Post on 05-Apr-2015
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Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit Computern
METHODIK UND DIDAKTIK
Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg
Johannes Kepler Universität Linz
SS 2007
1.1 Spezifische Lernziele
ExperimentierenAnlehnung an E(naktiv),I(konisch),S(ymbolisch)
Zusätzliche Akzentuierung der aktiven Rolle des Schülers (Prädikat: handelnd)
- anschaulich – handeln (Visualisieren)
- numerisch – handeln (Tabellen, Listen; Einsetzen von
Funktionswerten)
Didaktik: Spannungsfeld von TheorieTheorie und PraxisPraxis – 1. Grundfragen
1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Argumentieren und Begründensymbolisch – handeln (z. B. Kurvendiskussion,
Prototypen von Funktionen)
Verschiedene Exaktheitsniveaus / Präformales Beweisen
(z. B. Verketten von Funktionen, funktionierender Bisektionsalgorithmus - quasialgorithmischer Beweis
für den Zwischenwertsatz)
1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Einstellungen initiieren und verändernMotivation für mathematische – informatische Inhalte
Selbstvertrauen zu eigener Leistung
Bedingungen:
Mehr Selbsttätigkeit der Schüler
Veränderte Lehrerrolle
starke Handlungsorientierung des Unterrichts
1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Einstellungen initiieren und verändernBedingungen:
Soziale Parameter: Verstärkte Partner- und
Gruppenarbeit in Projekten
1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Modellbilden (Fundamentale Leitidee)
Mathematik: Entwickeln – Beschreiben – Bewerten
Informatik: Entwickeln – Implementieren - Bewerten
1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Verschiebung von GewichtenElemente der diskreten Mathematik (z.B. Grundlagen
der Logik)Elemente der Stochastik (z.B. Regression)
Diskussion von Programmierparadigmen (z. B. Funktional -> Verketten von Funktionen – Frage der Argumente)
1. Grundfragen
1.2 Forderungen an den Unterricht
Unterricht als ProzessMehrperspektivität (Verlagerung der Standpunkt, Gegenüberhalten verschiedener
Repräsentationsformen)
Unterricht durchsichtiger machen
Orientierung an fundamentalen Ideen und Begriffen
1.2 Forderungen an den Unterricht
Stärkere Berücksichtigung intra- und interindividueller Komponenten
Veränderte stress- und angstbeladene Unterrichts-situationen (d. h. vor allem Veränderung der
Prüfungssituation – Umfangreichere Beurteilungs-grundlagen)
1. Grundfragen
2.1Die optimal approximierende Gerade
LI: Approximation, Prototypisches Verhalten von Funktionen (Bemerkung F. Schweiger)
Aufgabe: Näherungsweises Beschreiben einer reellen Funktion f in der Umgebung eines Punktes P.
Didaktik: Spannungsfeld von TheorieTheorie und Praxis – 2. Unterichtsbeispiele (M)
2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Definition der Funktion f
2. Schritt: Betrachten des Funktions-wertes an der Stelle x+u mit u = x-x0
3. Schritt: Linearisierung (d.h. Abspalten der linearen Funktion und Festlegen auf eine Stelle x0=2: y = f(2)+m(x-2))
4. Schritt: Erzeugung eines Büschels für die Betrachtung unter dem Funktionen-mikroskop (d.h. m = 2 x0±ε)
2. Unterichtsbeispiele (M)
5. Schritt: Mikroskopische Betrachtung der ‚Sachlage‘ in P(x,x0)
2.2 Vermutungen über Differentiationsregeln anstellen
LI: Approximation, Modellieren
Problem: Lässt sich die Idee der Linearisierung (aus Aufgabe 2.1) weiterführen zu Vermutungen über Regeln?
2. Unterichtsbeispiele (M)
2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Definition der beiden Tangentenfunktionen tf und tg
2. Schritt: Summe aus tf und tg mit
u = x-x0, a=f (x0), b=g(x0) m=f ‘(x0),
n=g ‘(x0)
3. Schritt: (m+n) u Verm.: (f+g)‘ =f‘+g‘
4. Schritt: Linearisierung - (a.n+b.m) u
Vermutung: (f.g)‘ = f. g‘+ g. f‘
2.3 Zur Beschreibung von Punktmengen – Einpassen einer Geraden (y = k x)
LI: Approximation, Präformales Beweisen, Verschiedene Exaktheit, Modellieren
Problem: Einpassen einer Geraden (y = k x) in eine Menge von m(=3) Punkten des 2. (Soll beim Schüler eine Motivationslage schaffen, die Arbeitsweise eines CAS zu hinterfragen)
2. Unterichtsbeispiele (M)
2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Definition der Funktion f (mit P1(3,3), P2(4,4) und P3(5,3))
2. Schritt: Vereinfachen führt zu einer quadratischen Funktionsausdruck in k
2. Unterichtsbeispiele (M)
3. Schritt: Extremwertaufgabe
Notwendige und Hinreichende Bedingung für ein Minimum
2. Unterichtsbeispiele (M)
2.4 Entwickeln – Beschreiben – Bewerten
LI: Approximation, Modellieren
Aufgabe: Aus einem Testbericht wurde die folgende Tabelle für verschiedene PKWs entnommen:
Entwickle ein Modell für die funktionale Abhängigkeit des Kraftstoffverbrauchs von der Geschwindigkeit.
2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Übertragen der Werte aus der Tabelle
2. Unterichtsbeispiele (M)
2. Schritt: Beschreibung 01 -Quadratische Regression (Einpassen einer quadratischen Funktion)
2. Unterichtsbeispiele (M)
3. Schritt: Beschreibung 01 -Quadratische Regression
Grafische Darstellung
2. Unterichtsbeispiele (M)
4. Schritt: Beschreibung 02 - Einpassen einer Polynomfunktion vom Grad 4
2. Unterichtsbeispiele (M)
5. Schritt: Beschreibung 02 –
Polynomfunktion vom Grad 4
Grafische Darstellung
2. Unterichtsbeispiele (M)
6. Schritt: Beschreibung 03 - Einpassen einer Polynomfunktion vom Grad 4
Ermittlung der Koeffizienten durch Lösen des angegebenen Gleichungssystems
2. Unterichtsbeispiele (M)
7. Schritt: Bewertung des Graphen führt zu Beschreibung 04 - Einpassen zweier quadratischer Funktionen
Didaktik: Spannungsfeld von Theorie und Praxis Praxis – 3. Strukturmodell (Inf)
3. Strukturmodell
3.1 Informatische Konzepte
Programmierparadigmen (am Beispiel funktional)
hier: Modularisierung / Modulprinzip
3.2 Pädagogische – Psychologische Konzepte (vgl. 1.1 /1.2)
Didaktik: Spannungsfeld von TheorieTheorieund Praxis - 3. Strukturmodell
3.1 Entwickeln – Implementieren – Bewerten LI: Modellieren durch Funktionen, Modularisieren
Aufgabe: Implementierung eines logischen Systems (Konjunktion, Disjunktion, Negation) durch funktionale Kodierung
3. Unterichtsbeispiele (INF)
1. Schritt: Definieren der Funktionen des logischen Systems
3.2 Entwickeln – Implementieren – Bewerten LI: Funktion (Argumente, Verkettung), Algorithmisches Denken
Aufgabe: ‚Auf der Suche nach Gesetzmäßigkeiten (Äquivalenzen) illustriert am Beispiel De Morgan‘
3. Unterichtsbeispiele (INF)
3. Unterichtsbeispiele (INF)
1. Schritt: Verketten der zuvor definierten Funktionen
2. Schritt: Gegenüberstellung der Outputs (Tabellen)
3. Unterichtsbeispiele (INF)
3. Schritt: Verifizierung der Äquivalenz mittels 4 x 3 - Tabelle
3. Strukturmodell
Abschließende (positive) Bemerkungen zu Informatische Konzepte – Modularisierung / Die Funktion als Baustein
Schaffung eines Systems
Konstruktives Exaktifizieren