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Die Simulation von Die Simulation von Planetenbewegungen Planetenbewegungen Sirch Lorenz Sirch Lorenz Hotka Philipp Hotka Philipp
| Date post: | 05-Apr-2015 |
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Die Simulation von Die Simulation von PlanetenbewegungenPlanetenbewegungen
Sirch LorenzSirch Lorenz
Hotka PhilippHotka Philipp
Gliederung
I. PhysiksimulationenI. Physiksimulationen
II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration
III. Euler-VerfahrenIII. Euler-Verfahren
IV. Runge-Kutta-VerfahrenIV. Runge-Kutta-Verfahren
I. Physiksimulationen am PCI. Physiksimulationen am PC
Anforderungen:Anforderungen: EchtzeitEchtzeit
GenerischGenerisch
InteraktivInteraktiv
Lösung:Lösung:
Numerische IntegrationNumerische Integration
II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration
Def.:Def.: Numerische Integration ist die Numerische Integration ist die näherungsweisenäherungsweise Berechnung von Integralen. Berechnung von Integralen.
Oft nicht geschlossen lösbar, da keine Oft nicht geschlossen lösbar, da keine Stammfunktion vorhanden ist.Stammfunktion vorhanden ist.
Formel:Formel:
Integral der Funktion f(x) im Intervall [a,b], Q(f)+E(f) ist der Wert Integral der Funktion f(x) im Intervall [a,b], Q(f)+E(f) ist der Wert der Quadraturformel Q(f) plus dem Fehler E(f)der Quadraturformel Q(f) plus dem Fehler E(f)
II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration
Eine Spezielle Quadraturformel:Eine Spezielle Quadraturformel:
Sehnentrapezformel:Sehnentrapezformel:
Andere Schreibweise:Andere Schreibweise:
II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration
numerische Annäherung numerische Annäherung also Fehlerverkleinerung durch Wahl eines:also Fehlerverkleinerung durch Wahl eines:
1.1. RechteckRechteck
2.2. TrapezTrapez
3.3. ParabelParabel
II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration
Ist eine eindeutige exakte Lösung des Ist eine eindeutige exakte Lösung des Integrals mit diesem Verfahren möglich?Integrals mit diesem Verfahren möglich?
II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration
Welche Maßnahme würde dieses Verfahren Welche Maßnahme würde dieses Verfahren genauer machen, welche ungenauer?genauer machen, welche ungenauer?
Erkläre Extrapolation!Erkläre Extrapolation!
Leonhard Euler:Leonhard Euler: Geb. 1707 in der Deutschen SchweizGeb. 1707 in der Deutschen Schweiz 1730 erhielt er Professur für Physik & 1730 erhielt er Professur für Physik &
Mathemathik Mathemathik 1787 starb er an einer Hirnblutung1787 starb er an einer Hirnblutung
Leistungen:Leistungen: Viele mathematische Lehrbücher Viele mathematische Lehrbücher Anwendung mathematischer Methoden in Anwendung mathematischer Methoden in
der Sozial- & Wirtschaftswissenschaftder Sozial- & Wirtschaftswissenschaft
III. Euler-VerfahrenIII. Euler-Verfahren
Einfachstes numerisches IntegrationverfahrenEinfachstes numerisches Integrationverfahren
nur bei einfachen Bewegungennur bei einfachen Bewegungen
Polygonzugverfahren:Polygonzugverfahren:
Problem des Verfahrens:Problem des Verfahrens: Geringes StabilitätsgebietGeringes Stabilitätsgebiet
LösungenLösungen FehlerminimierungFehlerminimierung Effizientere VerfahrenEffizientere Verfahren
III. Euler-VerfahrenIII. Euler-Verfahren
1.1. MehrschrittverfahrenMehrschrittverfahren
Verfahren höherer Ordnung, die für den Verfahren höherer Ordnung, die für den nächsten Schritt mehr als einen der nächsten Schritt mehr als einen der vorherigen Werte einbeziehenvorherigen Werte einbeziehen
2.2. Auswertung des Zeitintervalls ∆t an Auswertung des Zeitintervalls ∆t an mehreren Stellenmehreren Stellen
Runge-Kutta-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren
Carl Runge: * 30.Aug.1856 in Breslau* 30.Aug.1856 in Breslau Professor in Hannover dann in GöttingenProfessor in Hannover dann in Göttingen Fachgebiet: angewandte MathematikFachgebiet: angewandte Mathematik † † 3.Jan.1927 in Göttingen3.Jan.1927 in Göttingen
Martin Wilhelm Kutta: * 3.Nov.1867 in Pitschen, Oberschlesien Studium in Breslau dann München Arbeitete an der TUM & diversen anderen Unis
(Jena, Aachen, Stuttgart) † † 25.Dez.1944 in Fürstenfeldbruck25.Dez.1944 in Fürstenfeldbruck
IV. Runge-Kutta-VerfahrenIV. Runge-Kutta-Verfahren
Definition:Definition:
spezielle Einschrittverfahren zur spezielle Einschrittverfahren zur
näherungsweisennäherungsweisen Lösung eines Lösung eines
Anfangswertproblems:Anfangswertproblems:
mit exakter Lösung y(x)mit exakter Lösung y(x)
Runge-Kutta-Tableaus:Runge-Kutta-Tableaus:
Das explizite Euler-Verfahren (Ordnung 1.):Das explizite Euler-Verfahren (Ordnung 1.):
IV. Runge-Kutta-Verfahren
IV. Runge-Kutta-Verfahren
Das Heun-Verfahren 3.Ordnung:Das Heun-Verfahren 3.Ordnung:
Das klassische Runge-Kutta-Verfahren Das klassische Runge-Kutta-Verfahren
(Ordnung 4.):(Ordnung 4.):
IV. Runge-Kutta-Verfahren
IV. Runge-Kutta-Verfahren
Konsistenz und Kovergenz:
Zur Analyse der Verfahren, werden approxmierte
und exakte Ergebnisse verglichen.
Lokaler Diskretisierungsfehler Lokaler Diskretisierungsfehler ττ(h)(h)
IV. Runge-Kutta-Verfahren
FürFür τ τ(h)(h)0 für h0 für h0 ist Verfahren 0 ist Verfahren konsistentkonsistent
Verfahren hat Konsistenzordnung p, falls
||ττ(h)(h)|| = O(h = O(hpp))
Konsistenzordnung beschreibt Qualität der beschreibt Qualität der Approximation nach Approximation nach EINEMEINEM Schritt Schritt
IV. Runge-Kutta-Verfahren
Qualität nachQualität nach nn Schritten?Schritten?
Globaler DiskretisierungsfehlerGlobaler Diskretisierungsfehler
Ein Verfahren ist konvergent, wenn der globale Diskretisierungsfehler für n ∞
gegen 0 geht.
IV. Runge-Kutta-Verfahren
Verschiedene Verfahren im Vergleich:Verschiedene Verfahren im Vergleich: EulerEuler HeunHeun Runge-Kutta 2.,3. und 4.OrdnungRunge-Kutta 2.,3. und 4.Ordnung FehlbergFehlberg DoPriDoPri
Einfache Programmierung mit Cinderella2Einfache Programmierung mit Cinderella2
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