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Die Verbindung von Arithmetik und Geometrie
Chance für einen kindorientierten Mathematikunterricht
Klaus-Peter EichlerPH Schwäbisch Gmünd
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� Schulanfänger ...
� Kinder in Klasse 4, nach 3 Jahren Mathematikunterricht ...
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Die Welt, die Mathematik und das KindDie Welt, die Mathematik und das Kind
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Kernthese
Mathematische Bildung muss aus der
Kindperspektive aufgebaut sein
und dabei
die Fachsystematik im Auge behalten.
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Warum über die Funktion des
Faches nachdenken?
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Die Funktion des Mathematikunterrichts in der Grundschule - materiale Seite
Die Funktion des Mathematikunterrichts in der Grundschule - materiale Seite
Der Mathematikunterricht in der Grundschule
• befähigt die Kinder zur Beantwortung elementarster mathematischer Fragen aus ihrer Umwelt und der Mathematik
• schafft zugleich eine tragfähige Basis für erfolgreiches Lernen den nachfolgenden Klassenstufen (dort nicht nur bezogen auf das Fach Mathematik).
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Die Funktion des Mathematikunterrichts in der Grundschule - formale Seite
Die Funktion des Mathematikunterrichts in der Grundschule - formale SeiteMathematische Aktivitäten besitzen wesentliche Potenzen für die harmonische Entwicklung des Kindes. Das betrifft insbesondere
• das Wecken von Neugier, Interesse und Freude an mathematischen Aktivitäten und Fragestellungen speziell und am Lernen generell,
• die Förderung von Fantasie und Kreativität,• die Denk-, Gedächtnis- und Sprachentwicklung,
• die Befähigung zu und die allmähliche Gewöhnung an ausdauernde, konzentrierte Lernarbeit,
• die Erziehung zu Genauigkeit, Sorgfalt und Eigenverantwortung und nicht zuletzt
• die Entwicklung sozialer Verhaltensweisen.
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Freude, Neugier und Interesse wecken, vermuten, Fragen stellen,
probieren, ...Zeichnen nach Regeln1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen1. Zahlenfolge wiederholen2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...
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5
3
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Aufgabe gelöst ...
� realisierbare Ziele?
� Mögliche Weiterführungen?
� Möglichkeiten für differenzierendes
Arbeiten?
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Kernthese
Lernen von Mathematik ist
- Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion
- sozialer Prozess aus der Sache heraus
- Prozess, der einer gezielten, geleiteten
Auseinandersetzung bedarf (im Gegensatz zur
Aneignung der Muttersprache!)
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aktive eigene Sinnkonstruktion
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Verstehen ermöglichen - „einsehen“Verstehen ermöglichen - „einsehen“
25 • 36
100 • 9 = 900
Ist es der Lehrer, der hier den „Trick“ zeigt, ihn ERLAUBT oderkann das Kind auch sehen warum das so ist?
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halb so hoch ist doppelt so breithalb so hoch ist doppelt so breit
3 • 86 • 4
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Fundamentale IdeenFundamentale Ideen
Geo
met
r ie Ar ithmetik
Größen
• Die Idee der räumlichen Strukturierung
• Die Idee der Teil – Ganzes – Beziehung
• Die Idee der Zahl
• Die Idee der Form
• Die Idee des Messens
• Die Idee der Gesetzmäßigkeiten und Muster
• Die Idee der funktionalen Abhängigkeit
• Die Idee der Symmetrie
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Beispiel: Muster am ZehnerkreisBeispiel: Muster am Zehnerkreis
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Abermals: Aufgabe gelöst
� realisierbare Ziele?
� Mögliche Weiterführungen?
� Möglichkeiten zu differenzierendem
Arbeiten?
(Muster an der Uhr, Muster an der
Hundertertafel, am Kalender ...)
Zur UnterrichtsgestaltungZur Unterrichtsgestaltung
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Muster an der HundertertafelMuster an der Hundertertafel
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Muster und Strukturen am KalenderMuster und Strukturen am Kalender
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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8Lerntätigkeit
Lösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
�Verfestigung � Generalisierung � Verallgemeinerung �
ResultatLösung
6 • 8 = 48
• Fähigkeiten• Verfahrensk.• Gewohnheiten• Einstellungen
• Kenntnisseder GAG
„Inneres Bild“ vom Mathematikunterricht
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Ein moderner Mathematikunterricht verbindet Arithmetik und GeometrieEin moderner Mathematikunterricht verbindet Arithmetik und Geometrie
• Arithmetische Sachverhalte mit geometrische Aktivitäten verdeutlichen (z.B. dass die Summe zweier gerader Zahlen gerade ist)
• Geometrische Sachverhalte als Ausgangspunkt für arithmetischen Fragestellungen nutzen (z.B. die gezeichneten „Multiplikationsblumen“)
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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht
� Unterricht wird nicht dadurch anschaulich, dass genau die in den Sachverhalten benutzten Dinge vorhanden sind,
sondern vielmehr dadurch
� dass die Kinder grundlegende Erfahrungen besitzen, prinzipielle Mittel und Methoden des Veranschaulichens kennen und diese und ihre produktive Phantasie nutzen.
(vgl. Elefant)
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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht
... ebene Objekte,
also Plättchen ... ?
Nehmen wir ...
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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht
... runde Objekte?
Nehmen wir ...
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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht
...WÜRFEL !die Bausteine der Raumgeometrie
Nehmen wir ...
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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht
Für ein lernendes Kind sind Holzwürfel
� in der einen Situation Bausteine,
� in einer anderen Situation Goldstücke
zum Bezahlen und
� eine Stunde später Pflaumen, Äpfel usw. verkörpern.
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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht
Räumliche Objekte und Prozesse veranschaulichen
• Zahlen,
• Zahlbeziehungen und
• Operationen
Die Arbeit mit ihnen trägt zur kontinuierlichen Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens der Kinder bei.
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als Repräsentanten von Zahlenals Repräsentanten vonRechenoperationen (statisch)
als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)
1. Vorstellen von Objekten
2. Vorstellen von Prozessen
4 8 9 4 + 6 6 + 3
Bauen mit Würfeln und Vorstellen
7 + 2
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Formen und Anzahlen erfassenFormen und Anzahlen erfassen
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Anzahlen erfassen und mehr ...Anzahlen erfassen und mehr ...
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Anzahlen erfassen und mehr ...Anzahlen erfassen und mehr ...
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Anzahlen darstellen ...Anzahlen darstellen ...
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Anzahlen vergleichen - gedanklich umordnenAnzahlen vergleichen - gedanklich umordnen
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Anzahlen vergleichen - gedanklich umordnenAnzahlen vergleichen - gedanklich umordnen
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Beispiel: Anzahlen quasisimultan erfassen -dabei gedanklich zergliedern
Beispiel: Anzahlen quasisimultan erfassen -dabei gedanklich zergliedern
4 + 2 oder 3 + 3 6 + 2 oder 4 + 4
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Beispiel: Anzahlen erfassen -Strukturierungen und Strategien
Beispiel: Anzahlen erfassen -Strukturierungen und Strategien
Wie viele sind es? Wie hast du es gesehen? Erkläre
6 + 4 5 + 5
12 - 22 · 5 4 + 4 + 2
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Term und VeranschaulichungTerm und Veranschaulichung
Vorgabe: 2 D - Darstellung
Paul kam vorhin und sagte, dass hier die Aufgabe 4 + 3 passt. Kannst du einmal so färben, wie er dass meint?
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Vorstellen von Objekten
Horizontal- und Vertikaltrennung
Term und VeranschaulichungTerm und Veranschaulichung
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Vorstellen von Objekten
„Gute Gestalten“
Trennung parallel zur Ebene der Netzhaut des Auges (sagittal)
Term und VeranschaulichungTerm und Veranschaulichung
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Vorstellen von Prozessen
Term und VeranschaulichungTerm und Veranschaulichung
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Operationsverständnis entwickeln -Terme veranschaulichen
Operationsverständnis entwickeln -Terme veranschaulichen
9 + 14 + 4 8 + 2 4 + 3
6 + 46 + 2
8 + 5
6 + 4 5 + 3
6 + 36 + 3 7 + 2
Färbe passend zur Aufgabe
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Operationsverständnis entwickeln -Terme veranschaulichen
Operationsverständnis entwickeln -Terme veranschaulichen
• vom Sachverhalt zum Term(zu Sachverhalten Terme bilden)
• vom Term zum Sachverhalt (Terme interpretieren, Geschichten erzählen, Bilder zuordnen ...)
• erst dann Gleichungen
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Die Zahl als Maßzahl - LängeDie Zahl als Maßzahl - Länge
Gleichgültig, wie groß die Einheit gewähltwird, 4 ist immer die Mitte zwischen 0 und 8
Die Zahl ist Relationalzahl
40 8
0 4 8
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Die Zahl als RelationalzahlDie Zahl als Relationalzahl
Schulmathematik und „Straßenmathematik“
• 4 Joghurt zu je 47 Cent
• An der Kasse bei 5 Artikeln mit Preisen von 3,78€, 4,22€, 4,18€, 3,98€, 4,09€
• Wo liegt 475? Wie stellen wir uns 475 vor?
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Der Zahlenstrahl - (k)ein ProblemDer Zahlenstrahl - (k)ein Problem
• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl
• So nutzen wir den Zahlenstrahl
• Zahlenstrahl und leerer Zahlenstrahl („Rechenstrich“)
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Rechenwege darstellenRechenwege darstellen
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RECHENSTRATEGIENRECHENSTRATEGIEN
RECHENSTRATEGIEN
erarbeiten
festigen - beim Lösen
• erleben, welcher Weg für welcheAufgabe
• Erleben, welche Wege man „mag“
bewusst auswählen
• wählen kann nur, wer ...
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Rechenwege darstellenRechenwege darstellen
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Die Zahl als Maßzahl - FlächeDie Zahl als Maßzahl - Fläche
Lege mit Würfeln Rechtecke aus.
Bei welchen Zahlen gibt es viele Möglichkeiten?
Bei welchen Zahlen kannst du Quadrate legen?
Bei welchen Zahlen werden es nur „Schlangen“?
aus: MATHEMATIKUS - Klasse 1 (und später - Spiralen!!!)
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Idee der Gesetzmäßigkeiten und MusterIdee der Gesetzmäßigkeiten und Muster
� Zahlen und geometrische Objekte besitzen Beziehungen, die sich in Gesetzmäßigkeiten und Mustern widerspiegeln.
� Derartige Strukturen sind von Klasse 1 an der eigentliche Lerngegenstand der Mathematik.
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Es gibt gerade und ungerade Zahlen. Welche Zahlen sind gerade?
Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster
aus: MATHEMATIKUS - Klasse 1 (und später - Spiralen!!!)
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Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster
Die Summe zweier ungerader Zahlen iststets gerade.
aus: MATHEMATIKUS - Klasse 1 (und später - Spiralen!!!)
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Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch 3 teilbar.
Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster
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Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen ist ...
Die Summe von vier aufeinanderfolgenden Zahlen ist ...
Ausgehend von Handlungen können die Kinder selbst herausfinden, was hier und bei anderen Zahlen gilt.
Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster
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Warum kann man bei Produkten mit mehreren Faktoren die Faktoren in beliebiger Reihenfolge multiplizieren?
Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster
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Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?Wie viele sind es bei 100 Quadraten?Wer erkennt das Muster?
3
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Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster
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Wie viele Quadrate sind in jeder Figurzu sehen?
Wie viele sind es im Hunderterquadrat?
Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster
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Wie viele Schnittpunkte entstehen höchstens bei2 Geraden3 Geraden4 Geraden5 Geraden100 Geraden
Wer sieht die Regelmäßigkeit?
Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster
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Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster
Die Arbeit mit Mustern ist neben anderem von Bedeutung für die Entwicklung allgemeiner geistiger Fähigkeiten: Analysieren, Vergleichen, Abstrahieren, Konkretisieren
Konsequenz:Vom Kleinkindalter an mit Mustern arbeiten,Muster mit systematisch steigendem Schwierigkeitsgrad erfassen, fortsetzen, erfinden ...
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OrnamenteOrnamente
Zum Begriff Bandornament
ornare - schmücken
MOTIV und MUSTER
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Bandornamente
• Begriff
• Motiv und Muster
• wählen wir Motive ...
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OrnamenteOrnamente
• Wie viele verschiedene mag es wohl geben?
• Probieren Sie es mit Kindern aus!• Kinder können Ornamente herstellen: Mit
Stempeln (z.B. Kartoffeldruck), mit Schablonen, auf Kästchenpapier zeichnen
• eine Schablone kann gewendet werden, damit ist - im Gegensatz zum Stempeln - die Achsenspiegelung des Motivs möglich!!!
• Schablonen können die Kinder selbst aus Pappe ausschneiden
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Ornamente
nur Verschiebung, keinerlei Spiegelung
Ornamente
nur Verschiebung, keinerlei Spiegelung
b b b b b b b b b b b
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Ornamente
nur Punktspiegelung
Ornamente
nur Punktspiegelung
b b b b b q q q q q
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Ornamente
LängsspiegelungQuerspiegelung
(beidbeiniges Hüpfen)
Ornamente
LängsspiegelungQuerspiegelung
(beidbeiniges Hüpfen)
b b b bp p p p
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Ornamente
Querspiegelungkeine Längsspiegelung
Ornamente
Querspiegelungkeine Längsspiegelung
db db db db db db db
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Ornamente
Punktspiegelung,Längsspiegelung,Querspiegelung
Ornamente
Punktspiegelung,Längsspiegelung,Querspiegelung
b d b d b d b d p q p q p q p q
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Ornamente
Punktspiegelung Querspiegelung,
keine Längsspiegelung
Ornamente
Punktspiegelung Querspiegelung,
keine Längsspiegelung
db db db db qp qp qp
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Ornamente
Schubspiegelungkeine Längsspielung
keine Querspiegelung
Ornamente
Schubspiegelungkeine Längsspielung
keine Querspiegelung
b b b bp p p
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Nacheinanderausführung von Bewegungen
Nacheinanderausführung von Bewegungen
SQPP
VSS
PV(i)PQQ
QVPV (i)SL
PSQSVV
PSQLV
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BeobachtungsmöglichkeitenBeobachtungsmöglichkeiten
• Inwieweit kann das Kind Anzahlen erfassen und wie
macht es das?
• Ist das Kind insbesondere in der Lage, Figuren vor
dem Hintergrund zu erkennen?
• Nutzt das Kind Zahlen als Ordnungszahlen zum
Beschreiben eines Bandornamentes?
• Welche Farben kennt das Kind?
• Welche der Begriffe Dreieck, Viereck, Quadrat und
Kreis kennt es?
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BeobachtungsmöglichkeitenBeobachtungsmöglichkeiten
• Erkennt das Kind verschiedenste Repäsentanten geometrischer Begriffe (also beispielsweise auch ungleichseitige Dreiecke oder Vierecke, die keine Rechtecke sind als solche?
• Erkennt das Kind die Repräsentanten unabhängig von ihrer Lage, insbesondere also auch wenn keine Seite des Dreiecks oder Vierecks parallel zur Blattkante liegt?
• Über welche sprachlichen Fähigkeiten zum Beschreiben des Ornaments verfügt das Kind?
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BeobachtungsmöglichkeitenBeobachtungsmöglichkeiten
• Nutzt das Kind insbesondere Lagebeziehungen
(rechts, links, rechts von, links von, über, unter,
oben, unten, zwischen, …) zum Beschreiben des
Ornamentes?
• welche motorischen Fähigkeiten und Fertigkeiten
zeigte das Kind beim Fortsetzen des Ornaments?
• erfasst das Kind die dem Muster zugrunde liegende
Gesetzmäßigkeit?
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Bandornamente fortsetzen - LegenBandornamente fortsetzen - Legen
Hier und auf den folgenden Seiten sehen Sie, wie Vorschulkinder Ornamente fortsetzten. Analysieren Sie die Arbeit des Kindes und überlegen Sie, wie das Kind fortsetzte, was das Motiv für den Fehler war.
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Bandornamente fortsetzen - LegenBandornamente fortsetzen - Legen
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Bandornamente fortsetzen - LegenBandornamente fortsetzen - Legen
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Bandornamente fortsetzen - LegenBandornamente fortsetzen - Legen
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Bandornamente fortsetzen - LegenBandornamente fortsetzen - Legen
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Bandornamente fortsetzen - zeichnenBandornamente fortsetzen - zeichnen
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Bandornamente fortsetzen - zeichnenBandornamente fortsetzen - zeichnen
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Bandornamente fortsetzen - zeichnenBandornamente fortsetzen - zeichnen
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Bandornamente fortsetzen - zeichnenBandornamente fortsetzen - zeichnen
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Bandornamente fortsetzen - zeichnenBandornamente fortsetzen - zeichnen
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Muster auf unseren Wegen- Verbindung Mathematik - Umwelt - handlungsorientiert- fächerübergreifend
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H. Paulsen: Mit Zirkel, Lineal, Tusche und
Fantasie
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Zur UnterrichtsgestaltungZur Unterrichtsgestaltung
Hauptweg zur Realisierung der Ziele des Unterrichts -
Sicherung von geistiger Aktivität der Kinder, die auf den Aneignungsgegenstand gerichtet ist
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Zur UnterrichtsgestaltungZur Unterrichtsgestaltung
Geeignetes Arbeiten mit Aufgaben� Auswahl der Aufgaben� Anordnung der Aufgaben� Stellen der Aufgaben im Unterricht� Ingangsetzen und Inganghalten des Prozesses der
Aufgabenbearbeitung� Organisation der Rückbesinnung
� auf das Ergebnis� auf den Lösungsweg
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Zur UnterrichtsgestaltungZur Unterrichtsgestaltung
Ein breites Aufgabenspektrum einsetzen,Die Aufgaben überlegt anordnen
Die Aufgabe allein bewirkt wenig ...Sie ermöglicht für eine Unterrichtsgestaltung, die • jeden Schüler erreicht und • jedem Schüler Entwicklungsmöglichkeiten bietet.
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Tätigkeiten
• handwerklich-praktisch
• gedanklich-theoretisch
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Handeln und Lernen:
äußere Handlung und geistige Tätigkeit
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Quader - mehr als eine bunte Kiste ...
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100
www.mathematikus.de
Freeware des Projektes EGOS
entwickelt an der Uni Rostock
derzeit fortgeführt
An der PH Schwäbisch Gmünd