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1.4 Polynome

Polynome und ihre Nullstellen

an, an°1, ... , a1, a0 ... Koeffizienten, an = 1 ... normiertes Polynom

Motivierende Frage: Kann z. B. man die Nullstellen von

p(x)= x3°5x2+5x °1 analytisch bestimmen?

S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 42/104

Polynomdivision und Linearfaktoren

Abspaltung von Linearfaktorenx °x0 ist Linearfaktor des Polynoms P(x) genau dann, wenn x0 Nullstelle

des Polynoms ist. P(x) ist also in diesem Fall ohne Rest durch x °x0teilbar.


Ganzzahlige Nullstellen von Polynomen höherer OrdnungWurzelsatzWenn das Polynom

P(x)= anxn+an°1x

n°1+ ...+a1x +a0 mit a0,a1, ...an°1,an 2Z,

eine rationale Lösunguv mit teilerfremden u und v besitzt, dann ist u

Teiler von a0 und v Teiler von an.

Beweisidee: Sei x0 = uv (u,v 2Z, teilerfremd) eine Nullstelle von P(x),

dann gilt

P(x0)= an≥uv

¥n+an°1

≥uv

¥n°1

+ ...+a1

≥uv

¥+a0 = 0

() anun+an°1u

n°1v + ...+a1uvn°1+a0v

n = 0

() uhanu

n°1+an°1un°2+ ...+a1

i=°a0v

n(1)

bzw. () anun =°v [an°1u

n°1+ ...+a1uvn°2+a0v

n°1] (2)

Wegen (1) muss a0 durch u und wegen (2) muss an durch v teilbar sein.

Insbesondere ist die rationale Lösung ganzzahlig, wenn an = 1 ist.


Bemerkungen

Wenn es nicht nur ganzzahlige Koeffizienten gibt, dann muss das

Verfahren nicht funktionen:

Beispiel x3°6x2+ 1

3x °2 besitzt die Nullstelle x = 6, die Zahl 6 ist aber

kein Teiler von 2.

Wenn der führende Koeffizient nicht 1 ist, dann muss die rationale

Lösung keine ganzzahlige Lösung sein.

Beispiel: 2x3°3x2+2x °3 hat die einzige reelle Nullstelle x = 3

2.

Ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und einem führenden

Koeffiziente gleich 1 muss keine ganzzahligen Nullstellen haben:

Beispiel: x2°2x °1 besitzt die Nullstellen x1/2 = 1±p

2 (irrationale

Zahlen).

Auch ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und einem führenden

Koeffiziente gleich 1 muss keine reellen Nullstellen haben!

Beispiel: x2+2x +4= 0 besitzt keine reellen Nullstellen.


Anwendung

Bestimmung von Nullstellen eines normierten Polynoms vom Grad n> 1

mit ganzzahligen Koeffizienten

Pn(x)= 1xn+an°1xn°1+ ...+a1x +a0 mit a0,a1, ...an°1 2Z.

Vorgehen:

(1) Bestimmen alle Teiler des Absolutglieds a0 (positive und negative

Zahlen, auch ±1.)

(2) Durch systematisches Probieren finde man eine Nullstelle x0 des

Polynoms.

(3) Abdividieren des Linearfaktors (x °x0) ergibt Pn(x)= (x °x0)Pn°1

mit einem normierten Polynom vom Grad kleiner n.


Nullstellen

Beispiel:Das Absolutglied des Polynoms P(x)= x3°12x2+47x °60 ist °60.

Als ganzzahlige Nullstellen kommen somit alle ganzzahligen Teiler des

Absolutglieds a0 =°60 in Frage:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30 und ±60.

Durch systematisches Probieren erhalten wir x1 = 3 als Nullstelle, denn

33°12 ·32+47 ·3°60= 27°108+141°60= 0.

Wir wissen jetzt also, dass P(x) ohne Rest durch x °3 teilbar ist.


Polynomdivision

Die Abspaltung des Linearfaktors erfolgt jetzt per Polynomdivision,

analog zum schriftlichen Dividieren von Zahlen:

(x3°12x2 +47x °60) : (x °3)= x2°9x +20

x3°3x2

°9x2+47x

°9x2+27x

20x °60

20x °60

0

Folglich ist

P(x)= x3°12x2+47x °60= (x °3)(x2°9x +20).


Die quadratische Gleichung x2°9x +20= 0 besitzt die Lösungen

x2/3 =°°9

2±

s(°9)2

4°20= 9

2±

s81

4° 80

4= 9

2± 1

2,

d. h. die restlichen beiden Nullstellen sind x2 = 4 und x2 = 5. Das Polynom

P(x) lässt sich faktorisieren gemäß

p(x)= (x °3)(x °4)(x °5).

Ermitteln Sie auf diese Weise die Lösungen der kubischen Gleichung

x3°5x2+5x °1= 0.


1.5 Kegelschnitte

Exkurs: Kegelschnitte

Bei der Parabel handelt es sich um einen Kegelschnitt. Weitere

Kegelschnitte sind die Ellipse (Spezialfall: Kreis) und die Hyperbel.

Bild: Duk/OgreBot (Wikimedia Commons)


Achsenparallele Kegelschnitte

Die Gleichung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt (xM ,yM) lautet

(x °xM)2+ (y °yM)2 = r2.

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung ((xM ,yM)= (0,0)), ergibt sich speziell

x2+y2 = r2.

Die Gleichungen von Ellipse und Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung,

Koordinatenachsen als Hauptachsen und Halbachsen a und b lauten

x2

a2+ y2

b2= 1 und

x2

a2° y2

b2= 1.

Wählt man als Mittelpunkt (xM ,yM), so sind x und y wieder durch

x °xM bzw. y °yM zu ersetzen.


Gärtner-Konstruktion der Ellipse

Auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei gegebenen

Brennpunkten F1 und F2 gleich einer gegebenen Konstante.

Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)

Stimmen die Brennpunkte überein, ergibt sich der Kreis als Spezialfall.


Gärtner-Konstruktion der Hyperbel

Auf der Hyperbel ist die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen

Brennpunkten gleich einer gegebenen Konstante.

Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)

Wo finden sich Kegelschnitte in Natur und Umwelt wieder?


2. Gleichungen, Ungleichungenund Beträge

2.1 Gleichungen

Motivierendes Beispiel und Warnung: Gesucht sind alle reellen

Lösungen der Gleichung

x +2

x2°4= 1.

Nach Multiplikation beider Seiten mit x2°4 ergibt sich die quadratische

Gleichung

x +2= x2°4 () x2°4°x °2= x2°x °6= 0.

Die p–q–Formel liefert

x1/2 = 1

2±

s1

4+6= 1

2±

s1+24

4= 1

2± 5

2

und damit die beiden Lösungen x1 = 3 und x2 =°2.

Das ist falsch! Doch wo liegt der Fehler?


Ein Plot ist kein Nachweis, aber eine gute Idee!

Im Plot sieht man, dass x = 3 die einzige Lösung der Gleichungx+2

x2°4= 1

ist. Weiterhin liegt in x = 2 eine Polstelle vor.

Das wird auch deutlich, wenn man x2°4= (x °2)(x +2) schreibt.


Richtige Lösung

Wegen x2°4= (x °2)(x +2) ist der Nenner für x =°2 bzw. x = 2 nicht

definiert, da sonst durch Null dividiert würde.

Für x 2R\{°2,2} gilt

x +2

x2°4= x +2

(x +2)(x °2)= 1

x °2= 1 () 1= x °2 () x = 3.

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung x = 3.

Da für x 6=±2 äquivalent umgeformt wurde, gibt es keine weiteren

Lösungen, und die Probe dient lediglich der Prüfung auf Rechenfehler.


Lösen von Gleichungen

Eine Gleichung kann immer auch als Nullstellenaufgabe f (x)!= 0

aufgefasst werden. Vorgehensweise:

• Man bestimme den maximalen Definitionsbereich von f .

• Durch äquivalentes Umformen vereinfache man die Gleichung so,

dass die Lösungen einfach bestimmt/abgelesen werden können.

Grundsatz: Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe tun.

Äquivalente Umformungen sind:

• Addition, Subtraktion,

• Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null,

• Division durch eine Zahl ungleich Null,

• Anwendung von eineindeutigen Funktionen (Begriffe später), sofern

alles definiert ist.


Wo steckt der Fehler?

Sei a= b.

a= b (3)

a2 = ab (4)

a2°b2 = ab°b2(5)

(a+b)(a°b)= b(a°b) (6)

a+b = b (7)

a= 0 (8)

Folglich ist a= b = 0 .


Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung

x °2

x +1+ x

x °1= 1+ 2x

x2°1


Betrag und Betragsgleichungen

Der Betrag ist definiert als |x | =(

x , x ∏ 0,°x , x < 0.

Die Gleichung

|x | = a, a 2R, a∏ 0,

hat die Lösungen x1 =°a und x2 = a.


Betragsleichungen

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung

|2x °1| = 2.

Achten Sie dabei auf eine saubere Unterscheidung der Fälle 2x °1∏ 0

und 2x °1< 0.

Stellen Sie die Situation auch geometrisch dar.

Beim Auflösen von Beträgen wird für jeden in der Gleichung

vorkommenden Betrag eine Fallunterscheidung notwendig.


2.2 Ungleichungen

Äquivalentes Umformen von Ungleichungen

• Wird auf beiden Seiten der Ungleichung eine reelle Zahl addiert

oder subtrahiert, so ändert sich das Relationszeichen nicht.

• Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer positiven reellen

Zahl multipliziert (oder dividiert), so ändert sich das

Relationszeichen nicht.

• Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen reellen

Zahl mulipliziert (oder dividiert), so kehrt sich dasRelationszeichen um.

Bestimmen Sie alle Lösungen der Ungleichung °4x +3< x °2.


Betragsungleichungen

Wie bei den Betragsgleichungen ist bei der Auflösung jedesvorkommenden Betrags eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Bestimmen Sie alle x 2R, für die gilt: 2x < |x °1|.


Quadratische Ungleichungen

ax2+bx +c > 0, a, b, c 2R, a 6= 0, andere Fälle analog.

Überführen in Normalform mittels Division durch a (Vorzeichen von a

beachten!)

x2+px +q > 0

1. y = x2+px +q ist eine nach

oben geöffnete Parabel.

2. Es gibt zwei, eine oder keine

Nullstelle.

3. Die Nullstellen trennen

Bereiche mit unterschied-

lichen Vorzeichen.


Date post:	14-Jun-2020
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