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Ökonometrie II
Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30Tel.: 31336-4663
11.3.2005 Ökonometrie II 2
Termine
März: 11., 18., 25. April: 1., 8., 15., 22., 29. Mai: 6., 13., 20., 27.Juni: 3., 10., 17., 24.
11.3.2005 Ökonometrie II 3
Literatur P. Hackl, Einführung in die Ökonometrie. Pearson
Studium, 2004 P. Hackl, Ökonometrie, 7.Auflage. Fakultas Skripten. J. Stewart & L. Gill, Econometrics, 2nd Ed. Prentice Hall,
2000. W.H. Greene, Econometric Analysis. 5th Ed. Prentice Hall,
2002.
11.3.2005 Ökonometrie II 4
Inhalte von Ökonometrie II Themen von Ökonometrie I waren: Lineares
Regressionsmodell, Schätzverfahren, Annahmen des linearen Regressionsmodells, Statistische Bewertung von Regressionsbeziehungen, Variablenauswahl und Missspezifikation, Lineare Restriktionen, Prognose und Prognosequalität
Ökonometrie II behandelt Methodische Erweiterungen Multikollinearität Heteroskedastizität Autokorrelation Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle Trends und Unit root-Tests Instrumentvariablen-Schätzung
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Regression und Modellierung
Multiples lineares RegressionsmodellY: endogene VariableX2, … Xk: exogene Variable
Modell beschreibt den Daten-generierenden Prozess von Y unter der Bedingung X2, … Xk
: Interzept
k: Koeffizienten von X1, …, Xk
1 2 2 ... k kY X X u
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Einkommen und Konsum
200
400
600
800
1000
1200
70 75 80 85 90 95 00
PYRT PCRT
PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EURPYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real1970:1-2003:4
Basis: 1995Quelle: AWM-Datenbasis
11.3.2005 Ökonometrie II 7
Einkommen und Konsum, Forts.
200
400
600
800
1000
500 600 700 800 900 1000 1100
PYRT
PC
RT
PCRT vs. PYRT
PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EURPYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real1970:1-2002:4
Basis: 1995Quelle: AWM-Datenbasis
11.3.2005 Ökonometrie II 8
Konsumfunktion
Dependent Variable: PCR_D4Method: Least SquaresDate: 08/20/04 Time: 11:06Sample(adjusted): 1971:1 2002:4Included observations: 128 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000
R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000
11.3.2005 Ökonometrie II 9
Area-Wide Model (AW-Modell) Europäischen Zentralbank Working Paper Nr. 42 (2001) von Gabriel Fagan, Jerome Henry, Ricardo Mestre beschreibt die makroökonomischen Prozesse der
Euro-Zone Zielsetzung:
the assessment of economic conditions in the area microeconomic forecasting policy analysis deepening the understanding of the functioning of
euro area economy AWM-Datenbasis: ca. 100 Variable, 1976:1 bis 2003:4
11.3.2005 Ökonometrie II 10
EViews Software zur Ökonometrischen Analyse QMS (Quantitative Micro Software, USA) bringt 1994
EViews 1.0 als moderne Version von Micro TSP aktuelle Version: EViews 5.1 (2005) EViews 3.1 weiter als aktuelle Student-Version Link: www.eviews.com/index.html WU: Campus-Lizenz, an allen PCs EViews 5.1
11.3.2005 Ökonometrie II 11
Matrixschreibweisen Beobachtungen
(X1,Y1), … , (Xn,Yn)
Modell: Yt = 1 + 2Xt + ut
= xt‘ + ut, t = 1, …, n,
mit1
2
1,t
t
xX
11.3.2005 Ökonometrie II 12
Matrixschreibweise, Forts.
Gemeinsame Darstellung der n BeziehungenYt = 1 + 2Xt + ut, t = 1, …, n:
y = X + u
mit
1 1 11
2
1
, , ,
1n n n
Y X u
y X u
Y X u
11.3.2005 Ökonometrie II 13
Schätzen der Koeffizienten
1, 2: „wahre“ Regressionskoeffizienten
Störgrößen: ut = Yt - (1 + 2Xt)
Residuen: et = Yt - (b1 + b2 Xt)
Schätzer von i: bi ist Funktion von (Xt, Yt), t = 1, …, n.
Summe der Fehlerquadrate S(1, 2) = t ut
2= t [Yt - (1 + 2Xt)]2
Prinzip der Kleinsten Quadrate:bi = arg min1, 2 S(1, 2)
11.3.2005 Ökonometrie II 14
Ableiten der NormalgleichungenPartielles Ableiten von
S(1, 2) = t [Yt - (1 + 2Xt)]2 liefert
1 21
1 22
2 ( )
2 ( )
t tt
t t tt
SY X
SY X X
Nullsetzen:
ergibt die Normalgleichungen1 2
0, 0S S
11.3.2005 Ökonometrie II 15
Normalgleichungen
Auflösen nach b1 und b2 gibt die OLS-Schätzer
1 2
21 2 t
t tt t
t t tt t t
b b X Y
b X b X X Y
2 2
1 2
xy
x
sb
s
b y b x
2 2
1( )( )
1( )
xy t tt
x tt
s X x Y yn
s X xn
mit
11.3.2005 Ökonometrie II 16
OLS-Schätzung in Matrixform
Yt = xt‘ + ut, t = 1, …, n
odery = X + u
Summe der FehlerquadrateS() = (y-X)‘(y-X)
= y‘y -2y‘X+‘X‘X
OLS-Schätzer: b = (X‘X)-1X‘y
11.3.2005 Ökonometrie II 17
Konsumfunktion, Forts.
Dependent Variable: PCR_D4Method: Least SquaresDate: 08/20/04 Time: 11:06Sample(adjusted): 1971:1 2002:4Included observations: 128 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000
R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000
ˆ 0.011 0.747C Y
11.3.2005 Ökonometrie II 18
Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue: Schätzer bfür Parameter ist
erwartungstreu, wennE{b} =
Effizienz: Schätzer bfür Parameter ist effizienter als b*, wenn Var{b} < Var{b*}; bist effizient, wenn seine Varianz geringer als die jedes anderen Schätzers (aus einer Klasse von Schätzern) ist
Konsistenz: Schätzer bnfür Parameter ist konsistent, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von bnfür n->∞ im Punkt kollabiert
11.3.2005 Ökonometrie II 19
OLS-Schätzer: Erwartungstreue
1 1( ' ) ' ( ' ) 'E b E X X X y E X X X u
wegen E{u|X}=0
Der OLS-Schätzer b (und damit auch der ML-Schätzer) ist erwartungstreu!
Die Verteilung der ut muss als unabhängig von den Regressoren (Spalten von X) vorausgesetzt werden! Für fixe X ist das stets erfüllt.
11.3.2005 Ökonometrie II 20
Varianz der OLS-Schätzer
1
1 1
2 1
( ' ) '
( ' ) ' ( ' )
( ' )
Var b Var X X X u
X X X Var u X X X
X X
wegen Var{a+Au} = A Var(u) A‘, wenn
Var(u) = 2I vorausgesetzt wird.
Achtung! Die Annahme Var(u) = 2I bedeutet:• Homoskedastizität• Serielle Unkorreliertheit
11.3.2005 Ökonometrie II 21
Beispiel: Einfache Regression
Yt = + Xt + ut
Dafür ergibt sich
Die Varianzen sind
2
n nxX'X =
nx ttX
22 1
222
2 22 1
211
( ' )
( ' )
x
tt
x
Var b X Xns
XVar a X X
ns
11.3.2005 Ökonometrie II 22
Konsumfunktion, Forts.
Dependent Variable: PCR_D4Method: Least SquaresDate: 08/20/04 Time: 11:06Sample(adjusted): 1971:1 2002:4Included observations: 128 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000
R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000
22 1
222
2 22 1
211
( ' )
( ' )
x
tt
x
Var b X Xns
XVar a X X
ns
11.3.2005 Ökonometrie II 23
OLS-Schätzer: Effizienz
Das Gauss-Markov Theorem sagt: der OLS-Schätzer b ist der beste, lineare,
erwartungstreue (BLU) Schätzer für b hat minimale Varianz unter allen linearen,
erwartungstreuen Schätzern b ist effizient gegenüber allen linearen,
erwartungstreuen Schätzern
2 1( ' )Var b X X
11.3.2005 Ökonometrie II 24
OLS-Schätzer: Konsistenz
hat die Varianz
2
1lim lim 0nn n
Var b Qn
Konvergenz im quadratischen Mittel: E{bn}= für alle n
1' 'n n n n
n
X X X ub
n n
12 'n n
n
X XVar b
n n
mit der regulären Matrix Q = lim (Xn‘Xn/n)
11.3.2005 Ökonometrie II 25
Beispiel: Einfache Regression
Yt = + Xt + ut
Dafür ergibt sich
Damit Q regulär ist, muss Xt2/n auch bei beliebig
großem n endlich bleiben.
Achtung! X kann einen Trend enthalten!
n n 2
1 x1
Q = lim X 'X = lim 1n xx x
ttX
n
11.3.2005 Ökonometrie II 26
ML-SchätzerAnnahme: u ~ N(0, 2I), normalverteilte StörgrößenDichtefunktion der Beobachtungen (X1,Y1), … , (Xn,Yn)
Likelihood-Funktion
Log-Likelihood-Funktion
2 2 / 22
1( ; , , ) (2 ) exp ( ) '( )
2np y X y X y X
2 2 / 22
1( , ; , ) (2 ) exp ( ) '( )
2nL y X y X y X
2 22
22
1log ( , ) log(2 ) log ( ) '( )
2 2 2( )
log(2 ) log2 2 2
n nL y X y X
n n S
11.3.2005 Ökonometrie II 27
ML-Schätzer, Forts.
Ableitungen:
Likelihood-Gleichungen: Nullsetzen der AbleitungenMaximum-Likelihood (ML)-Schätzer:
Beachte: ML-Schätzer für ist identisch mit OLS-Schätzer (wenn Störgrößen normalverteilt sind)
2
2 2 4
( ) 1
2
( )
2 2
S
n S
1
2
( ' ) '
1( ) '( )
X X X y
y X y Xn
11.3.2005 Ökonometrie II 28
Eigenschaften der ML-Schätzer Schätzer für
erwartungstreu effizient konsistent
Schätzer für 2
nicht erwartungstreu! konsistent
11.3.2005 Ökonometrie II 29
Schätzer der Koeffizienten:Wahrscheinlichkeitsverteilung ML-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt
OLS- und ML-Schätzer für sind ident; daher ist auch der OLS-Schätzer asymptotisch normalverteilt
Bei endlichem Umfang n: nur bei normalverteilten Störgrößen gilt
12, 'b N X X
12, 'b N X X
11.3.2005 Ökonometrie II 30
Liste der Annahmen
A1 lineare funktionale Form des Modells
A2 r(X) = k
A3 lim Xn‘ Xn/n = Q hat vollen Rang
A4 Xi unabhängig von u für alle i (Exogenität)
A5 E{u} = 0
A6 Var{u} = 2I
A61Var{ut} = 2 für alle t
A62Cov{ut, us} = 0 für alle t und s mit t ≠ s
A7 ut normalverteilt für alle t
11.3.2005 Ökonometrie II 31
Dimensionen der Bewertung Globale Bewertung: Kann das Modell den datengenerierenden
Prozess der abhängigen Variablen als Ganzes erklären? Globale Kriterien:
Bestimmtheitsmaß Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Logarithmierte Likelihoodfunktion Informationskriterien, zB Akaike‘s AIC-Kriterium
Inferenz der Regressionsparameter t-Test F-Test ANOVA-Tafel
11.3.2005 Ökonometrie II 32
Bestimmtheitsmaß Definition:
Anteil der durch das Regressionsmodell erklärten Varianz (der Varianz der geschätzten Y) an der Gesamtvarianz der Beobachtungen von Y
Anteil der Varianz der abhängigen Variablen, die durch das Modell erklärt wird
oft in Prozenten angegeben
2ˆ22
y
y
sR
s
2 2ˆ22 2
1y e
y y
s sR
s s
11.3.2005 Ökonometrie II 33
R2: Eigenschaften Wegen gilt:
R2=1 bedeutet: ; alle Residuen sind Null! R2=0 bedeutet:
alle Regressionskoeffizienten haben den Wert Null! R2 soll einen möglichst hohen Wert haben
Einfache Regression: Multiple Regression:
R2 kann durch Hinzufügen eines Regressors nicht kleiner werden!
Achtung! Bei homogener Regression ist R2<0 möglich!
2 2 2ˆy y es s s
20 1R 2 2 2
ˆ , 0y y es s s 2 2 2
ˆ, 0y e ys s s
2 2 2ˆxy yyR r r
2 2ˆyyR r
11.3.2005 Ökonometrie II 34
Beispiel: Konsumfunktion
Dependent Variable: PCR_D4Method: Least SquaresDate: 08/20/04 Time: 11:06Sample(adjusted): 1971:1 2002:4Included observations: 128 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000
R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000
ys
2 2t ete ns
22
2 2
0.007899 0.007861 1 0.716716
128 0.0148 0.0148R
11.3.2005 Ökonometrie II 35
Bewertung der Parameter Frage: Trägt der Regressor Xi zur Erklärung bei?
Test von H0: i = 0 gegen H1: i>0 oder H1: i≠0: (t-Test)
Konfidenzintervall für i
Tragen alle Regressoren zur Erklärung bei? Test von H0: 2 = … =k (F-Test)
11.3.2005 Ökonometrie II 36
t-Test Verteilung der OLS-Schätzer b:
Für den Schätzer bi gilt:
mit dem i-ten Diagonalelement aii aus (X‘X)-1
√(aii) bzw. s√(aii) heißt Standardfehler von bi
Test von H0: i=0 gegen H1: i≠0:
Entscheidung mittels p-Wert:
1 2 1( ' ) ' , ( ' )b X X X u N X X
2( , )i i iib N a
0ii
ii
bp Wert P T
s a
11.3.2005 Ökonometrie II 37
Beispiel: Konsumfunktion
Dependent Variable: PCR_D4Method: Least SquaresDate: 08/20/04 Time: 11:06Sample(adjusted): 1971:1 2002:4Included observations: 128 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000
R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000
ii
bt
s a
17.85 0P T
11.3.2005 Ökonometrie II 38
F-TestTest von H0: 1=…= k gegen H1: 0 trifft nicht zu
F ist verteilt nach F(k-1,n-k)Entscheidung mittels p-Wert
2
2
ˆ( )
1 1tt
tt
Y Y n k ESS n kF
e k RSS k
11.3.2005 Ökonometrie II 39
Beispiel: Konsumfunktion
Dependent Variable: PCR_D4Method: Least SquaresDate: 08/20/04 Time: 11:06Sample(adjusted): 1971:1 2002:4Included observations: 128 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000
R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000
11.3.2005 Ökonometrie II 40
Eigenschaften von b, wennrelevante Regressoren nicht berücksichtigt werden
b ist verzerrt:
Das Vorzeichen des Bias ist schwer abzuschätzen
Die Varianz der Störgrößen wird überschätzt
1( )E b X X X Z
2 1( )Var b X X
2 2ˆ 0( )
xZ M ZE
n k g
11.3.2005 Ökonometrie II 41
Eigenschaften von , wennnicht relevante Regressoren berücksichtigt werden
ist unverzerrt
Zu große Varianzen
keine effizienten Schätzer
ˆE
2 1 2 1ˆ ( ) ( )zVar X M X X X Var b
11.3.2005 Ökonometrie II 42
Modellvergleich: F-Statistik In drei Schritten:1. Anpassen des kurzen Modells Y = X + u an die
Regressoren aus X, Berechnen der Residuen e2. Anpassen des weiteren Modells Y = X + Z + v an die
Variablen aus X und Z, Berechnen der Residuen 3. Berechnen von
4. F ist (näherungsweise) verteilt nach F(g,n-k)
ˆ ˆ
ˆ ˆRS Se e v v n k n k
Fv v g S g
v