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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Flächentragwerke - WS 2015/2016

4.2 Biegetheorie der Rotationsschalen

4.2.1 Voraussetzungen und Annahmen

4.2.2 Spannungen und Schnittgrößen in Schalen

4.2.3 Gleichgewichtsbedingungen

4.2.4 Kinematik der Schalen

4.2.5 Werkstoffgesetz


1

2

1 1

2 2

: Krümmungsradius des Meridians konst.: Hauptkrümmungsradius der Schale bei konst.: Mittelpunkt vom Krümmungsradius : Mittelpunkt vom Krümmungsradius

rrK rK r

1

2

1cos

sin

drrd

rr

Geometrie der Rotationsschalen

Hans Eschenauer, Walter Schnell: Elastizitätstheorie, 3., vollständig überarbeitetet und erweiterte Auflage,Wissenschaftsverlag, 1993.


1,

2 ,

u hv

w

pp

p

Schalenelement



Schalendicke h viel kleiner als sonstige Schalenabmessungen. Verformungen klein im Vergleich zur Schalendicke h (lineare

Kinematik). Linear elastisches Werkstoffgesetz (Hookesches Gesetz). Normalenhypothese (Kirchhoff-Love): Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht

zur Schalenmittelfläche (Normal bleibt normal). Ebener Querschnitt bleibt nach der Verformung eben (Eben bleibt

eben). Keine Änderung der Schalendicke h, d.h., Normalspannung senkrecht zur Mittelfläche vernachlässigbar

klein, d.h., 0.

0.



Bemerkungen: Dehnung und Verzerrungen in Dickenrichtung:

Normalspannung und Schubspannung in Dickenrichtung:

Wegen

muss also sein:

Daher werden die KIRCHHOFF-LOVEsche Schalen auch als „schubstarre“ Schalen bezeichnet.

1 20, 0, 0

1 20, 0, 0

0 und 0G

(schubstarr)G


4.2.2 Spannungen und Schnittgrößen in Schalen

SpannungenSchalenmittelfläche

1,

2 ,


Schnittgrößen in Schalen

Membrankräfte undQuerkräfte

1,

2 ,

N N

Q

NN

Q

Schalenmittelfläche

1,

2 ,


Schnittgrößen in Schalen

Biegemomente und Drillmoment

1,

2 ,

Schalenmittelfläche

1,

2 ,

MM

MM


4.2.2. Spannungen und Schnittgrößen in Schalen

Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen:

2

2

h

h

N d

2

2

h

h

N d

2

2

h

h

N N d

• Membrankräfte

2h

2h

hGrundriss


• Querkräfte

2

2

h

h

Q d

2

2

h

h

Q d


2h

2h

hGrundriss


• Biegemomente und Drillmoment:

2

2

h

h

M d

2

2

h

h

M M d

2

2

h

h

M d


2h

2h

hGrundriss


4.2.3. Gleichgewichtsbedingungen

Hans Eschenauer, Walter Schnell: Elastizitätstheorie, 3., vollständig überarbeitetet und erweiterte Auflage, Wissenschaftsverlag, 1993.


Insgesamt 6 Gleichgewichtsbedingungen:3 Kräftegleichgewichtsbedingungen in Meridian-, Umfangs- und Schalennormalenrichtungen.3 Momentengleichgewichtsbedingungen um die Meridian-tangente, Umfangstagente und Schalennormale.Wegen

ist die Momentengleichgewichtsbedingung um die Schalen-normale automatisch erfüllt.

Daher hat man nur noch 5 Gleichgewichtsbedingungen!

bzw. N N

4.2.3. Gleichgewichtsbedingungen


Q rd N rd (Bogenlänge)rd

1 (Bogenlänge)r d

N r d N r d

1N r d

1 1N r d N r d

1N r d

1 1N r d N r d Q r d Q r d

1r d rp d

Kräftegleichgewichtsbedingungen

Gleichgewicht in Meridianrichtung:

Aus :

N rd N rN dN r d N r r ddd dN

1 1

11 1 1Aus :

N r Nd N r d N r dN N r d N r d d d r d d


1K

Q rd

höhere Ordnung

[ ( ) ]Q r d Q r d Q rd

d 1r

3x

d

Q rd

( )Q rd d

Aus : Q rQ d d

Gleichgewicht in Meridianrichtung


1 1 1

höhere Ordnung

[ ( ) ]N r d N r d N r d

dr

3x1N r d 1( )N r d d

d

1N r d 3x

1( )N r d d

1( ) cosN r d d

1Aus : - cosNN r d d

Gleichgewicht in Meridianrichtung


1 1 1

( )cos

rN Nr r N rQ rr p

1 1 1 1

( )cos sin

rN Nr r N r Q rr p

1 1 1 1

( )sin

rQ Qr r N r N rr p

Kräftegleichgewichtsbedingungen

Alle Beiträge zusammen addieren und dann durch dividieren:d d

Analog für die Breitenkreisrichtung:

Und für die Dickenrichtung:


Momentengleichgewicht um die Tangente der Meridianlinie

Aus :

M rd M rM dM r d M r M d dd dr

1 1

11 1 1Aus :

M r MM M r d M r d d d dd M r d M r d r d

Q rd M rd (Bogenlänge)rd

1 (Bogenlänge)r d

M r d M r d

1M r d

1 1M r d M r d

1M r d

1 1M r d M r d Q r d Q r d

Tangente

1Q r d

1 1Q r d Q r d

Momentengleichgewichtsbedingungen


1

höhere Ordnung

1 1 1Aus : -2 2

rd rdQ Q r d Q r d Q r rdd dQ r

Aus : Kein Beitrag!Q

1 1 1

höhere Ordnung

[ ( ) ]M r d M r d M r d

dr

3x1M r d

1Aus : cosM r dM d

1( )M r d d

d

1M r d

3x

1( )M r d d

1 ) cos(M r d d

Momentengleichgewicht


1 1 1

( )cos 0

rM Mr r M rrQ

1 1 1

( )cos 0

rM Mr r M rrQ

Momentengleichgewichtsbedingungen

Alle Beiträge zusammen addieren und dann durch dividieren:d d

Analog für die andere Momentengleichgewichtsbedingung:


Zusammenfassung: Gleichgewichtsbedingungen

1 1 1

( )cos

rN Nr r N rQ rr p

1 1 1 1

( )cos sin

rN Nr r N r Q rr p

1 1 1

( )sin

rQ Qr rN r N rr p

1 1 1

( )cos 0

rM Mr r M rrQ

1 1 1

( )cos 0

rM Mr r M rrQ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


Sonderfall: Rotationssymmetrische Belastung

1 1

( )cos

d rNr N rQ rr p

d

1 1

( )sin

d rQrN r N rr p

d

1 1

( )cos 0

d rMr M rrQ

d

0 0, 0p N M Q


Sonderfall: Membranzustand

1 1 1

( )cos

rN Nr r N rr p

1 1 1

( )cos

rN Nr r N rr p

1 1sinrN r N rr p

0, 0M M M Q Q


Sonderfall: Membranzustand unter rotationssymmetrischer Belastung

1 1

( )cos

d rNr N rr p

d

1 1sinrN r N rr p

0, 0

0 0, 0

M M M Q Q

p N



Meridiandehnung

1 1 1

infolge infolge

1 1

ˆ ( )w

u

u uds r w d u d u r w d

ds r d

1 1

1 1

ˆ 1ds ds uwds r

1 1

cos sincos cos

r u wdr ds r d

Hans Eschenauer, Walter Schnell: Elastizitätstheorie, 3. Auflage, Wissenschaftsverlag, 1993.



Umfangsdehnung

2

infolge infolge

2

ˆ ( )

cos sin

rv

vds r r d v d v

vr u w d

ds rd

2 2

2

ˆ 1 cos sinds ds vu wds r


d



Verzerrung


1

21

1

1 1

1

cos1 cos

u uu d u d uAB rd rv r dr v drv d v d v

r rAC r d

r dv d vvr v

r d r r

1 21

1 1 cosu v vr r r

vv d

uu d

vv d



1/dw ds

: Verdrehwinkel des Schnittes konst.

wdw d

1 1ds AC r d




1 1 1 1 1infolge infolge

1

wu

w wd du u u wr AC r r d r r

: Verdrehwinkel des Schnittes konst. :

: Verdrehwinkel des Schnittes konst. :

2infolge infolge

1 1sin

wv

v w v wr r r r

1 1

1u wr r

1sinv wr r


1 1 1 1

1 1 1u wr r r r

2

1infolge infolge

1 cos cossin w wv ur r r rr

1 1 1

1 1u wr r r

Meridianverkrümmung:

Umfangsverkrümmung:

21

cossin w wv ur rr



Einfluss von auf :

2 2 2 2

1 1 1 1cot coscotr r r r r


W. Becker, D. Gross: Mechanik elastischer Körper und Strukturen. Springer-Verlag, 2002.


12

21 1 2 1 1

1 1 ( ) 2cos

1 2 2cos 2cos 1 cos =

rr rr r

u w w vv vrr rr r rr rr rr

Schalenverdrillung:


2

21 1 2 1 1

1 2 2cos 2cos 1 cosu w w vv vrr rr r rr rr rr


1

1

1

1 cos sin

1 1 cos

u wr

v u wr

u v vr r r

Zusammenfassung: Dehnungen und Verzerrung

(6)

(7)

(8)


1 1 1

21

2

21 1 2 1 1

1

cossin

1 2 2cos 2cos 1 cos

u wr r r

w wv ur rr

u w w vv vrr rr r rr rr rr

Zusammenfassung: Verkrümmungen und Verdrillung

(9)

(10)

(11)


1

1

1 cos sin

du wr d

u wr

1 1 1

1

1

cos

d u dwr d r r d

dwurr d

0 0, 0p v



12

12

N D

N D

N D

M K

M K

M K

4.2.5 Werkstoffgesetz

2

2

1

1

E

E

G

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)


2

3

2

Dehnsteifigkeit: 1

Biegesteifigkeit: 12 1

EhD

EhK

Werkstoffgesetz (Konstitutive Beziehungen)

Elastizitätsmodul Querkontraktionszahl/Querdehnzahl

Schubmodul : 2(1 )

E

EG G


, , , , , , ,N N N Q Q M M M

, ,

, ,u v w

8 Schnittgrößen:

3 Verschiebungsgrößen:

3 Dehnungs- und Verzerrungsgrößen: , ,

3 Verkrümmungsgrößen:

Man hat also insgesamt 17 Gleichungen (1)-(17) für 17 unbekannte Größen. Das Schalenproblem nach der Biegetheorie ist daher eindeutig lösbar, obwohl es keine einfache Aufgabe ist.

Zusammenfassung: Biegetheorie



, , , ,N N Q M M

,

,u w

5 Schnittgrößen:

2 Verschiebunggrößen:

2 Dehnungsgrößen: ,

2 Verkrümmungsgrößen:

Bei rotationssymmetrischer Belastung hat man hat also insgesamt nur noch 11 unbekannte Größen!


1 1

( )cos

d rNr N rQ rr p

d

1 1

( )sin

d rQrN r N rr p

d

1 1

( )cos 0

d rMr M rrQ

d


3 Gleichgewichtsbedingungen:


1

1

1 cos sin

du wr d

u wr

1 1 1

1

1

cos

d u dwr d r r d

dwurr d

4 kinematische Gleichungen:



N D

N D

M K

M K

4 konstitutive Gleichungen:


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