3.3.1
3-7
Streuprozesse
WIRKUNGSQUERSCHNITT
Target
Teilchen b, Dichte n5
Strahl
Teilchena
Dichteng
Geschwindigkeit vu
FtuB: J = ra va = Na l, - zahl f (zeit - Fliiche)
Zahl der Target-Teilchen innerhalb des Strahlquerschnitts:
Nb = n6 'F 'd
L - J .NU
Reaktionsrate: R - L'Or
Or : Wirkungsquerschnitt fiir die Reaktion r
Totaler Wirkungsquerschnitt: O -
differentieller Wirkungsquerschnitt:
Winkelverteilung einzelner produzierter oder gestreuter Teilchen
Luminositrit:
Ior?
+?)'dr
(
dR ra
It-
26 +Lra
J a+ J olcot o
O -a
olo,)c. (e,
d^tz
Rn*t*"hsf uer{"Ani"/f : l" :
#b.h)
3.3.1
3-7
Streuprozesse
WIRKUNGSQUERSCHNITT
Target
Teilchen b, Dichte n5
Strahl
Teilchena
Dichteng
Geschwindigkeit vu
FtuB: J = ra va = Na l, - zahl f (zeit - Fliiche)
Zahl der Target-Teilchen innerhalb des Strahlquerschnitts:
Nb = n6 'F 'd
L - J .NU
Reaktionsrate: R - L'Or
Or : Wirkungsquerschnitt fiir die Reaktion r
Totaler Wirkungsquerschnitt: O -
differentieller Wirkungsquerschnitt:
Winkelverteilung einzelner produzierter oder gestreuter Teilchen
Luminositrit:
Ior?
+?)'dr
(
dR ra
It-
26 +Lra
J a+ J olcot o
O -a
olo,)c. (e,
d^tz
Rn*t*"hsf uer{"Ani"/f : l" :
#b.h)
3-2
3.2 KINEMATIK
Uber Teilchen. Strukturen und Wechselwirkuneen lernt man aus
Streuprozessen:
e
d
e
b
a+b + C+d + e * . . .
Klassifizierung: a + b + a + b elastischeStreuung
alle anderen Prozesse: inelastische Streuuns bzw. Reaktionen
3.2.1 Relativistische Kinematik von Streuprozessen
+ 2 2- rt': htt'
Teilchen a und b werden charakterisiert durch ihre Energien und Impulse:
n' = Eo: tZ , F")
D( fEu 3 It '1o =Tu =
L: r?uJ
Skalarprodukte der Viererimpulse :
p_p, _ t. ee, _ F.F,
T^'- E -
Fo' : 441: .t ,
onq ,
r Z
Tf=3
qhb"invariante Massen" :
- weitere Invariante
g: (F^*p)' : e* ?)" - (E"Fn)"
3-2
3.2 KINEMATIK
Uber Teilchen. Strukturen und Wechselwirkuneen lernt man aus
Streuprozessen:
e
d
e
b
a+b + C+d + e * . . .
Klassifizierung: a + b + a + b elastischeStreuung
alle anderen Prozesse: inelastische Streuuns bzw. Reaktionen
3.2.1 Relativistische Kinematik von Streuprozessen
+ 2 2- rt': htt'
Teilchen a und b werden charakterisiert durch ihre Energien und Impulse:
n' = Eo: tZ , F")
D( fEu 3 It '1o =Tu =
L: r?uJ
Skalarprodukte der Viererimpulse :
p_p, _ t. ee, _ F.F,
T^'- E -
Fo' : 441: .t ,
onq ,
r Z
Tf=3
qhb"invariante Massen" :
- weitere Invariante
g: (F^*p)' : e* ?)" - (E"Fn)"
3-3
+ Def.: SCHWERPUNKTSYSTEM
'-> ., 'ts + :iFe,: -Pa
) d,h- -(: F"tFn:c
Im Schwerpunktsystem gilt:
,tr = ry: (Eo * Eu)/c
/s ist die totale Energie im Schwerpunktsystem
(Hinweis: als Invariante bleibt diese GrdBe auch in allen anderen Bezugssystemen
unverdndert)
. Transformation vom Laborsystem in das Schwerpunktsystem
Laborsystem: Teilchen a ("Projektil"); Energie E3 , Impulsfs
Teilchen b ("Target") in Ruhe; Eb - mbcz, ptu = O
Schwerpunktsystem: iJ= -if = ?.
Laborsystem:
g : (* **r.)' - y'^'
EoZ i, * mf.t+2Eohb@-r^
: (*,* +.y4; ) "t
t 2Eorn"
also:
Gl=
Beispiel: StoBzweierTeilchengleicherMasse (*o- A4b= h ;
E{: EI = E*)
7,t7:cp-2E* :.@
Schwerpunktsystem:
\s : GI * E: )' /.t
dann gilt:
3-3
+ Def.: SCHWERPUNKTSYSTEM
'-> ., 'ts + :iFe,: -Pa
) d,h- -(: F"tFn:c
Im Schwerpunktsystem gilt:
,tr = ry: (Eo * Eu)/c
/s ist die totale Energie im Schwerpunktsystem
(Hinweis: als Invariante bleibt diese GrdBe auch in allen anderen Bezugssystemen
unverdndert)
. Transformation vom Laborsystem in das Schwerpunktsystem
Laborsystem: Teilchen a ("Projektil"); Energie E3 , Impulsfs
Teilchen b ("Target") in Ruhe; Eb - mbcz, ptu = O
Schwerpunktsystem: iJ= -if = ?.
Laborsystem:
g : (* **r.)' - y'^'
EoZ i, * mf.t+2Eohb@-r^
: (*,* +.y4; ) "t
t 2Eorn"
also:
Gl=
Beispiel: StoBzweierTeilchengleicherMasse (*o- A4b= h ;
E{: EI = E*)
7,t7:cp-2E* :.@
Schwerpunktsystem:
\s : GI * E: )' /.t
dann gilt:
3-+
3.2.2 LORENTZ - Transformation
z'System S' bewegt sich relativ zu System S mit der Geschwindigkeit v
entlang der positiven z-Achse x l=x ^ y t= vt / ' - /
(=' l= fY -Fr)(z )
Lct' ) L-F, Y -) L.* )
l?=y ) v: fu-[3')-'/'
Transformation der Energien und Impulse
tr': (%,F'), t: (Z,F) ; p,'=p*, pi =pt
(r) I = (' -Fr)(r=t
l"z )= l-p, , )l r.)Transformation vom Laborsystem (L) ins Schwerpunktsystem (CM)
StoBzweierTeilchen: a + b.} s + ... iml-aborsystem:
a,b- - - -> c - - - - - ->z
/ - - + \ / z a ,1ry, f" ) l 'rnoc, o) (E,F)
r=W"rnF"tLoRENTz-Transformation vom L-System in das CM-System (Impuhe f,* - (o, o,
F* )) :
P::. v (p,- T.t")
P: : - r rvtb1ry
I
P{"Pt=o
Et + rrn
"czwP
W
pt- c: V :
E r+r r t t rc t ) u*
: lC*;"*t) .4 + 2Eto' tbc2
3-+
3.2.2 LORENTZ - Transformation
z'System S' bewegt sich relativ zu System S mit der Geschwindigkeit v
entlang der positiven z-Achse x l=x ^ y t= vt / ' - /
(=' l= fY -Fr)(z )
Lct' ) L-F, Y -) L.* )
l?=y ) v: fu-[3')-'/'
Transformation der Energien und Impulse
tr': (%,F'), t: (Z,F) ; p,'=p*, pi =pt
(r) I = (' -Fr)(r=t
l"z )= l-p, , )l r.)Transformation vom Laborsystem (L) ins Schwerpunktsystem (CM)
StoBzweierTeilchen: a + b.} s + ... iml-aborsystem:
a,b- - - -> c - - - - - ->z
/ - - + \ / z a ,1ry, f" ) l 'rnoc, o) (E,F)
r=W"rnF"tLoRENTz-Transformation vom L-System in das CM-System (Impuhe f,* - (o, o,
F* )) :
P::. v (p,- T.t")
P: : - r rvtb1ry
I
P{"Pt=o
Et + rrn
"czwP
W
pt- c: V :
E r+r r t t rc t ) u*
: lC*;"*t) .4 + 2Eto' tbc2
3-g
' Transformation des Streuwinkels:
Der Streuwinkel des Teilchens c im Laborsystem sei 01.
Transformiere diesen Winkel in das Schwerpunktsystem.
Impuls des Teilchens c im L-System bei geeigneter Wahl der Koordinatenachsen:
f : (O, Ts inOtr TcosOt)
LoRENTz-Transformation in das CM-Sy stem :
*
P^ : P^ :o
^7t
t 'Y: P.Y: Tsiuot
P:: f (f asoL- 5S
Ausgedri.ickt durch den CM-Winkel 0sra :
F*: (o, p*t iu o.r, p**t 0.r)
also:
1", Arr-*D*t ),/
7:tz
p sira OL
Y (p c.os o. - uE- \- I L C z /
3-g
' Transformation des Streuwinkels:
Der Streuwinkel des Teilchens c im Laborsystem sei 01.
Transformiere diesen Winkel in das Schwerpunktsystem.
Impuls des Teilchens c im L-System bei geeigneter Wahl der Koordinatenachsen:
f : (O, Ts inOtr TcosOt)
LoRENTz-Transformation in das CM-Sy stem :
*
P^ : P^ :o
^7t
t 'Y: P.Y: Tsiuot
P:: f (f asoL- 5S
Ausgedri.ickt durch den CM-Winkel 0sra :
F*: (o, p*t iu o.r, p**t 0.r)
also:
1", Arr-*D*t ),/
7:tz
p sira OL
Y (p c.os o. - uE- \- I L C z /
3-6
3.3 Reaktionswahrscheinlichkeit; Fermi's "Goldene Regel"
Quantenmechanische Beschreibung eines Streuprozesses oder einer Reaktion:
Wechselwirkung beschrieben durch Hamiltonoperator T;^a-
(normierte) Wellenfunktionen des Anfangs- und des Endzustandes *, ,TF
Matrixelement
,/'(r-- : (+, l%,^tlU>-f4 ' ' ' )
. Ubergangswahrscheinlichkeit (i + fl I Z"it,
Fermi's Goldene Reeel:
Dichte der Endzustdnde:
wv: ? lhnl"?Gr)
o(E) - dnG)t 'dE
Beispiel: betrachte ein Teilchen, das in das Impulsintervall [p, p + dp] gestreut wird:
dncp:V #=o, (V,To,un*)
Beziehung zwischen Energie und Impuls:
olE : t dF (v, G"tJu;r-{Jke.t)
(Bemerkung: dies gilt sowohl nicht-relativistisch als auch relativistisch !)
also: n(c,t - V P"f '- / .?, 27T2ft3
. Wirkungsquerschnitt ftir eine Reaktion a + b + ...
4-r:ffi: ryT{+*r
V "
1+ + # lhpl"pE;1r
3-6
3.3 Reaktionswahrscheinlichkeit; Fermi's "Goldene Regel"
Quantenmechanische Beschreibung eines Streuprozesses oder einer Reaktion:
Wechselwirkung beschrieben durch Hamiltonoperator T;^a-
(normierte) Wellenfunktionen des Anfangs- und des Endzustandes *, ,TF
Matrixelement
,/'(r-- : (+, l%,^tlU>-f4 ' ' ' )
. Ubergangswahrscheinlichkeit (i + fl I Z"it,
Fermi's Goldene Reeel:
Dichte der Endzustdnde:
wv: ? lhnl"?Gr)
o(E) - dnG)t 'dE
Beispiel: betrachte ein Teilchen, das in das Impulsintervall [p, p + dp] gestreut wird:
dncp:V #=o, (V,To,un*)
Beziehung zwischen Energie und Impuls:
olE : t dF (v, G"tJu;r-{Jke.t)
(Bemerkung: dies gilt sowohl nicht-relativistisch als auch relativistisch !)
also: n(c,t - V P"f '- / .?, 27T2ft3
. Wirkungsquerschnitt ftir eine Reaktion a + b + ...
4-r:ffi: ryT{+*r
V "
1+ + # lhpl"pE;1r
3-7
3,4 n_."gi.tt "t"rttt"h"
St..
insbesondere : Potentialstreuung in B ORN scher Niiherung
(Potential U ; Teilchenmasse m, nichtrelativistischer Impuls p = nnr;- t A , , ' 4 a
,/- : T'/. eiF;'VE Vr : V-/' eLPr'r/fr'' 4
t T
,/U,f = #,[o', ;;ir'i/t
(.)G) e;F'y't : + [o=" "f''
U r')
ryn1r(Born-) Streuamplitude: {(9, E) :
2rct"hf,
iibertragenerlmpuls: h7: rt -F,
; li" | : tE I : p
t"7 : o., sin e6
Dichte der Endzustdnde im Impulsintervall [p , p*dp] und Raumwinkelintervall dQ :
dn : TF" dede : = V = AaedJz(/1" - eTchf Czrct")3
't'
n dn V pt d,tL:rf dE u(zrct 'S=
. Differentieller Wirkungsquerschnitt:
olt
dJZ
odev, #.: lfte,F)l'cE.^1 r# l{o', "'V'iuchl^
Hinweis: Verallgemeinerung ftir 2-Teilchen-Reaktionen (a + b + c + d) im
Schwerpunktsystem mit relativistischer Kinematik (Geschwindigkeiten u1s=pclB;
Relativimpulse p1 bzw. pl im Anfangs- und Endzustand):
t a r 2 2
u: '- ? l,/(a'\"da 4rczh+Dr4
-t
3-7
3,4 n_."gi.tt "t"rttt"h"
St..
insbesondere : Potentialstreuung in B ORN scher Niiherung
(Potential U ; Teilchenmasse m, nichtrelativistischer Impuls p = nnr;- t A , , ' 4 a
,/- : T'/. eiF;'VE Vr : V-/' eLPr'r/fr'' 4
t T
,/U,f = #,[o', ;;ir'i/t
(.)G) e;F'y't : + [o=" "f''
U r')
ryn1r(Born-) Streuamplitude: {(9, E) :
2rct"hf,
iibertragenerlmpuls: h7: rt -F,
; li" | : tE I : p
t"7 : o., sin e6
Dichte der Endzustdnde im Impulsintervall [p , p*dp] und Raumwinkelintervall dQ :
dn : TF" dede : = V = AaedJz(/1" - eTchf Czrct")3
't'
n dn V pt d,tL:rf dE u(zrct 'S=
. Differentieller Wirkungsquerschnitt:
olt
dJZ
odev, #.: lfte,F)l'cE.^1 r# l{o', "'V'iuchl^
Hinweis: Verallgemeinerung ftir 2-Teilchen-Reaktionen (a + b + c + d) im
Schwerpunktsystem mit relativistischer Kinematik (Geschwindigkeiten u1s=pclB;
Relativimpulse p1 bzw. pl im Anfangs- und Endzustand):
t a r 2 2
u: '- ? l,/(a'\"da 4rczh+Dr4
-t
3.5 Beispiel: Streuung am Yukawa- und Coulombpotential
hier: Streuung eines nicht-relativistischen Teilchens Masse m, kin. En.rgi. t :*).1
in Bornscher Ndheruns am Potential
(J(r1 : l--* ' , f -- lFl
(YUKAWA-Potential bzw. abgeschirmtes Coulombpotential)
r ' - + +
J a=" .'i'i (JG) : "- [2, ,'U G) I""a*'t s'7"-"'s
=q /:?,, -si,^1r (JG: : + ["),
-s;u?, . n": #,
. Differentieller Wirkungsquerschnitt:
da ?vtz t . zd.F. . - tz
n: +;n, I Ja=, e-t' U{r)l-
da 4m-( A \z
d{z h4 \ 7zr y'/
tJ{- 4p"sln'%,
3-8
. Rutherford-Streuung:
Streuung eines nicht-relativistischen Punktteilchens mit Ladung Z1e am Coulombpotential
einer Punktladung Z2e
L).cr1 :# (A:#=Z,{-ohe t(=o)
Rutherford-Streuquerschnitt mit relativistischer Kinematik:(insbesonderefiir vl c, g = 1 fr| c ; :
da Z? Z? a'(r.)'Z. Ez c : ,^4 O/-T
L_ rr,rt /2-
2 /,'.'
s;u4 07,f z"z,x)t -
|L +t )
,.,.z-
. )-)
k2t2, x4 L Zh"7
fz-t-
v__da
3.5 Beispiel: Streuung am Yukawa- und Coulombpotential
hier: Streuung eines nicht-relativistischen Teilchens Masse m, kin. En.rgi. t :*).1
in Bornscher Ndheruns am Potential
(J(r1 : l--* ' , f -- lFl
(YUKAWA-Potential bzw. abgeschirmtes Coulombpotential)
r ' - + +
J a=" .'i'i (JG) : "- [2, ,'U G) I""a*'t s'7"-"'s
=q /:?,, -si,^1r (JG: : + ["),
-s;u?, . n": #,
. Differentieller Wirkungsquerschnitt:
da ?vtz t . zd.F. . - tz
n: +;n, I Ja=, e-t' U{r)l-
da 4m-( A \z
d{z h4 \ 7zr y'/
tJ{- 4p"sln'%,
3-8
. Rutherford-Streuung:
Streuung eines nicht-relativistischen Punktteilchens mit Ladung Z1e am Coulombpotential
einer Punktladung Z2e
L).cr1 :# (A:#=Z,{-ohe t(=o)
Rutherford-Streuquerschnitt mit relativistischer Kinematik:(insbesonderefiir vl c, g = 1 fr| c ; :
da Z? Z? a'(r.)'Z. Ez c : ,^4 O/-T
L_ rr,rt /2-
2 /,'.'
s;u4 07,f z"z,x)t -
|L +t )
,.,.z-
. )-)
k2t2, x4 L Zh"7
fz-t-
v__da
3. t6
3.6 Wechselwirkung durch Austausch von Teilchen
3.6. 1 Vorbereitung: Coulomb-Wechselwirkuns zweier Ladungsverteilunqen
pot. Energie:
t) : fasx poGtQr;t : fat* fot*' pn(it GG,i'1 p.(i '2
c Poisson-Gleichune:
4zr li-i' I
. J- Pr(* )
r : /!tgz- L)( /
J J /
1_
r Greensche Funktion:
VI qG,i'):-33(i-i '2 , G(i,i '1 :
z.B. zwei Punktteilchen mit Laduns e:
po(i t : + e J=f;-ir_1, pr(i ') : - "
J'& -dt
o Potential:
L
UG,i):-e'Grr:,it - ffi,o Jaa-#xelan,.ut l%2,: *{os, ;iFr'rt U uiit't+
/ 1 v n ^ - -
Vhr^: =[a,.+: -* t1=t-i-t- f- 4zr J tVa
i.o Feldtheoretische Interpretation:
Austausch eines Photons
l;e" .' 'l,zRruettE-g
7A.*,--E=o k{a*)-A 1
hiTt-,fJd
i"+(is -- i l
'
P'Gl
lbf,v*"alv -
.)bvlrah?-7-J
L-+ 2-q
I
" ?.oPo4oJot"' f J
3. t6
3.6 Wechselwirkung durch Austausch von Teilchen
3.6. 1 Vorbereitung: Coulomb-Wechselwirkuns zweier Ladungsverteilunqen
pot. Energie:
t) : fasx poGtQr;t : fat* fot*' pn(it GG,i'1 p.(i '2
c Poisson-Gleichune:
4zr li-i' I
. J- Pr(* )
r : /!tgz- L)( /
J J /
1_
r Greensche Funktion:
VI qG,i'):-33(i-i '2 , G(i,i '1 :
z.B. zwei Punktteilchen mit Laduns e:
po(i t : + e J=f;-ir_1, pr(i ') : - "
J'& -dt
o Potential:
L
UG,i):-e'Grr:,it - ffi,o Jaa-#xelan,.ut l%2,: *{os, ;iFr'rt U uiit't+
/ 1 v n ^ - -
Vhr^: =[a,.+: -* t1=t-i-t- f- 4zr J tVa
i.o Feldtheoretische Interpretation:
Austausch eines Photons
l;e" .' 'l,zRruettE-g
7A.*,--E=o k{a*)-A 1
hiTt-,fJd
i"+(is -- i l
'
P'Gl
lbf,v*"alv -
.)bvlrah?-7-J
L-+ 2-q
I
" ?.oPo4oJot"' f J
Mfi =1
V
∫d
3r e
−i!pf ·!r/h̄U(r) ei!pi·!r/h̄
VMfi =
−e2
4π
∫d3r
ei!q·!r
|"r |= −
e2
"q2
Matrixelement:
3. t7
3.6.2 YUKAWA - Austauschwechselwirkune
Austausch eines Teilchens mit Masse m, Energie-Impuls-Beziehung p2 = p2s2 + s12s4Hinweis:
dieseWechselwirkung ist allgemein spinabhiingig. Wir ignorieren hier die Spinabhiingigkeit .
Feldgleichung (Klein-Gordon-Gleichung) :
(statischer Fall E = 0 mit punktformiger Quelle und Kopplungskonstante g)
(7'- (') +R) = -?J=c-i> ) (: TGreensche Funktion:
( !' - {) GG,i') :-)={;-i '1 ; 6(7,i '1=
Potential:
tJ G",ir) : 7"G (4.,d_) :
Streuamplitude (Bornsche Niiherung):
-Fld-Cte.
qz r .o ; i , i ._t "o ld'r e4tcr r
\*-1 +/e"v" \
e-( l i- i ' t
4r l /^ i ] t
_t4T ti"-Lt
T,/l(n"r
qzd
i'n t"
Reichweite der Wechselwirkung' \ /,
A-i'-L rE{'
1-'w9 \r-Beispiel 1: Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung durch Austausch eines Pions
Jt tc.c rztpn,n F. (* - LLen..
Reichweite: A: L,/ry"o. e A. + fo
Beispiel 2: Schwache Wechselwirkung durch Austausch eines W-Bosons(2.8. Beta-Zerfall)
Mf' '/\''q Z
c/w
#"i,i"I
i+nf-/*
| << r'<.lt:Qu;:r'k 4n"
lrenqt -
3. t7
3.6.2 YUKAWA - Austauschwechselwirkune
Austausch eines Teilchens mit Masse m, Energie-Impuls-Beziehung p2 = p2s2 + s12s4Hinweis:
dieseWechselwirkung ist allgemein spinabhiingig. Wir ignorieren hier die Spinabhiingigkeit .
Feldgleichung (Klein-Gordon-Gleichung) :
(statischer Fall E = 0 mit punktformiger Quelle und Kopplungskonstante g)
(7'- (') +R) = -?J=c-i> ) (: TGreensche Funktion:
( !' - {) GG,i') :-)={;-i '1 ; 6(7,i '1=
Potential:
tJ G",ir) : 7"G (4.,d_) :
Streuamplitude (Bornsche Niiherung):
-Fld-Cte.
qz r .o ; i , i ._t "o ld'r e4tcr r
\*-1 +/e"v" \
e-( l i- i ' t
4r l /^ i ] t
_t4T ti"-Lt
T,/l(n"r
qzd
i'n t"
Reichweite der Wechselwirkung' \ /,
A-i'-L rE{'
1-'w9 \r-Beispiel 1: Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung durch Austausch eines Pions
Jt tc.c rztpn,n F. (* - LLen..
Reichweite: A: L,/ry"o. e A. + fo
Beispiel 2: Schwache Wechselwirkung durch Austausch eines W-Bosons(2.8. Beta-Zerfall)
Mf' '/\''q Z
c/w
#"i,i"I
i+nf-/*
| << r'<.lt:Qu;:r'k 4n"
lrenqt -
3. t8
3.7 Elastische Elektronenstreuung an einer Ladungsverteilung
soh'"t -fe
eg(F1
-[a=, p(it : Z
ir- ,Loborgrsfa*n:
a
-
a - - t r
D = \ E "
P )I z t '
P'= (E', F')z@
P= (m4>
,o)
------------DZ
(!;n|e. ' fu^: c=L) aL .safrf
. Erhaltung des Viererimpulses:
F*P: F'* F' ; pt-F't: rrn: , ?Z P'2n"
o RrickstoBenergie bei elastischer Streuung:
(p*?)": s '= (P'*P')-
mt n Jn" + 2 7'? ': 'r"i + '[4t * 2P''P'
p.P: p'.P': ?'" (p*p-?,) : F'.p*T'.P-*.'
n i * E* lF l >>.yh |
(t- - bt o)
tr> f:.
r4-a-{;u,\/,9 cle-- EluL /ron e'.
Ib
' F
e
E
a" E"(a-coso1
(e-E')-n : ElE - F|F
g E'E
3. t8
3.7 Elastische Elektronenstreuung an einer Ladungsverteilung
soh'"t -fe
eg(F1
-[a=, p(it : Z
ir- ,Loborgrsfa*n:
a
-
a - - t r
D = \ E "
P )I z t '
P'= (E', F')z@
P= (m4>
,o)
------------DZ
(!;n|e. ' fu^: c=L) aL .safrf
. Erhaltung des Viererimpulses:
F*P: F'* F' ; pt-F't: rrn: , ?Z P'2n"
o RrickstoBenergie bei elastischer Streuung:
(p*?)": s '= (P'*P')-
mt n Jn" + 2 7'? ': 'r"i + '[4t * 2P''P'
p.P: p'.P': ?'" (p*p-?,) : F'.p*T'.P-*.'
n i * E* lF l >>.yh |
(t- - bt o)
tr> f:.
r4-a-{;u,\/,9 cle-- EluL /ron e'.
Ib
' F
e
E
a" E"(a-coso1
(e-E')-n : ElE - F|F
g E'E
3. rg
. Differentieller Wirkungsquerschnitt und FORMFAKTOR
(siehe 3.4,3.5 fi, reb*ristt 'scAe- Eleklrone-n ) j ..r-dt / E'_\, I loF.
"nT.U Gt
l"dtz:WdT) l ' t
o Potential der ausgedehnten Ladungsverteilung:
- zs.3v' P(F')U G)=-rJ o,' ,
l i _i,l
a Fouriertransformierte :
(1,"*revdz: ;; i '?--*,i7;i '7 ; izI
k'.for", ";i'? # : -
+. fasrfa3r,: g [ot3r' e
1- v
' Formfaktor der Ladungsverteilung:
.Ergebnis: p;ySL= CF-F') t = ( eq).s;r t7z :
#.: ffi)r*^u,lrcitf
#,: - 47r f,3(F:/ ' t)
eri.ipt*!-#,
ri.lp(F,)
mit dem differentiellen Wirkungsquerschnitt frir die Streuung an einerPunktladung (ohne Spin; siehe: Rutherfordstreuung):
Zt a" (t".)^l t l
/aa\t l
\ otJZ /
Tu"kr41 2 s;r*rA
3. rg
. Differentieller Wirkungsquerschnitt und FORMFAKTOR
(siehe 3.4,3.5 fi, reb*ristt 'scAe- Eleklrone-n ) j ..r-dt / E'_\, I loF.
"nT.U Gt
l"dtz:WdT) l ' t
o Potential der ausgedehnten Ladungsverteilung:
- zs.3v' P(F')U G)=-rJ o,' ,
l i _i,l
a Fouriertransformierte :
(1,"*revdz: ;; i '?--*,i7;i '7 ; izI
k'.for", ";i'? # : -
+. fasrfa3r,: g [ot3r' e
1- v
' Formfaktor der Ladungsverteilung:
.Ergebnis: p;ySL= CF-F') t = ( eq).s;r t7z :
#.: ffi)r*^u,lrcitf
#,: - 47r f,3(F:/ ' t)
eri.ipt*!-#,
ri.lp(F,)
mit dem differentiellen Wirkungsquerschnitt frir die Streuung an einerPunktladung (ohne Spin; siehe: Rutherfordstreuung):
Zt a" (t".)^l t l
/aa\t l
\ otJZ /
Tu"kr41 2 s;r*rA
3. 2o
o Eigenschaften Yon Formfaktoren
+ Normierung:
TCV=.): * [o=, pG):7t / 1
- kugelsymmetrische Ladungsverteilungen: pfil = ZfH (r=lPt)
Tci) : fr=, .;f'71r"t : "o /)3' .'{ft) f :*"& u'?'*"v
(?=/i/ )
? t:;, r sinTr fot
- mittlerer quadratischer Radius:
(rr;: * /^"=. rz pF1
ftir kugelsymmetrische Ladungsverteilung:
Tq): ? 12, r Qr - tg=r=n ...)fr"l
z= L {
+uf),.afr,t +
' Beispiele
- homogen geladene Kugel: Formfaktor <---> Beugungsbild
f =- , . . r<R ,_ 3 (s;rqR_qRosqR)frrl-l4o<= ) Tq):roa.,=, t t' t /'
L o . . .Y7o ' l ' - /
(* .Z=ER")
1. Nullstelle des Formfaktors <--->
? * 4's,/R
tr> trqt :
weitere Beispiele: siehe Tabelie
3. 2o
o Eigenschaften Yon Formfaktoren
+ Normierung:
TCV=.): * [o=, pG):7t / 1
- kugelsymmetrische Ladungsverteilungen: pfil = ZfH (r=lPt)
Tci) : fr=, .;f'71r"t : "o /)3' .'{ft) f :*"& u'?'*"v
(?=/i/ )
? t:;, r sinTr fot
- mittlerer quadratischer Radius:
(rr;: * /^"=. rz pF1
ftir kugelsymmetrische Ladungsverteilung:
Tq): ? 12, r Qr - tg=r=n ...)fr"l
z= L {
+uf),.afr,t +
' Beispiele
- homogen geladene Kugel: Formfaktor <---> Beugungsbild
f =- , . . r<R ,_ 3 (s;rqR_qRosqR)frrl-l4o<= ) Tq):roa.,=, t t' t /'
L o . . .Y7o ' l ' - /
(* .Z=ER")
1. Nullstelle des Formfaktors <--->
? * 4's,/R
tr> trqt :
weitere Beispiele: siehe Tabelie
0
J.2l
Ladungsverteilung und Formfaktor
Ladungsverteilung f(r) Formfaktor F(q')
Punkt
exponentiell
GauB
homogene
Kugel
6(r)14r rz
(os l8r). exp (-or)
(a2 lzr\s/' ."*p (-a212 12)
ICti i t rKR( -
t 0f i i r r> R
1 konstant
(t * q, lo, )
-' Dipol
"*p (-q'lzo' )
Gaus
3 a-3 (sin o - a cos a) ^__:,1mit a= qi-- '
oszi l l ierend
p(") lr(qll B!ispiel
punktformig Elekronkonstant
t"'entiell
Lorentzkurve
\ = DiPol Proton
gau8formig gau8formig oLi
czillierend
\
homogene
Kugel
-\ Kugel mit
\ airus"m
YUczillierend 0ca
f + Q +
J.2l
Ladungsverteilung und Formfaktor
Ladungsverteilung f(r) Formfaktor F(q')
Punkt
exponentiell
GauB
homogene
Kugel
6(r)14r rz
(os l8r). exp (-or)
(a2 lzr\s/' ."*p (-a212 12)
ICti i t rKR( -
t 0f i i r r> R
1 konstant
(t * q, lo, )
-' Dipol
"*p (-q'lzo' )
Gaus
3 a-3 (sin o - a cos a) ^__:,1mit a= qi-- '
oszi l l ierend
p(") lr(qll B!ispiel
punktformig Elekronkonstant
t"'entiell
Lorentzkurve
\ = DiPol Proton
gau8formig gau8formig oLi
czillierend
\
homogene
Kugel
-\ Kugel mit
\ airus"m
YUczillierend 0ca
f + Q +
Ladungsdichte-verteilungenund
Formfaktoren
