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Vorlesungs-Skript
Maschinendynamik
für das 2. Fachsemester
des Masterstudienganges Maschinenbau
mit 4 Stunden Vorlesung pro Woche
© Prof. Dr. Dieter Joensson
HTW Berlin 2016 Fachbereich Ingenieurwissenschaften
Technik und Leben
Inhaltsverzeichnis Maschinendynamik
1. Einleitung 1
Refreshing zur Berechnung von Schwingungssystemen mit 1 Freiheitsgrad:
Skript TM 3 Seite 63 bis 95, mit gesonderten Übungsaufgaben 1
2. Schwingungssysteme mit n Freiheitsgraden 3
2.1 Eigenfrequenz-Berechnung 3
2.2 Abschätzung der untersten Eigenfrequenz 9
2.3 Eigenschwingformen 11
2.4 Erzwungene Schwingungen mit n Freiheitsgraden 17
2.5 Komplexe Berechnung harmonisch erregter Schwingungen 19
2.5.1 Warum komplex? 19
2.5.2 Komplexe Berechnung - Grundlagen 23
2.5.3 Komplexe Beschreibung harmonisch erregter 1-Freiheitsgrad- Schwinger 26
2.5.4 Harmonisch erregte Schwingungen mit n Freiheitsgraden 31
2.5.5 Erregerkräfte mit Phasenverschiebung β 34
3. Modellierung schwingender Maschinen als MKS 39
3.1 Einleitung 39
3.2 MKS-Modellierung von Punktmassen in Maschinen 40
3.3 MKS-Modellierung von Federelementen 43
3.2.1 Echte Federelemente 43
3.2.2 Konstruktiv bedingte Federwirkungen 45
3.4 MKS-Modellierung von Dämpferelementen 49
3.4.1 Echte Dämpferelemente 49
3.4.2 Dämpfung als Nebenwirkung 50
4. Biegeschwingungen elastischer Achsen und Wellen 51
4.1 Biegekritische Drehzahl 51
4.2 Biegekritische Drehzahl ohne Rotormasse 54
4.3 Biegekritische Drehzahl für mehrere Einzelmassen 55
Inhaltsverzeichnis Maschinendynamik
5. Torsionsschwingungen elastischer Achsen und Wellen 56
5.1 Die Torsions-Federkonstante 56
5.2 Torsionskritische Drehzahl 58
5.3 Mehrere Wellenabschnitte 58
5.4 Wenn mehrere Rotormassen tordieren 59
5.5 Torsionsschwingungen in Getrieben 61
6. Dynamische Berechnungen mit Ansys Workbench 63
6.1 Übersicht 63
6.2 Mehrkörperdynamik 64
6.3 Transiente Strukturmechanik 67
6.4 Export MKS zu FEM statisch 68
Mathcad-Übungen ab Seite 72
der vorliegenden Datei Skript_MDyn.pdf
FEM-Übungen ab
Seite 114
Literatur-Emfehlungen zur Maschinendynamik Seite 134
Maschinendynamik Seite 1
Joensson HTW Berlin
© Prof. Dr. Joensson HTW Berlin 2015
M a s c h i n e n d y n a m i k
1. Einleitung
Maschinendynamik bedeutet Anwendung der Dynamik auf Maschinen und
Fahrzeuge. Dabei sind Bewegungsvorgänge mit n Freiheitsgraden typisch.
Im Modul Technische Mechanik des Bachelor-Grundlagenstudiums werden
üblicherweise nur Bewegungsvorgänge mit 1 Freiheitsgrad behandelt.
Typisch für Maschinen und Fahrzeuge ist außerdem, dass bei den meisten
Bewegungsvorgängen Schwingungen auftreten.
Lernziel dieses Moduls:
Berechnung von schwingend beanspruchten Maschinen mit n Freiheits-
graden.
Zum Auftakt:
Refreshing zur Berechnung von Schwingungssystemen mit 1 Freiheitsgrad
als notwendige Voraussetzung für n Freiheitsgrade:
D. Joensson: Vorlesung Technische Mechanik 3. HTW Berlin 2015,
Fachbereich Ingenieurwissenschaften 2. S. 63 – 95
Maschinendynamik Seite 2
Joensson HTW Berlin Maschinen und Fahrzeuge schwingen oft regellos.
Beispiel: Spannungs-Zeitverlauf der maximalen Biegespannung eines Bauteils
Derartige Schwingungen können mittels Fourieranalyse in harmonische
Anteile zerlegt werden - als Summe sinusförmiger („harmonischer“) Schwin-
gungen:
Null Hertz „Frequenz" = Statische Ruhelage
Grundschwingung mit Frequenz f 1
1. Oberschwingung mit Frequenz f 2
usw.
bzw. rationell zusammengefasst im „Amplituden-Frequenzgang“
Jede regellose Schwingung kann demzufolge als Summe harmonischer
Schwingungen interpretiert werden.
f [Hz]
ˆ
1ˆ
f1 f2 f3 f4
t
m
t
1
t
ˆ 2ˆ
+ +
t
m
(t)
Maschinendynamik Seite 3
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2. Schwingungssysteme mit n Freiheitsgraden
2.1 Eigenfrequenz-Berechnung
n Freiheitsgrade n Eigenfrequenzen
Die 1 Schwingungs-Differenzialgleichung 0m q k q
des 1-Freiheitsgrad-Systems
mit q als generalisierter Koordinate
wird jetzt
zu einem Differenzialgleichungs-System mit n Gleichungen:
0M q K q z.B. für
mit M Massenmatrix, K Steifigkeitsmatrix,
q Vektor der Beschleunigungen für n generalisierte Koordinaten
1q bis nq q Vektor der Auslenkungen
0 Nullvektor als rechte Seite
d.h.
q1
q2
q3
m
k
q
=M + K
Dieses Gleichungssystem enthält n Differenzialgleichungen.
Maschinendynamik Seite 4
Joensson HTW Berlin Um die 1 Eigenfrequenz des 1-Freiheitsgrad-Systems zu berechnen, kann
der Euler-Ansatz verwendet werden:
( ) tq t K e
Im Sonderfall einer statischen Anfangsauslenkung (ohne Anfangs-
Geschwindigkeit)
genügt statt dessen der Ansatz
ˆ( ) cos ( )q t q t
mit Amplitude q = statische
Anfangsauslenkung oq
Dieser Ansatz wird nach t abgeleitet:
ˆ( ) sin ( )q t q t
2 ˆ( ) cos ( )q t q t
und in die Differenzialgleichung 0m q k q eingesetzt:
2 ˆ ˆ[ cos ( )] cos ( ) 0m q t k q t
ˆ cos ( )q t kann ausgeklammert werden,
also 2 0m k
bzw. k
m
Daraus folgt die gesuchte Eigenfrequenz 1
2
kf
m
Nur der positive Wert der Eigenfrequenz ist physikalisch sinnvoll.
oq
t
q
( )q t
Maschinendynamik Seite 5
Joensson HTW Berlin
Bei n Freiheitsgraden und statischer Anfangsauslenkung wird der Cosinus-
Ansatz auf alle generalisierten Koordinaten angewendet:
1 1( ) cos ( )q t q t
2 2ˆ( ) cos ( )q t q t
ˆ( ) cos ( )n nq t q t
d.h. alle Freiheitsgrade schwingen jeweils mit der gleichen Frequenz (z.B.
mit I ), aber mit unterschiedlichen Amplituden 1q bis ˆnq .
Jede Zeile wird zweimal nach t abgeleitet. Ergebnis:
21 1( ) cos ( )q t q t
22 2ˆ( ) cos ( )q t q t
2 ˆ( ) cos ( )n nq t q t
Der Ansatz und seine 2. Ableitung lauten in Matrix-Schreibweise:
ˆ( ) cos ( )q t q t
bzw. ausführlicher geschrieben
1 1
2 2
ˆ( )
ˆ( )cos ( )
ˆ( )n n
q t q
q t qt
q t q
und
2 ˆ( ) cos ( )q t q t bzw.
1 1
2 22
ˆ( )
ˆ( )cos ( )
ˆ( )n n
q t q
q t qt
q t q
Maschinendynamik Seite 6
Joensson HTW Berlin Einsetzen von q und q in das Diff.gleichungssystem 0M q K q
liefert 2 ˆ ˆ[ cos ( )] cos ( ) 0 M q t K q t
Hier kann nur cos ( )t ausgeklammert werden.
Damit entsteht:
2 ˆ 0K M q
„Spektralmatrix“ S Vektor der Amplituden
1 2ˆ ˆ ˆ ˆ( )Tnq q q q
sowie Nullvektor 0 als rechte Seite,
also ein algebraisches Gleichungssystem ohne Differenziale
Die gesuchten Eigenkreisfrequenzen 1 bis n sind aus der Determinante
der Koeffizienten-Matrix berechenbar, indem det S zu Null gesetzt wird:
det 0S jetzt mit „skalarer“ Null
Aus dieser Bedingung folgt ein Polynom n-ten Grades für den so genannten
Eigenwert 2 („Spezielles Eigenwertproblem“ der Mathematik):
1 2 0n n na b
Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Quadrate der gesuchten Eigenkreis-
frequenzen: 21 1 , 2
2 2 …. 2n n
und daraus wiederum folgen die Eigenfrequenzen mit / 2i if in Hz.
=S
mit n Gleichungen.
Maschinendynamik Seite 7
Joensson HTW Berlin Beispiel Aufgabe M4 ( n = 2 Freiheitsgrade )
Gleichung (1) 2 2 2 2 2 1m x k x k x = 0
(2) 1 1 1 2 1 2 2m x (k k ) x k x = 0
Umformung in Matrix-Schreibweise:
1.) Jede Zeile so schreiben, dass alle Unbekannten (hier 1x bis 2x ) enthal-
ten sind. Die Reihenfolge ist dabei frei wählbar! z. B. 1 2 1 2x x x x
Zuerst Gl. (2), weil hier der Faktor vor 1x ungleich Null ist:
1 1 12 2 1 2 2m x (k k ) x k x = 00 x (2a)
1 2 2 2 1 2 20 x m x k x k x = 0 (1a)
2.) Koeffizienten-Matrizen mal Unbekannten-Vektoren 1
2
x
x
und 1
2
x
x
:
1 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2
m 0 x k k k x
0 m x k k x
0
0
M x + K x = 0
Diese Umformung der Gleichungen 2a und 1a in Matrix-Schreibweise
entspricht dem Falkschen Schema (nach Sigurd Falk 1951):
x
y
Zeile mal Spalte
a x b ya b x a b
c x d yc d y c d
z.B. 1 1
2 2
m 0 x
0 m x
1 1 2m x 0 x
1 2 20 x m x
Maschinendynamik Seite 8
Joensson HTW Berlin Weiter mit M4:
Die Matrix-Schreibweise zeigt, dass auch hier wie auf S. 2 gilt:
0M q K q
Die beiden Eigenfrequenzen folgen somit aus
det S = 0
mit S = K M 1 2 2
22
1
2
m 0
0 m
k k k
k k
als Überlagerung der beiden Matrizen K und M mit 2 :
det S = 1 12
22 2 2k mk kk m = 0
…
Maschinendynamik Seite 9
Joensson HTW Berlin
2.2 Abschätzung der untersten Eigenfrequenz
Ohne großen Aufwand kann diese Frequenz (der Grundschwingung) für n
Freiheitsgrade nach der Formel von Dunkerley abgeschätzt werden:
2
1 2
1
1
1
n
ii
= 2D
Mit 1 : tatsächlich vorhandene unterste Eigenkreisfrequenz
D : nach Dunkerley geschätzte unterste Eigenkreisfrequenz
i : simulierte Eigenkreisfrequenz eines Freiheitsgrades i , bei dem
nur jeweils 1 Masse bzw. nur 1 Massenträgheitsmoment
gelten soll.
Alle anderen Massen werden künstlich zu Null gesetzt.
Beispiel:
1 : 1m = 0 setzen
Reihenschaltung 1k und 3k
sowie Rotationsträgheit AJ
des Stabes der Masse 2m
2 :
2m = 0 setzen
Der Stab ist masselos mit
AJ = 0, wirkt aber als starrer
Hebel.
1m 2k
1k
3k
2k
1k
3k
1m
2k
2m 1k
3k
Maschinendynamik Seite 10
Joensson HTW Berlin Abschätzung nach Neuber
Ähnlich Werte entstehen für i , wenn jeweils nur 1 Feder elastisch an-
genommen wird und alle anderen Federn starr idealisiert werden.
Dann i in die gleiche Formel wie bei Dunkerley einsetzen.
Beispiel:
nach Dunkerley:
1 2/ gesk m
mit 1 2
1 2
gesk k
kk k
(in Reihe)
2 1 1/ k m
nach Neuber: 1 1 1 2/ ( ) k m m
Feder 1k elastisch
2 2 2/ k m starre Feder 1k
Sowohl für Dunkerley als auch für Neuber
gilt dann die gleiche Formel für 1 : 2
1
2 21 2
11 1
Vorteil der Dunkerley- (und Neuber-) Formel:
Mit geringem Aufwand kann geprüft werden,
ob Computerergebnisse plausibel sind, falls Modellierungsfehler ver-
mutet werden
ob die unterste Eigenkreisfrequenz u deutlich größer ist als die obers-
te Erreger-Kreisfrequenz o (wenn ja, sind erzwungene Schwingun-
gen unkritisch „starre Maschine“ (Richtwert dafür: 3 u o ).
1m 2k 2m
1k 1m 2m
1k 1m
1k 2k 2m
1k 1m
2k 2m
Maschinendynamik Seite 11
Joensson HTW Berlin
2.3 Eigenschwingformen
Bei 1 Freiheitsgrad gibt es nur 1 „Schwingform“
z.B.
oder
Bei n Freiheitsgraden gehört zu jeder Eigenfrequenz 1 spezielle Schwing-
form, z.B.
für 2 Freiheitsgrade
für 3 Freiheitsgrade
Grundschwingung
mit Frequenz 1f
1. Oberschwingung
mit Frequenz 2f
2. Oberschwingung
mit Frequenz 3f
Bei jeder nächst höheren Eigenfrequenz entsteht 1 weiterer Schwingungs-
knoten als Nulldurchgang.
xx
Maschinendynamik Seite 12
Joensson HTW Berlin
Beispiel: Balken als Kontinuum mit ∞ vielen Freiheitsgraden
z.B. mit
1f = 83,4 Hz
2f = 139,3 Hz
3f = 192,1 Hz
4f = 248,7 Hz
Bei ∞ vielen Freiheitsgraden gibt es ∞ viele Schwingungsknoten:
Höchste Eigenfrequenz
f = ∞ Hz
Für technische Belange sind vorrangig die untersten (niedrigsten) Eigen-
frequenzen von Interesse.
Sie haben
die größten Auslenkungen
und Frequenzwerte, die von technischen Apparaten in Resonanz
dauerhaft angeregt werden können.
Maschinendynamik Seite 13
Joensson HTW Berlin Aussagewert der Eigenschwingformen:
Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche sind erkennbar.
1.) Wenn Erregerkräfte auf Schwingungsknoten einwirken, haben sie
keine Resonanzwirkung (auch nicht bei Resonanz).
2.) Konstruktive Veränderungen durch Masse-Zugabe oder Versteifung
der Struktur durch zusätzliche Federn sind an Schwingungsbäuchen
am wirkungsvollsten.
Allgemein gilt: Masse-Zugabe an 1 Stelle führt zur Absenkung aller
Eigenfrequenzen,
Feder-Zugabe zur Anhebung aller Eigenfrequenzen.
Trotzdem ist eine gezielte Einflussnahme auf einzelne Eigenfrequenzen
möglich, z.B.:
Grundschwingung
mit 1f
1. Oberschwingung
mit 2f
Masse-Zugabe am Punkt C führt hier zur Absenkung der Grundschwingung.
Die 1. Oberschwingung wird davon deutlich weniger beeinflusst.
Masse-Zugabe am Punkt D jedoch senkt gleichermaßen beide Eigen-
frequenzen ab.
DB
C
A
C
Maschinendynamik Seite 14
Joensson HTW Berlin Berechnung der Eigenschwingform Nr. i :
Zuerst die i - te Eigenkreisfrequenz ii berechnen ( aus det S = 0 ).
Dann diesen Wert i in das algebraische Gleichungssystem von S. 5
einsetzen:
2 ˆ 0K M q
Damit sind die Amplitudenwerte ˆ iiq der i - ten Eigenfrequenz ermittelbar:
2 ˆ 0 ii iiK M q
Die Werte ˆ iiq beschreiben die gesuchte Schwingform Nr. i.
Beispiel Aufgabe M4
Für die 1. Eigenfrequenz gilt: 1i = 21i
Damit lautet das zugehörige Gleichungssystem mit der Spektralmatrix S von S. 7:
i1 2 1 1 2 11
2 212 1 2i
k k m k x 0
k x 0k m
21 iK M 1ˆ iq = 0
↑ Frequenz Nr. 1 ↑
Oder kürzer geschrieben:
11 12 11
21 22 21
a a x 0
a a x 0
bzw. ausmultipliziert
11 11 12 21a x a x 0
21 11 22 21a x a x 0
(1)
(2)
Der zweite Index bei 11x und 21x kennzeichnet nur die Frequenz-Nummer.
Maschinendynamik Seite 15
Joensson HTW Berlin (1) und (2) sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten 11x und 21x .
! Aber:
Trotzdem NICHT lösbar, weil das Gleichungssystem „homogen“ ist
(rechte Seite = 0).
Zum Beispiel folgt hier aus Gleichung (1):
11 11 12 21a x a x
1211 21
11
ax x
a (1a)
Einsetzen in (2) liefert:
1221 21 22 21
11
aa x a x 0
a
also 21 1222 21
11
a aa x 0
a
bzw. 21x 0
und einsetzen in (1a): 11x 0
Fazit:
Die Amplituden ˆ iiq von Eigenschwingformen in mm oder in Winkel-
grad sind prinzipiell NICHT berechenbar !
Berechenbar sind nur Schwingformen als dimensionslose Zahlenwerte
(NORMIERTE Amplitudenwerte iq ),
z.B. 11
max
ˆˆ
ˆ
xx
x bezogen auf irgendeine Amplitude maxx .
Maschinendynamik Seite 16
Joensson HTW Berlin Zum Beispiel:
Gleichung (1) und (2) auf S. 13 jeweils durch 11x dividiert liefert:
11 2111 12
11 11
x xa a 0
x x
11 2121 22
11 11
x xa a 0
x x
bzw.
11 12 21a a x 0 (1b)
21 22 21a a x 0 (2b)
Der normierte Amplitudenwert 21x (auf 11x bezogen) kann jetzt z.B. aus
(1b) ermittelt werden:
1121
12
ax
a
Ergebnis ist eine dimensionslose Zahl, z.B. 0.5631.
Exakt dieselbe Zahl entsteht, wenn 21x aus Gleichung (2b) berechnet wird:
2121
22
ax
a
Im Unterschied dazu hat die „Amplitude“ 11x den Wert 1,0 : 1111
11
xx
x
Zusammenfassung Schwingformen:
Die „Amplituden“ jeglicher Schwingformen sind nur dimensionslose Zahlen!
Es handelt sich stets nur um normierte Werte.
Dies sind keine wirklichen Auslenkungen (in Millimeter oder in Winkelgrad
bei Verdrehungen), sondern nur mögliche Auslenkungsformen, wenn das
Schwingungssystem zu Schwingungen angeregt werden würde.
Maschinendynamik Seite 17
Joensson HTW Berlin
2.4 Erzwungene Schwingungen mit n Freiheitsgraden
Je Eigenfrequenz entsteht 1 Resonanz
Vergrößerungsfunktion mit n Gipfeln.
Zum Beispiel entsteht bei harmonischer Krafterregung:
mit o1 : Eigenkreisfrequenz der Grundschwingung ohne Dämpfung.
V ist die so genannte Resonanzkurve.
Daraus wird der „Amplituden-Frequenzgang“ errx f , wenn als Ordinate
die Amplitude statx x V und als Abszisse die Erregerfrequenz
err o1f f verwendet wird.
Bei n Freiheitsgraden entsteht ein solcher Amplituden-Frequenzgang für
jeden Freiheitsgrad als „Schwingungsantwort“.
Jeder Freiheitsgrad hat seine eigene n-gipflige Resonanzkurve!
Beispiel:
i iˆF t F sin t
Harmonische Kraft-
erregung am Punkt i
Ges::
Schwingungsantwort
am Punkt j
j
i z
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
mit Dämpfung D > 0
Vk
0 0
err
o1 o1
2 f
2 f
ohne Dämpfung D = 0
D = 0
D = 0
Maschinendynamik Seite 18
Joensson HTW Berlin An jedem Punkt der Struktur (auch bei j ) gibt es für die Verschiebungen 3
verschiedene Resonanzkurven entsprechend den Freiheitsgraden x , y ,v v zv .
z.B.
Schwingungsantwort y jv ( horizontale Verschiebung des Punktes j )
Der Anfangswert der Schwingungsantwort bei errf 0 Hz (hier etwa
8 mm) ist die statische Auslenkung y j statv infolge der Amplitude iF als
statischer Last.
Für die x-Auslenkung am Punkt j entsteht eine Resonanzkurve mit anderen
Gipfelwerten bei den gleichen (Eigen-) Frequenzwerten:
usw.
Weiteres Beispiel: Mcad-M4-St
(Aufgabe M4 mit harmonischer Stützenerregung).
Die kürzeste Lösung wird mit komplexer Matrizenberechnung erreicht.
5 10 15 20
10
20
30
25 ferr [Hz]
x jv [mm]
x j errv f
0 0
5 10 15 20
10
20
30
25
y jv [mm]
ferr [Hz] 0
0
Amplituden-Frequenzgang y j errv f
Maschinendynamik Seite 19
Joensson HTW Berlin
2.5 Komplexe Berechnung harmonisch erregter Schwingungen
2.5.1 Warum komplex?
Jede harmonische Erregung
ˆQ t Q sin t
mit Q = Amplitude der Erregerfunktion Q t
= Erregerkreisfrequenz = err2 f und errf = 1 / T
erzeugt je Freiheitsgrad im stationären (eingeschwungenen) Zustand stets
eine phasenverschobene Schwingungsantwort mit gleicher Frequenz :
Nˆq t q sin t
mit q = Amplitude der Schwingungsantwort q t
N = Nacheilwinkel
der Schwingungsantwort in Relation zur Erregung.
Die Nacheilzeit beträgt: N Nt /
In Abhängigkeit von der Erregerfrequenz errf sind somit zwei Größen der
Schwingungsantwort zu berechnen:
errq f Amplituden-Frequenzgang
und N errf Phasen-Frequenzgang
Beide Größen sind gleichzeitig berechenbar, wenn eine komplexe Herleitung
verwendet wird kürzester Lösungsweg für derartige Aufgaben.
q
t T
q(t) q
tn
Q
t T
Q(t)Q
Maschinendynamik Seite 20
Joensson HTW Berlin Der Phasen-Frequenzgang bei 1 Freiheitsgrad
Bisher wurde nur der Amplituden-Frequenzgang für 1 Freiheitsgrad in
folgender Form behandelt:
statq ,D q V ,D
Daraus wird der „echte“ Amplituden-Frequenzgang, wenn die Achsen neu
beschriftet werden: Ordinate: statx x V an Stelle von V
Abzisse: err of f an Stelle von
Also
Für den Nacheilwinkel gilt z.B. bei Krafterregung mit 1 Freiheitsgrad:
N 2
2D,D arctan
1
bzw. N errf ,D als Phasen-Frequenzgang
geschrieben wegen err of / f
Der Nacheilwinkel wird auch Phasenwinkel genannt. Er hat den Wert Null
bei 0 und kann bei 1 Freiheitsgrad maximal 180 ° betragen.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1x
5 4 3 2 1
x(ferr)
1ferr
0 0
1 2 3
1
2
kV
kV ( ,D 0.2)
0 0
Beispiel für harmonische Krafterregung mit D = 20% d
Amplituden-Frequenzgang
für D = 20 %
err
o1 o1
2 f
2 f
err of in Hz f
x mm
Maschinendynamik Seite 21
Joensson HTW Berlin Wie der Nacheilwinkel vom Tempo der Erregung abhängig ist, soll im
Folgenden demonstriert werden.
Allgemein gilt: errf = 1 / T bzw. err2 f 2 / T
Langsame Erregung o : ( 1 )
N Nt
N 0
oN 0
Resonanz-Erregung o : ( 1 )
N Nt
N2
T 2
T
4
oN 90
Sehr schnelle Erregung o : ( 1 )
N Nt
N2
T
T
2
oN 180
t
Q , q
NT
t2
Q(t) q(t)
t
Q , q
NT
t4
Q(t)
q(t)
T
t
Q , q
Nt 0
Q(t)q(t)
Maschinendynamik Seite 22
Joensson HTW Berlin bzw. für alle möglichen -Werte dargestellt als Phasen-Frequenzgang:
Wird ein bestimmtes Erregertempo vorgegeben, z.B. err 1f 2 Hz wie auf
S. 20, dann schwingt das System mit einer bestimmten Amplitude 1x und
einem bestimmten Nacheilwinkel N 1 .
Wird das Abstimmungsverhältnis bzw. die Frequenz errf geändert, ändern
sich gleichzeitig beide Werte.
Siehe auch H-St1an Harmonische Stützenerregung mit 1 Freiheitsgrad
animiert, als pdf-Datei
oder
als AVI-Datei
Weitere Beispiele zu Frequenz- und Phasengängen sind in der pdf-Datei
Harm-Err-1
enthalten, sowohl reell als auch komplex berechnet.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,5 0°
90°
180°
1,5 2,5 1 2
f0
0
N D = 0
D = 0,5
D = 0,2
0
o
err
o
f in Hz
f
Maschinendynamik Seite 23
Joensson HTW Berlin 2.5.2 Komplexe Berechnung - Grundlagen
Für komplexe Größen sind verschiedene Schreibweisen üblich: x x x x
.
In den vorliegenden Mathcad-Übungen wird ein seitlicher Unterstrich
für komplexe Größen verwendet.
Jede komplexe Größe hat zwei Bestandteile
und ist in der Gaußschen Zahlenebene als Punkt darstellbar:
oder
xr = Re (x_ ) Realteil
xi = Im (x_ ) Imaginärteil
xr und xi sind beides relle Größen (Koordinaten des Punktes im Koordinatensystem Im-Re)
xb = Betrag von x_
(Abstand zwischen Nullpunkt und x_ )
α = Winkel
(von Re nach Im drehend positiv definiert)
x _ xr i xi
x _ xb cos i sin
kartesische Schreibweise für x_ trigonometrische Schreibweise („Polarform“)
jeweils mit i = 1
Fazit:
Jede komplexe Größe kann entweder
mit Realteil und Imaginärteil oder
mit Betrag und Winkel eindeutig beschrieben werden.
00
Im
Re
xi x
xb
0 0
Im
Re xr
xi x
Maschinendynamik Seite 24
Joensson HTW Berlin Betrag und Winkel sind auch aus xr und xi berechenbar:
2 2xb xr xi
xi Gegenkathete
arctanxr Ankathete
Insbesondere die Polarform kann kürzer geschrieben werden mit der Euler-schen Formel: icos i sin e
Damit entsteht ix _ xb e in exponentieller Schreibweise
Diese Schreibweise der Polarform von x_ ist für harmonische Schwingun-
gen bestens geeignet.
Damit kann die Lage von x_ in der Gaußschen Zahlenebene als Kreisbahn-
Funktion von α interpretiert werden (mit Radius = Betrag): 2
Die Projektion der Kreisbahn x_( α)
auf die Im-Achse liefert eine perfekte
Sinusfunktion,
die Projektion auf die Re-Achse liefert
eine perfekte Cosinusfunktion,
siehe Mcad-e-Funktionen Seite 2ff.
Re
in Radiant
0
2
2
( )xr
3
2
Im
Re
_( )x
Im
in Radiant
00 2
( )xi
Maschinendynamik Seite 25
Joensson HTW Berlin Auf S.3 der pdf-Datei Mcad-e-Funktionen wird eine Phasenverschiebung
demonstriert,
d.h. der Anfangswert der Sinus- und Cosinusfunktion beginnt bei einem
Winkel .
Dieser Winkel ist im Unterschied zum variablen Winkel α fest stehend.
S.4 der pdf-Datei:
Bei harmonischen Zeitfunktionen tritt an die Stelle des Winkels α das
Produkt t
mit konstanter Kreisfrequenz und variabler Zeit t.
Des Weiteren wude hier der Anfangswinkel negativ gesetzt – im Sinne
der erzwungenen Schwingungen ein „Nacheilwinkel“.
Damit entsteht
Ni tx _ t b e
mit Amplitude b der harmon. Schwingung xi(t) oder xr(t)
und Phasenwinkel N als Nacheilwinkel
(Winkel-Anfangswert bei t = 0)
Die „Nacheilzeit“ am Anfang folgt aus N Nt
Maschinendynamik Seite 26
Joensson HTW Berlin 2.5.3 Komplexe Beschreibung harmonisch erregter 1-Freiheitsgrad-
Schwinger
Die phasenverschobene Schwingungsantwort von S. 19
Nˆq t q sin t
kann als imaginärer Anteil einer übergeordneten komplexen Schwingungs-
antwort q_(t) interpretiert werden:
q t Im q _ t
mit Ni tˆq _ t q e
bzw. als Produkt geschrieben:
Ni i tˆq _ t q e e
↑ zeitabhängig (Sinus-Cosinus)
zeitunabhängige komplexe Amplitude q _ d.h.
diese „Amplitude“ enthält genau die beiden interessanten reellen Größen q und N :
Niˆ ˆq _ q e
Wenn q _ bekannt ist, kann daraus sofort berechnet werden:
q = q _ Betrag der komplexen Größe
N = - arg q _ Argument
Lösungsweg für q _ :
Ni i tˆq _ t q e e einsetzen in die Schwingungs-Differenzial-
gleichung, dann i te kürzen und q _ ermitteln.
Maschinendynamik Seite 27
Joensson HTW Berlin Beispiel: Harmonische Krafterregung
↑ : m x b x k x F t 0
Weil jetzt nicht nur die Amplitude x der stationären Schwingungsantwort
ermittelt werden soll, sondern gleichermaßen auch der Nacheilwinkel N ,
wird eine komplexe Auslenkung x _ t als partikuläre Lösung angesetzt, die
beide gesuchten Größen enthält:
Lösungsansatz i tˆx _ t x _ e für den eingeschwungenen
Zustand
Die Zeitableitungen dazu lauten:
i tˆx _ t x _ ei
2 t2 iˆx _ t x ei_
= -1
Die oben ermittelte Bewegungsgleichung wird komplex erweitert geschrie-
ben:
m x _ b x _ k x _ F_ t
mit i tˆF_ t F e
ohne ! Phasenverschiebung, siehe S. 19
und F : Amplitude der Krafterregung [in N]
F(t)
x
k xb x
m x
F(t)
m
k b
Maschinendynamik Seite 28
Joensson HTW Berlin
Einsetzen x _ t bis x _ t in die komplexe Differenzialgleichung liefert:
i t i t i t i t2 ˆˆ ˆ ˆm x _ b i x _ k x _ Fe e e e
Der Faktor i te kann gekürzt werden:
2 ˆˆ ˆ ˆm x _ i b x _ k x _ F
bzw. 2 ˆˆk m i b x _ F
dynk _ : dynamische Federkonstante (komplex)
Oder kürzer geschrieben:
dynˆˆk _ x _ F (1)
analog zu ˆˆk x F mit der statischen (reellen) Federkonstante k .
Umstellen nach x _ liefert: dyn
1 ˆx _ Fk _
bzw. ˆx _ n _ F (2)
mit 2
1n _ n _
k m i b
(3)
komplexe Nachgiebigkeit in m/N
als Kehrwert
der dynamischen Federsteifigkeit in N/m
Weil n_ von abhängt, ist auch x _ eine Funktion der Erregerfrequenz
errf / 2 .
Maschinendynamik Seite 29
Joensson HTW Berlin
Aus x _ folgt mit err2 f :
errˆ ˆx f x _ Amplituden-Frequenzgang reell
N err ˆf arg x _ Phasen- Frequenzgang reell, siehe S.26
Umrechnung des Produktes ˆn _ F der Gleichung (2) von Seite 29 in
„Vergrößerungsfunktion mal statx “ :
Mit statF k x für die Krafterregung entsteht aus ˆx _ n _ F :
stat2
kx _ x
k m i b
komplexe Vergrößerungsfunktion V_
Also entspricht ˆx _ n _ F der Gleichung statx _ V _ x
mit 2
1V _
m b1 i
k k
Dabei gilt
2o
m
k
1
und o
2D k m m 12D 2D
k
b
k k
siehe b im Refreshing TM 3 Seite 76.
o ist die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz.
Damit kann der Quotient o/ genutzt werden und führt dann auf
2
1V _ ,D
1 i 2D
Siehe pdf-Datei Harm-Err-1, HK-1, S.2. (Dort mit j statt mit i geschrieben).
Maschinendynamik Seite 30
Joensson HTW Berlin Mit dieser komplexen Funktion V_ sind nun die reellen Funktionen ermit-
telbar:
V ,D V _ ,D
N ,D arg V _ ,D negativ wegen Nacheilung
Analytische Berechnung der reellen Werte:
Zunächst Realteil und Imaginärteil von V_ berechnen:
Vi = Im (V_)
Vr = Re (V_)
Daraus Betrag und Winkel ermitteln:
2 2V Vr Vi
NVi
arctanVr
Damit Vi und Vr berechnet werden können, ist die kartesische Schreibweise
für V_ anzuwenden:
V _ Vr i Vi
Dazu muss allerdings der vorliegende Formelausdruck für V _ ,D
konjugiert komplex erweitert werden:
2
2
2
1 i 2D
1 i
1V _ ,D
1 i 2D 2D
usw.
Maschinendynamik Seite 31
Joensson HTW Berlin 2.5.4 Harmonisch erregte Schwingungen mit n Freiheitsgraden
Für 1 Freiheitsgrad gilt
12 ˆx _ k m i b F_
↑ ↑ Antwort- komplexe Amplitude der Amplitude, Nachgiebigkeit dynamischen Last komplex n_ (komplex, mit des Schwingungs- Sonderfall reell) systems Daraus wird für n Freiheitsgrade:
12 ˆx _ K M i D f _
↑ ↑ Vektor komplexe Vektor der
der Antwort- Amplitude, komplex
Nachgiebigkeits- matrix
N _
Last-Amplituden, komplex („Kraftvektor“)
mit
K Steifigkeitsmatrix
M Massenmatrix jeweils reell
D Dämpfungsmatrix
Die Matrix N_ heißt mitunter auch „Frequenzgangmatrix“ H (z.B. bei Irretier, Band 2, S. 96).
Die Matrix-Formel kürzer geschrieben lautet:
ˆx _ N _ f _
Daraus folgen je Freiheitsgrad k = 1, 2, … n die reellen Einzelwerte:
Maschinendynamik Seite 32
Joensson HTW Berlin
k kˆ ˆx x _ Betrag des k-ten Wertes des Vektors x _
N k kˆarg x _ Nacheilwinkel
Je Freiheitsgrad k entsteht so jeweils 1 Funktion k errx f als Amplitu-
den-Frequenzgang und 1 Funktion N k errf als Phasen-Frequenzgang.
Siehe z.B. Mcad-M4-St, S. 3 (dort sind nur die Amplituden-
Frequenzgänge dargestellt).
Die Matrix N_ ist für alle Erregungsarten gleich bleibend!
(auch für transiente Erregung).
Nur der Kraftvektor f _ der Erreger-Amplituden ist abhängig von der Erre-
gerart:
Krafterregung: 1
2
n
F
Ff _
F
nur reelle Werte, d.h. f _ = f
Alle Kräfte wirken mit gleichem
Erregertempo
Unwuchterregung: Wie Krafterregung.
Je Freiheitsgrad k gilt 2k u u k
F m r
mit Unwucht u um r und gleiche Drehzahl
kn / 2 für alle Unwuchten
Stützenerregung:
1F _
0f _
0
mit 1 1 1 1ˆ ˆF _ s k i b
d.h. an 1 Freiheitsgrad wird eine
Weg-Amplitude 1s eingeleitet,
die wegen des Dämpfers zu einer phasenverschobenen Dämpferkraft führt.
Maschinendynamik Seite 33
Joensson HTW Berlin Nacheilwinkel N aus arctan-Formel
erfordert 4 Fallunterscheidungen.
Die Formel für die Handrechnung lautet:
N kIm
arctanRe
mit Im = Im (x_ )
und Re = Re (x_ )
Der Arkustangens ist nur definiert für = - 90° bis + 90°, also für den
1. und 4. Quadranten:
xi = Im ( x_ )
xr = Re ( x_ )
1.Q: Im
Re
2.Q: Im
Re
3.Q: Im
Re
4.Q: Im
Re
jeweils 180° addieren!
Beispiel: 1x _ 21 20 i
liefert N 120
arctan21
3. Quadrant 20
21
43,6 180 = - 223,6 °
Weil hier der Nacheilwinkel negativ ist, gilt auch
N 1 136,4 Grad ( - 223,6 ° + 360 ° )
Weiteres Beispiel:
2x _ 13 400 i liefert N 2 88,1 bzw.
1. Quadrant 20
21
N 2 271,9 Grad
Fazit: Nur wenn der Realteil Re negativ ist, müssen 180 ° addiert werden.
Im
Re
xi
xr
1.Quartal 2.Q
3.Q 4.Q
_x
1. Quadrant
Maschinendynamik Seite 34
Joensson HTW Berlin 2.5.5 Erregerkräfte mit Phasenverschiebung
2.5.5.1 Kraftgleichung für die Erreger-Amplitude In Aufgabe N4 Nr. 3 wird ein einfacher Sonderfall behandelt:
2 180 vorauseilend
1 0
Für beliebige Winkel gilt:
err errˆF t F sin t
mit errF Erregerkraft-Amplitude
und „Vorauseilwinkel“
z.B. für
bzw. in komplexer Schreibweise wie auf S. 26:
i terr err
ˆF _ t F e
= i i terrF e e
komplexe Erregerkraft- Amplitude, zeit-unabhängig
kennzeichnet die sinusförmige Zeitabhängigkeit
↓
err errˆ ˆF _ F cos i sin
2 = 40°
n
n
2um
1um
Start- position
Maschinendynamik Seite 35
Joensson HTW Berlin 2.5.5.2 Kraft- und Unwuchterregung In Erweiterung zu S. 32 gilt für 0 :
1
2
n
F _
F _f _
F _
Jetzt sind auch die Einzelwerte komplex
mit k kˆ ˆF _ F cos i sin für k = 1 … n Freiheits-
grade
wobei speziell für Unwucht gilt:
2k u k u u k
ˆ ˆF F m r
Beispiel: Aufgabe N4, Nr. 3
mit Unwucht-Kraft-Amplitude uF (444 N)
Zunächst u 1F ohne Phasenverschiebung ( 1 0 ):
u1 uˆ ˆF _ F cos0 i sin 0
1 0
uF reell
Dann u 2F mit 2 180 :
u2 uˆ ˆF _ F cos 180 i sin 180
- 1 0
uF ebenfalls reell
Maschinendynamik Seite 36
Joensson HTW Berlin 2.5.5.3 Stützenerregung a) Zunächst ohne Erreger-Phasenwinkel
Bei Stützenerregung s(t) mit Feder-Dämpfer-Einleitung besteht die Erreger-
kraft aus zwei Kräften:
errF t k s b s
Federkraft Dämpferkraft
mit ˆs t s sin t
Also
err ˆ ˆF t k s sin t b s cos t
s t
bzw. wegen
cos t sin t2
↑ „vorauseilend“
entsteht
err ˆF t s k sin t b sin t2
d.h. die Dämpferkraft ist gegenüber der Federkraft um 90 ° vorauseilend
phasenverschoben.
Komplex geschrieben:
i t i t i /2err ˆF _ t s k e b e e
bzw. i /2 i terr ˆF _ t s k b e e
komplexe Amplitude errF _
m
k b
s(t)
Maschinendynamik Seite 37
Joensson HTW Berlin
Mit dem speziellen Wert i /2e i siehe z.B. Papula Formel-
sammlung 6. Auflage, S. 219
entsteht
errˆ ˆF _ s k i b siehe S. 32 unten.
Das heißt, die Erregerkraft-Amplitude bei Stützenerregung ist bereits kom-
plex ohne zusätzlichen Nacheilwinkel - wegen der um 90 ° phasenver-
schobenen Dämpferkraft.
b) Phasenverschobene Stützenerregung 0
Bei Fahrzeugen typisch:
Vorderachse mit 0 und Hinterachse mit 0 .
Auch hier gilt wie auf S. 34:
err errˆ ˆF _ F cos i sin
jetzt aber mit komplexem Anteil errF _ , also
err errˆ ˆF _ F _ cos i sin
bzw. errˆ ˆF _ s k i b cos i sin
oder nur kürzer geschrieben:
ierr
ˆ ˆF _ s k i b e
Maschinendynamik Seite 38
Joensson HTW Berlin Damit entsteht in Erweiterung zu S. 32 für mehrachsige Stützenerregung:
1
2
n
F _
F _f _
F _
für 0
0
Beispiel:
Ein Pkw mit Achsabstand ℓ fährt mit
Geschwindigkeit v über Bodenwellen
der Wellenlänge w.
Ges.: Phasenwinkel der Hinterachsen-
Stützenerregung
Lösung:
Die Hinterachse erhält ihre Anregung um eine Zeitspanne Nt später als die
Vorderachse: Nt / v (Nacheilzeit)
Daraus folgt der Nacheilwinkel N Nt gemäß S. 19
mit der Erregerkreisfrequenz err2 f
Bei rollenden Fahrzeugen gilt speziell errf v / w
Der Phasenwinkel der Hinterachse ist demzufolge:
N v
2w v
ist vorauseilend definiert, deshalb negativ zu N .
Also 2w
in Radiant
Zahlenbeispiel:
v = 50 km/h w = 1,2 m Radstand ℓ = 2,7 m.
Ges.: errf in Hz und Phasenwinkel der Hinterachse in Grad
w
v
Maschinendynamik Seite 39
Joensson HTW Berlin
3. Modellierung schwingender Maschinen als MKS
3.1 Einleitung
Für erste Berechnungen möglichst wenige Freiheitsgrade modellieren.
Beispiel: Starre Maschine auf elastischem Fundament mit 6 Freiheitsgraden
3 mögliche Verschiebun-
gen in x, y, z-Richtung
und
3 mögliche Verdrehungen
um x, y, z
Zunächst sollten nur die größten Schwingungen im Berechnungsmodell
berücksichtigt werden.
Z.B. könnte hier die Vertikalschwingung in z-Richtung dominieren:
Einfachstes Berechnungsmodell mit 1 Freiheitsgrad liefert
die Eigenfrequenz
f = vk1
2 m
mit vk Federkonstante vertikal und m Gesamtmasse der Maschine
Soll aber zusätzlich die seitliche Schwingung in x-Richtung und das Kippen
um y mit berücksichtigt werden, ist bereits ein Berechnungsmodell mit 3
Freiheitsgraden erforderlich:
Ohne größeren Aufwand kann hier
nur die niedrigste Eigenfrequenz ab-
geschätzt werden.
z
x y
m z
S m x y yJ
vk / 2vk / 2
y
m
vk
z
y
x
z
Maschinendynamik Seite 40
Joensson HTW Berlin Modellbildung der Maschinendynamik als Mehrkörpersystem (MKS):
Nur Punktmassen idealisieren in den Schwerpunkten iS der beteilig-
ten Körper i und Massenträgheitsmomente um iS für Rotationen der
Körper
Masselose Federn und Dämpfer
Idealisierte Lagerungen
3.2 MKS-Modellierung von Punktmassen in Maschinen
Massenträgheit = „Widerstand gegen Beschleunigung“,
d.h. gegen Geschwindigkeitsänderung.
Bei Translation:
Masse = Schubträgheit → Gesamtgewicht in den Schwerpunkt legen.
Bei Rotationen
(einschließlich Pendel- und Kippschwingungen):
Zusätzlich Massenträgheitsmomente J als Drehträgheiten berücksich-
tigen.
Im Unterschied zur Masse m ist J abhängig von der jeweiligen
Drehachse:
Je nach Drehachse a, b oder c
entstehen hier bei gleicher Masse
m drei verschiedene Werte aJ ,
bJ oder cJ
→ zu jedem Massenträgheitsmoment gehört 1 bestimmte Drehachse!
Drehachse a
c
b
Maschinendynamik Seite 41
Joensson HTW Berlin Ermittlung von Massenträgheitsmomenten:
a) rechnerisch
Zerlegung in einfache Teilkörper:
Eigenrotation plus Steiner-Anteil
für jeden Teilkörper
b) experimentell
Messgerät: Eine Uhr
Messvorgang: Pendeln des Körpers
→
↓
Refreshing: Für die Eigenrotation starrer Körper (d.h. Drehung um eine
beliebige Drehachse bS durch den Schwerpunkt S des Kör-
pers) gilt allgemein:
2bS
m
J r dm
Aus diesem Integral folgen für konkrete Körperformen spezielle Formeln, z.B.:
Kreiszylinder
xSJ = ySJ = 2 21 3
12m R
zSJ = 21
2m R
Sonderfall: Dünner Stab mit R << ℓ
xSJ = ySJ ≈ 21
12m
zSJ = 21
2m R
Quader
xSJ = 2 21
12m b c
ySJ = 2 21
12m a c
zSJ = 2 21
12m a b
c
y
z x
a
b S
y
z x ℓ
S
y
z x
ℓ
S R
Maschinendynamik Seite 42
Joensson HTW Berlin Zu b) Experimentelle Ermittlung von J mittels Pendelversuch
Beispiel:
Aufhängen bei A,
Schwingungsdauer AT messen.
Geg.: AT
Masse m, Erdbeschleunigung g
Abstand a zwischen A und S
Ges.: SJ
Lösung: Berechnungsmodell „Physikalisches Pendel“
A : sin 0 AJ mg a
Für kleine Winkel gilt: sin
Also 0 AJ mg a
bzw.
0
A
mg a
J
2A
mit A : Eigenkreisfrequenz der Pendelschwingung um A
Zugehörige Eigenfrequenz: A AA
1 1 mg af
2 2 J
Af ist der Kehrwert der Schwingungsdauer: AA
1f
T
also A A
1 1 mg a
T 2 J
Bestimmungsgleichung für AJ
g A
S
a
m g
sina
AJ
g
A
S
a
Lot unter A
Maschinendynamik Seite 43
Joensson HTW Berlin
bzw. 2
A A
2 mg a
T J
und damit
2A
A 2
mg a TJ
4
Gesucht ist aber SJ .
Aus 2A SJ J m a mit Steiner-Anteil folgt schließlich
2
2AS 2
mg a TJ m a
4
aus einer Zeitmessung für AT
3.3 MKS-Modellierung von Federelementen
3.3.1 Echte Federelemente
z.B.
Schraubenfedern
Zugfedern - mit Ösen
Druckfedern - ohne Ösen
Tellerfedern
Spiralfedern
Drehfedern
Lineare Federkennlinie:
a) bei Translation infolge Federkraft
Federweg x
F x k x
mit Federkonstante
Fk
x in N/m
für Zug/Druck
F
x
F(x)
F
x Dreha
Dreha
Maschinendynamik Seite 44
Joensson HTW Berlin b) bei Verdrehung der Feder infolge Torsionsmoment tM
Verdrehwinkel
mit t
TM
k
Drehfederkonstante in N m
wegen in Bogenmaß.
Bei Schwingungen entstehen für 1 Freiheitsgrad-Systeme mit 1 Masse und
linearer Federkennlinie folgende Eigenfrequenzen:
T
p
1 kf
2 J
1 kf
2 m mit pJ Massenträgheitsmoment um die „polare“
Torsionsachse p
Mögliche Probleme bei den „echten“ Federelementen:
1.) Die Federkennlinie ist nicht linear.
2.) Die Federkonstante bleibt nicht konstant bei steigender Frequenz.
3.) Die Lagerbedingungen der Feder sind nicht ideal.
4.) Die Federkennlinie ist für Be- und Entlastung verschieden,
z.B.
infolge Reibungsdämpfung bei
Tellerfederpaketen.
F
x
Dämpfung
m p
kT x m
k
tM
tM
t TM k
Maschinendynamik Seite 45
Joensson HTW Berlin 3.3.2 Konstruktiv bedingte Federwirkungen
(infolge elastischer Verformungen kompakter Bauteile)
Einfachster Fall: Balkenbiegung
Beispiel:
Geg.:
Balken der Länge ℓ masselos idealisiert,
Punkmasse m
Rechteck-Querschnitt des Balkens mit
Höhe h und Breite b
Ges.: Eigenfrequenzen des Systems
Lösung:
Die Masse kann hier in 3 Richtungen schwingen: Horizontal (Zug-Druck)
sowie biegeschwingend, vertikal in der Zeichenebene und senkrecht dazu.
a) Biege-Schwingung in Richtung x:
Entspricht näherungsweise einem translatorischen Schwingungsmodell mit 1
Freiheitsgrad wie auf S. 44 :
1 k
f2 m
Eigenfrequenz der Vertikalschwingung
Noch unbekannt ist die Federkonstante k des idealisierten Balkens.
Zur Ermittlung von k wird eine statische Verformung am Ort der Masse m
infolge einer fiktiven Kraft F simuliert:
x m
k x
m h
Maschinendynamik Seite 46
Joensson HTW Berlin
Infolge F entsteht eine statische Biegelinie
v(z) mit einer Durchbiegung Fv unter F
Der Ansatz für die Biegelinie lautet:
bEI v M z
Integrieren
Randbedingungen einsetzen
Ergebnis v(z)
siehe Festigkeitslehre
Speziell für z = 0 entsteht die Verformung 3
F1 F
v3 E I
D.h. die Kraft F erzeugt hier den „Federweg“ Fx v
Daraus folgt die Federkonstante 3
F Fk
x 1 F3 E I
Also
3
3 E Ik
Speziell für die Schwingung in x-Richtung gilt hier:
3
yyb h
I I12
bzw. b)
in y-Richtung
3
xxh b
I I12
h
b x
y
z
F
z
v
vF v(z)
Maschinendynamik Seite 47
Joensson HTW Berlin c) Horizontale Schwingung (Zug-Druck)
Statisches Ersatzmodell:
Infolge F entsteht im Balken die Zug-Normalspannung F
A
mit A : Querschnittsfläche des Balkens
sowie wegen der Längenänderung die Dehnung
Weil der Balken elastisch ist, gilt das Hookesche Gesetz: E
und damit F
EA
bzw. E A
F
Lk z
interpretiert als Federkraft LF z k z
Daraus folgt L
E Ak
Längs-Federkonstante in N/m
Für die Eigenfrequenz der Zug-Druck-Schwingung des Balkens gilt hier
demzufolge:
L1 kf
2 m =
1 E A
2 m
F
z
F
z
Maschinendynamik Seite 48
Joensson HTW Berlin Je nach Lagerungsart entstehen außerdem spezielle Biege-Federkonstanten:
Beispiel Federkonstante k
1)
3F
3 EI F
v
2)
2 21 2
3 EI
symmetrischer Sonderfall 1 = 2 = / 2 : 348 EI /
3)
3
3 21 2 2
12 EI
3
symmetrischer Sonderfall 1 = 2 = / 2 : 3768 EI / (7 )
4)
3
12 EI
5)
3
3 31 2
3 EI
symmetrischer Sonderfall 1 = 2 = / 2 : 3192 EI /
6)
21 1
3 EI
7)
21 1
12 EI
4 3
F
Fv
1
F
Fv
1
F
Fv
1 2
F
Fv
F
Fv
1 2
F
Fv
1 2
F
Fv
Maschinendynamik Seite 49
Joensson HTW Berlin Das gemeinsame einheitliche Ersatzmodell für diese Tabelle entspricht dem
translatorischen 1-Freiheitsgrad-Schwinger von S. 44 und 45:
Die Federkonstante k für die elastische Biegeverformung eines komplizier-
teren Bauteils kann auch alternativ mit dem Satz von Castigliano berechnet
werden oder auch mit Finiten Elementen.
Dabei wird die Auslenkung Fv in Richtung einer frei wählbaren statischen
Last F ermittelt.
Der Quotient Fk F / v ist dann die Ersatz-Federkonstante.
3.4 MKS-Modellierung von Dämpferelementen
3.4.1 Echte Dämpferelemente
z.B. Schwingungsdämpfer in Fahrzeugen
oder Viskose Drehschwingungsdämpfer in Textilmaschinen
Die Dämpfung ist wesentlich abhängig vom Lagerspiel und von der Ölzähig-
keit. Beides verändert sich im Laufe der Zeit.
Mt
Ölschichten
xm
kk
Maschinendynamik Seite 50
Joensson HTW Berlin 3.4.2 Dämpfung als Nebenwirkung
z.B. Reibungen in Führungen und Lagern
Luft- und Flüssigkeitswiderstände
Fugenreibung an beweglichen Trennfugen
Materialdämpfung (Verformungswiderstände durch innere Reibung im
Innern federnder Bauteile)
Beispiele dazu mit Lehrschem Dämpfungsmaß:
Federelemente aus hochfestem Stahl D ≈ 0,15 %
Bauelemente aus Baustahl ≈ 1 bis 1,5 %
Bauelemente aus Gusseisen ≈ 2 %
Bei Schwingungen sind Dämpfungen im allgemeinen erwünscht, lassen sich
aber oft nur für die einfachsten Sonderfälle rationell auswerten.
Insbesondere frequenzabhängige und weg-proportionale Dämpfungen mit
und ohne Richtungsumkehr erfordern umfangreiche numerische Berechnun-
gen.
Das gilt auch bei „globaler“ Dämpfung des gesamten Schwingungssystems,
wenn die Dämpfung also nur schlecht lokalisierbar ist.
Zusätzlich verändern sich die erwähnten Dämpfungen allmählich mit der Zeit
- wie die echten Dämpferelemente.
Maschinendynamik Seite 51
Joensson HTW Berlin
4. Biegeschwingungen elastischer Achsen und Wellen
4.1 Biegekritische Drehzahl
Diese Drehzahl tritt bei allen gleichmäßig rotierenden Achsen und Wellen
durch Unwuchten (exzentrische Rotormassen) auf:
Rotormasse m mit Schwerpunkt
außerhalb der Drehachse im Ab-
stand e
Drehzahl n → Erregerkreis-
frequenz 2 n
Die Unwucht des Rotors erzeugt die Fliehkraft
2u u uF m r
mit um : Unwuchtmasse = Rotormasse m
sowie u rr e v Unwuchtradius mit Exzentrizität e (statisch),
rv : radiale elastische Verformung (dynamisch)
Der Fliehkraft entgegen wirkt die elastische Feder-Rückstellkraft
k rF k v
Kräftegleichgewicht radial: ↑ : u kF F 0
bzw. 2u u rm r k v 0
2u r rm e v k v 0
n
e
UF
kF vr
m
Maschinendynamik Seite 52
Joensson HTW Berlin
Daraus folgt: 2
ur 2
u
m ev
k m
=
2
2
u
e
km
Der Quotient uk / m kann als Eigenfrequenz einer Biegeschwingung
interpretiert werden:
u
k
m
für das Schwingungsmodell
Damit entsteht 2
r 2 2
ev
Erweitert mit 21 / :
22
r2 2
2
1e
v1
und mit 2
22
folgt schließlich 2
r 2
ev
1
bzw.
2
r 2v e
1
als Antwort-Amplitude mit
statx uV Vergrößerungsfunktion
der harmonischen Unwuchterregung
ohne Dämpfung
d.h. die radiale Auslenkung wird im Resonanzfall 1 unendlich groß!
Biegekritische Drehzahl b kn bei u
k
m
Mit 2 n entsteht daraus:
b ku
1 kn
2 m
60 in U / min
vr mu
k
Maschinendynamik Seite 53
Joensson HTW Berlin Betriebsdrehzahlen sollten möglichst ± 30 % über oder unter dieser Drehzahl
bleiben:
Kritischer Drehzahlbereich: kritn = ( 0,7 … 1,3 ) b kn
b kn ist nur abhängig von der Rotormasse um und von der Biege-Feder-
konstante k der Welle gemäß der Tabelle auf S. 48.
b kn ist nicht abhängig von e !
Bei hohen Drehzahlen n > b k3 n zentriert sich die Welle sogar von
selbst auf rv e bzw. auf ur 0 .
Begründung:
Die Amplitude der Unwuchterregung
lautet allgemein: stat ux x V
Für 3 konvergiert uV auf den Wert 1,0 .
Mit statx e gilt hier:
x e 1,0 e
1
1 2 3 4
-1
-2
0
uV
Maschinendynamik Seite 54
Joensson HTW Berlin
4.2 Biegekritische Drehzahl ohne Rotormasse
Biegeschwingung des „kontinuier-
lichen“ Balkens
1. Schwingform
→ 1. biegekritische Drehzahl
2. Schwingform
→ 2. biegekritische Drehzahl
usw. bis zur ∞. Schwingform.
Exakte analytische Lösung für diese Lagerungsart Festlager-Loslager:
2i 4
E Ii
A
mit i : Schwingform Nr.
E : Elastizitätsmodul des Wellen-Werkstoffes
I : Flächenträgheitsmoment des Wellen-Querschnittes
: Dichte des Wellen-Werkstoffes
A : Querschnittsfläche der Welle
ℓ : Länge der Welle zwischen den beiden Lagern
Speziell für i = 1 gilt: 21 4
E I
A
Daraus folgt die 1. biegekritische Drehzahl b k1 1n / 2 für Wellen
mit Vollkreisquerschnitten 4 2I r und A r4
:
b k1 2
r En
4
60 in U / min
n
Maschinendynamik Seite 55
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4.3 Biegekritische Drehzahlen für mehrere Einzelmassen
Mehrere Freiheitsgrade!
Je Rotor 1 Freiheitsgrad.
Grundschwingung → b k1n
1. Oberschwingung → b k2n
Die analytische Berechnung dafür ist aufwendig, siehe Kapitel 2.
Numerische Berechnung z.B. mit FEM:
Die unterste vom Programm berechnete Biege-Eigenfrequenz 1f liefert die
1. biegekritische Drehzahl:
b k1 1n f 60 in U/min usw.
Analytische Abschätzung
der untersten biegekritischen Drehzahl, z.B. nach Dunkerley
(für eine durchgehend gleiche Welle)
Jeweils nur 1 Masse annehmen:
→ 1 → 2 → 3
Daraus 1 abschätzen
und b k1 11
n 602
in U/min
n
n
Maschinendynamik Seite 56
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5. Torsionsschwingungen elastischer Achsen und
Wellen
5.1 Die Torsions-Federkonstante
Die elastische Welle wirkt bei Torsion als Torsionsfeder:
Trägheits-Rückstellmoment nach d’Alembert
Feder-Rückstellmoment k TM k
mit Torsions-Federkonstante Tk
und Verdrehwinkel
Aus der Momentenbilanz um S
S : 0 p TJ k
folgt die Schwingungs-Differenzialgleichung der Torsionsschwingung:
0 T
p
k
J
(1)
Auch hier kann die Federkonstante vorab statisch ermittelt werden:
Siehe Festigkeitslehre, Kapitel Torsion kreis-
zylindrischer Stäbe.
tM
z
S
pJ
kM
S
Rotor der Masse m
Drehachse p als „polare“ Achse
elastische Welle
Maschinendynamik Seite 57
Joensson HTW Berlin Für den Verdrehwinkel gilt demzufolge:
t
p
Mz
G I
(2)
mit tM : Torsionsmoment, statisch aufgebracht
ℓ : Länge der Welle
G : Gleitmodul in 2N / mm
pI : polares Flächenträgheitsmoment des Wellen-Querschnittes
x x y yI I
pI ist speziell beim Vollkreis-Querschnitt: 4
2
pI r
und beim Rohr-Querschnitt mit ar und ir : 4 4
2
p a iI r r
Aus Gleichung (2) folgt:
p
t
G IM
Tk
Der Faktor vor kann als Torsions-Federkonstante (Drehfeder-Konstante)
wie auf S. 44 interpretiert werden.
Daraus folgt
p
T
G Ik
in N m
für 1 elastischen Wellenabschnitt der Länge .
Speziell für Vollkreis-Querschnitte gilt:
4
2
T
G rk
Maschinendynamik Seite 58
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5.2 Torsionskritische Drehzahl
Gemäß Gleichung (1) auf S. 56 lautet die Eigenkreisfrequenz der Torsions-schwingung:
T
p
k
J
Analog zur biegekritischen Drehzahl folgt daraus die torsions-kritische Dreh-
zahl für 2 n :
T
t kp
1 kn
2 J
60 in U / min
mit dem Massenträgheitsmoment pJ des Rotors um die Längsachse p der
Welle.
5.3 Mehrere Wellenabschnitte
Parallelschaltung
T T 1 T 2k k k
Reihenschaltung
(Feder an Feder gekoppelt!)
n
T T ii 1
1 1
k k
für n Wellenabschnitte
Sonderfall 2 Wellenabschnitte: T 1 T 2T
T 1 T 2
k kk
k k
1 2
1d 2d
1 2
1d 2d
Maschinendynamik Seite 59
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5.4 Wenn mehrere Rotormassen tordieren
Einfachster Fall: Zwei-Scheiben-Drehschwinger
Berechnungsmodell:
1. Schwingform:
Beide Winkel drehen in die gleiche Richtung.
Damit aber entsteht nur eine Starrkörperdrehung mit 1f 0 Hz als
1. Eigenfrequenz.
2. Schwingform:
1 und 2 drehen entgegen gesetzt.
Damit entsteht eine Winkeldifferenz 1 2 .
Nur dadurch wird die Torsionsfederwirkung aktiviert.
Aus der Momentenbilanz z.B. nach d’Alembert mit diesen Differenzwinkeln folgt:
1 2
0
T Tk k
J J
2
also T T
1 2
1 k kf
2 J J =
T 1 22
1 2
k J J1f
2 J J
Erst die 2. Eigenfrequenz 2f führt also zur 1. torsionskritischen Drehzahl:
t k 1 2n f 60 in U / min
1 2
1 1J
2 2J
1J 2J Tk
2 1
Maschinendynamik Seite 60
Joensson HTW Berlin Erst bei mehr als 2 Rotormassen kommt es zu mehreren torsionskritischen
Drehzahlen, z.B.
n Rotoren → n 1 torsionskritische Drehzahlen.
Die 1. Eigenfrequenz ist stets f = 0 Hz.
Die analytische Berechnung der Eigenfrequenzen ist aufwendig (Kapitel 2).
Die unterste torsionskritische Drehzahl kann mit der Dunkerley-Formel abge-
schätzt werden bzw. mit der Neuber-Formel.
Ansonsten sind torsionskritische Drehzahlen auch numerisch ermittelbar, z.B.
mit FEM.
Die niedrigste ermittelte Torsionseigenfrequenz entspricht der 1. torsions-
kritischen Drehzahl t k 1n .
1Tk 2Tk
1J 2J
3J 4J
Reihenschaltung T 3k
Maschinendynamik Seite 61
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5.5 Torsionsschwingungen in Getrieben
Standardfall: Mehrere Wellenstränge
Zur Berechnung des Getriebes ist eine Transformation auf eine unverzweigte
Bildwelle von Vorteil, z.B. auf die Welle Nr. 1:
Dazu müssen alle Federn Tk und alle Rotor- Drehträgheiten J der Welle
Nr. 2 auf die Welle Nr. 1 transformiert werden:
2* 1
T 2 T 22
zk k
z
z wohin
z woher
2* 1
2 22
zJ J
z
Hier also: 2
* 11 1 2
2
zJ J J
z
und
2* 1
4 42
zJ J
z
1Tk 2 *Tk
3J4 *J
Ersatz-Rotor *1J
1Tk
2Tk
1J
2J
3J 4J
Zahnrad 1 mit Zähnezahl 1z
Zahnrad 2
Maschinendynamik Seite 62
Joensson HTW Berlin
sowie 2
* 1T 2 T 2
2
zk k
z
Erst dann sind die torsionskritischen Drehzahlen berechenbar. Aus der Bild-
welle ist auch ersichtlich, dass hier nur zwei Drehzahlen vorhanden sind.
Bei Getrieben mit Zahnrädern ist zusätzlich noch die Zahneingriffs-Frequenz
Zf zu beachten:
Z D Anf f z
mit Df : Drehfrequenz in Hz Drehzahl n der Welle in U/s
Anz : Zähnezahl des Zahnrades auf der Antriebswelle
Mit der Frequenz Z Df f wird das Zahnrad
zusätzlich tangential harmonisch krafterregt.
Damit wird die Drehzahl n zur Erregerdrehzahl:
Z err Anf f z
bzw. Z err Ann n z
Kritisch ist, wenn Z t kn n (torsionskritische Drehzahl),
also t k err Ann n z
bzw. t k it k z i
An
nn
z
mit t k z in : torsionskritische Zahneingriffs-Drehzahl Nr. i = 1, 2, …
als Erregerdrehzahl der Krafterregung
t k in : torsionskritische Drehzahl Nr. i = 1, 2, … nach Kapitel 5.4
Bei langsamer Drehung n < t k in können also bereits die kritischen Dreh-
zahlen t k in angeregt werden.
Maschinendynamik Seite 63
Joensson HTW Berlin
6. Dynamische Berechnungen mit Ansys Workbench
6.1 Übersicht
In Workbench können auf der Projektseite
verschiedene Analyse-Systeme ausgewählt
werden.
Speziell zur Dynamik gehören:
Antwortspektrum: z.B. zur Erdbebenanalyse
Explizite Dynamik: Bauteilverhalten infolge kurzzeitig einwirkender
Belastungen (bei Aufprall- und Stoßbelastung)
Harmonische Analyse: Berechnung von Bauteilen unter harmonisch
erzwungenen Schwingungen Übung W30
Mehrkörperdynamik: Dynamische Berechnung von Mechanismen starrer
Körper Übung W23, W24
Modalanalyse: Eigenfrequenzen und Schwingformen frei ausschwingen-
der Strukturen Übung W17
PSD-Analyse: Schwingungsverhalten infolge stochastischer Anregung
Transiente Strukturmechanik:
Berechnung flexibler Strukturen unter Einwirkung zeitlich
beliebiger (transienter) Belastungen Übung W23, W24
Im Folgenden werden hier nur die Mehrkörperdynamik und die Transiente
Strukturmechanik näher beschrieben.
Maschinendynamik Seite 64
Joensson HTW Berlin
6.2 Mehrkörperdynamik (MKS)
Die Mehrkörperdynamik in Ansys Workbench handelt von starren Körpern,
die durch Gelenke und / oder masselose Federn und Dämpfer miteinander
verbunden sind.
Ein solches System heißt auch Mehrkörpersystem (MKS).
Damit können komplette Bewegungsvorgänge des MKS berechnet wer-
den, inklusive Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverläufe sowie
die inneren dynamischen Kräfte und Momente zwischen den beteiligten
Körpern sowie an allen Lagerstellen.
Beispiele:
http://www.ansys.com/Products/Simulation+Technology/Structural+Analysis/ANSYS+Rigid+Body+Dynamics
Links Examples
usw. oder in Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=BYc1ADTTm4o
In Workbench werden zu jedem beteiligten Körper des MKS automatisch der
Schwerpunkt, die Masse und die drei Hauptträgheitsmomente mit ihren
Hauptachsen verwendet.
Die Körper werden dabei als starr idealisiert.
Dadurch hat jeder Körper nur maximal 6 Freiheitsgrade: 3 Verschiebungen
des Schwerpunktes und drei Drehungen um die Hauptachsen des Körpers.
Maschinendynamik Seite 65
Joensson HTW Berlin Beispiel:
Ein Bauteil, das im Schwerkraftfeld als Pendel drehbar gelagert schwingt:
Im Schwerpunkt sind hier die drei Haupt-
achsenrichtungen sichtbar.
An Stelle des Körpers wird von Ansys im Schwerpunkt ein punktförmiges
Masse-Element verwendet mit Masse des Körpers sowie den drei Hauptträg-
heitsmomenten für dessen Drehträgheit.
Die Masse-Punkte werden dann in Ansys mit Lagerpunkten masselos starr
oder elastisch (mit Federn / Dämpfern) verbunden bzw. mit Gelenkpunkten
weiterer beteiligter Körper.
Durch frei wählbare Lagerungen und/oder Gelenke werden die Freiheitsgrade
des MKS eingeschränkt, so dass z.B. nur eine Drehung als Freiheitsgrad üb-
rig bleibt siehe z.B. Übung W23 Pendel MKS.
Die Berechnung der Bewegung erfolgt schrittweise in kleinen Zeitschritten,
indem die allgemein gültigen Bewegungs-Differenzialgleichungen
( )M q D q K q f t
mit Massenmatrix M , Dämpfungsmatrix D , Steifigkeitsmatrix K und
Kraftvektor ( )f t der äußeren Kräfte als spezielle Differenzengleichungen für
das konkrete Modell aufgestellt und je Zeitschritt numerisch integriert
werden.
Das geschieht in Ansys mit dem Runge-Kutta-Verfahren.
Bei genügend kleinen Zeitintervallen t wird so die komplette Bewegungs-
bahn s = s(t) im Raum xyz für den gewünschten Zeitraum T berechnet.
Maschinendynamik Seite 66
Joensson HTW Berlin Des Weiteren sind verfügbar:
Geschwindigkeits-Zeitverläufe v(t), Beschleunigungs-Zeitverläufe a(t) sowie
die zeitlich veränderlichen Lager- und Gelenkkräfte für jeden beteiligten
Körper des MKS.
z.B. Ergebnisse des Pendels von Übung W23, gestartet in vertikaler Stellung
bei Gravitation g in y-Richtung:
Drehbar gelagert im unteren Teil, Drehung um z
Ergebnis: Drehwinkel in Grad, Zeitraum 10 Sekunden
Lagerkraft
Maschinendynamik Seite 67
Joensson HTW Berlin
6.3 Transiente Strukturmechanik
Transient bedeutet: Beliebig zeitabhängig.
Damit können insbesondere instationäre (Einschwingvorgänge) und sonstige
nicht-harmonisch zeitliche Veränderungen simuliert werden.
Das kann bereits auch das Ansys-Modul Mehrkörperdynamik.
Mit dem Ansys Modul Transiente Strukturmechanik sind jedoch komplette
nicht-starre FEM-Strukturen in Zeitschritten berechenbar (nicht nur elastisch,
sondern auch elastisch-plastisch, viskoelastisch usw.)
Dabei werden je Zeitschritt die nichtlinearen Veränderungen der gesamten
FEM-Struktur mit n Freiheitsgraden ermittelt.
Das geschieht in Ansys mit dem Newmark-Verfahren in Kombination
mit dem Newton-Raphson-Algorithmus.
Nachteil im Vergleich zur MKS-Berechnung: Deutlich längere Rechenzeiten!
(auch wegen der größeren Freiheitsgrad-Anzahl) Vorteile:
- Im Unterschied zur MKS-Berechnung sind Spannungen berechenbar.
- Des Weiteren werden auch gegenseitige Nachgiebigkeiten der beteiligten
Körper je Zeitschritt mit berücksichtigt.
Oft interessiert in einem MKS das zeitabhängige Festigkeitsverhalten nur
eines oder weniger Bauteile und nicht das aller Bauteile.
In Workbench kann dafür MKS
mit Transienter Strukturmecha-
nik kombiniert werden,
z.B. Übung W24
Maschinendynamik Seite 68
Joensson HTW Berlin Weitere Beispiele in
http://www.ansys.com/Products/Simulation+Technology/Structural+Analysis/ANSYS+Rigid+Body+Dynamics
Links: Examples
usw.
6.4 Export MKS zu FEM statisch
Um den Berechnungsaufwand für transiente Analysen zu verringern, kann
alternativ in Ansys-Workbench auch eine "Momentaufnahme" der MKS-
Berechnung als statische Analyse durchgerechnet werden.
siehe z.B. Mehrkörperdynamik im "Praxisbuch FEM" von C. Gebhardt.
Dazu wird nach erfolgter MKS-Analyse ein bestimmter Zeitpunkt ausgewählt
(z.B. der Zeitpunkt einer maximalen Lagerkraft).
Für diesen Zeitpunkt werden dann die momentanen Belastungen des ausge-
wählten Körpers in eine Datei gespeichert und anschließend für eine statische
Analyse dieses Körpers verwendet.
Vorteile:
- Das betreffende Bauteil kann feiner vernetzt werden, so dass für diesen
Zeitpunkt eine genauere Festigkeits-Berechnung möglich wird.
- Die Rechenzeit ist für diesen einen Zeitpunkt deutlich niedriger als für
die transiente Analyse des kompletten Zeitbereiches.
Maschinendynamik
Mcad-Übungen
Joensson Mathcad Prime 3.0 Mcad-1 Beginn
HTW Berlin Erste Schritte Blatt 1 von 3 + 1 Seite Mcad 1
© Prof. Dr. Joensson HTW Berlin 2015
Vorbereitung: Zuerst Arbeitsverzeichnis für Mathcad erstellen (z.B. als Ordner mcad ) in Ihrem eigenen Verzeichnis. Ein erstes Arbeitsblatt erstellen Mathcad starten. Als „Arbeitsblatt“ wird zunächst eine Datei Unbenannt angezeigt. Schreiben Sie mit der Tastatur: 15-11/8.3= Enter Abspeichern als Datei M1:
Oben: > Speichern > z.B. in …\mcad Dateiname: M1 Damit ist dieses Arbeitsblatt als Mathcad-Datei im Ordner [mcad] gespeichert. Dieses Verzeichnis wird nun in allen nachfolgenden Speicherungen automatisch aufgerufen.
Weiter im Arbeitsblatt: Setzen Sie mit der Maus den Cursor unter die Formel.
Zur Texteingabe oben: anklicken, dann erst Text schreiben:
Variable Werte: ohne Enter! Dann mit der Maus den Cursor links darunter setzen. Schreiben Sie: g:9.81 und als Text daneben (!Textfeld) Erdbeschleunigung Dann x(t):1/2 Leertaste zweimal *g*t^2 und als Text daneben x(t) beim freien Fall Dann mit der Maus den Cursor links darunter setzen. Schreiben Sie:
t:5.5 Enter
x(t)= Enter Ergebnis: := kennzeichnet in Mathcad Eingabe und = kennzeichnet die Ausgabe.
Falls bei Ihnen die Zeilen zu dicht untereinander liegen, klicken Sie bitte einen Rasterpunkt an und Enter. So können die Zeilenabstände verändert werden.
Joensson Mathcad Prime 3.0 Mcad-1 Beginn
HTW Berlin Erste Schritte
Blatt 2 von 3
Und jetzt mit Maßeinheiten:
Dazu soll der Abschnitt kopiert werden:
Ziehen Sie mit der linken Maustaste von links oben beginnend bis zur Formel x(t) rechts unten
und markieren Sie damit diesen Bereich (wird gestrichelt angezeigt).
Dann Rechte Maustaste: Kopieren.
Setzen Sie den Cursor mit der Maus unter die letzte Zeile > Einfügen.
Der markierte Abschnitt kann auch frei verschoben werden: Wenn Sie die Maus auf dem
markierten Feld bewegen und dabei ein Kreuz erscheint.
Klicken Sie nun in den neuen Textteil Variable Werte und schreiben Sie statt dessen
Mit Maßeinheiten
Gehen Sie mit der Maus ans Ende der Zahl von g. Schreiben Sie dort m/s^2
Im Ergebnis von x(t) ist jetzt eine Maßeinheit sichtbar, die aber noch nicht einem Weg
entspricht. Dazu muss noch die Maßeinheit von t eingegeben werden.
Änderung der Zahlenwerte:
z.B. für t:=15.5 s entsteht ein Ergebnis mit 10er Potenzangabe.
Diese Darstellung kann verändert werden, indem die Zahl neu formatiert wird.
Auf die Zahl klicken, dann oben: Formatierung > 5000 (Dezimal)
> eventuell auch die Anzahl der Stellen nach dem Komma ändern mit .
Grafische Darstellung der Funktion x(t)
Dazu ist eine Bereichsvariable festzulegen.
Schreiben Sie t:0,1 15 und als Text daneben Bereichsvariable, Eingabe t:0,1 15
Das bedeutet: t von 0 beginnend in Schritten von 1 bis 15.
! Um den Text zu schreiben: Zuerst wieder oben: Rechnen anklicken.
Den Cursor links darunter setzen, dann oben Diagramme > links oben: Diagramm x-y einfügen >
Im Diagramm rechts in den Platzhalter der Ordinaten-Achse schreiben (nicht in das Feld
Maßeinheiten) x(t)
und in den Platzhalter der Abzissen-Achse: t
Die Maßeinheit des Weges x ist jetzt falsch.
Die Bereichsvariable muss die Maßeinheit Sekunde haben:
Joensson Mathcad Prime 3.0 Mcad-1 Beginn
HTW Berlin Erste Schritte
Blatt 3 von 3
Das Bild kann verschoben und in der Größe verändert werden, nachdem es angeklickt wurde.
Ändern Sie nun probeweise die Schrittweite auf 5 s, 0.1 s und dann wieder 1 s.
Auch die Linienstärke und Linienfarbe kann geändert werden: Klicken Sie dazu auf das Diagramm,
dann sind oben Spurdicke, Spurfarbe, Linienstil und Symbol veränderbar.
Skalierung der Achsen:
Klicken Sie auf eine Achsenbezeichnung > rechts oben: Diagrammwerte formatieren > z.B.
(5000) dezimal erzeugt ganzzahlige Achsenbeschriftung.
Sie können die Achsenbeschriftung auch auf die andere Seite ziehen, z.B. x(t) anklicken und nach
links ziehen oder auf einen anderen Platzhalter.
Datei speichern.
Datei drucken, z.B. als PDF-Datei: Links oben: Drucken …
Eine Vorlage für das Layout verwenden
Die Datei M1.xmcd enthält im Druckbild keine Kopf- und Fußzeilen. Diese können in Mathcad zur
übersichtlichen Gestaltung genutzt werden:
Oben: Dokument > Kopfzeile … Fußzeile mit Eingabe von Seitenzahlen, Datum usw.
Hier könnte z.B. in der Kopfzeile rechts der Dateiname und das Datum stehen sowie in der Fußzeile
links Ihr Name und rechts die Seitenzahl.
Die Vorlage 1-Muster ist so gestaltet.
Kopieren Sie diese Vorlage in Ihren Ordner [mcad].
Für die nachfolgenden Übungen können Sie diese Musterdatei als Vorlage verwenden.
Doppelklicken Sie diese Datei in Ihrem Ordner. Tragen Sie links unten Ihren Namen ein > Speichern.
Speichern Sie nun 1-Muster als neue Datei Mcad-1 in Ihrem Ordner [mcad]:
Links oben: Speichern unter …
Das Datum wird automatisch dem aktuellen Stand angepasst.
Nach dem nächsten Start dieser Datei mit Mathcad wird auch der Dateiname automatisch aktualisiert.
Thema ändern: Doppelklicken auf Thema > Beginn
Klicken Sie in Mathcad links den Arbeitsblatt-Reiter M1 an >
Markieren Sie alles > Rechte Maustaste: Kopieren.
Arbeitsblatt-Reiter Mcad-1 > Rechte Maustaste: Einfügen. Oben: Speichern.
Mcad-1.mcdxMathcadPrime 3.0
Beginn
=−15 ――11
8.313.675
Variable Werte:
≔g 9.81 Erdbeschleunigung
≔x ((t)) ⋅⋅―1
2g t
2 x(t) beim freien Fall
≔t 5.5 zur Zeit t = 5.5
=x ((t)) 148.376 Ergebnis
Mit Maßeinheiten:
≔g 9.81 ―2
Erdbeschleunigung
≔x ((t)) ⋅⋅―1
2g t
2 x(t) beim freien Fall
≔t 15.5 zur Zeit t
=x ((t)) 1178.4 Ergebnis
≔t , ‥0 1 15 Bereichsvariable, Eingabe t:0,1s 15s
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
0
100
1200
3 5 6 8 9 11 12 140 2 15
x ((t)) (( ))
t (( ))
Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter www.mathcad.com.
D. Joensson HTW BerlinSeite 1 von 1
Joensson Mathcad Prime 3.0 Mcad-2 Schwingungen
HTW Berlin Gedämpfte Schwingungen
Blatt 1 von 2
+ 3 Seiten Mcad 2
© Prof. Dr. Joensson HTW Berlin 2015
Erläuterungen zur Datei Mcad-2.mcdx: Seite 1
Formelzeichen xA mit Index: oben
Griechische Buchstaben, z.B. Eigenkreisfrequenz : oben Seite 2
Umrechnung in Grad: o 1 Cursor nach 1, dann deg schreiben.
Für 12 s sollte im unteren Bild die Funktion x(t) nicht mehr durchschwingen.
Seite 3
Einfügen von Bildern oder Fotos: Siehe Mathcad Hilfe
oder Snapshot vom Bildschirm in Paint öffnen > Ausschnitt markieren und kopieren >
Einfügen in Mathcad.
! Das Bild kann nicht skaliert werden und auch nicht wie üblich gelöscht werden.
Löschen des Bildes:
Bild anklicken > Links oben: Bereich löschen.
Voraussetzung dafür: Oben Reiter Rechnen ist eingestellt.
Ausgabe der Dämpfung in Prozent:
Zahl anklicken > oben: Formatierung > Prozent.
Abschnitt einfügen:
Zwischen dem Bild rechts oben auf Seite 3 der Datei Mcad-2 und der Zeile
wurde hier ein so genannter Abschnitt eingefügt:
Oben: Dokument > Links oben: Abschnitt
Alles , was in diesen Abschnitt geschrieben wird, kann anschließend zusammengeklappt werden,
indem auf das + Zeichen links neben dem Abschnittsbeginn geklickt wird.
Damit kann die Wirkung der Eingabewerte elegant untersucht werden.
Zum Beispiel, wenn die Masse vergrößert wird, entsteht eine geringere Dämpfung des Systems:
Joensson Mathcad Prime 3.0 Mcad-2 Schwingungen
HTW Berlin Gedämpfte Schwingungen
Blatt 2 von 2
Hier wurde nur die Masse m verdoppelt im Vergleich zu Seite 3 der Datei Mcad-2.mcdx
- und die Berechnung zusammengeklappt.
Probieren Sie andere Änderungen aus, auch für die Anfangswerte. Hinweis zu den Anfangswerten φo und der Anfangswert xA der Abklingfunktion hängen von der statischen Anfangsauslenkung xo und der Anfangsgeschwindigkeit (dem „Anfangsschwung“) vo ab.
! xo ist nicht identisch mit xA für vo ≠ 0 .
Die Formeln für xA und φo lauten:
φo = arcsin (xo / xA ) ( In Mathcad gilt: arcsin = asin )
z.B. nach Fischer, U., Stephan,W.: Mechanische Schwingungen. Fachbuchverlag Leipzig 1993, S. 77.
xA xo2 vo
g
g
xo
2
Mcad-2.mcdxMathcadPrime 3.0
Gedämpfte Schwingungen
Zunächst ohne Dämpfung:
≔x ((t)) sin ((t)) ≔t , ‥0 1 20
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1
-0.8
1
4 6 8 10 12 14 16 180 2 20
t
x ((t))
≔t , ‥0 0.01 20
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1
-0.8
1
4 6 8 10 12 14 16 180 2 20
t
x ((t))
Mit Amplitude und Eigenkreisfrequenz:
≔xA 1.2 ≔ω 2−1
≔x ((t)) ⋅xA sin (( ⋅ω t))
≔t , ‥0 0.01 20
-0.8
-0.5
-0.3
0
0.3
0.5
0.8
1
-1.3
-1
1.3
4 6 8 10 12 14 16 180 2 20
t (( ))
x ((t)) (( ))
Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter www.mathcad.com.
D. Joensson HTW BerlinSeite 1 von 3
Mcad-2.mcdxMathcadPrime 3.0
Gedämpfte Schwingungen
Gedämpft: z.B. viskos mit ≔δ 2−1 und =xA 1.2 =ω 2 ―
1
≔x ((t)) ⋅⋅xA⋅−δ t
sin (( ⋅ω t))
≔t , ‥0 0.01 20
4.5⋅10⁻²
9⋅10⁻²
0.1
0.2
0.2
0.3
0.3
0.4
-4.5⋅10⁻²
0
0.4
2 3 4 5 6 7 8 90 1 10
t (( ))
x ((t)) (( ))
Im aperodischen Grenzfall δ = ω darf x(t) NICHT durchschwingen!
Hier fehlt noch die gedämpfte Eigenkreisfrequenz ωg
und der Phasenwinkel φo
≔δ 0.2−1 neu
≔D ―δ
ω≔ωg ⋅ω ‾‾‾‾‾‾−1 D
2=D 0.1 =ωg 2 ―
1
z.B. ≔φo 1 =φo 57.3 Umrechnung in Grad
≔x ((t)) ⋅⋅xA⋅−δ t
sin ⎛⎝ +⋅ωg t φo⎞⎠ korrekte Formel
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.8
1.2
2 3 4 5 6 7 8 90 1 10
t (( ))
x ((t)) (( ))
≔t , ‥0 0.01 20
G dä ft S h i it k k t K t
Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter www.mathcad.com.
D. Joensson HTW BerlinSeite 2 von 3
Mcad-2.mcdxMathcadPrime 3.0
Gedämpfte Schwingungen
Gedämpfte Schwingung mit konkreten Kennwerten:
≔k 100 ― ≔b 5 ― ≔m 10
und konkreten Anfangswerten:
≔xo 10 ≔vo 20 ――
≔ω‾‾‾―k
m≔δ ――
b
⋅2 m≔D ―
δ
ω≔ωg ⋅ω ‾‾‾‾‾‾−1 D
2
=ω 3.162 ―1
=δ 0.25 ―1
=D 0.079 =ωg 3.152 ―1
≔xA
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
+xo2 ⎛
⎜⎝―――
+vo ⋅δ xo
ωg
⎞⎟⎠
2
=xA 12.3 ≔φo asin⎛⎜⎝―xo
xA
⎞⎟⎠
=φo 1
≔x ((t)) ⋅⋅xA⋅−δ t
sin ⎛⎝ +⋅ωg t φo⎞⎠ ≔z ((t)) ⋅xA⋅−δ t
≔zu ((t)) −z ((t))
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
-12.5
-10
12.5
4 6 8 10 12 14 16 180 2 20
x ((t)) (( ))
z ((t)) (( ))
zu ((t)) (( ))
t (( ))
≔t , ‥0 0.01 20 =D %7.9
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D. Joensson HTW BerlinSeite 3 von 3
Joensson Mathcad Prime 3.0 Mcad-3 Aufg D 61
HTW Berlin Illustration der Dynamik-Aufgabe D 61
Blatt 1 von 1
+ 4 Seiten Mcad 3 und
1 Seite Mcad 3a
© Prof. Dr. Joensson HTW Berlin 2015
Erläuterungen zur Datei Mcad-3.mcdx: Seite 1
Der eine Punkt im Diagramm für u1 1V ( ) erfordert eine zusätzliche Spur. Dazu im Diagramm mit
dem Maus-Cursor hinter den letzten Wert der Achsbezeichnung gehen > oben: Diagramme > links oben: Spur hinzufügen. Dann oben: Stile > Symbol (für den einen Punkt) usw. Seite 4
Die Zeitfunktion x(t) auf Seite 3 ist noch nicht korrekt. Das fällt erst auf, wenn als Anfangsbedingung sowohl xo = 0 mm als auch vo = 0 mm/s gesetzt wird. Dann ist dafür die homogene Lösung gleich Null und demzufolge ersetzt die partikuläre Lösung von Anfang an die Gesamtlösung, ohne Einschwingen. Die bisher angegebenen Formeln für die beiden Konstanten xA und φo gelten nur für den Sonderfall, dass die angestoßene Schwingung sich sofort selbst überlassen bleibt. Im Fall der harmonischen Anregung findet aber während des Einschwingens eine Kopplung von freier und erzwungener Schwingung statt. Deshalb müssen die erwähnten Konstanten aus der Gesamtlösung x(t) = xh(t) + xp(t) ermittelt werden und nicht nur aus dem homogenen Anteil. Die homogene Funktion xh(t) für die freie, gedämpfte Schwingung kann alternativ als Überlagerung einer Sinus- und Cosinus-Funktion geschrieben werden, indem an Stelle der beiden Konstanten xA und φo die Konstanten A und B verwendet werden:
xh(t) = e-δt · [ A · cos (ωgt) + B · sin (ωgt) ]
Die Gesamtlösung lautet dann unter Einbeziehung der partikulären Lösung xp(t) = xdyn · sin ( Ωt – φN):
x(t) = e-δt · [ A · cos (ωgt) + B · sin (ωgt) ] + xdyn · sin ( Ωt – φN)
mit xdyn : Amplitude der stationären Schwingungsantwort und φN : Nacheilwinkel der Schwingungsantwort im Vergleich zur Erregung.
Um die Konstanten A und B zu ermitteln, sind die beiden Anfangsbedingungen x ( t = 0 ) = xo und xPunkt ( t = 0 ) = vo in die Gesamtlösung x(t) und deren 1. Zeit-Ableitung xPunkt(t) einzusetzen. Erst dadurch werden die Konstanten A und B korrekt abhängig von xdyn und φN beschrieben.
Das Ergebnis dieser speziellen Herleitung ist für A und B auf Seite 4 oben zu sehen.
Erläuterungen zur Datei Mcad-3a:
Erzeugen Sie die eine Seite der Datei Mcad-3a aus der Datei Mcad-3, indem Sie nahezu alle Berechnungsformeln in zwei Abschnitte einfügen (vor dem Resonanzdiagramm und danach) und beide Abschnitte dann „zuklappen“. Anschließend können Sie sofort sehen, wie sich beide Funktionen ändern, wenn Sie irgendeinen Eingabewert ändern (Masse oder Federkonstante, Unwucht, Dämpfung, Drehzahl, Anfangswerte).
zu TM 3 Kapitel 4.5: Erzwungene Schwingungen
Aufgabe D 61
Eine Unwuchtmasse um = 1 kg rotiert mit einem Radius ur = 15 cm auf einer Masse 1m = 100 kg.
Geg: k = 5 /N mm
b = 100 /kg s
g = 9,81 2/m s
Ges.:
1.) Schwingungs-Differenzialgleichung sowie die Kennwerte o , und D
2.) Zunächst ohne Dämpfung ( b = 0 /kg s )
a) Bei welcher Unwucht-Drehzahl tritt hier Resonanz auf?
b) Amplitude x der stationären Schwingungsantwort x t in mm bei dieserResonanzdrehzahl
c) Amplitude x bei 1n = 90 U/min, 2n = 100 U/min und 3n = 300 U/min
3.) Mit Dämpfung
a) bis c): Gleiche Fragen wie bei 2.)
4.) Skizzieren Sie die Vergrößerungsfunktionen ,uV D für 2.) und 3.) in einem gemeinsamen Diagramm und kennzeichnen Sie die berechneten 6 Einsatzfälle a)
bis c).
5.) Berechnen Sie näherungsweise, wie groß die Unwuchtmasse sein könnte, um im gedämpften Resonanzfall gerade noch eine harmonische Schwingung mit stx x
zu ermöglichen. ( stx ist die statische Auslenkung der beiden Federn infolge Eigengewicht.)
m 1
x
mu
b kk
g
Refreshing zu 1 Freiheitsgrad
Ergebnisse D 61:
1.) o = 9,95 1s = 0,495 1s D 5 %
2.) a) Resn = 95,0 U/min b) Resx = mm
c) 1x = 13,0 mm 2x = 15,2 mm 3x = 1,65 mm
3.) a) Resn = 95,2 U/min b) Resx = 14,94 mm
c) 1x = 9,55 mm 2x = 10,9 mm 3x = 1,65 mm
5.) um 7,1 kg wegen stx = 99,1 mm
Hinweis zum Vorspann:
Erreger-Koordinaten sind keine freien Koordinaten!
Sie werden demzufolge bei der Anzahl der Freiheitsgrade NICHT mitgezählt.
Mcad-3.mcdxMathcadPrime 3.0
Thema
≔m1 100 ≔k 5 ―― ≔b 100 ―
≔mu 1 ≔ru 15 ≔m +m1 mu
≔δ ――b
2 m≔ωo
‾‾‾‾‾――
+k k
m≔D ―
δ
ωo
=δ 0.495 ―1
=ωo 9.95 ―1
=D %4.975
≔xstat ―――⋅mu ru
m=xstat 1.485
≔nR ⋅――1
⋅2ωo =nR 95.019 ――
1 Resonanz-Drehzahl ungedämpft ≔no nR
Erreger-Drehzahl ≔n1 ⋅90 ――1
≔η1 ―n1
no
=η1 0.947
≔Vu (( ,η D)) ――――――――η
2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾+⎛⎝ −1 η
2 ⎞⎠2
⋅⋅4 D2
η2
speziell ≔Vu1 Vu ⎛⎝ ,η1 D⎞⎠
=Vu1 6.431 bei =η1 0.947
Daraus folgt: ≔xdyn ⋅xstat Vu ⎛⎝ ,η1 D⎞⎠ =xdyn 9.551
≔η , ‥0 0.01 2.5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
12
0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.250 0.25 2.5
Vu
(( ,η D))
Vu
(( ,η 0))
Vu1
η
η
η1
für diese Drehzahl n1
=D %5
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Mcad-3.mcdxMathcadPrime 3.0
Thema
Darstellung der Zeitfunktion x(t) für diesen konkreten Wert η1
z.B. für die Anfangswerte ≔xo 0 ≔vo 200 ――
Zunächst die homogene Lösung:
≔ωg ⋅ωo‾‾‾‾‾‾−1 D
2
≔xA
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
+xo2 ⎛
⎜⎝―――
+vo ⋅δ xo
ωg
⎞⎟⎠
2
=xA 20.125 ≔φo asin⎛⎜⎝―xo
xA
⎞⎟⎠
=φo 0
≔xh ((t)) ⋅⋅xA⋅−δ t
sin ⎛⎝ +⋅ωg t φo⎞⎠ ≔z ((t)) ⋅xA⋅−δ t
≔zu ((t)) −z ((t))
≔t , ‥0 0.01 15
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
-24
-20
24
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.50 1.5 15
xh
((t)) (( ))
z ((t)) (( ))
zu ((t)) (( ))
t (( ))
=D %5
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Mcad-3.mcdxMathcadPrime 3.0
Thema
Partikuläre Lösung : xp
((t)) für eine konkrete Abstimmung η1
folgt aus =xdyn 9.551
und dem "Nacheilwinkel"
≔φN atan⎛⎜⎝―――
⋅⋅2 D η1
−1 η12
⎞⎟⎠
Nacheilwinkelfür Kraft- und UnwuchterregungFischer/Stephan S.90
=φN 42.5
Erregerkreisfrequenz: ≔Ω1 ⋅⋅2 n1 =Ω1 9.425 ―1
≔xp ((t)) ⋅xdyn sin ⎛⎝ −⋅Ω1 t φN⎞⎠ ≔xh ((t)) ⋅⋅xA⋅−δ t
sin ⎛⎝ +⋅ωg t φo⎞⎠
Gesamtlösung: ≔x ((t)) +xh ((t)) xp ((t))
≔t , ‥0 0.01 15
! Dieses Ergebnis ist noch NICHT korrekt !
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25
-20
30
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.50 1.5 15
x ((t)) (( ))
z ((t)) (( ))
zu ((t)) (( ))
t (( ))
Di h Lö fü d Ei h i l t t k kt
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Mcad-3.mcdxMathcadPrime 3.0
Thema
Die homogene Lösung für den Einschwingvorgang lautet korrekt:
≔A +xo ⋅xdyn sin ⎛⎝φN⎞⎠ ≔B ⋅―1
ωg
⎛⎝ −+vo ⋅δ A ⋅⋅xdyn Ω1 cos ⎛⎝−φN⎞⎠⎞⎠
≔xhE ((t)) ⋅⋅−δ t
⎛⎝ +⋅A cos ⎛⎝ ⋅ωg t⎞⎠ ⋅B sin ⎛⎝ ⋅ωg t⎞⎠⎞⎠
Gesamtlösung: ≔x ((t)) +xhE ((t)) xp ((t))
≔t , ‥0 0.01 15 Erst damit entsteht die richtige Zeitfunktion
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
-24
-20
24
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.50 1.5 15
x ((t)) (( ))
z ((t)) (( ))
zu ((t)) (( ))
t (( ))
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Mcad-3a.mcdxMathcadPrime 3.0
Thema
≔m1 100 ≔k 5 ―― ≔b 100 ―
≔mu 1 ≔ru 15 ≔m +m1 mu
Erreger-Drehzahl ≔n1 ⋅90 ――1
≔η , ‥0 0.01 2.5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
12
0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.250 0.25 2.5
Vu
(( ,η D))
Vu
(( ,η 0))
Vu1
η
η
η1
=D %5 =Vu1 6.431
bei =η1 0.947
Darstellung der Zeitfunktion x(t) für diesen konkreten Wert η1
z.B. Anfangswerte ≔xo 20 ≔vo 150 ――
≔t , ‥0 0.01 15
-10
-5
0
5
10
15
20
-20
-15
25
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.50 1.5 15x ((t)) (( ))
t (( ))
=xstat 1.485 =xdyn 9.551
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Mcad-M4.mcdxMathcadPrime 2.0
Aufgabe M4
Alle Feldelemente sollen mit dem Index 1 beginnen
oben Matrizen/Tabellen > Matrix einfügen
Eigenwerte:
! ohne Maßeinheiten
Vektor der Eigenfrequenzen fo1, fo2
Der Größe nach aufsteigend sortiert:
Eigenvektoren
Modalmatrix:
daraus p-ter Eigenvektor:
oben Matrizen/Tabellen > Vektor-/Matrixoperatoren > Matrixspalte
... Matrixzeile
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Mathcad 14 Aufgabe M4Mcad-M4Seite 1 von 2
k1m1
k2
m2m1 10kg m2 20kg k1 50Nmm
k2 30Nmm
2 Schwingformen. Darstellung der Schwingform-Nr. p 1
Region: Berechnung
ORIGIN 1 ! Alle Feldelemente sollen mit dem Index 1 beginnen
Mm1
0
0
m2! Matrix: oben Symbolleiste "Matrix"
M10
0
0
20kg
Kk1 k2
k2
k2
k2K
80000
30000
30000
30000kg
s2
_________________________________________________________________
Eigenwerte:
genwerte K M( )8631.044
868.9561
s2
o
fo12
fo14.786
4.692Hz
Der Größe nach aufsteigendsortiert:
fs sort fo( ) fs4.692
14.786Hz
_________________________________________________________________
Eigenvektoren:
Mo genvektoren K M( )Mo
1
0.21
0.421
1dimensionslos !Modalmatrix
Mo
pE Mo p p-ter Eigenvektor = p-te Spalte der Modalmatrix pE1
0.21! Exponent <p> : Symbolleiste Matrix,
dort M anklicken
die zugehörige Eigenfrequenz:
fp fop fp 14.786 Hz
! geschrieben f.p:fodann Index p des Vektors fo:Symbolleiste Matrix, dort Xn anklicken
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Mathcad 14 Aufgabe M4Mcad-M4Seite 2 von 2
Simulation einer einzelnen Schwingform in Bewegung
z.B. Animation einer Schwingungsperiode T = 1 / fp in k 10
Schritten:t
FRAMEk fp2 fp
FRAME: siehe Mathcad-HilfeKoordinaten der beiden Körper in Matrix-Schreibweise:
z.B. Masse 1unten
Masse 2 oben
Ko1
0
4
4
0
0
3
3
4
4
3
x1 Ko1 1 Ko2
0
4
4
0
0
8
8
10
10
8
x2 Ko2 1
1. Spalte von Ko1:x-Koordinaten
Boden:
xb0
4yb
1
1
Auslenkung der p-tenEigenform:
z1 pE1 z1 1 z2 pE2 z2 0.21
Sinusförmige-Verschiebung der beiden Körper: v1 z1 cos t( ) v2 z2 cos t( )
y1 Ko1 2 v1 y2 Ko2 2 v2
elastische Verbindungen:
oben: xo2
2yo
y22
y13unten: xu
2
2yu
y11
1
Anzeige der Unterkanten in Ruhestellung: m1 3 m2 8Region: Berechnung
p-terEigenvektor:
unten <== normierte Auslenkung pE
1
0.21 oben
fp 14.786 Hz zugehörige Frequenz
1 2 5
6
12
m2
m1
y2
y1
yo
yu
yb
x2 x1 xo xu xb
Animation: Oben > Extras > Animation >Aufzeichnen >
Das Bild mit der Maus einrahmen.
Im Fenster Animation aufzeichnen:Animieren anklicken für FRAME von 0 bis 9 ( mit 9 = k -1 )
Die Achsen und die Argumente der Spuren können auchausgeblendet werden.
m1 und m2 im Bild eintragen:Bild doppelklicken > Primäre Y-Achse Markierung anzeigen > eintragen.
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Mcad-M4-St.mcdxMathcadPrime 2.0
Aufgabe M4mit Dämpfung und Stützenerregung
Stützenerregung
Alles dimensionslos:
Lösung in Matrix-Schreibweise:
Alle Feldelemente sollen mit dem Index 1 beginnen
komplexe Nachgiebigkeits-Matrix Nmitimaginärer Einheit j, geschrieben als 1j
Komplexe Vergrößerungsfunktion für Stützenerregungan der Feder k1 und dem Dämpfer b1
Daraus folgen:
reelle Antwort-Amplitude der der unteren Masse m1infolge Stützenerregung mit Erreger-Amplitude s1
Betrag: oben Rechnen > Operatoren > Algebra > Absoluter WertIndex 1,1: oben Matrizen/Tabellen > Vektor-/Matrixoperatoren > M
Antwort-Amplitude der oberen Masse m2
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Mcad-M4-St.mcdxMathcadPrime 2.0
Aufgabe M4mit Dämpfung und Stützenerregung
Frequenz-Darstellung bis maximal
--- Masse m2 oben--- Masse m1 unten
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Mathcad 14 Aufgabe M4 mit Dämpfung u. Stütz.erreg.
Mcad-M4-StSeite 1 von 4
m1 10kg k1 50Nmm
b1 100kgs
m2 20kg k2 30Nmm
b2 200kgs
Stützenerregung s(t) = s1 cos t( )
mit Amplitude s1 2mm
______________________________________________________________________
Allesdimensionslos:
m0 1kg k0 1Nm
b0 1kgs
s0 1m
m1m1m0
m2m2m0
k1k1k0
k2k2k0
b1b1b0
b2b2b0
s1s1s0
___________________________________
Aufbereitung der komplexen Übertragungsfunktionen H1_ und H2_ in Abhängigkeit von :
01b1 b22 m1 02
b22 m2 12
b22 m1 21
b22 m2
01k1 k2m1 02
k2m2 12
k2m1 21
k2m2
(Herleitung dazu siehe Irretier, Band 2, ab S. 39)
a( ) 022
01 b( ) 2 02 01
c( ) 401 02 4 01 02 4 12 21
201 02 12 21
d( ) 2 01 023
12 21 21 12 01 02 02 01
e 21 01 f ( ) 2 21 01
w( )k1
k1 k21 4
b1 k1 k2( )k1 b1 b2( )
2 012
01
2
01Faktor w = gk1 01 k
Komplexe Übertragungsfunktionen H1_ und H2_ :
H1_( )a( ) j b( )c( ) j d( )
w( ) H2_( )e j f ( )c( ) j d( )
w( )
! Eingabe für imaginäre Einheit j in Mathcad: 1j
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Mathcad 14 Aufgabe M4 mit Dämpfung u. Stütz.erreg.
Mcad-M4-StSeite 2 von 4
Daraus reelle Vergrößerungsfunktionen berechnen:
V1( ) H1_( ) V2( ) H2_( )
! Betrags-Eingabe in Mathcad: Taste Alt Gr und |
Amplituden in Meter:
xai = xstat Vi für xi t( ) mit xstat = s1 wegen Stützenerregung
xa1( ) s1 V1( ) xa2( ) s1 V2( )
Frequenz-Darstellung bismax.
fm 50Hz
m fm 21Hz
0 0.01 m ferr( ) 2
0 12.5 25 37.5 500
4
8
12
16
20m1 untenm2 oben
Amplituden-Frequenzgang in mm über ferr in Hz
xa1( )
mm
xa2( )
mm
ferr( )
! Im Bild rechts unten fmeintragen
ungedämpfte Eigenfrequenzen (Irretier Band 2, S. 12)
fo112
12 01 02
14 01 02
212 21 Hz fo1 4.692 Hz
fo212
12 01 02
14 01 02
212 21 Hz fo2 14.786 Hz
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Mathcad 14 Aufgabe M4 mit Dämpfung u. Stütz.erreg.
Mcad-M4-StSeite 3 von 4
Alternative Berechnung: In Matrix-Schreibweise
Mm1
0
0
m2K
k1 k2
k2
k2
k2D
b1 b2
b2
b2
b2
N_( ) K j D 2 M1
komplexe Nachgiebigkeits-Matrix ("Frequenzgang-Matrix", Irretier Band 2, S. 96)
V_( ) N_( ) k1 j b1( ) komplexe Vergröß.funktion für Stützenerregungan der Feder k1 und dem Dämpfer b1
ORIGIN 1 ( Die Indizierung der Matrizen soll mit 1 beginnen )
xa1( ) s1 V_( )1 1 reelle Antwort-Amplitudeninfolge Stützenerr. mit Erreger-Ampl.s1
! Matrix-Indizes: Symbolleiste"Matrix", dort xnanklicken
xa2( ) s1 V_( )1 2
0 12.5 25 37.5 500
4
8
12
16
20m1 untenm2 oben
Amplituden-Frequenzgang in mm über ferr in Hz
xa1( )
mm
xa2( )
mm
ferr( )
ungedämpfteEigenfrequenzen
genwerte K M( ) fo12
Hz fo sort fo( ) fo4.692
14.786Hz
Der Größe nach aufsteigend sortiert.
Mo genvektoren K M( ) Mo1
0.21
0.421
1
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Mathcad 14 Aufgabe M4 mit Dämpfung u. Stütz.erreg.
Mcad-M4-StSeite 4 von 4
Zum Vergleich: 1 Freiheitsgrad
z.B. wenn es nur die untere Masse m1 sowie k1 und b1 gäbe:
m1 10kg k1 50Nmm
b1 100kgs
s1 2mm
ok1m1 o 70.711
1s
fo12 o fo 11.254 Hz
b12 m1 5
1s
Do
D 7.1 %
xstat s1 xstat 2 mm
Vst D( )1 4 2 D2
1 22
4 D2 2VRes
12 D
152D2
für D < 0.2VRes 7.159
Amplitude in m: xa1( ) xstat Vst D( )
Frequenz-Darstellung bis max. fm 50 Hz mfmfo
0 0.01 m ferr( ) fo
0 12.5 25 37.5 500
4
8
12
16
20m1 unten
Amplituden-Frequenzgang in mm über ferr in Hz
xa1( )
mm
ferr( )
Koordinaten ablesen: Rechte Maustatste
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Mathcad 14Harmon. Krafterregung
mit1 Freiheitsgrad
H-K1Seite 1 von 3
Reell-wertige Beschreibung der stationären Schwingungsantwortx(t) = xa sin t( )
V D( )1
1 2 2 4 D2 2Vergrößerungsfunktion dimensionslosfür Krafterregungzur Berechnung der Antwort-Amplitude xa = xstat V
0 1 2 3 40
2
4
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
V 0.1( )
V 0.2( )
V 0.3( )
V 0.4( )
V 0.7( )
Phasenverschiebung ( Nacheilwinkel ) D( ) in Radiantder Schwingungsantwortin Relation zur Erregung
D( ) atan2 D
1 2
! siehe Nachtrag auf Seite 3
0 1 2 3 42
0
2
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
20.1( )
0.2( )
0.3( )
0.4( )
0.7( )
1
Mathcad 14Harmon. Krafterregung
mit1 Freiheitsgrad
H-K1Seite 2 von 3
Komplex geschriebene Schwingungsantwort:
V_ D( )1
1 2 j 2 Dkomplexe Vergrößerungsfunktion fürKrafterregung
reelle Vergrößerungsfunktion V D( ) V_ D( )
0 1 2 3 40
2
4
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
V 0.1( )
V 0.2( )
V 0.3( )
V 0.4( )
V 0.7( )
Nacheilwinkel: D( ) arg V_ D( )
0 1 2 3 40
1
2
3
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
2
0.1( )
0.2( )
0.3( )
0.4( )
0.7( )
1
Mathcad 14Harmon. Krafterregung
mit1 Freiheitsgrad
H-K1Seite 3 von 3
Nachtrag zur reell-wertigen Darstellung der Phasenverschiebung:
Weil der Arcustangens nur zwischen -2
und +2
definiert ist, muss bei der Darstellung
eine Fallunterscheidung berücksichtigt werden:
f D( ) atan2 D
1 2g D( ) atan
2 D
1 2
D( ) wenn 1 f D( ) g D( )( ) ! wenn-Anweisung, siehe Mathcad-Hilfe
d.h. wenn 1 , dann gilt f D( ) , ansonsten g D( )
Erst damit entsteht:
0 1 2 3 40
1
2
3
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
2
0.1( )
0.2( )
0.3( )
0.4( )
0.7( )
1
Mathcad 14Harmon. Unwuchterregung
mit1 Freiheitsgrad
H-U1Seite 1 von 2
Reell-wertige Beschreibung der stationären Schwingungsantwortx(t) = xa sin t( )
V D( )2
1 2 2 4 D2 2Vergrößerungsfunktionfür Unwuchterregungzur Berechnung der Antwort-Amplitude xa = xstat V
0 1 2 3 40
2
4
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
V 0.1( )
V 0.2( )
V 0.3( )
V 0.4( )
V 0.7( )
Phasenverschiebung ( Nacheilwinkel ) D( )der Schwingungsantwortin Relation zur Erregung
D( ) atan2 D
1 2
Wie in H-K1, Nachtrag Seite 3
0 1 2 3 42
0
2
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
20.1( )
0.2( )
0.3( )
0.4( )
0.7( )
1
Mathcad 14Harmon. Unwuchterregung
mit1 Freiheitsgrad
H-U1Seite 2 von 2
Komplex geschriebene Schwingungsantwort:
V_ D( )2
1 2 j 2 Dkomplexe Vergrößerungsfunktion fürUnwuchterregung
reelle Vergrößerungsfunktion V D( ) V_ D( )
0 1 2 3 40
2
4
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
V 0.1( )
V 0.2( )
V 0.3( )
V 0.4( )
V 0.7( )
Nacheilwinkel: D( ) arg V_ D( )( )
0 1 2 3 40
1
2
3
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
2
0.1( )
0.2( )
0.3( )
0.4( )
0.7( )
1
Mathcad 14Harmon. Stützenerregung
mit1 Freiheitsgrad
H-St1Seite 1 von 3
Reell-wertige Beschreibung der stationären Schwingungsantwortx(t) = xa sin t( )
V D( )1 4 D2 2
1 2 2 4 D2 2Vergrößerungsfunktionfür Stützenerregungzur Berechnung der Antwort-Amplitude xa = xstat V
0 1 2 3 40
2
4
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
V 0.1( )
V 0.2( )
V 0.3( )
V 0.4( )
V 0.7( )
Phasenverschiebung ( Nacheilwinkel ) D( )der Schwingungsantwortin Relation zur Erregung
D( ) atan2 D 3
1 2 4 D2 2
Siehe Nachtrag Seite 3
0 1 2 3 42
1
0
1
2
3
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
20.1( )
0.2( )
0.3( )
0.4( )
0.7( )
1
Mathcad 14Harmon. Stützenerregung
mit1 Freiheitsgrad
H-St1Seite 2 von 3
Komplex geschriebene Schwingungsantwort:
V_ D( )1 j 2 D
1 2 j 2 Dkomplexe Vergrößerungsfunktion fürStützenerregung
reelle Vergrößerungsfunktion V D( ) V_ D( )
0 1 2 3 40
2
4
D = 0.15D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70V 0.1( )
V 0.2( )
V 0.3( )
V 0.4( )
V 0.7( )
Nacheilwinkel: D( ) arg V_ D( )
0 1 2 3 40
1
2
3
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
2
0.1( )
0.2( )
0.3( )
0.4( )
0.7( )
1
Mathcad 14Harmon. Stützenerregung
mit1 Freiheitsgrad
H-St1Seite 3 von 3
Nachtrag zur reell-wertigen Darstellung der Phasenverschiebung:
Die Fallunterscheidung für den Arcustangens zwischen -2
und +2
betrifft hier nicht die
Grenze für = 1 wie bei Harm-K1 und -U1, sondern den Winkel selbst.
Deshalb
N D( ) atan2 D 3
1 2 4 D2 2
D( ) N D( )
N D( ) 0if
oben: Symbolleiste "Programmierung"+1 Zeile
Erst damit entsteht:
0 1 2 3 40
1
2
3
D = 0.10D = 0.20D = 0.30D = 0.40D = 0.70
2
0.1( )
0.2( )
0.3( )
0.4( )
0.7( )
1
Mathcad 14 e-Funktion komplexMcad-ek
Seite 1 von 5
z.B. für: b 8
x_( ) b ei x Unterstrich statt x bzw. x~ für komplexe Größe
! imaginäre Einheit in Mathcad: 1i schreiben
Eine direkte Darstellung dieser Funktion ist nicht möglich:
1 0.5 0 0.5 17.99
7.995
8
8.005
8.01
x_ ( )
Darstellbar ist jedoch eine Auftragung des Imaginärteils über dem Realteil:
Real-Teil: xr( ) Re x_( )( ) Imaginär-Teil: xi( ) Im x_( )( )
10 5 0 5 1010
5
0
5
10
Im x_ ( )( )
Re x_ ( )( )
"Gaußsche Zahlenebene"
bzw. etwas schöner, wenn beide Skalen gleich groß sind:
10 5 0 5 1010
5
0
5
10
Im x_ ( )( )
Re x_ ( )( )
So also sieht x_( ) b ei
aus.
b ist hier offenbar der Radius des Kreises.
Aber wo ist ?
Mathcad 14 e-Funktion komplexMcad-ek
Seite 2 von 5
Anzeige eines konkreten Wertes für : z.B: 1 0.9 xr1 xr 1 xi1 xi 1
10 5 0 5 10
10
5
5
10
xi( )
xi 1
xr( ) xr 1
(Radiant)
<== Komplexer Einzelwert x_ 1 :
Koordinaten der Linie 0 bis x_1
i10
xi1r1
0
xr1
10 5 0 5 10
10
5
5
10
xi( )
xi1
i1
xr( ) xr1 r1
x_ 1 1 51.566Grad
1 mit Betrag = Länge der braunen Linie
und Imaginäranteil ("Stamm", hier blau)
1 ist hier der Winkel bei 0 indiesem Dreieck.
Die Projektion auf die Imaginärachse Im(x_) = xi liefert eine perfekte Sinusfunktion für variabel:
0 5 10 15
10
5
5
101
xi( )
==> Winkel in Radiant
Die Projektion auf die Real-Achse Re(x_) = xr liefert eine perfekte Cosinusfunktion:
0 5 10 15
10
5
5
101
xr( )
in Radiant
Mathcad 14 e-Funktion komplexMcad-ek
Seite 3 von 5
10 5 0 5 10
10
5
5
10
xi( )
xi1
i1
xis
Lis
xr( ) xr1 r1 xrs Lrs
Mit Phasenverschiebung: z.B.: 0.4
22.918Gradx_( ) b ei ( )
xi( ) Im x_( )( ) xr( ) Re x_( )( )
Der Startpunkt bei = 0 hat die komplexen Koordinaten: xis Im x_ 0( )( ) xrs Re x_ 0( )( )
Koordinaten der Linie 0 bis x_s : Lis0
xisLrs
0
xrs
x_1 bei = 1x_s = fester Startpunkt bei = 0
( Winkel )
Sinusfunktion, nach links verschoben um : Startwert xis bei =0
0 5 10 15
10
5
5
101
xi( )
Verschobene Cosinusfunktion:
0 5 10 15
10
5
5
101
Startwert xrs bei = 0
xr( )
Mathcad 14 e-Funktion komplexMcad-ek
Seite 4 von 5
Zeitabhängige Schwingungen
An Stelle von : Kreisfrequenz mal Zeit t. z.B. 1.5 N 0.5
N 28.648Grad
Nacheilwinkelx_ t( ) b e
i t N
xi t( ) Im x_ t( )( ) xr t( ) Re x_ t( )( )
Anzeige eines konkreten Wertes für t : z.B: t1 0.9 xr1 xr t1 xi1 xi t1
Der Startpunkt bei t = 0 hat die komplexen Koordinaten: xis Im x_ 0( )( ) xrs Re x_ 0( )( )
Koordinaten der Linie 0 bis x_s : Lis0
xisLrs
0
xrs
Koordinaten der Linie 0 bis x_1 i10
xi1r1
0
xr1
t 0 0.01 20
10 5 0 5 10
10
5
5
10
xi t( )
xi1
i1
xis
Lis
xr t( ) xr1 r1 xrs Lrs
x_1 bei t = t1
x_s = fester Startpunkt bei t =0 ( Winkel N )
1 t1 1 77.349Grad Winkel zw. Startwert und x_s und x_1
Mathcad 14 e-Funktion komplexMcad-ek
Seite 5 von 5
Die reellen Anteile der komplexen Zeitfunktion x_ t( ) b ei t N sind:
mit tNN Nacheilzeit
0 2 4 6 8 10
10
5
5
10
Im x_ t( )( )
xi1
t1tN
t t1
xi t( ) b sin t N (Projektion auf die imaginäre Achse)
xi t( ) Zeit t
0 2 4 6 8 10
10
5
5
10
Re x_ t( )( )
xr1
t1tN
t t1
xr t( ) b cos t N (Projektion auf die reelle Achse)
Zeit t
Mathcad 14 e-Funktionen reellMcad-er
Seite 1 von 2
z.B. für: r 8 0.2
Abklingfunktion a t( ) r e t Sättigungsfunktion s t( ) r 1 e t
t 0 0.01 50
0 10 20 300
2
4
6
8
10
a t( )
s t( )
t
Wachstumsfunktion w t( ) r e t Dazu die Inverse : iw t( )1lntr
Gespiegelt an: sp t( ) tt 20 19.99 150
0 50 100
0
50
100
w t( )
iw t( )
0
sp t( )
0
t
Mathcad 14 e-Funktionen reellMcad-er
Seite 2 von 2
Summe zweier e-Funktionen:
z.B.: e1 t( ) r e t e2 t( ) r e 2 t se t( ) e1 t( ) e2 t( )
t 0 0.01 50
0 10 20 30 40
0
2
4
se t( )
e1 t( )
e2 t( )
t
Gaußsche Glockenkurve:
z.B.: g t( ) r e t2 to 4 gv t( ) r et to
2
Verschiebung nach rechts um tot 10 9.99 10
10 5 0 5 100
2
4
6
8
g t( )
gv t( )
t
Maschinendynamik
FEM-Übungen
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 1 von 11
© Prof. Dr. Joensson HTW Berlin 2015
1.) Einfaches Pendel als Starrkörper Zunächst soll das dynamische Verhalten eines Starrkörper-Pendels im Schwerkraftfeld g untersucht werden:
Ordner [ W23 Pendel ] erstellen > dort hinein die Datei Pendel WB-13.agdb kopieren. Geometrie einlesen:
Workbench extra starten (wenn Sie die agdb-Datei doppelklicken, würde nur die Version 13 starten)
> Speichern unter … Ordner W23 Pendel … Projekt-Name W-23 >
Links im Strukturbaum: Komponentensysteme > Geometrie doppelklicken > Umbenennen:
Pendel > 2 Geometrie > Rechte Maustaste > Geometrie importieren > Durchsuchen >
im Ordner [ W23 Pendel ] Datei Pendel WB-13.agb doppelklicken.
Links im Strukturbaum: Mehrkörperdynamik in die Mitte ziehen … Bezeichnung des Blocks B:
Einfaches Pendel > Von Block A Nr. 2 Geometrie mit der Maus auf Block B ziehen.
Block B Nr. 4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Modell > Geometrie >
Volumenkörper.
Lins unten: Eigenschaften.
Angezeigt werden die Masse des Körpers, die Schwerpunktlage sowie die drei Hauptträgheits-
momente Ip1 bis Ip3, wobei diese nicht der Größe nach geordnet sind, sondern den in der Mitte
angezeigten Hauptachsen x, y und z am Körper zugeordnet sind.
g
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 2 von 11 Lagerung:
Das Pendel soll in der oberen Bohrung drehbar gelagert werden.
Dazu Links im Strukturbaum: Modell (B4) > Kontakte/Verbindungen > oben: Körper-Lagerung >
Umdrehung > Links unten: Bereich Keine Auswahl anklicken > Mitte: Die zylindrische Fläche der
Bohrung anklicken > links unten: Anwenden Die Drehung um die z-Achse ist damit
voreingestellt.
Schwerkraftfeld:
Links im Strukturbaum: Transient > oben: Trägheitslasten > Erdanziehungskraft > links unten
Richtung -Y-Richtung einstellen.
Was soll berechnet werden?
z.B. der zeitabhängige Winkel der Auslenkung und die Lagerkraft.
Ergebnisvorbereitung für den Winkel:
Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper mit der linken Maustaste auf
Lösung ziehen Flächenverbindungsstichprobe anklicken > links unten: Ergebnistyp >
Relative Rotation > Ergebnisauswahl: Z-Achse.
Dann Flächenverbindungsstichprobe umbenennen zu Winkel Phi (t).
Ergebnisvorbereitung für die Lagerkraft:
Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper mit der linken Maustaste auf
Lösung ziehen Flächenverbindungsstichprobe anklicken > links unten: Ergebnistyp >
Gesamtkraft > bleibt so > Ergebnisauswahl: Gesamt.
Dann Flächenverbindungsstichprobe umbenennen zu Lagerkraft (t).
Oben
Winkel Phi und Lagerkraft schwanken so geringfügig, dass keine Bewegung erkennbar ist.
Das Pendel benötigt eine Startposition!
z.B. um 90 Grad angehoben.
Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper > oben: Konfigurieren >
Oben: = 90 (mit Enter-Taste) eintragen >
oben: > ganz oben: Lösung.
Unten: Graph (Diagramm) > Animation jetzt schwingt das Pendel sichtbar.
Beim Winkel fällt auf, dass keine vollständige Schwingung erfolgt.
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 3 von 11 Deshalb sollte der Zeitbereich vergrößert werden:
Links im Strukturbaum: Analyseeinstellungen > links unten Zeit nach Schritt z.B. 10 eingeben.
Oben: Lösung.
Bei der Animation entstehen jetzt ruckartige Bewegungen.
Mitte unten: Links neben der Glühbirne Ergebnissätze anklicken und statt 2 Sek. besser 10 Sek. :
Wie schnell sollte das Pendel eigentlich schwingen?
Gebraucht wird dazu das Massenträgkeitsmoment um die Drehachse z des Lagers sowie
zusätzlich die Masse des Körpers.
Tipp dazu: In Ansys wird unter Volumen nur das Hauptmassenträgheitsmoment erwähnt und
die Schwerpunktlage als Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt.
Daraus kann für den einfachen Pendelschwinger (als physikalisches Pendel) die Eigen-
frequenz bzw. die Schwingungsdauer von Hand berechnet werden.
Die richtige Formel dazu lautet (Selbststudium!): 22 ( ) / ( )T Js m mg
Die Schwingungsdauer in Ansys wiederum lässt sich ermitteln aus:
Animation: Stopp-Taste drücken > einen Gipfel der Zeitfunktion anklicken und mit der
linken Maustaste nach rechts bis zum nächsten Gipfel ziehen. In der Tabelle rechts unten sind
genauere Werte für die Gipfel-Zeiten ablesbar.
im blauen Bereich Rechte Maustaste > In Bereich zoomen
Die Differenz-Zeit vom linken zum rechten Gipfel ist die Schwingungsdauer.
Ergibt sich eine Abweichung zwischen Ihrer Handrechnung und dem Ergebnis von Ansys?
Ansys rechnet anders, es berechnet numerisch nichtlineare Differenzengleichungen, während
in der Handrechnung nur linearisierte Lösungen für kleine Winkel verwendet werden!
Geben Sie nun in Ansys bitte nur einen Anfangswinkel von 5 Grad vor:
Dazu Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper > oben:
… 5 (Enter) Grad … Wie ist jetzt die Übereinstimmung?
Starten Sie schließlich das Pendel mit einem Winkel von 180° wie im Vorlesungs-Beispiel T = ?
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 4 von 11
2.) Doppelpendel
Geometrie:
Auf der Projektseite (unten ) : Block A duplizieren > Block C umbenennen zu Doppelpendel >
C2 Geometrie doppelklicken.
Oben: Extras > Frieren > (sonst würden die folgenden Körper miteinander verschmelzen)
Ganz oben: Erstellen > Muster > Links unten: Geometrie > Mitte: Volumenkörper anklicken >
Links unten: Anwenden > Links unten: Richtung > Mitte: Kante in z-Richtung anklicken > Links
unten: Anwenden > Links unten: FD1 Versatz 30 mm >
Ergebnis 2 Bauteile:
Den zweiten Körper verschieben:
Ganz oben: Erstellen > Körpertransformation > Verschieben (Translation) > Mitte: Den zweiten
Körper anklicken > Links unten: Geometrie, Anwenden > Mitte: Eine Körperkante der
Längsrichtung y anklicken … FD2 400 mm …
Ergebnis:
MKS-Berechnung:
Auf der Projektseite: Links Mehrkörperdynamik auf C2 Geometrie ziehen > Block D umbenennen zu
Doppelpendel MKS > D4 Modell doppelklicken >
Links im Strukturbaum: Kontakte/Verbindungen > Kontakte löschen !
Lagerung einfügen:
Links im Strukturbaum: Kontakte/Verbindungen > oben: Körper-Lagerung > Umdrehung > Links
unten: Bereich Keine Auswahl > Mitte: Die zylindrische Bohrungsfläche der oberen Bohrung
anklicken > links unten: Anwenden.
Gelenkverbindung einfügen:
Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper > oben: >
Umdrehung > Links unten: Bereich Keine Auswahl > Mitte: Die zylindrische Bohrungsfläche der
unteren Bohrung des oberen Körpers anklicken > links unten: Anwenden >
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 5 von 11 Links unten: Mobil > Bereich Keine Auswahl > Mitte: Die zylindrische Bohrungsfläche der oberen
Bohrung des unteren Körpers anklicken > links unten: Anwenden >
jetzt sollten die beiden Körper bei Körperansichten mit ihren Koordinatensystemen sichtbar sein.
Schwerkraftfeld:
Links im Strukturbaum: Transient > oben: Trägheitslasten > Erdanziehungskraft > links unten
Richtung -Y-Richtung einstellen.
Was soll berechnet werden?
z.B. der zeitabhängige Winkel der Auslenkung Winkel Phi_1 (t) und die Lagerkraft für den
oberen Körper sowie Winkel Phi_2 (t) des unteren Körpers sowie die Gelenkkraft zwischen
beiden Körpern.
Dazu Phi_1(t) und Lagerkraft wie beim einfachen Pendel vorbereiten, siehe Blatt 2 dieser Übung.
Winkel Phi_2(t):
Links im Strukturbaum: Umdrehung - Volumenkörper bis Volumenkörper mit der linken
Maustaste auf Lösung ziehen … Relative Rotation > Ergebnisauswahl: Z-Achse …
umbenennen zu Winkel Phi_2 (t).
Gelenk-Kraft (t):
ähnlich wie Lagerkraft, aber alles mit Volumenkörper bis Volumenkörper
Dann Start-Position vorgeben
z.B. 150 Grad für Umdrehung Erde bis Volumenkörper
und zusätzlich
minus 60 Grad für Umdrehung Körper zu Körper
Links im Strukturbaum: Analyseeinstellungen > z.B. 12 Sekunden.
Oben: Lösung.
Ergebnisse siehe Blatt 6:
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 6 von 11 Winkel Phi_1:
Winkel Phi_2:
Lagerkraft (t):
Gelenk-Kraft (t):
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 7 von 11
3.) Doppelpendel MKS flexibel Das Mehrköpersystem Doppelpendel soll nun teilweise flexibel
berechnet werden. Dazu wird die Transiente Strukturmechanik von
Ansys Workbench genutzt.:
Auf der Projektseite (unten ) Block D duplizieren >
E1 Mehrkörperdynamik > Rechte Maustaste > Ersetzen: Transiente Strukturmechanik > Block E
umbenennen zu Doppelpendel MKS flexibel >
E4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Geometrie > den ersten Volumenkörper
anklicken > links unten: Steifigkeitsverhalten Starr Flexibel
Spannungsberechnung:
Links im Strukturbaum: Lösung > Alle bisherigen Lösungen (Winkel Phi_1 bis Gelenk-Kraft)
unterdrücken > Vergleichsspannung einfügen …
Zeitschritte vorgeben: (die können etwas größer sein als bei reiner Starrkörper-Berechnung)
Links im Strukturbaum: Transient (E5) > Analyseeinstellungen >
Links unten: Anfänglicher Zeitschritt z.B. 0,01
Min. Zeitschritt 0,01
Max. Zeitschritt 0,1
Berechnung starten: Oben Lösung.
Die Berechnung dauert jetzt deutlich länger als
bei reiner Starrkörperanalyse.
Ergebnisse, z.B.:
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 8 von 11
4.) Doppelpendel MKS - Export zu FEM statisch Das Mehrköpersystem Doppelpendel soll nun teilweise flexibel
berechnet werden, indem für ausgewählte Zeitpunkte und ausgewählte
Körper des MKS statische FEM-Lösungen erstellt werden als
"Momentaufnahmen".
Dazu wird die Statisch-mechanische Ananyse von Ansys Workbench
genutzt.:
Auf der Projektseite (unten ) Block D nochmals duplizieren >
F1 Mehrkörperdynamik > Rechte Maustaste > Ersetzen: Statisch-mechanische Analyse >
Umbenennen: Hebel 1 für Zeitpunkt t1 (max. Lagerkraft)
Zeitpunkt auswählen:
Block D > D4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Lagerkraft > Mitte: Graph > die
Stelle mit der größten Lagerkraft suchen > Mit der linken Maustaste hellblau markieren > Rechte
Maustaste: In Bereich zoomen > den Ort der höchsten Lagerkraft anklicken:
Für diese Zeit soll nun die statische Berechnung erfolgen:
Links im Strukturbaum: Lagerkraft > Rechte
Maustaste: Dieses Ergebnis abrufen >
Jetzt ist die Stellung der beiden Hebel zu
sehen, die zur maximalen Lagerkraft gehört:
Links im Strukturbaum: Lagerkraft >
Rechte Maustaste: > am besten in den Ordner [W23 Pendel]:
MotionLoads.txt > Speichern.
Diese Text-Datei enthält die momentanen dynamischen Belastungen der starren Körper des
MKS für den ausgewählten Augenblick.
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 9 von 11 Statische Berechnung:
Auf der Projektseite: F4 Modell doppelklicken >
Gezeigt wird das MKS in der Anfangs-Lage:
Links im Strukturbaum: Den ersten Volumenkörper anklicken > Links unten: Starr Flexibel >
den anderen Volumenkörper unterdrücken.
Links im Strukturbaum: Kontakte/Verbindungen > Verbindungen unterdrücken >
Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Erdanziehungskraft unterdrücken >
Statt dessen werden jetzt die "Bewegungslasten" für den gewählten Zeitpunkt eingelesen:
Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Rechte Maustaste > Einfügen >
Bewegungslasten … > im Ordner W23 Pendel: MotionLoads.txt doppelklicken:
Ergebnis:
An Stelle der Lagerkraft gibt es jetzt eine
externe Kraft gleicher Größe, an Stelle
der Gelenk-Kraft eine zweite externe
Kraft in E.
Des Weiteren sind zwei Momente
vorhanden.
Links im Strukturbaum: Lösung > Die bisherigen Ergebnisse löschen.
Statt dessen einfügen: Verformung Gesamt und Vergleichsspannung (von Mises)
Oben: Lösung.
Die max. Vergleichsspannung ist so ähnlich wie die
der transienten Analyse auf Blatt 7,
allerdings kommt jetzt eine braun markierte
Warnmeldung.
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 10 von 11 Mit Doppelklick auf die Warnmeldung ist der komplette Text sichtbar:
Die Angriffsflächen der beiden externen Kräfte werden hier jeweils noch von einem Moment
beansprucht.
Um dies zu vermeiden, werden die Bewegungslasten mit "externen Punkten" verbunden. Dann sollte
dieser Konflikt nicht mehr auftreten.
Die erste Fläche:
Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Externe Kraft > Rechte Maustaste >
An externen Punkt anbinden > Jetzt gibt es im Strukturbaum eine neue Rubrik Externe
Punkte.
Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Moment > Unten links:
Auswahlmethode > Externer Punkt > Externe Punkte: Externe Kraft - Externer Punkt
Die zweite Fläche:
Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Externe Kraft 2 > Rechte Maustaste >
An externen Punkt anbinden > Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Moment
2 > Unten links: Auswahlmethode > Externer Punkt > Externe Punkte: Externe Kraft 2 -
Externer Punkt
Oben: Lösung Die braune Warnmeldung ist nicht mehr vorhanden. Das Netz könnte feiner sein … z.B. mit Elementgröße 3 mm für alles:
Allerdings ist dieser Hebel nicht unbedingt der maximal beanspruchte bei diesem Doppelpendel. Deshalb sollen jetzt die beiden Hebel ausgetauscht werden: Auf der Projektseite: Block F duplizieren > Block G umbenennen zu Hebel 2 > G4 Modell doppelklicken >
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W23 Pendel MKS
HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 11 von 11 Links im Strukturbaum: Geometrie > Den ersten Volumenkörper anklicken > Rechte Maustaste >
Unterdrückten Körpersatz umkehren >
Den zweiten Volumenkörper anklicken Flexibel.
Links im Strukturbaum: : Statisch-mechanisch (G5) > Alle Belastungen löschen > …
Bewegungslasten einlesen (MotionLoads.txt im Ordner W23 Pendel).
Links im Strukturbaum: Netz > Relevanz 0 > Oben: Lösung.
Wieder gibt es die braune Warnmeldung.
Also Externe Punkte verwenden wie auf Blatt 10 dieser Übung …
Ergebnis Vergleichsspannung in MPa , Netz mit 1715 Knoten
Feiner vernetzt, z.B. 3 mm Elementgröße für alles (222505 Knoten):
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W24 Workshop MKS
HTW Berlin Blatt 1 von 1
© Prof. Dr. Joensson HTW Berlin 2015
Zwei von Ansys bereit gestellte Workshop-Anleitungen mit Geometrie-Dateien sollen in dieser Übung nachvollzogen werden.
1.) Actuator Dieser Mechanismus (drehbar gelagert in A, gleitend in B und federnd in C) wird durch ein konstantes Moment um A angetrieben.
Die Anleitung dazu befindet sich in der Workbench-Hilfe der Version 16 unter dem Stichwort actuator. Die Geometrie-Datei ist im zip-Ordner [ W24 Workshop MKS ] enthalten.
2.) Kolbenmotor (Slider-Crank) inklusive transient flexibel gerechnet:
Die Anleitung und die Geometrie-Datei sind im zip-Ordner [ W24 Workshop MKS ] enthalten.
D. Joensson ANSYS Workbench 16 W30 Harm-K-Err
HTW Berlin Harmonisch erzwungene Schwingung mit Krafterregung
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© Prof. Dr. Dieter Joensson HTW Berlin 2015
Vorbemerkung
Die Berechnung erzwungener gedämpfter Schwingung mit n Freiheitsgraden erfordert die detaillierte Vorgabe der (n x n)-Matrizen K , M und D , um daraus die komplexe Nachgiebigkeitsmatrix N_ ermitteln zu können. Für derartige Berechnungen sind auch FEM-Programme oder MKS-Programme einsetzbar, in denen die erforderlichen Matrizen programmintern aufgestellt werden. FEM-Programme: Z.B. Nastran, Altair, Ansys, Patran, Femgen ….. MKS (Mehrkörpersystem)-Programme: Z.B. Neweul, Adams, Simpack ….
MKS ist ein spezielles Berechnungsmodell , bei dem die kompakte Struktur folgendermaßen idealisiert wird: Die kompakte Struktur wird durch einzelne starre Körper als Punktmassen mit Rotations-trägheit idealisiert. Diese idealisierten Körper werden durch masselose Koppel-Elemente miteinander verbunden (masselose Federn und Dämpfer sowie Gelenke). Dabei entstehen relativ wenige Gleichungen (im Vergleich zu FEM). Demzufolge können Berechnungen extrem schnell ausgeführt werden. Dies ist vor allem für nichtlineare Bewegungsvorgänge von Vorteil.
Bei FEM dagegen wird die kompakte Struktur in nicht-starre finite Elemente zerlegt, die gleichzeitig Feder-, Dämpfer- und Trägheitseigenschaften haben.
Dabei entstehen je Elementknoten exakt so viele Gleichungen wie dieser Knoten Freiheits-grade hat. Bei feiner Vernetzung entstehen dadurch sehr viele Gleichungen. Speziell für erzwungene gedämpfte Schwingungen werden bei FEM die erforderlichen (n x n)-Matrizen K , M , D vollautomatisch aufgestellt.
Daraus wird rechnerintern die Matrix N_ erstellt.
An ausgewählten Freiheitsgraden (die vom Programmnutzer ausgewählt werden) kann nun wahlweise für harmonische Erregung die stationäre Schwingungsantwort als Amplituden-Frequenzgang und/oder als Phasen-Frequenzgang aus N_ berechnet und grafisch dargestellt werden.
Zum Beispiel: Eine Platte aus Baustahl, die einseitig fest eingespannt ist, soll krafterregt mit 100 N sinusförmig zu Dauerschwingungen angeregt werden.
Ges.: 1.) Max. Amplitude der Schwingungsantwort für 100 N Kraft-Amplitude
2.) Dauerfestigkeitsnachweis für Resonanz
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Zunächst nur Geometrie:
Workbench starten Projektseite: Links unten: Geometrie doppelklicken > Block A: Geometrie doppelklicken > Oben: Einheiten > Millimeter Ganz oben: Erstellen > Grundelemente > Quader > links unten: Diagonale x 50 y 5 z 200 Oben: Erstellen.
Zurück zur Projektseite (unten ) > Links oben: Datei > Speichern unter > Neuen Ordner erstellen, z.B. [ W30 Harm-K-Err ] > diesen Ordner doppelklicken > Dateiname (für das Projekt), z.B. W30
Modalanalyse
Zu jeder harmonischen Analyse erzwungener Schwingungen sollte vorab eine Modalanalyse
durchgeführt werden, um die in Frage kommenden Eigenfrequenzen kennen zu lernen.
Auf der Projektseite : Links: Modalanalyse mit linker Maustaste auf Block A Geometrie ziehen
Block B wird erstellt mit gleicher Geometrie wie A:
Block B: Modell doppelklicken
Mechanical startet.
Links im Strukturbaum: Modalanalyse > oben: Lagerungen:
Fixierte Lagerung an der rechten Seite der Platte wie im Bild auf Blatt 1. Oben: Lösung.
Links im Strukturbaum: Lösung > rechts unten: Tabellarische Daten > Frequenz [Hz] anklicken > Rechte Maustaste: Ergebnisse generieren > oben: Lösung. Jetzt sind die Schwingformen der 6 Eigenfrequenzen der Reihe nach sichtbar. Die Auslenkungen in mm sind irreführend! Siehe Übung W17.
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3.) Erzwungene Schwingung mit harmonischer Errgegung
(in Ansys "Harmonische Analyse" genannt)
Auf der Projektseite : Links: Harmonische Analyse mit linker Maustaste auf Block B6 Lösung
ziehen Block C wird erstellt mit gleichem Material und gleicher Geometrie und Lagerung wie B:
Oben: Berechnung aktualisieren.
Block C: Setup doppelklicken Mechanical startet.
Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > oben: Lasten > Kraft > Links oben: Eckpunkt > Mitte: Den Eckpunkt der Platte vorn links anklicken (siehe das Bild in Blatt 1) > … 100 N.
Die Lagerung ist schon aus der Modalanalyse vorhanden.
Weg-Amplituden-Frequenzgang
Berechnet werden soll der Amplituden-Frequenzgang der y-Verformung an einem ausgewählten Punkt des Bauteils.
Links im Strukturbaum: Analyseeinstellungen: Max. Wert des Bereiches (gemeint ist der zu berech-nende Frequenzbereich): z.B. 100 Hz Berechnet werden somit Amplituden und Nacheilwinkel der Schwingungsantwort zwischen 0 und 100 Hz.
Welche Amplituden?
z.B. Verformung in y-Richtung (vertikal) am Punkt vorn rechts. Dazu Links im Strukturbaum: Lösung > oben: Frequenzgang > Verformung > Mitte: Punkt auswählen > links unten: Geometrie > Anwenden.
Links unten: Ausrichtung Y-Achse >
Oben: Lösung > Links im Strukturbaum: Frequenzgang
Der Amplitudenverlauf (Amplitude über Frequenz) zeigt einen Anstieg, aber keine Gipfel, die an-steigen und absteigen. Zwischen 0 und 100 Hz gibt es hier offenbar noch keine Eigenfrequenz, die Resonanzgipfel erzeugt.
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Um einen Überblick zu erhalten, welche Eigenfrequenzen vorhanden sind, sollte die Modalanalyse beachtet werden: Die ersten 4 Eigenfrequenzen liegen hier zwischen 0 und 977 Hz.
Also wäre ein Frequenzbereich von 0 bis 1000 Hz oder 1200 Hz sinnvoll für die harmonische Ana-
lyse.
Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen > Max. Wert des Bereiches
1200 Hz.
Oben: Lösung.
Links im Strukturbaum: Frequenzgang Ergebnis: unbefriedigend.
Der Frequenzgang wurde vermutlich zu grob berechnet.
Deshalb Lösungsintervalle verfeinern:
Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen >
links unten: Lösungsintervalle 100
Oben: Lösung. Ergebnis Frequenzgang:
Gezeigt werden die Amplitude in logarithmischer Auftragung (Bode-Diagramm) und der Nacheilwin-
kel, hier als Phasenwinkel bezeichnet.
Links unten: Ergebnisse.
Die größte Amplitude tritt angeblich bei der 2. Eigenfrequenz auf.
! Außerdem wurde bisher keine Dämpfung vorgegeben, so dass theoretisch exakt unendlich große
Amplituden entstehen müssten!
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Eine genauere Berechnung wird ohnehin erst möglich, wenn die Eigenfrequenzen als Stützstellen der
Berechnung verwendet werden.
Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen > Ergebnisse bündeln Ja
(damit werden die Eigenfrequenzen als Stützstellen verwendet)
Die Frequenzbündelung 4 kann z.B. auch auf 10 oder mehr erhöht werden.
Oben: Lösung Fehlermeldung. Dämpfung ist erforderlich.
Links unten: Dämpfungssteuerung > Konstantes Dämpfungsverhältnis: z.B. 0,01 ( Lehrsche Dämpfung 1 %)
Oben: Lösung. Ergebnis Frequenzgang für Frequenzbündelung 10:
Die größte Antwort-Amplitude tritt jetzt bei der 1. Eigenfrequenz auf, siehe links unten +Ergebnisse. Sie ist deutlich größer als die anderen beiden Gipfelwerte, siehe links unten: Anzeige > Amplitude. lineare Ordinate statt logarithmisch.
Für diese Frequenz 103,8 Hz und diesen Phasenwinkel 90,572 ° (!) soll nun die Verformung und
die Vergleichsspannung im gesamten Bauteil berechnet werden.
Links im Strukturbaum: Lösung anklicken unter Harmonische Analyse > Oben: Verformung > Gesamt (bedeutet: resultierende Verformung im betreffenden Punkt)
Links unten: Statt Letzte genau die Frequenz angeben, die für die Maximale Amplitude bei der har-monischen Analyse (links unten: Ergebnisse) ermittelt wurde: 103,8 Hz
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Ebenso den entsprechenden Phasenwinkel angeben: 90,572°
Das alles ebenso für die Vergleichsspannung nach Mises.
Oben: Lösung. Links oben: Ergebnis 1,0 (Maßstabsgerecht) einstellen.
Die größte Verformung ist.:
vy-max = …………. mm Die max. (dynamische) Vergleichsspannung ist: σVmax = …………. MPa
Umbenennen der drei Ergebnisse links im Strukturbaum:
Frequenzgang Bezeichnung ergänzen: Frequenzgang vy am Punkt B
(Frequenzgang der Verschiebungsamplitude in y-Richtung an einem konkreten Punkt des Bauteils)
Gesamtverformung ergänzen: Gesamtverformung bei 1. Resonanz
Vergleichsspannung ergänzen: Vergleichsspannung bei 1. Resonanz
Im Vergleich dazu die statische Verformung (bei 0 Hz) infolge 100 N :
Gesamtverformung bei 1. Resonanz > Duplizikat ohne Ergebnisse > Umbenennen zu Gesamtver-
formung statisch
Links unten: Phasenwinkel 0°
Frequenz 0 Hz Fehler > 0,01 Hz > oben: Lösung.
Wie groß ist die statische Auslenkung? ……………… mm
Wie groß ist demzufolge der dynamische Vergrößerungsfaktor für Resonanz? ………..
Wie groß ist die max. statische Vergleichsspannung? …………. MPa
Wie groß darf hier die Kraft-Amplitude sein, damit der Dauerfestigkeitsnachweis erfüllt wird?
(Die Dauerfestigkeit von Baustahl beträgt nach der FKM-Richtlinie für reine Wechselbeanspru-
chung σw = 160 MPa für 97,5 % Überlebenswahrscheinlichkeit)
Fzul = ………………. N
Berechnen Sie mit dieser Kraft die harmonische Analyse erneut und prüfen Sie, ob damit 160 MPa als
max. dynamische Vergleichsspannung entsteht.
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Phasenwinkel ignorieren
Welchen Einfluss der Phasenwinkel hat, kann am besten gezeigt werden, indem dieser ignoriert
wird ( ! Resonanz bedeutet: Resonanzfrequenz + Nacheilwinkel)
Links im Strukturbaum: Vergleichsspannung bei 1. Resonanz > Rechte Maustaste: Duplikat oh-
ne Ergebnisse > Umbenennen Vergleichsspannung bei 1. Resonanz OHNE phi
Links unten: Phasenwinkel 0° eintragen > Oben: Lösung.
Ergebnisse: vy-max = …………. mm σVmax = …………. MPa Andere Resonanzen
Berechnen Sie nun die Verformung und die Vergleichsspannung für die 2. und 3. Resonanz.
Dazu Links im Strukturbaum: Lösung > Frequenzgang Duplikat ohne Ergebnisse >
Umbenennen zu Frequenzgang vy am Punkt B für die 2. Resonanz > links unten: Optionen
> Frequenzbereich: Angegeben > Minimale Frequenz: 500 Hz > Maximale Frequenz: 750
Hz > Oben: Lösung.
Dann kann links unten die Resonanz-Frequenz und der Phasenwinkel abgelesen werden …
Ergebnisse: vy-max = …………. mm σVmax = …………. MPa
Dann alles für die 3. Resonanz wiederholen … Ergebnisse: vy-max = …………. mm σVmax = …………. MPa Andere Dämpfung: Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen > Links unten: Dämpfungs-steuerungen > Konstantes Dämpfungsverhältnis 0,02 Oben: Lösung. Welche Ergebnisse entstehen jetzt für die 1. Resonanz im Vergleich zu 1 % Dämpfung?
σVmax = …………. MPa
vmax = ………….. mm Wie groß darf nun die Kraft-Amplitude sein, damit der Dauerfestigkeitsnachweis erfüllt wäre?
Fzul = ………………. N
Abschließend alles speichern: Links oben: Speichern > Projekt speichern.
Literatur-Empfehlung zur Maschinendynamik
Dresig, H., Holzweißig, F.: Maschinendynamik. Springer Vieweg Verlag, 11. Auflage 2012
Dresig, H., Fidlin, A.: Schwingungen mechanischer Antriebssysteme. Springer Vieweg Verlag, 3. Auflage 2014
Irretier, H.: Grundlagen der Schwingungstechnik. 2 Bände. Vieweg-Verlag 2001
Beitelschmidt, M., Dresig, H.: Maschinendynamik - Aufgaben und Beispiele. Springer Vieweg Verlag, 2015
Gasch, R., Knothe, K., Liebig, R.: Strukturdynamik. Springer Vieweg Verlag, 2.Auflage 2012
Brommundt, E., Sachau, D.: Schwingungslehre mit Maschinendynamik. Springer Vieweg Verlag, 2. Auflage 2014
Hollburg, U.: Maschinendynamik. Oldenbourg Verlag, 2. Auflage 2013
Jürgler, R.: Maschinendynamik. Springer Verlag, 3. Auflage 2003