Didaktik der Arithmetik Klasse 1-3 SS 2009 Hans-Dieter Rinkens
InhaltLehrplan Mathematik für die Grundschule des Landes NRW
Arithmetische Vorkenntnisse am SchulanfangArithmetische Vorkenntnisse am Schulanfang
Zahlaspekte, Zählen, Zahlzeichen
Zum Gleichheitszeichen
M t i li i A f t i htMaterialien im Anfangsunterricht
Addieren und Subtrahieren: Grundvorstellungen und Grundverständnis
Beginn der Rechenfertigkeit bei Erstklässlern
Addieren und Subtrahieren: Rechen-Strategien
Der Zahlenraum bis 100: Aufbau und additives Rechnen
Multiplizieren und Dividieren: Grundvorstellungen Grundverständnis EinmaleinsMultiplizieren und Dividieren: Grundvorstellungen, Grundverständnis, EinmaleinsPrinzipien des Übens
Der Zahlenraum bis 1 Million: Stellenwertsystem
Halbschriftliches Rechnen
Umgang mit Größen: Geld, Zeit, Länge, Gewicht
Umgang mit Dateng g
Heterogenität: Hochbegabung und Dyskalkulie
Was ist eine gute Lehrerin/ ein guter Lehrer?
Multiplizieren und Dividieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins
• Kernlehrplan Mathematik für die Grundschule
• Multiplizieren: Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins-Reihen• Phasen der Begriffsbildung
G d ll (A k ) d M l i li i• Grundvorstellungen (Aspekte) des Multiplizierens
• Grundverständnis des Multiplizierens
Ei l i R ih• Einmaleins-Reihen
• Dividieren: Grundvorstellungen und Grundverständnis
• Grundvorstellungen (Aspekte) des Dividierens
• Grundverständnis des Dividierens
• Stoff-Abfolge Multiplikation - Division
• Division mit Rest: Schreibweise
Stoff Abfolge Multiplikation Division
3• Einmaleins-Zahlen in der Hundertertafel
Ministerium für Schule und Weiterbildung – NRWLehrplan Mathematik für die Grundschule des Landes NRW
Bereich: Zahlen und Operationen Schwerpunkt: Operationsvorstellungen
Kompetenzerwartungen am Ende der Schuleingangsphase
Die Schülerinnen und Schüler
• ordnen Grundsituationen (z.B. dem wiederholten Hinzufügen oder wiederholten Wegnehmen gleicher Anzahlen) Malaufgaben oder Ver- bzw. Aufteilaufgaben zu
• wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Operationen (mit Material, bildlich, symbolisch und sprachlich) hin und her
• entdecken, nutzen und beschreiben Operationseigenschaften (z. B. Umkehrbarkeit) und Rechengesetze an Beispielen (Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz usw )(Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz usw.)
• verwenden Fachbegriffe richtig (plus, minus, mal, geteilt)
Ministerium für Schule und Weiterbildung – NRWLehrplan Mathematik für die Grundschule des Landes NRW
Bereich: Zahlen und Operationen Schwerpunkt: Schnelles Kopfrechnen
Kompetenzerwartungen am Ende der Schuleingangsphase
Die Schülerinnen und Schüler
• geben die Kernaufgaben Erläuterung und einzelne weitere Aufgaben des kleinen Einmaleins automatisiert wieder
Kompetenzerwartungen am Ende der Klasse 4
Die Schülerinnen und Schüler
• geben alle Zahlensätze des kleinen Einmaleins automatisiert wieder und leiten deren Umkehrungen sicher ab
Ministerium für Schule und Weiterbildung – NRWLehrplan Mathematik für die Grundschule des Landes NRW
Bereich: Zahlen und Operationen Schwerpunkt: Zahlenrechnen
Kompetenzerwartungen am Ende der Schuleingangsphase
Die Schülerinnen und Schüler
• nutzen Zahlbeziehungen (z. B. Nachbarzahlen) und Rechengesetze (z. B. Kommutativgesetz) für vorteilhaftes Rechnen
• beschreiben (eigene) Rechenwege für andere nachvollziehbar mündlich oder in schriftlicher Form
Multiplizieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins
•• MultiplizierenMultiplizieren:Grundvorstellungen Grundverständnis Einmaleins-ReihenGrundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins Reihen
• Phasen der Begriffsbildung
• Grundvorstellungen (Aspekte) des Multiplizierens• Grundvorstellungen (Aspekte) des Multiplizierens
• Grundverständnis des Multiplizierens
• Einmaleins Reihen• Einmaleins-Reihen
7
Multiplizieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins
Interview mit Julia
Der Peter, der geht 3-mal zum Schrank und nimmt immer 4 Teller auf einmal Wie viele Teller hat er dann weggebracht?einmal. Wie viele Teller hat er dann weggebracht?
(sofort) 12
Oh toll, wie hast du denn das so schnell rausgefunden, mmh?
Ich habe erst 4 plus 4 gerechnet und dann 2, das sind dann 10 und dann nochmal 2, d i d d 12das sind dann 12.
Schön, ja.
(aus Selter/Spiegel)8
Multiplizieren Phasen der Begriffsbildung
GrundvorstellungenGrundvorstellungenbilden die Grundlage für die
Von der Handlung zur Operation:Mengen/Mengen/ Größen Handlung Neue Menge/
Größe
zählen/ messen zählen/ Grundmessen messenGrund-
vorstellung
Zahlen ZahlZahlen Zahl
Operation9
Multiplizieren Phasen der Begriffsbildung
„Sach-Rechnen“:GrundvorstellungenGrundvorstellungen
bilden die Grundlage für die
Mengen/„Sach-Rechnen“:
Mengen/ Größen Handlung Neue Menge/
Größe
zählen/ messen Grundmessen Grund-
vorstellung
Zahlen ZahlZahlenOperation
10
Multiplizieren Phasen der Begriffsbildung
Eine GrundvorstellungGrundvorstellung ermöglicht eine Übersetzung aus der Handlung in die mal-Aufgabe.
Die Frage nach dem Ergebnis wird anfangs situativ und subjektiv unterschiedlich beantwortet.
SachsituationPeter geht 3-mal...
Grundvorstellungder Operation
Mal-Aufgabe 3 • 4
Später: Peter geht 3 mal... ...jedesmal 4Teller
der Operation 3 4 Einmaleins
Ergebnis4 + 4 + 4
Beantwortunganfangs: situativ
FrageWie viele Teller ?Teller...?
Anfangsphase mit demAnfangsphase mit dem
11
Multiplizieren Grundvorstellungen
räumlich-simultan
zeitlich-sukzessiv
„mal“proportional kombinatorischp p kombinatorisch
HandlungRollenspiel
ErzählungBeschreibungRollenspiel
(„enaktiv“)Beschreibung(„Sprache“)
Bildbildhafte Darstellung
( ik i h“)(„ikonisch“)
Rechensatz(„symbolisch“) 12
Multiplizieren Grundvorstellungen
räumlich-simultan Wiederholung derselben Anordnung
• Auf dem Tisch stehen drei Teller, auf jedem Teller vier Äpfelauf jedem Teller vier Äpfel.
• Das Regal hat drei Bretter, g ,auf jedem Brett stehen vier Kartons.
„Feld-Darstellung“
13
Multiplizieren Grundvorstellungen
zeitlich-sukzessiv Wiederholung derselben Handlung
• Peter geht dreimal in den Keller, er holt jedesmal vier Äpfel.
HandlungRollenspiel
ErzählungBeschreibung
(„enaktiv“)g
(„Sprache“)
Bildbildhafte Darstellung
(„ikonisch“)(„ikonisch )
14
Multiplizieren Grundvorstellungen
proportional Proportionale Zuordnung
• Tim hat 4 Euro, Anne hat dreimal so viel.
D lb G öß b i hDerselbe Größenbereich
1 1 1 1 1 1 1 1
Tim AnneOperator-Aspekt
11 11 11 11
Operator Aspektder Zahl
• Anne kauft drei Stück Seife, jedes Stück kostet 4 Euro.
V hi d G öß b i h
4 €
Verschiedene GrößenbereicheMenge Preis1 Stück 4 €
4 €4 €
1 Stück 4 €
2 Stück 8 €
3 Stück 15
Multiplizieren Grundvorstellungen
kombinatorisch Kombination von Möglichkeiten
• Anne hat für ihre Puppe drei Röckchen und vier Pullis. Si i ht i j d T dSie zieht sie jeden Tag anders an.
• Vom Turm zur Mühle gibt es drei Wege, von der Mühle zum See vier. Und vom Turm zum See?
Turm Mühle SeeSee
16
Multiplizieren Grundvorstellungen
räumlich-simultan
zeitlich-sukzessiv
„mal“+ + + + + ‐
proportional kombinatorisch
+ + + ‐ ‐0
+ ‐ 0
Wichtige Einfache situative
Ermittlung desBegriffserweiterungauf Dezimalzahlen
AnwendungenErmittlung des Ergebnisses
auf Dezimalzahlen möglich
17
Multiplizieren Grundverständnis
Einsicht in die Gesetzmäßigkeit der „Nachbar-Aufgaben“
„Wenn du einen Faktor um 1vergrößerst oder verkleinerst,
l i h di vergrößert oder verkleinert sich das Ergebnis
d d F kt “
vergleiche die
um den anderen Faktor.“
Aufgabe: 9 • 7 = ? 7 • 19 = ?Lö 10 7 70 7 20 140Lösung: 10 • 7 = 70 7 • 20 = 140 Also 9 • 7 = 63 7 • 19 = 133
von der KernKern--AufgabeAufgabe 5 • 4
NachbarNachbar AufgabeAufgabe 6 4zur NachbarNachbar--AufgabeAufgabe 6 • 4
18
Multiplizieren Grundverständnis
Einsicht in die Gesetzmäßigkeit der „Tauschaufgaben“
Wenn du beide Faktoren vertauschst, bleibt das Produkt gleich.
nicht in jederg
Kommutativ-Gesetz a • b = b • a
19
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
Übersetzung aus der Handlung
i di l A f bin die mal-Aufgabeüber
anfangsErmittlung des Ergebnisses der mal-Aufgabeanfangs
situativ und subjektiv unterschiedlich
ddanndurch Aufbau der
-KenntnisseKenntnisse
20
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
Das „wiederholte Hinzufügen“
von der Aufgabe 3 • 4von der Aufgabe 3 • 4
zur Nachbar-Aufgabe 4 • 4
von der Aufgabe 3 • 4
zur Nachbar-Aufgabe 4 • 4
von der Aufgabe 3 • 4
zur Nachbar-Aufgabe 4 • 4
... 5 • 45 • 4
6 • 4
drängt zur Reihenbildung
„Vierer-Sprünge“
„Vierer-Reihe“
3 • 43 • 4In den meisten Anwendungssituationen
des Malnehmens ist die erste ZahlMultiplikaMultiplikatortor • MultiplikandMultiplikaMultiplikatortor • Multiplikand
des Malnehmens ist die erste Zahl
die „handelnde Zahlhandelnde Zahl“. 21
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
UmstrukturierungUmstrukturierungAnwendung Reihenbildung
1- Wie oft? 1
der SichtweiseAnwendung Reihenbildung
12-3-4- mal 7
Wie oft? 1234 mal 74- mal
5-6-
7 456
mal 7
... ...
4 • 7 ist eine Aufgabe der Siebener-Reihe4 • 7 ist eine Aufgabe der Siebener-Reihe4 • 7 ist eine Aufgabe der Siebener-Reihe
7 • 4 ist eine Aufgabe der Vierer-Reihe
4 • 7 ist eine Aufgabe der Siebener-Reihe
7 • 4 ist eine Aufgabe der Vierer-Reihe
Starre ReihenbildungReihenbildung durch TauschTausch--AufgabenAufgaben öffnen.22
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
„Veranschaulichung“„Veranschaulichung“ der Reihenbildung durch
PunktePunkte--FeldFeld
• Betonung des räumlich simultanen Aspektes
• Unterstützung der Einsicht in den Zusammenhang zwischen Aufgabe und Tauschaufgabe
Sprünge am ZahlenstrahlSprünge am Zahlenstrahl
• Betonung des zeitlich-sukzessiven Aspektes
• Unterstützung des Zusammenhangs zur Zahlenreihe
TabelleTabelle
• abstrakteste Darstellungsform des „rhythmischen Zählens“• Betonung des proportionalen Aspektes
23
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
MaschinenMaschinen ModellModell
„Veranschaulichung“„Veranschaulichung“ der Reihenbildung durch
MaschinenMaschinen--ModellModell
Die „mal-4-Maschine“ 41 2 3 4 vervierfacht alle Zahlen, die
man in sie hineinsteckt.4 8 12 16• 4
OperatorOperator--PfeilPfeilals Kurzschreibweise
• 4
TabelleTabelle• 4
verdeutlicht den funktionalen Aspekt
TabelleTabelle1 42 8
funktionalen Aspektdes Multiplizierens. 3 12
4 16 24
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
Abfolge der Behandlung der Einmaleins-Reihen
Zwei Kriterien:
• kleine Schritte vor großen Schritten
• Betonung der Verwandtschaft der Reihen
Vorschläge in der Schulbuch-Literatur:
• Variante A:
• Variante B:
• Variante C: 3 43 4
QuadratzahlQuadratzahl--SätzeSätze
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
Gib jeder
eineneinen
ZumZum
Zweier-Reihe
Fünfer-ReiheSechser-Reihe
Achter ReiheZehner Reihe
Vierer-Reihe Siebener-Reihe
Achter-ReiheZehner-Reihe
Dreier-Reihe Neuner-Reihe
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
Behandlung der Einmaleins-Reihen
von den KernKern--AufgabenAufgaben
zu den NachbarNachbar--AufgabenAufgaben
KernKern--AufgabenAufgaben:
Aufgaben und TauschTausch--Aufgaben Aufgaben der ZweierZweier--, ZehnerZehner-- und FünferFünfer--ReiheReihe,
Q d t hlQ d t hl SätSätQuadratzahlQuadratzahl--SätzeSätze
27
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
EinmaleinsEinmaleins--TafelnTafeln
ErgebnisErgebnis TafelTafelErgebnisErgebnis--TafelTafel
• gibt in der Aufbauphase den wachsenden eigenen• ist Informationsspeicher• gibt in der Aufbauphase den wachsenden eigenen
Kenntnisstand wieder• kann als Lösungskontrolle genutzt werdeng g• zeigt Strukturen wie die Kommutativität explizit auf
AufgabenAufgaben--TafelTafel• ist Übungsform• betont den Zusammenhang der Reihen• enthält die Kommutativität nur implizit
b t t B d h it i di Q d t hl• betont Besonderheiten wie die Quadratzahlen
28
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
ErgebnisErgebnis--TafelTafel
SonnenSonnen--AufgabenAufgaben
in derin derin derin der
EinmaleinsEinmaleins--TafelTafel
29
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
RechenRechen--StrategienStrategien
hier Kannst d die Ta sch A fgabe?hier: Kannst du die Tausch-Aufgabe?
hier: Findest du eine Nachbar Aufgabe die du kannst?hier: Findest du eine Nachbar-Aufgabe, die du kannst?
hier: Kannst du die passende Einmaleins-Reihe?p
Multiplizieren Einmaleins-Reihen
Verschiedene Fragestellungen
• Produkt gesucht 6 • 3 = x
1 F kt ht 3 18 Wi i l D i S ü• 1. Faktor gesucht x • 3 = 18 Wie viele Dreier-Sprünge
brauchst du?
Untersuche die Dreier-Reihe.
• 2. Faktor gesucht 6 • x = 18 Suche die passende Reihe.
32
Dividieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins
•• DividierenDividieren:
• Grundvorstellungen (Aspekte) des Dividierens
Grundvorstellungen und Grundverständnis
• Grundvorstellungen (Aspekte) des Dividierens
• Grundverständnis des Dividierens
Di i i i R S h ib i
StoffStoff Abfolge MultiplikationAbfolge Multiplikation DivisionDivision
• Division mit Rest: Schreibweise
• StoffStoff--Abfolge Multiplikation Abfolge Multiplikation -- DivisionDivision
33
Dividieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins
Erlebnisbericht einer Referendarin (V.S. Dez. 1999)
Im 1 Schuljahr habe ich heute Weihnachtskerzen mit Teelichtern undIm 1. Schuljahr habe ich heute Weihnachtskerzen mit Teelichtern und Wellpappe gebastelt. Jedes Kind hat 3 Kerzen in verschiedenen Größen gebastelt. Als Verzierungen sollten kleine Goldsterne auf die Kerzen geklebt werden.
Jedes Kind hat für seine Kerzen 12 Sternchen abgeschnitten bekommen.
Irgendwie kam mir die Idee zu sagen, dass auf jeder Kerze gleich viele Sterne sein müssen!
Fast alle Kinder begannen die Sterne einzeln zu verteilen.
Dominik (ein Kind mit dem hohen IQ am Rande der Hochbegabung - Tests sind gelaufen) klebte gleich 4 auf jede Kerze.
Folgender Dialog entstand:
34
Multiplizieren und Dividieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins
LAA: Woher weißt du, dass 4 auf jede Kerze müssen?
D: Gut ne?
LAA: Ja sehr gut, aber wie bist du darauf gekommen? Kannst du mir das erklären?
D: Ja guck mal, ich habe erst gedacht 2 auf jede, dann hätte ich 6 verbraucht …
LAA H j d?LAA: Hmm, ja - und?D: Ja, dann sind doch nochmal 6 da, also kann ich nochmal 2 auf jede machen,
also 4!LAA: O.k. Das ist richtig. Was wäre denn, wenn du 4 Kerzen bekleben müsstest?
D: Vier?LAA Ja!LAA: Ja!
D: (überlegt über eine Minute) LAA: Gut wie hast du das heraus bekommen?
3. Auf jede 3.LAA: Gut, wie hast du das heraus bekommen?
D: Ja wieder so.LAA: Hmm, sags nochmal!
D: Ja erst wieder auf jede 2. Dann sind es 8. Und noch 4. Dann sind es 3.
LAA: Super! 35
Dividieren Grundvorstellungen
aufteilenaufteilen verteilenverteilen
durch
Auf dem Schulhof sind 56 Kinder.
Immer 8 Kinder bilden eine Gruppe.
Es werden 8 Gruppen gebildet, alle gleich groß.
Wie viele Gruppen Wie viele Gruppen gibt es? Wie viele Kinder Wie viele Kinder sind in einer Gruppe?
36
Dividieren Grundvorstellungen
Die Standard-Situation des Dividierens:
Bekannt: Anzahl der GesamtmengeBekannt: Anzahl der GesamtmengeBedingung: Gleich große (disjunkte) Teilmengen
• • •
aufteilenaufteilen verteilenverteilen
Bekannt :Größe der Teilmengen
Bekannt: Anzahl der Teilmengen
durchGröße der Teilmengen. Anzahl der Teilmengen.
Frage: Wie viele Teilmengen?
Frage: Wie groß ist eine Teilmenge?Wie viele Teilmengen? Wie groß ist eine Teilmenge?
37
Dividieren Grundvorstellungen
ermöglichen eine Übersetzung aus der Handlung in die durch Aufgabeaus der Handlung in die durch-Aufgabe.
Die Frage nach dem Ergebnis wird anfangs
Sit ti Lö b h ft f
g g gsituativ und subjektiv unterschiedlich beantwortet.
Situative Lösungen beruhen oft auf fortgesetztem Wegnehmen/Subtrahieren.
Beim Aufteilen weiß man, wie viel man jedesmal von der Gesamtmenge wegnehmen soll
beim Verteilen nicht ( >mühsam)beim Verteilen nicht (->mühsam).
Kinder wählen beim Verteilen oft Probierverfahren, die dem Aufteilen ähneln.
38
Dividieren Grundverständnis
Situative Lösungen von durch-Aufgaben sind mühsam und im Hinblick auf strukturelle Einsicht meist unergiebig.
Daher gehört fundamental zumG d tä d iG d tä d i d Di idiGrundverständnis Grundverständnis des Dividierens:
die Einsicht in den Zusammenhang zum MultiplizierenZusammenhang zum Multiplizieren
• • •
A hl d T il l G öß d T il l i h G t hlAnzahl der Teilmengen mal Größe der Teilmengen gleich Gesamtzahl
39
Dividieren Grundverständnis
Die Standard-Situation des Dividierens:
Bekannt: GesamtzahlBedingung: Gleich große (disjunkte) Teilmengen
Bekannt: Gesamtzahl Größe der Teilmengen Gesucht: Anzahl der Teilmengen
Anzahl der Teilmengen mal Größe der Teilmengen gleich Gesamtzahl
Bekannt: Gesamtzahl, Größe der Teilmengen Gesucht: Anzahl der Teilmengen
aufteilenaufteilen
• • •
verteilenverteilenverteilenverteilen
Bekannt: Gesamtzahl, Anzahl der Teilmengen Gesucht: Größe der Teilmengen
Anzahl der Teilmengen mal Größe der Teilmengen gleich Gesamtzahl40
Dividieren Division mit Rest
aufteilenaufteilen verteilenverteilen
durch
Auf dem Schulhof sind 50 Kinder.
Immer 8 Kinder bilden eine Gruppe.
Es werden 8 Gruppen gebildet, alle gleich groß.
Wie viele Gruppen Wie viele Gruppen gibt es?
g g
Wie viele Kinder Wie viele Kinder sind in einer Gruppe?einer Gruppe?
Antwort: Antwort:Es gibt 6 GruppenGruppen,zwei KinderKinder bleiben übrig.
In jeder Gruppe sind 6 KinderKinder,zwei KinderKinder bleiben übrig. 41
Dividieren Division mit Rest
50 : 8 = ?Wie schreibt man die Antwort in Kurz-Form?
RestRest--SchreibweiseSchreibweise („traditionell“ und immer noch sinnvoll):(„ )
50 : 8 = 6 Rest 250 : 8 = 6 Rest 2, manchmal abgekürzt zu 50 : 8 = 6 R 2
Algorithmischer Gebrauch des Gleichheitszeichens
Konflikt mit dem logisch/algebraischen Aspekt des Gleichheitszeichens:
Algorithmischer Gebrauch des Gleichheitszeichens
„Sind zwei Dinge einem dritten gleich, dann sind sie auch einander gleich“.
7 : 2 = 3 Rest 113 : 4 = 3 Rest 1aber 7 : 2 ≠ 13 : 4
42
Dividieren Division mit Rest
50 : 8 = ?Wie schreibt man die Antwort in Kurz-Form?
„Korrektur-Versuch“ der Rest-Schreibweise:
Z l h ib iZ l h ib i 50 6 8 + 250 6 8 + 2Zerlegungsschreibweise:Zerlegungsschreibweise: 50 = 6 • 8 + 250 = 6 • 8 + 2
Nachteile:• Beschreibt die Anwendungssituation meist nicht angemessen.• Macht aus einer Divisions-Aufgabe einen Rechen-Satz,
i d d Di i i Z i h i ht h k tin dem das Divisions-Zeichen gar nicht mehr vorkommt. Häufiger Schülerfehler: 50 : 8 = 6 + 2
• Rechts vom Gleichheitszeichen steht ein Term der wie eine Aufgabe• Rechts vom Gleichheitszeichen steht ein Term, der wie eine Aufgabe aussieht, nicht wie ein Ergebnis;richtig wäre auch: 50 = 5 • 8 + 10 , ist aber kein „Ergebnis“.g g
• Schreibaufwand43
Dividieren Division mit Rest
Divisionsschreibweise:Divisionsschreibweise: 50 : 8 = 6 + 2 : 850 : 8 = 6 + 2 : 8„Korrektur-Versuch“ der Rest-Schreibweise:
Divisionsschreibweise:Divisionsschreibweise: 50 : 8 6 + 2 : 8 50 : 8 6 + 2 : 8 im Lehrplan 2003 NW vorgesehene Endform Hintergrund: Distributiv-Gesetz (48 + 2) : 8 = 48 : 8 + 2 : 8
Vorteil:Vorform für die Entwicklung der Bruchzahlen in der Sekundarstufe
Nachteile:ac te e• Beschreibt die Anwendungssituation oft nicht angemessen.• Rechts vom Gleichheitszeichen steht ein Term, der wie eine Aufgabe
aussieht, nicht wie ein Ergebnis; richtig wäre auch: 50 : 8 = 5 + 10 : 8 , ist aber kein „Ergebnis“. Es erscheint fremd im Ergebnis einer durch Aufgabe wieder eineEs erscheint fremd im Ergebnis einer durch-Aufgabe wieder eine durch-Aufgabe zu notieren. Häufiger Schülerfehler: 50 : 8 = 6 + 2
• „Punkt-vor-Strich“-Konvention muss beachtet werden:„6 + 2 : 8 ist nicht gleich (6 + 2) : 8
• Schreibaufwand 44
Dividieren Division mit Rest
50 : 8 = ?Wie schreibt man die Antwort in Kurz-Form?
Es bietet sich an:
• die RestRest--Schreibweise Schreibweise zu benutzen, solange der Zusammenhang
zwischen Situation und Rechen-Satz im Vordergrund steht.
Die Restschreibweise beschreibt die Situation angemessenDie Restschreibweise beschreibt die Situation angemessen.
• die DivisionsDivisions--SchreibweiseSchreibweisefrühestens im Zusammenhang mit dem halbschriftlichen
oder erst mit dem schriftlichen Dividieren i füheinzuführen.
45
Dividieren Stoff-Abfolge Multiplikation - Division
Aus zwei Zahlen kann man immer eineplus-Aufgabe oder eine mal-Aufgabeplus Aufgabe oder eine mal Aufgabe (mit der Tausch-Aufgabe sogar zwei)und eine minus-Aufgabe machen,
Aber nicht immer Aber nicht immer eine durcheine durch--Aufgabe!Aufgabe!
wobei das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl ist.
3
54
20
11
310 8
46
Dividieren Stoff-Abfolge Multiplikation - Division
Beim Dividieren geht dies nur, wenn
Aus zwei Zahlen kann man immer eineplus-Aufgabe oder eine mal-Aufgabe ( it d T h A f b i) wenn...
...die 1. Zahl, der Dividend, zur 2. Zahl, dem Divisor,
(mit der Tausch-Aufgabe sogar zwei)und eine minus-Aufgabe machen,
wobei das Ergebnis wieder eine , ,passt.
wobei das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl ist.
Passen heisst:Der DividendDividend ist Ergebniszahl in der Einmaleins-Reihe des Divisors.
Erfolgreiches Dividieren setzt die Kenntnis der EinmaleinsKenntnis der Einmaleins--Reihen Reihen voraus.
Deshalb ist die Herausstellung des Z h i hZ h i h Di i i dDi i i d M lti lik tiM lti lik tiZusammenhangs zwischen Zusammenhangs zwischen Division und Division und MultiplikationMultiplikation
besonders wichtig. 47
V hlä St ff Abf l M lti lik ti Di i i
Dividieren Stoff-Abfolge Multiplikation - Division
Vorschläge zur Stoff-Abfolge Multiplikation - Division in der Schulbuch-Literatur:A Trennung nach Operationen:A. Trennung nach Operationen:
1. Entwicklung des MultiplizierensMultiplizierens von den Grundvorstellungen bis zu den Einmaleins-Reihen mit einer gewissen Rechen-Fertigkeitzu den Einmaleins Reihen mit einer gewissen Rechen Fertigkeit
2. Einführung des DividierensDividierens ohne und mit Rest Zusammenhang zum MultiplizierenEntwicklung der Rechenfertigkeit unter Ausnutzung der Einmaleins-Kenntnisse
B. Integration der Division:1. Grundvorstellungen des MultiplizierensMultiplizierens und des DividierensDividierens, sowie
der Zusammenhang des Dividierens mit dem Multiplizieren2. Durcharbeitung der Einmaleins-Sätze einschließlich der durch-
f fAufgaben als Umkehr-Aufgaben3. Division mit Rest 50