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Simulation of Condensing Compressible FlowsMaximilian Wendenburg
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Outline• Physical Aspects
– Transonic Flows and Experiments– Condensation Fundamentals– Practical Effects
• Modeling and Simulation– Equations, Solver, Boundary Conditions
• Results– Validation– Effects in Laval Nozzles, Turbines and Compressors
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Schlieren Photography: Visualizingx∂
∂ρ
lamp
mirror
mirror
camera
wind tunnel
subsonic
y
xsupersonic
sensitive!
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Supersonic Wind Tunnel
A*
vacuumtank10 mbar34 m³
atmospherewindow with Laval nozzle
valve
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T/T0ρ/ρ0
p/p0
Variation of Static Properties in Isentropic Flows
au
Mr
=
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6high cooling rate
Condensation of Dissolved Water Vapor in Air
sK
dtdT 610−≈
low cooling rate
sK
dtdT 510−≈
sK
dtdT 310−−≈
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Partial Pressure of Vapor pv in Isentropic Expansion
240 260 2800
500
1000
1500
2000 Φ0 = 65 %T0 = 295 Kp0 = 105 Pa
ps,∞(T)
i s e n t r o p ic e x p a n s
i o n
T [K]
pv [Pa]
(())0 295
%100)(,0⋅=Φ
∞ Tpp
s
v
)(,
TppS
s
v
∞
=
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Types of Non-Equilibrium CondensationHomogeneous• Nucleation
cluster → nucleus → droplet• Droplet growth• Dominates at high
cooling rates
Heterogeneous• Particles serve as
seeds for droplets• Dominates at low
cooling rates
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• Aircraft– Influence on
lift and drag– Loss of thrust
• Steam Turbines– Erosion– Oscillation
Practical Effects
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Physical Aspects• Isentropic expansion: T↓, ρ↓, p↓• Transonic flows
→High cooling rates ( )→Supersaturation → non-equilibrium→Homogeneous/heterogeneous condensation→Influence of condensation on flow
sK
dtdT 610−≈
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Euler Equations
0)()(0)()(
0)(
=+⋅∇+∂
∂
=+⊗⋅∇+∂
∂
=⋅∇+∂∂
upuEtE
Ipuutu
ut
rr
r
rr
r
r
ρρ
ρρ
ρρ
RTaTpp
eTTuEe
κ
ρ
=
=
=
−=
),()(
221 r
DtDu
tφρφρρφ =⋅∇+
∂∂ )()(
Thermodynamics, EOS:
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Equations for Homogeneous Condensation
+=⋅∇+∂
∂
=⋅∇+∂∂
444 3444 2143421
r
r
growthdroplet
homhom
2hom
nucleationhom
3*3
4hom
hom
homhomhom
4)()(
)()(
dtrdnrJrugt
g
Juntn
ll ρπρρρρ
ρρ
π
TRpp
dtrd
ngr
TRmTr
mTJ
v
rsv
ll
vvl
v
v
⋅⋅−⋅=⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= ∞∞
πρα
ρπ
σπρρσ
π
243
)(34exp)(2
,hom3hom
hom
2*hom
2
3hom4434421
masses totallva
l
mmmmg
++=
Hertz-Knudsen Law
n kg-1 number density of dropletsg - condensate mass fractionJ m-3 s-1 nucleation rate
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Multiphase-Multicomponent Thermodynamics
ρκ
κκρ
paTgg
ggTppggeTT
uEe
=
=
=
=
−=
),,(),,,(
),,(
max
max
max
221 r • Air as carrier gas with
vapor:both ideal gases
• Pure water vapor:real gas behavior
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Solver• CATUM
– Condensation Technische Universität München– density-based FVM solver
• Cell-averaged values• Considering fluxes over cell boundaries: conservative
– 1-D, 2-D, 3-D– on structured multiblock grids– approach: solve local Riemann problems
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Finite Volume Method
L RFLUX
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Reconstruction at Cell Faces• Average values stored in
cell center• Reconstruct the required
value at the cell face• 4 adjacent cells for 2nd
order accuracy• Limiter functions: high
order smoothness where continuous, low order sharpness at shocks
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1-D Riemann Problem
L R
=
EuQ
ρρρ
( )
+
=
upp
EuuQF
01ρ( ) 0=+ xt QFQ
shockcontact waveexpansion wave
pL > pR
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Boundary Conditions: “Ghost Cells”• General: 2 “ghost cells”
for 2nd order accuracy• Inlet
– Pressure extrapolated from outermost cell, other values calculated from stagnation conditions (p0, T0, …) by isentropic relationships, e.g. with
• Wall– Velocity normal to wall is zero
• Outlet– Subsonic: set outlet pressure, extrapolate other values
– Supersonic: extrapolate all
1
212
1
222
1
2
1
11 −
++=
−
−κκ
κ
κ
MM
pp
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Modeling and Simulation• Euler equations• Additional Eqns. for Condensation
– Influence on EOS• Reconstruction• Riemann problem• BCs via ghost cells
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Validation of the Implementation
A1*
M1
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Subcritical Heat Addition in Nozzle S2
x [m]
log10J ho
m
p/p01
g/gmax
-0.05 0 0.055
10
15
20
25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1log10 Jhom g/gmaxp/p01
diabactic
adiabatic
x [m]-0.05 0 0.05
diabatic
M1
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Supercritical Heat Addition in Nozzle S2
x [m]
log10J ho
m
p/p01
g/gmax
-0.05 0 0.055
10
15
20
25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1log10 Jhom g/gmaxp/p01
diabactic
adiabatic
x [m]-0.05 0 0.05
Nozzle S2T0 = 295 Kp0 = 105 PaΦ0 = 65 %
diabatic
M1 M>1
M
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Condensing Flows in Nozzle S2
240 260 2800
500
1000
1500
2000Φ0 = 65 %
Φ0 = 50 %
Nozzle S2T0 = 295 Kp0 = 105 Pa
ps,∞(T)(())
T [K]
pv [Pa]
M=1
Φ0
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Unsteady Effects at High Relative Humidity
t
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Validation of the Implementation
• T0 = 291.7 K• p0 = 1.006 x 105 Pa• Φ0 = 91.1 %• Mode 1
• f = 948 Hz• ½ grid: 241x21 cells
Result
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Symmetric Oscillation in Nozzle S2• T0 = 291.7 K• p0 = 1.006 x 105 Pa• Φ0 = 91.1 %• Mode 1• f = 948 Hz• ½ grid: 241x21 cells
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Hysteresis in Nozzle A1
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Flow in Nozzle A1
• T0 = 305 K• p0 = 105 Pa• Φ0 = 77 %
• f = 1082 Hz• full grid: 220 x 41
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Asymmetric Oscillation in Nozzle S2
• T0 = 305 K• p0 = 105 Pa• Φ0 = 95 %
• f = 3073 Hz• full grid: 241x41 cells
enforced disturbance
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Turbine Stage VKIwith viscous effects
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Rotor Stator InteractionHomogeneous Heterogeneously dominated
p01 = 0.417 bar T01 = 357.5 K β1,1 = 120°Rerotor = 1.13 · 106M2,2,is = 1.13 |u| = 175 m/s nhet,0 = 1016m-3rhet = 10-8 m frs = 2.46 kHz fvs,stator = 10.8 kHz fvs,rotor = 18.5 kHz
g
r
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NORD-1500 Griffon II (1957)Mmax=2.2, Hmax=16400m, 34.32 kN
Alpha Jet (1973)Mmax=0.85, Hmax=14630m, 14.12 kN
Supersonic Axial Compressor
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First Stage of a Supersonic Axial Compressor
Developed view ofa cylindrical cut
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Section of Axial Compressor Stage
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Cascade Element
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Experimental Setup
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Cascade Element of an Axial Transonic Compressor
π=p2/p1=1.764
diabatic flow
M1=1.3
T01=291 K p01=1.008 barφ0=80 %x=10 g/kg
reduction of ca. 18%
adiabatic flow
π=p2/p1=1.440
816.0ππadiabatic
diabatic =
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40
Cascade Element of an Axial Transonic Compressor
π=p2/p1=1.630
diabatic flow
M1=1.3
T01=292 K p01=1.006 barφ0=69.8 %x=9.6 g/kg
reduction of ca. 17%
adiabatic flow
π=p2/p1=1.358
833.0ππadiabatic
diabatic =
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41
Cascade Element of an Axial Transonic Compressor
π=p2/p1=1.055
diabatic flow
M1=1.3
T01=294 K p01=1.005 barφ0=80.3 %x=9.6 g/kg
reduction of ca. 15%
adiabatic flow
π=p2/p1=0.890
844.0ππadiabatic
diabatic =
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Condensation Effects in Transonic Compressors
• Reduction of– inlet Mach number– stage compression ratio
• Loss of– thrust– efficiency
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Results• Steady flows
– Subcritical– Supercritical
• Unsteady flows– Symmetric/asymmetric oscillations– Different modes
• Effects in Turbomachinery
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Discussion
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Critical Radius )ln()( )(2*hom STRT Tr vl ⋅⋅⋅⋅
= ∞
ρσ
r [m]
∆G/k
B/T
0 5E-10 1E-09 1.5E-09-100
-50
0
50
100
150
200
T0 = 295 Kp0 = 105 PaΦ0 = 65 %
r* ≈ 5.5·10-9 m
M = 1.0
surfacecreation
expansionwork
5·10-10 10-9 1.5·10-9
240 260 2800
500
1000
1500
2000
Φ0 = 90 %
Φ0 = 65 %
Φ0 = 50 %
Φ0 = 35 %
Nozzle S2T0 = 295 Kp0 = 105 Pa
ps,∞(T)
i s e n t ro p i c e
x p a n si o n
(()) T [K]
pv [Pa]
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Critical Radius
r [m]
∆G[J]
0 5E-10 1E-09 1.5E-09-1E-19
0
1E-19
2E-19
3E-19
T0 = 295 Kp0 = 105 PaΦ0 = 65 %
M = 1.2
M = 0.8
M = 1.0
r* ≈ 5.5·10-9 m
r* ≈ 9·10-9 m
r* ≈ 4·10-9 m
5·10-10 10-9 1.5·10-9-1·10-19
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Transition in Nozzle A1
t [ms]
log10(|∆
p|+ε)
0 10 20 30 40-6-5-4-3-2-10
Nozzle A1T0 = 305 Kp0 = 105 PaΦ0 = 77 %
01
)()()( ptptptp uo −=∆
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Transition in Nozzle S2
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50
Appendix 1
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Validation with Subcritical Flow in Nozzle S2
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Heat Addition by Condensation• latent heat L [kJ/kg] of
gases in air:– H2O: 2260
• specific heat capacity cp [kJ/kg/K]:– air: 1.004
• Increase of static