§2.1 Kinematik des Massenpunktes1. Koordinatensysteme:
€
rr =
x
y
z
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
Z
x
y
MP
Kartesische Koordinaten
€
rr =
r
θ
ϕ
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
MP
Kugel (Polar) Koordinaten
€
θ
€
ϕ
r
€
rr =
ρ
ϕ
z
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
MP
Zylinder Koordinaten
€
ϕ
€
ρ
z
€
rr =
x0
y
z0
+ vy ⋅t
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rr =
?
?
?
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rr =
?
?
?
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rr =
ρ ⋅sin(ω ⋅t)
ρ ⋅cos(ω ⋅t)
z0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rr =
r0
θ0
ω ⋅t
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rr =
ρ 0
ω ⋅t
z0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
Bsp:
Geradlinige Bewegung|| Y-Achse:
Kreis um z-Achse:
Schraube:
€
rr =
ρ ⋅sin(ω ⋅t)
ρ ⋅cos(ω ⋅t)
z0 + vz ⋅t
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rr =
?
?
?
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rr =
ρ 0
ω ⋅t
z0 + vz ⋅t
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rr
Gaub 1E1 WS14/15
€
rr (t) =
r v (t)dt∫
€
rv (t) =
r a (t)dt∫
Bahnkurve
Momentangeschwindigkeit tangential zur Bahnkurve
Beschleunigung
Bsp.: Gleichförmige geradlinige Bewegung
€
rv = const.
€
rr (t) =
r v dt∫
Bsp.: konstant beschleunigte Bewegung
€
ra = const.
€
rv (t) =
r a dt∫
€
rr (t) =
r a ⋅t +
r v 0dt∫
€
rr (t)
€
r r (t)
€
rv (t) =
r r (t)
€
rv (t)
x
z
y
€
ra (t) =
r v (t)
€
ra (t)
€
= r r (t)
€
= r
v ⋅t +r r 0
€
= r
a ⋅t +r v 0
€
=1
2r a ⋅t 2 +
r v 0 ⋅t +
r r 0
Gaub 2E1 WS14/15
Bsp.: Freier Fall
€
va =
0
0
−g
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟;
€
vv 0 =
0
0
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟;
€
vr 0 =
0
0
h
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
=>z(t)=−12
⋅ g⋅ t2 +h
€
vz(t)=−g⋅t
Auftreffen bei z=0 nach
€
t=2⋅ hg
Endgeschwindigkeit:
€
vmax= 2⋅g⋅h
z
h
t
-v
€
v =−g⋅t
Bsp.: Schiefe Ebene:
€
ϕ
€
ϕ =15°
€
v g
€
⇒ at = g ⋅sinϕ ≈g
4
Gaub 3E1 WS14/15
Bsp.: Schräger Wurf:
€
rr (t) =
vox ⋅t
0
−1
2gt 2 + v0z ⋅t + h
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
x
z
h
€
ϕ
€
v0z
€
v0x
€
r v 0
Waagrechter Wurf:
€
v0z =0 Senkrechter Wurf:
€
v0x =0
€
t=x
v0x
Scheitel bei:
€
dzdx
=0
€
xs =v0x ⋅v0z
gmax für 45°
€
xw aus
€
z(xw) =0
€
⇒ z(x) = −1
2
g
vox2
x 2 +v0z
v0x
x + h
€
⇒ −g
vox2 xs+
v0z
v0x
=0
€
=cos(ϕ) ⋅v0 ⋅sin(ϕ) ⋅v0
g
€
=v0
2
2 ⋅g⋅sin (2ϕ )
Gaub 4E1 WS14/15
Bewegung mit nicht konstanter Beschleunigung
Bsp.: Kreisbewegung
€
rr =
R ⋅cos(ω ⋅t)
R ⋅sin(ω ⋅t)
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
rv =
−R ⋅ω ⋅sin(ω ⋅t)
R ⋅ω ⋅cos(ω ⋅t)
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
ra =
−R ⋅ω2 ⋅cos(ω ⋅t)
−R ⋅ω2 ⋅sin(ω ⋅t)
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
€
v =dsdtWinkelgeschwindigkeit
€
ω=
€
dϕ
€
ds=R⋅ dϕ
€
r v (t)
€
r v (t+Δt)
R
y
€
v r
€
⇒ va = −ω2 ⋅
v r
€
=−ω2 ⋅R ⋅v e r
€
=R⋅dϕdt
€
=R⋅ω
Gaub 5E1 WS14/15
Zentripetalbeschleunigung
Allgemeine krummlinige Bewegung
€
v ändert Richtung und Betrag
z
x
yp
€
va =
dv v
dtan
at Bsp.:
€
va n = 0 Geraden (z.B. senkrechter Wurf)
€
v a t =0 z.B. Konstante Kreisbahn
Koordinatensystem so wählen, dass
€
ˆ e n
€
ˆ e tund in
€
ˆ x − ˆ y -Ebene liegen
€
=dv
dt⋅ ˆ e t + v ⋅
d ˆ e tdt
€
= va t +
v a n
Approximation der Bahn durch Kreisbögen
€
ds=ρ ⋅dϕ
€
dϕdt
=dϕds
⋅dsdt
=dϕds
⋅v=1ρ
⋅v
€
⇒ va =
dv
dt⋅ ˆ e t +
v2
ρ⋅ ˆ e n
Vergleich konstante Bewegung
€
ρ
€
ρ2
€
dϕ
Gaub 6E1 WS14/15
€
ˆ e t =
cosϕ
sinϕ
0
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
€
dˆ e tdt
=
−sinϕ ⋅dϕdt
cosϕ ⋅dϕdt
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
;
€
ˆ e n =
cos(ϕ +π2
)
sin(ϕ +π2
)
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
€
⇒dˆ e tdt
=dϕdt
⋅ ˆ e n
€
⇒ an =v⋅dϕdt
⋅ ˆ e n
€
⇒ va =
dv
dt⋅ ˆ e t + v ⋅
dϕ
dt⋅ ˆ e n =
dv
dt⋅ ˆ e t +
v2
ρ⋅ ˆ e n
€
=
−sinϕ
cosϕ
0
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
€
ϕ
€
ˆ e t
x
y
p
€
ˆ e n
€
ϕ
Gaub 7E1 WS14/15
Zur Herleitung der Normalbeschleunigung
Newton‘s Mechanics
BraheKepler
GallileiBacon
DescartesLeibnitz
Stellar Orbits
Gravity
F = pddtActio = Reactio
Leibniz
Galilei
Gaub 8E1 WS14/15
Kräfte: Beschreibung von Wechselwirkungen
€
vF Ist ein Vektor zerlegbar; superponierbar
I. Newtonsches Axiom
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.
Def: Impuls
Def: kräftefrei
€
vp = m ⋅
v v
€
Σ v
F i = 0
Bsp.:
€
vF Auflage
€
vF G
€
⇒ Der Impuls eines freien Teilchens ist konstant
Gaub9E1 WS14/15
II. Newtonsche Axiom
Die Ursache einer Impulsänderung ist eine Kraft
€
vF =
dv p
dt
€
vF = m ⋅
dv v
dt+
dm
dt⋅v v
Falls m = const.
€
vF = m ⋅
v a
Masseneinheit:
€
vF [ ] =1
kg ⋅ms2
Gaub 10E1 WS14/15
III. Newtonsches Axiom
Actio = Reactio
Wenn ein Körper A auf einen Körper B ausübt, so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A
€
vF a = −
v F b
Def.:Isoliertes System(abgeschlossenes)
Keine Wechselwirkung mit der Aussenwelt
Bsp.: BA(Wagen oder Skateboards)
€
vF a +
v F b = const
€
⇒d
v p adt
+d
v p bdt
= 0
€
⇒ v
F a = −v F b
Gaub 11E1 WS14/15
Molecular Dynamics Calculations
Solving Newton‘s equation for every atom in pico second intervals
Fi= Fi jΣ=1jjiN( , )x x = /m d x dtFiii222= const
jiFi jFi
S.Cui, J.Yu, F. Kühner, K.Schulten, H.E. Gaub JACS (2007), Vol 129, p 14710-
Gaub 12E1 WS14/15