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Hybride Systeme
Wolfgang Kleier
Universitat Bayreuth
27. Juni 2008
Einleitung Beispiele Unstetige dynamische Systeme Losungskonzepte Weitere Beispiele Literatur
Inhalt
1 EinleitungWas ist ein hybrides System?Hybrider Automat
2 BeispieleWasserstandskontrollsystemHupfender BallGehemmtes Pendel
3 Unstetige dynamische SystemeFallunterscheidung
4 LosungskonzepteEinfachste konvexe DefinitionMethode der aquivalenten SteuerungDrittes Konzept
5 Weitere Beispiele1. Beispiel2. Beispiel
6 Literatur
Einleitung Beispiele Unstetige dynamische Systeme Losungskonzepte Weitere Beispiele Literatur
Was ist ein hybrides System?
Mathematische Beschreibung:
Sei X =n⋃
i=1Xi mit Xi ∩ Xj = Ø fur i 6= j
Es gelte x = fi (x) fur x ∈ Xi
Andere Moglichkeit:
x(t) = f (x(t), i(t))i(t) = ν(x(t), i(t−))
Dabei ist x(t) ∈ Rn, i(t) ∈ I ⊂ Z
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Hybrider Automat
Hybrider Automat
Hybrider Automat = (L,X , Inv ,Act,E )
L: endliche Menge der diskreten Zustande
X ⊂ Rn: kontinuierlicher Zustandsraum
Inv : L→ P(X ), l 7→ Inv(l) ⊂ X Ortsinvariante von l
Act ordnet jedem l ∈ L eine Differenzialgleichung zu:
x = fl(x)
E : endliche Menge von Kanten (Ubergangen, Ereignissen)
Kante E = (l , l ′,Guardll ′ , Jumpll ′)
l , l ′ ∈ L
Guardll ′ ⊂ X Sprungbedingung
Jumpll ′ ⊂ X × X : Sprung
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Hybrider Automat
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Hybrider Automat
Trajektorien des hybriden Automaten
Definition: stetige Trajektorie (l , δ, x)
l ∈ L
δ > 0 Dauer der Trajektorie
x : [0, δ]→ X stetig differenzierbar mit
x(t) ∈ Inv(l)∀t ∈]0, δ[x(t) = fl(x(t))∀t ∈]0, δ[
Definition:Trajektorie des Automaten
Folge von stetigen Trajektorien, sodass zu den Ereigniszeitpunkten
t0 = δ0, tj+1 = tj + δj+1, j = 0, 1, 2, ...
gilt:
xj(tj) ∈ Guardll ′
(xj(tj), xj+1(tj)) ∈ Jumpll ′
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Beispiele
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Wasserstandskontrollsystem
Wasserstandskontrollsystem
Beschreibung:
y(t) ∈ R+: Wasserstand
x(t) ∈ R+: Zeit seit dem letzten Steuersignal
Wasser steigt um 1 Mengeneinh. pro Zeiteinh., wenn Pumpelauft.
Wasser fallt um 2 Mengeneinh. pro Zeiteinh., wenn Pumpesteht.
Bei Wasserstand y(t) = 10 schaltet Pumpe nach 2 Sek. ab.
Bei Wasserstand y(t) = 5 schaltet Pumpe nach 2 Sek. an.
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Wasserstandskontrollsystem
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Hupfender Ball
Hupfender Ball
Beschreibung:
Ball hupft auf einem Tisch
Sprunge ohne Zeitverlust
Stoßzahl e ∈]0, 1[
keine diskreten Variablen
eine kontinuierliche Variable q(Abstand zwischen Tisch und Ball)
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Hupfender Ball
Mathematische Darstellung:
q(t) = −1, falls q(t) > 0q(t+) = −eq(t−), falls q(t) = 0 ∧ q(t) ≤ 0
Kompatibilitatsbedingungen:
Sei q(τ) = 0, q(τ) ≤ 0:
limt↗τ
q(t) = q(τ) = q(τ+) = limt↘τ
q(t)
limt↗τ
q(t) = q(τ−)
q(τ+) = limt↘τ
q(t)
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Hupfender Ball
Mit Anfangsbedingungen: q(0+) = 0 und q(0+) = 1 findenSprunge zu den Zeiten 2, 2 + 2e, 2 + 2e + 2e2, ... statt.
⇒ Haufungspunkt bei 21−e
Menge der Ereigniszeitpunkte: ετ = {2k−1∑j=0
e j |k ∈ N} ∪ { 21−e }
Dennoch gibt es eine Losung:
q(t) =
−12
(t −
k−1∑j=0
e j
)(t −
k∑j=0
e j
), fur
t ∈
]2
k−1∑j=0
e j , 2k∑
j=0e j
[,
k = 0, 1, 2, ...0, fur
t > 21−e
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Hupfender Ball
Graphische Darstellung der Losung:
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Gehemmtes Pendel
Gehemmtes Pendel
Beschreibung:
Pendellange l
Stift verkurzt Pendellangeauf ls
Auslenkungswinkel φ
Bahngeschwindigkeit v amEnde des Pendels
kontinuierlicheZustandsraumvariable:x = (φ, v)
Zwei Zustande:gehemmt: φ ≤ φStift
ungehemmt: φ > φStift
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Gehemmtes Pendel
Im ungehemmten Fall, φ ≤ φStift , gilt:
φ =1
lv
v = −g sinφ
Im gehemmten Fall, φ > φStift , gilt:
φ =1
lsv
v = −g sinφ
x = (φ, v) verhalt sich auch zu den Ereigniszeitpunkten stetig, dierechte Seite dagegen unstetig.
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Gehemmtes Pendel
Bei y = (φ, φ) als Zustandsraumvariable wurde die zweiteZustandsraumvariable zu den Ereigniszeitpunkten von φ zu l
lsφ
springen.
⇒ Komplexitat der Beschreibung ist also abhangig von der Wahlder Zustandsraumvariablen!
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Unstetige dynamische Systeme
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Unstetige dynamische Systeme
Sei φ eine glatte reellwertige Funktion auf dem Rn.
S− := {x ∈ Rn|φ(x) < 0}
S0 := {x ∈ Rn|φ(x) = 0}
S+ := {x ∈ Rn|φ(x) > 0}
Sei f+ ∈ C(S+ ∪ S0),f− ∈ C(S− ∪ S0) und f ∈ C(S+ ∪ S−) mit
f (x) :=
{f+(x), falls x ∈ S+
f−(x), falls x ∈ S−
Betrachte die Differentialgleichung
x(t) = f (x(t))
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x(t) = f (x(t))
Weil x im Allgemeinen auf S0 nicht differenzierbar ist, ersetze dieDifferentialgleichung durch die Integralgleichung
x(t) = x(0) +
∫ t
0f (x(s))ds
(Caratheodory-Gleichung)
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Fallunterscheidung
Sei x0 ∈ S0. Dann gibt es f−(x0), f+(x0).
Fallunterscheidung
1 Beide Vektoren zeigen nach S+
⇒ Caratheodory-Interpretation ist ausreichend.
2 Beide Vektoren zeigen nach S−⇒ analog zu (1).
3 f+(x0) zeigt nach S+, f−(x0) zeigt nach S−4 f+(x0) zeigt nach S−, f−(x0) zeigt nach S+
⇒ Caratheodory-Interpretation liefert kein brauchbaresLosungskonzept
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Losungskonzepte
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Einfachste konvexe Definition
Einfachste konvexe Definition
Sei Situation (4) gegeben.
Fur alle x ∈ S0 sei Tx(S0) der Tangentialraum an S0 in x .
⇒ ∃α ∈]0, 1[:
αf−(x0) + (1− α)f+(x0) = f0(x0) ∈ Tx0(S0)
Dadurch kann eine Funktion f0 in einer Umgebung U(x0) von (x0)definiert werden, sodass ∀x ∈ U(x0) : f0(x) ∈ Tx(S0).
Die Differentialgleichung x(t) = f0(x) definiert eine Bewegung aufS0. (’Rutschbewegung’)
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Methode der aquivalenten Steuerung
Methode der aquivalenten Steuerung
Annahme: f = f (x , u(x))
Dabei sei u(x) eine mengenwertige Funktion, die fur x ∈ S+ ∪ S−einen reellen Funktionswert annimmt und fur x ∈ S0 einabgeschlossenes Intervall U(x) als Werte annimmt.
In (4): Fur x ∈ S0 suche uaq ∈ U(x) mit f (x , uaq(x)) ∈ Tx(S0).
Die Differentialgleichung x(t) = f (x , uaq(x)) beschreibt auch eineRutschbewegung.
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Drittes Konzept
Drittes Losungskonzept
Annahme: f = f (x , u(x))
Dabei sei wieder u(x) ∈ U(x), wobei U(x) fur x ∈ S+ ∪ S− eineinzelner Punkt und fur x ∈ S0 ein abgeschlossenes Intervall sei.
Fur gegebenes x0 sei F (x0) die kleinste konvexe Menge die{f (x0, u)|u ∈ U(x0)} enthalt.
Betrachte die Differentialinklusion x(t) ∈ F (x(t)) ∩ Tx(S0).
⇒ Losung nicht eindeutig⇒ Losungen konnen S0 nicht verlassen
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Drittes Konzept
Falls f (x , u) affin von u abhangt und U(x0) = [u+, u−] mitu+ = lim
x → x0x ∈ S+
u(x) und u− = limx → x0x ∈ S−
u(x), dann sind alle drei
Losungskonzepte gleich.
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Weitere Beispiele
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1. Beispiel
1. Beispiel
Sei θ ∈]0, π[ und ein System gegeben durch:
x1(t) = cos(θu(t))
x2(t) = − sin(θu(t))
u(t) = sgn x2(t)
Fur x2 < 0 und x2 > 0 ist die rechte Seite konstant.Fur x2 = 0 ist ein Rutschzustand moglich.
Wende darauf die Losungskonzepte an.
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1. Beispiel
Die Methode der aquivalenten Steuerung bestimmt u so, dass
x2 = − sin(θu) = 0
Daher ist u = 0 und damit der Rutschzustand gegeben durch
x1 = 1
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1. Beispiel
Die einfachste konvexe Definition liefert eine Konvexkombination
der Vektoren
(cos θ− sin θ
),
(cos θsin θ
), sodass die zweite
Komponente verschwindet.Diese Kombination ist(
cos θ0
)=
1
2
(cos θ− sin θ
)+
1
2
(cos θsin θ
)Der Rutschzustand ist dann gegeben durch
x1 = cos θ
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1. Beispiel
Das dritte Losungskonzept bestimmt zu jedem x0 = (x1, 0) diekleinste konvexe Menge, die
{f (x0, u)|u ∈ U(x)} =
{(cos(θu)− sin(θu)
)|u ∈ [−1, 1]
}enthalt, d.h.
F (x0) =
{(x1, x2)
∣∣∣∣ x1 ∈ [cos θ, 1]x2 ∈ [− sin θ, sin θ]
}
⇒ F (x0) ∩ {(x1, x2)|x2 = 0} = {(x1, x2)|x1 ∈ [cos θ, 1], x2 = 0}
Zu losen ist also die Differentialinklusion
x1 ∈ [cos θ, 1]
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1. Beispiel
Approximation des gegebenen Systems durch ein glattes System:
Approximiere sgn x2 durch tanh(
x2ε
)mit ε > 0 klein.
Dies fuhrt zu dem glatten System:
x1 = cos(θ tanh(
x2ε
)),
x2 = − sin(θ tanh(
x2ε
)) Abbildung: ε = 0.1
Losung des Systems ist:
x1(t) = t + c, x2(t) = 0
Diese Losung erfullt die Bedingung des Rutschzustands nach derMethode der aquivalenten Steuerung.
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1. Beispiel
Approximation des gegebenen Systems durch ein anderes glattesSystem:
x1 = cos(θ)
x2 = − tanh(x2
ε
)sin(θ)
Losung des Systems ist:
x1(t) = t cos θ + c
x2(t) = 0
Diese Losung erfullt die Bedingung des Rutschzustands nach dereinfachsten konvexen Definition.
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1. Beispiel
Die Losung nach der einfachsten konvexen Definition kann manmit der Methode der aquivalenten Steuerung erhalten, wenn mandas System ersetzt durch:
x1 = cos θ
x2 = −u sin θ
u = sgn x2
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2. Beispiel
2. Beispiel
Sei ein System gegeben durch:
x1 = −x1(t) + x2(t)− u(t)
x2 = 2x2(t)(u2(t)− u(t)− 1)
u = sgn x1(t)
In diesem System ist furx1 = 0
−1 ≤ x2 ≤ 1
ein Rutschzustand moglich. Wende darauf die Losungskonzepte an.
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2. Beispiel
Die einfachste konvexe Definition liefert fur alle (x1, x2) mitx1 = 0,−1 ≤ x2 ≤ 1 eine Konvexkombination der Vektoren(−x1 + x2 − 1−2x2
),
(−x1 + x2 + 1
2x2
), sodass die erste
Komponente verschwindet.Diese Kombination ist
(0−2x2
2
)=
(x2 + 1)
2
(−x1 + x2 − 1−2x2
2
)−(x2 − 2)
2
(−x1 + x2 + 1
2x22
)Der Rutschzustand ist dann gegeben durch
x2 = −2x22
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2. Beispiel
Die Methode der aquivalenten Steuerung bestimmt u so, dass
x1 = −x1 + x2 − u = 0
Daher ist u = x2 und damit der Rutschzustand gegeben durch
x2 = 2x2(x22 − x2 − 1)
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2. Beispiel
Das dritte Losungskonzept bestimmt zu jedem x0 = (0, x2) diekleinste konvexe Menge, die {f (x0, u)|u ∈ U(x)} ={(
−x1(t) + x2(t)− u(t)2x2(t)(u2(t)− u(t)− 1)
)|u ∈ [−1, 1]
}enthalt, d.h.
F (x0) =
{(x1, x2)
∣∣∣∣ x1 ∈ [x2 − 1, x2 + 1]x2 ∈ [2x2(−5
4 ), 2x2]
}
⇒ F (x0)∩{(x1, x2)|x1 = 0} = {(x1, x2)|x1 = 0, x2 ∈ [2x2(−5
4), 2x2]}
Zu losen ist also die Differentialinklusion
x2 ∈ [2x2(−5
4), 2x2]
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Literatur:
A.F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous RighthandSides, (Mathematics and Its Applications; 18), Kluwer, Dordrecht1988
A. van der Schaft, H. Schumacher, An Introduction to HybridDynamical Systems, (Lecture Notes in Control and InformationSciences ; 251), Springer, London 2000
M. Johansson, Piecewise Linear Control Systems, (Lecture Notesin Control and Information Sciences ; 284), Springer, Berlin 2003
I.P. Natanson, Theorie der Funktionen einer reellen Veranderlichen,Harri Deutsch, Thun 1977
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