FACHBEREICH PHYSIKDER FREIEN–UNIVERSITÄT–BERLIN
Bachelorarbeit
Über Energieimpulserhaltung in derAllgemeinen Relativitätstheorie
von Tobias Adomat
Betreuer: Prof. Dr. H.-H. v. Borzeszkowski(Technische Universität Berlin)
Priv.-Doz. Dr. Axel Pelster
Abgabe: 29. September 2010Matrikelnr.: 4125959
Ich versichere, die Bachelorarbeit selbständig und lediglich unter Benutzung der angegebenenQuellen und Hilfsmittel verfasst zu haben.
Ich erkläre weiterhin, dass die vorliegende Arbeit noch nicht im Rahmen eines anderen Prü-fungsverfahrens eingereicht wurde.
Berlin, den 29. September 2010
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(Unterschrift )
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
1 Grundlagen 31.1 Riemannscher Raum, Metrik und kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Krümmungstensor und Bianchi-Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Kovariante Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Der Energieimpulstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie und Energieimpulserhaltung 132.1 Einsteinsche Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Das Problem der globalen Energieimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Symmetrien und Erhaltungssätze 193.1 Lie-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Killing-Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Isometrien und Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Zusammenfassung und Ausblick 23
Notationskonventionen 25
Literaturverzeichnis 27
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Einleitung
„It is important to realize that in physics today, we have no knowledge of what energy is.“
Richard P. Feynman [12]
1686 nahm das Prinzip der Energieimpulserhaltung seinen Anfang. Leibnitz schlug, motiviert durchBeobachtungen an elastischen Stoßvorgängen, das Konzept der kinetischen Energie vor [11].Das Prinzip der Energieimpulserhaltung wurde zu einem Eckpfeiler der Physik. In der Thermo- undElektrodynamik, in der Quantenmechanik und Quantenfelddynamik, sowie in der speziellen Relativi-tätstheorie gehören die Energie und der Impuls zu den wichtigsten quantitativen Größen. Energie undImpuls der verschiedenen Formen sind ineinander umwandelbar und unvergänglich. Sie sind absoluteSubstanzbegriffe, die keine weiteren Erklärungen der Herkunft benötigen.
Dieser langen Tradition setzte die Einsteinsche Gravitationstheorie ein Ende. In den folgenden, ein-führenden Betrachtungen wird gezeigt, warum es in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht möglichist, Erhaltungsätze für diese Größen zu finden, geschweige denn sie zu definieren. Diese Problema-tik ist immernoch aktuell. Eine zukünftige Theorie, die die allgemeine Relativitätstheorie, sowie dieQuantenphysik als Grenzwerte beinhaltet, muß neue Antworten auf diese Problematik finden. Dennder Begriff Energie wird ad absurdum geführt, falls es keine Erhaltung gibt. Die Erhaltung zeichnet dieEnergie als solche aus.
Nach einer kurzen Einführung in die Grundlagen, wird gezeigt, wie aus den Grundgleichungen derallgemeinen Realtivitätstheorie das im Allgemeinen bestehende Problem der Energieimpulserhaltungfolgt. Im Anschluß wird besprochen unter welchen speziellen Anforderungen an ein gravitatives Sys-tem, es doch möglich ist die Energieimpulserhaltung zu definieren.
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1 Grundlagen
Die allgemeine Relativitätstheorie setzt Materie und Energie in Beziehung zur Geometrie des Raumes.Die Schwerkraft wird als Krümmung der Raumzeit interpretiert. Wir benötigen mathematische Werk-zeuge um die geometrischen Seite der noch aufzustellenden Feldgleichungen auszudrücken. Weiter wirdbetrachtet in welcher Form man die Materie ausdrückt. Um zu möglichen Erhaltungssätzen zu gelan-gen, benötigen wir Integralsätze für beliebig gekrümmte 4-dimensionale Räume.
1.1 Riemannscher Raum, Metrik und kovariante Ableitung
Als Basis für die geometrische Beschreibung der Schwerkraft, wählt man die Riemannsche Mannig-faltigkeit mit Lorentz-Metrik. Lorentz-Metrik bedeutet eine Metrik mit +2 oder -2 Signatur und dasNicht-verschwinden der Determinanten der Metrik.Es gilt:
g[ab] = 0 , |gab|= g 6= 0 und gan gnb = δab . (1.1)
Unter δ ab ist das übliche Kronecker-Delta zu verstehen.
Symmetriebedingt besitzt gab 10 unabhängige Komponenten. Als Bi-Linearform definiert die Metrikfür 2 Vektoren ein inneres Produkt und bestimmt so die Winkel. Für das Produkt zwei gleicher Vek-toren erhält man eine Norm und somit ein Längenmaß. Das differentielle Abstandsmaß ist das innereProdukt der Koordinatendifferentiale:
ds2 = gab dxa dxb . (1.2)
Auf diese Weise beschreibt das metrische Feld die gekrümmte Raumzeit.In jedem Punkt spannt sich ein flacher Tangentialraum auf. Wie die infinitesimal benachbarten Tangen-tialräume in der gekrümmten Raumzeit zueinander stehen, wird durch die linearen Übertragungen inForm von Christoffel-Symbolen beschrieben:
Γn
ab =12
gnm(gam,b +gbm,a−gab,m). (1.3)
Es gilt Γ n[ab] = 0. Also ergeben sich für 4 Dimensionen i.A. 40 verschiedene Symbole.
Möchte man die Veränderung von Tensoren in der gekrümmten Raumzeit betrachten, kann man keinepartiellen Ableitungen benutzen. Da diese die Krümmung vernachlässigt und somit die Christoffel-Symbole nicht berücksichtigt, im Gegensatz zur kovarianten Ableitung:
T a;n = T a
,n +Γanm T m , (1.4)
Ta;n = Ta,n−Γman Tm . (1.5)
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1 Grundlagen
Ableitungen von Tensoren höherer Stufe erhält man, indem man diese Vorschriften schematisch aufjeden kovarianten und kontravarianten Index anwendet. Es gilt die übliche Produkt- und Summenregel.Vorallem garantiert die kovariante Ableitung die Koordinatenunabhängigkeit der physikalischen Ge-setze, was der Kern der Verallgemeinerung der Relativitätstheorie ist (siehe Ergänzungen am Ende desAbschnitts). Die so abgeleiteten Tensoren sind wieder Tensoren1. Das zeigt sich durch ihr Transforma-tionsverhalten2. Zugelassen sind alle holonomen Transformationen, also
xn′= xn
′(xn) ,
∣∣∣∣∣∂xn′
∂xn
∣∣∣∣∣ 6= 0 , (1.6)
mit den Transformationsmatrizen
An′
n =∂xn
′
∂xn (1.7)
für kontravariante Indizes, und
Ann′ =
∂xn
∂xn′(1.8)
für kovariante Indizes.Das kovariante Differential eines Vektors T a lautet
DT a = dT a +Γanm T n . (1.9)
Falls dieses Differential entlang einer Kurve (xa = xa(λ )) verschwindet
DT a
Dλ= 0 λ : Bahnparameter , (1.10)
kann man sich längs dieser Kurve ein paralleles Vektorfeld T a konstruiert denken.Ist T a = dxa
dλ, also der Tangentenvektor der Kurve, ergibt sich die Geodätengleichung:
d2xm
dλ 2 +Γmab
dxa
dλ
dxb
dλ= 0 . (1.11)
Wir werden in Abschnitt 2.3 sehen, dass die Geodätengleichung die kräftefreie Bewegung eines Polteil-chens in der gekrümmten Raumzeit beschreibt, falls man λ mit der Eigenzeit τ assoziiert und so demTangentenvektor die Bedeutung der Vierergeschwindigkeit gibt. Man bestimmt aus den Feldgleichun-gen (2.10) den metrischen Tensor gab und bekommt so über die Γn
ab die Beschreibung der Bewegung.
Da der geodätische Tangentenvektor zu sich selbst stets parallel ist, ist die Geodäte nicht nur die kür-zeste, sondern auch die geradeste Verbindung zwischen 2 Punkten.
1Im Gegensatz zur partiellen Ableitung, bei der die entstehnden Größen keine Tensoren sind; siehe [1, S.49].2Siehe [1, S.29/51].
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1 Grundlagen
Ergänzungen: Leitgedanken der allgemeinen Relativitätstheorie und die kovariante Ableitung derMetrik
Einer der wichtigsten Leitgedanken der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) ist die oft sog. Forderungnach allgemeiner Kovarianz. Es gibt in der allgemeinen Relativitätstheorie keine bevorzugten Bezug-systeme, in denen etwa die physikalischen Gesetzte global eine bevorzugte einfache Form einnehmen,wie etwa die Inertialsysteme der newtonschen Mechanik. Dieses physikalische Prinzip, welches wirhier allgemeines Relativitätsprinzip nennen wollen, wird oft mit der mathematischen Forderung desallgemeinen Kovarianzprinzips gleich gesetzt. Nach diesem werden die physikalischen Gleichungenkoordinatenunabhängig formuliert. Kovariant kann man aber auch die newtonsche Mechanik formulie-ren. Die physikalische Bedeutung der allgemeinen Kovarianz in der ART liegt jedoch im allgemeinenRelativitätsprinzip. Da dieses in der ART erfüllt ist, bleibt nichts anderes übrig, als die Gleichungenkovariant zuformulieren [7, S.484] . Somit lautet verkürzt die Forderung nach allgemeiner Relativitätbzw. allgemeiner Kovarianz:
Die Gleichungen der ART sollen tensoriell bezüglich allgemeiner Koordinatentransformationen sein.
Tensoren sind diejenigen mathematischen Gebilde, die der Forderung nach Koordinatenunabhängigkeitgerecht werden. Dies zeigt sich an den Transformationsgesetzen der Tensoren: Stimmen zwei Tenso-ren in einem bestimmten Koordinatensystem überein, so bedingen die Transformationsgesetze, dassdie Tensoren in jedem anderen Koordinatensystem übereinstimmen!
Ein weiteres fundamentales Prinzip ist das Einsteinsche Äquivalenzprinzip [8]:
In lokalen, frei fallenden, nicht-rotierenden Bezugssystemen gelten die Gesetze der speziellenRelativitätstheorie.
Anders ausgedrückt heißt das, dass in einem Ereignis der Mannigfaltigkeit zwischen Trägheits- undGravitationskräften nicht unterschieden werden kann. Das impliziert die Möglichkeit, in jedem Punktper Koordinatentransformation das lokale Inertialsystem einzuführen. In dieser lokal eingeführtenMinkowski-Raumzeit (lokal-geodätisches Koordinatensystem) gelten die Gesetze der speziellen Rela-tivitätstheorie. Das bedeutet für einen beliebigen Tensor:
T a...b...;i = T a...
b...,i fur gab = ηab . (1.12)
D.h., dass die Christoffel-Symbole im lokal-geodätischen System zu null verschwinden. Die mathe-matichen Folgen des Äquivalenzprinzips kommen vorallem in folgendem zu Tage. Alle physikalischenFormeln der speziellen Relativitätstheorie gelten auch in der allgemeinen unter Austausch der partiel-len durch die kovarianten Ableitungen, und natürlich auch anders herum. Da ein Tensor immer gleichnull ist, falls er dies nur in einem einzigen Bezugssystem ist und die partielle Ableitung der Minkowski-Metrik ηab zu null verschwindet, gilt:
gab;i = 0 . (1.13)
Für die partiellen Ableitungen der Metrik gilt somit:
gab,i = Γmia gmb +Γ
mib gam . (1.14)
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1 Grundlagen
1.2 Krümmungstensor und Bianchi-Identität
Zur quantitativen Bestimmung der Schwerkraft benötigen wir ein Maß der Krümmung der Raumzeit.Wir betrachten ein geometrisches Objekt in der Raumzeit, z. B. ein Vektor xa, welchen wir von ei-nem Punkt 1 in einen Punkt 2 auf zwei verschiedenen Wegen verschieben. Wir denken uns ein vonden Punkten aufgespanntes, infinitesimales Parallelogramm. Die beiden möglichen Verbindungen derPunkte sind unsere Wege. In einem flachen Raum ist das Ergebnis der Verschiebung wegunabhängig.Mathematisch entspricht das der Vertauschbarkeit der 2. kovarianten Ableitungen des Vektors xa.
xa;b;c = xa;c;b (1.15)
In einer gekrümmten Raumzeit ist das Ergebnis i. A. nicht wegunabhängig. Wir gelangen zu einemMaß der Krümmung indem wir die Wege, durch Differenzbildung der Ableitungen, vergleichen:
xa;b;c− xa;c;b = xa,b,c−Γiba,c xi−Γ
iba xi,c−Γ
iac xi,b
+Γkac Γ
ikb xi−Γ
ibc xa,i +Γ
kbc Γ
ika xi
−(xa,c,b−Γica,b xi−Γ
ica xi,b−Γ
iab xi,c
+Γkab Γ
ikc xi−Γ
icb xa,i +Γ
kcb Γ
ika xi) . (1.16)
Aufgrund der Symmetrie der Christoffel-Symbole und der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungenergibt sich
xa;b;c− xa;c;b = Riabc xi , (1.17)
mit dem Krümmungstensor:
Riabc = Γ
iac,b−Γ
iab,c +Γ
kac Γ
ikb−Γ
kab Γ
ikc . (1.18)
Zu einer etwas anderen Form gelangen wir, wenn wir uns in das lokal-geodätische Koordinatensystembegeben, Gl. (1.18) mit gqi überschieben und Gl. (1.3) benutzen.
gqi Riabc = (gqi Γ
iac),b− (gqi Γ
iab),c
=12((gqi gmi(gam,c +gcm,a−gac,m)),b− (gqi gmi(gam,b +gbm,a−gab,m)),c)
=12(gaq,c,b +gcq,a,b−gac,q,b−gaq,b,c−gbq,a,c +gab,q,c) (1.19)
Unter Berücksichtigung der Symmetrien und Vertauschbarkeiten, gelangen wir zu:
Rqabc =12(gcq,a,b +gab,q,c−gac,q,b−gbq,a,c). (1.20)
Hier können wir schnell die Symmetrieeigenschaften des Krümmungstensors ablesen, die wegen derTensoreigenschaft in jedem Bezugssystem gelten:
R(qa)bc = 0 = Rqa(bc) , R[qa| |bc] = 0 und Rq<abc> = 0. (1.21)
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1 Grundlagen
Aufgrund dieser Eigenschaften gibt es nur einen (bis auf das Vorzeichen) durch Verjüngung aus ihmkonstruierbaren Tensor 2. Stufe, den Ricci-Tensor:
Rac = Rbabc =−Rc
acb. (1.22)
Er ist symmetrisch, aufgrund dessen hat er 10 Komponenten. Seine Spur
R = Rcc = gca Rac (1.23)
ist der Krümmungsskalar R.
Bisher können wir den Krümmungstensor über die Gleichungen (1.3) und (1.18) aus der Metrik be-stimmen. Doch inwiefern kann man aus gegebenem Krümmungstensor die Metrik bestimmen?
Rqabc =12(gcq,a,b +gab,q,c−gac,q,b−gbq,a,c)
Dies ist ein Differentialgleichungsystem 2. Ordung von 20 Gleichungen für die 10 Komponenten vongab. Im Allgemeinen hat solch ein System keine Lösung. Wir suchen die Integrabilitätsbedingungendieser Gleichungen, die für Tensoren (mit den algebraischen Eigenschaften des Krümmungstensors)bestimmen, ob diese auch Krümmungstensoren mit einer zugehörigen Metrik sind.Wir betrachten die aus geschickter Koordinatenwahl(Riemannsche Normalkoordinaten) imlokal-geodätischen System entstehende Gleichung3:
gia,b,n =−13(Riban +Rabin). (1.24)
Diese Gleichung legt nahe, da die 3. partiellen Ableitungen von gab vertauschbar sind, daß es Bezie-hungen zwischen den kovarianten Ableitungen der Komponenten des Krümmungstensors geben muß.So differenzieren wir (1.18) im lokal-geodätischen System:
Rqabc;s = gqi (Γiac,b,s−Γ
iab,c,s). (1.25)
Addieren wirRqacs;b = gqi (Γi
as,c,b−Γiac,s,b) , (1.26)
undRqasb;s = gqi (Γi
ab,s,c−Γias,b,c) (1.27)
folgt die Biachi-Identität:Rqa<bc;s> = 0 . (1.28)
Gilt sie, kann man Gl. (1.18) bei vorgegebenem Rqabc lösen.Durch verjüngen erhalten wir eine Identität für den Ricci-Tensor:
0 = gtc gab gsq Rqa<bc;s> ,
= gtc gab(Rsabc;s−Rac;b +Rab;c) ,
= gtc(Rbc;b−Rb
c;b +R;c) (1.29)
3Sie ist nur in einem Punkt gültig und deshalb nicht differenzierbar. Diese Ausführung ist eine Plausibilitätsbetrachtung;siehe dazu[1, S.60f.].
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1 Grundlagen
⇒ (Rab− 12
gab R);b = 0 . (1.30)
Diese Identität ist sehr wichtig im Hinblick auf unsere Hauptproblematik der Energieimpulserhaltung.Sie ist in Verbindung mit den Einsteinschen Feldgleichung physikalisch bedeutsam.
1.3 Kovariante Integralsätze
Um zu einer Verallgemeinerung der Integralsätze zu gelangen, ist es wichtig die kovarianten Diffe-rentialoperatoren durch partielle Ableitungen darzustellen. Der Grund hierfür ist, dass das Integral dieUmkehroperation der partiellen und nicht der kovarianten Ableitung ist.
Gradient einer Skalarfunktion:φ;a = φ,a (1.31)
Divergenz eines Vektors am:am
;m = am,m +Γ
mmk ak (1.32)
Es gilt4:Γ
mmk = (ln
√−g),k (1.33)
Also:am
;m =1√−g
(am √−g),m (1.34)
Rotation eines Vektors am:
am;n−an;m = am,n−Γknm ak−an,m +Γ
kmn ak ,
= 2 a[m,n] (1.35)
Im Riemannschen Raum haben alle Integralsätze die Form des Stokeschen Satzes. D.h., das Integral ei-ner verallgemeinerten Rotation über das Gebiet Gs wird zurückgeführt auf ein Integral über den Rand5
Gs−1.
Die verallgemeinerte Rotation hat die Form
T[n1...ns−1;ns] = T[n1...ns−1,ns]. (1.36)
Der allgemeine Stokesche Satz lautet6:∫Gs
Tn1...ns−1,ns dV ns,n1...ns−1 =∫
Gs−1
Tn1...ns−1 dV n1...ns−1 . (1.37)
Das s-dimensionale Hyperflächenelement dV wird von s infinitesimalen Vektoren d1xn, d2xn... auf-gespannt. Da dV ein vollantisymmetrischer Tensor ist, können wir die Bachschen Klammern an Tvernachlässigen, da die symmetrischen Anteile herausfallen.
4[1, S.27]5 Gs−1 ist eine Hyperfläche in Gs mit der Dimensionszahl s−1.6Eine sehr ausführliche Herleitung wie auch die Spezialfälle findet man hier: [4, S.138-150] .
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1 Grundlagen
Fordert man aufgrund des Kovarianzprinzips die Tensoreigenschaft des Integrals, kann man nur überSkalare integrieren. Der Grund ist, dass nur Skalare unter Koordinatentransformationen stets invariantsind und somit deren Summation einen kovarianten Sinn ergibt, im Gegensatz zu Tensoren.
Aus der speziellen Relaivitätstheorie weiß man7, dass die Divergenzfreiheit eines Tensorfeldes füreinen Erhaltungssatz steht. Die integrale Erhaltungsgröße erlangt man unter zu Hilfenahme des Spezi-alfalles von Gl. (1.37), dem Gaußschen Satzes (s = 4):∫
G4
T a;a dV =
∫G3
T a d fa . (1.38)
Der Vektor d fa ist das verallgemeinerte Flächenelement, welches senkrecht auf der Hyperfläche steht.
Daraus wird klar, die Möglichkeiten im Riemannschen Raum sind begrenzt. Es sind nur diffentielleErhaltungssätze von Vektorfeldern von Interesse.
7Siehe [1, S. 70].
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1 Grundlagen
1.4 Der Energieimpulstensor
Der aus der speziellen Relativitätstheorie (SRT) stammende Energieimpulstensor der Materie ist derQuellterm in den allgemein-relativistischen Feldgleichungen. Sobald nicht-gravitative Felder auftretenaddiert man den Energieimpulstensor des z.B. elektromagnetischen Feldes auf und setzt denGesamt-Energieimpulstensor als Quellterm ein.In der SRT definiert man über den Hamilton-Lagrange-Formalismus den unsymmetrischen sog. kano-nischen Energieimpulstensor der Materie. Dieser wird dann nach Belinfante/Rosenfeld symmetrisiert,so dass für diesen die Divergenzgleichung
T ab,b = 0 (1.39)
gilt. T ab wird dann mit Hilfe des Einsteinschen Äquivalenzprinzips in die ART gehoben, indem manihn als Tensor bezüglich allgemeiner Koordinatentransformation auffasst und in Gl. (1.39) die partielleAbleitung durch die kovariante ersetzt.Ein anderer Weg ergibt sich wie folgt: Die Einsteinschen Feldgleichungen lassen sich mit Hilfe derVariation der Wirkung herleiten:
δW = δ
∫L d4x = 0 . (1.40)
Da man das Ziel verfolgt, eine Theorie der Kopplung zwischen der Geometrie des Raumes (Krüm-mungsskalar R) und der im Raum enthaltenen Energie und Materie (Lagrange-Dichte der Materie LM),wählt man für die Lagrange-Dichte:
L =R2
+ χ LM . (1.41)
Aus der Variation der Metrik ergibt sich für den Materieteil der Gl. (1.40) das allgemeine Konstrukti-onsprinzip des metrischen Energieimpulstensors:
T ab =2√−g
δ (√−g LM)
δgab, (1.42)
wobeiT ab
;b = 0 (1.43)
gilt.
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1 Grundlagen
Beispiel:
Ein wichtiger und oft benutzter Energieimpulstensor ist der, der idealen Flüssigkeit:
T ab = (µ +pc2 ) ua ub−gab p . (1.44)
Diesen kann man auch ohne Benutzung des Lagrange-Hamilton-Apparates herleiten. Aus-gangspunkt sind die nicht-relativistischen Feldgleichungen der Hydrodynamik, die Euler-Gleichung und die Kontinuitätsgleichung:
ρ
(∂~v∂ t
+(~v ·5)~v)
=−5 p+ f0 , (1.45)
∂ρ
∂ t+5· (ρ~v) = 0 . (1.46)
Zusätzlich benötigt man noch eine Zustandsgleichung der Form p = p(ρ). DieseGleichungen müssen relativistisch verallgemeinert werden. Dazu ersetzt man die Ge-schwindigkeit ~v, Druck p und Massendichte ρ durch die Vierergeschwindigkeit ua unddie Riemann-Skalarfelder des Eigendrucks und der Energiedichte
µ = ρ +ε
c2 , (1.47)
wobei ε
c2 die Energiedichte der inneren Freiheitsgrade der Materie darstellt. So ergibt sichder Tensor
Mab = µ ua ub (1.48)
und der Drucktensor
Pab = p (ua ub
c2 −gab) . (1.49)
Für gab = ηab (Minkowski-Metrik) gilt die Gleichung
Mab,b +Pab
,b = 0 , (1.50)
die als die speziell-relativistische Verallgemeinerung der Kontinuitätsgleichung und derkräftefreien Eulergleichung anzusehen ist. Der Energieimpulstensor einer idealen Flüs-sigkeit ergibt sich dann zu:
T ab = Mab +Pab (1.51)
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1 Grundlagen
Jeder Energieimpulstensor T ba hat bei gemischter Indexstellung in der Matrixdarstellung folgende
Struktur8:
T ba =
T dc πc
εd µ
• T dc : 3-dimensinaler Spannungstensor; wobei c,d ε {1,2,3}
• πc : Impulsstromdichte
• εd : Energiestromdichte
• µ : Energiedichte
Für ein räumlich begrenztes, abgeschlossenes System gelangt man wie folgt zu den Erhaltunggrößender SRT: Gleichung (1.39) lautet
T ai,i +
1c
∂
∂ tT a4 = 0 mit i = 1,2,3 . (1.52)
Mit Hilfe des 3-dimensionalen Gaußschen Satz wird umgeformt.
1c
∂
∂ t
∫V
T a4 d3x =−∫
VT ai
,i d3x =−∫
S(V )T ai d fi (1.53)
Der Integrand verschwindet an der Oberfläche S von V , da das System ganz in V liegt.So folgt die Erhaltung der Größe Pa in einem abgeschlossenen System:
Pa =1c
∫V
T a4 d3x = const. (1.54)
Pa ist der relativistische Viererimpuls, dessen Deutung uns das obige Strukturschema nahe legt. Die ers-ten 3 Komponenten sind der räumliche Impuls. c ·P4 entspricht der Energie. Man kann sagen, Energieund Impuls sind in der speziellen Relativitätstheorie global erhalten.
8[6, S.1094]
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2 Grundgleichungen der allgemeinenRelativitätstheorie und Energieimpulserhaltung
Die Feldgleichungen werden aufgestellt. Es zeigt sich, dass der lokalen Energieimpulserhaltung derallgemeinen Relativitätstheorie nicht die Bedeutung der äquivalenten Gleichung der speziellen Theoriezukommt.
2.1 Einsteinsche Feldgleichungen
Auf die Frage, wie die Schwerefelder durch die Massen erzeugt werden, gibt es keine Antwort, die sichrein logisch hergeleitet läßt. Man geht von einer Reihe physikalisch plausibler Forderungen aus [1].Aus diesen ergeben sich dann die richtigen Gleichungen zwangsläufig:
• Forderung nach Kovarianz: Feldgleichungen sind Tensorgleichungen bezüglich allgemeiner Ko-ordinatentransformationen.
• Wie es für alle anderen Feldgleichungen der Physik gilt: Feldgleichungen sind partielle Differen-tialgleichungen max. 2. Ordnung in der zu bestimmden Funktion gab, und linear in der höchstenvorkommenden Ableitung.
• Die Feldgleichungen sollen bei newtonscher Näherung (schwache Felder, kleine Geschwindig-keiten) in die Poisson-Gleichung für das newtonsche Gravitationspotential U übergehen
∆ U = 4 π G ρ . (2.1)
• Da T ab in der speziellen Relativitätstheorie das Analogon der Massendichte ist, soll er Ursachedes Feldes sein. Die Feldgleichung haben die Form
Gab = κT ab . (2.2)
κ ist eine noch zu betimmende Kopplungskonstante. Aufgrund von Gl. (1.43) muß für Gab
Gab;b = 0 (2.3)
gefordert werden.
Betrachten wir nocheinmal Gl. (1.24) aus Abschnitt 1.2 :
gia,b,n =−13(Riban +Rabin) . (2.4)
Diese Gleichung stammt aus einer Rechnung mit Riemannschen Normalkoordinaten, es gilt
gab = ηab . (2.5)
13
2 Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie und Energieimpulserhaltung
Bei näherer Betrachtung wird klar: Alle aus der Metrik und deren ersten beiden Ableitungen aufgebau-ten Tensoren sind durch den Krümmungtensor und die Metrik darstellbar, da die ersten Ableitungenwegen (2.5) verschwinden. Dann gilt dieser Zusammenhang aber auch für alle Koordinatensysteme.Da im speziell-relativistischen
T ab = T ba und T ab,b = 0 , (2.6)
gilt, müssen aufgrund des Äquivalenzprinzips und wegen (2.2) auch folgende Gleichungen gelten:
Gab = Gba und Gab;b = 0 . (2.7)
Es zeigt sich, daß diese Forderungen an Gab plus der Forderung der Linearität in den 2. Ableitungen,nur von dem Tensor
Gab = Rab− 12
gab R (2.8)
bzw.Gab = Rab− 1
2gab R+Λ gab (2.9)
erfüllt werden.
Λ ist die kosmologische Konstante. Sie spielt eine Rolle in der Dikussion kosmologischer Modelle. Danoch nicht endgültig geklärt ist, ob Λ 6= 0 gilt, und dies auch unsere Forderung nach dem Übergangder Feldgleichungen in die Gl. (2.1) bei newtonscher Näherung verletzt, setzen wir für unsere weiterenBetrachtungen Λ = 0 .
Die Einsteinschen Feldgleichungen lauten:
Rab− 12
gab R = κT ab . (2.10)
κ wird aus der Betrachtung des newtonschen Grenzfalles bestimmt und dem anschließenden Vergleichmit der Poisson-Gleichung des newtonischen Gravitationspotentials. Es ergibt sich:
κ =−8 π Gc4 . (2.11)
Die Feldgleichungen sind ein System aus 10 partiellen Differentialgleichungen zur Bestimmung der 10metrischen Funktionen. Diese Differentialgleichungen sind gekoppelt, das zeigt sich an:
Gab;b = T ab
;b = 0 . (2.12)
Diese 4 Gleichungen bewirken die Unterbestimmung des Gleichungssystems (2.10). Das ergibt Sinn,da man an das System die Forderung der Kovarianz stellt, also die Freiheit in der Wahl der 4Koordinatentransformations-Funktionen für die 4 Dimensionen der Raumzeit.
Gibt man einen Energieimpulstensor vor, weiß man noch nicht ob er auch kovariant divergenzfrei ist.So ist T ab
;b = 0 als Integrabilitätsbedingung der Einsteinschen Feldgleichungen anzusehen. Erst wenndiese erfüllt ist, gibt es eine zugehörige Lösung gab. Um die Integrabilitätsbedingung zu verifizieren,benötigt man die Metrik, die jedoch noch zu bestimmen ist.In praktischen Fällen, gibt man oft einen Energieimpulstensor vor, für den (2.12) gilt. Man benutzt Test-felder wie Lichtstrahlen, die keine Beiträge zu T ab haben, um die korrekten Eigenschaften der Metriknachzuweisen.
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2 Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie und Energieimpulserhaltung
2.2 Das Problem der globalen Energieimpulserhaltung
Eindrucksvoll zeigt sich die innere Konsistenz der Theorie: Die Gleichung
T ab;b = 0 (2.13)
folgt zum einen über das Äquivalenzprinzip aus dem lokalen Energieerhaltungssatz der speziellenRelativitätstheorie, zum anderen über die Einsteinschen Feldgleichungen aus der verjüngten Bianchi-Identität (1.30). Die Erfahrungen der speziellen Relativitätstheorie legen nahe, (2.13) als eine differen-tielle Bilanzgleichung physikalischer Größen anzusehen, der man integrale Erhaltungsätze zuordnenkann. In Bezug auf Abschnitt 1.3 ist klar, dass das nicht möglich ist. Das liegt zum Einen am fehlendenkovarianten Sinn, Tensoren aus unterschiedlichen Punkten zu addieren und zum Anderen daran, daskein 4-dimensionaler Gaußscher Satz für die Divergenz eines symmetrischen Tensors 2. Stufe existiert.Das Konzept Energie hat i.A. seinen Sinn verloren, da sich kein globaler Energieimpulserhaltungsatzformulieren lässt. Jedoch wird in den nächsten Abschnitten gezeigt, wie sich den Begriffen Energie undImpuls, unter gewissen Bedingungen an die Metrik, Möglichkeiten der Anwendung bieten.
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2 Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie und Energieimpulserhaltung
2.3 Bewegungsgleichungen
Nach den Ergebnissen des letzten Abschnitts, stellt sich die Frage, welche physikalische Bedeutung dieGleichung
T ab;b = 0 (2.14)
nun hat.Nach Aufstellung der Feldgleichungen, glaubte man zunächst die Bewegungsgleichungen zusätzlichfordern zu müßen. Dies ist z.B. der Fall in der klassischen Feldtheorie der Elektrodynamik: Das Feldzweier ruhender Ladungen im endlichen Abstand ist eine strenge Lösung der Maxwell-Gleichungen[1]. Einstein, Infeld und Hoffmann erkannten [9], dass die Bewegungsgleichungen der allgemeinenRelativitätstheorie für makroskopische Körper sowie Flüssigkeiten eine Folgerung der Gl. (2.14) sind.Beispielhaft betrachten wir den Energieimpulstensor der denkbar einfachsten Flüssigkeit: eines Punkt-teilchens. Ausganspunkt ist der Energieimpulstensor T ab = µ ua ub der inkohärenten Materie (sie-he Abschnitt 1.4). Der Übergang zum Punktteilchen geschieht mit Hilfe der, wie folgt definierten,4-dimensionalen Delta-Funktion [1]:
δ [x] ={
∞ für x = 00 sonst ,
(2.15)
δ4[xn] = δ [x1]δ [x2]δ [x3]δ [x4] , (2.16)
∫F(xn)
δ 4[an− xn]√−g
dV = F(an) . (2.17)
Differenzieren wir Gl. (2.17), entsteht∫F(xn)
∂
∂aiδ 4[an− xn]√−g
dV =∂
∂ai F(an) , (2.18)
zum anderen gilt jedoch auch
∫∂F(xn)
∂xiδ 4[an− xn]√−g
dV =∂
∂ai F(an) . (2.19)
Da F(xn) frei wählbar ist, folgt die wichtige Gleichung:
∫∂
∂aiδ 4[an− xn]√−g
dV =∫
δ 4[an− xn]√−g
∂
∂xi dV . (2.20)
Für das Volumenelement gilt
dV =√−g dx1dx2dx3dx4 (2.21)
nur, falls die Komponenten von dV in Richtung der Koordinatenachsen zeigen, was wir aus Gründender Einfachheit annehmen wollen.
16
2 Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie und Energieimpulserhaltung
Wir rechnen im lokalen Minkowski-Ruhesystem (√−g = 1, t = τ, xa = 0). Dort entspricht die Glei-
chung
µ → m δ [x]δ [y]δ [z] (2.22)
dem Übergang vom Kontinuum zum Punktteilchen. Also:
T ab(yn) =∫
µ(yn) ua ub dV (2.23)
⇒ T ab(yn) = m c∫
δ 4[yn− xn(τ)]√−g
dxa
dτ
dxb
dτdτ . (2.24)
Zuerst berechnen wir die partielle Ableitung.
T ab,b =
∂T ab
∂yb = m c∫
∂
∂ybδ 4[yn− xn(τ)]√
−gdxa
dτ
dxb
dτdτ ,
(2.20)= m c
∫δ
4[yn− xn(τ)]∂
∂xb
(1√−g
dxa
dτ
dxb
dτ
)dτ . (2.25)
Man formt nun um:
∂
∂xb
(1√−g
dxb
dτ
dxa
dτ
)=
(d
dxbdxb
dτ
)dxa
dτ
1√−g
+(
ddτ
dxa
dτ
)1√−g− 1√−g
Γaab
dxa
dτ
dxb
dτ(2.26)
Der 1. Summand verschwindet, der 3. wurde mit Hilfe von Gl. (1.33) aus Abschnitt 1.3 umgeformt:
⇒ T ab,b = m c
∫δ 4[yn− xn(τ)]√
−g
(d2xa
dτ2 −Γaab
dxa
dτ
dxb
dτ
)dτ (2.27)
Dies fügen wir nun in Gl. (2.14) ein:
0 = T ab;b = T ab
,b +Γabi T ib +Γ
bbi T ai ,
= m c∫
δ 4[yn− xn(τ)]√−g
(d2xa
dτ2 −Γaab
dxa
dτ
dxb
dτ(2.28)
+ Γabi
dxi
dτ
dxb
dτ+Γ
aab
dxa
dτ
dxb
dτ
)dτ .
Dieses Integral kann auf der Weltlinie yn = xn(τ) nur null sein, falls der Integrand verschwindet. Darausfolgt die richtige Bewegungsgleichung, die Geodätengleichung:
D2
Dτ2 xa =d2xa
dτ2 +Γabi
dxi
dτ
dxb
dτ= 0 . (2.29)
17
3 Symmetrien und Erhaltungssätze
Im Allgemeinen sind in der ART keine Erhaltungsgrößen zu definieren. Es ist jedoch möglich, sobald dieMetrik gewisse Symmetrien aufweist. Neben dem Noetherschen Zugang zu den Erhaltungssätzen, gibtes den Zugang der Killing-Gleichung. Diesen werden wir hier behandeln. Beide führen zu denselbenErgebnissen [5].
3.1 Lie-Ableitung
Die Lie-Ableitung ist eine weitere tensorielle Ableitung. Jedoch werden bei ihr die linearen Übertra-gungen nicht benutzt. Anschaulich entspricht die Lie-Ableitung der Änderung eines Tensors, die einBeobachter feststellt, der sich von Punkt 1 in Richtung ai in den infinitesimal entfernten Punkt 2 be-wegt, und dabei sein Koordinatensystem mitnimmt.Ihre Form ergibt sich zu1
La T n = T n,i ai−T i an
,i (3.1)
undLa Tn = Tn,i ai +Ti ai
,n . (3.2)
Durch Mehrfachanwendung des 2. Teils dieser Gleichungen auf kovariante bzw. kontravariante Indizeserhält man Ableitungen Tensoren höherer Stufe. Beispielsweise ergibt sich für die Metrik
La gmn = gmn,i ai +gin ai,m +gmi ai
,n . (3.3)
Die Lie-Ableitung eines Tensors ist wieder ein Tensor.
3.2 Killing-Vektoren
Der Drehimpuls eines Probekörpers bleibt in kugelsymmetrischen Potenzialen konstant. Allgemeinerkann man sagen, in physikalischen Anorndnungen liegt genau dann eine räumliche Symmetrie vor,wenn sich beim Fortschreiten in eine bestimmte Richtung oder auf einer Fläche die physikalischenGrößen nicht ändern. Verallgemeinert auf die vierdimensionale Raumzeit, stellt man sich ein Vektorfeldξ i(xa) vor. Man fragt nach den Bedingungen für die Invarianz der Metrik beim Fortschreiten in dieRichtung dieses Feldes. Ziel ist es diese Bedingungen in koordinatenunabhängiger Form zu erhalten.Es genügt infinitesimale Bewegungen zu betrachten:
xa′= xa +ξ
a(xn) dλ = xa +δ (xa) . (3.4)
1Siehe [1, S.55ff.].
19
3 Symmetrien und Erhaltungssätze
Dies entspricht kontinuierlichen Transformationen. Diskontinuierliche Transformationen, wie etwa Spie-gelungen, betrachten wir nicht. Es gilt
δ (gab) = gab,n ξn dλ ,
δ (dxa) = d(δxa) = ξa,n dxn dλ . (3.5)
Die Metrik ist genau dann invariant, falls das Linienelemnt in xa′
gleich dem in xa ist, also
δ (ds2) = δ (gab dxa dxb)= δgab dxa dxb +gnb δ (dxn) dxb +gan dxa
δ (dxn)
= (gab,n ξn +gnb +gnb ξ
n,a +gnb +gan ξ
n,b) dxa dxb dλ
!= 0 . (3.6)
Dies muss für alle dxa gelten, also
gab,n ξn +gnb ξ
n,a +gan ξ
n,b = 0 . (3.7)
Man sieht, dass dies der Lie-Ableitung der Metrik entspricht. Nun verallgemeinern wir kovariant, in-dem wir die partiellen Ableitungen der Metrik nach Gl.(1.14) ersetzen.
gab,n ξn +gnb +gnb ξ
n,a +gan ξ
n,b = gam Γ
mbn ξ
n +gmb Γman ξ
n +gnb ξn,a +gan ξ
n,b
= gmb ξm,a +gmb Γ
man ξ
n +gam ξm,b +gam Γ
mbn ξ
n
= gmb ξm;a +gam ξ
m;b (3.8)
Wir erhalten die kovariante Killing-Gleichungen und durch (3.3) in Form der Lie-Ableitung der Metrik:
ξa;b +ξb;a = Lξ gab = 0 . (3.9)
Dieses Differentialgleichungssystem bestimmt bei vorgegebener Metrik die sog. Killing-Vektoren ξ i,welche die Erzeugenden der isometrischen Transformationen sind.Es stellt sich die Frage, wie viele linear unabhängige Lösungen die Killing-Gleichungen haben können.Da die Metrik 10 unabhängige Komponenten besitzt, steht (3.9) für 10 Gleichungen. Da die Killing-Vektoren antisymmetrisch sind, reduzieren sich die 20 Unbekannten (4 ξa plus 16 ξa;b) auf 10. Au-ßerdem besitzen die Gleichungen als Differentialgleichungen Integrabilitätsbedingungen, die i.A. nichterfüllt sind2. D.h., dass die vierdimensionale Raumzeit maximal 10 Killing-Vektoren hat, dass es aberauch Riemannsche Räume ohne jegliche Symmetrie gibt.
Für die Minkowski Raumzeit nimmt (3.9) die Form
ξa,b +ξb,a = 0 (3.10)
ein.Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist
ξa = ωab xb +αa , (3.11)2Mehr dazu findet man hier [1, S. 183f.], [2, S.400f.].
20
3 Symmetrien und Erhaltungssätze
mit der konstanten (4x4)-Matrik ωab, wobei ω(ab) = 0 gilt. Ihre 6 Komponenten entsprechen den 3räumlichen Drehungen und 3 speziellen Lorenztransformationen. Die 4 Konstanten αa entsprechenden 4 Raumzeittranslationen.
3.3 Isometrien und Erhaltungsgrößen
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie Symmetrieeigenschaften bzw. die Existenz von Killing-Vektorfeldern zu Erhaltungsätzen führt. Betrachten wir dazu erneut die Mechanik eines Massepunktes.Im Riemannschen Raum führen dessen Trägheitsbewegungen entlang Geodäten.
DDτ
ua =D2
Dτ2 xa = 0 (3.12)
Überschieben mit dem Killing-Vektorfeld ξa liefert:
ξaD
Dτua =
ddτ
(ξa ua)−ξa;b ub ua = 0 . (3.13)
Da der Produkttensor Pab = uaub symmetrisch ist und ξ(a;b) = 0 gilt, entfällt der 2. Summand. Das siehtman, wenn man (3.13)zu sich selbst mit vertauschten Indizes (a←→ b) addiert. Es folgt:
ξa ua = const. (3.14)
Dieses Produkt ist eine Erhaltungsgröße der Bewegung entlang einer Geodäten. So kann jedem sichaus Gl. (3.9) ergebenden Killing-Vektor, eine Erhaltunggröße zugeordnet werden. Somit entsprechenden 10 linear unabhängigen Lösungen des Minkowski-Raumes 10 Erhaltunggrößen.
3 räumliche Drehungen ←→ Drehimpuls3 spezielle Lorentztransformationen ←→ Schwerpunkt4 Raumzeit-Translationen ←→ Viererimpuls (Energieimpulserhaltung)
Wie wir wissen, kann man der GleichungT ab
;b = 0 (3.15)
keinen echten integralen Erhaltungssatz zuordnen. Existiert jedoch ein Killing-Vektorfeld, gilt
(ξa T ab);b = ξa;b T ab +ξa T ab;b . (3.16)
Der erste Summand entfällt äquivalent zu der Argumentation von Gl. (3.13) und der 2. wegen Gl.(3.15). So erhalten wir eine Divergenzgleichung für die Größe ξa T ab mit dem Indexbild eines Vektors,auf die man nun den 4-dimensinalen Gaußschen Satz (1.38) anwenden kann.∫
S(V )ξa T ab d fb = 0 (3.17)
Wir denken uns T ab inselartig verteilt (nur dort 6= 0). Als Integrationsgebiet wählen wir einen ZylinderV mit der Oberfläche S. Der 3-dimensionale Mantel SM des Zylinders ist zeitartig. Die beiden Grund-flächen S1 und S2 sind raumartig und stellen somit 2 Hyperflächen lauter gleichzeitiger Ereignisse dar(x4 = const.) . ∫
SM
ξa T ab d fb +∫
S1
ξa T ab d fb +∫
S2
ξa T ab d fb = 0 (3.18)
21
3 Symmetrien und Erhaltungssätze
Der Mantel liegt außerhalb der inselförmigen Verteilung, so verschwindet dieser Summand. Lassen wirden Mantel in das räumlich Unendliche rücken, so überspannen die Flächen S1 und S2 den gesamtenOrtsraum für x4 = const. Berücksichtigt man nun, dass die d fb der Flächen S1 und S2 entgegengesetztorientiert sind und den damit verbundenen Vorzeichenwechsel, weiß man, das Integral muss über eineso ausgedehnte raumartige Hyperfläche für jeden Wert von x4 konstant sein:∫
x4=const.ξa T ab d fb = const. (3.19)
Für x4 = const. und die Bedingung, das Koordinatensystem so zu wählen, dass die Komponentendes Hyperflächenelements in Richtung der Koordinatenachsen zeigen, bekommt d fb folgende einfa-che Form:
d fb =√−g dx1 dx2 dx3
δ4b . (3.20)
Wir erhalten r Erhaltunggrößen T (i) aus den r verschiedenen Killing-Vektoren ξ(i)a
T (i) =∫
x4=const.ξ
ia T a4 √−g dx1 dx2 dx3 . (3.21)
Existiert z.B. der zeitartige Killing-Vektor
ξa = (0,0,0,1) = δ4a , (3.22)
identifizieren wir die Erhaltungsgröße T 4 mit der Energie. In diesem Fall nennt man die Metrik auchstationär.
Anmerkungen3: Zu der inselförmigen Verteilung der Materie ist der geeignete Randabfall des Inte-granden im räumlich Unendlichen nach folgenden Bedingungen äquivalent:
gab = νab +O(1r) ;
gab,c = O(1r2 ) ; (3.23)
ξia = δ
(i)a +O(
1r2 ) .
Dass integrale Erhaltungssätze für isolierte, gravitative Systeme definiert werden können, liegt auchdaran, das diese Bedingungen asymptotisch (r −→ ∞) die Isometrien der flachen Minkowski-Raumzeitmit einbeziehen.
3Siehe [2].
22
4 Zusammenfassung und Ausblick
Die Begriffe Energie und Impuls gelten in vielen Bereichen der Physik als äußerst erfolgreiche Kon-zepte zur Charakterisierung von physikalischen Vorgängen.Um der Frage nach Energieimpulserhaltung in der ART nach zugehen, betrachteten wir das metrischeFeld. Daraus entwickelten wir den Krümmungstensor und erhielten die Bianchi-Identität. Aus ihr ergibtsich mittels der Feldgleichungen die kovariante Divergenzfreiheit des Energieimpulstensors.Dieser auch als lokaler Energieimpulserhaltungssatz bezeichnete Gleichung, kommt nicht die zunächsterwartete physikalische Bedeutung zu. Denn ihr lässt sich kein globaler, integraler Erhaltungssatz zu-ordnen. Vorallem liegt das daran, dass kein 4-dimensionaler Gaußscher Satz für die Divergenz vonTensoren höher als 1. Stufe existiert.
Einstein hat dem Prinzip der Energieimpulserhaltung seinen absoluten Charakter genommen, der die-sem Prinzip bis heute oft gegeben wird.
Die Frage, wann integrale Erhaltungsgrößen für Energie und Impuls existieren, reduziert sich darauf, inder Raumzeit nach Killing-Vektorfeldern zusuchen. Das Verschwinden der Lie-Ableitung der Metriknach einem Vektorfeld bzw. des Lieschen Differentials der Metrik ist die identifizierende Bedingungfür Killing-Vektoren. Das Verschwinden des Lieschen Differentials der Metrik ist ein Ausdruck isome-trischer Koordinatentransformationen oder sog. Bewegungen. So spiegeln sich die Erhaltungsgrößen inden Symmetrien der Raumzeit wider. Roger Penrose schrieb an dieser Stelle:
"These conservation laws hold only in a spacetime for which there is the appropriate sym-metry, given by the Killing vector...[These considerations] do not really help us in under-standing what the fate of the conservation laws will be when gravity itself becomes anactive player."
Vermutet man jedoch die Existenz von Gravitationswellen, verwundert es nicht, daß sich keine globaleEnergieimpulserhaltung definieren lässt. Da der in der Gleichung
0 = T ab;b (4.1)
= T ab,b +Γ
abn T nb +Γ
bbn T an (4.2)
verwendete Energieimpulstensor keine Beiträge des Gravitationsfeldes beinhaltet. Gibt es Gravitati-onswellen, muß das Gravitationsfeld Energie und Impuls transportieren und somit auch einen Beitragam Energieimpulstensor haben.Als Ausgangspunkt für die Betrachtung von Gravitionswellen wählt man die aus Gl. (4.2) gebildeteBilanzgleichung:
[−g (T ab + tab)],b = 0 . (4.3)
Die Größe tab ist der Energieimpulskomplex des Gravitationsfeldes. Er entspricht den Christoffel-Symbol-Termen aus Gl. (4.2). Der Energieimpulskomplex ist kein Tensor. Da (4.3) eine tensorielle
23
4 Zusammenfassung und Ausblick
Gleichnug ist, partielle Ableitungen von Tensoren keine Tensoren sind und T ab ein Tensor ist, kanntab kein Tensor sein. Man kann den Energieimpulskomplex in jedem Punkt zu null oder beliebig großtransformieren. Daraus folgt die Delokalisierung der dem reinen Gravitationsfeld zugeordneten Grö-ßen Energie und Impuls. Bestenfalls kann man einem Raumgebiet solche Größen zuordnen. Es stelltsich natürlich die Frage, inwieweit die Vorstellung einen Sinn hat, einem fixierten Volumen eine ganzbestimmte Menge der betrachteten physikalischen Größe zuzuordnen.
Man kann jedoch die Kovarianz beibehalten und der Meinung sein, dass die Fragestellung nach Gra-vitationswellen in der ART unangemessen ist und die Konzepte der Energie und des Impuls i.A. ihrenSinn verloren haben. Der Streit um Gravitationswellen wird vermutlich erst beigelegt sein, sobald eineexakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für das Zweikörperproblem existiert, an der mansehen kann, ob ein Doppelsternsystem Gravitationswellen aussendet oder nicht.
Im Gegensatz zur allgemeinen Überzeugung, sagt Mensky, einen integralen Erhaltungsatz aus Gl.(4.2)bilden zu können [10]. Er entwickelte einen allgemein kovarianten Gaußschen Satz. Die Integrale sinddabei in gruppentheoretischen Termen von Pfaden durch die Minkowski-Raumzeit gegeben, welchedann auf anholonome Weise mit der eigentlichen allgemein gekrümmten Mannigfaltikeit verbundensind. Jedoch kommt es bei dieser Übertragung zur Dispersion der Volumenelemente. Mesky vermutet,dass das ungewöhnliche Verhalten der Energie zum Volumen mit dem Problem der Dunklen Materiezusammenhängen könnte.
Eines scheint sicher: Zukünftige Theorien werden sich weiter mit den Begriffen Energie und Impulsauseinander setzen müssen.
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Notationskonventionen
• Symmetrische Bachsche Klammer:
A(ab) =12
(Aab +Aba) ,
• Antisymmetrische Bachsche Klammer:
A[ab] =12
(Aab−Aba) ,
• Zyklus:A<abc> = Aabc +Abca +Acab ,
• Einsteinsche Summenkonvention:∑b
Abb = Ab
b ,
• Signatur der Metrik:+2(+,+ ,+ ,−) ,
• Partielle Ableitung:
Aa,b =
∂
∂xb Aa ,
• Kovariante Ableitung:
Aa;b = Aa
,b +Γabm Am ,
bzw. Aa;b = Aa,b−Γmab Am .
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Literaturverzeichnis
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[5] E. Schmutzer, Symmetrien und Erhaltungsätze der Physik, Akademie-Verlag, Berlin (1972)
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[13] R. Penrose, The Road to Reality, Alfred A. Knopf, New York, p. 457-458 (2005)
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