1-49 Aufgabe 1: Ein Glücksrad mit 4 Sektoren, in denen die Zahlen 0, 1, 2 und 3 stehen, hat für die einzelnen Zahlen folgende Wahrscheinlichkeiten: a) (6) Wie oft muss das Rad mindestens gedreht werden, damit mit mindestens 98% Wahrscheinlichkeit mindestens eine 1 erscheint? b) (7) Das Spiel „Blaues Auge“ hat folgende Regel: Das Rad wird einmal gedreht und die „gedrehte“ Zahl notiert. Ist diese Zahl 2 oder 3, wird nochmals gedreht, im Ganzen aber höchstens dreimal. Z sei die letzte erdrehte Zahl. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim dritten Mal drehen eine 2 oder eine 3 kommt. Lösung: a) b)
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Aufgabe 1:
Ein Glücksrad mit 4 Sektoren, in denen die Zahlen 0, 1, 2 und 3 stehen,
hat für die einzelnen Zahlen folgende Wahrscheinlichkeiten:
a) (6) Wie oft muss das Rad mindestens gedreht werden, damit mit mindestens 98% Wahrscheinlichkeit mindestens eine 1 erscheint?
b) (7) Das Spiel „Blaues Auge“ hat folgende Regel: Das Rad wird einmal gedreht und die „gedrehte“ Zahl notiert. Ist diese Zahl 2 oder 3, wird nochmals gedreht, im Ganzen aber höchstens dreimal. Z sei die letzte erdrehte Zahl. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim dritten Mal drehen eine 2 oder eine 3 kommt.
Lösung:
a)
b)
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P(Z = 2) + P(Z = 3) = 0,147 + 0,196 = 0,343
Aufgabe 2:
Der Umsatz der Biotec AG hat sich folgendermaßen entwickelt.
Jahr 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Entwick-lung
+3,1% +15,0% -6% -1% +2% +5,4%
Wie hoch war das durchschnittliche Wachstum?
Lösung:
x̅ = √1,031 ∙ 1,15 ∙ 0,94 ∙ 0,99 ∙ 1,02 ∙ 1,0546
= 1,0289
2,89%
Aufgabe 3:
In einem Großraumbüro arbeiten 11 Frauen und 17 Männer. Wie groß ist die Wahr-scheinlichkeit, dass die beiden ersten Personen, die nach Arbeitsschluss den Raum ver-lassen, gleichen Geschlechts sind?
Lösung:
P(A) =11
28∙
10
27+
17
28∙
16
27= 0,1455 + 0,3598 = 0,5053
Aufgabe 4:
In einem Callcenter gehen im Langzeitmittel 60 Anrufe pro Minute ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten neun Sekunden höchstens fünf Anrufe einge-hen?
Die Erfahrungen der vergangenen Jahre besagen, dass in der Fahrschule "Heiligs-blechle" erwartungsgemäß 30% der Männer und 40% der Frauen die Fahrprüfung nicht bestehen. Der Anteil der Männer in der Fahrschule liegt bei 1/5 und der Anteil der Frauen liegt bei 4/5.
a) (4) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Kandidaten (unbekannten Ge-schlechts) unter sonst gleichen Bedingungen, im ersten Anlauf die Fahrprüfung zu be-stehen?
b) (4) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Durchfaller bei der Fahrprüfung männlich ist?
Lösung:
a)
P(Prüfling besteht beim 1. Versuch) =1
5∙ 0,7 +
4
5∙ 0,6 = 0,14 + 0,48 = 0,6200
b)
P(Durchfaller ist Mann) =
15
∙ 0,3
15
∙ 0,3 +45
∙ 0,4= 0,1579
Aufgabe 6:
Von fünf ausgewählten Schülern wurden die Noten in Spanisch und Englisch notiert.
Schüler 1 2 3 4 5
Spanisch 2 3 2 4 5
Englisch 1 2 2 3 4
Dabei ist Spanisch der Regressand und Englisch der Regressor.
a) (6) Berechnen Sie die lineare Regressionsgerade.
b) (2) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson.
Lösung:
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x y x-x (x-x)² y-y (y-y)² (x-x)*(y-y)
1 2 -1,40 1,96 -1,2 1,44 1,68
2 3 -0,40 0,16 -0,2 0,04 0,08
2 2 -0,40 0,16 -1,2 1,44 0,48
3 4 0,60 0,36 0,8 0,64 0,48
4 5 1,60 2,56 1,8 3,24 2,88
2,4 3,2 5,20 6,8 5,6
Steigung: 1,0769
Achsenabschnitt: 0,6154
Korrelationskoeffizient: 0,9417
Aufgabe 7:
Ein Spielautomat enthält drei zylindrische Räder, die unabhängig voneinander laufen und anhalten können. Jedes Rad enthält auf der Außenfläche 20 Felder und zwar 12 Felder mit der Zahl 1, 6 mit der 2 und 2 mit der Zahl 5.
Der Automat wird 1-mal angeworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
A (2): die Zahl 555 erscheint (Hauptgewinn)
B (2): eine Zahl größer als 300 erscheint
C (3): eine Zahl mit der Quersumme 8 erscheint,
D (2): mindestens eine 1 erscheint,
E (3): genau zwei gleiche Ziffern erscheinen.
Lösung:
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Aufgabe 8:
Aufgrund von statistischen Erhebungen weiß man über eine bestimmte Krankheit fol-
gendes: Die Krankheit tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1
150 in der Bevölkerung auf.
Der Test zur Diagnose dieser Krankheit zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,97 die Krankheit an, wenn man tatsächlich krank ist. Ist man nicht krank, so zeigt dies der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 an.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist jemand tatsächlich krank, bei dem der Test die Krankheit anzeigt?
Lösung:
Aufgabe 9:
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Eine Firma stellt Klobürsten her und verpackt sie in Kisten zu je 25 Stück. 4% aller Klo-bürsten sind nicht rot, sondern nur rosa.
Nun soll ein neuer Kunde beworben werden.
Der Kunde macht folgenden Vorschlag: Er entnimmt einer beliebigen Kiste der Liefe-rung 9 Klobürsten. Wenn höchstens zwei rosafarbene Klobürsten dabei sind, zahlt der Kunde 15€ pro Kiste, anderenfalls zahlt er nur 10€.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Firma 15€ pro Kiste erhält?
Lösung:
Wir brauchen die WS., dass weniger als drei Rosa-Bürsten gezogen werden. Nun ist es ja so, dass es keine Formel gibt, um „weniger“ oder „höchstens“ mit einer einzi-gen Formel zu berechnen. Wir müssen also „weniger als drei“ in die drei Fälle auf-teilen: „ keine, eine, zwei“. Wir brauchen also die WS., dass keine Rosa-Bürste, eine Rosa-Bürste oder zwei Rosa-Bürsten gezogen werden. Es handelt sich um „ohne Zu-rücklegen“, da jede Klobürste eine WS. von 4% hat, egal wieviel und was gezogen wird.
Also es sich um eine Binomialverteilung:
Aufgabe 10:
Ein Prüfling muss 6 mathematische Fragen beantworten, die er sich zu je drei aus zwei Gruppen (Algebra, Geometrie) von je 5 Aufgaben auswählen kann. Wie viele Möglich-keiten hat er?
Lösung:
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Aufgabe 11:
In einem Ufo befinden sich 12 blaue, 13 rote und 15 grüne Männchen. Eine Delegation von 3 Männchen besucht die Erde. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um drei grüne Männchen handelt?
Lösung:
Es handelt sich hier um eine Hypergeometrische Verteilung.
P(3 grüne Männchen) =(
120
) ∙ (130
) ∙ (153
)
(403
)= 0,0461
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Aufgabe 12:
An einem Kindergeburtstag nehmen 8 Mädchen und 5 Jungen teil. Für die Schnitzeljagd wird eine Gruppe aus 4 Kindern per Los bestimmt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit be-steht die Gruppe
a) nur aus Mädchen
b) nur aus Jungen
c) aus 2 Mädchen und 2 Jungen
Lösung:
Aufgabe 13:
Auf dem Tisch liegen drei verschlossene Kuverts (A, B, C), von denen Sie eines blind auswählen dürfen:
Jedes davon enthält drei Zahlen und zwar:
A: 2 3 3
B: 3 3 3
C: 2 3 4
Sie dürfen dem gewählten Kuvert zwei Zahlen entnehmen (ohne Zurücklegen), die Sie miteinander multiplizieren.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erhaltenen Produkt grösser als 10 ist?
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b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erhaltenen Produkt gerade 6 ist?
Lösung:
Aufgabe 14:
Sie haben 9 verschiedene Farben (inklusive rot, blau, grün).
Auf wie viele Arten können Sie die oben dargestellten Felder färben, wenn:
a) (2) keine Einschränkung besteht?
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b) (2) jedes Feld eine andere Farbe haben soll?
c) (2) benachbarte Felder verschieden gefärbt werden sollen?
d) (2) die beiden Felder links und rechts außen rot sein sollen?
e) (3) 3 Felder rot, 2 blau und der Rest grün sein soll?
f) (3) 3 nebeneinander liegende Felder rot, die übrigen beliebig, aber nicht rot gefärbt sind?
Lösung:
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Aufgabe 15:
Unter 50 Glühbirnen in einem Karton befinden sich 5 defekte. Bei einer Qualitätskon-trolle werden 3 Birnen getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) alle 3 defekt sind
b) genau 2 defekt sind
c) genau eine defekt ist
d) keine defekt ist.
e) Wie viele defekte Birnen sind bei dieser Stichprobe im Mittel zu erwarten?
Lösung:
Aufgabe 16:
Eine Fabrik stellt mit zwei Maschinen A und B Kugeln für Kugellager her. Die Maschine B stellt 60% der Gesamtproduktion her. Bei der neueren Maschine A sind 3% der pro-duzierten Kugeln mangelhaft, bei der Maschine B sind es 4%.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Kugel mangel-haft ist?
b) Eine zufällig herausgegriffene Kugel ist mangelhaft. Wie gross ist die Wahrschein-lichkeit, dass sie mit der Maschine B produziert worden ist?
c) Es werden 100 Stück der von der Maschine A produzierten Kugeln untersucht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 davon mangelhaft sind?
d) Wie viele der von A produzierten Kugeln muss man herausgreifen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98% mindestens eine mangelhaft dabei ist?
Lösung:
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Aufgabe 17:
Die Firma Mitzer und die Firma Zlaber beliefern einen Hersteller von Textilmaschinen mit gleichartigen Steuer-Chips. Diese werden verarbeitet ohne darauf zu achten ob sie von Mitzer (M) stammen oder von Zlaber (Z). Es wird angenommen, dass die Steuer-Chips von Mitzer zu 12% defekt sind, und die von Zlaber zu 8%. Daher werden auch drei Viertel der Chips von Zlaber bezogen.
a) (5) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein beliebig herausgegriffener Steuer -Chip fehlerhaft?
b) (5) Ein Steuer-Chip wird als fehlerhaft identifiziert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er von Zlaber bzw. von Mitzer?
Lösung:
M: Ein Chip stammt von Mitzer. 𝑃(𝑀) = 0,25
Z: Ein Chip stammt von Zlaber. 𝑃(𝑍) = 0,75
D: Ein Chip ist defekt.
a) (5)
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𝑃(𝐷) = 0,25 ∙ 0,12 + 0,75 ∙ 0,08 = 0,09
b) (5)
(3) 𝑃(𝐷|𝑍) =0,75 ∙ 0,08
0,25 ∙ 0,12 + 0,75 ∙ 0,08= 0,6667
(2) 𝑃(𝐷|𝑀) =0,25 ∙ 0,12
0,25 ∙ 0,12 + 0,75 ∙ 0,08= 0,3333
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Aufgabe 18:
In der Gemeinde Tigerfeld in der Gaststätte Krone wird gerne das Kartenspiel "Schnap-sen" gespielt. Dies wird mit einem Kartenspiel gespielt, dass 20 Karten besitzt. Diese 20 Karten bestehen aus vier Farben, zu jeder Farbe gibt es keine doppelten Bilder.
Beim Schnapsen erhält jeder Spieler zunächst drei Karten aus diesen 20 Karten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Spieler dabei
a) (3) kein As erhält?
b) (3) mindestens ein As erhält?
c) (3) genau zwei Asse erhält?
Lösung:
X: Kein As
a) (3)
𝑃(𝑋 = 0) =(
40
) ∙ (163
)
(203
)= 0,4912
b) (3)
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 0,4912 = 0,5088
c) (3)
𝑃(𝑋 = 2) =(
42
) ∙ (161
)
(203
)= 0,0842
Aufgabe 19:
Es wurden 50 Personen telefonisch bezüglich gewisser Konsumpräferenzen befragt. Unter anderem erhob man den Familienstand. Es ist das Merkmal
x: Familienstand - mit den Ausprägungen 1=ledig, 2=verheiratet, 3=geschieden, 4=ver-witwet.
a) (4) Erstellen Sie für die erhobenen Merkmale eine Häufigkeitstabelle. In dieser sollen lediglich die absolute und die relative Häufigkeit berechnet werden.
b) (2) Berechnen Sie ein Lage- oder Streumaß, dass für dieses Merkmal einen Sinn ergibt.
Lösung:
a)
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i Familienstand abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit
1 ledig 12 24%
2 verheiratet 23 46%
3 geschieden 11 22%
4 verwitwet 4 8%
50 100%
b) Modus=Verheiratet
Aufgabe 20:
Studenten werden nach dem Mensabesuch gefragt, welches Essen sie gewählt haben. 12 Befragte haben Stammessen genommen, 6 Wahlessen, 6 Salat und 3 Eintopf.
Welches Skalenniveau liegt vor (gewähltes Essen)?
Lösung:
Nominalskala
Aufgabe 21:
Um das Sozialverhalten von Studenten besser einschätzen zu können, werden 8 Stu-denten danach befragt, wie viele Personen sie zu ihrer letzten Geburtstagsfeier einge-laden haben. Es wurden folgende Angabe gemacht (ein Wert pro befragten Studenten):
10 10 34 16 1 16 0 150
a) (3) Bestimmen Sie die Extremwerte (Maximum, Minimum) und den Modalwert.
b) (2) Berechnen Sie das arithmetische Mittel.
c) (2) Berechnen Sie den Median
d) (3) Berechnen Sie das untere und obere Quartil.
Lösung:
Geordnete Liste:
0 1 10 10 16 16 34 150
a) Min=0; Max=150
b) Mittelwert=29,625
c) Median=13
d) Qu=5,5; Qo=25
Aufgabe 22:
In einem Koffer befinden sich 200 Uhren. Davon sind 70% Originaluhren und 30% Fäl-schungen, die sich auf den ersten Blick nicht unterscheiden.
Von den Originaluhren sind 5% defekt, von den Fälschungen sind 30% defekt.
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a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine funktionierende Fälschung zu erhalten, wenn man eine Uhr aus dem Koffer nimmt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine defekte Uhr aus dem Koffer zu nehmen?
Lösung:
Aufgabe 23:
Lösung:
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Aufgabe 24:
Ein einer Tüte befinden sich fünf Tomaten, von denen zwei faul sind. Zwei Tomaten
werden zufällig aus der Tüte ohne Zurücklegen entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den entnommenen Tomaten höchs-tens eine faule befindet?
Lösung:
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Aufgabe 25:
Der Intelligenzstrukturtest 70-Plus ist so normiert, dass die Testwerte normalverteilt
sind mit μ = 100 und = 10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der Population gezogene Person einen Testwert hat, ...
a) (5) der über 130 liegt?
b) (5) der zwischen 115 und 125 liegt?
c) (5) Wie hoch muss der Testwert einer Person mindestens sein, damit diese Person zu den 30% der Personen mit den höchsten Testwerten gehört?
Lösung:
a)
Transformation: 310
100130=
− -> 0,9986 -> 1-0,9986=0,0014
b)
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Transformation: 5,110
100115=
− -> 0,9332
5,210
100125=
− -> 0,9938
0,9938-0,9332=0,0606
c)
Suche 0,7 in Tabelle: 0,52 ->
2,1052,51001052,0100x10
100x52,0 =+=+=
−=
22-49
Aufgabe 26:
An einer Aufnahmeprüfung wurden in Französisch folgende Noten erzielt:
Knaben Mädchen
ungenügend 30 25
genügend 60 85
a) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine ungenügende Note zu haben?
b) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anna eine ungenügende Note hat?
c) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Eintragung auf der Anmel-deliste ein Knabe ist?
d) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungenügende Note von einem Knaben stammt?
Lösung:
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Aufgabe 27:
Ein Zahlenrad enthält 10 Felder mit den Aufschriften 0 bis 9. Wie oft muss man das Rad mindestens drehen, um mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal das Feld mit der Zahl 0 zu bekommen?
Lösung:
Lösung:
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Aufgabe 28:
In einer Urne befinden sich 25 nummerierte Kugeln (Zahlen 1 bis 25).
Es werden gleichzeitig 4 Kugeln aus der Urne gezogen. (Ziehen mit einem Griff).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
A: Alle Zahlen sind durch 5 teilbar.
B: Alle Zahlen sind gerade.
C: Die Summe der 4 Zahlen ist kleiner als 12.
D: Das Produkt der 4 Zahlen ist 12.
Lösung:
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Aufgabe 29:
Vier Freunde gehen ins Kino. Sie haben in einer Reihe 4 nummerierte Plätze nebenei-nander und verteilen die Karten zufällig.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?
A: Sven sitzt zwischen zwei Freunden.
B: Sven und Kai sitzen außen.
C: Sven und Kai sitzen nebeneinander.
Lösung:
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Aufgabe 30:
Ein Händler für Bürotechnik verkauft in den Jahren 2000 und 2001 drei Arten von Ko-pierern in folgenden Mengen:
Jahr Typ A Typ B Typ C
Menge Preis Menge Preis Menge Preis
2000 32 2000 15 5000 4 25000
2001 28 2100 18 4800 5 24000
2002 32 2200 19 4500 6 26000
2003 44 3000 25 5100 8 33000
Bestimmen Sie jeweils den Preis und Mengenindex zu Laspeyres und Paasche zum Ba-sisjahr 2000 und dem Berichtsjahr 2001.
Lösung:
Laspeyres:
Paasche:
Aufgabe 31:
Produkt A Produkt B Produkt C
verkaufte Stück im Berichtsjahr 10 5 4
Preis je Stück im Berichtsjahr 2,00 1,50 5,00
verkaufte Stück im Basisjahr 12 6 8
Preis je Stück im Basisjahr 1,50 1,00 8,00
Bestimmen Sie mit den Angaben jeweils für das Berichtsjahrbezogen auf das Basisjahr folgende Indizes:
Preisindex nach Laspeyres und Paasche.
Lösung:
9841,0239000
235200
1000007500064000
960007200067200)(0 ==
++
++=LIP t
1339,1239000
271000
1000007500064000
1250009000056000)(0 ==
++
++=LIM t
9786,0271000
265200
1250009000056000
1200008640058800)(0 ==
++
++=PIPt
1276,1235200
265200
960007200067200
1200008640058800)(0 ==
++
++=PIM t
28-49
𝑃𝐿 =2,00 ∗ 12 + 1,50 ∗ 6 + 5,00 ∗ 8
1,50 ∗ 12 + 1,00 ∗ 6 + 8,00 ∗ 8=
73
88= 0,8295
𝑃𝑃 =2,00 ∗ 10 + 1,50 ∗ 5 + 5,00 ∗ 4
1,50 ∗ 10 + 1,00 ∗ 5 + 8,00 ∗ 4=
47,5
52= 0,9135
Aufgabe 32:
Landwirt Pflug vermutet einen Zusammenhang zwischen der Niederschlagsmenge N (in Liter/qm) im Monat der Aussaat und dem durchschnittlichen Ertrag pro Hektar E (in Tonnen) einer bestimmten Futterpflanze. Der Zusammenhang soll mithilfe einer Re-gressionsgeraden und dem Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson bestimmt werden. Gegeben sind die sieben Messwerte:
Ertrag pro Hektar (Tonnen) 2 5 2 1 4 4 2
Niederschlagsmenge (Liter / qm)
0 4 1,5 0 3 4 2,5
Lösung:
Niederschlag xErtrag y (x-x) (x-x)² (y-y) (y-y)² x*y
0 2 -2,14 4,59 -0,86 0,73 1,84
4 5 1,86 3,45 2,14 4,59 3,98
1,5 2 -0,64 0,41 -0,86 0,73 0,55
0 1 -2,14 4,59 -1,86 3,45 3,98
3 4 0,86 0,73 1,14 1,31 0,98
4 4 1,86 3,45 1,14 1,31 2,12
2,5 2 0,36 0,13 -0,86 0,73 -0,31
2,14 2,86 17,36 12,86 13,14
b= 13,14 = 0,7572
17,36
a= 1,2346
r= 0,8798
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Aufgabe 33:
Ein Glücksrad enthält zehn gleich große Sektoren, von denen 4 rot und 6 weiß gefärbt sind. Es sei X die Anzahl der roten Sektoren, die man bei 20 Drehungen erhält und Y die Zahl der weißen Sektoren.
a) (3) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man genau 13 rote Felder?
b) (3) genau 12 weiße Felder?
c) (4) mindestens 11 rote Felder?
d) (4) zwischen 10 und 13 weiße Felder? (jeweils die Grenzen ausgeschlossen)
e) (6) Berechne den Erwartungswert E(X) für die Zahl der roten Felder. Bestimme das zu E(X) symmetrische Intervall, in dem mit mindestens 80 % Wahrscheinlichkeit die Felder rot sind. (Anleitung: Ein solches Intervall hat die Form [E−k;E+k]
f) (5) Wie oft muss man mindestens drehen, um mit mindestens 40 % Wahrscheinlich-keit mindestens 8 rote Sektoren zu erhalten?
Lösung:
a)
b)
c)
d)
Zwischen 10 und 13 rechnet man folgendermaßen (10 und 13 gehören nicht mehr dazu):
b(11-12;20;0,6)=0,1597+0,1797=0,3394
e)
30-49
f)
Aufgabe 34:
Die Häufigkeitstabelle zeigt die Anzahl der Kunden an der Kasse im Supermarkt in 30 aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten von je 10 Minuten.
Berechnen Sie den Median und den Mittelwert.
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Lösung:
Aufgabe 35:
Welche der folgenden Merkmale sind stetig oder diskret:
a) Geschwindigkeit von Pkws
b) Hörerzahl einer Vorlesung
c) Anzahl der Mitarbeiter eines Betriebes
d) Einkommen
e) Punkte in einer Klausur
f) Bücherbestand in einer Bibliothek
g) Stromverbrauch
h) Bierkonsum eines Studenten
Lösung:
a) Geschwindigkeit von Pkws - stetig
b) Hörerzahl einer Vorlesung - diskret
c) Anzahl der Mitarbeiter eines Betriebes -
d) Einkommen – stetig/diskret
e) Punkte in einer Klausur - diskret
f) Bücherbestand in einer Bibliothek - diskret
g) Stromverbrauch - stetig
h) Bierkonsum eines Studenten - stetig
32-49
Aufgabe 36:
Eine Münze wird fünfmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereig-nis, dass dreimal Kopf und zweimal Wappen oben liegt?
Lösung:
Zwei Ausgänge
Mit zurücklegen
Dadurch liegt eine Binomialverteilung vor.
Kopf wird als „Treffer“ bezeichnet
Wappen als „Niete“
b(k; n; p) = (nk
) ∙ pk ∙ qn−k = (53
) ∙1
2
3
∙1
2
2
= 0,3125
Aufgabe 37:
Welches Skalenniveau haben die folgenden Merkmale – und sind sie stetig oder disk-ret?
– Wassertiefe eines Schwimmbeckens
– Telefonnummern von Versandkunden
– Geschmacksrichtungen von Speiseeis
– Schulnoten auf einer Skala von 1 bis 6
– Abstand zwischen zwei Gebäuden in cm
– Preis eines Neuwagens in Euro und Cent
– Haarfarbe von Kundinnen im Friseursalon
– Temperatur eines glimmenden Holzscheits
– Produktwertung auf einer Skala von 1 bis 5
– Studiumsnoten auf einer Skala von 1,0 bis 5,0
Lösung:
– Wassertiefe eines Schwimmbeckens: metrisch, stetig
– Telefonnummern von Versandkunden: nominal, diskret
– Geschmacksrichtungen von Speiseeis: nominal, diskret
– Schulnoten auf einer Skala von 1 bis 6: ordinal, diskret
– Abstand zwischen zwei Gebäuden in cm: metrisch, stetig
– Preis eines Neuwagens in Euro und Cent: metrisch, diskret
– Haarfarbe von Kundinnen im Friseursalon: nominal, diskret
– Temperatur eines glimmenden Holzscheits: metrisch, stetig
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– Produktwertung auf einer Skala von 1 bis 5: ordinal, diskret
– Studiumsnoten auf einer Skala von 1,0 bis 5,0: ordinal, diskret
Aufgabe 38:
Eine Metallhobelmaschine stellt Platten her. Kein Produktionsvorgang ist so vollkom-men, dass alle Platten gleich ausfallen. So lässt sich die Plattendicke X [mm] als Zufalls-variable auffassen.
X sei normalverteilt und habe den Mittelwert µ = 10 mm und die Standardabweichung s = 0,02 mm.
Wie viel Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Platten
a) (3) mindestens 9,97 mm,
b) (3) höchstens 10,05 mm stark sein sollen,
c) (4) um maximal ± 0.03 mm vom Sollwert 10 abweichen sollen?
d) (4) Wie muss man die Toleranzgrenzen 10-c und 10+c wählen, damit man nicht mehr als 5% Ausschuss erhält?
Lösung:
34-49
Aufgabe 39:
Für den Preisindex für die Lebenshaltung liegen für das Basisjahr 1991 und das Basisjahr 1995 folgende Werte (in %) vor:
Jahr t: 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
LP95,t 100 101,4 103,3 104,3
LP91,t 100 105,8 109,8 112,8 114,8
Berechnen Sie
a) durch rein rechnerische Verkettung für 1998 den Wert des Preisindex auf Basis 1991.
b) durch rein rechnerische Verkettung für 1992 den Wert des Preisindex auf Basis 1995.
Lösung:
Aufgabe 40:
Frau Maier hat 4 Kleider, 9 Hüte und 10 Paar Schuhe.
Auf wie viele Arten kann sie sich kleiden, wenn sie ein Kleid, einen Hut und ein Paar Schuhe tragen muss?
Auf wie viele Arten kann sie sich kleiden, wenn das Tragen beliebiger Kleidungsstücke wegfällt?
Lösung:
35-49
Aufgabe 41:
In einem Raum gibt es 8 Lampen, die man unabhängig voneinander ein- und ausschal-ten kann. Wie viele Beleuchtungsarten gibt es, wenn
a) genau 5 Lampen brennen sollen,
b) mindestens 5 Lampen brennen sollen?
Lösung:
Aufgabe 42:
Ein Zufallsgenerator (Codeknacker) erzeugt unabhängig voneinander 4 Ziffern von 0 bis 9. Nach der Generierung werden diese als 4-stellige Zahl auf einem Display angezeigt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
36-49
A: Alle Ziffern sind ungerade.
B: Es kommen nur die Ziffern 0 und 1 vor.
Lösung:
Aufgabe 43:
Unter den 250 Losen einer Lotterie befinden sich 50 Gewinnlose. Ernst kauft zu Begin n der Lotterie genau 20 Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er dabei genau 5 Ge-winne erwischt?
Lösung:
37-49
Aufgabe 44:
Geburtstagsparty mit 5 Mädchen und 3 Knaben.
Jedes Kind erhält ein Stück Muffin.
Es stehen 5 Sorten zur Wahl: Tirolermuffin
Schoggimuffin
Marmormuffin
Zitronenmuffin
Plummuffin
Berechnen Sie für jede beschriebene Situation die Anzahl der Möglichkeiten. Die Auf-gaben sind alle voneinander unabhängig.
a) Die Kinder stehen Schlange vor dem Buffet.
b) Die Knaben stehen zuvorderst in der Schlange.
c) Jedes Kind wählt ein Stück Muffin.
d) Peter und Fritz wählen sicher Schoggimuffin, die andern nach Belieben.
e) Lisa, Bea und Anna müssen immer die gleiche Sorte haben.
f) Jedes Kind in der Reihe wählt grundsätzlich etwas anderes als sein Vorgänger.
g) Daniel, Susi und Tina mögen Plummuffin nicht.
h) Es werden 3 Stück Tirolermuffin, 3 Stück Schoggimuffin und 2 Stück Marmormuffin gewählt.
i) Für ein Spiel werden 5 Kinder ausgelost.
k) 4 Kinder spielen "Schwarzer Peter". Die Gruppe ist aus Knaben und Mädchen ge-mischt zusammengesetzt.
l) 5 Kinder spielen "blinde Kuh". (Eines der 5 ist die "blinde Kuh")
Lösung:
38-49
39-49
Aufgabe 45:
In einer Urne sind 6 rote und 4 weiße Kugeln.
Es werden nacheinander 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?
A: Man zieht nur rote Kugeln.
B: Man zieht zuerst alle weißen, dann eine rote Kugel.
C: Die erste Kugel ist weiß.
D: Man zieht abwechselnd weiße und rote Kugeln.
Lösung:
40-49
41-49
Aufgabe 46:
Auf einer Maschine werden Bolzen gefertigt. Die Maßzahl der (in cm gemessenen) Länge der Bolzen kann als Zufallsgröße X angesehen werden, die normalverteilt mit dem Erwartungswert E(X) = µ = 10 ist. Ein Bolzen wird als qualitätsgerecht angesehen, wenn seine Länge mindestens 9,8 cm und höchstens 10,2 cm beträgt. Die Wahrschein-lichkeit, dass ein Bolzen qualitätsgerecht ist, beträgt 0,9545. Ein Bolzen gehört der Gü-teklasse 1 an, wenn er eine Länge zwischen 9,87 cm und 10,16 cm besitzt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein qualitätsgerechter Bolzen der Güteklasse 1 angehört?
Lösung:
Symmetrische Tabelle:
0,9545; z=2,00
2,00 =10,2 − 10
s
s =10,2 − 10
2= 0,1
𝑧1 =10,16 − 10
0,1= 1,6 → 0,9452
𝑧2 =9,87 − 10
0,1= 1,2 → 0,1151
0,9452 − 0,1151 = 0,8301
Aufgabe 47:
Eine ideale Münze wird achtmal nacheinander geworfen und man notiert jedes Mal, ob W oder Z gefallen ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man nacheinander
a) genau 4-mal Wappen,
b) 2-mal Zahl
c) mindestens 6-mal Wappen?
Lösung:
42-49
43-49
Aufgabe 48:
Mit einem idealen Würfel wird gewürfelt. Die geworfenen Zahlen werdenzu einer vier-stelligen Zahl zusammengesetzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeiterhält man eine vier-stellige Zahl mit der Quersumme 8?
b) Internat hat vier Wohnbereiche: Haus A, Haus B, und GelbesHaus. Am nach den Ferien reisen die ersten Schüler an.
(1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ziehen die ersten vier Schüler in vierverschiedene Bereiche ein, wenn wir jeden als gleichwahrscheinlich ansehen?
(2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen drei von vier Schüler ins ?
Lösung:
Aufgabe 49:
Welche Skalenart besitzen folgende Merkmale?
a) Militärdienstgrad
b) Studienfach
c) Geschlecht
44-49
d) Größe
e) Intelligenzquotient
f) Semesterzahl
g) Klausurpunkte
h) Anzahl der Verkehrsunfälle
Lösung:
a) Militärdienstgrad - Ordinalskala
b) Studienfach - Nominalskala
c) Geschlecht - Nominalskala
d) Größe - metrische Skala
e) Intelligenzquotient - Ordinalskala
f) Anzahl der Studiensemester - metrische Skala
g) Klausurpunkte - metrische Skala
h) Anzahl der Verkehrsunfälle – metrische Skala
45-49
Aufgabe 50:
Zwei Kaugummiautomaten werden mit bunten Kaugummikugeln gefüllt.
Automat 1 enthält zur Hälfte weiße Kugel, 40 % sind rot, der Rest blau.
Automat 2 hat 40 % weiße, 33 % rote und 27% blaue Kugeln.
a) Franz entnimmt dem Automat 1 genau 20 Kugeln
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält dabei
A: genau 5 rote Kugeln?
B: mindestens 8 weiße Kugeln?
C: genau 10 weiße, 8 rote und 2 blaue Kugeln?
D: diese 10 weißen, 8 roten und 2 blauen Kugeln so, allegleichfarbigen nacheinander kommen?
Wie oft Franz mindestens eine Kugel aus dem Automat 1 entnehmen,damit er mit min-destens 90% Wahrscheinlichkeit mindestens 5 rote erhält?
b) Nun testet Franz den zweiten Automaten und entnimmt diesem 250 Kugeln.
(1) In welchem Bereich liegt mit 80% Wahrscheinlichkeit die Anzahl derweißen Kugeln?
(2) Und mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er dann 80 bis 120 weiße
Kugeln?
c) Franz entnimmt Automat 1 20 Kugeln und Automat 2 genau 30 Kugeln.Er schüttet diese 50 Kugeln in einen Karton und entnimmt daraus einezufällige Kugel.Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie weiß?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt eine weiße Kugel aus dem Automat 1?
d) Automat 2 wird nun mit einer neuen Mischung gefüllt, so Franz den Anteilder wei-ßen nicht kennt. Automat 1 bleibt wie oben beschrieben. Man sagt ihmaber, wenn man zufällig einen Automaten auswählt und daraus eineweiße Kugel zieht, diese mit 67% aus dem ersten Automaten stammt. Bestimme den Anteil der weißen Kugeln im zwei-ten Automaten.
Lösung:
46-49
47-49
Aufgabe 51:
An einem Berufskolleg werden alle 674 Schüler/innen befragt, ob sie rauchen oder nicht rauchen. Das Ergebnis der Befragung sieht wie folgt aus: 82 der insgesamt 293 Schüler (männlich) gaben an zu rauchen. 250 Schülerinnen gaben an, nicht zu rauchen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person weiblich und Nichtraucherin?
b) Der Schulleiter sieht eine Schülerin im Aufenthaltsraum. Mit welcher Wahrschein-lichkeit ist diese Schülerin Nichtraucherin?
Lösung:
a)
48-49
b)
49-49
Aufgabe 52:
Beim Ausräumen ihres Kinderzimmers findet Alexandra eine Schachtel, die zwei Puzzles enthalten hat, je eins mit 30 bzw. 40 Teilen. Drei Teile sind jedoch nicht mehr auffind-bar. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keins der Puzzles vollständig?
Lösung:
Aufgabe 53:
Acht Briten (vier Ehepaare) machen Urlaub auf Mallorca.
a) Sie haben vier Doppelzimmer gebucht (pro Paar eines). Wie viele Verteilungsmög-lichkeiten gibt es?
b) Am Pool stehen 12 Liegestühle zur Verfügung. Auf wie viele Arten können sie belegt werden?
c) Für das Erinnerungsfoto besteht der Fotograf darauf, dass Frauen und Männer ab-wechselnd in einer Reihe sitzen. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es?
d) Täglich gibt es die Auswahl aus drei Mittagsmenüs, wobei sich der Speiseplan nach einer Woche wiederholt. Wie viele Speiseauswahlmöglichkeiten hat jeder Brite, wenn
1) der Urlaub sieben Tage dauert?
2) der Urlaub zehn Tage dauert und er kein Gericht zweimal essen möchte?
![Ortsplandossier Gemeindebaureglement Sektoren Plaffeien ...1].pdf · Gemeinde Plaffeien GBR Sektoren Plaffeien und Schwarzsee 5/41 353 F 1 GBR Neufassung Energiegesetz 09. Juni 2000](https://static.unterlagen.site/doc/80x56/5e11bb7019c84a0e2d254fbd/ortsplandossier-gemeindebaureglement-sektoren-plaffeien-1pdf-gemeinde-plaffeien.jpg)
