#Kartei Analysis I komplett

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Analysis I # 1 prufungsrelevant

2.18 Definition: induktive Teilmenge

2.19 Definition der naturlichen Zahlen

2.21 Satz: Prinzip der VollstandigenInduktion

2.28 Definition der rationalen Zahlen

2.29 Satz von Archimedes

2.31 Satz:Dichtheitseigenschaft derrationalen Zahlen

2.37 Existenz von√c

2.38 Existenz von n√c

# 1 Antwort

Eine Teilmenge M von R heißt induktiv, falls

(i) 0 ∈M

(ii) falls x ∈M , so ist auch x+ 1 ∈M

# 2 Antwort

(i) Die Menge N der naturlichen Zahlen ist der Durch-schnitt aller induktiven Teilmengen von R

(ii) Die Menge N der naturlichen Zahlen ist definiert durch:

N := {n ∈ No : n ≥ 1}

(iii) Die Menge Z der ganzen Zahlen ist definiert durch:

Z := {...,−1, 0, 1, ...}

# 3 Antwort

Sei fur jedes n ∈ No eine Aussage (Bn) gegebenund gelte

(i) (Bo) ist wahr

(ii) Falls (Bn) fur ein beliebiges n ∈ No richtig ist, dannist (Bn+1) richtig. Dann ist also (Bn) wahr fur allen ∈ No

# 4 Antwort

Die rationalen Zahlen Q sind definiert durch:Q ={mn , m ∈ Z, n ∈ N}

# 5 Antwort

(i) Zu jedem x ∈ R∃n ∈ N ,sodass n > x.

(ii) Zu jedem x ∈ R∃z ∈ N ,sodass z < x.

(iii) Zu jedem x ∈ R∃n ∈ N , sodass 1n < x.

Ein Korper mit diesen Eigenschaften heißtarchimedischer Korper

# 6 Antwort

Seien x, y ∈ R mit x < y .Dann ∃y ∈ Q mit x < q < y. (“Q liegt dicht in R”)

# 7 Antwort

Fur jedes c ≥ 0, c ∈ R∃x ∈ R : x ≥ 0, sodass x2 = c.Wir schreiben dann x =

√c = c

# 8 Antwort

Sei n ∈ N.Dann existiert zu c ≥ 0 genau ein x ∈ R, x > 0,sodass x2 = c.Wir setzen dann x = n

√c = c

2.39 Rechenregeln fur Potenzen mitrationalen Exponenten

2.40 Definition: Binomialkoeffizienten

2.41 Satz uber die Anzahl vonTeilmengen und Anordnungen endlicher

Mengen

2.43 Binomische Formeln

3.1 Definition: Der Absolutbetrag

3.2 Die eigenschaften desAbsolutbetrags

3.4 Definition: Abstand

3.6 Definition Zahlenfolge

# 9 Antwort

Fur x ≥ 0 und p, q ∈ N, setzen wir xpq =

Fur x > 0 setzen wir x−pq = ( 1x)

Dann gilt ∀r, s ∈ Q:

xr+s = xrxs

xrs = (xr)s

(xy)r = xr + yr

# 10 Antwort

Fur n∈No definieren wir(nk

Wir lesen “n uber k”(nk

k!(n−k)! = 1..n(1..k)(1..n−k)

Insbesondere(n0

nn−k)

# 11 Antwort

(i) Es gibt 2n Teilmengen von {1, 2, ..., n}Teilmengen sind ungeordnet, d.h. {1, 2} ={2, 1}Ø ist Teilmenge von jeder Menge

(ii) Es gibt n! Anordnungen von {1, 2, ..., n}Anordnungen berucksichtigen die Reihen-folge, d.h. {1, 2} 6= {2, 1}

(iii) Es gibt n!(n−k)! Anordnungen von k Elementen

(iv) Es gibt(nk

)k-element. Teilm. von {1, 2, ..., n}

# 12 Antwort

Fur x, y ∈ R und n ∈ N gilt:

(x+ y)n =n∑

)xn−kyk

# 13 Antwort

{x, falls x ≥ 0

−x, falls x < 0

# 14 Antwort

(i) |x| ≥ 0 und |x| = 0 genau dann, wenn x = 0

(ii) |x · y| = |x| · |y|

(iii) |x+ y| ≤ |x|+ |y|

# 15 Antwort

Zu x, y ∈ R heißt |x− y| Abstand von x und y

(i) |x− y| ≥ 0|x− y| = 0⇔ x = y

(ii) Symmetrie: |x− y| = |y − x|

(iii) Dreiecksungleichung: |x+ y| ≤ |x+ z|+ |z− y|

# 16 Antwort

Zahlenfolge (am)m∈Nist Abbildung N→ R, n ∈ N 7→ an ∈ R

3.9 Definition: Konvergenz einer Folge

3.10 Die epsilon-Umgebung

3.11 Definition: Divergente Folge

3.13 Definition: beschrankte Folgen

3.14 Satz: Konvergente Folgen sindbeschrankt

3.16 Grenzwert einer Folge

3.17 Summe und Produkt konvergenterFolgen

3.19 Satz: Quotient konvergenter Folgen

# 17 Antwort

(am)m∈N sei konvergent gegen a ∈ R , falls ∀ε > 0∃N ∈N mit |an − a| < ε∀n ≥ NFalls (am)m∈N konvergent gegen a schreiben wir:

limn→∞

an = a

an −→ a (n→∞)

ann→∞−−−−−→a

# 18 Antwort

Sei ε > 0, a ∈ R(a− ε, a+ ε) = {x ∈ R : a− ε < x < a+ ε}

Dann bedeutet die Konvergenz von (an)n∈N gegen a, dassfur eine beliebige ε−Umgebung von a“fast alle”Folgegliederin der ε−Umgebung liegen (alle bis auf endlich viele)Fur große n liegt an in der ε-Umgebung

a3 a− ε

an : n ≥ N

a a+ ε a1 a2

# 19 Antwort

Eine Folge die nicht konvergiert heißt divergent

# 20 Antwort

Eine Folge (an)n∈N heißt beschrankt, falls ein k > 0 ex-istiert, sodass|an| ≤ k∀n ∈ N

(an)n∈N heißt nach oben beschrankt, falls ein k > 0 ex-istiert, sodassan ≤ k∀n ∈ N

(an)n∈N heißt nach unten beschrankt, falls ein k > 0 ex-istiert, sodassan ≥ −k∀n ∈ N

# 21 Antwort

Jede konvergente Folge ist beschrankt.

# 22 Antwort

Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.

# 23 Antwort

Seien (an)n∈N, (bn)n∈N konvergente Folgenann→∞−−−−→ a und bnn→∞−−−−→ b

(i) Dann konvergiert (an + bn)n∈N und

an + bnn→∞−−−−−→a+ b

(ii) Weiter konvergiert auch (an · bn)n∈N

und an · bnn→∞−−−−−→a · b

# 24 Antwort

Seien (an)n∈N, (bn)n∈N konvergent,ann→∞−−−−→ a, bnn→∞−−−−→ bund sei b 6= 0 , dann ∃no ∈ N , sodass bn 6= 0∀n ≥ no.

Weiter ist

)n∈N,n≥no

und limn→∞

3.20 Satz: Großenvergleich konvergenterFolgen

3.22 Definition: Bestimmt divergent

3.24 Satz: Kehrwert bestimmterdivergenter Folgen. Kehrwert von

Nullfolgen

3.25 Definition: Intervalle

3.26 Definition: Intervallschachtelung

3.27 Satz: Intervallschachtelungenerfassen genau einen Punkt

3.30 Darstellung reeller Zahlenbezuglich einer Basis

3.32 Satz zur Intervallschachtelung

# 25 Antwort

Falls an → a (n → ∞) und bn → b (n → ∞) gelteweiter an ≤ bn∀n ∈ N. Dann folgt a ≤ b

# 26 Antwort

Eine Folge (an)n∈N heißt bestimmt divergent gegen +∞, falls zu jedem k > 0 ein N ∈ N exisitert, sodass an ≥k ∀n ≥ N(an) heißt bestimmt divergent gegen −∞ , falls (−an)n∈Nbestimmt divergent gegen +∞ ist.Wir schreiben in diesen Fallen:an → +∞ (n→∞) bzw. an → −∞ (n→∞)

# 27 Antwort

(i) (an)n∈N sei bestimmt divergent gegen +∞ bzw.gegen −∞Dann ∃no ∈ N,sodass an 6= 0∀n ≥ no und(

)n∈N,n≥no

ist Nullfolge.

(ii) Sei (an)n∈N Nullfolge. Falls dann an ≥ 0 und

an 6= 0∀n ∈ N , dann ist

)n∈N

bestimmt

divergent gegen +∞.

# 28 Antwort

Seien a, b ∈ R, a < b , dann definieren wir folgende In-tervalle: [a, b]

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}(“geschlossen”)(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}(“offen”)[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}(“halboffen”)(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}(“halboffen”)

Sei I eines dieser Intervalle, dann definiere:Intervalllange: | I | := b− aMitte des Intervalls: a+b

# 29 Antwort

Eine Intervallschachtelung ist eine Folge (In)n∈NvonIntervallen der Form In = [an, bn], an < bn mit der Eigen-schaftI1 ⊃ I2 ⊃ ... und| I | = bn − an −→ 0 (n→∞)

# 30 Antwort

Sei (In)n∈N Intervallschachtelung , dann existiert genauein x ∈ R, sodass x ∈ In ∀n ∈ N

# 31 Antwort

Sei B ∈ N, B ≥ 2Zu 0 ≤ x < 1 existiert (xi)i∈N mit xi ∈ No, xi ≤ B − 1,sodass ∀n ∈ N gilt:

n∑i=1

xiB−i ≤ x ≤

n∑i=1

xiB−i +B−n

# 32 Antwort

Sei (xi)i∈NFolge mit xi ∈ No, xi ≤ B − 1 und setze

an :=n∑

i=1xiB

−i und bn :=n∑

i=1xiB

−i+B−n. Dann definiert

In := [an, bn]

eine Intervallschachtelung

3.33 Dichtheit der rationalen Zahlen inden reellen Zahlen

3.34 Definition: Teilfolge

3.35 Definition Haufungspunkt

3.36 Proposition: Charakterisierung vonHaufungspunkten

3.37 Satz von Bolzano-Weierstraß

3.38 Definition: (streng) Monotonwachsende, (streng) monoton fallende

Folgen

3.39 Monotone Konvergenz

3.40 Definition:Cauchy-Folgen

# 33 Antwort

Jede reelle Zahl wird durch eine Intervallschachtelungmit rationalen Randpunkten erfasst.Insbesondere: Jede reelle Zahl kann beliebig gut durchrationale Zahlen approximiert werden.

”Q liegt dicht in R”

# 34 Antwort

Eine Folge (a′k)k∈N heißt Teilfolge von (an)n∈N , fallseine Folge (nk)k∈N mit nk ∈ N , sodassn1 < n2 < n3 < ... unda′k = ank

∀k ∈ N

# 35 Antwort

a ∈ R heißt Haufungspunkt einer Folge (an)n∈N , fallseine Teilfolge (a′k)k∈N existiert mita′k −→ a (k →∞)

# 36 Antwort

a ist genau dann Haufungspunkt von (an)n∈R falls gilt:∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N : |an − a| < ε

# 37 Antwort

Jede beschrankte Folge besitzt einen Haufungspunkt.

# 38 Antwort

(an)n∈N heißt monoton wachsend, fallsa1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ...

(an)n∈N heißt streng monoton wachsend, fallsa1 < a2 < a3 < ...

(an)n∈N heißt monoton fallend, fallsa1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ...

(an)n∈N heißt streng monoton fallend, fallsa1 > a2 > a3 > ...

# 39 Antwort

Sei (an)n∈N monoton steigend, dann konvergiert (an)n∈Ngenau dann, wenn (an)n∈N beschrankt ist.

# 40 Antwort

(an)n∈N heißt Cauchy-Folge, falls:∀ε > 0∃N ∈ N, sodass |an − am| < ε∀n,m ≥ N

3.41 Satz: Eigenschaften vonCauchy-Folgen

3.42 Satz: CauchyKonvergenz-kriterium

3.44 Korollar: In welchemZusammenhang stehen Haufungspunkt

und Beschranktheit einer Folge ?

3.45 Definition: unendliche Reihen

3.46 Definition: Konvergenz von Reihen

3.47 Geometrische Reihe

3.47 Harmonische Reihe

3.48 Satz: Linearkombinationkonvergenter Reihen

# 41 Antwort

Sei (an)n∈N Cauchy-Folge. Dann ist (an)n∈N beschrankt.

# 42 Antwort

Eine Folge (an)n∈N konvergiert genau dann, wenn sieCauchy-Folge ist.

# 43 Antwort

Sei (an)n∈N beschrankt. Dann gilt: (an)n∈N hat genaueinen Haufungspunkt ⇔ (an)n∈N ist konvergent.

# 44 Antwort

Sei (an)n∈N Folge. Betrachte dann die Folge (sn)n∈N der

Partialsummen sn := a1 + ...+ an =n∑

i=1ai.

Wir nennen (sn)n∈N Reihe und wir schreiben dafur:∞∑i=1

# 45 Antwort

Die Reihe∞∑i=1

aiheißt konvergent, falls (sn)n∈N konver-

gent. Falls dann s = limn→∞

sn, so setzen wir∞∑i=1

ai = s (trotz der Doppeldeutigkeit)

# 46 Antwort

Sei q ∈ R,|q| < 1 und setze ai := qi, i ∈ No. Dann heißt∞∑i=0

qi geometrische Reihe (zu q).

sn =n∑

i=0ai = 1 + q + q2 + ...+ qn

q · sn = q + q2 + ...+ qn + qn+1

Damit (1 − q) · sn = 1 − qn+1, also sn = 1−qn+1

1−q −→1

1−q (n→∞).

Damit∞∑i=0

qi = 11−q

# 47 Antwort

Setze ai = 1i , i ∈ N. Dann heißt

∞∑i=1

1i harmonische

Reihe.(sn)n∈N ist divergent, denn ∀n ∈ N

s2n − sn =1

n+ 2+ ...+

2n︸︷︷︸nSummanden alle≤ 1

Damit: s2n − sn ≥ n2n = 1

2 . Damit ist (sn)n∈N keineCauchy-Folge. Mit Cauchy Konvergenzkriterium 3.42 folgt(sn)n∈N divergent, sogar bestimmt divergent gegen +∞.

Wir sagen dann∞∑i=1

aibestimmt divergent gegen +∞ und

schreiben∞∑i=1

ai = +∞

# 48 Antwort

Sei∞∑i=1

ai und∞∑i=1

bi konvergent, und seien weiter λ, µ ∈

R. Dann ist die Reihe∞∑i=1

(λai + µbi

)konvergent und

∞∑i=1

(λai + µbi

∞∑i=1

ai + µ∞∑i=1

3.50 Cauchy Konvergenzkriterium furReihen

3.52 Satz: Leibnitz Konvergenzkriteriumfur alternierende Reihe

3.54 Definition: Absolut konvergenteReihen

3.56 Satz: Majorantenkriterium fur dieabsolute Konvergenz einer Reihe

3.57 Satz: Quotientenkriterium fur dieabsolute Konvergenz einer Reihe

3.59 Satz: Wurzelkriterium fur dieabsolute Konvergrenz einer Reihe

3.61 Satz: Umordnungen einer absolutkonvergenten Reihe sind absolut

konvergent

3.63 Satz: Doppelreihensatz

# 49 Antwort

Eine Reihe∞∑i=0

ai ist genau dann konvergent, wenn gilt:

~ Zu jedem ε > 0 ∃n ∈ N, sodass n,m ∈ N,m > n∣∣∣∣ m∑i=n+1

∣∣∣∣ < ε

# 50 Antwort

Ist (ai)i∈N monoton fallend mit ai → 0 (i −→∞)Dann konvergiert die“alternierende Reihe”a1−a2+a3−

a4 + ...− =∞∑i=1

(−1)i+1ai

Beispiel:Die alternierden harmonische Reihe 1− 1

2 + 13−

14 +...−...

# 51 Antwort

Eine Reihe∞∑i=1

ai heißt absolut konvergent, falls die Reihe

∞∑i=1|ai| konvergiert.

Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe ist konver-gent, aber nicht absolut konvergent.

Eine absolut konvergente Reihe∞∑i=1

ai ist insbesondere

konvergent und∣∣∣∣ ∞∑i=1

∣∣∣∣ ≤ ∞∑i=1|ai|

# 52 Antwort

Sei∞∑i=1

ai eine Reihe und∞∑i=1

ci eine konvergente Reihe

mit |ai| ≤ ci∀i > i0

Dann folgt, dass∞∑i=1

ai absolut konvergent ist.( ∞∑i=1

ci (konvergente) ”Majorante”

# 53 Antwort

Sei∞∑i=1

ai mit ai 6= 0 ∀i ∈ N . Es gebe i0 ∈ N und

0 < q < 1 , sodass

∣∣∣∣ai+1

∣∣∣∣ ≤ q ∀i ≥ i0. Dann ist∞∑i=1

absolut konvergent.

# 54 Antwort

Sei∞∑i=1

ai Reihe. Es gebe i ∈ N und 0 < q < 1, sodass i√|ai| ≤

q ∀i ≥ i0 Dann ist∞∑i=1

ai absolut konvergent.

# 55 Antwort

Sei∞∑i=1

ai absolut konvergente Reihe und sei ϕN → N

(d.h. zu jedem j ∈ N existiert ein i = ϕ−1 ∈ N, sodassϕ(i) = j )

Dann ist auch die ungeordnete Reihe∞∑i=1

aϕ(i) = aϕ(1) +

aϕ(2)+...+ absolut konvergent und∞∑i=1

aϕ(i) =∞∑i=1

# 56 Antwort

Sei aij ∈ R, i, j ∈ N gegeben. Es gebe eine Aufzahlung

(ci)i∈N aller Elemente aij , sodass∞∑i=1

ci abolsut konvergent

ist. Dann gilt:

(i) Die Zeilensummen zi =∑j∈N

aij konvergiert ab-

solut.

(ii) Die Spaltensummen sj =∑i∈N

aij konvergiert

absolut.

(iii) Es gilt∞∑i=1

zi =∞∑j=1

sj =∞∑i=1

ci =∞∑

i,j=1aij

3.65 Satz: Produkt absolut konvergenterReihen

3.66 Satz:Die Exponentialreihe zu x istfur alle x ∈ R absolut konvergent.

3.67 Definition: Zahl e

3.68 Satz: Additionstheorem derExponentialfunktion

3.70 Satz: exp(q · x) = exp(x)q furrationale q

3.71 Dezimaldarstellung durchunendliche ReihePeriodische

Dezimalzahlen

3.72 Proposition: Charakterisierung derUneindeutigkeit der Dezimaldarstellungeiner rellen Zahl als unendliche Reihe

4.1 Definition: Abbildung,Definitionsbereich, Wertebereich

# 57 Antwort

Seien∞∑i=1

bi ,∞∑j=1

cj absolut konvergent. Setze dann di :=

i∑j=1

bjci−j+1 Dann konvergiert∞∑i=1

di absolut und es gilt

S :=∞∑i=1

( ∞∑i=1

)·( ∞∑

∞∑i,j=1

# 58 Antwort

Fur jedes x ∈ R konvergiert die Exponentialreihe

exp(x) :=

∞∑i=0

# 59 Antwort

Wir definieren die Eulersche Zahle := exp(1) = 1 + 1 + 1

2 + 16 + ...

Bemerkung:Man erhalt e = limn→∞

(1 + 1

# 60 Antwort

∀x, y ∈ R giltexp(x+ y) = exp(x) · exp(y)

Es ist ∀x ∈ R

(i) exp(x) > 0

(ii) exp(−x) = 1exp(x)

# 61 Antwort

∀x ∈ R und ∀y ∈ Q gilt exp(qx) = exp(x)q

Insbesondere exp(q) = eq (setze x = 1)

# 62 Antwort

In 3.30:Zu 0 ≤ x < 1 , existieren (xi)i∈N , xi ∈ {0, ..., 9},so dass ∀n ∈ N

∞∑i=1

xi · 10−i ≤ x <n∑

i=110−i + 10−n

Insbesondere:∞∑i=1

xi10−i = x

Wir schreibenx = 0, x1, x2, x3,...

# 63 Antwort

Seien 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 mit Dezimaldarsellungen

x = x0 +∞∑i=1

xi10−i und y = y0 +∞∑i=1

yi10−i

mit x0, y0 ∈ {0, 1}, xiyi ∈ {0, ..., 9}.

Seien (xi)i∈N0 und (yi)i∈N0unterschiedlich mit i0 = min{i ∈N0, xi 6= yi} und xi0 < yi0Dann x = y genau dann, wenn xi0 = yi0 + 1xi =0 ∀i ≥ i0 + 1yi =9 ∀i ≥ io + 1

# 64 Antwort

Seien M,N Mengen und eine Abbildung f : M → Nordnet jedem Element von M ein Element aus N zu. x ∈M → f(x) ∈ Nf hat Definitionsbereich M und Wertebereich N.

4.2 Definition: Injektive, surjektive,bijektive Abbildung; Umkehrabbildung

einer bijektiven Abbildung

4.3 Definition: Komposition vonAbbildungen

4.4 Definition: Gleichmachtigkeit vonMengen endliche, abzahlbar

(unendliche), hochstens abzahlbare,uberabzahlbare Mengen

4.5 Satz: Teilmengen hochstensabzahlbarer Mengen sind hochstens

abzahlbar. Die Vereinigung hochstensabzahlbar vieler hochstens abzahlbarer

Mengen ist hochsten abzahlbar.

4.6 Korollar: Z und Q sind abzahlbar

4.7 Satz: Die Menge der Folgen in {0,1}ist uberabzahlbar

4.8 Satz: R ist uberabzahlbar

4.9 Definition: Reellwertige Funktion,Graph einer Funktion

# 65 Antwort

(i) f heißt injektiv, falls zu jedem y ∈ N hochstensein Element existiert, so dass f(x) = y

(ii) f heißt surjektiv, falls zu jedem y ∈M ein x ∈M existiert, so dass f(x) = y

(iii) f heißt bijektiv, falls zu jedem y ∈M genau einx ∈M existiert, so dass f(x) = y.In diesem Fall definieren wir die Umkehrfunk-tion(Inverse) von f

f−1 : N →M f−1(y) = x

# 66 Antwort

Seien M,N,L Mengen und f : M → N , g : N → LDann definieren wir die Komposition g ◦ f :M → L

(g ◦ f)(x) := g(f(x))

# 67 Antwort

M und N heißen gleichmachtig,falls eine bijektive Ab-bildung f : M → N existiert. M heißt endlich mitKardinalitat n ∈ N, falls M gleichmachtig ist zur Menge1, 2, .., n. Die leere Menge definieren wir als endlich mitKardinalitat 0. M heißt unendlich, falls M nicht endlich ist.M heißt abzahlbar(unendlich), falls M gleichmachtigmit N ist.Dann ist (ai)i∈N mit ai = f(i) ∈ M Aufzahlungder Elemente von M. M heißt hochstens abzahlbar, fallsM endlich oder abzahlbar ist. M heißt uberabzahlbar,falls M weder endlich noch abzahlbar ist.

# 68 Antwort

(1) Jede Teilmenge einer hochstens abzahlbaren Mengeist hochstens abzahlbar.

(2) Die Vereinigung hochstens abzahlbarer vielerhochstens abzahlbarer Mengen ist hochstens

abzahlbar.M1M2, ..,Mi jeweils hochstens abzahlbar. DannM2 ∪M3 ∪ ...

# 69 Antwort

Z und Q sind abzahlbar

# 70 Antwort

Die Menge der Folgen (ai)i∈N mit ai ∈ {0, 1}∀i ∈ N istuberabzahlbar..

# 71 Antwort

R ist uberabzahlbar

# 72 Antwort

Sei D ⊂ R. Unter einer reellwertigen (reellen) Funk-tion f auf D verstehen wir eine Abbildung.

f : D → R

Der Graph von f ist die Menge

graph(f) := {(x, y) : x ∈ D, y ∈ R, y = f(x)}

4.12 Definition: Verknupfungen vonFunktionen: Summe, Vielfaches,

Produkt, Quotient

4.13 Definition: Haufungspunkt einerMenge D ⊂ R

4.14 Definition: Konvergenz einerFunktion an einem Punkt

4.15 Satz: AquivalenteCharakterisierung mit ’ε− δ Kriterium’

4.17 Definition: Rechts- undlinksseitiger Grenzwert

4.19 Definition: Stetigkeit

4.23 Satz: Summe, skalares Vielfachesund Produkt stetiger Funktionen gibt

wieder eine stetige Funktion. DerQuotient stetiger Funktionen ist stetig

auf seinem Definitionsbereich

4.24 Definition: Polynome und rationaleFunktionen

# 73 Antwort

Seien f, g : D → R, D ⊂ R, λ ∈ R Dann definieren wir

(f + g) (x) := f(x) + g(x)

(f · g) (x) := f(x) · g(x)

(λf) (x) := λf(x)

f + g, f · g, λf jeweils Funktionen auf D. Setze D := {x ∈D : g(x) 6= 0}Dann definiere f

g : D → R ,(fg

)(x) := f(x)

# 74 Antwort

Sei D ⊂ R . x0 ∈ R heißt Haufungspunkt von D, fallseine Folge (xk)k∈N in D (d.h. x ∈ D ∀k ∈ N) existiert, sodassxk → x0 (k →∞)

# 75 Antwort

Sei D ⊂ R, f : D → R und sei x0 ∈ R Haufungspunktin D. Dann zeigen wir

f(x) konvergiert gegen n ∈ R , falls x “ gegen x0 in D “falls: Fur jede Folge (xk)k∈N in D gilt.f(xk)→ a (k →∞)

Wir schreiben dannf(x)→ a (x→ x0, x ∈ D)

oderlimx→x0x∈D

f(x) := a

# 76 Antwort

Sei D ⊂ R, x0 Haufungspunkt von D. Dann sind

1) f(x)→ a (x→ x0)

2) ”ε-δ” - KriteriumZu jedem ε > 0 existiert δ > 0 , so dass ∀x ∈ Dmit |x− x0| < δ gilt, das |f(x)− a| < ε

# 77 Antwort

Sei x0 ∈ R Haufungspunkt von D ∈ R und f : D → RDann ist

(i) fur f(x) = cx ↘ x0 bedeutet, dass fur alle Folgen (xk)k∈Nmit xk ∈ D und xk > x0 ∀k ∈ N folgt

f(xk)→ c (k →∞)

limx↘x0

f(x) heißt rechtsseitiger Limes

(ii) limx↗x0

= c ...heißt linksseitiger Limes

# 78 Antwort

Sei f : D → R, x0 ∈ D .Dann heißt f stetig an x0 , falls lim

x→x0x∈D

f(x) = f(x0) . f ist

stetig in D, falls f stetig an x0∀x0 ∈ D.

# 79 Antwort

Seien f, g : D → R stetig und sei λ ∈ R , dann sind auchdie Funktionen f + g, f · g, λ · f : D → R stetig.

Fur D’:= {x ∈ D : g(x) 6= 0} gilt fg : D′ → R ist stetig.

# 80 Antwort

(1) Ein Polynom auf R ist eine FunktionP : R→R der Form p(x) := anx

n+an−1xn−1+a1x+a0

mit Koeffizienten a0, . . . , an ∈ R , n ∈ N0

Falls a 6= 0, so heißt P Polynom vom Gradn.

(2) Eine rationale Funktion r : D → R ist in der

Gestalt r(x) := P (x)q(x) ∀x ∈ D , wobei P,q Poly-

nome und q(x) 6= 0∀x ∈ D

4.25 Korollar: Rationale Funktionensind stetig

4.26 Stetigkeit ist lokale Eigenschaft

4.27 Satz: Komposition stetigerFunktionen ist stetig

4.28 Zwischenwertsatz (Nullstellensatz)

4.29 Korollar: Zwischenwertsatz(allgemeine Version)

4.30 Beispiel: Polynome ungeradenGrades besitzen mindestens eine

Nullstelle

4.31 Definition: Uneigentliche Intervalle

4.32 Proposition: Stetige Abbildungenbilden Intervalle (evtl. uneigentlich) auf

Intervalle (evtl. uneigentlich) ab

# 81 Antwort

Polynome und rationale Funktionen sind stetig

Beweis: Zeige, dass die konstante Funktion f(x) = c∀x ∈R eine stetige Funktion definiert, genauso dass idR:R→ Rx 7→ x stetig ist. Dann lasst sich jedes Polynom undjede rationale Funktion erzeugen durch Addition, Multip-likation, Skalarmultiplikation und Division. Die Stetigkeitfolgt dann aus 4.23.

# 82 Antwort

Seien f, g : D → R und x0 ∈ D. Falls fur ein ε > 0 gilt:f(x) = g(x) ∀x ∈ D mit |x− x0| < δ (“f und g stimmenlokal uberein”) , so ist f genau dann stetig an x0, falls gstetig an x0ist (“Stetigkeit ist lokale Eigenschaft”).

# 83 Antwort

Sei f : D → R stetig in D ⊂ R . Sei g : E → R stetig,E ⊂ R, gelte f(D) := {f(x) : x ∈ D} ⊂ E . Dann ist

g · f : D → R stetig.

# 84 Antwort

Sei f : [a, b] → R stetig, a < b , und gelte f(a) < 0 undf(b) > 0Dann existiert x0 ∈ (a, b) , sodass f(x0) = 0

a bX Achis

# 85 Antwort

Sei f : [a, b]→ R stetig und f(a) 6= f(b).Dann existiert zu jedem c ∈ R echt zwischen f(x) und f(b)ein x ∈ [a, b], sodass f(x0) = 0

# 86 Antwort

Sei p : R→R Polynom vom Grad n, n = 2k − 1 fur eink ∈ N . Dann besitzt p mindestens eine Nullstelle

# 87 Antwort

Wir definieren die uneigentlichen Intervalle

[a,∞) := {x ∈ R : x ≥ a}

(a,∞) := {x ∈ R : x > a}

(−∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a}

(−∞, a) := {x ∈ R : x < a}

(−∞,+∞) := R

# 88 Antwort

Sei I ⊂ R Intervall (evtl. uneigentlich).Sei f : I → R stetig.Dann ist f(I) ein Intervall (evtl. uneigentlich)

Bemerkung: Klassisches Intervall (“eigentliches Intervall”)kann auf uneigentliches Intervall abgebildet werden.

f(x) :=1

x, I = (0, 1]

dann f stetig, f(I) = [1,∞)

4.33 Definition: Beschrankte Funktionen

4.34 Satz: Eine stetige Funktion aufeinem abgeschlossenem Intervall nimmt

ihr Maximum und ihr Minimum an

4.35 Definition: Gleichmaßig stetigeFunktionen

4.36 Satz: Stetige Funktionen auf einemabgeschlossenem Intervall sind

gleichmaßig stetig

4.38 Definition: (Streng) monotonwachsende, (streng) monoton fallende

Funktionen

4.39 Satz: Eine stetige, streng monotonwachsende Funktion auf einem reellenIntervall ist bijektiv auf ihr Bild. DieUmkehrfunktion ist stetig und streng

monoton wachsend

4.40 Satz/Definition:log := exp−1 : (0,∞)→ R ist stetig,streng monoton wachsend und erfullt∀x, y ∈ R die Funktionsgleichung

log (xy) = log x+ log y

4.41 Definition: Exponentialfunktionzur Basis a>0.

# 89 Antwort

Eine Funktion f : D → R heißt beschrankt (nach un-ten beschrankt, bzw nach oben beschrankt) , falls f(D)eine beschrankte (nach unten beschrankte, bzw nach obenbeschrankte) Menge ist.

# 90 Antwort

Sei f : [a, b] → R stetig. Dann nimmt f sein Maximumund Minimum an, d.h. es existieren

x+, x− ∈ [a, b]

sodassf(x+) = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}

f(x−) = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}

# 91 Antwort

Eine Funktion f : D → R ist gleichmaßig stetig inD, falls:

Zu jedem ε > 0∃δ > 0 , sodass fur alle Punkte im Defini-tionbereich x, y ∈ D mit |x− y| < δ folgt dass |f(x)− f(y)| <ε

# 92 Antwort

Sei f : [a, b]→ R stetig, dann ist f gleichmaßig stetig.

Ersetzen wir in 4.36 das abgeschlossene Intervall [a, b]durch ein Intervall von einem anderen Typ, so ist die Aus-sage in 4.36 im Allgemeinen falsch.

# 93 Antwort

f : D → R heißt monoton wachsend, falls gilt:

x < y, x, y ∈ D ⇒ f(x) ≤ f(y)

f : D → R heißt streng monoton wachsend, falls gilt:

x < y, x, y ∈ D ⇒ f(x) < f(y)

f : D → R heißt monoton fallend, falls gilt:

x > y, x, y ∈ D ⇒ f(x) ≥ f(y)

f : D → R heißt streng monoton fallend, falls gilt:

x > y, x, y ∈ D ⇒ f(x) > f(y)

# 94 Antwort

Sei f : I → R , I (evtl. uneingeschrankt) Intervall.Sei f stetig und streng monoton wachsend.Dann ist auch I ′ = f(I) Intervall (evtl. uneigentlich) undf : I → I ′ ist bijektiv.Weiter ist f−1 : I ′ → I stetig und außerdem streng mono-ton wachsend.

# 95 Antwort

exp : R→ (0,∞)

ist bijektiv, streng monoton wachsend und stetig.Die Umkehrfunktion

log = exp−1

log : (0,∞) → R ist stetig, streng monoton steigend, bi-jektiv und es gilt

log (xy) = log x+ log y ∀x, y > 0

Wir nenen log die Logarithmusfunktion .

# 96 Antwort

Sei a > 0Die Funktion expa(x) := exp (x log a) heißt Exponential-funktion zur Basis a.

4.42 Satz: Eigenschaft derExponentialfunktion zu einer

allgemeinen Basis

4.43 Definition: Allgemeine Potenz ax

fur a > 0, x ∈ R

4.44 Proposition: Rechenregeln furallgemeine Potenzen

5.1 Definition: Der Korper derkomplexen Zahlen C

5.2 Bemerkung 1: Identifizierung von Rals Teilmenge von C; imaginare Einheiti ∈ C; Realteil und Imaginarteil von

z ∈ C

5.2 Bemerkung 2: Identifizierung von Rals Teilmenge von C; imaginare Einheiti ∈ C; Realteil und Imaginarteil von

z ∈ C

5.3 Satz: i2 = −1

5.4 Satz: C ist Korper

# 97 Antwort

expa : R→ (0,∞) ist stetig und es gilt:

(i) expa (x+ y) = expa(x) · expa(y)

(ii) expa(q) = aq fur alle q ∈ Q

Beweis:

(i) folgt aus Funktionsgleichung von exp

(ii) expa(q) = exp(q · log a) = (exp (log a))q = aq

# 98 Antwort

∀a > 0, x ∈ R definiere:

ax := expa(x) = exp (xloga)

Damit insbesondere

ex = expe(x) = exp (x log e) = exp(x) ∀x ∈ R

# 99 Antwort

∀a, b > 0 , x, y ∈ R gilt:

(i) axay = ax+y

(ii) (ax)y = axy

(iii) axbx = (ab)x

(iv)(1a

)x= a−x

# 100 Antwort

Der Korper C der komplexen Zahlen ist definiert alsdie Menge C := {(x, y) : x, y ∈ R} = R× Rmit den Verknupfungen +, · : C× C→ Cdie fur z = (x, y) , w = (u, v) mit x, y, u, v ∈ Rdefiniert sind als

Add + C× C→ C (x,w) 7→ (x+ u, y + v)

Mult · C× C→ C (z, w) 7→ (xu− yv, xv + yu)

# 101 Antwort

1) Wir identifizieren x ∈ R mit (x, 0) ∈ C

In dieser Weise vestehen wir R als Teilmenge von CDann fur x, u ∈ R mit der Multiplikation in C.x · u = (x, 0) · (u, 0) = (xu, 0) = xu

2) Die imaginare Einheit ist i := (0, 1)Dann gilt fur z ∈ C , z = (x, y)iz = (0, 1) · (x, y) = (−y, x)Also Mutiplikation mit i entspricht einer Drehung in derx,y-Ebene um 90° (gegen den Uhrzeigersinn).

# 102 Antwort

3)Fur z = (x, y) ∈ C setzen wirRe z:=x und Im z:=y4)Mit diesen Schreibweisen gilt fur z = (x, y) ∈ C, dassz = x+ iy.Dann:x+ iy = (x, 0) + i · (y, 0) = (x, y) = z

# 103 Antwort

Es gilti2 = i · i = −1 = (−i)2

Beweis:i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1

# 104 Antwort

C mit (+, ·) wie in 5.1 ist KorperMit dem Distributivgesetz und i2 = −1 erhalten wir

(x+ iy) · (u+ iv) = xu+xiv+ iyu+

−yv︷︸︸︷iyiv = (xu− yv) +

i (xv + yu)Es gibt keine Relation “<” auf C , so dass Anordnungs-

und Korperaxiome erfullt sind.

5.6 Definition: Komplex Konjugierteund Betrag von z ∈ C

5.7 Lemma: Eigenschaft der komplexenKonjugation

5.8 Lemma: Eigenschaft des Betrags,insbesondere Dreiecksungleichung

5.10 Definition: Konvergenz einer Folgekomplexer Zahlen

5.11 Satz: Charakterisierung derKonvergenz in C. Aquivalenz mitKonvergenz der beiden Folge der

Realteile und Imaginarteile

5.12 Korollar: Konvergenz einer Folgeund der Folge der komplex Konjugierten

Folgeglieder

Bernoullische Ungleichung (Beweis warUbung)

# 105 Antwort

Sei z ∈ C mit z = (x, y) = x+ iy

(1) z := x− iy heißt komplex konjugiert zu z.

(2) |z| :=√x2 + y2

|·| : C→ R+0 heißt Betrag oder Norm von z.

# 106 Antwort

Seien z, w ∈ C

(1) (z) = z

(2) 2 · Re z = z + z2 · Im z = −i (z − z)

(3) z = z ⇔ z ist reell, also Im z = 0Beweis: Nachrechnen

# 107 Antwort

Fur z, w ∈ C gilt:

(1) |z|2 = zz, |z| = |z|

(2) |z| = 0⇔ z = 0

(3) |zw| = |z| |w|

(4) |Re z| ≤ |z| und |Im z| ≤ |z| und (z + w) =z + w

(5) |z + w| ≤ |z|+ |w| (DGL) und (zw) = zw

(6) |z| ≤ |Im z|+ |Re z|

# 108 Antwort

Eine Folge (Cn)n∈N komplexer Zahlen heißt konvergentgegen c ∈ C , falls :

Zu jedem ε > 0∃N ∈ N : |cn − c| < ε∀n ≥ N

# 109 Antwort

Sei (cn)n∈N Folge in C ,

cn = xn + iyn, xn, yn ∈ R

Dann konvergiert (cn)n∈N in C genau dann, wenn beideFolgen (xn)n∈N , (yn)n∈N in R konvergieren.Falls (cn)n∈N konvergiert, so ist

limx→∞

cn = limn→∞

xn + i limn→∞

# 110 Antwort

Sei (cn)n∈N Folge in C . Dann gilt(cn)n∈N konvergent ⇔ (cn)n∈N konvergent.

Im Falle der Konvergenz:

limn→∞

cn = limn→∞

# 111 Antwort

Sei x ≥ (−1), x ∈ R und sei n ≥ 0, n ∈ N,dann gilt die Bernoullische Ungleichung

(1 + x)n ≥ 1 + nx

mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschatzenlasst.

#Kartei Analysis I komplett

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