Kapitel2-1

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Mikroökonomik

Dr. Andreas Szczutkowski

Fakultät für Wirtschaftswissenschaften

SS 2014

Mikroökonomik

Theorie des Konsumentenverhaltens

2 Theorie des KonsumentenverhaltensVersion: 24. April 2014

Güterbündel: x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn+

n = Anzahl der Güter; xi = Konsummenge von Gut i

2.1 Restriktionen bei der Entscheidungsfindung

Preissystem: p = (p1, p2, . . . , pn) ∈ Rn+

Einkommen: m ≥ 0

Alle Güter beliebig teilbar.

Budgetbeschränkung:

pixi = p1x1 + p2x2 + . . . + pnxn ≤ m. (2.1)

Budgetmenge: B(p, m) =

∣∣∣∣n∑

pixi ≤ m

Budgetgerade: Alle Güterbündel die (2.1) mit Gleichheit erfüllen.

Beispiel: n = 2

Budgetgerade:{(x1, x2) ∈ R2

+ | p1x1 + p2x2 = m}. (2.2)

p1x1 + p2x2 ≥ m

p1x1 + p2x2 ≤ m

Budgetmenge

Budgetgerade

Mikroökonomik

Restriktionen bei der Entscheidungsfindung

Steigung der Budgetgeraden: dx2

∣∣∣BG

= −mp2mp1

= − p1

p2: Rate, mit der der Konsument auf dem Gütermarkt Gut 2 gegen Gut 1substituieren kann.

Die Lage der Budgetgeraden hängt von den Preisen und vomEinkommen ab.

Mikroökonomik

Auswirkungen von Einkommensänderungen

Bemerkung

Einkommensveränderungen bewirken eine parallele Verschiebungder Budgetgeraden.

Beispiel: Einkommen steigt um 50%: m = 1, 5m

=⇒ horizontaler Achsenabschnitt, mp1

, und vertikaler Achsenabschnitt, mp2

,vergrößern sich um 50%.

Steigung bleibt unverändert.

Mikroökonomik

Auswirkungen von Preisänderungen

Budgetgleichung: x2 = mp2

− p1

p2x1 (2.3)

Preisanstieg von p1 auf p1 (p1 > p1) =⇒ steilerer Verlaufkonstanter vertikaler Achsen-abschnitt

Die Budgetgerade dreht sich um ihren vertikalen Achsenabschnitt.

Mikroökonomik

p1 > p1

Mikroökonomik

− p1

p2x1 =⇒ x1 = m

p1− p2

Preisanstieg von p2 auf p2 (p2 > p2) =⇒ flacherer Verlaufkonstanter horizontalerAchsenabschnitt

Die Budgetgerade dreht sich um ihren horizontalenAchsenabschnitt.

Mikroökonomik

p2 > p2

Mikroökonomik

− p1

Verdopplung beider Güterpreise (p1 = 2p1, p2 = 2p2)

=⇒ parallele Verschiebung nach untenäquivalent zu einer Halbierung des Einkommens

Mikroökonomik

= m2p1

= m2p2

Mikroökonomik

Auswirkungen von Markteingriffen

Wertsteuer auf Gut 1: τ > 0

−→ p1 = (1 + τ)p1

Eine Wertsteuer hat auf die Budgetmenge dieselbe Wirkung wieeine Preiserhöhung.

Mikroökonomik

m(1+τ)p1

Mikroökonomik

Einkommensteuer: t > 0

−→ m = (1 − t)m

Eine Einkommensteuer hat auf die Budgetmenge dieselbe Wirkungwie eine Einkommensreduktion.

Mikroökonomik

(1−t)mp2

(1−t)mp1

Mikroökonomik

Rationierung

Obere Nachfrageschranke für Gut 1: x1 ≤ x1

Rationierung führt zu einer Verkleinerung der Budgetmenge.

Mikroökonomik

x1 < mp1

Budgetmenge

Mikroökonomik

Staatlicher Heizkostenzuschuss

Gut 1: Verbrauch von Heizenergie.

Zuschuss von maximal Z Geldeinheiten zum Kauf von Gut 1.

Ausweitung der Budgetmenge

Mikroökonomik

Mengenrabatt

Rabatt in Höhe von γ auf Käufe von mehr als x1 Einheiten von Gut1.

Ausweitung der Budgetmenge

Budgetmenge nicht mehr konvex

Mikroökonomik

Steigung: −p1

Mikroökonomik

Steigung: −p1−γp2

Steigung: −p1

Mikroökonomik

Budgetmenge bei gegebener Anfangsausstattung von Gütern

Anfangsausstattung: ω = (ω1, ω2, . . . , ωn) ∈ Rn+.

ωi = Ausstattungsmenge von Gut i = 1, . . . , n

Budgetbeschränkung:n∑

pixi ≤n∑

Budgetmenge: B(p, ω) =

∣∣∣∣n∑

pixi ≤n∑

Beispiel: n = 2

Budgetbeschränkung: p1x1 + p2x2 ≤ p1ω1 + p2ω2 =: Y

p1x1 + p2x2 > Y

p1x1 + p2x2 ≤ Y

Mikroökonomik

Steigung der Budgetgeraden:

= −p1

Der Erstausstattungspunkt liegt immer auf der Budgetgeraden (zubeliebigen Preisen), da die Erstausstattung stets konsumiert werdenkann.

Bei gegebener Erstausstattung bewirkt eine Preisänderung eineDrehung der Budgetgeraden um den Erstaustattungspunkt.

Erhöhung von p1 auf p1 (p1 > p1) =⇒ steilerer Verlauf;Drehung um den Erstausstattungspunkt.

Mikroökonomik

ω1 Yp1

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

2.2 Konsumpräferenzen

Vergleich von Konsumalternativen

Beispiel: Welt mit zwei Gütern

Gut 1 = BrotGut 2 = Whisky

(x1, x2) = (1, 1); (y1, y2) = (2, 3);Vorzug von(y1, y2) gegenüber (x1, x2) sinnvolle Annahme.

Aber: Vergleich von (x1, x2) = (1, 1) und (y1, y2) = (2, 1

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Notation

Annahme

Jeder Konsument ist in der Lage, Güterbündel nach ihrerErwünschtheit zu ordnen.

Notation:

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)

x ≻ y : x wird gegenüber y vorgezogen.

x � y : x wird y schwach vorgezogen, d.h. x ist nicht schlechter als y .

x ∼ y : Konsument ist indifferent zwischen x und y .

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Die drei Relationen ≻, � ∼ sind nicht unabhängig voneinander!

x � y und y � x =⇒ x ∼ y .

x � y ; es kann gelten: x ∼ y oder x ≻ y aber nie y ≻ x!

Aus der Relation � lassen sich die Relationen ∼ und ≻ ableiten,wobei die letzteren beiden lediglich aus schreibtechnischen Gründenverwendet werden.

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

3 grundlegende AnnahmenAxiome

Die schwache Präferenzrelation � erfüllt drei grundlegendeAnnahmen (Axiome):

Axiom 1: � ist vollständig, d.h. für zwei beliebige Güterbündelx und y gilt x � y oder y � x .

Axiom 2: � ist reflexiv, d.h. für jedes Güterbündel x gilt stets x � x .

Axiom 3: � ist transitiv, d.h. für drei Güterbündel x , y , z mitx � y und y � z gilt stets x � z .

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Das Transitivitätsaxiom ist empirisch nicht immer nachweisbar.

Das Transitivitätsaxiom ist aber aus entscheidungstheoretischerSicht bedeutsam:

Güterraum: {x , y , z}

x ≻ y ; y ≻ z ; z ≻ x

−→ 6 ∃ optimales Güterbündel.

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Darstellung von Präferenzrelationen durch Indifferenzkurven

x sei ein beliebiges Güterbündel

Indifferenzkurve zu x : Menge aller Güterbündel, die der Konsument alsgenauso gut einschätzt wie x .

Notation: I (x) = {y | y ∼ x}.

Indifferenzkurve

Whisky

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Indifferenzkurven haben i. A. eine negative Steigung (es gibtAusnahmen!).

Alle Güterbündel, die auf oder oberhalb der Indifferenzkurve durchA liegen, bilden die schwach bevorzugte Menge von A.

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Whisky

schwach bevorzugte Menge bzgl. A

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Whisky

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Whisky

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Da B in der Bessermenge von A liegt gilt: B ≻ A

Da aber C auf den Indifferenzkurven durch A und B liegt, gilt:

A ∼ C sowie B ∼ CTransitivität

=⇒ A ∼ B Widerspruch!

=⇒ Indifferenzkurven schneiden sich nicht!

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Ein Indifferenzkurvensystem liefert eine ordinale Ordnung auf derMenge der wählbaren Konsumbündel.

Ordinale Ordnung: Legt lediglich die Rangfolge der Güterbündelfest.

Kardinale Ordnung: Legt neben der Rangfolge auch die Abständefest.

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

︸︷︷

︸−∆x2 = 1

︸︷︷︸∆x1 = 1

︸︷︷

−∆x2

︸︷︷︸∆x1

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

−dx2

∣∣∣I

= Grenzrate der Substitution(GRS(x1, x2)

{(lokales) Maß für „indifferenten“ Tausch(marginale) Zahlungsbereitschaft

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Konvexität von Indifferenzkurven

C ≻ A, C ≻ B

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Eigenschaften von Präferenzrelationen

Notation: x = (x1, , . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)x ≥ y ⇐⇒ xi ≥ yi , i = 1, . . . , n.x > y ⇐⇒ [x ≥ y und x 6= y ].

Monotone Präferenzen: x ≥ y =⇒ x � y .

Strikt monotone Präferenzen: x > y =⇒ x ≻ y .

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Konvexe Präferenzen:x � y =⇒ λx + (1 − λ)y � y für x 6= y und λ ∈ (0, 1).

Strikt konvexe Präferenzen:x � y =⇒ λx + (1 − λ)y ≻ y für x 6= y und λ ∈ (0, 1).

Normale Präferenzen: Die Präferenzrelation heißt normal, wenn siestrikt monoton und strikt konvex ist.

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Menge der schwachpräferierten Güterbündel

x2 normale Präferenzen

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Sonderfälle

Perfekte Substitute

Angenommen, es gibt eine Konstante c > 0, so dass derKonsument zwischen zwei Güterbündeln A = (xA

2) und

B = (xB1

) genau dann indifferent ist, wenn

xB2 − xA

2 = c · (xA1 − xB

gilt. D.h.

(xB1 , xB

2 ) ∈ I (xA1 , xA

2 ) =⇒ xB2 −xA

2 = c ·(xA1 −xB

1 ), c > 0, ∀A, B.

In diesem Fall sind die Indifferenzkurven parallele Geraden mitSteigung −c.

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Beispiel für perfekte Substitute

Sei angenommen, einem Konsumenten ist es egal, ob er BitburgerBier (Gut 1) oder Herforder Bier (Gut 2) trinkt. In diesem Fall sinddie beiden Biersorten perfekte Substitute mit c = 1:

(xB1 , xB

2 ) ∈ I (xA1 , xA

2 ) ⇐⇒ xB1 +xB

2 = xA1 +xA

2 ⇐⇒ xB2 −xA

2 = xA1 −xB

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

1 2 3 Bitburger

Herforder

perfekte Substitute mit c = 1

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Perfekte Komplemente

Angenommen, es gibt eine Konstante c > 0, so dass derKonsument zwischen zwei Güterbündeln A=(xA

2) und

B=(xB1

) genau dann indifferent ist, wenn

min{cxA

1 , xA2

}= min

1 , xB2

gilt. D.h.

(xB1 , xB

2 ) ∈ I (xA1 , xA

2 ) =⇒ min{cxA

1 , xA2

}= min

1 , xB2

}, ∀ A, B

In diesem Falle verlaufen die Indifferenzkurven ‘L-förmig’, wobei dieKnickpunkte der Indifferenzkurven auf der Geraden x2 = cx1

liegen.

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

x2 = cx1

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Begründung für den Kurvenverlauf

Sei (xA1, xA

2) gegeben mit xA

2= cxA

=⇒ min{cxA

2= cxA

) ∼ (xA1, xA

⇐⇒{cxB

2und xB

2≥ xA

und cxB1

≥ xA2

⇐⇒{xB1

und xB2

≥ xA2

und xB1

≥ xA1

1 2 rechte Schuhe

perfekte Komplemente

linke Schuhe

Negative Wertschätzung für Gut 2

x2 (Müll)

x1 (Whisky)

p > GRS(A)

p′< GRS(A)

p′′ = GRS(A)

p′′

Mikroökonomik

Konsumpräferenzen

Erläuterung zu den Abbildungen

p > GRS(A) =⇒ A → B (Kauf von Gütern des Typs x2;Verkauf von Gut x1)

p′ < GRS(A) =⇒ A → C (Verkauf von Gütern des Typs x2;Kauf von Gut 1)

p′′ = GRS(A) =⇒ kein Güteraustausch

Mikroökonomik

Optimale Entscheidungsmuster

2.3 Optimale Entscheidungsmuster

Definition (optimale Entscheidung)

Ein Güterbündel x∗ in der Budgetmenge des Konsumenten ist eineLösung des Konsumentenproblems, wenn es allen anderenGüterbündeln in der Budgetmenge schwach vorgezogen wird.Formal:

1 x∗ ∈ B(p, m)

2 y ∈ B(p, m) =⇒ x∗ � y .

GRS(A) > p1

Es gilt: x ∈ I3 =⇒ x 6∈ B(p, m).

I3I2I1

Optimale Konsumentscheidung: GRS(B) = p1

p2. (2.4)

∀ x ∈ I1 existiert y ∈ B(p, m) mit y ≻ x .

Es gilt: x ∈ I3 =⇒ x 6∈ B(p, m).

I1 I2 I3

Optimale Konsumentscheidung in A: GRS(A) > p1

Mikroökonomik

Nutzendarstellung von Präferenzrelationen

Nutzenfunktion

Eine Nutzenfunktion ist eine auf dem Güterraum X (in dieserVorlesung X := R

n) definierte reellwertige Abbildung u : Rn+ → R.

Definition

Eine Präferenzrelation � wird durch eine Nutzenfunktion u

dargestellt (oder repräsentiert), falls für alle Güterbündel x , y gilt:

x � y ⇐⇒ u(x) ≥ u(y).

Mikroökonomik

Nutzendarstellung und Indifferenzkurven

Indifferenzkurve zu x :

I (x) = {y | u(y) = u(x)}.

Die Lösungsmenge der Gleichung

u(x) = k, mit k Element des Bildbereichs der Funktion u

stellt eine Indifferenzkurve dar.

Mikroökonomik

Beispiel

u(A) = 5, u(B) = 7, u(C ) = 12

=⇒ C ≻ B ≻ A.

Die Indifferenzkurve durch C verläuft am weitesten außen.

Die Indifferenzkurve durch A verläuft am weitesten innen.

Mikroökonomik

Beispiel

u(A) = 5, u(B) = 12, u(C ) = 7

=⇒ B ≻ C ≻ A.

Die Indifferenzkurve durch B verläuft am weitesten außen.

Mikroökonomik

Eine Präferenzrelation lässt sich durch unterschiedlicheNutzenfunktionen darstellen.

Beispiel

X = {A, B, C}

u(A) = 5, u(B) = 7, u(C ) = 12

=⇒ C ≻ B ≻ A.

u(A) = 25, u(B) = 26, u(C ) = 1909

=⇒ C ≻ B ≻ A.

u und u sind äquivalent, d.h. sie erzeugen dieselbePräferenzordnung.

Mikroökonomik

u(x) = f(u(x)

), f ′ > 0, x = (x1, . . . , xn) = Güterbündel

=⇒ u und u sind äquivalent.

Begündung: u(x) ≤ u(y) ⇐⇒ f(u(x)

)≤ f

⇐⇒ u(x) ≤ u(y).

Mikroökonomik

Konstruktion einer repräsentierenden Nutzenfunktion

X = R2+

Gegeben sei das Indifferenzkurvensystem einer Präferenzordnung auf X .

u : X → R+, x 7→ u(x) = Abstand zwischen I (x) und dem Ursprung,gemessen entlang der 45◦-Linie.

Mikroökonomik

Beispiele für Nutzenfunktionen

a und c seien zwei positive Konstanten

(i) u(x1, x2) = xa1· xc

2(Cobb-Douglas)

(ii) u(x1, x2) = v(x1) + x2 (quasi-linear)

(iii) u(x1, x2) = c · x1 + x2 (linear; perfekte Substitute)

(iv) u(x1, x2) = min{c · x1, x2} (limitational; perfekte Komplemente)

(v) u(x1, x2) = − (a − x1)2 − (c − x2)

2 (quadratisch)

Mikroökonomik

Zur Nutzenfunktion (ii): u(x1, x2) = v(x1) + x2

Diese Nutzenfunktion (und die dadurch dargestelltenPräferenzrelation) heißt quasi-linear. Wegen

u(x1, x2) = k ⇐⇒ v(x1) + x2 = k ⇐⇒ x2 = k − v(x1)

ergeben sich alle Indifferenzkurven einer quasi-linearenPräferenzordnung aus der vertikalen Verschiebung einer einzigenIndifferenzkurve.

Mikroökonomik

Zur Nutzenfunktion (iii): u(x1, x2) = c · x1 + x2

Bei dieser Nutzenfunktion sind die beiden Güter perfekte Substitute:

(x1, x2) ∼ (y1, y2) ⇐⇒ c·x1+x2 = c·y1+y2 ⇐⇒ x2−y2 = c·(y1−x1)

Mit Hilfe der letzten Gleichung hatten wir zu einem früherenZeitpunkt perfekte Substitute definiert.

Mikroökonomik

Zur Nutzenfunktion (iv): u(x1, x2) = min{c · x1, x2}

Bei dieser Nutzenfunktion sind die beiden Güter perfekteKonplemente:

(x1, x2) ∼ (y1, y2) ⇐⇒ min{c · x1, x2} = min{c · y1, y2}

Mit Hilfe der letzten Gleichung hatten wir zu einem früherenZeitpunkt perfekte Komplemente definiert.

Mikroökonomik

Nutzendarstellung normaler Präferenzen(strikt monoton und strikt konvex)

Definition

Eine (Nutzen-)Funktion u heißt strikt monoton, wenn sie dieBedingung

x > y =⇒ u(x) > u(y)

erfüllt.

Strikt monotone Nutzenfunktionen stellen strikt monotonePräferenzrelationen dar.

Mikroökonomik

Definition

Eine Nutzenfunktion u heißt strikt quasi-konkav, wenn für allex 6= y und λ ∈ (0, 1) gilt:

u(λx + (1 − λ)y) > min{u(x), u(y)}.

Strikt quasi-konkave Nutzenfunktionen stellen strikt konvexePräferenzrelationen dar.

Mikroökonomik

Warum?

Beweis: Die Präferenzrelation � werde durch eine striktquasi-konkave Nutzenfunktion u dargestellt. Dann folgt fürx 6= y , x � y , und für λ ∈ (0, 1):

u(λx + (1 − λ)y) > min{u(x), u(y)} = u(y),

also λx + (1 − λ)y ≻ y . �

Bemerkung: Die Umkehrung gilt auch, d.h. jede Nutzenfunktion,die eine strikt konvexe Präferenzordnung darstellt, ist striktquasi-konkav.

Mikroökonomik

Ergebnis

Normale Präferenzrelationen (d.h. strikt monoton und striktkonvex) werden durch strikt monotone und strikt quasi-konkaveNutzenfunktionen repräsentiert.

Mikroökonomik

Der Grenznutzen

u : x 7→ u(x); x = (x1, x2, . . . , xn) (Nutzenfunktion)

Definition

Der Grenznutzen von Gut i , i = 1, . . . , n, (an der Stelle x) istdefiniert durch

∂u(x)

Der Grenznutzen steht in keiner direkten Beziehung zurPräferenzordnung, die der Nutzenfunktion zugrunde liegt.

Mikroökonomik

u(x) = f (u(x)), f ′ > 0.

=⇒∂u(x)

∂xi︸︷︷︸Grenznutzenvon xi unterder NF u

= f ′(u(x)) ·∂u(x)

∂xi︸︷︷︸Grenznutzenvon xi unterder NF u

, i = 1, . . . , n (2.5)

Die Nutzenfunktionen u und u weisen (für f ′ 6= 1) unterschiedlicheGrenznutzen auf, obwohl sie jeweils dieselbe Präferenzordnungbeschreiben.

Mikroökonomik

Bemerkung

Die Grenznutzenverhältnis zweier Güter ist eine Kenngröße für diezugrunde liegende Präferenzordnung.

Aus (2.5) folgt nämlich

∂u(x)∂xi

∂u(x)∂xj

=f ′(u(x))∂u(x)

f ′(u(x))∂u(x)∂xj

∂u(x)xi

∂u(x)∂xj

. (2.6)

Mikroökonomik

u(x1, x2) = β

GRS(x1, x2) = tan α

Formal stellt eine Indifferenzkurve eine Funktion dar, die jedemx1 ein x2 zuordnet, formal: x2(x1);

Die Steigung dieser Funktion ist durch die GRS gegeben:GRS

(x1, x2(x1)

)= − ∂x2(x1)

∂x1.

Entlang einer Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant, d.h.u(x1, x2(x1)

)= β ∀x1.

Damit muss gelten:∂u

(x1,x2(x1)

∂x1= ∂u(x1,x2)

∂x1+ ∂u(x1,x2)

∂x2(x1)∂x1

Umstellen liefert:

GRS(x1, x2) = − ∂x2(x1)∂x1

=∂u(x1,x2)

∂x1∂u(x1,x2)

In jedem Punkt des Güterraumes entspricht die betragsmäßigeSteigung der Indifferenzkurve dem Grenznutzenverhältnis der Güter.

Mikroökonomik

Darstellung der optimalen Entscheidung

Im Optimum gilt:

GRS(x1, x2) =p1

also folgt:

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

bzw.∂u(x1,x2)

∂u(x1,x2)∂x2

Der Grenznutzen einer zusätzlichen verausgabten Geldeinheit istunabhängig von seiner konsumtiven Verwendung (d.h. über alleGüter gleich).

Mikroökonomik

Das Konsumentenproblem

Gegeben sei ein Budget m, ein Preissystem p ≫ 0 und einePräferenzordnung mit Nutzendarstellung u.

Das Konsumentenproblem lautet:

maxx∈R

u(x) unter der NBn∑

pixi ≤ m.

x∗ bezeichne eine Lösung des Problems.

Mikroökonomik

Jede Lösung x∗ dieses Problems heißt ‘optimaleKonsumentscheidung’.

x∗ heißt ‘innere Lösung’, wenn x∗i > 0 ∀ i gilt.

x∗ heißt ‘Randlösung’, wenn x∗i = 0 für mindestens ein i gilt.

Mikroökonomik

Satz 2.1

Sei u stetig. Dann existiert eine Lösung für dasKonsumentenproblem.

Beweis: Die Budgetmenge

B(p, m) =

∣∣∣∣∣

pixi ≤ m

ist kompakt (d.h. abgeschlossen und beschränkt). Jede stetigeFunktion nimmt auf einer kompakten Menge ein Maximum an.(Extremwertsatz) �

Mikroökonomik

Satz 2.2

Sei u strikt monoton (wachsend) und x∗ eine Lösung desKonsumentenproblems. Dann gilt

pix∗i = m.

Beweis: Trivial.

Satz 2.3

Sei u stetig, strikt monoton und strikt quasi-konkav (d.h. u

repräsentiert eine ‘normale’ Präferenzordnung). Dann hat dasKonsumentenproblem eine eindeutige Lösung.

Beweis: Angenommen es gäbe zwei Lösungen x∗ und x , x∗ 6= x ,d.h. u(x∗) = u(x).=⇒ x := 1

2(x∗ + x) ∈ B(p, m),da

pxT = 1

2(px∗T

+ pxT ) = 1

2(m + m) = m (nach Satz 2.2).

Außerdem folgt

u(x) = u

(12x∗ +

)> min{u(x∗), u(x)} = u(x∗)

im Widerspruch zur Optimalität von x∗. �

Mikroökonomik

Bestimmung der Marshall’schen NachfragenBeispiel: 2-Güter-Fall

u : X = R2+ → R strikt monoton, strikt quasi-konkav,

differenzierbar.

Satz 2.2 =⇒ Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt.

maxx1,x2

u(x1, x2) unter der NB p1x1 + p2x2 = m (2.9)

L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ(m − p1x1 − p2x2) (2.10)

Mikroökonomik

Notwendige und hinreichende Bedingungen 1. Ordnung für eine

innere Lösung:

(x1, x2, λ) =∂u

(x1, x2) − λp1 = 0 (2.11)

(x1, x2, λ) =∂u

(x1, x2) − λp2 = 0 (2.12)

∂λ(x1, x2, λ) = m − p1x1 − p2x2 = 0 (2.13)

(2.11),(2.12) =⇒∂u∂x1

(x1,x2)

∂u∂x2

(x1,x2)= p1

p2(2.14)

Mikroökonomik

Satz 2.3 =⇒ Lösung des Gleichungssystems (2.11)-(2.13) isteindeutig bestimmt.

x∗1 = xM

1 (p1, p2, m) (2.15)

x∗2 = xM

2 (p1, p2, m) (2.16)

xMi (·, ·, ·) ≃ Marshall’sche Nachfragefunktion [Alfred Marshall

(1842-1924)].

Die Marshall’schen Nachfragefunktionen sind stetig.

Mikroökonomik

Die indirekte Nutzenfunktion

Einsetzen der Marshall’schen Nachfragen in die Nutzenfunktionführt zur ‘indirekten Nutzenfunktion’.

v(p1, p2, m) := u(xM1 (p1, p2, m), xM

2 (p1, p2, m))

= max(x1,x2)∈R

2+, p1x1+p2x2 ≤ m

u(x1, x2) (2.17)

v(·) nennt man indirekte Nutzenfunktion; jedem Vektor vonPreisen und Einkommen wird das höchste erreichbareNutzenniveau zugeordnet.

Mikroökonomik

L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ(m − p1x1 − p2x2) (2.10)

Envelope-Theorem (‘Umhüllungssatz’)

∂v(p1, p2, m)

∂L(x∗1, x∗

2, λ)

∣∣∣∣λ=λ∗

= λ∗ (2.18)

Envelope-Theorem: siehe z.B. Sydsaeter/Hammond: Mathematikfür Wirtschaftswissenschaftler 3. Auflage S. 600

Fall: Indifferenzkurven nicht streng konvexLösung nicht eindeutig bestimmt

Beispiel: perfekte Substitute

Budgetgerade

Mikroökonomik

Eigenschaften der Marshall’schen Nachfragefunktion

(p1, . . . , pn, m)...

xMn (p1, . . . , , pn, m)

Marshall’sche Nachfragefunktion

Eigenschaften?

Mikroökonomik

Satz 2.4

Die Marshall’schen Nachfragen sind homogen vom Grade Null inden Preisen und im Einkommen, d.h.

xM(p, m) = xM(λ · p, λ · m); λ > 0.

Beweis: Offensichtlich, da

B(λ·p, λ·m) = {x | λ ·pxT ≤ λ·m} = {x | pxT ≤ m} = B(p, m)

gilt. �

Beispiel: perfekte Komplemente mit c = 1

x2 x1 = x2

Beispiel: perfekte Komplemente c = 1

x2 x1 = x2

Beispiel: perfekte Komplemente c = 1

x2 x1 = x2

Mikroökonomik

Perfekte Komplemente mit c = 1

Budgetrestriktion: p1x1 + p2x2 = mx1=x2⇐⇒ (p1 + p2)x1 = m

⇐⇒ x2 = x1 =m

p1 + p2

=⇒ xM1

(p1, p2, m) = mp1+p2

(p1, p2, m)

Mikroökonomik

Cobb-Douglas Präferenzen mit a = c = 1 =⇒ u(x1, x2) = x1x2

Der optimale Konsumpunkt (x∗1, x∗

2) erfüllt: p1x

+ p2x∗2

GRS(x∗1 , x∗

2 )(2.7)=

∂u(x∗1 ,x∗2 )∂x1

∂u(x∗1 ,x∗2 )∂x2

⇐⇒x∗2

=⇒ 2p1x∗1

= m =⇒

{x∗1

= m2p1

= m2p2

Mikroökonomik

Nachfragefunktion:

(p1, p2, m) = m2p1

(p1, p2, m) = m2p2

Indirekte Nutzenfunktion: v(p1, p2, m) = m2

Mikroökonomik

Eigenschaften der Marshall’schen Nachfragefunktionen: 2-Güter Fall

(p1, p2m)xM2

(p1, p2, m)

Nachfrageeffekte von Preisänderungen?

Betrachte das vorhergehende Beispiel mit derCobb-Douglas-Nutzenfunktion u(x1, x2) = x1x2:

Ausgangssituation:m = 10, p1 = 2, p2 = 2 =⇒ (x1, x2) = ( 5

Erhöhung von p1 auf p1 = 4 =⇒ (x1, x2) = (5

Verringerung von p1 auf p1 = 1 =⇒ (x1, x2) = (5, 5

Mikroökonomik

Nachfragekurve

x152,51,25 10

Mikroökonomik

Beobachtungen

Entlang der Nachfragekurve (bei sinkendem p1) steigt dasNutzenniveau an.

Die GRS nimmt entlang der Nachfragekurve ab.

Sonderfall: Giffen-Güter

Gut 1 = Giffen-Gut

Sonderfall: Giffen-Güter

Gut 1 = Giffen-Gut

p1 ↓

Einkommens–Konsumkurvenormale Güter

Einkommens-Konsumkurve

ˆmp2 ˆm > m > m

Mikroökonomik

Nachfrageeffekte von Einkommensänderungen

Einkommens-Konsumkurve: besteht aus allen optimalen Konsumplänenzu alternativen Einkommensniveaus.

Normales Gut: Nachfrage hängt positiv vom Einkommen ab.

Inferiores Gut: Nachfrage hängt negativ von Einkommen ab.

Einkommens–Konsumkurveinferiore Güter

Einkommens-Konsumkurve

ˆmp2 ˆm > m > m

bb Bbb

Engel-Kurve eines normalenGutes (konstante Preise!)

m < m =⇒ x1 ist normal

m ≥ m =⇒ x1 ist inferior

Mikroökonomik

Beispiel: Homothetische Präferenzen

Eine Nutzenfunktion u : Rn+ → R heißt ‘homothetisch’, wenn sie

als monotone Transformation einer linear homogenen Funktiondargestellt werden kann.

h : Rn+ → R linear homogen, d.h.

h(tx) = th(x), ∀ t > 0, x ∈ Rn+.

g : R → R, g ′ > 0.

=⇒ u : Rn+ → R, u(x) = g(h(x)) homothetisch.

Mikroökonomik

Satz 2.5

Bei homothetischen Nutzenfunktionen, u(x) = g(h(x)), sind dieSteigungen der Niveauflächen entlang eines jeden Fahrstrahls durchden Ursprung konstant.

D.h.: u homothetisch =⇒ GRSi ,j(tx) unabhängig von t > 0.

Mikroökonomik

Beweis von Satz 2.5 (Skizze):

GRSi,j(tx) =

∂u(tx)∂xi

∂u(tx)∂xj

, t > 0. (2.19)

h(tx) = th(x), ∀x =⇒∂h(tx)

= t∂h(x)

, k = i , j . (2.20)

u(tx) = g(h(tx)

∂u(tx)

= g ′(h(tx)

∂h(x)

, k = i , j , (2.21)

∂u(tx)∂xi

∂u(tx)∂xj

∂h(x)∂xi

∂h(x)∂xj

(2.22)

Bei homothetischen Präferenzen alle Güter normal.

Einkommens-Konsumkurve bei

homothetischen Präferenzen

Mikroökonomik

Engel-Kurve bei

homothetischen Präferenzen

Mikroökonomik

Zerlegung des Gesamteffektes einer Preisänderung in

Teileffekte

• Einkommenseffekt: resultiert aus der Kaufkraftänderung desEinkommens.

• Substitutionseffekt: resultiert aus der Veränderung derTauschverhältnisse.

Substitutionseffekt: Nachfrageänderung, wenn der Konsument für denKaufkraftverlust infolge der Preiserhöhungentschädigt wird.

Mikroökonomik

x1 inferiores Gut

Mikroökonomik

mp1︸︷︷︸

−∆xS1

p1 > p1

x1 inferiores Gut

Mikroökonomik

mp1︸︷︷︸

−∆xS1

p1 > p1

x1 inferiores Gut

︸︷︷︸−∆xE

Mikroökonomik

A → B : Substitutionseffekt ∆xS1

∆xS1

= Nachfrageänderung für Gut 1, wenn p1 auf p1 undm auf m steigen.

C → B : Einkommenseffekt ∆xE1

∆xE1

= Nachfrageänderung für Gut 1 zum Preissystem (p1, p2),wenn das Einkommen von m auf m ansteigt.

Gesamteffekt: ∆x1 = ∆xS1− ∆xE

1(2.23)

Mikroökonomik

Berechnung der Einkommenskompensation ∆m

Sei A = (x1, x2)

m = p1x1 + p2x2

⟩m − m︸︷︷︸

= x1 (p1 − p1)︸︷︷︸∆p1

=⇒ ∆m = x1∆p1 bzw. ∆p1 = ∆mx1

(2.24)

Mikroökonomik

∆xS1

= x1(p1, p2, m) − x1(p1, p2, m)

∆xE1

= x1(p1, p2, m) − x1(p1, p2, m)

(2.23)= ∆xS

1 − ∆xE1

=[x1(p1, p2, m) − x1(p1, p2, m)

−[x1(p1, p2, m) − x1(p1, p2, m)

=⇒ ∆x1

∆p1=

∆xS1

∆p1−

∆xE1

(2.24)=

∆xS1

∆p1−

∆xE1

∆mx1, (2.25)

Mikroökonomik

x1 inferiores Gut

Mikroökonomik

︸︷︷︸−∆xS

p1 > p1

x1 Giffen-Gut

Mikroökonomik

︸︷︷︸−∆xS

1︸︷︷︸−∆xE

p1 > p1

x1 Giffen-Gut

Mikroökonomik

Der Slutsky-Substitutionseffekt ist negativ, d.h. ∆xS1

Der Einkommenseffekt ∆xE1

kann positiv (normales Gut) odernegativ (inferiores Gut) sein.

Bei einem inferioren Gut sind Einkommenseffekt undSubstitutionseffekt gegenläufig.

Ein Giffen-Gut ist stets inferior.

Mikroökonomik

Hicks-Zerlegung des Gesamteffektes einer Preisänderung

John Hicks, britischer Ökonom (1904-1989)

Hicks-Substitutionseffekt

Hicks-Einkommenseffekt

Hicks-Nachfragefunktion: Minimierung der Konsumausgaben zugegebenem Nutzenniveau.

Mikroökonomik

I0 := {(x1, x2)|u(x1, x2) = u0}

Mikroökonomik

I0 := {(x1, x2)|u(x1, x2) = u0}

Mikroökonomik

I0 := {(x1, x2)|u(x1, x2) = u0}

Mikroökonomik

I0 := {(x1, x2)|u(x1, x2) = u0}

Mikroökonomik

A kostenminimal auf I0 =⇒ GRS(A) = p1

p2(2.26)

Algebraische Bestimmung von A:

u0 = Nutzenniveau auf I0.

Entscheidungsproblem:

minx1,x2

p1x1 + p2x2 unter der NB u(x1, x2) = u0 (2.27)

L(x1, x2, λ) = p1x1 + p2x2 + λ[u(x1, x2) − u0] (2.28)

Mikroökonomik

∂L(x1, x2, λ)

= p1 + λu1(x1, x2) = 0 (2.29)

∂L(x1, x2, λ)

= p2 + λu2(x1, x2) = 0 (2.30)

∂L(x1, x2, λ)

∂λ= u(x1, x2) − u0 = 0, (2.31)

wobei ui (x1, x2) = ∂u(x1,x2)∂xi

, i = 1, 2.

(2.29) und (2.30) =⇒ p1

p2= u1(x1,x2)

u2(x1,x2)(2.32)

Mikroökonomik

x∗1 = xH

1 (p1, p2, u0) (2.33)

x∗2 = xH

2 (p1, p2, u0) (2.34)

Bezeichnung

xHi (p1, p2, u0) nennt man Hicks-Nachfragefunktionen oder

‘kompensierte Nachfragefunktionen’.

Mikroökonomik

Die Ausgabenfunktion

e(p1, p2, u0) := p1xH1 (p1, p2, u0) + p2x

H2 (p1, p2, u0)

= min(x1,x2)∈R

2+, u(x1,x2) ≥ u0

p1x1 + p2x2 (2.35)

Die Ausgabenfunktion gibt zu jedem Preissystem die minimalenAusgaben zur Erreichung eines vorgegebenen Nutzenniveaus an.

Mikroökonomik

L(x1, x2, λ) = p1x1 + p2x2 + λ[u(x1, x2) − u0] (2.28)

Envelope-Theorem

∂e(p1, p2, u0)

=∂L(x∗

1, x∗

2, λ∗)

(2.28)= x∗

i = xHi (p1, p2, u0).

(2.36)

Mikroökonomik

Maximierung des Nutzens bei gegebenem Budget

−→ Marshall’sche Nachfragen.

Minimierung der Konsumausgaben bei gegebenemNutzenniveau

−→ Hicks-Nachfragen.

Es gelten folgende Beziehungen: (siehe Seite 213)

e(p1, p2, u0) = m0 (2.37)

v(p1, p2, m0) = u0 (2.38)

(2.37),(2.38) =⇒ e(p1, p2, v(p1, p2, m0)

)= m0 (2.39)

(2.39): Die Ausgabenfunktion ist die Umkehrfunktion der indirektenNutzenfunktion bei festen Güterpreisen!

Mikroökonomik

Beziehung zwischen Hicks-Nachfrage und Marshall’scher

Nachfrage

Es gilt:

xHi (p1, p2, u0) = xM

(p1, p2, e(p1, p2, u0)︸︷︷︸

), i = 1, 2. (2.40)

Die Hicks-Nachfrage zum Nutzenniveau u0 ist gleich derMarshall’schen Nachfrage zum minimalen Ausgabenniveau für dasErreichen des Nutzenniveaus u0.

Roy’s Identität

e(p1, p2, u0) = m0 (2.37)

v(p1, p2, m0) = u0 (2.38)

(2.37),(2.38) =⇒ v(p1, p2, e(p1, p2, u0)

)= u0 (2.41)

0 =∂v(·)

+∂v(·)

∂m·∂e(p1, p2, u0)

(2.36)=

∂v(·)

+∂v(·)

∂m· xH

i (p1, p2, u0)

(2.40)=

∂v(·)

+∂v(·)

∂mxMi (p1, p2, m0), ∀ m0.

=⇒ xMi (p1, p2, m) = −

∂v(p1,p2,m)

∂pi∂v(p1,p2,m)

, (Roy’s Identität) (2.42)

Mikroökonomik

p1 > p1

Hick’scher Einkommens- undSubstitutionseffekt

Mikroökonomik

︸︷︷︸mp1

Substitutionseffekt −∆xS1

p1 > p1

Mikroökonomik

︸︷︷︸mp1

Substitutionseffekt −∆xS1

mp1︸︷︷︸

Einkommenseffekt ∆xE1

p1 > p1

Mikroökonomik

Nachfragewirkungen von Preisänderungen

- bei konstantem Einkommen: Nachfrageeffekt einer Preiserhöhung

(gewöhnlicher Fall) negativ oder positiv

- bei konstanter Kaufkraft: Nachfrageeffekt einer Preiserhöhung

(Slutsky-Fall) negativ

- beu konstantem Nutzen: Nachfrageeffekt einer Preiserhöhung

(Hicks-Fall) negativ

Mikroökonomik

Normale Güter habenpositiven Einkommenseffekt: ∂xi (·)

∂m> 0.

negativen Eigenpreiseffekt: ∂xi (·)∂pi

Inferiore Güter habennegativen Einkommenseffekt: ∂xi (·)

∂m< 0.

Giffen-Güter habennegativen Einkommenseffekt: ∂xi (·)

∂m< 0.

positiven Eigenpreiseffekt: ∂xi (·)∂pi

Mikroökonomik

Weitere Eigenschaften der indirekten Nutzenfunktion

1 Homogenität vom Grade Null: Für eine beliebige positive Zahlλ gilt v(λp, λm) = v(p, m).

2 v(p, m) istzunehmend in m.fallend in allen Preisen.

Mikroökonomik

p1 > p1

Mikroökonomik

Weitere Eigenschaften der Ausgabenfunktion

1 Homogenität vom Grade 1 in p: Für jedes λ > 0 gilte(λp, u0) = λe(p, u0).

Begründung: e(λp, u0) := minx∈R

[λpx | u(x) ≥ u0

= λ minx∈R

[px | u(x) ≥ u0

]=: λe(p, u0).

2 e(p, u0) ist zunehmend in allen Preisen.

Mikroökonomik

Marktnachfrage

k Konsumenten

(p1, . . . , pn, m

= Nachfrage von Konsument j nach Gut i ,i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , k .

(p1, . . . , pn, m

1, . . . ,mk)

:=k∑

(p1, . . . , pn, m

= Marktnachfrage nach Gut i .

Mikroökonomik

Beispiel: k = 2 Konsumenten, n = 2 Güter

p2, m1, m2 konstant

Marktnachfrage für Gut 1 in Abhängigkeit von p1?

Die Marktnachfragekurve ergibt sich durch horizontale Addition derindividuellen Nachfragekurven.

Mikroökonomik

Nachfrage nach Gut x1

p2, m1, m2 konstant

Mikroökonomik

p2, m1, m2 konstant

Mikroökonomik

p2, m1, m2 konstant

ˆp1 ︸︷︷︸x11 (ˆp1,p2,m1)

︸︷︷︸x11 (ˆp1,p2,m1)

Kapitel2-1

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