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EPI WS 2007/08 EPI WS 2007/08 EPI WS 2007/08 EPI WS 2007/08 DDDDüüüünnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faessler
I)MechanikI)MechanikI)MechanikI)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik
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3. Vorlesung EP
I) Mechanik
1.Kinematik Fortsetzung2.Dynamik Anfang
Versuche: 1. Freier Fall im evakuierten Fallrohr 2.Funkenflug (zur Kreisbewegung) 3. Affenschuss (Überlagerung von Geschwindigkeiten)4. Luftkissen und skate boards
(Newton1-3, träge Masse, Impulserhaltung)
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I)MechanikI)MechanikI)MechanikI)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik
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Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit-> Beschleunigung a (acceleration)
dt
dv
tt
vv
t
va
12
12 →−−=
∆∆=
Bei konstanter Beschleunigung ergibt Integration:
Lineare Zunahme der Geschwindigkeitund
quadratische Zunahme der Position,
siehe Bilder rechts und Herleitung nächste Seite.
Inte
grie
ren
Ab
leite
n
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I)MechanikI)MechanikI)MechanikI)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik
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Bei konstanter Beschleunigung = constans gilt:
Geschwindigkeitsänderung in der Zeit ∆t: ∆v = a ∆t
Wenn die Geschwindigkeit zur Zeit t=0 den Wert v0 hatte, dann ist sie nach der Zeit t (∆t = t - 0) („Integration von a über Zeit“) : v = a t + v0
Durchschnittsgeschwindigkeit : vmittel = 1/2(vmin +vmax) = 1/2 a t + v0
In Zeit t zurückgelegter Weg („Integration von v über die Zeit“) : ∆x = vmittel t = 1/2 a t2 + v0 t
Ort zur Zeit t : x = ∆x +x0
mit v0 = Anfangsgeschwindigkeit und x0 = Anfangsort
Prominentes Beispiel für konstante Beschleunigung : freier Fall im Schwerefeld der Erde auf Erdoberfläche g = 9.81 m/s 2
Versuch: Freier Fall (Feder und Stein) im evakuierten Fallrohr
a =∆v
∆t
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I)MechanikI)MechanikI)MechanikI)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik
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Vektor ist beschrieben durch die zwei oder drei Koordinaten x,y bzw. x,y,z wie oben; oder durch seine Länge und seine Richtung;
(Richtungsangabe durch Winkel relativ zu den Achsen des Koordinatensystems) .
Geschwindigkeit
r x 1 =
x1
y1
r x 1 =
x1
y1
z1
222 zyxx ++=r
r v =
∆r x
∆ t
r a =
∆r v
∆ t
r v =
r x 2 −
r x 1
t2 − t1
=(x2 − x1)/(t2 − t1)
(y2 − y1)/(t2 − t1)
Bewegung in Ebene und Raum (2- und 3-dimensional)Ort, gemessen von (willkürlichem) Ursprung, ist ein Vektor
2-d oder
und Beschleunigung ebenfalls Vektoren.
(2d))
Beachte:
3-d
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ω =∆ϕ∆t
Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit = Kreisfrequenz:
gemessen in Bogenmaß=Radiant = [rad]
Für genau einen Umlauf gilt: → ∆ϕ = 2π [rad] oder = 2π ohne Einheit→ ∆t = T = Umlaufzeit = Periode
Also gilt: (Mittelwert) ω = 2π/T
Umlauffrequenz f = 1/T (1 Umlauf pro Umlaufzeit T) Einheit von f : Hertz= Hz = 1/s
Zusammenhang zwischen Umlauffrequenz und Kreisfrequenz: ω = 2π/T = 2π f [rad/s] = 2π f [s-1] = 2π f [Hz]
Dabei wird Winkel φ
„Frequenz“ gibt an, wie oft sich wiederholende Ereignisse pro sec stattfinden. Daher gilt:
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vvr= xr
r=
v =
∆r x
∆t= r ⋅
∆ϕ∆t
= r ⋅ ω
r v
r a =
∆r v
∆t a =
r a =
∆r v
∆t=
∆ϕ v
∆t=
∆ϕ∆t
⋅ r ⋅ω = r ⋅ω2
r a
Bahngeschwindigkeit für Kreisbahn mit Radius
Kreisbewegung mit konstantem ω ist beschleunigte Bewegung, obwohl der Betrag v konstant ist, da sich Richtung von ändert.
Beschleunigung :
Richtung: zeigt zum Zentrum der Kreisbewegung
Gilt auch, wenn ω = ω(t), d.h. nicht konstant ist. Für konstantes ω kann v einfach berechnet werden als v= Umfang/Umlaufzeit=2πr/T, siehe Aufg.1-3
→Versuch Funkenflug
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r v gesamtt( )=
r v 1 t( )+
r v 2 t( )+...
r v 0
r v g =
r g ⋅ ∆t
)t(vv)t(v g0gesamt
rrr +=
VERSUCHE: Letztes Mal: Geschoßgeschwindigkeit, Messung mit rotierenden ScheibenÜberlagerung von BewegungenBeispiel: Sie gehen spazieren (v1) in einem Flugzeug, das über Erde fliegt (v2), die um Sonne kreist (v3) ...Momentane Geschwindigkeiten in Raum-Bezugssystem Fixsterne addieren sich:
Anderer Fall: Geschwindigkeitskomponenten in zwei verschiedene Richtungenaddieren sich. Beispiel: Ballistische Bahn, Geschoß mit Anfangsgeschwindigkeit
bei freiem Fall
Versuch mit 2 fallenden Kugeln, eine mit horizontaler Anfangsgeschwindigkeit verschieden von Null, siehe Darstellung nächste Seite.Versuch heute: „Affenschuss“
ergibt zusammen:
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Beschleunigte Bewegung (zweidimensional) -> horizontaler Wurf
Beschleunigung wirkt nur in einer (y) Richtung
Zerlegung der Bewegung in eine- gleichförmige horizontale (x)- beschleunigte senkrechte (y)Komponente. Beide überlagern sich ungestört, verbunden über die Zeit (t)
x = vx0 ty = -½ g t2 + y0
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( )am
t
vmF
rr
r=
∆⋅∆=
mr v =
r p =
Neues Kapitel: 2. Dynamik von Massenpunkten
(Einführung von träger Masse und Kräften)
Newton’s 3 Prinzipien oder Axiome oder Gesetze :
1. Galilei ´sches Trägheitsprinzip:Jeder Körper bleibt in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn wirken
2. Newton ´s Impulssatz :
Kraft = Masse mal Beschleunigung, wenn m konstant in der Zeit (Bedingung bei relativistisch bewegten Objekten nicht mehr garantiert).
Kraft = Zeitliche ImpulsänderungImpuls
3 neue physikalische Größen: Kraft, träge Masse und
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I)MechanikI)MechanikI)MechanikI)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik: 1.Kinematik, 2.Dynamik
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Newtons Prinzipien gelten nur für Inertialsysteme = Bezugssysteme für Raum und Zeit, die sich relativ zu Fixsternhimmel (oder besser: zu unserem Weltall) gleichförmig bewegen (oder ruhen). Orientierung, Nullpunkt, konstante Geschwindig-keit können willkürlich gewählt werden.
r F 12 = −
r F 21
constvm ii
n
1i
=∑=
r
3. Reaktionsprinzip, actio = reactio:Bei Wechselwirkung zwischen zwei Körpern ist Kraft F12, die K1 auf K2 ausübt, entgegengesetzt und gleich im Betrag zu F21 d. h. der Kraft, die K2 auf K1 ausübt:
Impulserhaltungssatz : In einem abgeschlossenen System, d.h. ohne äußere Kräfte ändert sich der Gesamtimpuls nicht!
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r v 1 =
r v 2 = 0
m1
r v 1 + m2
r v 2 = 0
m1
m2
= −v2
v1
Träge Masse mi ist eine grundlegende Eigenschaft von Körpern
Versucheauf Luftkissenschiene und Skate board zur Impulserhaltung und Masse:z. B. Massen zunächst in Ruhe:
Nach Wechselwirkung (interner Kraftwirkung)
Masse m i ist Eigenschaft des Körpers und kann durch Vergleichsmessung mit Referenzmasse bestimmt werden. Masse ist unsere 3. Basisgröße.
Referenzmasse, d. h. Basis(Maß)einheit für träge Masse m 1 Kilogramm = 1 (kg) liegt als Urkilogramm bei Paris
(Masse 1 kg entspricht ungefähr der Masse von 1 (dm)3 = 1 Liter Wasserbei 4°C, 1 bar Druck)