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STATISIK

LV Nr.: 1375

SS 2005

8. März 2005

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Zweidimensionale Merkmale

• Frage: Wie lässt sich der Zusammenhang bzw. die Abhängigkeit zw. zwei Merkmalen messen?– Wie stark ist der Zusammenhang bzw. die

Abhängigkeit?

Antwort durch Korrelationsrechnung.– Lässt sich der Zusammenhang in einer

bestimmten Form darstellen?

Antwort durch Regressionsrechnung.

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Zweidimensionale Merkmale

• n Untersuchungseinheiten, 2 Merkmale X und Y, Ausprägungen des Merkmals X a1,…,al und Ausprägungen des Merkmals Y b1,…,bm.

• 2-dimensionales Merkmal (X,Y) mit Ausprägungen (aj,bk), mit absoluten Häufigkeiten hjk und relativen Häufigkeiten fjk=1/hjk

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Kontingenztafel

• Häufigkeitsverteilung von (X,Y) wird durch Kontingenztafel dargestellt.

• Absolute Randhäufigkeiten (von aj für j=1,…,l und bk für k=1,...,m):

• Relative Randhäufigkeiten (von aj für j=1,…,l und

bk für k=1,…,m):

• Randhäufigkeiten ergeben die Häufigkeits-verteilung des Merkmals X bzw.Y (Randverteilung).

m

1kjkj hh

m

1kjkj ff

l

1jjkk hh

l

1jjkk hf

5

Kontingenztafel

• Absolute Häufigkeiten

X Y b1 … bm Σ

a1 h11 … h1m h1.

: : : :

al hl1 … hlm hl.

Σ h.1 … h.m h..=n

6

Kontingenztafel

• Relative Häufigkeiten

X Y b1 … bm Σ

a1 f11 … f1m f1.

: : : :

al fl1 … flm fl.

Σ f.1 … f.m f..=1

7

Kontingenztafel

Es gilt:

• Relative Randhäufigkeit = 1 / n · absolute Randhäufigkeit

• Summe der absoluten Randhäufigkeiten = n

• Summe der relativen Randhäufigkeiten = 1

kkjj hn

1f undh

n

1f

nhhhm

1kk

l

1j

m

1k

l

1jjjk

1fffm

1kk

l

1j

m

1k

l

1jjjk

8

Korrelationskoeffizient

• Bravais-Pearson Korrelationskoeffizient rXY

• 2-dimensionales metrisch skaliertes Merkmal (X,Y) mit Ausprägungen (aj,bk) und Häufigkeiten hjk für j=1,…,l und k=1,…,m.

• Maß für den Zusammenhang zw. X und Y:

n

1i

2i

n

1i

2i

n

1iii

m

1kk

2k

l

1jj

2j

l

1j

m

1kjkkj

XY

)y(y)x(x

)y)(yx(x

h)b(bh)a(a

)hb)(ba(a

r

9

Korrelationskoeffizient

• rXY liegt immer im Intervall [-1,1]

• Extremfälle:

-1 negativer linearer Zusammenhang

rXY = 0 kein linearer Zusammenhang

1 positiver linearer Zusammenhang• Interpretation:

– rXY < 0 d.h. große Werte von X treten mit kleinen Werten von Y auf

– rXY > 0 d.h. große Werte von X treten mit großen Werten von Y auf

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Korrelationskoeffizient

• Probleme: • Scheinkorrelation: X und Y hängen von einem

dritten Merkmal Z ab – Bsp. Gefahr eines Waldbrandes (X) und schlechter

Kornertrag (Y) hängen von der Stärke der Sonneneinstrahlung (Z) ab.

• Nonsenskorrelation: sachlogischer Zusammenhang zw. X und Y– Bsp. Korrelation zw. Anzahl der Störche und der

Anzahl der Geburten in einem Land

• Nichtlinearer Zusammenhang: rXY misst nur einen linearer Zusammenhang

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KorrelationKorrelationskoeffizient = 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

Korrelationskoeffizient = 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

Korrelationskoeffizient = - 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

Korrelationskoeffizient = 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

12

Korrelation

Korrelationskoeffizient = 0,8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

Korrelationskoeffizient = - 0,58

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

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Korrelation

• Fechnersche Korrelationskoeffizient (2 metrisch skalierte Merkmale X und Y): rF

• Basiert auf Vorzeichen der transformierten Paare

1 x* und y* gleiches Vorzeichen od. beide 0

vi = ½ genau einer der Werte x* bzw. y* = 0 0 sonst

)yy,x(x ii

n

1iivV

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Korrelation

• Fechnersche Korrelationskoeffizient:

• Werte im Intervalle [-1,1]

• +1 nicht nur bei positivem linearen Zusammenhang, sonder auch wenn gilt:

oder

n

n2VrF

)yyundx(x ii )yyundx(x ii

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Korrelation

• Rangkorrelationen für ordinal skalierte Merkmale:• Verwendung von Rangzahlen: Merkmal Z,

Ausprägungen z1,…,zn, der Größe nach ordnen (von der größten zur kleinsten) z(1),…,z(n) und nummerieren.

• Rangzahl: R(z(i)) = i für i=1,…,n• Tritt ein Ausprägung mehrmals auf, dann Rang =

arithm. Mittel der Ränge, die sie einnehmen. – Bsp: z(1)=8, z(2)=5, z(3)=5, z(4)=2,

Ränge: R(z(1))=1, R(z(2))=2,5, R(z(3))=2,5, R(z(4))=4

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Korrelation

• Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient rS

• Entspricht dem Bravais-Pearson Koeffizienten der Rangzahlen

• Wert +1 schon bei monoton wachsenden Beobachtungen, d.h. es gilt für alle (xi,yi), (xj,yj): mit xi < xj ist auch yi < yj

n

1i

2i

n

1i

2i

n

1iii

S

(y))R)(R(y(x))R)(R(x

(y))R)(x))(R(yR)(R(xr

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Korrelation

• Yulesche Assoziationskoeffizient für eine Vierfeldertafel

• (X,Y) nominal skaliert• Häufigkeitsverteilung von (X,Y)

• Es gilt: -1 ≤ AXY ≤ +1; falls ein hij=0, so gilt: |AXY|=1; Vorzeichen nur

in Verbindung Vierfeldertafel interpretierbar

21122211

21122211

21122211

21122211XY ffff

ffff

hhhh

hhhhA

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Wahrscheinlichkeitsrechung

• Betrachte Ereignisse die nicht deterministisch (vorherbestimmbar) sind, Ereignisse mit Zufallscharakter.

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Wahrscheinlichkeitsrechung

Grundbegriffe:

• Zufallsexperiment: – Vorgang nach einer bestimmten Vorschrift

ausgeführt, beliebig oft wiederholbar, Ergebnis hängt vom Zufall ab, bei mehrmaligen Durchführung des Experiments beeinflussen die Ergebnisse einander nicht – unabhängig voneinander. (z.B. Münzwurf, Werfen eines Würfels, …)

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Wahrscheinlichkeitsrechung

• Elementarereignisse (Realisationen)– Zufallsexperiment: Reihe aller möglichen

elementarer Ereignisse {e1},…,{en}

• Ereignisraum S:– Menge der Elementarereignisse S={e1,…,en}

• Ereignis: – Jede beliebige Teilmenge des Ereignisraumes

(setzt sich aus einem od. mehreren Elementarereignissen zusammen)

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Wahrscheinlichkeitsrechung

• Vereinigung– Vereinigung von 2 Ereignissen A und B: AUB Menge

aller Elementarereignisse, die zu A oder B gehören

• Durchschnitt– Durchschnitt von 2 Ereignissen A und B: A∩B Menge

aller Elementarereignisse, die zu A und B gehören

• Disjunkte Ereignisse– 2 Ereignisse A und B schließen einander aus, A∩B=Ø

(Ø unmögliches Ereignis)

• Komplementärereignis – Menge aller Elementarereignisse des Ereignisraumes S,

die nicht in Ereignis A enthalten sind

A

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Wahrscheinlichkeitsrechung

• Wahrscheinlichkeit ist ein Maß zur Quantifizierung der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Rahmen eines Zufallsexperiments.

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Wahrscheinlichkeitsrechung

• Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff:

• Bsp. Urne mit 10 Kugeln (8 rot, 2 schwarz)– Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig

gezogene Kugel rot ist (Ereignis A)– Ereignisraum 10 mögl. Elementarereignisse, 8

günstige Fälle– W(A) = 8 / 10 = 0,8

Fälleichen gleichmöglaller Zahl

Fällegünstigen der ZahlW(A)

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Wahrscheinlichkeitsrechung

• Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff:

• Grenzwert der relativen Häufigkeiten des Auftretens von A

n

(A)hlim(A)flimW(A) n

nn

n

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Wahrscheinlichkeitsrechung

• Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff:

• Ereignissen werden „Wettchancen“ zugeordnet. Quote für A ist a:b, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeiten

ba

b)AW(und

ba

aW(A)

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Wahrscheinlichkeitsrechung

• Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff:

• Definition von mathematischen Eigenschaften 1. 0 ≤ W(A) ≤ 1

2. W(S) = 1

3. A und B disjunkt: W(A U B) = W(A) + A(B)

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Zufallsvariable

• Zufallsvariable: Variable deren Wert vom Zufall abhängt (z.B. X, Y, Z)– Bsp. Zufallsexperiment: 2-maliges Werfen

einer Münze. Frage: Wie oft erscheint „Zahl“? Mögliche Werte: 0, 1, 2. Variable „Anzahl Zahl“ hängt vom Zufall ab – Zufallsvariable.

• Realisation (Ausprägung): Wert, den eine Zufallsvariable X annimmt (z.B. x, y, z). – Bsp. 2-maliges Werfen einer Münze, ZV X

„Anzahl Zahl“, Ausprägungen: x1=0, x2=1, x3=2.

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Zufallsvariable

• Zufallsvariable: Funktion, die jedem Elementarereignis eine bestimmt reelle Zahl zuordnet, z.B. X(ej)=xi

• Definitionsbereich einer ZV: Ereignisraum S des zugrundeliegenden Zufallsexperiments.

• Wertebereich einer ZV: Menge der reellen Zahlen.

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Zufallsvariable

• Diskrete Zufallsvariable: ZV mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen Ausprägungen

• Stetige Zufallsvariable: können (zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen) jeden beliebigen Zahlenwert annehmen.

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Wahrscheinlichkeit

• Diskrete Zufallsvariable:

• Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete ZV X eine spezielle Ausprägung xi annimmt, W(X=xi): Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Elementarereignisse ej, denen Ausprägung xi zugeordnet ist:

ij x)X(e

ji ) W(e)xW(X

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Wahrscheinlichkeitsfunktion

• Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV: Funktion f(xi), die für jede Ausprägung der ZV (unterschiedliche Ausprägungen xi einer ZV X) die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens angibt: f(xi) = W(X=xi)

• Eigenschaften:– f(xi) ≥ 0 i=1,2,…

– Σi f(xi) = 1

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Verteilungsfunktion

• Verteilungsfunktion einer diskreten ZV: Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x)

• Es gilt:

• Treppenfunktion

xx

i

i

)f(xx)W(XF(x)

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Verteilungsfunktion

• Verteilungsfunktion einer stetigen ZV (kann in einem bestimmten Intervall jeden beliebigen Wert annehmen): Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x)

• Stetige Funktion

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Verteilungsfunktion

• Eigenschaften einer stetigen Vt-Funktion:1. 0 ≤ F(x) ≤ 1

2. F(x) ist monoton wachsend (d.h. für x1 < x2 gilt F(x1) ≤ F(x2)

3. lim x→-∞ F(x) = 0

4. lim x→∞ F(x) = 1

5. F(x) ist überall stetig

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Wahrscheinlichkeitsdichte

• Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f(x) einer stetigen ZV: Ableitung der Verteilungsfunktion.

• Es gilt:

x

f(v)dvF(x)

f(x)F´(x)

36

Wahrscheinlichkeitsdichte

• Eigenschaften: 1. f(x) ≥ 0

2.

3. 4. W(X=x) = 05. W(a ≤ X ≤ b) = W(a < X < b)6. W(X ≤ a) = F(a)

W(X ≤ b) = F(b)

1f(x)dx

b

a

f(x)dxb)XW(a

W(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)

37

Parameter

• Charakterisierung der Wahrscheinlichkeits-verteilung von Zufallsvariablen durch Parameter (Maßzahlen)

• Erwartungswert E(X) = Lageparameter (Entspricht dem arithm. Mittel)

• Varianz Var(X) = Streuungsparameter

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Erwartungswert

• Diskrete ZV:

• Stetige ZV:

i

iii

ii )f(xx)xW(XxE(X)

f(x)dxxE(X)

39

Varianz

• Diskrete ZV:

• Stetige ZV:

• Standardabweichung:

i

i2

i )f(xE(X)xVar(X)

f(x)dxE(X)xVar(X) 2

Var(X)σX

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Standardisierung

• Lineare Transformation: Y = a + bX

• Spezialfall Standardisierung: a = – E(X) / σX

b = 1 / σX

• Standardisierte Variable Z:

• Es gilt: E(Z) = 0 und Var(Z) = 1Xσ

E(X)XZ

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Theoretische Verteilungen• Diskrete Verteilungen

– Binomialverteilung– Hypergeometrische Verteilung– Poissonverteilung– ...

• Stetige Verteilungen– Gleichverteilung– Exponentialverteilung– Normalverteilung– Chi-Quadrat Verteilung– t-Verteilung (Studentverteilung)– F-Verteilung– ...

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Theoretische Verteilungen

• Wichtigste theoretische Verteilung:

• Normalverteilung: – stetige Verteilung – symmetrische Dichtefunktion– S-förmige Verteilungsfunktion– Erwartungswert: E(X) = µ– Varianz: Var(X) = σ²– Maximum der Dichte bei x=µ– Wendepunkte bei x=µσ

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Normalverteilungen

• Normalverteilung:

• Dichtefunktion (für -∞<x<+∞ und σ>0) :

• Verteilungsfunktion:

2

σ

μx

2

1

2

2n e

2π

1)σμ,(x;f

dve2

1)σμ,(x;F

xσ

μv

2

1

2

2n

2

44

Normalverteilung

• Normalverteilungen mit unterschiedlichen Parametern

45

Normalverteilung

• Verteilungsfunktion

46

Normalverteilung

• Standardnormalverteilung:– Erwartungswert µ = 0– Varianz σ² = 1

• Dichtefunktion: 2z

2

1

n e2π

1(z;0,1)f

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Normalverteilung

• Standardnormalverteilung