Kapitel2-1

Mikroökonomik

Mikroökonomik

Dr. Andreas Szczutkowski

Fakultät für Wirtschaftswissenschaften

SS 2014

1

Mikroökonomik

Theorie des Konsumentenverhaltens

2 Theorie des KonsumentenverhaltensVersion: 24. April 2014

Güterbündel: x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn+

n = Anzahl der Güter; xi = Konsummenge von Gut i

55

2.1 Restriktionen bei der Entscheidungsfindung

Preissystem: p = (p1, p2, . . . , pn) ∈ Rn+

Einkommen: m ≥ 0

Alle Güter beliebig teilbar.

Budgetbeschränkung:

n∑

i=1

pixi = p1x1 + p2x2 + . . . + pnxn ≤ m. (2.1)

Budgetmenge: B(p, m) =

{x

∣∣∣∣n∑

i=1

pixi ≤ m

}

Budgetgerade: Alle Güterbündel die (2.1) mit Gleichheit erfüllen.

Beispiel: n = 2

Budgetgerade:{(x1, x2) ∈ R2

+ | p1x1 + p2x2 = m}. (2.2)

mp1

x1

mp2

x2

p1x1 + p2x2 ≥ m

p1x1 + p2x2 ≤ m

Budgetmenge

Budgetgerade

Mikroökonomik


Restriktionen bei der Entscheidungsfindung

Steigung der Budgetgeraden: dx2

dx1

∣∣∣BG

= −mp2mp1

= − p1

p2.

p1

p2: Rate, mit der der Konsument auf dem Gütermarkt Gut 2 gegen Gut 1substituieren kann.

Die Lage der Budgetgeraden hängt von den Preisen und vomEinkommen ab.

58

Mikroökonomik



Auswirkungen von Einkommensänderungen

Bemerkung

Einkommensveränderungen bewirken eine parallele Verschiebungder Budgetgeraden.

Beispiel: Einkommen steigt um 50%: m = 1, 5m

=⇒ horizontaler Achsenabschnitt, mp1

, und vertikaler Achsenabschnitt, mp2

,vergrößern sich um 50%.

Steigung bleibt unverändert.

59

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

60

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

mp1

mp2

61

Mikroökonomik



Auswirkungen von Preisänderungen

Budgetgleichung: x2 = mp2

− p1

p2x1 (2.3)

Preisanstieg von p1 auf p1 (p1 > p1) =⇒ steilerer Verlaufkonstanter vertikaler Achsen-abschnitt

Die Budgetgerade dreht sich um ihren vertikalen Achsenabschnitt.

62

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

bb

bb

A

B

63

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

bb

bb

A

Bmp1

bb B

bb

p1 > p1

64

Mikroökonomik




− p1

p2x1 =⇒ x1 = m

p1− p2

p1x2

Preisanstieg von p2 auf p2 (p2 > p2) =⇒ flacherer Verlaufkonstanter horizontalerAchsenabschnitt

Die Budgetgerade dreht sich um ihren horizontalenAchsenabschnitt.

65

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

bb

bb

A

B

66

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

bb

bb

A

B

bb

bb

bbmp2

p2 > p2

67

Mikroökonomik




− p1

p2x1.

Verdopplung beider Güterpreise (p1 = 2p1, p2 = 2p2)

=⇒ parallele Verschiebung nach untenäquivalent zu einer Halbierung des Einkommens

68

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

bb

bb

A

B

69

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

bb

bb

A

B

bb

bb

b

b

mp1

= m2p1

mp2

= m2p2

B

A

70

Mikroökonomik



Auswirkungen von Markteingriffen

Wertsteuer auf Gut 1: τ > 0

−→ p1 = (1 + τ)p1

Eine Wertsteuer hat auf die Budgetmenge dieselbe Wirkung wieeine Preiserhöhung.

71

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

bb

bb

A

B

72

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

bb

bb

A

Bbb B

bb

m(1+τ)p1

73

Mikroökonomik



Einkommensteuer: t > 0

−→ m = (1 − t)m

Eine Einkommensteuer hat auf die Budgetmenge dieselbe Wirkungwie eine Einkommensreduktion.

74

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

75

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

(1−t)mp2

(1−t)mp1

76

Mikroökonomik



Rationierung

Obere Nachfrageschranke für Gut 1: x1 ≤ x1

Rationierung führt zu einer Verkleinerung der Budgetmenge.

77

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

78

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

x1

x1 < mp1

Budgetmenge

79

Mikroökonomik



Staatlicher Heizkostenzuschuss

Gut 1: Verbrauch von Heizenergie.

Zuschuss von maximal Z Geldeinheiten zum Kauf von Gut 1.

Ausweitung der Budgetmenge

80

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

81

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

Zp1

m+Zp1

82

Mikroökonomik



Mengenrabatt

Rabatt in Höhe von γ auf Käufe von mehr als x1 Einheiten von Gut1.

Ausweitung der Budgetmenge

Budgetmenge nicht mehr konvex

83

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

Steigung: −p1

p2

84

Mikroökonomik



mp1

x1

mp2

x2

x1

Steigung: −p1−γp2

Steigung: −p1

p2

85

Mikroökonomik



Budgetmenge bei gegebener Anfangsausstattung von Gütern

Anfangsausstattung: ω = (ω1, ω2, . . . , ωn) ∈ Rn+.

ωi = Ausstattungsmenge von Gut i = 1, . . . , n

Budgetbeschränkung:n∑

i=1

pixi ≤n∑

i=1

piωi

Budgetmenge: B(p, ω) =

{x

∣∣∣∣n∑

i=1

pixi ≤n∑

i=1

piωi

}

86

Beispiel: n = 2

Budgetbeschränkung: p1x1 + p2x2 ≤ p1ω1 + p2ω2 =: Y

x2

x1

ω2

ω1

p1x1 + p2x2 > Y

p1x1 + p2x2 ≤ Y

Yp1

Yp2

Mikroökonomik



Steigung der Budgetgeraden:

−

Yp2

Yp1

= −p1

p2

Der Erstausstattungspunkt liegt immer auf der Budgetgeraden (zubeliebigen Preisen), da die Erstausstattung stets konsumiert werdenkann.

Bei gegebener Erstausstattung bewirkt eine Preisänderung eineDrehung der Budgetgeraden um den Erstaustattungspunkt.

Erhöhung von p1 auf p1 (p1 > p1) =⇒ steilerer Verlauf;Drehung um den Erstausstattungspunkt.

88

Mikroökonomik



x2

x1

ω2

ω1 Yp1

Yp2

89

Mikroökonomik



x2

x1

ω2

ω1

Yp2

Yp1

Yp1

Yp2

90

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

2.2 Konsumpräferenzen

Vergleich von Konsumalternativen

Beispiel: Welt mit zwei Gütern

Gut 1 = BrotGut 2 = Whisky

(x1, x2) = (1, 1); (y1, y2) = (2, 3);Vorzug von(y1, y2) gegenüber (x1, x2) sinnvolle Annahme.

Aber: Vergleich von (x1, x2) = (1, 1) und (y1, y2) = (2, 1

2) ?

91

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Notation

Annahme

Jeder Konsument ist in der Lage, Güterbündel nach ihrerErwünschtheit zu ordnen.

Notation:

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)

x ≻ y : x wird gegenüber y vorgezogen.

x � y : x wird y schwach vorgezogen, d.h. x ist nicht schlechter als y .

x ∼ y : Konsument ist indifferent zwischen x und y .

92

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Die drei Relationen ≻, � ∼ sind nicht unabhängig voneinander!

x � y und y � x =⇒ x ∼ y .

x � y ; es kann gelten: x ∼ y oder x ≻ y aber nie y ≻ x!

Aus der Relation � lassen sich die Relationen ∼ und ≻ ableiten,wobei die letzteren beiden lediglich aus schreibtechnischen Gründenverwendet werden.

93

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

3 grundlegende AnnahmenAxiome

Die schwache Präferenzrelation � erfüllt drei grundlegendeAnnahmen (Axiome):

Axiom 1: � ist vollständig, d.h. für zwei beliebige Güterbündelx und y gilt x � y oder y � x .

Axiom 2: � ist reflexiv, d.h. für jedes Güterbündel x gilt stets x � x .

Axiom 3: � ist transitiv, d.h. für drei Güterbündel x , y , z mitx � y und y � z gilt stets x � z .

94

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Das Transitivitätsaxiom ist empirisch nicht immer nachweisbar.

Das Transitivitätsaxiom ist aber aus entscheidungstheoretischerSicht bedeutsam:

Güterraum: {x , y , z}

x ≻ y ; y ≻ z ; z ≻ x

−→ 6 ∃ optimales Güterbündel.

95

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Darstellung von Präferenzrelationen durch Indifferenzkurven

x sei ein beliebiges Güterbündel

Indifferenzkurve zu x : Menge aller Güterbündel, die der Konsument alsgenauso gut einschätzt wie x .

Notation: I (x) = {y | y ∼ x}.

96

bbA

bbD

bb

bb

C

B

Indifferenzkurve

Whisky

Brot

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Indifferenzkurven haben i. A. eine negative Steigung (es gibtAusnahmen!).

Alle Güterbündel, die auf oder oberhalb der Indifferenzkurve durchA liegen, bilden die schwach bevorzugte Menge von A.

98

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

bb

A

Whisky

Brot

schwach bevorzugte Menge bzgl. A

99

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

bb

Whisky

Brot

bb

I1I2

I3

100

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

bb

Whisky

Brot

I1

A

b

bB

C

I2

101

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Da B in der Bessermenge von A liegt gilt: B ≻ A

Da aber C auf den Indifferenzkurven durch A und B liegt, gilt:

A ∼ C sowie B ∼ CTransitivität

=⇒ A ∼ B Widerspruch!

=⇒ Indifferenzkurven schneiden sich nicht!

102

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Ein Indifferenzkurvensystem liefert eine ordinale Ordnung auf derMenge der wählbaren Konsumbündel.

Ordinale Ordnung: Legt lediglich die Rangfolge der Güterbündelfest.

Kardinale Ordnung: Legt neben der Rangfolge auch die Abständefest.

103

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

x1

x2

︸︷︷

︸−∆x2 = 1

︸︷︷︸∆x1 = 1

︸︷︷

︸

−∆x2

︸︷︷︸∆x1

b

b

A

B

C

b

b

D

104

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

−dx2

dx1

∣∣∣I

= Grenzrate der Substitution(GRS(x1, x2)

).

GRS :

{(lokales) Maß für „indifferenten“ Tausch(marginale) Zahlungsbereitschaft

105

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Konvexität von Indifferenzkurven

x1

x2

b

b

A

B

bbC

C ≻ A, C ≻ B

106

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Eigenschaften von Präferenzrelationen

Notation: x = (x1, , . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)x ≥ y ⇐⇒ xi ≥ yi , i = 1, . . . , n.x > y ⇐⇒ [x ≥ y und x 6= y ].

Monotone Präferenzen: x ≥ y =⇒ x � y .

Strikt monotone Präferenzen: x > y =⇒ x ≻ y .

107

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Konvexe Präferenzen:x � y =⇒ λx + (1 − λ)y � y für x 6= y und λ ∈ (0, 1).

Strikt konvexe Präferenzen:x � y =⇒ λx + (1 − λ)y ≻ y für x 6= y und λ ∈ (0, 1).

Normale Präferenzen: Die Präferenzrelation heißt normal, wenn siestrikt monoton und strikt konvex ist.

108

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

bb

A

Menge der schwachpräferierten Güterbündel

x1

x2 normale Präferenzen

109

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Sonderfälle

Perfekte Substitute

Angenommen, es gibt eine Konstante c > 0, so dass derKonsument zwischen zwei Güterbündeln A = (xA

1, xA

2) und

B = (xB1

, xB2

) genau dann indifferent ist, wenn

xB2 − xA

2 = c · (xA1 − xB

1 )

gilt. D.h.

(xB1 , xB

2 ) ∈ I (xA1 , xA

2 ) =⇒ xB2 −xA

2 = c ·(xA1 −xB

1 ), c > 0, ∀A, B.

In diesem Fall sind die Indifferenzkurven parallele Geraden mitSteigung −c.

110

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Beispiel für perfekte Substitute

Sei angenommen, einem Konsumenten ist es egal, ob er BitburgerBier (Gut 1) oder Herforder Bier (Gut 2) trinkt. In diesem Fall sinddie beiden Biersorten perfekte Substitute mit c = 1:

(xB1 , xB

2 ) ∈ I (xA1 , xA

2 ) ⇐⇒ xB1 +xB

2 = xA1 +xA

2 ⇐⇒ xB2 −xA

2 = xA1 −xB

1

111

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

3

2

1

1 2 3 Bitburger

Herforder

perfekte Substitute mit c = 1

112

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Perfekte Komplemente

Angenommen, es gibt eine Konstante c > 0, so dass derKonsument zwischen zwei Güterbündeln A=(xA

1, xA

2) und

B=(xB1

, xB2

) genau dann indifferent ist, wenn

min{cxA

1 , xA2

}= min

{cxB

1 , xB2

}

gilt. D.h.

(xB1 , xB

2 ) ∈ I (xA1 , xA

2 ) =⇒ min{cxA

1 , xA2

}= min

{cxB

1 , xB2

}, ∀ A, B

In diesem Falle verlaufen die Indifferenzkurven ‘L-förmig’, wobei dieKnickpunkte der Indifferenzkurven auf der Geraden x2 = cx1

liegen.

113

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

x1

x2

x2 = cx1

x∗1

x∗2

114

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Begründung für den Kurvenverlauf

Sei (xA1, xA

2) gegeben mit xA

2= cxA

1.

=⇒ min{cxA

1, xA

2

}= xA

2= cxA

1.

(xB1

, xB2

) ∼ (xA1, xA

2)

⇐⇒{cxB

1= xA

2und xB

2≥ xA

2

}oder

{xB2

= xA2

und cxB1

≥ xA2

}

⇐⇒{xB1

= xA1

und xB2

≥ xA2

}oder

{xB2

= xA2

und xB1

≥ xA1

}.

115

1 2 rechte Schuhe

1

2

3

3

perfekte Komplemente

linke Schuhe

Negative Wertschätzung für Gut 2

x2 (Müll)

x1 (Whisky)

p > GRS(A)

x2

x1

A

B

p

p′< GRS(A)

x2

x1

A C

p′

p′′ = GRS(A)

x2

x1

A C

B

p′′

Mikroökonomik


Konsumpräferenzen

Erläuterung zu den Abbildungen

p > GRS(A) =⇒ A → B (Kauf von Gütern des Typs x2;Verkauf von Gut x1)

p′ < GRS(A) =⇒ A → C (Verkauf von Gütern des Typs x2;Kauf von Gut 1)

p′′ = GRS(A) =⇒ kein Güteraustausch

121

Mikroökonomik


Optimale Entscheidungsmuster

2.3 Optimale Entscheidungsmuster

Definition (optimale Entscheidung)

Ein Güterbündel x∗ in der Budgetmenge des Konsumenten ist eineLösung des Konsumentenproblems, wenn es allen anderenGüterbündeln in der Budgetmenge schwach vorgezogen wird.Formal:

1 x∗ ∈ B(p, m)

2 y ∈ B(p, m) =⇒ x∗ � y .

122

A

x1

x2

I1

bb

GRS(A) > p1

p2

A

x1

x2

I3I1

bb

Es gilt: x ∈ I3 =⇒ x 6∈ B(p, m).

bb B

A

x1

x2

I3I2I1

bb

Optimale Konsumentscheidung: GRS(B) = p1

p2. (2.4)

I1

x1

x2

∀ x ∈ I1 existiert y ∈ B(p, m) mit y ≻ x .

I1 I3

x1

x2

Es gilt: x ∈ I3 =⇒ x 6∈ B(p, m).

I1 I2 I3

bbx1

x2

A

Optimale Konsumentscheidung in A: GRS(A) > p1

p2.

Mikroökonomik



Nutzendarstellung von Präferenzrelationen

Nutzenfunktion

Eine Nutzenfunktion ist eine auf dem Güterraum X (in dieserVorlesung X := R

n) definierte reellwertige Abbildung u : Rn+ → R.

Definition

Eine Präferenzrelation � wird durch eine Nutzenfunktion u

dargestellt (oder repräsentiert), falls für alle Güterbündel x , y gilt:

x � y ⇐⇒ u(x) ≥ u(y).

129

Mikroökonomik



Nutzendarstellung und Indifferenzkurven

Indifferenzkurve zu x :

I (x) = {y | u(y) = u(x)}.

Die Lösungsmenge der Gleichung

u(x) = k, mit k Element des Bildbereichs der Funktion u

stellt eine Indifferenzkurve dar.

130

Mikroökonomik



Beispiel

u(A) = 5, u(B) = 7, u(C ) = 12

=⇒ C ≻ B ≻ A.

Die Indifferenzkurve durch C verläuft am weitesten außen.

Die Indifferenzkurve durch A verläuft am weitesten innen.

131

x1

x2

bb

bb

bb C

B

A

Mikroökonomik



Beispiel

u(A) = 5, u(B) = 12, u(C ) = 7

=⇒ B ≻ C ≻ A.

Die Indifferenzkurve durch B verläuft am weitesten außen.

133

x1

x2

bb

bb

bbA

C

B

Mikroökonomik



Eine Präferenzrelation lässt sich durch unterschiedlicheNutzenfunktionen darstellen.

Beispiel

X = {A, B, C}

u(A) = 5, u(B) = 7, u(C ) = 12

=⇒ C ≻ B ≻ A.

u(A) = 25, u(B) = 26, u(C ) = 1909

=⇒ C ≻ B ≻ A.

u und u sind äquivalent, d.h. sie erzeugen dieselbePräferenzordnung.

135

Mikroökonomik



u(x) = f(u(x)

), f ′ > 0, x = (x1, . . . , xn) = Güterbündel

=⇒ u und u sind äquivalent.

Begündung: u(x) ≤ u(y) ⇐⇒ f(u(x)

)≤ f

(u(y)

)

⇐⇒ u(x) ≤ u(y).

136

Mikroökonomik



Konstruktion einer repräsentierenden Nutzenfunktion

X = R2+

Gegeben sei das Indifferenzkurvensystem einer Präferenzordnung auf X .

u : X → R+, x 7→ u(x) = Abstand zwischen I (x) und dem Ursprung,gemessen entlang der 45◦-Linie.

137

Mikroökonomik



x2

x1

1

2

3

4

138

Mikroökonomik



Beispiele für Nutzenfunktionen

a und c seien zwei positive Konstanten

(i) u(x1, x2) = xa1· xc

2(Cobb-Douglas)

(ii) u(x1, x2) = v(x1) + x2 (quasi-linear)

(iii) u(x1, x2) = c · x1 + x2 (linear; perfekte Substitute)

(iv) u(x1, x2) = min{c · x1, x2} (limitational; perfekte Komplemente)

(v) u(x1, x2) = − (a − x1)2 − (c − x2)

2 (quadratisch)

139

Mikroökonomik



Zur Nutzenfunktion (ii): u(x1, x2) = v(x1) + x2

Diese Nutzenfunktion (und die dadurch dargestelltenPräferenzrelation) heißt quasi-linear. Wegen

u(x1, x2) = k ⇐⇒ v(x1) + x2 = k ⇐⇒ x2 = k − v(x1)

ergeben sich alle Indifferenzkurven einer quasi-linearenPräferenzordnung aus der vertikalen Verschiebung einer einzigenIndifferenzkurve.

140

Mikroökonomik



Zur Nutzenfunktion (iii): u(x1, x2) = c · x1 + x2

Bei dieser Nutzenfunktion sind die beiden Güter perfekte Substitute:

(x1, x2) ∼ (y1, y2) ⇐⇒ c·x1+x2 = c·y1+y2 ⇐⇒ x2−y2 = c·(y1−x1)

Mit Hilfe der letzten Gleichung hatten wir zu einem früherenZeitpunkt perfekte Substitute definiert.

141

Mikroökonomik



Zur Nutzenfunktion (iv): u(x1, x2) = min{c · x1, x2}

Bei dieser Nutzenfunktion sind die beiden Güter perfekteKonplemente:

(x1, x2) ∼ (y1, y2) ⇐⇒ min{c · x1, x2} = min{c · y1, y2}

Mit Hilfe der letzten Gleichung hatten wir zu einem früherenZeitpunkt perfekte Komplemente definiert.

142

Mikroökonomik



Nutzendarstellung normaler Präferenzen(strikt monoton und strikt konvex)

Definition

Eine (Nutzen-)Funktion u heißt strikt monoton, wenn sie dieBedingung

x > y =⇒ u(x) > u(y)

erfüllt.

Strikt monotone Nutzenfunktionen stellen strikt monotonePräferenzrelationen dar.

143

Mikroökonomik



Definition

Eine Nutzenfunktion u heißt strikt quasi-konkav, wenn für allex 6= y und λ ∈ (0, 1) gilt:

u(λx + (1 − λ)y) > min{u(x), u(y)}.

Strikt quasi-konkave Nutzenfunktionen stellen strikt konvexePräferenzrelationen dar.

144

Mikroökonomik



Warum?

Beweis: Die Präferenzrelation � werde durch eine striktquasi-konkave Nutzenfunktion u dargestellt. Dann folgt fürx 6= y , x � y , und für λ ∈ (0, 1):

u(λx + (1 − λ)y) > min{u(x), u(y)} = u(y),

also λx + (1 − λ)y ≻ y . �

Bemerkung: Die Umkehrung gilt auch, d.h. jede Nutzenfunktion,die eine strikt konvexe Präferenzordnung darstellt, ist striktquasi-konkav.

145

Mikroökonomik



Ergebnis

Normale Präferenzrelationen (d.h. strikt monoton und striktkonvex) werden durch strikt monotone und strikt quasi-konkaveNutzenfunktionen repräsentiert.

146

Mikroökonomik



Der Grenznutzen

u : x 7→ u(x); x = (x1, x2, . . . , xn) (Nutzenfunktion)

Definition

Der Grenznutzen von Gut i , i = 1, . . . , n, (an der Stelle x) istdefiniert durch

∂u(x)

∂xi

.

Der Grenznutzen steht in keiner direkten Beziehung zurPräferenzordnung, die der Nutzenfunktion zugrunde liegt.

147

Mikroökonomik



u(x) = f (u(x)), f ′ > 0.

=⇒∂u(x)

∂xi︸︷︷︸Grenznutzenvon xi unterder NF u

= f ′(u(x)) ·∂u(x)

∂xi︸︷︷︸Grenznutzenvon xi unterder NF u

, i = 1, . . . , n (2.5)

Die Nutzenfunktionen u und u weisen (für f ′ 6= 1) unterschiedlicheGrenznutzen auf, obwohl sie jeweils dieselbe Präferenzordnungbeschreiben.

148

Mikroökonomik



aber:

Bemerkung

Die Grenznutzenverhältnis zweier Güter ist eine Kenngröße für diezugrunde liegende Präferenzordnung.

Aus (2.5) folgt nämlich

∂u(x)∂xi

∂u(x)∂xj

=f ′(u(x))∂u(x)

∂xi

f ′(u(x))∂u(x)∂xj

=

∂u(x)xi

∂u(x)∂xj

. (2.6)

149

Mikroökonomik



x2

x1

α

x1

x2

u(x1, x2) = β

GRS(x1, x2) = tan α

150

Formal stellt eine Indifferenzkurve eine Funktion dar, die jedemx1 ein x2 zuordnet, formal: x2(x1);

Die Steigung dieser Funktion ist durch die GRS gegeben:GRS

(x1, x2(x1)

)= − ∂x2(x1)

∂x1.

Entlang einer Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant, d.h.u(x1, x2(x1)

)= β ∀x1.

Damit muss gelten:∂u

(x1,x2(x1)

)

∂x1= ∂u(x1,x2)

∂x1+ ∂u(x1,x2)

∂x2

∂x2(x1)∂x1

= 0

Umstellen liefert:

GRS(x1, x2) = − ∂x2(x1)∂x1

=∂u(x1,x2)

∂x1∂u(x1,x2)

∂x2

(2.7)

In jedem Punkt des Güterraumes entspricht die betragsmäßigeSteigung der Indifferenzkurve dem Grenznutzenverhältnis der Güter.

Mikroökonomik



Darstellung der optimalen Entscheidung

Im Optimum gilt:

GRS(x1, x2) =p1

p2

also folgt:

p1

p2

=

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

bzw.∂u(x1,x2)

∂x1

p1

=

∂u(x1,x2)∂x2

p2

(2.8)

Der Grenznutzen einer zusätzlichen verausgabten Geldeinheit istunabhängig von seiner konsumtiven Verwendung (d.h. über alleGüter gleich).

152

Mikroökonomik



Das Konsumentenproblem

Gegeben sei ein Budget m, ein Preissystem p ≫ 0 und einePräferenzordnung mit Nutzendarstellung u.

Das Konsumentenproblem lautet:

maxx∈R

n+

u(x) unter der NBn∑

i=1

pixi ≤ m.

x∗ bezeichne eine Lösung des Problems.

153

Mikroökonomik



Jede Lösung x∗ dieses Problems heißt ‘optimaleKonsumentscheidung’.

x∗ heißt ‘innere Lösung’, wenn x∗i > 0 ∀ i gilt.

x∗ heißt ‘Randlösung’, wenn x∗i = 0 für mindestens ein i gilt.

154

Mikroökonomik



Satz 2.1

Sei u stetig. Dann existiert eine Lösung für dasKonsumentenproblem.

Beweis: Die Budgetmenge

B(p, m) =

{x

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

pixi ≤ m

}

ist kompakt (d.h. abgeschlossen und beschränkt). Jede stetigeFunktion nimmt auf einer kompakten Menge ein Maximum an.(Extremwertsatz) �

155

Mikroökonomik



Satz 2.2

Sei u strikt monoton (wachsend) und x∗ eine Lösung desKonsumentenproblems. Dann gilt

n∑

i=1

pix∗i = m.

Beweis: Trivial.

156

Satz 2.3

Sei u stetig, strikt monoton und strikt quasi-konkav (d.h. u

repräsentiert eine ‘normale’ Präferenzordnung). Dann hat dasKonsumentenproblem eine eindeutige Lösung.

Beweis: Angenommen es gäbe zwei Lösungen x∗ und x , x∗ 6= x ,d.h. u(x∗) = u(x).=⇒ x := 1

2(x∗ + x) ∈ B(p, m),da

pxT = 1

2(px∗T

+ pxT ) = 1

2(m + m) = m (nach Satz 2.2).

Außerdem folgt

u(x) = u

(12x∗ +

12x

)> min{u(x∗), u(x)} = u(x∗)

im Widerspruch zur Optimalität von x∗. �

Mikroökonomik



Bestimmung der Marshall’schen NachfragenBeispiel: 2-Güter-Fall

u : X = R2+ → R strikt monoton, strikt quasi-konkav,

differenzierbar.

Satz 2.2 =⇒ Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt.

maxx1,x2

u(x1, x2) unter der NB p1x1 + p2x2 = m (2.9)

L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ(m − p1x1 − p2x2) (2.10)

158

Mikroökonomik



Notwendige und hinreichende Bedingungen 1. Ordnung für eine

innere Lösung:

∂L

∂x1

(x1, x2, λ) =∂u

∂x1

(x1, x2) − λp1 = 0 (2.11)

∂L

∂x2

(x1, x2, λ) =∂u

∂x2

(x1, x2) − λp2 = 0 (2.12)

∂L

∂λ(x1, x2, λ) = m − p1x1 − p2x2 = 0 (2.13)

(2.11),(2.12) =⇒∂u∂x1

(x1,x2)

∂u∂x2

(x1,x2)= p1

p2(2.14)

159

Mikroökonomik



Satz 2.3 =⇒ Lösung des Gleichungssystems (2.11)-(2.13) isteindeutig bestimmt.

x∗1 = xM

1 (p1, p2, m) (2.15)

x∗2 = xM

2 (p1, p2, m) (2.16)

xMi (·, ·, ·) ≃ Marshall’sche Nachfragefunktion [Alfred Marshall

(1842-1924)].

Die Marshall’schen Nachfragefunktionen sind stetig.

160

Mikroökonomik



Die indirekte Nutzenfunktion

Einsetzen der Marshall’schen Nachfragen in die Nutzenfunktionführt zur ‘indirekten Nutzenfunktion’.

v(p1, p2, m) := u(xM1 (p1, p2, m), xM

2 (p1, p2, m))

= max(x1,x2)∈R

2+, p1x1+p2x2 ≤ m

u(x1, x2) (2.17)

v(·) nennt man indirekte Nutzenfunktion; jedem Vektor vonPreisen und Einkommen wird das höchste erreichbareNutzenniveau zugeordnet.

161

Mikroökonomik



L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ(m − p1x1 − p2x2) (2.10)

Envelope-Theorem (‘Umhüllungssatz’)

∂v(p1, p2, m)

∂m=

∂L(x∗1, x∗

2, λ)

∂m

∣∣∣∣λ=λ∗

= λ∗ (2.18)

Envelope-Theorem: siehe z.B. Sydsaeter/Hammond: Mathematikfür Wirtschaftswissenschaftler 3. Auflage S. 600

162

Fall: Indifferenzkurven nicht streng konvexLösung nicht eindeutig bestimmt

b

b

bb

B

C

A

I1

I2

x1

x2

Beispiel: perfekte Substitute

x1

x2

Budgetgerade

b

bB

AI1


x1

x2

Budgetgerade

b

bB

AI1

I2


x1

x2

Budgetgerade

b

bB

AI1

I2 I3


x1

x2

Budgetgerade

I1


x1

x2

Budgetgerade

I1 I3


x1

x2

Budgetgerade

I1 I3

I2

Mikroökonomik



Eigenschaften der Marshall’schen Nachfragefunktion

xM1

(p1, . . . , pn, m)...

xMn (p1, . . . , , pn, m)

Marshall’sche Nachfragefunktion

Eigenschaften?

170

Mikroökonomik



Satz 2.4

Die Marshall’schen Nachfragen sind homogen vom Grade Null inden Preisen und im Einkommen, d.h.

xM(p, m) = xM(λ · p, λ · m); λ > 0.

Beweis: Offensichtlich, da

B(λ·p, λ·m) = {x | λ ·pxT ≤ λ·m} = {x | pxT ≤ m} = B(p, m)

gilt. �

171

Beispiel: perfekte Komplemente mit c = 1

x1

x2 x1 = x2

x1

x2

I1

Beispiel: perfekte Komplemente c = 1

x1

x2 x1 = x2

x1

x2

I1

I3

Beispiel: perfekte Komplemente c = 1

x1

x2 x1 = x2

x1

x2 I2

I1

I3

bb

Mikroökonomik



Perfekte Komplemente mit c = 1

Budgetrestriktion: p1x1 + p2x2 = mx1=x2⇐⇒ (p1 + p2)x1 = m

⇐⇒ x2 = x1 =m

p1 + p2

=⇒ xM1

(p1, p2, m) = mp1+p2

= xM2

(p1, p2, m)

175

Mikroökonomik



Cobb-Douglas Präferenzen mit a = c = 1 =⇒ u(x1, x2) = x1x2

Der optimale Konsumpunkt (x∗1, x∗

2) erfüllt: p1x

∗1

+ p2x∗2

= m

GRS(x∗1 , x∗

2 )(2.7)=

∂u(x∗1 ,x∗2 )∂x1

∂u(x∗1 ,x∗2 )∂x2

=p1

p2

⇐⇒x∗2

x∗1

=p1

p2

=⇒ 2p1x∗1

= m =⇒

{x∗1

= m2p1

x∗2

= m2p2

176

Mikroökonomik



Nachfragefunktion:

{xM1

(p1, p2, m) = m2p1

xM2

(p1, p2, m) = m2p2

Indirekte Nutzenfunktion: v(p1, p2, m) = m2

4p1p2

177

Mikroökonomik



Eigenschaften der Marshall’schen Nachfragefunktionen: 2-Güter Fall

xM1

(p1, p2m)xM2

(p1, p2, m)

Nachfrageeffekte von Preisänderungen?

Betrachte das vorhergehende Beispiel mit derCobb-Douglas-Nutzenfunktion u(x1, x2) = x1x2:

Ausgangssituation:m = 10, p1 = 2, p2 = 2 =⇒ (x1, x2) = ( 5

2, 5

2)

Erhöhung von p1 auf p1 = 4 =⇒ (x1, x2) = (5

4, 5

2)

Verringerung von p1 auf p1 = 1 =⇒ (x1, x2) = (5, 5

2)

178

Mikroökonomik



x1

x2

5

5

2,5

2,5

bb

I1

A

179

Mikroökonomik



x1

x2

5

5

2,5

2,5

bb

I1

A

1,25

bb

I2

B

180

Mikroökonomik



x1

x2

5

5

2,5

2,5

bb

I1

A

1,25

bb

I2

B

10

I3

bbC

181

Nachfragekurve

x152,51,25 10

p1

4

3

2

1

bb B

bbA

bbC

Mikroökonomik



Beobachtungen

Entlang der Nachfragekurve (bei sinkendem p1) steigt dasNutzenniveau an.

Die GRS nimmt entlang der Nachfragekurve ab.

183

Sonderfall: Giffen-Güter

x1

x2

A

Gut 1 = Giffen-Gut

Sonderfall: Giffen-Güter

x1

x2

bbB

A

Gut 1 = Giffen-Gut

p1 ↓

Einkommens–Konsumkurvenormale Güter

x1

x2

Einkommens-Konsumkurve

I3

I2I1

mp2

mp2

mp1

mp1

ˆmp1

ˆmp2 ˆm > m > m

Mikroökonomik



Nachfrageeffekte von Einkommensänderungen

Einkommens-Konsumkurve: besteht aus allen optimalen Konsumplänenzu alternativen Einkommensniveaus.

Normales Gut: Nachfrage hängt positiv vom Einkommen ab.

Inferiores Gut: Nachfrage hängt negativ von Einkommen ab.

187

Einkommens–Konsumkurveinferiore Güter

x1

x2

Einkommens-Konsumkurve

I3

I2I1

mp2

mp2

mp1

mp1

ˆmp1

ˆmp2 ˆm > m > m

bb C

bb Bbb

A

x1

Engel-Kurve eines normalenGutes (konstante Preise!)

m

x1

m

m

m < m =⇒ x1 ist normal

m ≥ m =⇒ x1 ist inferior

Mikroökonomik



Beispiel: Homothetische Präferenzen

Eine Nutzenfunktion u : Rn+ → R heißt ‘homothetisch’, wenn sie

als monotone Transformation einer linear homogenen Funktiondargestellt werden kann.

h : Rn+ → R linear homogen, d.h.

h(tx) = th(x), ∀ t > 0, x ∈ Rn+.

g : R → R, g ′ > 0.

=⇒ u : Rn+ → R, u(x) = g(h(x)) homothetisch.

191

Mikroökonomik



Satz 2.5

Bei homothetischen Nutzenfunktionen, u(x) = g(h(x)), sind dieSteigungen der Niveauflächen entlang eines jeden Fahrstrahls durchden Ursprung konstant.

D.h.: u homothetisch =⇒ GRSi ,j(tx) unabhängig von t > 0.

192

Mikroökonomik



x1

x2

193

Mikroökonomik



Beweis von Satz 2.5 (Skizze):

GRSi,j(tx) =

∂u(tx)∂xi

∂u(tx)∂xj

, t > 0. (2.19)

h(tx) = th(x), ∀x =⇒∂h(tx)

∂xk

= t∂h(x)

∂xk

, k = i , j . (2.20)

u(tx) = g(h(tx)

)=⇒

∂u(tx)

∂xk

= g ′(h(tx)

)· t

∂h(x)

∂xk

, k = i , j , (2.21)

bzw.

∂u(tx)∂xi

∂u(tx)∂xj

=

∂h(x)∂xi

∂h(x)∂xj

(2.22)

�

194

Bei homothetischen Präferenzen alle Güter normal.

x1

x2

Einkommens-Konsumkurve bei

homothetischen Präferenzen

Mikroökonomik



x1

m

Engel-Kurve bei

homothetischen Präferenzen

196

Mikroökonomik



Zerlegung des Gesamteffektes einer Preisänderung in

Teileffekte

• Einkommenseffekt: resultiert aus der Kaufkraftänderung desEinkommens.

• Substitutionseffekt: resultiert aus der Veränderung derTauschverhältnisse.

Substitutionseffekt: Nachfrageänderung, wenn der Konsument für denKaufkraftverlust infolge der Preiserhöhungentschädigt wird.

197

Mikroökonomik



x1

x2

bb A

mp2

198

Mikroökonomik



x2

x1mp1

mp2

bb

x1 inferiores Gut

A

199

Mikroökonomik



x2

x1mp1

mp2

mp1

bb

bb

mp1︸︷︷︸

−∆xS1

p1 > p1

x1 inferiores Gut

A

B

200

Mikroökonomik



x2

x1mp1

mp2

mp1

bb

bb

bb

mp1︸︷︷︸

−∆xS1

p1 > p1

x1 inferiores Gut

︸︷︷︸−∆xE

1

A

B

C

201

Mikroökonomik



A → B : Substitutionseffekt ∆xS1

∆xS1

= Nachfrageänderung für Gut 1, wenn p1 auf p1 undm auf m steigen.

C → B : Einkommenseffekt ∆xE1

∆xE1

= Nachfrageänderung für Gut 1 zum Preissystem (p1, p2),wenn das Einkommen von m auf m ansteigt.

Gesamteffekt: ∆x1 = ∆xS1− ∆xE

1(2.23)

202

Mikroökonomik



Berechnung der Einkommenskompensation ∆m

Sei A = (x1, x2)

m = p1x1 + p2x2

m = p1x1 + p2x2

⟩m − m︸︷︷︸

∆m

= x1 (p1 − p1)︸︷︷︸∆p1

=⇒ ∆m = x1∆p1 bzw. ∆p1 = ∆mx1

(2.24)

203

Mikroökonomik



∆xS1

= x1(p1, p2, m) − x1(p1, p2, m)

∆xE1

= x1(p1, p2, m) − x1(p1, p2, m)

∆x1

(2.23)= ∆xS

1 − ∆xE1

=[x1(p1, p2, m) − x1(p1, p2, m)

]

−[x1(p1, p2, m) − x1(p1, p2, m)

]

=⇒ ∆x1

∆p1=

∆xS1

∆p1−

∆xE1

∆p1

(2.24)=

∆xS1

∆p1−

∆xE1

∆mx1, (2.25)

204

Mikroökonomik



x2

x1mp1

mp2

bb

x1 inferiores Gut

A

205

Mikroökonomik



x2

x1mp1

mp2

bb

A

bb B

︸︷︷︸−∆xS

1

mp1

mp1

mp1

p1 > p1

x1 Giffen-Gut

206

Mikroökonomik



x2

x1mp1

mp2

bb

A

bb B

bb

︸︷︷︸−∆xS

1︸︷︷︸−∆xE

1

mp1

mp1

mp1

p1 > p1

x1 Giffen-Gut

C

207

Mikroökonomik



Der Slutsky-Substitutionseffekt ist negativ, d.h. ∆xS1

< 0.

Der Einkommenseffekt ∆xE1

kann positiv (normales Gut) odernegativ (inferiores Gut) sein.

Bei einem inferioren Gut sind Einkommenseffekt undSubstitutionseffekt gegenläufig.

Ein Giffen-Gut ist stets inferior.

208

Mikroökonomik



Hicks-Zerlegung des Gesamteffektes einer Preisänderung

John Hicks, britischer Ökonom (1904-1989)

Hicks-Substitutionseffekt

Hicks-Einkommenseffekt

Hicks-Nachfragefunktion: Minimierung der Konsumausgaben zugegebenem Nutzenniveau.

209

Mikroökonomik



x2

x1

I0 := {(x1, x2)|u(x1, x2) = u0}

210

Mikroökonomik



x2

x1

I0 := {(x1, x2)|u(x1, x2) = u0}

m1

p1

m2

p1

m2

p2

m1

p2

211

Mikroökonomik



x2

x1

I0 := {(x1, x2)|u(x1, x2) = u0}

m3

p1

m1

p1

m2

p1

m2

p2

m1

p2

m3

p2

212

Mikroökonomik



x2

x1

bb A

I0 := {(x1, x2)|u(x1, x2) = u0}

m3

p1

m0

p1

m1

p1

m2

p1

m2

p2

m1

p2

m0

p2

m3

p2

213

Mikroökonomik



A kostenminimal auf I0 =⇒ GRS(A) = p1

p2(2.26)

Algebraische Bestimmung von A:

u0 = Nutzenniveau auf I0.

Entscheidungsproblem:

minx1,x2

p1x1 + p2x2 unter der NB u(x1, x2) = u0 (2.27)

L(x1, x2, λ) = p1x1 + p2x2 + λ[u(x1, x2) − u0] (2.28)

214

Mikroökonomik



FOC:

∂L(x1, x2, λ)

∂x1

= p1 + λu1(x1, x2) = 0 (2.29)

∂L(x1, x2, λ)

∂x2

= p2 + λu2(x1, x2) = 0 (2.30)

∂L(x1, x2, λ)

∂λ= u(x1, x2) − u0 = 0, (2.31)

wobei ui (x1, x2) = ∂u(x1,x2)∂xi

, i = 1, 2.

(2.29) und (2.30) =⇒ p1

p2= u1(x1,x2)

u2(x1,x2)(2.32)

215

Mikroökonomik



x∗1 = xH

1 (p1, p2, u0) (2.33)

x∗2 = xH

2 (p1, p2, u0) (2.34)

Bezeichnung

xHi (p1, p2, u0) nennt man Hicks-Nachfragefunktionen oder

‘kompensierte Nachfragefunktionen’.

216

Mikroökonomik



Die Ausgabenfunktion

e(p1, p2, u0) := p1xH1 (p1, p2, u0) + p2x

H2 (p1, p2, u0)

= min(x1,x2)∈R

2+, u(x1,x2) ≥ u0

p1x1 + p2x2 (2.35)

Die Ausgabenfunktion gibt zu jedem Preissystem die minimalenAusgaben zur Erreichung eines vorgegebenen Nutzenniveaus an.

217

Mikroökonomik



L(x1, x2, λ) = p1x1 + p2x2 + λ[u(x1, x2) − u0] (2.28)

Envelope-Theorem

∂e(p1, p2, u0)

∂pi

=∂L(x∗

1, x∗

2, λ∗)

∂pi

(2.28)= x∗

i = xHi (p1, p2, u0).

(2.36)

218

Mikroökonomik



Maximierung des Nutzens bei gegebenem Budget

−→ Marshall’sche Nachfragen.

Minimierung der Konsumausgaben bei gegebenemNutzenniveau

−→ Hicks-Nachfragen.

Es gelten folgende Beziehungen: (siehe Seite 213)

e(p1, p2, u0) = m0 (2.37)

v(p1, p2, m0) = u0 (2.38)

(2.37),(2.38) =⇒ e(p1, p2, v(p1, p2, m0)

)= m0 (2.39)

(2.39): Die Ausgabenfunktion ist die Umkehrfunktion der indirektenNutzenfunktion bei festen Güterpreisen!

219

Mikroökonomik



Beziehung zwischen Hicks-Nachfrage und Marshall’scher

Nachfrage

Lemma

Es gilt:

xHi (p1, p2, u0) = xM

i

(p1, p2, e(p1, p2, u0)︸︷︷︸

m0

), i = 1, 2. (2.40)

Die Hicks-Nachfrage zum Nutzenniveau u0 ist gleich derMarshall’schen Nachfrage zum minimalen Ausgabenniveau für dasErreichen des Nutzenniveaus u0.

220

Roy’s Identität

e(p1, p2, u0) = m0 (2.37)

v(p1, p2, m0) = u0 (2.38)

(2.37),(2.38) =⇒ v(p1, p2, e(p1, p2, u0)

)= u0 (2.41)

0 =∂v(·)

∂pi

+∂v(·)

∂m·∂e(p1, p2, u0)

∂pi

(2.36)=

∂v(·)

∂pi

+∂v(·)

∂m· xH

i (p1, p2, u0)

(2.40)=

∂v(·)

∂pi

+∂v(·)

∂mxMi (p1, p2, m0), ∀ m0.

=⇒ xMi (p1, p2, m) = −

∂v(p1,p2,m)

∂pi∂v(p1,p2,m)

∂m

, (Roy’s Identität) (2.42)

Mikroökonomik



x2

x1mp1

mp2

bbA

p1 > p1

Hick’scher Einkommens- undSubstitutionseffekt

222

Mikroökonomik



x2

x1mp1

mp2

bb

︸︷︷︸mp1

Substitutionseffekt −∆xS1

mp1

B

bbA

p1 > p1


223

Mikroökonomik



x2

x1mp1

mp2

bb

︸︷︷︸mp1

Substitutionseffekt −∆xS1

bb

mp1︸︷︷︸

C

B

bbA

Einkommenseffekt ∆xE1

p1 > p1


224

Mikroökonomik



Nachfragewirkungen von Preisänderungen

- bei konstantem Einkommen: Nachfrageeffekt einer Preiserhöhung

(gewöhnlicher Fall) negativ oder positiv

- bei konstanter Kaufkraft: Nachfrageeffekt einer Preiserhöhung

(Slutsky-Fall) negativ

- beu konstantem Nutzen: Nachfrageeffekt einer Preiserhöhung

(Hicks-Fall) negativ

225

Mikroökonomik



Normale Güter habenpositiven Einkommenseffekt: ∂xi (·)

∂m> 0.

negativen Eigenpreiseffekt: ∂xi (·)∂pi

< 0.

Inferiore Güter habennegativen Einkommenseffekt: ∂xi (·)

∂m< 0.

Giffen-Güter habennegativen Einkommenseffekt: ∂xi (·)

∂m< 0.

positiven Eigenpreiseffekt: ∂xi (·)∂pi

> 0.

226

Mikroökonomik



Weitere Eigenschaften der indirekten Nutzenfunktion

1 Homogenität vom Grade Null: Für eine beliebige positive Zahlλ gilt v(λp, λm) = v(p, m).

2 v(p, m) istzunehmend in m.fallend in allen Preisen.

227

Mikroökonomik



x2

x1mp1

mp2

mp1

bb

bb

p1 > p1

228

Mikroökonomik



Weitere Eigenschaften der Ausgabenfunktion

1 Homogenität vom Grade 1 in p: Für jedes λ > 0 gilte(λp, u0) = λe(p, u0).

Begründung: e(λp, u0) := minx∈R

n+

[λpx | u(x) ≥ u0

]

= λ minx∈R

n+

[px | u(x) ≥ u0

]=: λe(p, u0).

2 e(p, u0) ist zunehmend in allen Preisen.

229

Mikroökonomik



Marktnachfrage

k Konsumenten

xji

(p1, . . . , pn, m

j)

= Nachfrage von Konsument j nach Gut i ,i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , k .

Xi

(p1, . . . , pn, m

1, . . . ,mk)

:=k∑

j=1

xji

(p1, . . . , pn, m

j)

= Marktnachfrage nach Gut i .

230

Mikroökonomik



Beispiel: k = 2 Konsumenten, n = 2 Güter

p2, m1, m2 konstant

Marktnachfrage für Gut 1 in Abhängigkeit von p1?

Die Marktnachfragekurve ergibt sich durch horizontale Addition derindividuellen Nachfragekurven.

231

Mikroökonomik



Nachfrage nach Gut x1

p1

p1

p2, m1, m2 konstant

x11

232

Mikroökonomik




p1

p1

p2, m1, m2 konstant

x11

x21

233

Mikroökonomik




p1

p1

p2, m1, m2 konstant

x11

x21

ˆp1 ︸︷︷︸x11 (ˆp1,p2,m1)

︸︷︷︸x11 (ˆp1,p2,m1)

234

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Kapitel2-1

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