3939
Allgemeine Volks-wirtschaftslehre fürWiMa und andere(AVWL I)WS 2007/08
Prof. Dr. Sabine JokischInstitut für Wirtschafts-Wissenschaften,Universität Ulm
2.6 Theorie des Haushalts
Nutzenfunktionen und Indifferenzkurven
Nutzenfunktion:
Hilfsmittel, um Präferenzen zu beschreiben
→ Eine Präferenzordnung lässt sich unter den obigen Annahmen über eine Nutzenfunktion u darstellen mit
)x,x(u)x,x(u 12
11
02
01 = wenn )x,x()x,x( 1
211
02
01 ≈
)x,x(u)x,x(u 12
11
02
01 > wenn )x,x()x,x( 1
211
02
01 f
4040
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2.6 Theorie des Haushalts
→ Die Nutzenfunktion ordnet den Präferenzen reelle Zahlen zu.
→ ordinales Nutzenkonzept:nur Größenrelationen sind relevant
4141
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2.6 Theorie des Haushalts
→ Nutzengebirge:
u
x1
x2
1x
2x
4242
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2.6 Theorie des Haushalts
→ positiver Grenznutzen („mehr ist besser als weniger“):
;0xu
1
>∂∂ 0
xu
2
>∂∂
→ abnehmender Grenznutzen:
;0)x(u
21
2
<∂∂
0)x(
u2
2
2
<∂∂
4343
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2.6 Theorie des Haushalts
→ Grafische Herleitung:Schnitt parallel zur u-x1-Ebene in Höhe von x2 im Nutzengebirge
x1
u
01x 1
1x
)x,x(u 21
(analog für x2)
4444
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2.6 Theorie des Haushalts
→ Indifferenzkurven: Höhenlinien im NutzengebirgeSchnitt parallel zur x1-x2-Ebene in Höhe von u
u
x1
x2
1x
2x
4545
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2.6 Theorie des Haushalts
x1
x2
1u
2u3u
4646
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2.6 Theorie des Haushalts
Zusammenhang zwischen GRS und Nutzenfunktion:
Indifferenzkurve: )x,x(uu 21=
→ GRS erhält man durch marginale Veränderung von x1 und x2, dass das Nutzenniveau unverändert bleibt. u
→ totales Differential:
22
11
dxxudx
xu0ud
∂∂
+∂∂
==
)GRS(x/ux/u
dxdx
2
1
u1
2 =∂∂∂∂
=−⇒
→ GRS kann auch als marginale Zahlungsbereitschaft interpretiert werden.
4747
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2.6 Theorie des Haushalts
Beispiele für Nutzenfunktionen:
• Cobb-Douglas-Nutzenfunktion:
β2
α121 xx)x,x(u = mit α>0 und β>0
• Lineare Nutzenfunktion:
221121 xaxa)x,x(u += mit a1>0 und a2>0
• Leontief-Nutzenfunktion:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
2
1
121 a
x,axmin)x,x(u mit a1>0 und a2>0
• Quasilineare Nutzenfunktion:
2121 x)x(v)x,x(u +=
4848
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2.6 Theorie des Haushalts
Konsumentscheidung
• Der Konsument wählt die Kombination von Gütern, die auf der höchstmöglichen Indifferenzkurve liegt.
• Gleichzeitig darf der Konsument die Budgetrestriktion –dargestellt durch die Budgetgerade – nicht überschreiten.
• Die optimale Konsumentscheidung ist durch den Punkt gegeben, an der sich Budgetgerade und Indifferenzkurve tangieren.
• Bei diesem Punkt entspricht die Grenzrate der Substitution dem relativen Preis der Güter, d.h. die Bewertung der beiden Güter durch den Konsumenten entspricht der Bewertung durch den Markt – dem Preis.
4949
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2.6 Theorie des Haushalts
Budgetgerade
A
D
BC
Ex1
x2
1I2I
3I
x1*
x2*
Optimum
5050
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2.6 Theorie des Haushalts
Im Haushaltsoptimum(-gleichgewicht) gilt:
2
1
2
1
pp
x/ux/u)GRS( =∂∂∂∂
=
→ Informationen über die Lage des Haushaltsoptimums liefert die Budgetbeschränkung
→ Anforderung an Steigung der Indifferenzkurve und Budgetbeschränkung
5151
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2.6 Theorie des Haushalts
→ Randlösung: z.B. x1* > 0, x2* = 0
→ innere Lösung: x1* > 0, x2* > 0
x1
x2
x1*
5252
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2.6 Theorie des Haushalts
Formale Lösung des Entscheidungsproblems:
→ Lagrange-Ansatz
]xpxpm[λ)x,x(u)λ,x,x(L 22112121 −−+=
λ: Lagrange-Multiplikator
Notwendige Bedingungen für ein Maximum der Lagrange-Funktion:
;0xL
1
=∂∂ ;0
xL
2
=∂∂ 0
λL=
∂∂
Maximiere u(x1,x2) unter der Nebenbedingung p1x1+p2x2=m
5353
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2.6 Theorie des Haushalts
0pλxu
xL
111
=−∂∂
=∂∂
0pλxu
xL
222
=−∂∂
=∂∂
0xpxpmλL
2211 =−−=∂∂
2
1
2
1
pp
x/ux/u
=∂∂∂∂
⇒ (I)
(II)
(I) und (II) als Bestimmungsgleichungen der optimalen Mengen x1* und x2*
→ (I) und (II) sind notwendige, aber keine hinreichenden Bedingungen für ein Maximum
5454
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2.6 Theorie des Haushalts
→ Auflösung von (I) und (II) nach endogenen Variablen x1und x2 in Abhängigkeit der exogenen Variablen p1, p2 und m:
x1 = x1(p1,p2,m)
x2 = x2(p1,p2,m)
→ Nachfragefunktionen
5555
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2.6 Theorie des Haushalts
→ Einsetzverfahren
Budgetgerade nach einer endogenen Variablen auflösen:
z.B. x2: (III)12
1
22 x
pp
pmx −=
Einsetzen in die Zielfunktion:
)xpp
pm,x(u
2x
12
1
21
43421
−
5656
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2.6 Theorie des Haushalts
Optimierung bzgl. der verbleibenden Entscheidungsvariablen ergibt:
0pp
xu
xu
2
1
21
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
∂∂
+∂∂
oder:
2
1
2
1
pp
x/ux/u
=∂∂∂∂
(I)
→ (I) und (III) bestimmen die optimalen Mengen x1* und x2*
5757
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2.6 Theorie des Haushalts
Nachfragefunktionen spezieller Nutzenfunktionen:
β2
α121 xx)x,x(u =
• Cobb-Douglas-Nutzenfunktion:
→ GRS:1
2
2
1
xx
βα
x/ux/u
=∂∂∂∂
im GG gilt: (I)2
1
1
2
2
1
pp
xx
βα
x/ux/u
==∂∂∂∂
mxpxp 2211 =+Budgetbeschränkung: (II)
5858
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2.6 Theorie des Haushalts
1122 xpαβxp =(I) auflösen:
in (II) einsetzen: mxpαβxp 1111 =+
mxpαβα
11 =+
⇒
11 p
mβα
αx+
=⇒
Nachfragefunktion nach Gut 1
5959
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2.6 Theorie des Haushalts
einsetzen in (I):2
2 pm
βαβx+
=
Nachfragefunktion nach Gut 2
6060
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2.6 Theorie des Haushalts
2121 xxln)x,x(u +=
• Quasi-lineare Nutzenfunktion:
→ GRS:12
1
x1
x/ux/u
=∂∂∂∂
im GG gilt: (I)2
1
12
1
pp
x1
x/ux/u
==∂∂∂∂
mxpxp 2211 =+Budgetbeschränkung: (II)
;ppx
1
21 =⇒ 1
pmx
22 −=
6161
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2.6 Theorie des Haushalts
Komparative Statik
→ Wie beeinflussen Einkommensänderungen die Entscheidung der Konsumenten?
Wir wissen: Eine Einkommenserhöhung verschiebt die Budgetgerade parallel nach außen.
→ Der Konsument ist damit in der Lage, mehr von beiden Gütern zu konsumieren und auf eine höhere Indifferenzkurve zu kommen.
6262
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2.6 Theorie des Haushalts
x1
x2
I1x1*
x2*
ursprüngliche Budgetgerade
ursprüngliches Optimum
x1
x2
I1x1*
x2*
neue Budgetgerade
x1
x2
I1x1*
x2* I2
höhereIndifferenzkurve
x1
x2
I1
x1*
x2* I2
x1**
2**x
neues Optimum
6363
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2.6 Theorie des Haushalts
→ in obiger Abbildung: normale Güter
Konsument kauft mehr von einem Gut bei steigendem Einkommen, d.h.
;0dmdx1 > 0
dmdx2 >
→ Was passiert bei inferioren Gütern?
Konsument kauft weniger von einem Gut bei steigendem Einkommen, d.h.
0dmdx1 < oder 0
dmdx2 <
6464
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2.6 Theorie des Haushalts
→ Grafisch: x2 als inferiores Gut
ursprüngliches Optimum
x1
x2
I1
x1*
x2*
x1
x2
I1x1*
x2*
I2x1**
x2**neues Optimum
6565
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2.6 Theorie des Haushalts
→ Wie beeinflussen Preisänderungen die Entscheidung der Konsumenten?
→ Eine Preissenkung dreht die Budgetgerade nach außen und verändert die Neigung der Budgetgeraden.
6666
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2.6 Theorie des Haushalts
ursprüngliches Optimum
x1
x2
I1x1*
x2*
x1
x2
I1
x1*
x2* I2
x1**
x2**
neues Optimum
6767
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2.6 Theorie des Haushalts
Einkommens- und Substitutionseffekt
Preisänderungen haben zwei Auswirkungen auf die Konsumentscheidungen:
→ Einkommenseffekt
→ Substitutionseffekt
Konsumveränderung aufgrund der Veränderung der relativen Preise
Konsumveränderung aufgrund der Veränderung der Kaufkraft
Im Folgenden: Slutsky-Zerlegung
6868
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2.6 Theorie des Haushalts
Annahme: ∆pi < 0
• Gut i wird im Vergleich zu Gut j billiger. Der Konsument wird Gut j durch Gut i substituieren.
→ Drehung der Budgetgerade entsprechend der Veränderung der relativen Preise
→ Substitutionseffekt
• Die Kaufkraft des Konsumenten nimmt zu. Bei gegebenem Nominaleinkommen kann er sich jetzt mehr von Gut i (oder j) leisten.
→ Bewegung zur neuen Indifferenzkurve
→ Einkommenseffekt
6969
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2.6 Theorie des Haushalts
Grafische Isolierung der beiden Effekte:
• Substitutionseffekt:
Änderung des Preisverhältnisses bei konstanter Kaufkraft
→ Rotation der ursprünglichen Budgetgerade entsprechend der Veränderung der relativen Preise im ursprünglichen Optimum
→ konstante Kaufkraft: trotz veränderter relativer Preise muss das ursprüngliche Güterbündel erreichbar sein
7070
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2.6 Theorie des Haushalts
• Einkommenseffekt:
Änderung der Kaufkraft bei konstanten relativen Preisen
→ Parallelverschiebung der gedrehten Budgetgerade zur Indifferenzkurve im neuen Optimum
7171
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2.6 Theorie des Haushalts
Beispiel: Preissenkung bei Gut 1
x1
x2
I1
x1*
x2*
altes Optimum
x1
x2
I1
x1*
x2*
I2
x1**
x2**neues Optimum
x1
x2
I1
x1*
x2*
I2
x1**
x2**
x1
x2
I1
x1*
x2*
I2
x1**
x2**
x1S
x2S
SE
SE
EE
EE
7272
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2.6 Theorie des Haushalts
Analytische Zerlegung des Gesamteffekts:
→ Vorüberlegung zum Substitutionseffekt:
ursprüngliche Budgetgerade mit Optimum:
*22
*11 xpxpm +=
Budgetgerade nach Preisänderung und konstanter Kaufkraft:
*22
*11 xpx'p'm +=
Subtraktion ergibt:
*2
0
22*111 x)pp(x)p'p(m'm
43421=
−+−=−
7373
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2.6 Theorie des Haushalts
∆m: Änderung des Einkommens, die bei einer Preisänderung ∆p1 erforderlich ist, um die Kaufkraft konstant zu halten
*11xpm'm:m Δ=−=Δ
7474
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2.6 Theorie des Haushalts
→ Zerlegung der gesamten Nachfrageänderung:
*1
**11 xxx −=Δ
)xx()xx( *1
S1
S1
**1 −+−=
)xx()xx( **1
S1
*1
S1 −−−=
m1
S1 xx Δ−Δ=
1
m1
1
S1
1
1
px
px
px
ΔΔ
−ΔΔ
=ΔΔ
⇒
7575
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2.6 Theorie des Haushalts
Wir wissen:
*11xpm Δ=Δ
{ 43421EE
m1*
1
SE1
S1
1
1
mxx
px
px
ΔΔ
−ΔΔ
=ΔΔ
oder *1
1 xmp Δ
=Δ
→ Slutsky-Gleichungen:
für Gut 1:
für Gut 2:(analoge Herleitung) m
xxpx
px m
2*1
1
S2
1
2
ΔΔ
−ΔΔ
=ΔΔ
7676
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2.6 Theorie des Haushalts
0px
1
S1 <
ΔΔ
Direkter Substitutionseffekt:
im Zwei-Güter-Fall: 0px
1
S2 >
ΔΔ
Kreuzpreissubstitutionseffekt:
im n-Güter-Fall (i ≠ j):
Substitutionsgüter: 0px
j
Si >
ΔΔ
Komplementärgüter: 0px
j
Si <
ΔΔ
7777
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2.6 Theorie des Haushalts
Einkommenseffekt:
0mxm
1 >ΔΔ
Gut 1 ist normales Gut:
0mxx:EE
m1*
1 <ΔΔ
−⇒
Gut 1 ist inferiores Gut: 0mxm
1 <ΔΔ
0mxx:EE
m1*
1 >ΔΔ
−⇒
7878
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2.6 Theorie des Haushalts
Gesamteffekt für Gut 1:
• Gut 1 ist normales Gut:
• Gut 1 ist inferiores Gut:
SE < 0; EE < 0 → GE = SE + EE < 0
SE < 0; EE > 0 → GE = SE + EE unbestimmt!
Zwei Möglichkeiten:
|EE| > |SE| → GE > 0 Giffen-Gut
|EE| ≤ |SE| → GE ≤ 0 inferiores Gut, kein Giffen-Gut
7979
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2.6 Theorie des Haushalts
Grafisch: Gut 1 als Giffen-Gut
x1
x2
I1
x1*I2
x1**x1
x2
I1
x1*I2
x1**SE
EE
8080
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2.6 Theorie des Haushalts
Alternative zur Slutsky-Zerlegung: Hicks-Zerlegung
→ Substitutionseffekt wird nicht bei konstanter Kaufkraft, sondern bei konstantem Nutzenniveau ermittelt
→ Grafisch bedeutet das eine Drehung der ursprünglichen Budgetgerade entsprechend der relativen Preisänderung entlang der ursprünglichen Indifferenzkurve
8181
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2.6 Theorie des Haushalts
Ableitung der Nachfragekurve
→ Die Nachfragekurve eines Verbrauchers kann als die Summe seiner optimalen Konsumentscheidungen interpretiert werden, die sich aus seinen Budgetgeraden und seiner Indifferenzkurvenschar ergeben.
8282
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2.6 Theorie des Haushalts
x1
x2
I1
x1* x1**
I2
AB
Haushaltsoptimum Nachfragekurve nach Gut x1
x1
p1
x1* x1**
A
B
p1
p1' Nachfrage
8383
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2.6 Theorie des Haushalts
Anwendung: Wie beeinflusst der Zinssatz die Spartätigkeit?→ Wenn der Substitutionseffekt größer ist als der
Einkommenseffekt, dann führen steigende Zinsen zu größerer Spartätigkeit.
→ Wenn der Einkommenseffekt größer ist als der Substitutionseffekt, dann sinkt die Spartätigkeit mit steigenden Zinsen.
→ Aus Sicht der ökonomischen Theorie sind beide Situationen möglich.
8484
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2.6 Theorie des Haushalts
Beispiel:
Nehmen Sie an, Ihr Lebensabschnitt ist in zwei Perioden aufgeteilt:
• Wenn Sie jung sind, gehen Sie arbeiten und erhalten ein Einkommen von 100.000€.
→ Sie teilen dieses Einkommen auf in Konsum heute und Ersparnisse für morgen.
→ Der Zinssatz betrage 10%.
• Wenn Sie alt sind, gehen Sie nicht mehr und leben von Ihren Ersparnissen einschließlich der Zinszahlungen.
8585
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2.6 Theorie des Haushalts
Konsum-Spar-Entscheidung:
Konsum injungen Jahren
Konsum imAlter
100'
110'
50'
55'
Ersparnis
8686
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2.6 Theorie des Haushalts
a) Ein höherer Zinssatz erhöht die Ersparnis
Konsum injungen Jahren
Konsum imAlter
I1
I2
alte Ersparnis
neue Ersparnis
8787
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2.6 Theorie des Haushalts
b) Ein höherer Zinssatz verringert die Ersparnis
alte Ersparnis
neue Ersparnis
Konsum injungen Jahren
Konsum imAlter
I1I2
8888
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2.6 Theorie des Haushalts
Literaturempfehlung zur Vertiefung:
Varian, H.R. (2001): Grundzüge der Mikroökonomik, 5. Auflage, München, Kapitel 2-6.