Mathematik-Vorkus WS 2015/2016 – 14.09.-18.09.2015

Dilay Sonel

dilay.sonel@studmail.hs-lu.de

Mathe Online Kurs

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• Grundrechenarten & -regeln

• Bruchrechnen

• Binomische Formeln

• Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmus

• Summen- und Produktzeichen

• Folgen und Reihen

• Geometrische Folge / Reihe

• Lineare Gleichungen lösen

• Funktionsbegriff

• Darstellung von Funktionen

Themenüberblick I

• Definitions- und Bildmenge

• Lineare Funktionen

• Quadratische Funktionen lösen

• Quadratische Ergänzung

• Mitternachtsformel

• Umkehrfunktion

• Stück-/ Abschnittsweise definierte Funktionen

• Grenzwert

• Betrag / Betragsfunktion

Themenüberblick II

1) Addition

Summand + Summand = Summe

2) Subtraktion

Minuend – Subtrahend = Differenz

3) Multiplikation

Multiplikand • Multiplikator = Produkt

4) Division (Bruchrechnen)

�������� = Quotient

Grundrechenarten

Beispiel: 6 + 2 = 8

6 – 2 = 4

6 ∙ 2 = 12

= 3

Rechenregeln

1) Punkt- vor Strichrechnung

23 + 14 : 2 = 23 + 7 = 30

4) Die Division durch 0 ist in keinem Fall erlaubt!

ist erlaubt, aber ist strengstens verboten!!!

2) Klammern zuerst berechnen

5 • (4 – 2) = 5 • 2 = 10

Bei geschachtelten Klammern von innen nach außen rechnen:

(4 – (2 • 3) • 5) = (4 – 6 • 5) = 4 – 30 = -26

3) Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

(x – 4)(x + 2) = 0 x = 4; x = -2

Grundregeln der Multiplikation

1) Kommutativgesetz

a • b = b • a Beispiel: 2 • 4 = 4 • 2 = 8

2) Assoziativgesetz

(a • b) • c = a • (b • c) Beispiel: (2 • 4) • 3 = 8 • 3 = 24 ; 2 • (4 • 3) = 2 • 12 = 24

3) Distributivgesetz (ausmultiplizieren/ausklammern)

a • (b + c) = a • b + a • c

Beispiel: 2 • (3+4) = 2 • 7 = 14 ; 2 • 3 + 2 • 4 = 6 + 8 = 14

Folgerung:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd

Beispiel: (2 + 5)(3 + 1) = 7 • 4 = 28

2 • 3 + 2 • 1 + 5 • 3 + 5 • 1 = 6 + 2 + 15 + 5 = 28

Bruchrechnen I

1) Kehrbruch: Zu jedem Bruch gibt es einen Kehrbruch .

Dabei gilt: • = 1

äℎ�������

2) Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl c ≠ 0 multipliziert.

= • • Beispiel: =

• • =

3) Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl c ≠ 0 dividiert.

• • = Beispiel: =

• • =

Bruchrechnen II

4) Strichrechnungen:

Brüche mit gleichem Nenner

± = ±

Beispiel: + = +

=

Brüche mit unterschiedlichen Nennern

± = • • ±

• • = ±

Beispiel: + = • + •• =

+ =

5) Punktrechnungen:

Multiplikation: „Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler“

• = • • a • =

•

Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

: = • = • •

6) Doppelbrüche: Können mit einem Kehrbruch aufgelöst werden.

= : = • = Beispiel: 9 = : = • = =

Bruchrechnen III

8) Gemischte Brüche

Problem : Kann als Produkt missverstanden werden!

Beispiel: 3 = • +

= ≠

7) „Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen“

� − �� =

� −�� � = − �� , und nicht

� − !!!

1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)²

= (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a² + ab + ba + b²

= a² + 2ab + b²

3. Binomische Formel: (a + b)(a – b) = a² - b²

(a + b)(a – b)

= a(a – b) + b(a – b) = a² - ab + ba – b²

= a² - b²

2. Binomische Formel: (a – b) ² = a² - 2ab + b²

(a – b) ²

= (a – b)(a – b) = a(a-b) – b(a-b) = a² - ab – ba + b²

= a² - 2ab + b²

Binomische Formeln

Potenzgesetze I

1) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert/dividiert, indem man die

Exponenten addiert/subtrahiert und die Basis beibehält:

• = + = −

2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert/dividiert, indem

man das Produkt/den Quotient der Basen mit dem gemein-samen

Exponenten potenziert:

• = • =

3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert

und die Basis beibehält: = •

Potenzgesetze II

4) Sinnvolle Festlegungen bei a ≠ 0:

= − = − =

5) Die n-te Potenz einer negativen Zahl ist bei geradem Exponenten n

positiv, bei ungeradem Exponenten n negativ:

− = 1, gerades n -1, ungeraes n

Gibt es bei einem Term keine Übereinstimmung von Basis oder Exponent, lässt sich der Term nicht

vereinfachen!

Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen!

Zusammenfassung Potenzgesetze

Wurzeln I

Suche nach der Basis einer Potenz:

� = a ⇔ x =

Die Wurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung xn = a.

Beispiel: � = 16 ⇒ x =± = ± 4 → zweideutiger Rechenausdruck

9 + + → Acht Möglichkeiten!

Wurzeln II

Für das Rechnen mit Wurzeln gilt:

Suche nach dem Exponenten einer Potenz:

= x ⇔ n = log �

Logarithmus

Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis a ist die Zahl n, mit der man a

potenzieren muss, um x zu erhalten.

Dabei gilt: Das Argument des Logarithmus muss immer positiv sein!

Für jedes a gilt log = 0, da = 1.

Natürlicher Logarithmus

Besondere Basis: e (die eulersche Zahl ≈ 2,718281828)

Dekadischer Logarithmus / Zehnerlogarithmus

Besondere Basis: 10

10n = a → n = log10 a = lg a

Formel zur Umformen des ZahlenLogarithmus in den Zehnerlogarithmus :

Beachten zur Eingabe in den Taschenrechner!

Zusammenhang Potenzen, Wurzeln, Logarithmus

Das Summenzeichen

„Summiere alle Ausdrücke qi auf, wobei der Parameter i alle natürlichen

Zahlen von 0 bis n durchläuft.“

Dabei gilt:

Rechenregeln für Summen

Summen können in

Summanden aufgeteilt

Werden

Faktoren können vor

die Summe gezogen

werden .

Das Produktzeichen

Analog bietet das Produktzeichen die Möglichkeit, ein Produkt vereinfacht darzustellen:

„Multipliziere alle Ausdrücke ai , wobei der Parameter i alle natürlichen

Zahlen von 1 bis n durchläuft.“

Folgen

Eine Folge (genauer: Zahlenfolge) ist eine Auflistung von Zahlen, deren Reihenfolge

festgelegt ist. Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder. Das erste Glied (d.h.

die erste Zahl) der Folge heißt , das zweite , ..., das n-te Glied heißt .

Beispiel:

(1, 7, 4, 21, 16, …), wobei =1; =7; =4; …

Für einige Folgen kann man die Vorschrift angeben, nach der die einzelnen

Glieder berechnet werden. Für andere Folgen ist das nur schwer möglich oder

unmöglich.

Beispiel: (1, 2, 4, 8, 16, …)

Das zugehörige Bildungsgesetz lautet: = − für n≥ 1

Übung zu Folgen

1. Schreiben Sie die Werte der nächsten drei Glieder folgender

Zahlenfolgen auf.

a) f(n) = 1; 4; 9; 16;…

b) f(n) = 0; 4; 8; 12; 16;…

2. Finden & formulieren Sie das Bildungsgesetz für die jeweilige

Folge.

Folgen & Reihen

Gegeben sei eine Zahlenfolge �ℕ.

Die Summe der ersten n Folgenglieder wird mit sn bezeichnet: sn = ��= . Die

Zahlenfolge �ℕ heißt nun die (endliche) Reihe zu . Die einzelnen

Folgenglieder der Zahlenfolge �ℕ bestehen also aus Summen über

Folgenglieder der Zahlenfolge �ℕ.

n 0 1 2 3 4 5 6 …

an 1 2 4 8 16 32 64 …

sn 1 3 7 15 31 63 127 …

Beispiel:

Geometrische Folge / Reihe

Eine geometrische Folge ist durch ein Bildungsgesetz der folgenden Form

charakterisiert: ��= � • ��. Beispiel: Für = 2 und q=3 ergibt sich:

= 2 • = 6 = 2 • = 2 • 9 = 18 = 2 • = 2 • 27 = 54 …

Für die Summe der ersten n Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt

sich: ��= � • ��+ −�− .

Die Folge der nennt man geometrische Reihe.

Für = 1 ergibt sich: ����= = ��+ −�− .

Geometrische Reihe

Herleitung der Formel für n = 3:

��= = + −−

S= ��=

S= 1 + + +

S • q = + + +

S • q – S = + + + - 1 - - -

S • q – S = - 1

S(q-1) = - 1

S = − 1 −

=> ��= = + − 1 −

Lineare Gleichungen lösen I

Beispiel: 10x – 2(5x + 7) = -2 • (2-x)

1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen:

10x – 10x – 14 = -4 + 2x

2) Gleichartige Glieder zusammenfassen:

-14 = -4 + 2x

3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und

alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter

zusammengefasst werden können:

-2x = 10

Lineare Gleichungen lösen II

4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird:

x = -5

3 mögliche Fälle:

1. Unendlich viele Lösungen, falls sich 0 = 0 ergibt.

(d.h. Gleichung gilt für alle x � ℝ)

2. Nicht lösbar bei Widerspruch – rechte Seite unterscheidet sich von der linken.

3. Eindeutige Lösung mit x =a.

Jede auf eine Gleichung angewendete Operation muss auf beide Seiten

der Gleichung angewendet werden!

Schritte zur Lösung einer linearen Gleichung:

1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen.

2) Gleichartige Glieder zusammenfassen.

3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle

absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammenge-

fasst werden können.

4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird.

Zusammenfassung

Funktionsbegriff

Eine Funktion f(x) ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente zweier Mengen. Dabei

wird jedem Element x aus einer Definitionsmenge D genau ein Element y aus der

Wertemenge W zugeordnet.

Mögliche Darstellungen von Funktionen:

1) Funktionsgleichung f(x)

2) Graph im Koordinatensystem

3) Wertetabelle

4) Pfeildiagramm

Darstellung von Funktionen

Besitzt der Definitionsbereich einer Funktion nur endlich viele Elemente,

kann die Funktion durch eine Wertetabelle festgelegt werden.

Weitere Darstellungen für endliche Definitionsbereiche:

Beispiel: D = {1,2,3,4}

Definitions- und Bildmenge

Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen, die für x eingesetzt werden

dürfen.

Die Bildmenge B beinhaltet alle Zahlen, die beim Einsetzen von Zahlen in x

herauskommen.

Überlegungen zur Definitionsmenge:

Lineare Funktionen I

Das heißt: Zu jedem beliebigen x-Wert lässt sich der y-Wert ermitteln und man bekommt einen Punkt(x|y) des Graphen der Funktion.

Dies ist eine Zuordnung, bei der jedem x das dazugehörige y zugeordnet wird.

Lineare Funktionen II

Lineare Funktionen sind eindeutig festgelegt durch:

1)

2)

Gleichung: oder

2 Punkte:

ax1+ b = y1

ax2+ b = y2

oder

3) Steigung a und einen Punkt P(x 1|y 1):

ax1+ b = y1 Gleichung nach b umstellen

y = ax + b

P(x 1|y 1) Q(x 2|y 2)

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

=> damit liegen a & b fest

Schnittpunkte mit den Achsen: • Schnittpunkte mit der y-Achse: x = 0

• Schnittpunkte mit der x-Achse („Nullstellen“): y = 0 • Schnittpunkte zweier Geraden: Geraden gleichsetzen und nach x auflösen. Für Schnittpunkt: x-Wert in eine Geradengleichung einsetzen und y-Wert berechnen

Reinquadratische Gleichungen (a≠0)

Die reinquadratische Gleichung geht durch äquivalente Umformungen über in:

Beispiel: � - 81 = 0 ⇔ � = 81 ⇔ x1 = 9; x2 = -9 ⇒ � - 81 ist also null, wenn x entweder 9 oder -9 ist. ⇒Die Lösungsmenge ist also L = −9; 9

Spezielle Quadratische Gleichungen (a≠0)

Die spezielle quadratische Gleichung geht durch Ausklammern von x über in:

x(ax + b) = 0

Beispiel: � + 3x = 0 ⇔ x(5x+3) = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = -

⇒ x1 = 0; x2 = -

Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist!

Allgemein Quadratische Gleichungen

Die allgemein quadratische Gleichung wird durch quadratische Ergänzung gelöst:

Binomische Formel!

Die Mitternachtsformel

Hieraus ergibt sich die Mitternachtsformel/Abc-Formel, mit der

allgemein quadratische Gleichungen gelöst werden können:

Übersicht: Quadratische Gleichungen lösen

Lösung durch:

Die pq-Formel

Zur Lösung von

� + px + q = 0 (a=1)

kann auch (alternativ zur abc-Formel) die pq-Formel angewendet werden:

Diese Formel kann immer angewendet werden. Unter Umständen muss

zunächst durch a geteilt werden:

a� + bx + c = 0

Quadratische Funktionen I

Quadratische Funktionen II

Quadratische Funktionen III

Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:

Umkehrfunktion

Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem y-Wert nur ein

x-Wert zugeordnet ist. Die Umkehrfunktion wird mit f-1

bezeichnet.

Die Gleichung der Umkehrfunktion von f gewinnt man, indem man die

Gleichung y = f(x) nach x auflöst und die Bezeichnungen y und x vertauscht.

Die Graphen der Funktion y = f(x) und ihrer Umkehrfunktion

y = f-1(x) liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.

Stück-/ Abschnittsweise definierte Funktionen

Bisher waren die behandelten Funktionen (abgesehen von Definitionslücken)

auf ganz ℝ definiert.

Funktionen können auch nur für ein bestimmtes Intervall definiert sein

oder stück- bzw. abschnittsweise aus verschiedenen Teilfunktionen

zusammengesetzt sein:

x + 2 für x<-1

2 für -1 ≤ x < 3

3x – 7 für x ≥ 3

f(x) =

Zeichnen Sie folgende abschnittsweise definierte Funktion in

ein Koordinatensystem ein:

Übungsaufgaben

f(x) = -2x - 1 für x<-1

1 für x ≥ -1

Zeichnen Sie folgende abschnittsweise definierte Funktion in

ein Koordinatensystem ein:

Übungsaufgaben

f(x) =

4 für x<-2

3 für x ≥ 3

-2x für -2 ≤ x< 0

x für 0 ≤ x< 3

Interessante Stellen sind:

Verhalten Richtung ∞

Verhalten Richtung –∞

Verhalten an Definitionslücken

Wertetabelle spiegelt Kurvenverlauf wider.

Betrachtung durch Einsetzen naheliegender Werte für x.

Grenzwert

Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle bezeichnet denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert.

Betrag(-sfunktion)

Der absolute Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch:

Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man also durch Weglassen des

Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der

gegebenen Zahl von Null.

Verlauf der Betragsfunktion y = � auf ℝ:

Fragerunde

Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit und viel Erfolg im Studium!!!