Date post: | 06-Apr-2015 |
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1
Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen
5.1.1 Ideales Gasverhalten5.1.2 Reales Gasverhalten
5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
5.3 Kreisprozesse
3
5.1.1 Ideales GasverhaltenP
rof.
Dr.
-In
g.
Ch
. F
ran
ke
• Ideale Gasgleichung:
• Ideale Gasgleichung in extensiven Zustandsgrößen:
• Spezielle oder spezifische Gaskonstante:
TRvp
TRmVp
T
vplimR
0p
10
5.1.1 Ideales GasverhaltenP
rof.
Dr.
-In
g.
Ch
. F
ran
ke
• Ideale Gasgleichung für stationäre Fließprozesse:
TRmVp
16
Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen
5.1.1 Ideales Gasverhalten5.1.2 Reales Gasverhalten
5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
5.3 Kreisprozesse
17
5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Realen Prozessen werden spezielle ZÄ zugeordnet
Isobare: Rohrströmung, Wärmeübertrager ohne Druckverluste, Brennkammer
Isochore: geschlossene Behälter, schnell ablaufende Reaktionen im Motor
Isotherme: Wärmeübertrager mit Phasenwechsel, langsam ablaufende Kompression bzw. Expansion mit Wärmeab- bzw. zufuhr
Isentrope: Adiabate Maschinenprozesse mit vernachlässigbaren Verlusten
• Falls keine der speziellen ZÄ zutrifft, wird die so genannte polytrope ZÄ verwendet
Polytrope: Beliebige ZÄ
18
5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Beschränkt man sich auf reversible ZÄ, so wird es möglich, für reale Prozesse sogenannte Vergleichsprozesse zu definieren, die
I. einfach zu berechnen sind
II. einige wesentliche Eigenschaften des realen Prozesses wiedergeben
• Für die Berechnung benötigt werden dann lediglich:
der Anfangszustand
III. als optimale Prozesse als Maßstab für die Güte des realen Prozesses dienen können
eine Angabe über den Verlauf
eine Angabe über den Endzustand
19
5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Im Kapitel 5.2 werden für alle 5 erwähnten ZÄ folgende Angaben gemacht:
I. die thermische Zustandsgleichung
II. die spezifische Volumenänderungsarbeit
III. die spezifische Druckänderungsarbeit
IV. die reversibel übertragene Wärme (q12)rev , bzw. die Summe aus Wärme und Dissipationsarbeit q12 + ψ12
2
1
v12 dvpw
2
1
p12 dpvw
• Im Kapitel 5.2 werden Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien grundsätzlich nicht berücksichtigt!
0zzg2
cc12
21
22
20
5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Achtung! Die spezifische Volumenänderungsarbeit gibt nur den reversiblen Anteil (w12)rev der an einem einfachen, geschlossenen System verrichteten Arbeit an
Die spezifische Druckänderungsarbeit gibt nur den reversiblen Anteil (wt12)rev der technischen Arbeit bei einem stationären Fließprozess an
• Die gesamte Arbeit gemäß: w12 = (w12)rev + ψ12
bzw. wt12 = (wt12)rev + ψ12
wird mit Hilfe des 1. HS berechnet:
w12 + q12 = u2 – u1
bzw. wt12 + q12 = h2 – h1
21
Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen
5.1.1 Ideales Gasverhalten5.1.2 Reales Gasverhalten
5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
5.3 Kreisprozesse
22
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Maschinen wie Pumpen, Verdichter und Turbinen können meist als adiabat behandelt werden
• Wegen: adiabat + reversibel =► isentrop
Der zugehörige isentrope Maschinenprozess kann als Gütebeurteilung des realen Prozesses dienen
23
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Aus den beiden Formulierungen der Gibbs´schen FundamentalformelT∙ds = du + p∙dv = 0T∙ds = dh – v∙dp = 0
und der idealen Gasgleichungp∙v = R∙T
mit dem Isentropenexponenten κ :v
p
c
c
Isentropengleichung: constvp
24
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Der Isentropenexponent κ ist eine Stoffgröße und für Ideale Gase eigentlich eine Temperaturfunktion
Tc
TcT
v
p
• Für einatomige Gase (He, Ne, Ar, Kr, Xe) gilt:3
5
• Auch sonst kann man bis 200°C meist mit konstantem κ rechnen:
t
κ
Que
lle:
Bae
hr/K
abel
ac:
The
rmod
ynam
ik,
Spr
inge
r V
erla
g ,
13.
Auf
l.
25
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Wegen cp(T) – cv(T) = R > 0, gilt immer κ > 1
Die Isentrope fällt im p-v-Diagramm steiler ab als die Isotherme
p
v
Isentrope: p∙vκ = const
Isotherme: p∙v = const
v1
p1
1
26
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Aus der Isentropengleichung:
mit der idealen Gasgleichung p∙v = R∙T
constvp
1-
1
2
-1
2
1
1
2
p
p
v
v
T
T
(Isentropengleichungen)
27
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Spezifische Volumenänderungsarbeit
oder:
v12w
1
p
pTcTTcw
1-
1
21v12v
v12
1
p
p
1-
TRw
1-
1
21v12
aus: 0dvpdudsTdTcv
dTcdvp v
dw v
28
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Spezifische Druckänderungsarbeit
oder:
p12w
1
p
pTcTTcw
1-
1
21p12p
p12
v12
1-
1
21p12 w1
p
p
1-
TRw
ebenso:
Druck- und Volumenänderungsarbeit unterscheiden sich nur durch den Isentropenexponent κ
29
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Wärme und Dissipationsenergie q12 + ψ12
0q0dsTq 1212
2
1
1212
Eine irreversible ZÄ kann nur isentrop sein, wenn Wärmeabgeführt wird
Eine reversible ZÄ kann nur isentrop sein, wenn sieadiabat verläuft
adiabat + reversibel =► isentrop
30
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Isentroper Verdichterwirkungsgrad ηsV
Verhältnis von theoretisch (minimal) aufzuwendender (isentroper)Antriebsarbeit zu tatsächlich aufzuwendender Antriebsarbeit
real
s
t
tsV h
h
w
w
12
21
• Ist die spezifischen Wärmekapazität annähernd konstant, gilt:
12
12sV TT
TT
wobei: 1-
1
212 p
pTT
31
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
Beispiel: Kompression von Wasserdampf von 1 bar, 150°C auf 10 bar
Δh s
= 6
00 k
J/kg
Δh r
eal =
860
kJ/
kg
s in kJ/(kg∙K)
2
1 → 2´: Idealfall (minimale Arbeit)
1real
s
t
tsV h
h
w
w
12
21
1 → 2 : Realfall (tatsächliche Arbeit)
0,70860
600sV
2´• (adiabate) Kompression in einem Verdichter
h
in
kJ/k
g
32
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Isentroper Turbinenwirkungsgrad ηsT
Verhältnis von tatsächlich gewonnener Turbinenarbeit zu theoretischmaximal zu gewinnender (isentroper) Arbeit
s
real
t
tsT h
h
w
w
21
12
• Ist die spezifischen Wärmekapazität annähernd konstant:
12
12sT TT
TT
wobei: 1-
1
212 p
pTT
33
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• (adiabate) Expansion in einer Turbine
Beispiel: Expansion in Dampfturbinevon 50 bar, 400°C auf 0,1 bar
Δh s
= 1
095
kJ/k
g
Δh r
eal =
821
kJ/
kg
h
in
kJ/k
gs in kJ/(kg∙K)
2´
2
1 → 2´: Idealfall (größtmögliche Arbeit) 1
s
real
t
tsT h
h
w
w
21
12
1 → 2 : Realfall (tatsächliche Arbeit)
0,751095
821sT
34
Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen
5.1.1 Ideales Gasverhalten5.1.2 Reales Gasverhalten
5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
5.3 Kreisprozesse
35
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Kann einem realen Prozess keine der Iso-ZÄ zugeordnet werden, wählt man eine Ersatz-ZÄ in der Form:
constvp n
• Vorteil: wegen des gleichen Aufbaus wie muss in den Gleichungen für die isentrope ZÄ nur κ gegen n ausgetauscht werden
constvp
• Der Paramteter n wird als Polytropenexponent bezeichnet
• n ist (im Gegensatz zu κ) keine Stoffgröße
• Die Zustandsgleichung p∙vn = const wird als Polytropengleichung bezeichnet
36
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
vv
ln
TT
ln
noder
TT
pp
ln
pp
ln
noder
vv
ln
pp
ln
n
n
1-n
1
2
n-1
2
1
1
2
p
p
v
v
T
T
(Polytropengleichungen)
(für technische Anwendungen liegt n oft im Bereich 1 < n < κ)
• Bei der Polytropengleichung handelt es sich um eine einparametrige Approximationsfunktion, deren Parameter n so gewählt wird, dass die Zustandsfunktion durch Ein- und Ausgangs- bzw. Anfangs- und Endzustand verläuft → Bestimmungsgleichungen für n:
37
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Weiter muss gelten:
• Spezifische Volumenänderungsarbeit v12w
1
p
p
1-n
TRTT
1-n
Rw
n
1-n
1
2112
v12
• Spezifische Druckänderungsarbeit p12w
1
p
p
1-n
TRnTT
1-n
Rnw
n
1-n
1
2112
p12
Druck- und Volumenänderungsarbeit unterscheiden sich nur durch den Polytropenexponent n
38
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Aus:
12v1212 TT1-n
-ncq
vv dw
dTc
dvpduddq
12v1212 TT1-n
Rcq
• Oder mit der spezifischen polytropen Wärmekapazität1-n
-ncc vn
12n1212 TTcq
• cn ist keine Stoffgröße
39
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• Jetzt können alle 5 ZÄen auf einfache Weise im p-v-Diagramm dargestellt werden:
p∙va = const
für a = 0 :
für a = 1 :
für a = κ :
für a = n :
für a → ∞:
Cvp 0 Cp Isobare
Cvp 1 Cvp Isotherme
Cvp
Cvp n
Isentrope
Polytrope
a
1
a
p
CvCvp
01
p
C
p
Cv
IsochoreCv
mit:
40
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
Darstellung von p∙va = C im normierten p-v-Diagramm
Isotherme (a = 1)
1
41
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
Darstellung im normierten p-v-Diagramm
Isotherme (a = 1)Isentrope (a = 1,4)
1
42
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
Darstellung im normierten p-v-Diagramm
Isotherme (a = 1)Isentrope (a = 1,4)Isobare (a = 0)
1
43
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
Darstellung im normierten p-v-Diagramm
Isotherme (a = 1)Isentrope (a = 1,4)Isobare (a = 0)Isochore (a → ∞)
1
44
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• a kann auch beliebige andere Werte annehmen, s. Kapitel 5, Aufg. 3: a = -1
a = -1
45
5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
• a kann auch beliebige andere Werte annehmen, s. Kapitel 5, Aufg. 3: a = -1; Aufg. 5: a ≈ -2
a = -1a = -2
Polytrope ZÄen
57
Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase
Pro
f. D
r.-I
ng
. C
h.
Fra
nke
5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen
5.1.1 Ideales Gasverhalten5.1.2 Reales Gasverhalten
5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase
5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung
5.3 Kreisprozesse
58
5.3 KreisprozesseP
rof.
Dr.
-In
g.
Ch
. F
ran
ke
• Jeder Prozess, der ein Fluid von einem gegebenen Anfangszustand über mehrere Zwischenzustände wieder in den Anfangszustand zurück bringt heißt Kreisprozess
z.B. der Wasserkreislauf in einem Dampfkraftwerk (Vergleichsprozess)
Pumpe
Turbine
Kondensator
Dampferzeuger
1
2 3
4
a b
a b
59
5.3 KreisprozesseP
rof.
Dr.
-In
g.
Ch
. F
ran
ke
• Darstellung des Dampfkraftprozesses im T-s-Diagramm:
T
s
1
2
3
4
a b
1 → 2 : isentrope Druckerhöhung
2 → a : isobare Vorwärmung
a → b : isobare Verdampfung
b → 3 : isobare Überhitzung
3 → 4 : isentrope Entspannung
4 → 1 : isobare Kondensation
1
32
4
60
5.3 KreisprozesseP
rof.
Dr.
-In
g.
Ch
. F
ran
ke
• 1. HS für Kreisprozesse:
Für einen beliebigen, stationären Kreisprozess bestehend aus n ZÄen gilt für die Gesamtbilanz (geschlossener Kontrollraum):
ZÄ 1ZÄ i
ZÄ 3ZÄ 2
ZÄ n
(wt)n,n+1 = (wt)n,1 qn,n+1 = qn,1
(wt)12
q12
(wt)23 q23 (wt)34 q34
(wt)i,i+1
qi,i+1
Die Summe aller technischenArbeiten zuzgl. der Summe allerWärmen, die über die Grenzegeht ist gleich Null:
0qwn
1i
n
1it 1ii,1ii,
wobei Zustand n+1 gleichZustand 1 ist
61
5.3 KreisprozesseP
rof.
Dr.
-In
g.
Ch
. F
ran
ke
• Mit der Definition der Nutzarbeit des Kreisprozesses als insgesamt abgegebene technische Arbeit:
tn
1it w-w-
1ii,
n
1i1ii,t qw-
1. Hauptsatz für Kreisprozesse
„Die Nutzarbeit des Kreisprozesses (-wt) ist gleich dem Überschuss der als Wärme aufgenommenen Energie über die als Wärme abgegebene“
62
5.3 KreisprozesseP
rof.
Dr.
-In
g.
Ch
. F
ran
ke
Schlussfolgerungen:
• Wird dem Kreisprozess insgesamt mehr Wärme zugeführt als abgeführt wird,
so ist die Nutzarbeit positiv, (die technische Arbeit des KP insgesamt ist negativ)
Der KP gibt Arbeit nach außen ab, es handelt sich um eineWärmekraftanlage
• Zweck der Wärmekraftanlage ist es, Nutzarbeit zu liefern
• z.B. Dampfkraftanlage oder Verbrennungsmotor
0qw-n
1i1ii,t
63
5.3 KreisprozesseP
rof.
Dr.
-In
g.
Ch
. F
ran
ke
Schlussfolgerungen:
• Wird dem Kreisprozess insgesamt mehr Wärme entzogen als zugeführt,
so ist die Nutzarbeit negativ, (die technische Arbeit des KP insgesamt ist positiv)
Der KP benötigt Arbeit von außen, es handelt sich um eineKälteanlage
• Zweck der Kälteanlage ist der Transport von Wärme von niedriger zu höherer Temperatur
• z.B. Kühlschrank oder Wärmepumpe
0qw-n
1i1ii,t
64
5.3 KreisprozesseP
rof.
Dr.
-In
g.
Ch
. F
ran
ke
• Das Nutzen-Aufwand-Verhältnis bei thermischen Anlagen heißt thermischer Wirkungsgrad:
Aufwand
Nutzen
• Thermische Anlage: Anlage, die einen Wärmestrom von einer Wärmequelle erhält und einen Wärmestrom an eine Wärmesenke abgibt. Außerdem wird Arbeit von einem anderen System aufgenommen oder an ein solches abgegeben
Die thermischen Anlagen unterteilen sich in Wärmekraftanlagen, Verbrennungskraftanlagen und Kälteanlagen (das Nutzen/Aufwand-Verhältnis bei Kälteanlagen wird als Leistungsziffer ε bezeichnet)