ ρl ⋅ Al = cl ⋅ ρl ⋅ A ⋅ ( − α) (9.5)
Aus diesen Gleichungen können Zusammenhänge zwischen Dampfgehalt und Dampf-volumenanteil hergeleitet werden.
− xx
=
cl ⋅ ρlcg ⋅ ρg
⋅
− αα
(9.6)
Die Bestimmung des Dampfvolumenanteils aus dem Dampfgehalt ist nur dann mög-lich, wenn das Geschwindigkeits- und Dichteverhältnis beider Phasen bekannt ist. DasDichteverhältnis ist eine Stoffeigenschaft und kann aus der Temperatur und demDruck be-stimmt werden. Das Geschwindigkeitsverhältnis ist unbekannt und nur sehr schwer mess-bar. Der Dampfvolumenanteil muss mit Hilfe von Kennzahlen berechnet werden.
9.2 Strömungsformen 213
9.1.1.3 DichteDie Dichte eines Zweiphasengemisches wird bestimmt, indem die Masse des Gemischesmit dem von ihm eingenommenen Volumen geteilt wird. Betrachtet man ein Gemisch, dassich in einem Kanal mit dem Strömungsquerschnitt A von der Länge dl befindet, ist dortdie Masse des Gemisches:
Durch das Volumen dividiert, erhält man die Dichte:
ρL =
dmdV
=
dmA ⋅ dl
= ρg ⋅ α + ρl ⋅ ( − α) (9.8)
Diese Dichte wird als lokale Dichte des Gemisches bezeichnet.Betrachtet man ein Zweiphasengemisch, in dem beide Phasen homogen miteinander
vermengt sind, so dass Dampf und Flüssigkeit mit gleicher Geschwindigkeit strömen (z. B.Nebel oder feine Bläschen), kann die Dichte direkt aus dem Dampfgehalt bestimmt wer-den.Hierzuwird inGl. 9.6 dieGeschwindigkeit der beiden Phasen gleich gesetzt und damitkann inGl. 9.8 derDampfvolumenanteil durch denDampfgehalt ersetzt werden. Die Dich-te ist in diesem Fall:
ρH
=
xρg
+
− xρl
(9.9)
Sie wird als homogene Dichte bezeichnet und ist physikalisch nur dann korrekt, wennbeide Phasen die gleiche Geschwindigkeit haben.
Wie aus diesen beiden Dichtedefinitionen und aus dem Zusammenhang zwischenDampfgehalt und Dampfvolumenanteil zu sehen ist, spielt bei diesen Größen das Ge-schwindigkeitsverhältnis eine wichtige Rolle. Es hängt von vielen Faktoren ab, vor allemdavon, wie die beiden Phasen bei der Strömung verteilt sind. Bevor die quantitativen Zu-sammenhänge zwischenDampfgehalt undDampfvolumenanteil bestimmt werden, solltendie Strömungsvorgänge und die dadurch verursachten Strömungsformen näher betrachtetwerden.
9.2 Strömungsformen
Bei der Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen können je nach Dampfgehalt und Mas-senstrom verschiedene Strömungsformen auftreten. Dies kann am Beispiel der Strömungvon Luft undWasser in einem waagerechten Rohr gezeigt werden.
Das Rohr ist am Eintritt mit einem Wasserbehälter verbunden, so dass es bis zurRohrachse mit Wasser gefüllt ist. Oberhalb des Flüssigkeitsspiegels befindet sich Luft.Langsam wird das Wasser aus dem Rohr abfließen, wobei sich der Flüssigkeitsspiegel zumRohrende hin senkt. DasWasser wird geringe Mengen von Luft mitreißen. Man spricht indiesem Fall von ebener Strömung oder Schichtenströmung (stratified flow).
214 9 Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen
Ringströmung
wellige Strömung
Pfropfenströmung
mit TröpfchenSchwallströmung
Schichtenströmung
Strömungsrichtung
Blasenströmung
Nebelströmung
wellige Strömung
Kolbenströmung
Abb. 9.1 Strömungsformen in einem waagerechten Rohr [1]
Der Druck der Luft wird allmählich erhöht, damit vergrößert sich derMassenstromderLuft. Zunächst bleibt die Strömungsform gleich. Durch die Luftströmung wird jetzt Wassermitgerissen, der Wassermassenstrom erhöht sich ebenfalls. Mit zunehmendem Luftmas-senstrom entstehen Wellen auf der Wasseroberfläche, man spricht von welliger Strömung(wavy flow).
Bei weiterer Steigerung des Luftmassenstroms werden die Wellen immer höher undversperren den gesamten Strömungsquerschnitt. Je nachdem, wie groß der Dampfgehaltist, sind die versperrten Sektionen kürzer oder länger. Die Schwall- oder Pfropfenströmung(slug flow, plug flow) beginnt.
Beiweiterer Steigerung desMassenstroms bildet die Flüssigkeit einenRing an derWand,in der die Luft strömt. Die Flüssigkeitsoberfläche ist wellig und in der Luftströmung befin-den sich Tröpfchen. Man spricht von Ringströmung (annular flow) und Ringströmung mitTropfenströmung (annular flow with entrainment).
Bei der weiteren Steigerung des Massenstromswird derWasserring immer dünner. DieFlüssigkeit strömt hauptsächlich in Form von Tröpfchen in der Luftströmung. Dies nenntman Spritzer- oder Nebelströmung (spray flow).
Ist der Dampfgehalt sehr klein, können auch winzige Luftbläschen in der Flüssigkeitmitströmen. Diese Strömungsform wird als Blasenströmung (bubbly flow) bezeichnet. InAbb. 9.1 sind die verschiedenen Strömungsformen dargestellt.
Mit dem Baker-Diagramm in Abb. 9.2 bestimmt man die Strömungsform.
9.2 Strömungsformen 215
Abb. 9.2 Baker-Diagrammzur Bestimmung der Strö-mungsformen in einemwaagerechten Rohr: a Blasen-strömung, b Spritzerströmung,c Ringströmung, d Schwallströ-mung, e Pfropfenströmung,f wellige Strömung, g Schich-tenströmung [1]
λ Ψ(1 - )
1010 -1
-1
10 100 1
100
g
sm
..m xA λ.
101
kg.2
f
102
. .x
x102 103 104
e
c a
d
b
λ ist dabei der Dichteparameter und Ψ der Viskositätsparameter:
λ =
√
1000 ⋅ ρg, ⋅ ρl
Ψ =
, ⋅N/mσ
⋅
�
�
��
ηl ⋅ kg/m
ρl ⋅ kg/(m ⋅ s)
Dieses Diagramm wird nicht für die Berechnung des Druckverlustes benötigt, es dientlediglich zur Abschätzung der Strömungsformen. Das kann wichtig sein, weil einige Strö-mungsformen Instabilitäten in der Strömung verursachen und so zu Störungen von Pro-zessen und Anlagen führen. Die Störungen können sich in der Abschaltung von Anlagenund Beschädigungen bzw. Zerstörung vonApparaten undAnlageteilen auswirken. Störun-gen werden meistens durch Schwall-, Pfropfen- und Kolbenströmung verursacht. Ring-,Blasen- und Nebelströmung sind dagegen sehr stabile Strömungsformen.
Beispiel 9.1: Strömungsformen einerWasser-DampfströmungWasser und Wasserdampf strömen bei 10 bar Druck in einer Rohrleitung miteinem Durchmesser von 0,1m. Der Dampfgehalt ist 0,01. Stoffwerte des Was-sers und Dampfes: ρg = 5,145 kg/m3, ρl = 887,134 kg/m3, ηl = 150 ⋅ 10–6 kg/(m ⋅ s),σ = 0,042N/m
Bestimmen Sie die Strömungsform für die Massenströme von 1, 10, 100 kg/s.
216 9 Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen
Lösung
• AnalyseZunächst müssen die Parameter λ und Ψ bestimmt werden.
λ =
√
1000 ⋅ ρg, ⋅ ρl
=
√
1000 ⋅ ,, ⋅ ,
= ,
Ψ =
,σ
⋅
√
ηl
ρl=
,,
⋅
√
⋅ −
,= ,
Die Werte für die Koordinatenachsen sind damit:
( − x) ⋅ λ ⋅Ψx
=
, ⋅ , ⋅ ,,
= ,
m ⋅ xA ⋅ λ
= m ⋅
⋅ ,π ⋅ , ⋅ ,
= , ⋅ m = ,, ,, ,
In das Baker-Diagramm eingetragen, erhalten wir:
(1 - )
λ
-11010 -1
010 101
100
g
. .m x.A
101
f
102
. .λ Ψx
x
210 310 410
e
ac
d
b
Mit zunehmendemMassenstrom geht die Strömung von der Schichtenströmungg) in die Ringströmung c) und schließlich in die Spritzerströmung b) über.
9.3 Druckverluste 217
• DiskussionMit dem Baker-Diagramm können die Strömungsformen in einem horizontalenRohr sehr einfach bestimmt werden. Es ist darauf zu achten, dass man die richti-gen Einheiten einsetzt.
9.3 Druckverluste
Die Bestimmung der Druckänderung bei der Strömung von nur einer Phase erfolgt aus derEnergiebilanzgleichung. Die Druckänderung wird von der Änderung des hydrostatischenDruckes, von der Änderung der Geschwindigkeit und vom Reibungsdruckverlust verur-sacht. Dies ist auch der Fall bei der Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen. Da aber dieGeschwindigkeiten der gasförmigen und flüssigen Phase berücksichtigt werden müssen,kann die Energiegleichung nicht in einfacher Form wie bei der Strömung von nur einerPhase angegeben werden. Die einzelnen Verursacher der Druckänderung werden getrenntbehandelt. Die Änderung des Druckes ist damit:
p − p = Δp = ΔpB + ΔpSt + ΔpR (9.10)
ΔpB ist die Druckänderung infolge der Geschwindigkeitsänderung und wird als Be-schleunigungsdruckverlust (dynamic pressure drop) bezeichnet.ΔpSt ist dieDruckänderunginfolge der Änderung des hydrostatischen Druckes und wird als statischer Druckverlustbezeichnet. ΔpR ist der Reibungsdruckverlust. Der Beschleunigungsdruckverlust und derstatische Druckverlust können positiv oder negativ sein. Der Reibungsdruckverlust ist im-mer positiv.
9.3.1 Reibungsdruckverlust
Der Reibungsdruckverlust kommt durch den Impulsaustausch der strömenden Flüssigkeitmit dem strömenden Gas, mit der Wand sowie durch den Impulsaustausch zwischen denPhasen zustande. Der Impulsaustausch hängt hauptsächlich davon ab, ob der Dampf alsdisperse oder zusammenhängende Phase strömt [1,2]. Für die Unterscheidung wird dieFroudezahl, die folgendermaßen definiert ist, verwendet:
Fr =m ⋅ xA ⋅ ρl
⋅
√
ρlρg ⋅ g ⋅ d
(9.11)
Für den Bereich, in dem der Dampf als disperse Phase auftritt, gilt:
β =
( − x) ⋅ ρgx ⋅ ρl
> + Fr/ ⋅ Fr
(9.12)
218 9 Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen
Hier strömt der Dampf mit annähernd gleicher Geschwindigkeit wie die Flüssigkeit.Der Reibungsdruckverlust ist gegeben als:
ΔpRΔl
=
λd⋅
m
⋅ A⋅ ρl
⋅ [ + x ⋅ (
ρlρg
− )] ⋅ [ − x ⋅ (
ρlρg
− ) ⋅ (K − )] (9.13)
Der Widerstandsbeiwert λ ist:
λ = [ ⋅ log(,
ReZP ⋅
√
λ+ , ⋅
kd)]
−
(9.14)
Dabei wird eine für die Zweiphasenströmung angepasste Reynoldszahl verwendet.
ReZP =
m ⋅ dA ⋅ ηl ⋅ [ − x ⋅ ( − ηg/ηl)]
(9.15)
Für die Größe K2 gilt:
K
=
⎧
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎩
+ , ⋅ β wenn β ≤ ,
− ,⋅β−/+⋅(,⋅β−/+)⋅(,⋅β−/+) wenn β > ,
(9.16)
In dem Bereich, in dem der Dampf als zusammenhängende Phase strömt, wird der Rei-bungsdruckverlust wesentlich vom Impulsaustausch zwischen den Phasen bestimmt. Diemittlere Dampfgeschwindigkeit ist hier größer als die der Flüssigkeit. Der Reibungsdruck-verlust wird als Reibungsdruckverlust des Dampfes berechnet und mit dem Zweiphasen-druckverlustfaktor φmultipliziert.
ΔpRΔl
=
λd⋅
m⋅ x
⋅ A⋅ ρg
⋅ ϕ (9.17)
Der Reibungsbeiwert λ für glatte Rohre wird hier nach Gl. 6.35 bestimmt. Im Zweipha-sendruckverlustfaktor φ wird der Einfluss der Rohrrauigkeit berücksichtigt.
λ = [log(ReZP ⋅ λ) − ,]−
(9.18)
Die Reynoldszahl wird so bestimmt, als strömte der Dampf allein im Rohr.
Die Größe ε wurde nach Chawla [1] als Zweiphasenströmungsparameter benannt undberechnet sich folgendermaßen:
Rel =m ⋅ ( − x) ⋅ d
A ⋅ ηlFrl =
m⋅ ( − x)
A⋅ ρl ⋅ g ⋅ d
Ψ = (Rel ⋅ Frl)−/ ⋅ (ρgρl
)
,
⋅ (
ηg
ηl)
,
⋅
− xx
ε = , ⋅Ψ
ε = , ⋅Ψ,⋅ (
− xx
)
,⋅ (
ρgρl
)
,
⋅ (
ηg
ηl)
,
⋅ f
f =⎧
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎩
wenn k/d < ⋅ −
( ⋅ − ⋅ d/k), wenn k/d ≥ ⋅ −
ε− = ε− + ε− (9.24)
Beide Gleichungen für den Reibungsdruckverlust gelten für ReZP > 2300.Die angegebenen Beziehungen geben den lokalenWert an einer Stelle des Rohrs bei den
dort vorherrschenden Stoffwerten unddemDampfgehalt an.Da sich die Stoffwerte undderDampfgehalt in einer Rohrleitung verändern können, muss entweder schrittweise mit dengeänderten Stoffwerten und demDampfgehalt oder bei kleinen Druckänderungenmit denmittleren Stoffwerten gerechnet werden. Diese bestimmt man mit der mittleren Tempera-tur und dem Druck. Da der Druck am Ende der zu berechnenden Rohrstrecke unbekanntist, muss zunächst mit den Stoffwerten am Eintritt gerechnet werden. Nach Berechnungdes Druckverlustes wird mit den neu bestimmten Stoffwerten iteriert.
Der Dampfgehalt ist entsprechend der Wärmezu- oder Wärmeabfuhr beziehungswei-se der Druckänderung zu berechnen. Bei der Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen,in denen kein Phasenübergang stattfindet, bleibt der Dampfgehalt konstant. Bei der Strö-
220 9 Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen
mung reiner Stoffe können Verdampfung und Kondensation auftreten. Die Änderung desDampfgehalts bestimmt man folgendermaßen:
x = (
Qm
+ x ⋅ r − hl + hl ) ⋅
r
(9.25)
Wird keine Wärme zu- oder abgeführt, bestimmt die Flüssigkeitsenthalpie die Ände-rung des Dampfgehalts. Diese nimmt wegen der Senkung der Sättigungstemperatur mitabnehmendemDruck ab. Bei Druckabnahme tritt Verdampfung, bei Druckzunahme Kon-densation auf.
Beispiel 9.2: Reibungsdruckverlust einerWasser-WasserdampfströmungWasser und Wasserdampf strömen bei 10 bar Druck in einer Rohrleitung von0,1m Innendurchmesser. Der Dampfgehalt ist 0,01. Die Stoffwerte des Wassers undDampfes sind:
ρg = 5,145 kg/m3, ρl = 887,134 kg/m3, ηl = 150 ⋅ 10–6 kg/(m s)ηg = 15 ⋅ 10–6 kg/(m s), Schallgeschwindigkeit des Dampfes ag = 500,1m/sBestimmen Sie den Reibungsdruckverlust pro Meter Rohrlänge für die Massen-
ströme von 1, 10, 100 kg/s.Lösung
• AnalyseZunächst werden die Froudezahlen für die drei Massenströme mit Gl. 9.11 unddie Größe βmit Gl. 9.12 bestimmt.
Fr =m ⋅ xA ⋅ ρl
⋅
√
ρlρg ⋅ g ⋅ d
=
⋅ m ⋅ ,π ⋅ , ⋅ ,
⋅
√
,, ⋅ , ⋅ ,
= 0,019; 0,19; 1,9
β =
( − x) ⋅ ρgx ⋅ ρl
=
, ⋅ ,, ⋅ ,
= ,
Für die drei Massenströme liefert die Hilfsgröße in Gl. 9.12 folgende Werte:
+ Fr/ ⋅ Fr
= 4,40; 0,45; 0,056
Damit strömt der Dampf beim Massenstrom von 1 kg/s als zusammenhängende,bei den beiden größeren Massenströmen als disperse Phase. Wir beginnen hiermit der Berechnung der beiden größerenMassenströme. UmdenReibungsdruck-verlust mit Gl. 9.13 zu bestimmen, müssen zunächst die Größen ReZP, λ und K2
9.3 Druckverluste 221
ermittelt werden.
ReZP =
m ⋅ dA ⋅ ηl ⋅ [ − x ⋅ ( − ηg/ηl)]
=
⋅ m ⋅ ,π ⋅ , ⋅ ⋅ − ⋅ [ − , ⋅ ( − /)]
=
= 856.535; 8.556.351
λ = [ ⋅ log(,
ReZP ⋅
√
λ+ , ⋅
kd)]
−
= 0,012; 0,0083
Da β größer als 0,4 ist, gilt für K2 nach Gl. 9.16:
K = [ −, ⋅ β−/ +
⋅ (, ⋅ β−/ + ) ⋅ (, ⋅ β−/ + )]
−
=
= [ −, ⋅ ,−/ +
⋅ (, ⋅ ,−/ + ) ⋅ (, ⋅ ,−/ + )]
−
= ,
Der Reibungsdruckverlust pro Meter Rohr ist damit:
ΔpRΔl
=
λd⋅
m
⋅ A⋅ ρl
⋅ [ + x ⋅ (
ρlρg
− )] ⋅ [ − x ⋅ (
ρlρg
− ) ⋅ (K − )] =
=
λ,
⋅
⋅ m
⋅ π⋅ , ⋅ ,
⋅ [ + , ⋅ (,,
− )] ⋅ [ − , ⋅ (,,
− ) ⋅ (, − )] =
= .Pa/m
Der Reibungsdruckverlust für den Massenstrom von 1 kg/s wird mit Gl. 9.17 be-stimmt. Zunächst müssen hier λ und φ berechnet werden.
ReZP =
m ⋅ x ⋅ dA ⋅ ηg
=
⋅ ⋅ , ⋅ ,π ⋅ , ⋅ ⋅ −
= 8487
λ = [log(ReZP ⋅ λ) − ,]−
= ,
Die Größe E ist nach Gl. 9.21:
E = , + , ⋅ log⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
(
m ⋅ xA ⋅ ρg ⋅ a
)
⋅ ( − ⋅ ρg
ρl)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
= , + , ⋅ log [( ⋅ ⋅ ,
π ⋅ , ⋅ , ⋅ ,)
⋅ ( −
⋅ ,
,)] = −,
222 9 Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen
Da E negativ ist, muss es nach Gl. 9.21 zu null gesetzt werden. Zur Bestimmungvon φ wird also nur die Größe γF benötigt. Größe ε wird mit Gl. 9.24 bestimmt:
Rel =m ⋅ ( − x) ⋅ d
A ⋅ ηl= 84.034 Frl =
m⋅ ( − x)
A⋅ ρl ⋅ g ⋅ d
= ,
Ψ = (Rel ⋅ Frl)−/ ⋅ (ρgρl
)
,
⋅ (
ηg
ηl)
,
⋅
− xx
= ,
ε = , ⋅Ψ = ,
ε = , ⋅Ψ,⋅ (
− xx
)
,⋅ (
ρgρl
)
,
⋅ (
ηg
ηl)
,
= ,
ε = (ε− + ε− )
−/= ,
γF und φ können mit den Gln. 9.22 und 9.20 berechnet werden.
γF = − ( + β/ε)−, = − ( + ,/,)−, = ,
φ = [ − ( − E) ⋅ γF − E ⋅ γE]− = ( − γF])− = ,
Damit ist bei einemMassenstromvon 1 kg/s der Reibungsdruckverlust proMeterRohr:
ΔpRΔl
=
λd⋅
m⋅ x
⋅ A⋅ ρg
⋅ ϕ =
,,
⋅
⋅ ⋅ x
⋅ π⋅ , ⋅ ,
⋅ , = ,Pa/m
Für den Massenstrom 10 kg/s steigt der Wert auf 275Pa/m und bei 100 kg/s auf19.036Pa/m an.
• DiskussionDieBestimmungdes Reibungsdruckverlustes in einemZweiphasengemisch ist re-lativ rechenintensiv. Der Reibungsdruckverlust der reinen Flüssigkeitsströmungfür die beiden größeren Massenströme entspricht dem Wert des Ausdrucks inGl. 9.13 vor der eckigen Klammer. Er wird bei der Zweiphasenströmung mit demWert der eckigen Klammer multipliziert. Hier kann man sehen, dass der Dampf-massenanteil von 1% den Druckverlust auf das 2,5 f.ache erhöht. Dies wird durchdie Geschwindigkeitserhöhung des Dampfes, der eine wesentlich geringere Dich-te hat, bewirkt.
9.3 Druckverluste 223
9.3.2 Dampfvolumenanteil
Für die Bestimmung des Beschleunigungsdruckverlustes und statischen Druckverlustesbenötigtman denDampfvolumenanteil. Wie beimReibungsdruckverlustmuss unterschie-den werden, ob der Dampf als disperse oder zusammenhängende Phase auftritt. Die Un-terscheidung erfolgt wie zuvor mit Gl. 9.12. Ist die Bedingung in Gl. 9.12 erfüllt, berechnetman den Dampfvolumenanteil als:
α = ( −, ⋅ β−/ +
⋅ (, ⋅ β−/ + ) ⋅ (, ⋅ β−/ + )) ⋅
+ β
(9.26)
Im Bereich, ≤ β ≤ ( + Fr/)/( ⋅ Fr) (9.27)
gilt für den Dampfvolumenanteil:
H = exp [ − , ⋅ lnηl
ηg+ (, − , ⋅ ln
ηl
ηg) ⋅ ln(ε)]
H =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
(
x − x
)
/⋅ (
ηg
ηl)
/
⋅ (
ρgρl
)
/
+ ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(9.28)
H− = H− +H− (9.29)
Für 10–4 < β< 0,002 gilt:H = ⋅ β/ (9.30)
und für β< 10–4:
H =
β + β
(9.31)
α = −H (9.32)
9.3.3 Statischer Druckverlust
Wie bei der Strömung einphasiger Fluide verursacht die Änderung der Höhe eine hydro-statische Druckänderung. Diese wird mit der lokalen Dichte des Zweiphasengemischesberechnet.
ΔpSt = [α ⋅ ρg + ( − α) ⋅ ρg] ⋅ g ⋅ (z − z) (9.33)
Hier müssen wieder wie beim Reibungsdruckverlust die Änderungen der Stoffwerteund des Dampfgehalts beachtet werden.
224 9 Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen
9.3.4 Beschleunigungsdruckverlust
Bei der Strömung von Dampf-Flüssigkeitsgemischen in einem Rohr kann sich die Ge-schwindigkeit der einzelnen Phasen wesentlich verändern. In einem Verdampferrohrströmt z. B. die reine Flüssigkeit mit kleiner Geschwindigkeit in das Rohr hinein undverlässt es mit sehr hoher Geschwindigkeit als reiner Dampf. Diese Geschwindigkeitsän-derung kann eine sehr hohe Druckänderung verursachen, die dann positiv ist und wie derReibungsdruckverlust zu einer Absenkung des Druckes führt. In einem Kondensatorrohrkondensiert der eintretende Dampf und verringert so die Strömungsgeschwindigkeit. Diesführt zu einer Druckerhöhung, die größer als der Reibungsdruckverlust sein kann. Beideerwähnten Druckänderungen sind mit Zu- oder Abfuhr von Wärme verbunden. Auch inRohren ohne Wärmezu- oder Wärmeabfuhr kann eine Geschwindigkeitsänderung auf-treten. Infolge des Reibungsdruckverlustes und statischen Druckverlustes verändert sichvor allem die Dichte der Dampfphase. Dabei kann die Dampfphase eine große Geschwin-digkeitsänderung erfahren. Die Änderung der Dampfgeschwindigkeit bewirkt auch eineÄnderung der Flüssigkeitsgeschwindigkeit, was bei der Bestimmung des Druckverlusteszu berücksichtigen ist.
Die Änderung des Druckes infolge der Geschwindigkeitsänderung beider Phasen er-halten wir aus der Energiebilanzgleichung.
dpB =
m
A ⋅ d (
x
α ⋅ ρg+
( − x)
( − α) ⋅ ρl) (9.34)
Berechnet man den Zustand am Ein- und Austritt des entsprechenden Rohrabschnitts,kann die Druckänderung infolge Geschwindigkeitsänderung bestimmt werden.
ΔpB =
m
A ⋅ (
xα ⋅ ρg
+
( − x)
( − α) ⋅ ρl−
xα ⋅ ρg
−
( − x)
( − α) ⋅ ρl ) (9.35)
Bei der Berechnung des Beschleunigungsdruckverlustes werden zunächst der Rei-bungsdruckverlust und statische Druckverlust bestimmt. Mit dem so errechneten Druck-verlust werden die Änderung des Dampfgehalts, des Dampfvolumenanteils und die derDichten berechnet, danach der Beschleunigungsdruckverlust bestimmt. Dieser wird zuden anderen beiden Druckverlusten addiert und, falls notwendig, die Berechnung mitneuen Stoffwerten wiederholt.
9.3.5 Reibungsdruckverluste in Rohrleitungselementen
Genauere Berechnungsmethoden zur Bestimmung des Druckverlustes an Drosselorganenund anderen Rohrleitungselementen sind in der Literatur (z. B. VDI-Wärmeatlas) gegeben.
Für eine überschlägige Berechnung können die doppelten Werte der Widerstandszah-len, die für die Einphasenströmung gelten, genommen werden [1]. Strömt der Dampf als
9.3 Druckverluste 225
disperse Phase, werden nicht die Geschwindigkeit und Dichte der Flüssigkeit, sondern diedes Dampfes verwendet. Die Geschwindigkeiten werden so bestimmt, als strömte die Flüs-sigkeit oder der Dampf alleine im Rohr.
Beispiel 9.3: Bestimmung des Massenstroms einer KaffeemaschineDie Strömung in einer Kaffeemaschine wird dadurch erzeugt, dass das Wasser mit-tels elektrischer Heizung zum Teil verdampft und dadurch im Steigrohr die Dichtedes Zweiphasengemisches verringertwird. ImSteigrohr steigt dasNiveau so stark an,dass Wasser und Dampf aus dem Rohr strömen. Der Innendurchmesser der Rohrebeträgt 6mm. Durch die Heizung wird 0,5% des Wassers verdampft. Die Rohrbö-gen dürfen als gerade Leitungen mit der gleichwertigen Länge von 10Durchmessernangenommen werden. Die Reibungszahl der Einströmung aus dem Behälter indas Rohr ist 0,2. Die Druckänderung durch die Geschwindigkeitsänderung in derZweiphasenströmung kann vernachlässigt werden. Bis zum Beginn der Zweipha-senströmung sind die Stoffwerte des Wassers:
ρW = 998,0 kg/m3, ηW = 1 ⋅ 10–3 kg/(m s)Stoffwerte des Wassers und des Dampfes im Steigrohr:ρg = 0,579 kg/m3, ρl = 959 kg/m3, ηl = 285 ⋅ 10–6 kg/(m s),ηg = 12,24 ⋅ 10–6 kg/(m s), ag = 471,8m/sBestimmen Sie den Massenstrom des Wassers.Lösung
• Schema
100 mm
elektrischeHeizung
200
mm Behälter
150
mm
300
mm
30 m
m
ab hier Zwei-phasenströmung
Steigrohr
100 mm
• Annahmen– Die Druckänderung durch Geschwindigkeitsänderung in der Zweiphasenströ-mung kann vernachlässigt werden.
– Die Zweiphasenströmungwirdmit einemmittleren Dampfgehalt von 0,005 be-rechnet.
226 9 Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen
• AnalyseDie Druckverluste hängen vom gesuchten Massenstrom ab. Da die Beziehungenrecht komplex sind, muss der Massenstrom iterativ bestimmt werden.Die Änderung des Druckes vom Druckniveau im Behälter bis zum Beginn derZweiphasenströmung muss gleich groß sein wie die Druckänderung ab Beginnder Zweiphasenströmung im Steigrohr. Die Änderung des Druckes imWasser biszum Beginn der Zweiphasenströmung ist:
ΔpW = g ⋅ ρW ⋅ Δzw − ( + ζEin + λ ⋅ l/d) ⋅c ⋅ ρW
=
= g ⋅ ρW ⋅ Δzw − ( + ζEin + λ ⋅ l/d) ⋅m
⋅ ρW ⋅ A
Die Druckänderung der Zweiphasenströmung berechnet man als:
Der Reibungsdruckverlust und Dampfvolumenanteil der Zweiphasenströmungsind beide vomMassenstromabhängig undmüssen je nachdem, obder Dampf alszusammenhängende oder disperse Phase strömt, entsprechend bestimmt werden.Als Schätzwert wird für den Massenstrom zunächst angenommen, dass die Ge-schwindigkeit desWassers aus demBehälter so großwie einViertel derGeschwin-digkeit wäre, die ohne Reibung durch die Höhendifferenz entstünde. Damit wäreder Massenstrom:
c = , ⋅√
⋅ g ⋅ ΔzW = 0,456m/s
m = c ⋅ ρW ⋅ A = c ⋅ ρW ⋅ , ⋅ π ⋅ d= 0,0129kg/s
Jetzt wird die Druckänderung in der Wasserströmung berechnet. DieReynoldszahl der Strömung ist:
ReW =
c ⋅ d ⋅ ρWηW
=
, ⋅ , ⋅ 1 ⋅ −
= 2734
Die Rohreibungszahl beträgt: λ = , ⋅ Re−,W = ,Die Gesamtrohrlänge setzt sich aus den geraden Rohrstücken und der gleichwer-tigen Länge der Rohrbögen zusammen: lges = 0,18m+ 2 ⋅ 10 ⋅ 6mm=0,3m. DieHöhendifferenz der Wasserströmung beträgt 0,17m. Mit diesen Werten erhaltenwir für die Druckänderung:
ΔpW = g ⋅ ρW ⋅ Δzw − ( + ζEin + λ ⋅ l/d) ⋅c ⋅ ρW
=
= , ⋅ ⋅ , − ( + , + , ⋅ 0,3/0,006) ⋅, ⋅
= (1664 − 3) Pa
= Pa .
9.3 Druckverluste 227
Für die Zweiphasenströmung muss zunächst bestimmt werden, ob der Dampfdispers oder zusammenhängend ist. Dazu wird die Froudezahl mit Gl. 9.11 be-stimmt.
Fr =m ⋅ xA ⋅ ρl
⋅
√
ρlρg ⋅ g ⋅ d
=
, ⋅ ,, ⋅ π ⋅ , ⋅
⋅
√
, ⋅ , ⋅ ,
= ,
Für den Bereich, in dem der Dampf als disperse Phase auftritt, gilt nach Gl. 9.12:
β =
( − x) ⋅ ρgx ⋅ ρl
=
, ⋅ ,, ⋅
= , > + Fr/ ⋅ Fr
= ,
Da die Bedingung nicht erfüllt ist, strömt der Dampf als zusammenhängendePhase und der Druckverlust wird mit Gl. 9.17, der Dampfvolumenanteil mit denGln. 9.28 bis 9.32 bestimmt. Der Reibungsdruckverlust ist:
ΔpR = λ ⋅lgesd
⋅
m⋅ x
⋅ A⋅ ρg
⋅ ϕ
In den folgenden Berechnungen kommt die Größe (Massenstromdichte) oft vor.Deshalb wird sie hier bestimmt:
m/A = , kg/(m⋅ s)
Nach Gl. 9.19 ist die Reynoldszahl der Zweiphasenströmung:
ReZP =
m ⋅ x ⋅ dA ⋅ ηg
=
⋅ , ⋅ ,, ⋅ −
= 1117
Die Rohrreibungszahl wird nach Gl. 9.18 berechnet als:
λ = [log(ReZP ⋅ λ) − ,]−
= ,
Zunächst muss die Hilfsgröße Emit Gl. 9.21 bestimmt werden.
E = , + , ⋅ log⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
(
m ⋅ xA ⋅ ρg ⋅ a
)
⋅ ( −4575 ⋅ ρg
ρl)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= −,
228 9 Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen
Da E negativ ist, muss es nach Gl. 9.21 zu null gesetzt werden. Zur Bestimmungvon φ wird nur die Größe γF benötigt. Größe ε wird mit Gl. 9.24 bestimmt:
Rel =m ⋅ ( − x) ⋅ d
A ⋅ ηl= Frl =
m⋅ ( − x)
A⋅ ρl ⋅ g ⋅ d
= ,
Ψ = (Rel ⋅ Frl)−/ ⋅ (ρgρl
)
,
⋅ (
ηg
ηl)
,
⋅
− xx
= ,
ε = , ⋅Ψ = ,
ε = , ⋅Ψ,⋅ (
− xx
)
,⋅ (
ρgρl
)
,
⋅ (
ηg
ηl)
,
= ,
ε = (ε− + ε− )
−/= , .
γF und φ können mit den Gln. 9.22 und 9.20 berechnet werden.
γF = − ( + β/ε)−, = − ( + ,/,)−, = ,
ϕ = [ − ( − E) ⋅ γF − E ⋅ γE]−
= ,
Für den Druckverlust setzt sich die Gesamtlänge aus der geraden Länge von0,37m und einer gleichwertigen Länge des Bogens von 20 d (Zweiphasenströ-mung) zusammen, sie beträgt also 0,49m. Damit ist der Reibungsdruckverlust:
ΔpR = λlgesd
⋅
m⋅ x
⋅ A⋅ ρg
⋅ ϕ = , ⋅
,,
⋅
, ⋅ ,
⋅ ,⋅ , = ,Pa
Jetzt wird der Dampfvolumenanteil mit Gln. 9.28 bis 9.32 bestimmt:
H = exp [ − , ⋅ lnηl
ηg+ (, − , ⋅ ln
ηl
ηg) ⋅ ln(ε)] = ,
H =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
(
x − x
)
/⋅ (
ηg
ηl)
/
⋅ (
ρgρl
)
/
+ ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
−
= ,
H = (H− + H− )
−/= ,
α = − H = , .
Damit ist die Druckänderung im Steigrohr:
ΔpZP = g ⋅ [α ⋅ ρg + ( − α) ⋅ ρl ] ⋅ ΔzZP + ΔpR = Pa
9.4 Kritischer Durchfluss 229
Mit diesemMassenstromerhaltenwir einen zu großenDruckverlust des Zweipha-sengemisches. DerMassenstromwird variiert, bis beide Druckänderungen gleichgroß sind. Dies wird bei demMassenstrom von 0,0114kg/s erreicht. Der Druck-verlust beträgt dann 1380Pa.
• DiskussionDie hier durchgeführte Berechnung zeigt das Funktionsprinzip eines Naturum-laufverdampfers. Eine genaue Berechnung erfordert die Berücksichtigung derWärmeübertragungsmechanismen und die Änderung des Flüssigkeitsniveaus imBehälter. Solche Berechnungen sind recht komplex und müssen mit Computer-programmen durchgeführt werden.
9.4 Kritischer Durchfluss
Beim kritischen Durchfluss von Dampf-Flüssigkeitsgemischen gilt wie bei kompressiblenFluiden, dass die größte Strömungsgeschwindigkeit amAustrittmit einer plötzlichenQuer-schnittserweiterung oder am engsten Strömungsquerschnitt gleich der Schallgeschwindig-keit ist [3].
mkri t = a ⋅ A ⋅ [α ⋅ ρg + ( − α) ⋅ ρl] (9.36)
Die Schallgeschwindigkeit oder kritische Geschwindigkeit wird nach der Laplace’schenGleichung bestimmt.
a
= (
dρLdp
)
s=
⎛
⎝
d [α ⋅ ρg + ( − α) ⋅ ρl ]dp
⎞
⎠
s
(9.37)
a
= α ⋅ (
dρgdp
)
s+ (ρg − ρl) ⋅ (
dαdp
)
s+ ( − α) ⋅ (
dρldp
)
s(9.38)
Die Ableitung der Dichte einzelner Phasen ist definitionsgemäß gleich dem Kehrwertdes Quadrats der Schallgeschwindigkeit der jeweiligen Phasen. Für die Berechnung derAbleitung des Dampfvolumenanteils nach demDruck betrachten wir einen Kontrollraum,in dem der Dampfvolumenanteil den Wert α hat.
In diesem Kontrollraum ist die Masse der einzelnen Phasen:
mg = α ⋅ ρg ⋅ V ml = ( − α) ⋅ ρg ⋅ V (9.39)
Für den Dampfvolumenanteil erhält man damit:
α =
mg/ρgmg/ρg +ml/ρl
(9.40)
230 9 Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen
Bei einer isentropen Druckänderung bleiben die Massen der einzelnen Phasen unver-ändert. Damit ergibt die Ableitung von Gl. 9.40 nach dp:
(
dαdp
)
s=
−mg/ρgmg/ρg +ml/ρl
⋅ (
dρgdp
)
s+
+
mg/ρg(mg/ρg +ml /ρl)
⋅ [
mg
ρg⋅ (
dρgdp
)
s+
ml
ρl⋅ (
dρldp
)
s]
(9.41)
Unter Berücksichtigung von Gl. 9.40 und dass die Ableitung der Dichten den Kehrwertdes Quadrats der Schallgeschwindigkeiten der Phasen ergibt, erhält man:
(
dαdp
)
s= α ⋅ ( − α) ⋅ (
ρl ⋅ al
−
ρg ⋅ ag
) (9.42)
Damit ist die Schallgeschwindigkeit in der Zweiphasenströmung:
a
=
αag
⋅ [ + ( − α) ⋅ (ρlρg
− )] + − αal
⋅ [ + α ⋅ (
ρgρl
− )] (9.43)
Abbildung 9.3 demonstriert die Schallgeschwindigkeit in einem Luft-Wassergemischbei 1 bar Druck und 20 °C Temperatur als eine Funktion des Dampfvolumenanteils aufge-tragen.
Wie man im Diagramm sieht, wird die Schallgeschwindigkeit des Zweiphasengemi-sches wesentlich kleiner als die der einzelnen Phasen. Dementsprechend ist der kritischeMassenstrom ebenfalls kleiner. Eine exakte Berechnung der Ausströmung oder die Anga-be eines kritischen Druckverhältnisses ist wie bei den idealen Gasen unmöglich. Für dieBerechnung müssen die realen Druckverluste mit den Druckverlustgleichungen bestimmtwerden.Mit den entsprechendenWerten für denDampfvolumenanteil und die derDichtenkönnen dann Schallgeschwindigkeit und kritischer Massenstrom berechnet werden. Wirdder kritischeMassenstromkleiner als der für die Berechnung verwendete Massenstrom, istdie Strömung kritisch. Da dieser Massenstrom nicht durch die Rohrleitung strömen kann,muss so lange iteriert werden, bis der angenommeneMassenstrom gleich groß wie der kri-tische ist.
Beispiel 9.4: Kritischer Massenstrom einerWasserdampfströmungAus einem geplatzten Rohr mit 13mm Innendurchmesser strömt ein Wasser-Wasserdampfgemisch. Der Druck am Ende des Rohrs ist 20 bar. Der Dampfgehaltder Strömung beträgt 0,01. Die Stoffwerte des Wassers und Dampfes sind:
ρg = 10,04 kg/m3, ρl = 849,8 kg/m3, ηl = 126,1 ⋅ 10–6 kg/(m s)ηg = 16,15 ⋅ 10–6 kg/(m s), ag = 504,7m/s, al = 1291m/sBestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit und den kritischen Massenstrom.
9.4 Kritischer Durchfluss 231
Dampfvolumenanteil
Sch
allg
esch
win
digk
eit
m/s
100
20
50
100
0,2 0,4
500
200
1'000
2'000
0,6 0,8 1,0
Abb. 9.3 Schallgeschwindigkeit in einem Luft-Wassergemisch bei 1 bar Druck und 20 °C Tempera-tur
Lösung
• Annahme– Am Rohraustritt ist der Zustand stationär.
• AnalyseDie Berechnung der Schallgeschwindigkeit mit Gl. 9.43 benötigt den Dampf-volumenanteil, der neben den Stoffwerten und dem Dampfgehalt auch vomMassenstrom abhängig ist. Deshalb müssen zunächst mit einem angenommenenMassenstrom der Dampfvolumenanteil, dann die Schallgeschwindigkeit und derMassenstrom bestimmt werden. Mit der Annahme, dass das Zweiphasengemischmit einer Geschwindigkeit von 100m/s aus dem Rohr strömt und die Dichte desGemisches 500 kg/m3 ist, erhält man für den Massenstrom:
m = , ⋅ π ⋅ d⋅ ρL ⋅ c = , ⋅ π ⋅ , ⋅m2
⋅ 500 ⋅ kg/m3⋅ 100 ⋅m/s = 6,637 kg/s
Die Massenstromdichte ist 50.000 kg/(m2⋅ s). Zunächst müssen wir bestimmen,
in welchem Bereich die Berechnungen durchzuführen sind.
Fr =m ⋅ xA ⋅ ρl
⋅
√
ρlρg ⋅ g ⋅ d
=
, ⋅ ,, ⋅ π ⋅ , ⋅ ,
⋅
√
,, ⋅ , ⋅ ,
= ,
232 9 Strömung von Gas-Flüssigkeitsgemischen
Für den Bereich, in dem der Dampf als disperse Phase auftritt, gilt nach Gl. 9.12:
β =
( − x) ⋅ ρgx ⋅ ρl
=
, ⋅ ,, ⋅
= , > + Fr/ ⋅ Fr
= ,
Da die Bedingung erfüllt ist, strömt der Dampf als disperse Phase und der Dampf-volumenanteil wird mit Gl. 9.26 bestimmt.
α = ( −, ⋅ β−/ +
⋅ (, ⋅ β−/ + ) ⋅ (, ⋅ β−/ + )) ⋅
+ β
= ,
Die Schallgeschwindigkeit kann mit dem Dampfvolumenanteil nach Gl. 9.43 be-rechnet werden.
a = {
αag
⋅ [ + ( − α) ⋅ (ρlρg
− )] + − αal
⋅ [ + α ⋅ (
ρgρl
− )]}−,
= ,m/s
Da in diesemFall der Dampfvolumenanteil vomMassenstromunabhängig ist, giltes zu prüfen, ob die Dampfströmung mit dem wirklichen Massenstrom dispersbleibt. Die lokale Dichte ist:
Mit demneuenMassenstromverändern sich dieFroudezahl und somit derGrenz-wert für die Berechnung. Die Froudezahl wird zu 16,33, die Hilfsgröße zu 0,017.Sie ist immer noch kleiner als die Größe β. Damit ist die Dampfströmung dispersund der Dampfvolumenanteil vomMassenstrom unabhängig.
• DiskussionWenn der Dampf als disperse Phase strömt, ist die Bestimmung des Dampfvo-lumenanteils und der Schallgeschwindigkeit vom Massenstrom unabhängig undkann ohne Iteration durchgeführt werden. Bei größeren Dampfgehalten und solange die Größe ß den Wert von 0,002 nicht unterschreitet, muss der kritischeMassenstrom zur Bestimmung des Dampfgehalts iterativ berechnet werden.Das Beispiel zeigt anschaulich, dass die Schallgeschwindigkeit des Zweiphasenge-misches wesentlich kleiner als die des Dampfes ist, in unserem Fall fast um denFaktor fünf.
Literatur 233
Literatur
[1] Chawla J M,Wiskot G (1992)Wärmeübertragung, Berechnungenmit dem PC, VDI Verlag, Düs-seldorf[2] VDI-Wärmeatlas (2002) 9. Auflage, VDI Verlag, Berlin, Heidelberg, New York[3] Böckh P von (1975) Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Druckstörung und kritischer Durchflussin Flüsigkeits/Gas-Gemischen,Dissertation, Universität Karlsruhe
