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Endliche Automaten

Hans-Detmar Pelz, Willy-Brandt-Gesamtschule, Castrop-Rauxel

Informatik JgSt. 13, Abitur 2009

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Ein endlicher Automat ist ein (mathematisches) Modell eines Systems mit diskreten Ein- und Ausgaben.

Das System befindet sich in einem aus einer endlichen Anzahl von inneren Konfigurationen - sogenannten "Zuständen".

Was versteht man unter einem

endlichen Automaten ?

Ein endlicher Automat wird auch Zustandsmaschine genannt.

Sie ist ein Modell des Verhaltens, bestehend aus Zuständen, Zustandsübergängen und Aktionen

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Wozu dient ein endlicher Automat?

Ein endlicher Automat dient als Werkzeug zur Modellierung von Problemen aus der Wirklichkeit.

Er ist ein mathematisches Modell für viele Vorgänge wie z. B.

•Vorgänge beim Telefonieren

•Durchführung von Additionen

•Bedienung einer Kaffeemaschine

•Steuerung von Fahrstühlen

•Bedienung eines Fahrkartenautomaten

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Definition eines endlichen Automaten

Ein endlicher Automat ist ein Quintupel

M = ( Q, , , q0, E ) mit:

• Q: endliche Menge von Zuständen

• : Eingabealphabet, Q S = • : Überführungsfunktion Q x Q

• q0: einem Startzustand, q0 Q

• E: endliche Menge von Endzuständen

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Symbolische Darstellung eines

endlichen Automaten

Dabei wird der Anfangszustand zusätzlich durch einen Pfeil gekennzeichnet

Alle Endzustände kennzeichnet man durch einen doppelten Rand.

Die Überführungsfunktion wird in diesem Fall durch Pfeile dargestellt.

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Man kann auch durch eine Tabelle darstellen.

Da die nebenstehende Tabelle vollständig ausgefüllt ist, liegt hier eine totale Funktion vor.Das bedeutet:

Jeder Zustand besitzt einen Folgezustand.

Dieser kann auch wieder der Zustand selber sein.

Übrigens:

In einer solchen Tabelle kann man nicht erkennen, welches die Endzustände sind.

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Darstellung als Quintupel

Damit ist M:

M : ({q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6},{a, b}, , q0,{q1, q2, q4, q6})

Wobei als Tabelle angegeben werden muss.

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Informatik JgSt. 13, Abitur 2009Determiniertheit eines endlichen AutomatenWird der Startzustand durch die Eingabe eines Wortes auf einem eindeutig festgelegten Weg in einen Endzustand überführt, handelt es sich um einen deterministischen Automaten.

Das heißt: jeder Zustand liefert genau einen Folgezustand.Beispiele dafür: Fahrkartenautomat, Getränkeautomat, Aufzug, etc.

Stehen einem oder mehreren Zuständen mehrere Folgezustände zur Verfügung, die nur durch Zufall bestimmt werden können, handelt es sich um einen nichtdeterministischen Automaten.

Beispiele dafür: alle Spielautomaten.

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Zurück zum Eingangsbeispiel:

Das Eingangswort aaaab liefert den Endzustand q4.

Fehlerquelle:

Bei dem Eingabewort abaaaba hängt sich der Automat auf.

Wohin führen die Eingabeworte:

• aaaaab

• abbbb

• abababab

• aab ?

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Schriftlicher Auftrag:

Zeichne für Deinen Fahrkartenautomaten die symbolische Darstellung eines endlichen Automaten.

Gib dazu die Menge der Zustände Q, das Eingabealphabet , die Überführungsfunktion auch als Tabelle an, sowie den Startzustand q0 und die Menge der Endzustände.

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Auftrag 2:

Schreibe ein Programm, welches den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier Zahlen a und b findet.

Tipp:

Man ersetzt so lange die größere der beiden Zahlen durch ihre Differenz, bis beide auf diese Weise behandelten Zahlen gleich sind.