Bis hierher haben wir gesehen, dass die Struktur unserer Raum-Zeit von jedem Inertial-system aus dasselbe Bild ergibt. Das Prinzip der Relativitat verlangt aber mehr. Auch diephysikalischen Gesetze sollen von jedem Inertialsystem aus betrachtet gleich lauten. Diesephysikalische Erfahrung wurde ursprunglich in der Mechanik gemacht. Damit wollen wiruns jetzt befassen. Die Elektrodynamik betrachten wir spater in Kap. 35.Die Formulierung der Newtonschen Mechanik hat nicht die klassische Raum-Zeit zur
Voraussetzung. Die Newtonschen Gesetze gehen aber davon aus, dass in der Mechanikein Relativitatsprinzip wirksam ist:
Es ist unmoglich, in der Mechanik ein Experiment anzugeben, durch dasein Inertialsystem vor einem anderen ausgezeichnet wurde.
(137)
Jetzt haben wir es also mit der Ausdehnung des Relativitatspostulats auf physikalischeGesetze zu tun, hier auf die Gesetze der Mechanik.Ausgehend von der elementaren Relativitat in der Beschreibung der Raum-Zeit, mussen
wir einen Erfahrungssatz formulieren, damit die Bewegungsgesetze der Mechanik demPrinzip (137) unterworfen werden konnen. Dieses Prinzip lautet:23
Wird eine physikalische Kraft in zwei Inertialsystemen gemessen, dann stimmendie beiden Messwerte uberein.
(138)
Wirkt z. B., eindimensional betrachtet, im System Σo auf einen Korper K eine KraftF = 1N , so wird auch in Σ′ gemessen, dass an dem Korper K die Kraft F ′ = 1Nangreift. (Hierbei steht N fur
”Newton“ , das wir unten als Maßeinheit der Kraft im
SI-System einfuhren werden.)Diese Aussage ist nicht trivial. Mit ihrer Hilfe werden wir die Newtonschen Axiome
der Mechanik entweder an die klassische oder an die relativistische Raum-Zeit anpassenkonnen, so daß jeweils die Aquivalenz aller Inertialsysteme erfullt ist.
19 Die Newtonschen AxiomeDas Erste Newtonsche Axiom stellt fest, dass es Bezugssysteme gibt, in denen einKorper, auf den keine physikalischen Krafte einwirken, im Zustand der Ruhe oder dergleichformigen Bewegung verharrt. Es heißt auch das Galileische Tragheitsgesetz. DieseBezugssysteme haben wir in Kap. 2 als Inertialsysteme eingefuhrt.Das Zweite Newtonsche Axiom konstatiert fur den Impuls p = mu = mdx/dt einer
Masse m , die sich mit der Geschwindigkeit u unter der Wirkung einer Kraft F gemaßx = x(t) bewegt, dass die zeitliche Anderung des Impulses in einem solchen Inertialsystemdieser Kraft proportional ist,
d
dtp ≡ d
dt(mu) ∼ F −→ d
dt(mu) = k F .
Das ZweiteNewtonsche Axiom
(139)
23Fur die Lorentz-Kraft kann dieses Prinzip in der relativistischen Mechanik geladener Teilchen mitHilfe der Elektrodynamik explizit verifiziert werden, s. Kap. 34, S. 175 ff. und Kap. 35, S. 206 ff.
Die Proportionalitatskonstante k wird durch die Maßeinheit fur die Kraft festgelegt.Wir erinnern zuerst an die Festlegung der Masseneinheit. Wie vor zweihundert Jahren
gilt hier: Der in Paris aufbewahrte Kilogramm-Prototyp definiert die Maßeinheit desKilogramms im SI-System:24
1 kg ist die Maßeinheit fur die Masse im SI-Maßsystem.
Wir definieren dann: Ein Newton ist die Kraft, die einer ruhenden Masse von einemKilogramm die Beschleunigung von einem Meter pro Sekunde zum Quadrat erteilt. Dawir nicht wissen, ob sich die Masse eines Korpers vielleicht mit ihrer Geschwindigkeitandert, s. u. Gleichung (146), wird unsere Festsetzung durch die Annahme einer ruhendenAusgangsmasse eindeutig:
Ein Newton, 1N = 1kg · 1m · 1s−2, ist die Maßeinheit fur die Kraft im SI-Maßsystem.
Das Newton ist also eine aus den Basis-Maßeinheiten Meter, Kilogramm und Sekundedes SI-Systems sekundar eingefuhrte Krafteinheit, derart, dass nun fur die Konstante in(139) k = 1 gilt. Die Maßeinheit Dyn ≡ 103dyn mit 102 Dyn= 1 N ist heute veraltet.Auch im absoluten Maßsystem, wo man grundsatzlich alle Großen auf die drei Basis-
Maßeinheiten fur Lange, Masse und Zeit zuruckfuhrt, bleibt das Newton die Krafteinheit,wenn man anstelle der alten cgs-Einheiten Zentimeter und Gramm die MaßeinheitenMeter und Kilogramm zugrunde legt, so dass in der Mechanik zwischen dem SI-Systemund dem modernen absoluten Maßsystem noch nicht unterschieden werden muss.25
Fur das Zweite Newtonsche Axiom (139) konnen wir damit schreiben
d
dtp =
d
dt(mu) =
d
dt(m
d
dtx) = F .
Das ZweiteNewtonsche Axiom
(140)
Setzen wir hier F = 0 , so folgt die Aussage des Ersten Axioms
p = mu = const fur F = 0 .Das ErsteNewtonsche Axiom
(141)
Das Dritte Newtonsche Axiom, das sog. Gegenwirkungsaxiom actio = reactio, stellteine allgemeine Eigenschaft fur alle Wechselwirkungskrafte, fur die Krafte Fba der Massemb auf die Masse ma fest, namlich die Gleichung
Fba = −Fab .Das DritteNewtonsche Axiom
(142)
Gemaß (142) ist die Kraft, die das Teilchen mb auf ma ausubt, entgegengesetzt gleichder Kraft des Teilchens ma auf mb . Mit (142) ist auch gesagt, dass ein Teilchen auf sichselbst keine Kraft ausubt, es gilt also Faa = 0 .
24Danach sind dann ein Mol, also L = 6, 0221367 ·1023 Atome des Kohlenstoffisotops 12C , gerade 12 g.Wegen der Unsicherheit in der Bestimmung der Loschmidt-Zahl L (die auch Avogadro-Zahl heißt) istdiese Aussage aber bis heute noch nicht genauer als die Festlegung uber das Urkilogramm.
25Nicht mehr im Gebrauch ist die Maßeinheit ein Kilopond, 1kp = 9,80665 N, die gleich dem Gewichtdes kilogramme des archive in Paris ist und dem Gewicht von einem Liter Wasser bei 4o C entspricht.
19 Die Newtonschen Axiome 77
Grundsatzlicher als die in dieser Form (142) formulierte Eigenschaft der inneren Krafteeines Systems von Teilchen ist eine daraus herleitbare Konsequenz, die wir deswegen eben-falls als das Dritte Axiom der Mechanik bezeichnen wollen.Bei n Teilchen mit den Massen ma an den Positionen xa gilt die Gleichung (140)
zunachst fur jedes einzelne Teilchen,
d
dtpa =
d
dt(ma
d
dtxa) =
n∑b=1
Fba + Fa . (143)
Hier ist Fa eine außere, auf das Teilchen ma einwirkende Kraft.Aus (142) folgt fur die Wechselwirkungskrafte Fba die allgemeine Eigenschaft
n∑a=1
n∑b=1
Fba = 0 . (144)
Fur ein System aus n Teilchen, die allein ihren Wechselwirkungskraften ausgesetztsind, folgt durch Summation aus (143) und (144) die Erhaltung des Gesamtimpulses
P :=n∑
a=1pa ,
Fa=0 :d
dt
n∑a=1
pa=d
dt
n∑a=1
maua =d
dtP = 0.
Das Dritte Newtonsche AxiomErhaltung des Gesamtimpulses
(145)
Dieser Erhaltungssatz fur ein abgeschlossenes, nur unter der Wirkung von innerenKraften stehendes System, ist eine fundamentale Eigenschaft. In der relativistischen For-mulierung der Mechanik werden wir die Newtonsche Formulierung (142) durch das Gesetz(145) ersetzen mussen. Mit (140), (141) und (145) anstelle von (142) ist die Formulierungder Newtonschen Mechanik so allgemein, dass wir noch nicht zwischen klassischer undrelativistischer Mechanik zu unterscheiden brauchen.Newton hat namlich in seinem Gesetz (140) zugelassen, dass sich die Massen ma
bei ihrer Bewegung andern konnen. Als einfachsten Fall wird man annehmen, dass dieMasse m eines Korpers vom Betrag u ihrer Geschwindigkeit u abhangt. Diese i. Allg.zugelassene Abhangigkeit der Masse von ihrer Geschwindigkeit wollen wir mit einergeschweiften Klammer schreiben,
m = m{u} . Die trage Masse m eines Korpers ist i. Allg.als eine Funktion ihrer Geschwindigkeit u zu verstehen.
(146)
Solange wir diese Funktion m{u} nicht kennen, so lange konnen wir im Grunde genom-men auch noch gar nicht explizit mit den Newtonschen Gleichungen rechnen.Mit einem auf R. C. Tolman zuruckgehenden Gedankenexperiment kann man aber ganz
allgemein ausrechnen, wie die Funktion m = m{u} aussieht, wenn man nur das DritteNewtonsche Axiom (145) voraussetzt und die Galilei-Transformation (69), S. 35, fur dieklassische bzw. die Lorentz-Transformation (105), S. 56, fur die relativistische Raum-Zeitauf die Impulse mu von stoßenden Massen in einem Inertialsystem Σo anwendet. Wir wer-den sehen, dass es insbesondere das Additionstheorem der Geschwindigkeiten ist, welcheszu unterschiedlichen Eigenschaften von Massen in der klassischen bzw. der relativistischenRaum-Zeit fuhrt.
78 VI Die Newtonsche Mechanik
Abb. 29: Sir Isaac Newton, *Woolsthorpe (bei Grantham) 4.1.1643,† Kensington (heute London) 31.3.1727
20 Die klassische Mechanik 79
20 Die klassische Mechanik
Mit Hilfe des Tolmanschen Gedankenexperimentes werden wir im nachsten Kapitelaus dem Dritten Newtonschen Axiom die Funktion m = m{u} , die Abhangigkeit dertragen Masse von ihrer Geschwindigkeit fur die relativistische Raum-Zeit, im Rahmender Lorentz-Transformation bestimmen. Die in v/c lineare Naherung davon liefert dasbekannte Ergebnis, die Unabhangigkeit der Masse von ihrer Geschwindigkeit fur denGultigkeitsbereich der Galilei-Transformation26, s. auch den direkten Nachweis fur diefolgende Gleichung in Aufg. 14, S. 363 :
dm{u}du
= 0 −→ dm
dt=
dm{u}du
du
dt= 0 .
Konstanz der MasseKlassische Raum-Zeit
(147)
Die Masse m eines Korpers ist im Gultigkeitsbereich der Galilei-Transformation (69)von seiner Geschwindigkeit u unabhangig.
Fur einen Korper mogen von Σ′ bzw. von Σo aus die Bewegungen x′ = x′(t′) bzw.x = x(t) beobachtet werden. Wir setzen diese Bewegungen in die Galilei-Transfor-mation (69) ein und finden durch zweimalige Differentiation nach der Zeit wegen t = t′ ,
dx′
dt′=
dx′
dt
dt
dt′=
dx′
dt=
d
dt(x− vt) =
dx
dt− v ,
d2x′
dt′2=
d
dt
(dxdt
− v) dt
dt′=
d2x
dt2.
Nehmen wir hier die Gleichung (147) hinzu, dann folgt in allen Inertialsystemen Σ derklassischen Raum-Zeit fur den charakteristischen Beschleunigungsterm der NewtonschenMechanik
Σ :d
dtp =
d
dt(mu) = m
d2
dt2x = m
d2
dt′2x′ .
ImpulsanderungKlassische Raum-Zeit
(148)
Gemaß (138) nehmen wir nun an, dass in Bezug auf alle Inertialsysteme dieselben KrafteF bzw. Fa sowie Fba gemessen werden. Die Newtonschen Grundgesetze der Mechaniknehmen dann in der klassischen Raum-Zeit einheitlich fur alle Inertialsysteme Σ diefolgende Form an,
Galilei-Transformation: In jedem Inertialsystem Σ gilt
d
dtp = m
d2
dt2x = F .
Das ZweiteNewtonsche Axiom
p = mu = const fur F = 0 .Das ErsteNewtonsche Axiom
Fba = −Fab .Das DritteNewtonsche Axiom
(149)
26Hierbei betrachten wir Massen von Korpern mit unveranderlicher Teilchenzahl im Sinne von Ato-men oder Elementarteilchen. Die Masse einer Rakete bleibt also nur konstant, wenn man die Masse derausgestoßenen Treibgase berucksichtigt.
80 VI Die Newtonsche Mechanik
Fur n Teilchen mit den Positionen xa und den konstanten Massen ma gilt
mad2
dt2xa =
n∑b=1
Fba + Fa . (150)
Bei fehlenden außeren Kraften Fa konnen wir das Dritte Axiom auch mit Hilfe desImpulssatzes (145) ausdrucken:
d
dt
n∑a=1
pa =
n∑a=1
madua
dt=
d
dtP = 0 .
Das Dritte Newtonsche AxiomGalilei-Transformation
(151)
Beschrankt sich die Wechselwirkung von Teilchen auf ein sehr kleines Zeitintervall δt , sodass sich die Teilchen vorher und nachher kraftefrei bewegen, dann sprechen wir von einemStoß. Die explizite Behandlung eines Stoßvorganges zweier Teilchen auf der Grundlage derGalilei-Transformation haben wir in Aufg. 13, S. 360, gerechnet.Solange wir Korper betrachten, deren Geschwindigkeiten u , verglichen mit der Licht-
geschwindigkeit c , sehr klein sind ( u � c ), so lange werden auch die NewtonschenGleichungen (149) mit ihren unveranderlichen Massen fur alle Inertialsysteme gelten,die wir wiederum durch solche Korper realisieren konnen. Jede Bewegung, die in einemInertialsystem moglich ist, gibt es auch in jedem anderen Inertialsystem.
Das Relativitatsprinzip der Mechanik (137) ist mit den Gleichungen (149) fur dieklassische Raum-Zeit realisiert.
Solange wir keine Effekte von der Großenordnung v2/c2 nachweisen konnen, so langekonnen wir sicher sein, dass dieses Relativitatsprinzip experimentell in der klassi-schen Mechanik bestatigt wird. Physikalisch konnen wir demnach Inertialsystemeauch als diejenigen Bezugssysteme charakterisieren, in denen fur den Grenzfall kleinerGeschwindigkeiten die Newtonschen Gleichungen in der Form (149) gelten.Wenn wir die Gleichungen (149) gelost haben, sind wir in der Lage zu sagen, wo sich
eine bestimmte Masse ma zu einer bestimmten Zeit befindet. Eine solche Aussage istdas Ergebnis sog. Lagrangescher Bewegungsgleichungen. Alle Feldtheorien sind aber voneinem anderen Typ, wobei man dann von Eulerschen Bewegungsgleichungen spricht. Da-bei interessiert man sich fur die zeitliche Anderung von Feldern an einem festen Ort. Dievon diesen Feldern ausgehenden Kraftwirkungen sind Kraftdichten, die an einem festenOrt wirksam werden konnen. Fur den Anschluss der Mechanik an die Feldtheorie, z. B.an die Elektrodynamik, brauchen wir daher eine Formulierung der Grundgleichungen derMechanik fur eine kontinuierliche Massenverteilung � und fur Kraftdichten f = dF/dV ,z. B. die Lorentz-Kraftdichte. Diese Problematik behandeln wir in Aufg. 38, S. 415, undwir verweisen ferner z. B. auf das Buch von A. Papapetrou, das wir im Literaturverzeichnisangegeben haben.
21 Das Tolmansche Gedankenexperiment - Die relativistische Mechanik 81
21 Das Tolmansche Gedankenexperiment -Die relativistische Mechanik
Die Anwendung des Dritten Newtonschen Axioms (145) in einem einzigen Inertialsystem,sagen wir in Σo , auf einen ideal elastischen Stoß zwischen zwei Massen erzwingt dieFunktion m = m{u} , die Abhangigkeit der Masse m eines Korpers von seiner Geschwin-digkeit u . Diese Funktion wollen wir jetzt fur die durch die Lorentz-Transformation(105) definierte relativistische Raum-Zeit bestimmen.
21.1 Die relativistische Massenformel
Auf R. C. Tolman geht folgendes Gedankenexperiment zuruck. Wir betrachten den idealelastischen Stoß zweier ideal glatter Kugeln A und B , wie dies in Abb. 30 skizziert ist.Beide Kugeln sollen physikalisch identische Korper der Masse m sein. Die Kugel A habeim Bezugssystem Σo nur eine Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung,
Σo : uA = (dx/dt, dy/dt) = (uAx, uAy) = (0, w) .
Das Bezugssystem Σ′ besitze, von Σo aus gemessen, die Geschwindigkeit v in x-Richtung. Die Kugel B habe, von Σ′ aus gemessen, nur eine Geschwindigkeitskomponentein Richtung der negativen y′-Achse,
Σ′ : u′B = (dx′/dt′, dy′/dt′) = (u′
Bx′ , u′By′) = (0, −w) .
Von Σo beobachtet, folgt fur uB mit (105) nach der Kettenregel der Differentiation
uBx = dx/dt = dx/dt′ ·(dt/dt′
)−1= d
((x′ + vt′)/γ
)/dt′ ·
(dt/dt′
)−1und mit u′
Bx′ = 0
=((u′
Bx′ + v)/γ)·((1 + u′
Bx′ v/c2)/γ)−1
=(v/γ
)· γ = v und
uBy = dy/dt = dy′/dt = dy′/dt′ ·(dt/dt′
)−1) = u′
By′ γ = −w γ ,
(s. auch Gleichung (117)). Insgesamt gilt also aus der Sicht von Σo ,
Σo :uA = (uAx, uAy) = (0, w) ,
uB = (uBx, uBy) = (v, −w γ) .
}Geschwindigkeitskomponentenvor dem Stoß
(152)
�
�
�
�
�
�
�
m B
m A
v
x′
x
y′
y
Σ′
Σo
u′By′ =
dy′
dt′= −w
uAy =dy
dt= w
�
�Abb. 30: Schematische Darstellung des Tolmanschen Gedankenexperimentes.
82 VI Die Newtonsche Mechanik
Die Geschwindigkeiten v und w sind so gewahlt, und die Kugeln sind so positioniert,dass sie in dem Moment zusammenstoßen, wo die y′-Achse mit der y-Achse gerade zusam-menfallt, so dass die Kugeln dabei senkrecht ubereinander liegen.Die Annahme ideal glatter Kugeln bedeutet, dass bei diesem Zusammenstoß keine
tangentialen, in x-Richtung wirkenden Krafte auftreten. In y-Richtung treten nur Krafteauf, die dem Gegenwirkungsaxiom genugen, so dass wir fur das System aus den beidenKugeln den Impulssatz (145) anwenden konnen. Mit einem Querstrich fur die Impulseund Geschwindigkeiten nach dem Stoß lautet dann die Erhaltung des Gesamtimpulses beidem Stoß
pA + pB = pA + pB Impulserhaltung in Σo (153)
bzw. in Komponenten
m{uA} uAx +m{uB} uBx = m{uA} uAx +m{uB} uBx ,
m{uA} uAy +m{uB} uBy = m{uA} uAy +m{uB} uBy .
}Impulserhaltung in Σo (154)
Hierbei haben wir in Betracht gezogen, dass die Massen m Funktionen ihrer Geschwin-digkeiten sein konnen, und diese Abhangigkeit verdeutlichen wir stets durch geschweifteKlammern. Die Massen m konnen daher aus den Gleichungen (154) nicht einfach heraus-gekurzt werden.Da keine tangentialen Krafte wirken sollen, bleiben die Geschwindigkeiten in x-
bzw. x′- Richtung nach dem Stoß ungeandert: uAx = uAx = 0 , uBx = uBx = v undu′Bx′ = u′
Bx′ = 0 .Die Komponenten nach dem Stoß konnen wir damit fur die Kugeln Aund B schreiben als
Σo : uA = (0, wA) ,
Σ′ : u′B = (u′
Bx′ , u′By′) = (0, wB) .
Die Komponenten uAy = wA und u ′By′ = wB kennen wir noch nicht.
Von Σo beobachtet, folgt fur uBy wie oben,
uBy = dy/dt = dy′/dt = dy′/dt′ ·(dt/dt′
)−1= u′
By′ γ = wB γ .
Insgesamt konnen wir also fur die Komponenten nach dem Stoß in Σo schreiben
Σo :uA = (uAx, uAy) = (0, wA) ,
uB = (uBx, uBy) = (v, wB γ) .
}Geschwindigkeitskomponentennach dem Stoß
(155)
In der relativistischen Raum-Zeit ist |v| < c < ∞ also γ �= 1 bei v �= 0 .Wir zeigen zunachst mit indirekter Schlussweise, dass in diesem Fall die Masse m eines
Korpers von dessen Geschwindigkeit abhangen muss :Angenommen, die Korper sind ideal elastisch zusammengestoßen, so dass beide Korper
infolge des Stoßes ihre Geschwindigkeiten andern. Wenn wir nun annehmen, dass dieMasse m eine geschwindigkeitsunabhangige Konstante ist, dann konnen wir m aus denGleichungen (154) herauskurzen, und wir erhalten unter Beachtung von (152) und (155)aus der zweiten Gleichung (154) mit beliebigem v
w − w γ = wA + wB γ . (156)
Hieraus folgt fur v −→ 0 , also γ −→ 1 , dass wA = −wB .Dasselbe gilt auch bei beliebigem v , da wegen der Abwesenheit tangentialer Krafte wA
und wB von v nicht abhangen konnen. Gleichung (156) lautet damit
21 Das Tolmansche Gedankenexperiment - Die relativistische Mechanik 83
w (1− γ) = −(1− γ)wB . (157)
Wegen γ �= 1 bei v �= 0 konnen wir bei v �= 0 durch den Faktor (1− γ) dividieren, sodass
wB = −w und wA = w . (158)
Danach laufen die beiden Kugeln unverandert, also ohne Kollision weiter und sind alsoentgegen unserer Voraussetzung gar nicht zusammengestoßen.
Die Unabhangigkeit der Masse von der Geschwindigkeit ist mit derLorentz-Transformation unvereinbar.
Im Fall der Galilei-Transformation ist der relativistische Faktor γ bei beliebigem vdurch 1 ersetzt, und aus der Gleichung (157) ist nun der Schluss auf (158) nicht mehrmoglich.Als einfachsten Fall nehmen wir jetzt an, dass die Masse m in Σo streng monoton, also
umkehrbar eindeutig vom Betrag ihrer Geschwindigkeit |u| , bzw. damit aquivalent, vomQuadrat der Geschwindigkeit abhangt,
Σo : m = m{|u|2
}= m
{u2x + u2
y
}. (159)
Mit (152) und (155) lautet dann die x-Komponente der Impulsbilanz (154)
m{u2B
}uBx = m
{u2B
}uBx ,
also
Σo : m
{v2+ w2 (1− v2
c2)
}v = m
{v2+ w2
B (1− v2
c2)
}v .
x-Komponenteder Impulsbilanz
(160)
Fur beliebiges v ist diese Gleichung nunmehr nur bei w2B = w2 zu erfullen. Wenn ein
Stoß stattgefunden hat, was wir hier voraussetzen, dann muss die B-Kugel in positivery-Richtung zurucklaufen. Die Losung wB = −w scheidet damit aus27,
Σo : wB = +w . (161)
Die y-Komponente der Impulsbilanz (154) lautet mit (152), (155), und (161)
m{u2A
}uAy +m
{u2B
}uBy = m
{u2A
}uAy +m
{u2B
}uBy ,
also
27In der Literatur wird dies gelegentlich mit dem Hinweis auf die klassische Mechanik, also den Grenzfallkleiner Geschwindigkeiten, d. h. γ ≈ 1, begrundet. Damit hat die Auswahl der Losung aber nichts zu tun.Sowohl in der relativistischen als auch in der klassischen Mechanik gibt es beide Losungen. Man braucht nurdie Masse m einer der beiden Kugeln durch den Massenmittelpunkt eines Systems aus zwei voneinanderentfernten Korpern zu ersetzen, und dieses System wird in den allermeisten Fallen an der zweiten Kugeleinfach vorbeilaufen.
84 VI Die Newtonsche Mechanik
Σo :
m{w2
}w −m
{v2 + w2(1− v2
c2)
}w γ
= m{w2
A
}wA +m
{v2 + w2(1− v2
c2)
}w γ .
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭y-Komponenteder Impulsbilanz
(162)
Die Gleichung (162) muss fur beliebige Geschwindigkeiten v und w gelten. Wir fuhrenzunachst wieder den Grenzubergang v −→ 0 durch, also γ −→ 1 ,
0 = m{w2
A
}wA +m
{w2
}w , wenn v = 0 . (163)
Fur w −→ 0 folgt aus (163) m{w2
A
}wA −→ 0 , also, da die Masse nicht verschwindet,
auch wA −→ 0 . Mit dem Grenzubergang
limw→0
wA
w= − lim
w→0
m{w2
}m{w2
A
} = −m{0}m{0} = −1
ergibt sich daher aus (163)
Σo : wA = −w +O(w2) , (164)
wobei wir mit O(w2) nichtlineare Terme in w andeuten, die wir fur unsere weitere Schluss-weise aber nicht benotigen.Wir interessieren uns nun fur den Grenzfall w −→ 0 in Gleichung (162). Dazu betrachten
wir zunachst w �= 0 und setzen die Beziehung (164) in die Gleichung (162) ein, wobei wirdie nichtlinearen Terme O(w2) gleich weglassen, und finden
2m
{v2 + w2(1− v2
c2)
}=
2m{w2
}γ
. (165)
Betrachten wir nun den Grenzubergang w −→ 0 und setzen
m{0} := mo , m{v2
}:= m , (166)
dann folgt eine Abhangigkeit der Masse m von ihrer Geschwindigkeit, indem wir fur eineTeilchengeschwindigkeit wieder u schreiben, wahrend wir mit v i. Allg. die Geschwindig-keit eines Bezugssystems bezeichnen,
m =mo√
1− u2/c2.
RelativistischeMassenformel
(167)
Wir sehen:
Die trage Masse eines Korpers hangt gemaß (167) ebenso von ihrer Geschwindigkeit abwie die Schwingungsdauer einer bewegten Uhr gemaß (100).
21 Das Tolmansche Gedankenexperiment - Die relativistische Mechanik 85
Wir fassen zusammen:
In der durch die Lorentz-Transformation (105) definierten relativistischen Raum-Zeitmussen die Impulse pa = ma ua uber die geschwindigkeitsabhangigen Massen gemaß
(167) definiert werden, damit die Erhaltung des Gesamtimpulses P =n∑a
pa gemaß (153)
erfullt werden kann. Mit m{0} := mo haben wir dabei die Ruhmasse eines Teilchensdefiniert.28
21.2 Die relativistischen Grundgleichungen der Mechanik
Mit der Gleichung (167) haben wir diejenige Erganzung gefunden, welche wir fur diezunachst allein im Inertialsystem Σo formulierten Newtonschen Gleichungen nochbrauchen, wenn wir sowohl das Prinzip der Relativitat (137) als auch die physikalischenPostulate (99) und (100) erfullen wollen.Nur mit dem Dritten Newtonschen Axiom mussen wir vorsichtig sein. Bei zwei Teilchen,
die sich zur Zeit t im System Σo an den Positionen P1(x1, y1, z1) bzw. P2(x2, y2, z2)befinden, gilt fur die Krafte F12 vom Teilchen 2 auf Teilchen 1 am Ort P1 und F21
vom Teilchen 1 auf Teilchen 2 am Ort P2 gemaß dem Dritten Axiom (142), dassF12(x1, y1, z1, t) = −F21(x2, y2, z2, t) . Eine solche Aussage impliziert die Gleichzeitigkeitdieser Krafte an verschiedenen Positionen und ist daher ohne weiteres nicht auf beliebigeInertialsysteme ubertragbar.Dieses Problem losen wir dadurch, dass wir nicht das ursprungliche Dritte Newtonsche
Axiom (142), sondern seine Konsequenz (145), die Erhaltung des Gesamtimpulses bei Ab-wesenheit von außeren Kraften, von vornherein als mechanisches Grundgesetz postulieren.Anstelle der klassischen Gleichungen (149) - (151) gelten daher folgende Bewegungsge-
setze der relativistischen Mechanik und zwar gleichermaßen in jedem Inertialsystem Σ ,wie wir sodann verifizieren werden,
Lorentz-Transformation: In jedem Inertialsystem Σ gilt
d
dtp =
d
dt
( mo√1− u2/c2
u)= F .
Das Zweite Axiomder relativistischen Mechanik
p =mo√
1− u2/c2u = const fur F = 0 .
Das Erste Axiomder relativistischen Mechanik
Wirken allein innere Krafte, dann gilt
d
dt
n∑a=1
pa =
n∑a=1
d(ma ua)
dt=
d
dtP = 0 .
Das Dritte Axiomder relativistischen Mechanik
(168)
28Die Ruhmasse mo ist der physikalische Parameter eines Teilchens. Die in (167) stehenden Massen mwerden treffend auch als Impulsmassen bezeichnet. In der relativistischen Mechanik stimmt die als Pro-portionalitatsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung uber das Newtonsche Gesetz definierte Tragheiteiner Masse damit i. Allg. nicht mehr uberein, wie man aus dem Zweiten Axiom (168) unter Beachtung von(170) sofort abliest, wenn namlich der Korper eine von Null verschiedene Geschwindigkeit besitzt. Explizitdiskutieren wir das auf S. 176 ff.
86 VI Die Newtonsche Mechanik
Fur n Teilchen mit den Geschwindigkeiten ua = (d/dt)xa und den Ruhmassen moa gilt
d
dtpa =
d
dt(
moa√1− u2
a/c2ua) =
n∑b=1
Fba + Fa . (169)
Die Gleichung (167) ersetzt die aus der Galilei-Transformation folgende Unabhangigkeitder Masse von ihrer Geschwindigkeit. Das ist die einzige Anderung in den klassischenNewtonschen Bewegungsgleichungen, damit diese in der relativistischen Raum-Zeit in allenInertialsystemen gultig sind, wie wir jetzt verifizieren wollen. Dazu substituieren wir dieLorentz-Transformation (105) in die Gleichung (168). Der Einfachheit halber betrachtenwir nur Bewegungen entlang der x-Achse.
Mit u = (u, 0, 0) , p = mu = (p, 0, 0) und a = (a, 0, 0) fur die Beschleunigung gilt
dp
dt=
d
dt
( mo u√1− u2/c2
)= mo
a√1− u2/c2 + au2/
(c2
√1− u2/c2
)1− u2/c2
= moa− au2/c2 + au2/c2√
1− u2/c23 = mo
a√1− u2/c2
3 .
Diesen Ausdruck schreiben wir fur zwei Systeme Σo und Σ′ auf,
1. Σo :dp
dt= mo
a√1− u2/c2
3 , u :=dx
dt, a :=
du
dt,
2. Σ′ :dp ′
dt′= mo
a′√1− u′2/c2
3 , u′ :=dx′
dt′, a′ :=
du′
dt′.
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭(170)
Wir zeigen nun, dass der 1. und der 2. Ausdruck in (170) identisch werden, wenn wir dieLorentz-Transformation (105) substituieren. Dabei sollen sich die ungestrichenen Großenauf das Bezugssystem Σo beziehen und die gestrichenen auf Σ′ , welches in Bezug aufΣo die in x-Richtung liegende Geschwindigkeit v besitzt. Die Geschwindigkeit v desBezugssystems ist also eine Konstante, wahrend sich die davon verschiedene Teilchenge-schwindigkeit u i. Allg. mit der Zeit andert.
Wir verwenden nun das Additionstheorem (106) und benutzen die Bezeichnungen γu ,γv und γu′ gemaß (102). Durch einfaches Quadrieren verifiziert man die Formeln
γu γv = (1− u v
c2) γu′ , u′ =
u− v
1− u v/c2,
γu′ γv = (1 +u′ vc2
) γu , u =u′ + v
1 + u′ v/c2.
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭ (171)
21 Das Tolmansche Gedankenexperiment - Die relativistische Mechanik 87
Damit finden wir
dp
dt=
dp
dt′
(dt
dt′
)−1
=dp
dt′
(d
dt′t′ + vx′/c2
γv
)−1
= mod
dt′
(u
γu
) (1 + vu′/c2
γv
)−1
= moγv
1 + vu′/c2d
dt′
(u
γu
)= mo
γv1 + vu′/c2
d
dt′
(u′ + v
(1 + u′v/c2)(1 + u′v/c2)
γu′ γv
).
Hier kurzen wir die beiden Klammern und den zeitunabhangigen Faktor γv heraus, also
dp
dt= mo
1
1 + vu′/c2d
dt′u′ + v√1− u′2/c2
= mo1
1 + vu′/c2a′√1− u′2/c2 + (u′ + v)u′a′/
(c2√
1− u′2/c2)
1− u′2/c2
= mo1
1 + vu′/c2a′(1− u′2/c2) + (u′ + v)u′a′/c2√
1− u′2/c23
= mo1
1 + vu′/c2a′ + vu′a′/c2√1− u′2/c2
3 = mo1
1 + vu′/c2a′(1 + vu′/c2)√
1− u′2/c23 ,
und mit (170) gilt daher wie behauptet,
dp
dt= mo
a√1− u2/c2
3 = moa′√
1− u′2/c23 =
dp ′
dt′. (172)
Aus der Gultigkeit von (168) im Bezugssystem Σo folgt also, dass diese Grundgleichungder Mechanik auch in irgendeinem anderen Inertialsystem Σ′ gilt, wenn wir nur gemaß(138) annehmen, dass in jedem Bezugssystem in den Bewegungsgleichungen dieselbenKrafte F′ = F einzusetzen sind.
Das Relativitatsprinzip der Mechanik (137) ist mit den Gleichungen (168) fur dierelativistische Raum-Zeit realisiert.
