regelungstechnik · 2018. 6. 22. · Title: Microsoft Word - regelungstechnik.docx Author: Admin...

REGELUNGSTECHNIK

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© Florian Kurcz

REGELUNGSTECHNIK Inhaltsverzeichnis

Florian Kurcz

[2]

1 Grundbegriffe .................................................................................................... 1

2 Mathematische Beschreibung ..................................................................... 6

2.1 Fourier Reihe ......................................................................................................................................... 7

2.2 Fourier Transformation F ................................................................................................................ 7

2.3 Laplace-Transformation L ............................................................................................................... 8

3 Modellbildung: ............................................................................................... 12

4 Stör- und Führungsverhalten von Regelkreisen ................................ 18

4.1 Charakteristischer Gleichung ....................................................................................................... 20

4.2 Nyquist Kriterium ............................................................................................................................. 21

5 Regelstrecken mit Regler ........................................................................... 24

5.1.1 Langzeitverhalten: ................................................................................................................. 24

5.1.2 Einschwingverhalten: ............................................................................................................ 25

5.2 Stationäres Verhalten von Regelkreisen .................................................................................. 25

5.2.1 Langzeit P-Strecken: .............................................................................................................. 25

5.2.2 Langzeit I-Strecke .................................................................................................................. 27

6 Reglertypen ..................................................................................................... 31

6.1 P-Regler ................................................................................................................................................. 31

6.2 I-Regler .................................................................................................................................................. 31

6.3 D-Regler ................................................................................................................................................ 31

6.4 PI-Regler ............................................................................................................................................... 32

6.5 PD-Regler.............................................................................................................................................. 32

6.6 PID-Regler ............................................................................................................................................ 33

7 Digitale Regler ............................................................................................... 33

7.1 Realisierung analoger Regler als digitaler Regler ................................................................ 35

7.2 Z - Transformation ............................................................................................................................ 39

7.2.1 Rechenregeln der Z Transformation...................................................................................... 42

7.2.2 Beschreibung des Regelkreises mittels Z-Transformation .................................................... 45

7.3 Weitere Reglertypen ........................................................................................................................ 46

7.3.1 Kompensationsregler ............................................................................................................ 46

7.3.2 Kaskadenregelung ................................................................................................................. 46

7.3.3 Zustandsregler ....................................................................................................................... 47

REGELUNGSTECHNIK Grundbegriffe

Florian Kurcz Fourier Reihe

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1 Grundbegriffe

In technischen Prozessen werden physikalische Eingangsgrößen unterschiedlicher Art zu

Ausgangsgrößen umgeformt. Alle Prozesse laufen in der Zeit ab, also können sie Mathematisch als

Funktionen der Zeit aufgefasst werden. Dabei können Störgrößen auftreten, die das Ergebnis

unkontrolliert verändern. Dieser Sachverhalt wird in Signalflussplänen grafisch dargestellt.

Prozessy1(t)

y2(t)

x1(t)

x2(t)

z1(t) zn(t)......

...... Störgrößen

Eingangs-

größen

Ausgangs-

größen

Besitzt ein System nur eine Eingangs und Ausgangsgröße so spricht man von einem Eingrößensystem

(SISO = single input single output) ansonsten von einem Mehrgrößensystem (MIMO = multiple input

multiple output)

Die Pfeile kennzeichnen einen Rückwirkungsfreien Fluss physikalischer Größen. Größen wie

elektrischer Strom, Spannung, Kraft, Geschwindigkeit, etc. Die Kästchen stellen eine Umformung der Größen dar. D.h. hinter jedem Kästchen steht ein mathematischer Ausdruck.

Bsp.1: Widerstand: �� · �� . 1

Ri(t)u(t)

Bsp.2: Spule: �� · �� . d

dti(t) u(t)L

Bsp.3: Geg. RC-Tiefpass

R

Cu1(t) u2(t)i

Ges.:

?u1(t) u2(t)

Vorgehensweise: Man sucht nach den physikalischen Gesetzen (Formeln).

�� · �� 1� · � �� Integrale werden bevorzugt

REGELUGNSTECHNIK Grundbegriffe


[2]

.u1(t) u2(t)

u2(t)

-

1

R

i(t) . 1C

..dt

Dazu werden zwei weitere Elemente benötigt:

- Verzweigungen

Werden benötigt, um eine Größe auf mehrere Stellen wirken zu lassen.

Die Größe wird dabei nicht aufgeteilt.

- Summationspunkt

+

Vorzeichen werden immer Rechts vom Pfeil eingezeichnet. Plus kann dabei weggelassen werden. In

einen Summationspunkt können beliebig viele Signale enden. Sie müssen nur alle die gleiche

Physikalische Eigenschaft haben. Für Summationspunkte gelten Kommutativ- und Assoziativgesetz.

x1

x3

x2

= x1

x3

x2

= x1

x3

x2

Bsp.4.: Geg. RC-Hochpass

R

C

u1(t) u2(t)

i

�� · �� 1� · � �� Schlechter Ansatz, da kein Integral

. 1C

..dt .1

R

u1(t) u2(t)

i1(t)

Bsp.5: Invertierender Verstärker

-

+

IE R1

RGIG

UEUD

UA

� � �v� · � � � � · �� · ��



[3]

. 1

Rg

u1

ig. (-R1)

. (-v0)uD

u2

kann vernachlässigt werden, da uD arithmetische Schleife. Daher muss das Zeitverhalten des OPV’s ebenfalls berücksichtigt werden (=

Verhalten eines RC-Tiefpasses)

. 1Rg

u1

ig. R1

. (-v0)uD

u2.1τ

i dt

+

Bsp.6: Serienschwingkreis

C

R

L

u

uL

uC

uR

i

�� 1� � �� 1� � �� · �� · �� 1� � ��

uu-uR

i.1

Ldt

-

. 1C

dt

. R

uL

uC

uR

-

Bsp.7: Parallelschwingkreis

C

R

Lu

uLuC

uR

i iC

iRL

�� · �� · � �� · ��



[4]

u i

.L

uL

uR-

iC

iRL

.C

.1

R

iC

uR

u

i

Bsp.8: Federpendel

γk

m

h

F

Dämpfungselementx(t)F ?

F

Feder dehnen � · � Massebeschleunigung · �! Reibungswiderstände " · �#

$�� · �! % " · �# % � · � Nach �! auflösen �! � 1 · $ � " · �# � � · � �# � � �! �� # ��

x-

x

-dt

g

m.

km

.

xg

m.F dt

In den obigen Beispielen sind die wichtigsten Funktionsblöcke vorgekommen.

Proportionalglieder Differenzialglieder Integralglieder

y(t) x(t)

kp Parameter

Sprunganwort

y(t) x(t)

kD

y(t) x(t)

kI

�� & · '�� · �'�� ( · � '�� In der Automatisierungstechnik unterscheidet man zwischen steuern und regeln.



[5]

- Steuern:

Prozessy(t) x(t)

z(t)

y(t)…Stellgröße

x(t)…Steuergröße

z(t)…Störgröße

Steuern ist ein rein vorwärtsgerichteter Prozess, ohne Rückkopplung. �� $�'��, *��, ��

Nachteil: Störgrößen können zu erheblich Abweichungen führen.

- Regeln:

Prozess x(t)

z(t)

Reglerw(t)

xd(t)e(t)

y(t)…Stellgröße

x(t)…Regelgröße, Istwert

w(t)…Führungsgröße, Sollwert

xd(t),e(t)…Regelungs∆, Soll-Ist-Abweichung

Unter Regeln versteht man das Rückführen der Regeldifferenz auf den Eingang der Strecke. Der

Regler hat dabei die Aufgabe die Regeldifferenz derart zu verarbeiten, dass bei Abweichungen eine

möglichst rasche aber stabile Korrigierung erfolgt.

Typische Formen des Zeitverhaltens:

Stabilität

Art

stabil

grenzstabil

instabil

periodisch aperiodisch

Ursachen für das Auftreten einer Regelfrequenz:

- Sollwertänderung

Der Regler soll den Ist-Wert möglichst schnell an den Sollwert heranführen.

- Störgrößen

sind nicht gezielt beeinflussbare Größen, deren Wirkung der Regler ausgleichen soll. z.B. Lageregelung einer CNC-Fräsmaschine, Störgröße ist Kraftrückwirkung des Fräsprozesses.

Daraus ergeben sich zwei unterschiedliche Anwendungsbereiche:

- Festwertregelung

Der Sollwert w(t) ändert sich nicht (kaum) z.B. Temperaturregelung, Spannungsregelung. Die

Aufgabe des Reglers besteht im ausregeln der Störgrößen

- Folgeregelung

Der Sollwert ändert sich dauernd, die Aufgabe des Reglers ist ein möglichst rasches Nachführen

des Istwertes. Zusätzlich können auch noch Störgrößen auftreten die ausgeglichen werden

müssen.

REGELUGNSTECHNIK Mathematische Beschreibung


[6]

2 Mathematische Beschreibung

Die allgemeine mathematische Beschreibung von zeitlichen Vorgängen erfolgt durch

Differentialgleichungen $��, �# , �! , … , �� '��

Um das Zeit-Verhalten des Systems zu beschreiben, müssen die Differenzialgleichungen des Systems

gelöst werden. Dazu gibt es je nach Art der Differenzialgleichung verschiedenste Lösungsverfahren.

Eine Lösungsmethode macht sich die Tatsache zu nutze, dass alle zeitlichen Vorgänge als Überlagerung

von Schwingungen unterschiedlicher Frequenz aufgefasst werden können (Fourier).

Folgender Ansatz: �� , · -.�/�01� �# �� , · 23 · -.�/�01� �! �� , · �23�� · -.�/�01� ddt �� 67��87��9��:; �� 23 Somit wird aus der Differenzialgleichung eine komplexe Algebraische Gleichung.

$�3�..… Übertragungsfunktion Formel 2.1—1

Die Spannung wird jetzt nicht mehr als eine Funktion der Zeit betrachtet (uninteressant da Sinusform

bekannt), sondern als Funktion der Frequenz (Amplitude und Phase der Sinusschwingung ändern sich

mit der Frequenz). Das Ausgangsignal lässt sich nun durch Multiplikation des Eingangssignals mit der

Komplexen Übertragungsfunktion $�3� berechnen. $�3� kann auch im Bodediagramm/Ortskurve grafisch dargestellt werden.

Dabei ist zu unterscheiden in

• Lineares System

Übertragung ist unabhängig der Amplitude des Eingangssignals. D.h. aus dem Sinus am Eingang

wird wieder ein Sinus am Ausgang. f1 => f1

• Nicht-lineares System

Das Eingangsignal wird verzerrt am Ausgang wiedergegeben, daher ergibt eine Fourier-Analyse

mehrere Frequenzen. f1 => f1, f2, f3, f4, …

(f1 … Grundschwingung, f2, f3, … Oberschwingungen)

Folglich ist bei nichtlinearen Systemen keine eindeutige Zuordnung zwischen Eingangs- und

Ausgangsfrequenz möglich. Daher können sie auch nicht im Frequenzbereich dargestellt werden. Es

lassen sich jedoch die meisten technischen Prozesse im Betriebsbereich linearisieren, sodass dieser

Lösungsansatz zielführend ist.

Lösungsverfahren

DGL

lösen

F (jω)

transformieren

y(t)

Y(ω)

transformieren

x(t)

X(ω).

< ��3� � $�3� · < ��3�



[7]

Um nun im Frequenzbereich arbeiten zu können, muss das Eingangssignal y(t) in sein

Frequenzspektrum von Y(ω) bzw. das Ausgangsspektrum X(ω) in das zugehörige Zeitsignal x(t).

2.1 Fourier Reihe Ist x(t) ein periodisches Signal so kann es durch Fourieranalyse in lauter Sinusförmige Anteile zerlegt

werden.

Formel 2.1—1

x(ω)

ω

wird abgebildet

x(t)

tω0 2ω0 3ω0 4ω0

wobei ω0 die Grundfrequenz und 2ω0, 3ω0 die Oberschwingungen darstellen. an und bn sind die Koeffizienten, die Amplitude und Phase der einzelnen Frequenzen beinhalten.

In komplexer Schreibweise:

=> � 9> % 2 · ?> Formel 2.1—2

Formel 2.1—3

2.2 Fourier Transformation FFFF Ein nicht periodisches Signal (wie es praktisch vorkommt) kann als periodisches Signal mit

Periodendauer unendlich aufgefasst werden. Daher geht ω0 gegen 0 und die Oberschwingungen

wandern immer näher zusammen. d.h. das diskrete Spektrum n. ω0 geht in ein kontinuierliches

Spektrum über.

Formel 2.2—1

Rücktransformation:

Formel 2.2—2

Die Fouriertransformation ist für die Regelungstechnik ungünstig, da:

1. Die Zeit bei -∞ beginnt und die Vergangenheit nicht darstellbar ist.

2. Für wichtige unstetige Funktionen keine geschlossen Lösung möglich ist.

�� 9� % @A9> · cos�; · 3� · �� % ?> · sin�; · 3� · ��GH>I�

�� @ =>H>I� · -.·>·/J·� =�;� � 3�K · � �� · -L.·>·/J·� ��

K30

� K30

=�3� � 12K · � �� · -L.·/·� ��H

LH

�� =�3� · -.·/·� �3HLH


Florian Kurcz Laplace-Transformation L

[8]

3. Sie nur ein statisches Frequenzspektrum liefert.

Deshalb verwendet man eine modifizierte Art, die so genannte Laplace Transformation.

2.3 Laplace-Transformation LLLL

O � P % 23 P … . Rä 8T;UO�-V Formel 2.3—1 Der Dämpfungsterm enthält die zeitliche Änderung des Frequenzspektrums.

Rücktransformation:

Formel 2.3—2

Da das Rücktransformationsintegral schwierig zu lösen ist, nutzt man so genannte

Korrespondenztafeln, in diesen sind die wichtigsten Grundfunktionen enthalten.

Bsp.1:

Einschalt-, Sprungfunktion

x(t)

t

1

�� W�� X0 TüV � Z 01 TüV � [ 0\ W�� ]�O� ]�O� � � 1 · -L^·� ��H� � � 1O · �-LH � -�� 1O � 1P % 23 |]�O�| � 1√P� % 3� bei ω � 0 �� |]�O�| � 1P Bsp.2:

Um a nach rechts verschobene Einschaltfunktion

x(t)

t

1

�� W�� 9� � X0 TüV � Z 91 TüV � [ 9\ �� ]�O � 9�

=�O� � � �� · -L^·� ��H�

�� 12K · 2 · � =�O� · -^·� �Od0./

dL./



[9]

]�O� � � 0 · -L^·� �� % ]�O� � � 1 · -L^·� ��He

e�

� \� 1s · -L^·�feH � 1s · -Le·^

Das Frequenzspektrum ist wieder das gleiche wie bei Bsp1. Jedoch um die Zeitspanne a zeitlich

verschoben. Dieser Zusammenhang gilt allgemein für eine beliebige Funktion.

� Verschiebungssatz:

Formel 2.3—3

Praktische Bedeutung hat der Verschiebungssatz bei Totzeitgliedern gh� (Zeitverzögerung 0ter Ordnung) z.B. Förderband, Rohrleitung, Signallaufzeit, usw…

Symbol:

T0

y(t) x(t)

Bsp.3:

x(t)

t

1

t1 t2 �� W�� W�� =�O� � 1O · �-L�i·^ � -L�j·^�

Bsp.4:

�� · -Le·� =��O� � � �� · -Le·� · -L^·� ��H� � � �� · -L�^0e�·� ��H�

� $�O % 9� � Dämpfungssatz:

Formel 2.3—4

Bsp.5:

'�� #�� k�O� � � �#�� · -L^·� ��H

�

� · vlH�

� \ · v|�H �� l · vH� � -L^·�# �� l � �O · -L^·� vl � �� v � ��

k�O� � \ · v|�H �� l · vH� � \-L^·� · ��|�H % O · � -L^·� · �� H�

� -L^·H · ��∞� � -L^·� · ��0� % O · =�O� � O · =�O� � ��0� � Differentionsssatz:

Formel 2.3—5

�� · -ne·� =��O o 9�

�� O · =�O� � ��0�

�� 9� =�O� · -Le·^



[10]

Das heißt, dass eine Differentiation einer Funktion im Frequenzbereich in eine Multiplikation mit s

übergeht. Daher kann jede lineare Differentiationsgleichung in eine Algebraische Gleichung in s

überführt werden. Ähnlich wie beim Ansatz mit 23

Allgemeine DGL.: ?� · ' % ?� · 'l % ?� · 'll % p % ?> · '�>� � 9� · � % 9� · �l % 9� · �ll % p % 9q · ��q� ?� · k�O� % ?� · O · k�O� % p ?> · O> · k�O� � 9� · =�O� % 9� · O · =�O� % p 9q · Oq · =�O� k�O� · �?� % ?� · O % p % ?> · O>� � =�O� · �9� % 9� · O % p % 9q · Oq�

� Übertragungsfunktion:

Formel 2.3—6

Bsp.1:

Geg. System 2. Ordnung ' � �!�� % 3�#�� % �

Ges. Übertragungsfunktion k�O� � O� · =�O� % 3O · =�O� % =�O� k�O� � =�O� · �O� % 3O % 1� $�O� � =�O�k�O� � 1O� % 3O % 1 Bsp.2:

Geg. Übertragungsfunktion $�O� � 2O % 1Os % 4O� % 3O % 1 Ges. Differentialgleichung $�O� � =�O�k�O� � 2O % 1Os % 4O� % 3O % 1

=�O� · �Os % 4O� % 3O % 1� � k�O� · �2O % 1� =�O� · Os % =�O� · 4O� % =�O� · 3O % =�O� � k�O� · 2O % k�O� �u�� % 4�!�� % 3�#�� % �� 2'#�� % '��

Zusammenstellung der wichtigsten Rechenregeln:

1. Linearität 9 · T�� 9 · $�O� Formel 2.3—7 2. Überlagerung T�� % T�� $��O� · $��O� Formel 2.3—8 3. Faltungssatz T�� v T�� T�wT��x$��O� · $��O� Formel 2.3—9 4. Ähnlichkeitssatz T�9 · �� 19 · $ yO9z Formel 2.3—10 5. Verschiebungssatz T�� 9� $�O� · -Le·^ Formel 2.3—11 6. Dämpfungssatz T�� · -Le·� $�O % 9� Formel 2.3—12 7. Differentiationssatz �T�� O · $�O� � T�0� Formel 2.3—13 8. Integrationssatz � T�� 1O · $�O� Formel 2.3—14

$�O� � =�O�k�O� � ?� % ?� · O % p % ?> · O>9� % 9� · O % p % 9q · Oq



[11]

Korrespondenztabelle:

Bildfunktion

F(s) = LLLL {f(t)} Originalfunktion

f(t) = LLLL -1 {F(s)} 1 1 P(�) = � W(�)�� 2 O P(�) = � W²(�)��² 3

1O W(�)

4 1O² � = � W(�) ��

5 1

O>0� �>;!

6

1 % · O -L�

7 1

1 % · O 1 · -

L�

8

O · (1 % · O) 1 � -L�

9 ²

(1 % · O)² � · -L�

10 1

O � 9 -e·�

11 1

O · (O � 9) 19 · (-e·� � 1)

12 1

O² · (O � 9) 19² · (-e·� � 1 � 9 · �)

13 O

(O � 9)² (1 % 9 · �) · -e·� 14

1(O � 9)² � · -e·�

15 1

(O � 9)>0� �>;! · -e·�

16 O

O² % 9² cos (9 · �) 17

1O² % 9²

19 · sin (9 · �)

18 1

O · (O² % 9²) 19² · w1 � cos (9 · �)x

19 O

O² � 9² cosh (9 · �) 20

1O² � 9²

19 · sinh (9 · �)

21 1

O · (O² � 9²) 19² · (cosh(9 · �) � 1)

22 O % ?

9² % (O % ?)² -L·� · cos(9 · �)

23 1

9² % (O % ?)² 19 · -L·� · sin(9 · �)

REGELUGNSTECHNIK Modellbildung:


[12]

3 Modellbildung:

1. Aufstellen der Gleichungen für die physikalischen Zusammenhänge

2. Unterteilen in eine geeignete Anzahl von Übertragungsfunktionen die durch jeweils einen Block

dargestellt werden.

3. Verbinden der Blöcke mit Wirkungslinien (Zusammenhänge überlegen) 4. Vereinfachen der Blockstruktur und ermitteln der Gesamtübertragungsfunktion

Aus den Rechenregeln der Laplace-Transformation lassen sich Regeln herleiten wie mit den Blöcken im

Signalflussplan umzugehen ist.

• Serienschaltung: =��O� � =��O� · $��O� =s�O� � =��O� · $��O� =s�O� � =��O� · $��O� · $��O�

F1(s) F2(s)x2(s)

x3(s)x1(s)

Formel 2.3—1

• Parallelschaltung:

F1(s)

F2(s)

y(s) X(s)

X1(s)

X2(s)

=�O� � =��O� % =��O� =��O� � k�O� · $��O� =��O� � k�O� · $��O� =�O� � k�O� · w$��O� % $��O�x

Formel 2.3—2

• Rückkopplung:

F1(s)

F2(s)

y(s) x(s)

+

=�O� � wk�O� o k��O�x · $��O� k��O� � =�O� · $��O� =�O� � wk�O� o =�O� · $��O�x · $��O� � k�O� · $��O� o =�O�� · $��O� · $��O� =�O� · w1 o $��O� · $��O�x � k�O� · $��O�

$�^ � =�O�k�O� � $��O�1 o $��O� · $��O�

$�^ � $� · $�

$�^�O� � $��O� % $��O�



[13]

Formel 2.3—3

• Verlegung von Summationspunkten (Distributivgesetz):

F1(s) F2(s)y(s) x(s)

+


F1(s)

Beweis: $�^ � $��O� · $��O�1 n $��O� · $��O� � $��O� · $��O�1 n $��O� · $��O�


F1(s)


+

1

+

Dasselbe gilt auch für Verzweigungspunkte. Summations- und Verzweigungspunkte dürfen untereinander vertauscht werden, aber nicht miteinander vertauscht werden.

Bsp.1:

RC-Tiefpass

R

Cu1(t) u2(t)i

�� % · �# ��



[14]

u1(t)

1

R

1

C

1

R

1

C . s

u2(t)

u1(s) u2(s)

$�O� � 1� · 1� · O1 % 1� · 1� · O �1 · O1 % 1 · O �

11 % · O

Sprungantwort:



[15]

2. Lösungsweg:



[16]

u1

u3

-

u3

uL

u2

-

1

R

1

C1

R

1

C

R C

Übertragungsfunktion: $ � 11 % · O� $� � · O $�^ � 11 % · O1 % 11 % · O · · O �

1�1 % · O�² % · O � 11 % 3 · O % ² · O²

Sprungantwort:



[17]

Bsp.: Feder-Masse-Schwinger · �! % " · �# % �� $ Dimensionslosmachen /:k � · �! % "� · �# % � � $� Auf beiden Seiten der Gl. Einheit Meter �� · =�O� · O� % "� · =�O� · O % =�O� � k�O� �O� � 11 % "� · O % � · O² Aus Koeffizientenvgl. h� � � 2 · � � "� �� " · √�2 · � · √ � "2 · √� · Mit diesem Modell lassen sich mechanische Antriebssysteme (Antriebswellen, Getriebe, etc.) gut

beschreiben. Sprungantwort: Anstiegsantwort: Impulsantwort: � � �O · $�O� � � �O² · $�O� � � � · $�O�

Weitere wichtige Parameter:

t

λ(t)

TU

u

TG

TA

TL

u ........ Überschwingweite

Tu ...... Verzugszeit

TG ...... Ausgleichszeit

TA ...... Anregelzeit

TE ...... Einstellzeit (Ausregelzeit)

REGELUGNSTECHNIK Stör- und Führungsverhalten von Regelkreisen


[18]

4 Stör- und Führungsverhalten von Regelkreisen

Interessant für die Dimensionierung des Reglers ist das Gesamtverhalten des geschlossenen

Regelkreises und zwar sowohl für Führungsgröße als auch für auftretende Störgrößen.

• Führungsverhalten

FR FS-

yxw

-

yxw

$ � $ · $�1 % $ · $�

• Störverhalten

FR FS-

yxw

z1 z2

Übertragung von z1

FS-

z1 x

FR

$i � $1 % $ · $�

Übertragung von z2

-z2 x

FS FR

$j � 11 % $ · $�

Führungs- und Störverhalten sind verschieden, gemeinsam ist ihnen jedoch der Nenner in der

Übertragungsfunktion (1+FR . FS), dieser ist für die Stabilität des Regelkreises von Bedeutung. Wird der

Nenner in der Übertragungsfunktion 0, so geht die Ausgangsgröße gegen unendlich d.h. das System ist

instabil.



[19]

Bsp.: Gleichstrommotor

1

R

-

Tel Cm

-

1

J

nMB

MLKe = Cm

IA

Cm ………… Drehmomentkonstante [Nm/A]

MB ………… Beschleunigungsmoment [Nm]

ML ………… Lastmoment

J ………… Massenträgheitsmoment [kg m²]

KE ………… Gegen EMK [Vs]

- Führungsfrequenzgang:

$ � 1� · 11 % h · O · �¡ · 1¢ · O1 % 1� · 11 % h · O · �¡� · 1¢ · O ��¡� · �1 % h · O� · ¢ · O % �¡�

� �¡�¡² % � · ¢ · O % � · ¢ · O² · h � 1�¡ · 11 % � · ¢�¡² · O % � · ¢ · h �¡² · O²

PT2, gibt die Dynamik an (dimensionslos)

Vorfaktor (dimensionsbehaftet)

2 · · h� � � · ¢�¡² �� · ¢ · �¡2 · �¡² · £� · h · ¢ � ¤ ¢ · �4 · h · �¡²

- Störfrequenzgang:

--ML

Cm Tel1RA Cm

1J

$ � 1¢ · O1 % 1¢ · O · 1� · 11 % h · O · �¡� �1¢ · O1 % �¡�¢ · O · � · �1 % h · O� �

1¢ · O¢ · O · � · �1 % h · O� % �¡�¢ · O · � · �1 % h · O� $ � ¢ · O · � · �1 % h · O�¢ · O · w¢ · O · � · �1 % h · O� % �¡�x � � · �1 % h · O�¢ · O · � · �1 % h · O� % �¡� $ � � ��¡� · 1 % h · O¥¦¦§¦¦¨

&�1 % ¢ · ��¡� · O % h · ¢ · ��¡� · O²©ªªªªªªªª«ªªªªªªªª¬&j


Florian Kurcz Charakteristischer Gleichung

[20]

4.1 Charakteristischer Gleichung Der gemeinsame Nenner (1+FR . FS) gibt Auskunft über die Stabilität (FR.FS = Produkt aller im Regelkreis

vorhandenen Blöcke). $� · $ � $� …open loop gain = Kettenschaltung aller im Regelkreis enthaltenen Teilübertragungsfunktionen. F0 ist im Allgemeinen eine gebrochen Rationale Übertragungsfunktion

mit q > p. Formel 4.1—1

Wird der Ausdruck 1+F0 gleich 0, so treten in der Übertragungsfunktion Polstellen auf d.h. das System

wird instabil. Daher müssen zur Stabilitätsbestimmung die Nullstellen des Nenners berechnet werden. 1 % $��O� � 0 1 % ��O�®��O� � 0

……charakteristische Gleichung Formel 4.1—2

Die linke Seite der charakteristischen Gleichung stellt ein Polynom vom Grad q dar ¯� % ¯� · O % ¯� · O� % p ¯° · O° ¯� � � % ®� ¯� � � % ®� … ¯± � ± % ®± ¯± % 1 � ®± % 1 ¯° � ®° Ein Polynom vom Grad q besitzt immer q Lösungen (Reelle oder Komplexe)

s1…sq…Nullstellen

Dabei entspricht jede Lösung si mit � ² |1, … , ³~ mit einer Schwingungsgleichung -^´·�mit O � P % 2 · 3 Sind nun alle P Z 0, so klingen die Schwingungen ab und der Regelkreis zeigt ein stabiles Verhalten

Allgemeines Stabilitätskriterium:

Ein Regelkreis ist dann stabil, wenn alle Nullstellen der charakteristischen Gleichung einen negativen

Realteil besitzen (P Z 0).

� ² |1, … , ³~ Formel 4.1—3

Bsp.: Elektromotor $��O� � 1� · 11 % h · O · �¡ · 1¢ · O · �¡ � �¡²� · ¢ · 1O · �1 % h · O� …IT1-Verhalten �¡²� · ¢ � µ $��O� � µO · �1 % h · O� µ % O · �1 % h · O� � 0 h · O� % O % µ � 0 O² % Oh % µh � 0 �� O�,� � � 12 · h o ¤ 14 · h ² � µh

Entweder imaginär �� P � � ��·¶· Z 0 => stabil oder reel �� √ Z ��·¶· �� Z 0

®��O� % ��O� � 0

P Z 0 �� O�9?�7

$��O� � ��O�®��O� � � % � · O % � · O² % p ± · O±®� % ®� · O % ®� · O² % p ®° · O°


Florian Kurcz Nyquist Kriterium

[21]

Bsp1.:

Gegeben: $̂ �O� � ¸��0�^�·��0�¹^� Soll mit einem P-Regler $� � �& geregelt werden, ist dieses System stabil? $��O� � 5 · �&�1 % 2O� · �1 % 28O� 5 · �& % �1 % 2O� · �1 % 28O� � 0 �� 56 · O� % 30 · O % 5 · �& % 1 � 0 O� % 3056 · O % 5 · �& % 156 � 0 O�,� � � 1556 o ¤1556� � 5 · �& % 156

Für kp = 0 � �0,268 o 0,232 Z 0 �� O�9?�7 Für kp>0

s1/2 noch negativer

für komplexe Lösung P � � �¸¸½ � �0,268 Z 0 �� dieser Regelkreis ist immer stabil!

Bsp2.: Ist folgende PT1-Strecke stabil? $�O� � 41 % 4O $��O� � �& % 0,2O �� & � 0 $� � 41 % 4O · �& · O % 0,2O � 4�& · O % 0,8O · �1 % 4O� 4�& · O % 0,8 % O · �1 % 4O� � 0 4O� % O · �1 % 4�&� % 0,8 � 0 O� % O · ��& % 0,25� % 0,2 � 0 O�,� � � �& % 0,252 o ¤�& % 0,252 � � 0,2 �� O�9?�7 4.2 Nyquist Kriterium Ein Regelkreis ist dann stabil, wenn die Oszillatorbedingung (Schwingbedingung) nicht erfüllt ist, d.h. die Kreisverstärkung < 1 ist, oder keine Mitkopplung vorhanden ist (Mitkopplung heißt

Phasenverschiebung -180°). Um die Stabilität zu bestimmen muss der Frequenzgang des Regelkreises

ermittelt werden (open-loop-gain).

Der Frequenzgang der open-loop-gain:

Definition:

Ein Regelkreis ist dann stabil, wenn die Ortskurve des Frequenzgangs, des offenen Regelkreises den

kritischen Punkt -1|0 nicht umschließt.

In der Regelungstechnik wird anstatt der Ortskurve das Bodediagramm bevorzugt, da es die Graphische Konstruktion des Frequenzganges des Reglers ermöglicht. 7U|$�| � 7U|$�| � 7U|$| ¾� � ¾� � ¾



[22]

Re (F0)1-1

1

-1

ω = ω = 0

Im (F0)

instabil

grenzstabil

stabil

Bodediagramm:

lg (ω)

|F0|

instabil

grenzstabil

stabil

lg (ω)

ϕ [°]

-180

0

Quantitative Abschätzung der Stabilität:

Re (F0)1-1

1

-1

ω =

Im (F0)

1ε

δ

Der Regelkreis ist stabiler je größer W und P sind. Wie sind die beiden Größen zu bewerten?



[23]

2 Extremfälle:

Re (F0)ω =

Im (F0)

1

ε

δRe (F0)

ω =

Im (F0)

1

ε

δ

ε > 1 (fast 1) ε = ∞

δ > 90° δ = 0°

In beiden Fällen ist die Stabilität des Regelkreises sehr schlecht, da die Stabilität nur so gut ist, wie es

durch das schlechtere der beiden bestimmt wird.

ε und δ im Bodediagramm:

lg (ω)

|F0|

lg (ω)

ϕ

180°

δ

Messung der open-loop-gain:

w-

xRegler Strecke

Testsignal

Systemantwort

• Wobbelverfahren: Als Testsignal wird ein Sinus verwendet (enthält genau eine Frequenz). Durch

Variieren der Frequenz wird der zu messende Bereich durchlaufen. Dabei ist zu beachten, dass das

System zuerst einschwingen muss, dann ist über eine volle Periode des Signals zu messen. Dies ist

bei Systemen mit kurzer Zeitkonstante (Elektrische, Mechanische Systeme) unproblematisch, führt

jedoch bei Systemen mit großen Zeitkonstanten (chemische und thermische Prozesse) zu extrem

langen Messdauern.

• Spektrumanalyse: Hier wird als Testsignal ein weises Rauschen verwendet, dieses lässt sich durch

eine Pseudozufallsfolge digital sehr einfach generieren (PRBS = pseudo random binary sequence).

Die Auswertung erfolgt über einen Spektrumanalysator. Da das Testsignal eine konstante

Amplitudenverteilung enthält, entspricht das Ausgangsspektrum der Übertragungsfunktion. Das

Problem bei der Messung ist der Windowing-Effekt bei der Spektrumanalyse. Dieser kommt daher

REGELUGNSTECHNIK Regelstrecken mit Regler


[24]

zu Stande, da die Messzeit nur eine endliche Dauer besitzt und somit angenommen werden muss,

dass sich das Signal außerhalb des Messfensters periodisch fortsetzt.

Sprünge

Messfenster

Man kann durch Überlagerung so genannter Fensterfunktionen versuchen die Unstetigkeitsstellen die am Rand des Messfensters auftreten zu reduzieren. Dadurch wird jedoch das Signal insgesamt

ein wenig verfälscht.

5 Regelstrecken mit Regler

Nach ihrem Verhalten kann man Strecken folgendermaßen einteilen:

5.1.1 Langzeitverhalten:

Man betrachtet wie sich die Strecke auf längere Sicht hin verhält und lässt dabei das unmittelbare

reagieren auf eine Eingangsgrößen Änderung außer acht.

a. Strecken mit Ausgleich:

∆y ∆x

Eingangsänderungen ∆y im Aussteuerbereich verursachen Ausgangsänderungen ∆x, die ebenfalls

im Aussteuerbereich liegen.

Diese Strecken sind gegengekoppelt und zeigen ein Langzeit-P-Verhalten.

Sie können auch ohne Regler also gesteuert betrieben werden (P, PT0, PT1, …PTn, PD,…PDTn).

Bsp.: thermische Systeme, Elektromotoren, mechanische Antriebssysteme, Spannungsquellen.

Kennart:

Ausgleichsantwort q=∆y/∆x|t => unendlich

Vs…Streckenverstärkung

b. Strecken ohne Ausgleich:

Diese Strecken werden ausgangsseitig immer übersteuert und können daher ohne Regler nicht stabil betrieben werden. Dazu gehören integrale Strecken: Hier wird die Eingangsgröße

aufintegriert

me

h

ma

ma…abfließender Massenstrom

me…zufließender Massenstrom h…...Füllhöhe

∆m = me – ma

∆m > 0 …….. Überlauf

∆m < 0 …….. leer


Florian Kurcz Stationäres Verhalten von Regelkreisen

[25]

Wird die Zuflussmenge nicht geregelt, so wird das System über kurz oder lang in die

Aussteuergrenze gehen.

Alle Strecken mit I-Anteil (I, IT1, IT2,…PI,…)

c. mitgekoppelte Strecken:

Bsp.: Kernspaltungsprozess

5.1.2 Einschwingverhalten: Beschreibt die unmittelbare Reaktion auf Eingangsgrößenänderungen unabhängig davon, welcher

Zustand sich danach einstellt.

Zur Reglerdimensionierung muss zunächst das Langzeitverhalten der Strecke betrachtet werden, erst

wenn dieses in Ordnung ist, kann noch das Einschwingverhalten optimiert werden.

5.2 Stationäres Verhalten von Regelkreisen Für diese Betrachtungen kann die Strecke einer der Grundkategorien P, I oder D zugeordnet werden.

5.2.1 Langzeit P-Strecken:

a. ungeregelt:

y xFS

z1 z2

Fs=Ks � ¿ÀÁ ∆=� � � · Ã � ¿ÀÁ ∆=� � �

Formel 5.2—1

b. geregelt mit P-Regler: $� � �& xFS

z1 z2

FRw-

Ä � 0 ∆�� *� � ∆�� · �� · � % *� � *� · � � ∆�� · �� · � % *� ∆�� · �1 % �� · �� *� · � % *� ∆�� *� · � % *�1 % �� · � � ∆�Å1 % �� · � d.h. die Regelabweichung wird kleiner und zwar so mehr, je größer die Verstärkung des Reglers kR

ist. ∆��∆�Å � 11 % �� · � � V r… Regelfaktor

Der kleinste Regelfaktor ist durch die maximale Reglerverstärkung kR gegeben. Welche

wiederum von der Aussteuergrenze der Strecke abhängt. Daher weist der

P-Regler immer eine bleibende Regelabweichung auf, die er nicht ausregeln kann.

c. geregelt mit I-Regler:

$� � 1h� · O

∆=Å � � · Ã % �



[26]

Störfrequenzgang

$� � �1 % 1h� · O · � �h� · O1 % h�� · O ……… DT1-Verhalten

Sprungantwort

∆=�O� � 1O · h� · O1 % h�� · O ∆=�O� � � · -L �Æ·ÇÈ

∆xZ1

tTRkS

Regelabweichungen werden vollständig ausgeregelt, je kleiner die Zeitkonstante des Reglers TR

desto schneller, jedoch reagiert der I-Regler im ersten Moment überhaupt nicht, d.h. die

Anfangsabweichung ist genauso groß, wie bei der ungeregelten Strecke. Daher wird der I-Regler

nur in Kombination mit einem P-Regler verwendet.

d. geregelt mit PI-Regler

x

z1

w-

TR

kR

TR

kRx=

$� � �1 % � · y�� % 1h� · Oz �h� · � · Oh� · O % �� · � · h� · O % � � h� · O1 % 1� % �� · h� · O

=> DT1-Verhalten

Sprungantwort: ∆=��O� � 1O · h� · O1 % 1� % �� · h� · O ∆=��O� �

�1 % � · �� · -L �Æ·y �ÇÈ0ÇÆz



[27]

∆xZ1

t

z1 . kS1+kRkS

Die Anfangsabweichung wird um den Regelfaktor des Proportionalreglers verkleinert, es bleibt

ebenfalls keine bleibende Abweichung über.

5.2.2 Langzeit I-Strecke $ � 1h · O a. mit P-Regler $� � ��

kR z1 kI

w-

x

$� � 1�� · 11 % h�� · O �1�� % h · O 1h · O · -LÇÆ·^·�

x

1Ts

a. I-Regler:

Bsp.: $� � 1�� · 11 % h�� · O

x

bleibende

Regelabweichung

∆xZ

∆�� 1�� · 1 � -L�·ÇÆÈ $� � 1h� · O PT1 Verhalten

Stabilitätsuntersuchung $� � 1h� · O · 1h · O � 1h� · h · O² � 1h� · h · 3²



[28]

Im

-1

ω=0Re

c. PI-Regler $� � �� % 1h� · O $ � 1h · O $ � 1h · O1 % 1h · O · y�� % 1h� · Oz �

1h · O % �� % 1h� · O �h� · Oh� · h · O� % h� · O · �� h� · O1 % h� · �� · O % h� · h · O² …… DT2-Verhalten

Aus dem DT2 Verhalten folgt: h� � £h� · h � h� · ��2 · h� � h� · ��2 · £h� · h � ¤h� · ��²4 · h

Durch die Wahl der Reglerparameter kann das Verhalten des Regelkreises beeinflusst werden. z.B.

aperiodischer Grenzfall � 1 gewählt. �� 4 · h � h� · ��² �� ¤4 · hh� TR und kR sind nun nicht mehr unabhängig voneinander einstellbar, wird

�� Z ¤4 · hh� �� O¯ÉÄ�;UTäÉ�U, 9;O:;O�-; �V�-¯ÉTäÉ�U

kR = 0

TR = 0

aperiodisch

schwingfähig

Sprungantwort: ∆=�O� � 1O · h� · O1 % h� · 4 · hh�©ªª«ªª¬�J · O % h · h�©«¬Jj · O

� � h�1 % 2h� · O % h�� · O� � h��1 % h� · O�� ∆=�O� h�h�² · � · -L �J



[29]

Berechnung des Maximums (Extremwertberechnung): � �� h�h�� · 1 · -L �J � �h� · -L �J � h�h�� · 1 � �h� · -L �J � 0 1 � �h� � 0 �� h�………69�� Je kleiner TR (desto stärker der I-Anteil) desto früher tritt das Maximum auf.

Wie groß ist das Maximum?

∆=qeÊ�� h�� h�h�� · h� · -LJJ � h�h� · 1- � 1- · h� · £h� · h � 1- · ¤h�h

je stärker der I-Anteil auftritt, desto kleiner wird auch die maximale Abweichung, allerdings wird

dadurch der Reglerkreis auch instabiler. Um die Stabilität wieder zu gewinnen muss die

Proportionalverstärkung erhöht werden. Die Maximale Größe der Reglerparameter ist jedoch

durch die Aussteuergrenze des Systems bestimmt.

Bsp.: Füllstandsregelung:

meSchwimmerReglerventil

h

ma

ma…abfließender Massenstrom

me…zufließender Massenstrom

h…...Füllhöhe

Streckenmodell:

ma

me - ∆m h

Willkürliches Verändern von ma entspricht einer Störung daher:

ma = z

me = y

hist = x

hsoll = w

Zusammenhang Massenänderung und Füllhöhe � Ë · Ì � � Ë · Ì � Ë · , · É �� É � , · Ë , Ä:?-� � ∆ #



[30]

�� É# � 1Ë · , · ∆ # , ∆ # � # � � # É � 1Ë · ,Í�∆ # �� ÃÎ

Regekreis

z

y x

kI

FR-

=> PI-Regler gewählt $� � �� · 1 % 1hÏ · O Untersuchung der Stabilität ε = ∞, δ abhängig von kR, TN => stabil Störfrequenzgang:

$ � � �(O1 % �(O · �� · y1 % 1hÏ · Oz� � �(O1 % �( · ��O % �( · ��hÏ · O�

� � �(OhÏ · O� % �( · �� · hÏ · O % �( · ��hÏ · O�

$ � � �( · hÏ · O�O · �hÏ · O� % �( · �� · hÏ · O % �( · �� ( · hÏ · OhÏ · O� % �( · �� · hÏ · O % �( · �� $ � �hÏ�� · O1 % hÏ · O % hÏ · O²�( · ��

Physikalischer

Vorfaktor

DT2

Koeff Vgl:

\2 · · h� � hÏh�² � hÏ�( · �� Ð ��h� � hÏ�( · �� hÏ · �( · ��4

gewählt aperiodischer Grenzfall: d.h. � 1 hÏ � 4�( · �� h� � 2�( · �� ∆=�O� � # eÑO · hÏ�� · h�² · O · h�²1 % O · h�² ∆�� # eÑ · �( · -L ÇÆ·ÇÒ� ·� t

∆XZmax

T0

REGELUGNSTECHNIK Reglertypen

Florian Kurcz P-Regler

[31]

6 Reglertypen

6.1 P-Regler Schaltung:

U1 U2

R1

Rg

+

-

Sprungantwort:

kP

y(t)

t

Bodediagramm:

kP

v

fϕ

f

'�� & · �� & � ��Ó��

Eigenschaften:

Verursacht stets eine bleibende Regelabweichung. Dies ist besonders problematisch bei Folgerege-

lungen, bei denen mehrere Regelkreise synchron zueinander geregelt werden sollen Schleppfehler

6.2 I-Regler Schaltung:

U1U2

R1

Cg

+

-

Sprungantwort:

y(t)

t

Bodediagramm:

kP

v

fϕ

f90°

-20dB

Dek

'��

Eigenschaften:

- Bei strecken mit Ausgleich, tritt keine bleibende Regelabweichung auf.

- Strecken ohne Ausgleich sind nicht stabil regelbar.

- Reagiert bei auftretenden Störungen sehr langsam. Daher nur in Kombination mit P- Regler

verwendet (PI- Regler).

6.3 D-Regler Schaltung:

U1 U2

Rg

C1-

+

Anstiegsantwort:

y(t)

t

Bodediagramm:

v

fϕ

f-90°

20dB

Dek

'��

REGELUGNSTECHNIK Reglertypen

Florian Kurcz PI-Regler

[32]

Eigenschaften:

- Reine D- Regler sind nicht brauchbar, da sie auf konstante Regelabweichungen nicht reagieren.

Daher immer in Kombination mit einem P- oder PI- Regler. Durch die positive Phasendrehung

verbessert er die Stabilität durch erhöhen der anderen Regelparameter die Regelgüte wesentlich

verbessert werden.

- ein zu hoher D- Anteil bewirkt eine übermäßige Verstärkung von Störungen und Rauschen und führt

daher zu Unruhen im Regelkreis (hochfrequentes Schwingen)Sprungantwort

6.4 PI-Regler Schaltung:

U1 U2

Rg

-

+

Cg

R1

Sprungantwort:

y(t)

tTN

kP

Bodediagramm:

v

fϕ

f-90°

-20dB

Dek

ωe

10 10 . ωe ωe

'�� & · �� % �( · � �� & � ��Ó�� ( · hÏ hÏ � �Ó · �Ó Eigenschaften:

- wirkt wie ein I-Regler, der um TN zuvor mit dem Regeln begonnen hat.

- im stabilen Regelkreisen keine bleibende Regelabweichung - bei Tiefpassstrecken schlechtere Stabilität als ein P- Regler mit gleichem kP.

6.5 PD-Regler Schaltung:

U1 U2

Rg

-

+

C1

R1

Sprungantwort:

y(t)

t

kP

Anstiegsantwort:

y(t)

tTV

kP

Bodediagramm:

v

fϕ

f90°

20dB

Dek

ωe

1010 . ωe ωe

'�� & · �� % �� · �� & � ��Ó�� h h � �� · ��

Eigenschaften:

- Ein PD- Regler wirkt wie ein D-Regler, der bereits um TV vor Auftreten der Abweichung zu Regeln

begonnen hat, d.h. der D- Anteil beschleunigt den P-Regler.

- im stabilen Regelkreisen keine bleibende Regelabweichung

- Bei gleichem kP ist der PD- Regler stabiler als ein P- Regler, da er eine positive Phasendrehung

verursacht. Andererseits kann bei gleicher Stabilität die Regelgüte verbessert werden.

REGELUGNSTECHNIK Digitale Regler

Florian Kurcz PID-Regler

[33]

6.6 PID-Regler Schaltung:

U1 U2

Rg

-

+

C1

R1

Cg

Sprungantwort:

y(t)

t

kP

Bodediagramm:

v

f

-20dB

Dek

'�� & · �� % �� · �� % �( · � �� & � � �Ó�� h � �( · hÏ h � �� · �� hÏ � �Ó · �Ó

Eigenschaften:

- Liefert für die meisten regeltechnischen Aufgaben ausreichend gute Ergebnisse.

- In der Praxis wird für den D- Anteil meist ein DT1 – Verhalten gewählt

7 Digitale Regler

� Vorteile gegenüber analogen Reglern:

- komplexere Regelalgorithmen möglich

- digital parametrierbar, daher auch automatisierbar

- driftfrei und sehr hohe Auflösung bis zu 16bit

- digitale Kopplung (störungsunempfindlich)

� Nachteile gegenüber analogen Reglern: - digitale Regler sind Abtastregler, daher Informationsverlust zwischen den Abtastzeitpunkten,

daher muss die Abtastzeit T0 an den Prozess angepasst werden. Dies kann bei einem Prozess mit

mehreren Abtastzeitpunkten zu sehr hoher Rechenleistung führen, z.B. Drehzahl und

Stromregelung von Gleichstrommotoren

- hoher Hardwareaufwand => heutzutage kein wirkliches Problem mehr

� Prinzipieller Aufbau eines digitalen Regelkreises:

Regel

algorithmusDAC Strecke

ADC

Filterung

x(t)wKyK

y(t)

xK -

wK …………… Führungsgröße digitaler Wert

xK …………… Regelgrößen digitaler Wert

yk …………… Stellgröße digitaler Wert

y(t) …………… Stellgröße analog

x(t) …………… Regelgröße analog


Florian Kurcz PID-Regler

[34]

Der Regelalgorithmus wird mittels Software realisiert. Nur für extrem schnelle Sonderanwendungen

kann ein fest verdrahtetes Rechenwerk umgesetzt werden (FPGA).

Beim Entwurf sind folgende Schritte notwendig:

- Entwurf des Algorithmus (PID, …..)

- Wahl der Abtastzeit (von der Geschwindigkeit des Prozess abhängig)

Prozess Abtastzeit

Strom –Drehzahlregelung bei Stromrichtern für Elektromotoren 1min

- Wahl der Hardwarekomponenten (hängt von der Komplexität des Algorithmus und der Abtastzeit

ab. Programmlaufzeit < TAbtast. TAbtast


Florian Kurcz Realisierung analoger Regler als digitaler Regler

[35]

7.1 Realisierung analoger Regler als digitaler Regler Aus einem zeitkontinuierlichen Signal wird ein zeitdiskretes Signal

x (t) ===> x(k) t ===> k . T0 k e N

k.T0T0

x

t

Differentialgleichung ===> Differenzengleichung

P-Anteil '�� & · �� Formel 7.1—1 D-Anteil '�� 1�h� Formel 7.1—2 I-Anteil

'�� ( · @ �� · h�ÇL�I�

Rechteckintegration Formel 7.1—3 '�� ( · @ �� · h�ÇI� '�� ( · @ �� % �� 1�2 · h�ÇL�

I�

Trapezintegration Formel 7.1—4

Programmieransatz:

'�� ( · h� · @ ��ÇI� '�� 1� � �( · h� · @ ��ÇL�I� '�� '�� 1� � �( · h� · �� '�� '�� 1� % �( · h� · ��

Aus diesen Grundfunktionen lassen sich die Standardregler P, PI, PID zusammensetzen.

• Digitale Nachbildung eines PID Reglers:

Differentialgleichung:

'�� & · �� % h · �� % 1hÏ · � �� Ô

� '�� & · Õ�� % h · �� 1�h� % h�hÏ · @ �

Ç

I� ��Ö



[36]

'�� 1� � �& · Õ�� 1� % h · �� 1� � �� 2�h� % h�hÏ · @ �ÇL�

I� ��Ö

'�� '�� 1� � �& · �� 1� % hh� · w�� 2�� 1� % �� 2�x % h�hÏ · �� '�� '�� 1� % �� · ×�g · 1 % hÌh0 % h0h®Ø % �� 1� · ×�g · 1 � 2 · hÌh0Ø % �� 2� · ×�g · hÌh0Ø

b0 b1 b2 '�� '�� 1� % �� · ?� % �� 1� · ?� % �� 2� · ?� ?� � �g · 1 % hÌh0 % h0h® ?� � �g · 1 � 2 · hÌh0 ?� � �g · hÌh0

Signalflussplan:

T0 T0 b2

b1

b0

xdk-2xdk-1xdk

yk-1

T0

yk

Bei digitalen Signalflussplänen gibt es nur mehr 2 Arten von Übertragungsblöcken, nämlich

Multiplikation mit Koeffizienten und Zeitverzögerungen um 1 Abtastschritt (T0).

Beim PI Regler wird Tv = 0

Beim PD Regler wird TN = ∞

Diese Gleichungsstruktur lässt sich sehr effizient in Assembler realisieren. Signalprozessoren benutzen hierzu eine speziell angepasste Hardwarearchitektur, die es erlaubt mit einem Befehl Werte mit

Koeffizienten zu multiplizieren und in einem Akkumulator aufzusummieren.

MAC …. Multiply and accumulate

• Digitale Nachbildung eines PT1 (RC-Tiefpass):

R

Cu1(t) u2(t)i



[37]

�� 1� · � �� 1� · �� 1� · � · �� #�� 1 · w�� x �� #�� ·

Differentialgleichung: �� #�� ·

Differenzengleichung:

�� · �� 1�h� �� · h� � �� · h� � · �� % · �� 1� �� · �h� % � � �� · h� % · �� 1� �� · × h�h� % Ø % �� 1� · × h� % Ø �� · ?� % �� 1� · 9� ?� � h�h� % Koeffizienten der Eingangsgröße 9� � h� % Koeffizienten der Ausgangsgröße

beachte:

?� % 9� � h�h� % % h� % � 1 Bei Langzeit P-Strecken ist die Summe der Koeffizienten gleich der Proportionalverstärkung (hier = 1)

Bsp.: PT1-Strecke mit Digitalregler realisiert � 1O-¯ h� � 0,5O-¯ �� ?� � 0,51,5 � 13, 9� � 11,5 � 23 h� � 0,5O-¯ �� ?� � 0,17, 9� � 0,83 Die Abtastzeit muss laut Abtasttheorem kleiner gleich der Hälfte der kleinsten im System

vorkommenden Zeitkonstante sein. Je kürzer die Abtastzeit gewählt wird, desto feiner ist die

Auflösung. Gleichzeitig werden aber die Koeffizienten unsymmetrischer wodurch es zu numerischen

Fehlern bei der Berechnung kommt. Daher wird in der Praxis die Abtastzeit zwischen ½ und 1/5 der

kleinsten System-Zeitkonstante gewählt.

• Digitale Nachbildung eines PT2:

R1

C1u1(t)i1

R2

C2 u2(t)i2

Differentialgleichung: '�� ² · �! �� % 2 · · �# �� % ��

Differenzengleichung: '�� ¿ÀÀÁ '�� ¿ÀÀÁ �� # �� ¿ÀÀÁ �� 1� h�



[38]

�!�� ¿ÀÀÁ �� 1� h� � �� 1� � �� 2� h�h� � �� 2 · �� 1� % �� 2�h��

'�� · �� 2 · �� 1� % �� 2�h�� % 2 · · �� 1� h� % �� '�� · �h�� % 2 · h� % 1 � �� 1� · 2�h�� % 2 · h� % �� 2� · h�� '�� · � % 2 · · h� % h��h�� 1� · 2

� % 2 · · h�h�� % �� 2� · h�� '�� % �� 1� ·

2� % 2 · · h�h�� 2� · �h�� % 2 · · h� % h��h��

�� '�� · h�� % �� 1� · �2� % 2 · · h�� 2� · �h�� % 2 · · h� % � �� '�� · JjJj0�Ú··J0j % �� 1� · w�j0�Ú··JxJj0�Ú··J0j % �� 2� · LjJj0�Ú··J0j

wobei:

?� � h��h�� % 2 · · h� % � 9� � �2� % 2 · · h��h�� % 2 · · h� % � 9� � � �h�� % 2 · · h� % � Probe:

Sie Summe der Koeffizienten muss 1 sein:

?� % 9� % 9� � h�� % 2� % 2 · · h� � �h�� % 2 · · h� % � � 1 �� V�¯É��U

Signalflussplan:

b0

a2

T0

a1

T0

xKyk

Multiplikator

Zeitverzögerung

Allgemein lässt sich ein Algorithmus n-ter Ordnung so realisieren. �� ?� · '�� % 9� · �� 1� % 9� · �� 2� %p9> · �� ;� b0

an

T0

an-1

T0

yk

a1

T0

xK

xk-n xk-n+1 xk-1

.....

.....


Florian Kurcz Z - Transformation

[39]

Verwendet man diesen Algorithmus als Filter, so spricht man von einem IIR-Filter (Infinite Impuls

Response). Das heißt, ein Eingangsimpuls ist (theoretisch) nach unendlich großer Zeit abgeklungen.

Alle analogen Filter sind IIR-Filter. Durch die Rückkopplung können diese Filter instabil werden.

Gegenstück dazu sind FIR-Filter (Finite Impuls Response)

yk

xK

b0 b1 b2 bm

T0 T0 T0yk-1 yk-2 yk-m

FIR-Filter erzeugen die Ausgangsgröße durch eine gewichtete Mittelwertbildung über die letzten m

Eingangswerte (moving average) @ ?qI� � �& Proportionalverstärkung meistens � 1

Bsp.: FIR-Filter 2ter Ordnung

?� � ?� � ?� � 13 �� '�� % '�� 1� % '�� 2�3

Da FIR-Filter keine Rückkopplung besitzen können sie nicht instabil werden, sie besitzen kein analoges

Gegenstück.

Es können auch beide Filtertypen kombiniert werden

yk

xK

b0 b1 b2 bm

T0 T0 T0yk-1 yk-2 yk-m

an an-1 an-2

T0 T0 T0

bm-1

a1

xk-1xk-n xk-n+1

7.2 Z - Transformation Die bisher Verwendete Methode erlaubt es nur Differenzialgleichungen in Differenzengleichungen

umzubauen und so digitale Filter und Regler zu realisieren. Beim Reglerentwurf benötigt man statt

Differenzialgleichungen komplexe Übertragungsfunktionen. Diese erhält man bei analogen Systemen

mit der Laplacetransformation. Um digitale Regler entwerfen zu können, benötigt man ebenfalls eine

Transformation, die jetzt vom diskreten Zeitbereich in den Frequenzbereich führt.

T0

x(t) x*(t) x(t)

t

x(t)

x*(t)



[40]

�v�� @ �� · P�� · h��HÇI�

Laplace-Transformation (Verschiebungssatz für Delta Funktion (Kronecker)) =v�O� � @ �� · 1 · -LÇ·J·^HÇI�

mit Abtast-Halteglied (ZOH = Zero order holder)

x

t

X°

X*

xã�t�� @ x�k�·Aε�t‐k·T0�‐ε�t‐�k%1�·T0�G∞k�0 Xã�s�� @ x�k�· ç1s ·e‐k·T0·s‐ 1s · e‐�k%1�·T0·s©ªª«ªª¬e‐k·T0·s·eT0·s è∞

k�0 � 1s · @ x�k�·e‐k·T0·s·w1‐e‐T0·sx∞

k�0 Xã�s�� 1‐e‐T0·ss · @ x�k�·e‐k·T0·s∞k�0 =ã�O� � 1 � -LJ·^O · =v�O� 1‐e‐T0·ss ……… Übertragungsfunktion des Halteglieds

Das abgetastete Signal hat immer die selbe Form =v�O� � ∑ A�� · -LÇ·J·^GHÇI� Durch die Abtastung entsteht somit eine Periodizität im Frequenzspektrum mit 3� � �êJ . Für diesen Periodischen Term wird die Abkürzung: * � -J·^

Formel 7.2—1

Graphische Darstellung von s und z Transformation:

jω

δ

Im (z)

Re (z)

ω0 3ω0

2 2

ω0 2ω0 ....

=�*� � @ �� · *LÇHÇI� � w��x



[41]

Horizontale Bewegungen in der s Ebene werden als radiale Bewegungen in der Z Ebene abgebildet.

Vertikale Bewegungen in der S Ebene werden in der Z Ebene als Kreisförmige Bewegungen abgebildet.

Daher erkennt man, dass bei der Z-Transformation nur Frequenzen bis /J� dargestellt werden können.

Darüber hinaus wiederholt sich das Spektrum => Beweis des Abtasttheorems. P Z 0 �� innerhalb des Einheitskreises P � 0 �� auf EK P � 0 �� außerhalb des EK

Übertragung abgetasteter Signale:

G (s)

T0

Y (s) X (s) X* (s)Y* (s)

Y (z) G (z) X (z)

v�O� �@U�� · -L·J·^HI� kv�O� � @'�� · -LÇ·J·^HÇI� Kann auch hier der Faltungssatz angewendet werden?

v�O� · kv�O� �@U�� · -L·J·^HI� · @ '�� · -LÇ·J·^HÇI� �@@U�� · -L·J·^ · '�� · -LÇ·J·^

HÇI�

H

I�

v�O� · kv�O� �@@U�� · '�� · -L·J·^LÇ·J·^HÇI�H

I�

Dies entspricht einem FIR Filter:

yk

xK

g0 g1 g2 gm

T0 T0 T0

Index Eingang Ausgang

0 y0 y0 . g0 = x0

1 y1 y1 . g0 + y0 . g1 = x1

2 y2 y2 . g0 + y1 . g1 + y0 . g2 = x2

3 y3 y3 . g0 + y2 . g1 + y1 . g2+ y0 . g3 = x3

… … ……

v�O� · kv�O� � @�� · -LÇ·J·^HÇI�



[42]

'�� Ô�

=�*� · h�1 � 1*

Formel 7.2—2

Dadurch gelten für abgetastete System dieselben Rechenregeln, wie für kontinuirliche.

Die Z Transformation liefert allerdings nur eine Aussage zu den Abtastzeitpunkten.

Beachte: dieser Berechnung liegt eine synchrone Abtastung zu Grunde.

Dies kann in der Praxis nur näherungsweise erfüllt werden, da zwischen dem Einlesen von x und Ausgeben von y die Rechenzeiten des Prozessors liegt => Algorithmus optimieren.

7.2.1 Rechenregeln der Z Transformation � Linearität:

Formel 7.2—3

� Verschiebungssatz:

Bei abgetasteten Systemen sind nur mehr Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von T0 möglich.

Formel 7.2—4

� Integrationssatz (Summationssatz):

T0

z-1

xk

yk-1

yk

'�� · h� · 11 � 1 · *L� � h� · 11 � 1*

Formel 7.2—5

� Differentiationssatz:

1

T0

z-1

xk

xk-1

yk-

Formel 7.2—6

beachte: die beiden Übertragungsfunktionen von Integrator und Differenzierer sind wieder invers

zueinander.

Mit Hilfe des Differentiationssatzes der Z Transformation ist es nun möglich aus der DGL eines Systems

die Z Übertragungsfunktion zu berechnen.

Bsp.: PT2 Glied: '�� · �! �� % 2 · �# �� % �� k�*� � � · =�*� · 1 � *L�h�

� % 2 · =�*� · 1 � *L�h� % =�*�

=�*� � �O� · k�O�

�� =�*� �� · h�� =�*� · *LÇ

'�� =�*� · 1 �1*h�

; · �� % · '�� ; · =�*� % · k�*�



[43]

k�*� � =�*� · ç� · 1 � *L�h� � % 2 · 1 � *L�h� % 1è k�*� � =�*� · ë� % 2 · h�h�² % �2 · � % · h��h�² · *L� % ²h�² · *L�ì

1?� � 9�?� � 9�?� ¯� � 1?� ¯� � � 9�?� ¯� � � 9�?� $�*� � =�*�k�*� � 1¯� % ¯� · *L� % ¯� · *L� Ä:?-� ¯� í 0

Allgemein gilt für ein FIR Filter n-ter Ordnung:

Formel 7.2—7

Je höher n, desto mehr berücksichtigt man aus der Vergangenheit.

, wobei: ¯� � 1?� , ¯� � � 9�?� , ¯� � � 9�?� , ……… , ¯> � � 9>?�

Zugehörige Differenzengleichung: �� ?� · '�� % 9� · '�� 1� % 9� · �� 2� % p 9> · �� ;�

Allgemein gilt für ein IIR Filter n-ter Ordnung:

Formel 7.2—8

, wobei: �� ?� , �� ?� , �� ?� , ……… , �q � ?q

Zugehörige Differenzengleichung:

�� ?� · '�� % ?� · '�� 1� % ?� · �� 2� % p ?q · ��

Allgemeine Übertragungsfunktion:

$�*� � �� % �� · *L� % p �q · *Lq¯� % ¯� · *L� % p % ¯> · *L> ��¯� % ��¯� · *L� % p �q¯� · *Lq1 % ¯�¯� · *L� % p % ¯>¯� · *L> ¯�¯� � �

9�?�1?� � �9�,¯�¯� � �

9�?�1?� � �9�, p ��¯� � ?�, ��¯� � ?�, p $�*� � ?� % ?� · *L� % p ?q · *Lq1 � 9� · *L� � p � 9> · *L>

$�*� � 1¯� % ¯� · *L� % p % ¯> · *L>

$�*� � �� % �� · *L� % p �q · *Lq



[44]

Sonderfall FIR:

c0 = 1

c1….cn = 0

=> b0 = d0, b1 = d1, …., bm = dm $�*� � =�*�k�*� � ?� % ?� · *L� % p ?q · *Lq1 � 9� · *L� � p � 9> · *L> �� =�*� · �1 � 9� · *L� � p � 9> · *L>� � k�*� · �?� % ?� · *L� % p ?q · *Lq� �� 9� · �� 1� � 9� · �� 2� � ?� · '�� % ?� · '�� 1� % p ?q · '�� ?� · '�� % ?� · '�� 1� % p ?q · '�� % 9� · �� 1� % 9� · �� 2�

Hantelsymbole:

x(t) X(s)

x(t) X(z)

X(s) X(z)

Übersicht über die Transformationen:

kontinuirlicher Zeitbereich kontinuirlicher Frequenzbereich

DGL F(s)

DFZGL F(z)

diskreter Zeitbereich diskreter Frequenzbereich

dx

dts

1 - z-1

T0

xk - xk-1

T0

xk-1 z-1

LaPlace Transformation

Z Transformation

Man erhält die Z-Übertragungsfunktion, indem man in der s Übertragungsfunktion

für s, �LîïiJ einsetzt. Dabei wurde für die Herleitung der Z-Transformation die Rechteckintegration

zwischen den Abtastzeitpunkten 1 und k verwendet.

Auswirkungen der Trapezintegration: '�� '�� 1� % h� · �� 1�2 T02

z-1

xk

xk-1z-1

yk-1

yk

$�*� � =�*�k�*� � h�2 · 1 % *L�1 � *L�



[45]

Formel 7.2—9

Liefern die beiden Übertragungsfunktionen für T0 => 0 dasselbe Ergebnis?

Rechteck: O 1h� · * � 1* � 1h� · -J·^ � 1-J·^ limJH 1h0 · -h0·O � 1-h0·O � limJH Õ

�� h0 -h0·O � 1�� h0 h0 · -h0·OÖ � limJH O · -h0·O1 · -h0·O % h0 · -h0·O · O � limJH O1 % h0 · O � O

Bei unendlich schneller Abtastung verhält sich das digitale System genauso wie das analoge. O h�2 · 1 % *L�1 � *L� � h�2 · * % 1* � 1 � h�2 · -J·^ % 1-J·^ � 1 limJH 2h� · -J·^ % 1-J·^ � 1 � limJH 21 · O · -J·^h� · -J·^ · O · �1 % -J·^� � limJH 2 · O · -J·^1 % -J·^ · �1 % h� · O� � O

Formel 7.2—10

Integrator: $�*� � h�2 · �1 % *L�� · 11 � *L� � h� · �1 % *L�� · 12 · �1 � *L��

FIR Filter 1.

Ordnung

Rechteck-

integrator

Die Trapezintegration lässt sich als normale Rechteckintegration darstellen, bei der das Signal zusätzlich über ein FIR Filter 1. Ordnung geglättet wird. Daher darf bei der Z-Transformation nur die

Rechteckintegration verwendet werden. a alle anderen Integrationsarten zusätzliche Annahmen

betreffen, die nicht im System enthalten sind.

7.2.2 Beschreibung des Regelkreises mittels Z-Transformation

w(t)xd(t) xd* 1-eTo.s

sFR(z) x(t)FS(z)

z(t)

-

FR'

$�*� � $�l �*� · ð|$�O�~1 % $�l �*� · ð|$�O�~ 1 � -LJ·^O h� · 1 % *L�1 � *L�

Damit kann der Reglerentwurf genauso wie bei kontinuierlichen System durchgeführt werden.

(1). Stabilität:

Stabilität kann wiederum mit denselben Kriterien ermittelt werden, wie bei kontinuirlichen

Systemen, z.B. mit der charakterisitschen Gleichung.

O 2h� · 1 � *L�1 % *L�

O h�2 · 1 % *L�1 � *L�


Florian Kurcz Weitere Reglertypen

[46]

Z(s) + N(s) = 0 => stabil, wenn alle |Zi| < 1 sind, wenn alle Nullstellen innerhalb des

Einheitskreises liegen.

Nachteil: Dies ist mit mehr Rechaenaufwand verbunden, als bei den s-

Übertragungsfunktionen.

(2). Regelgüte:

Die Regelgüte kann wiederum an Hand der Sprungfunktion ermittelt werden. Dazu muss die

Z-Übertragungsfunktion wieder in die Differenzengleichung umgerechnet werden, welche

wiederum numerisch ausgewertet werden kann.

7.3 Weitere Reglertypen

7.3.1 Kompensationsregler Die Idee des Kompensationsreglers besteht darin, als Reglerübertragungsfunktion die inveres

Sreckenübertragungsfunktion anzusetzen. $� � 1$

Führungsfrequenzgang:

$ � $� · $1 % $� · $ � $� ·1$�1 % $� · 1$� �

12 Verdoppelt man die Stellgröße, so erhält man den idealen Frequenzgang, was aber bedeuten würde,

dass die Strecke unendlich schnell auf Änderungen reagiert.

Dies ist in der Praxis nicht möglich, weil kein FR realisiert werden kann, dass exakt der inversen

Streckenfunktion entspricht.

Störfrequenzgang: $ � $1 % $� · $ � $2 Kompensationsregler reduzieren Störungen nur auf die Hälfte. Daher ist der Kompensationsregler bei

Regelkreisen in denen nur geringe Störgrößen auftreten gut einsetzbar.

Realisierbarkeit der Reglerübertragungsfunktion:

- Strecken ohne Ausgleich (I-Strecken):

D Regler => leicht realisierbar.

Störfrequenzgang Integral => nicht stabil und nicht brauchbar.

- PT1 Strecken:

PD Regler => leicht realisierbar, Standardregler

Problem liegt bei der Realisierbarkeit des Differenzierers, da es diesen als ideales Element nicht gibt.

PTn Strecken, für n > 1:

Regler enthält n-fache Ableitungen => ist schwierig zu realisieren, da extrem hohe

Werte auftreten.

Praktisch wird der Regler als FIR Struktur n-ter Ordnung realisiert.

7.3.2 Kaskadenregelung Gibt es bei einem Regelkreis zur regelnden Größe auch Ursachen so kann eine höhere Regelgüte

erreicht werden, wenn nicht nur die eigene Regelgröße geregelt wird, sondern auch deren Ursache.

Bsp.: Lageregelung


Florian Kurcz Weitere Reglertypen

[47]

Motorstrom I (Drehmoment) Drehzahl n Position X

Dadurch ergeben sich bei der Kaskadenregelung mehrere Regelkreise, die ineinander verschachtelt

sind.

-

xSoll nsollLage-regler

IsollDrezahl-regler -

U Strom-regler

IistMotor-wicklg.-

MistEMK

Miast

xIstnIst

Steuerung

CNC, SPS

Stromrichter Motor Mechanik

Je weiter innen dich der Regler in der Kaskade befindet, desto schneller muss er reagieren, daher

erfolgt die Digitalisierung der Regler im Laufe der Zeit von außen nach innen.

Stromregler werden heute mit ca. 100µs getaktet.

Drive based automation:

Teile von Steuerungsaufgaben können vom Stromrichter übernommen werden, der vollständig auf

Mikroprozessorbasis aufgebaut ist.

7.3.3 Zustandsregler Die Idee des Zustandsreglers leitet sich aus der des Kaskadenreglers ab und zwar ist ein System dann

optimal regelbar, wenn auf alle inneren Zustände ein Regler reagieren kann. Daher bezeichnet man

jene Größen, die den inneren Zustand des Systems vollständig beschreiben als Zustandsgrößen (xist,

nist, Iist)

Während bei der Kaskadenregelung einzelne Regler für die jeweiligen Größen vorhanden sind versucht

man bei der Zustandsregelung einen Regler zu konstruieren, der auf alle Größen gleichzeitig reagiert

(Parallelstruktur). Der Regler besitzt nun mehrere Soll bzw. Istwerteingänge, die ur jeweils einen Vektor zusammengefasst werden.

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regelungstechnik · 2018. 6. 22. · Title: Microsoft Word - regelungstechnik.docx Author: Admin...

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