Post on 06-Apr-2015
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Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase
Johannes-Kepler-Gymnasium
Grafisch Differenzieren
Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase
Übersicht
Was uns bevorsteht - Übersicht:
1. Was bedeutet bei einer Weg – Zeit – Funktion
die Steigung des Graphen?
a) Beispiel – A : Schulweg
2. Wie bestimmt man die Steigung bei einer Kurve ?
b) Beispiel – B : Eine frei fallende Kugel
c) Beispiel – C : Auto auf einer Fahrbahn
d) Beispiel – D : Flugzeug
3. Wie lässt sich diese Betrachtung mathematisch verallgemeinern ?
4. Welche Änderungsraten kennen wir schon?
Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase
Paulchens Schulweg
0
100
200
300
400
500
600
0 2 4 6 8 10 12
Zeit t in min
Streckes in m
Beispiel - A: Schulweg
Steigung m = 540 m in 12 min, bzw. 45 m pro minalso eine Geschwindigkeit von v = 45 m/min
in 12 Minuten
540 m
Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase
Paulchens Schulweg
0
100
200
300
400
500
600
0 2 4 6 8 10 12
Zeit t in min
Streckes in m
Beispiel - A: Schulweg
v = 50 m/min
v = 100 m/min
v = 0 m/min
v = 50 m/min
v = 0 m/min
v = 50 m/min
v = 0 m/min
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Beispiel - B: Eine frei fallende Kugel
Experiment:
Der freie Fall einer Kugel
Messwerte
t / s 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0
s / cm 0,0 2,3 9,0 20,3 36,0 56,3 81,0 110,3 144,0 182,3 225,0 272,3 324,0
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Beispiel - B: Eine frei fallende Kugel
Weg - Zeit - Diagramm
0
50
100
150
200
250
300
350
0 2 4 6 8 10 12t / s
s / m
v = 27,0 m/s
270 m
10 s
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Beispiel - C: Auto auf einer Fahrbahn
Galileo Galilei mit seinem HistorischenExperiment: Bewegungeiner Kugel inder Fallrinne
Unsere Messwerte
t / s 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
s / cm 0,0 2,3 9,0 20,3 36,0 56,3 81,0 110,3 144,0 182,3 225,0
Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase
Beispiel - C: Auto auf einer Fahrbahn
Weg - Zeit - Diagramm
0
50
100
150
200
250
300
350
0 2 4 6 8 10 12t / s
s / m
v in
m/s
60__
40__
20__
0__
Geschwindigkeit – Zeit - Diagramm
v = 0 m/sv = 8 m/sv = 16 m/sv = 24 m/sv = 32 m/sv = 40 m/sv = 48 m/s
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Altimeter
Variometer
Beispiel – D : Flugzeug
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Altimeter
Das Altimeter (Höhenmesser)
Da es Luftdruckänderungen in der Atmosphäre gibt und der Luftdruck am Boden vom Standort abhängig ist, muss das Altimeter auf den Luftdruck (QFE-Wert) des nächstgelegenen Flugplatzes eingestellt werden. Dies erfolgt über einen Verstellknopf (links unten) und über eine Druck-Korrekturskala (rechts, in der Mitte in hpa).
ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument.
FunktionDas Altimeter vergleicht den Luftdruck in der Höhe des Flugzeugs mit dem am Boden.Daraus kann die Höhe über dem Boden errechnet werden.
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Altimeter
Höhe über dem Boden+ die Höhe des Flughafens über NN= Höhe des Flugzeugs über dem Meeresspiegelnächster Flughafen – x
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Variometer
Das Variometer(Anzeige über die Veränderung der Höhe)
ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument.
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Variometer
FunktionDas Variometer vergleicht den Luftdruck in der Höhe des Flugzeugs mit einer kurz zuvor erfolgten Messung.Dadurch weiß der Pilot, um wie viel Fuß das Flugzeug pro Minute steigt bzw. sinkt.
Veränderung der Höhe zwischen den beiden Messungen
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Variometer
Ein Teilstrich ist 100 ft./min (1.000 ft./min = 5 m / sec)
Diese Anzeige erfolgt in 100 Fuß
pro Minute (ft./min).
ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument.
Das Variometer(Anzeige über die Veränderung der Höhe)
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„Spur“ eines Fluges
„Spur“ eines Fluges: Flughöhe in Abhängigkeit von der Zeit
1. Welchen Wert hat das Variometer zu einem bestimmten Zeitpunkt angezeigt?2. Wie sähe eine Aufzeichnung des Verlaufs beim Variometer aus?
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„Spur“ eines Fluges
„Spur“ eines Fluges: Flughöhe in Abhängigkeit von der Zeit
Änderung: Anzeige des Variometers
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Flugkurve Nr.1
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Flugkurve Nr. 2
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Flugkurve Nr.3
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Flugkurve Nr.4
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Rückblick
Relativer Hochpunkt
Das Flugzeug steigt, der Graph der Variometer-Aufzeichnung ist im positiven Bereich
Nullstelle des Graphender Variometer-Aufzeichnung
Das Flugzeug sinkt, der Graph der Variometer-Aufzeichnung ist im negativen Bereich
Das Flugzeug verändert seine Höhe nicht! Es steigt bzw.
sinkt also 0 ft./min.
Punkt mit größter positiver Steigung
Punkt mit größter negativer Steigung
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Die drei Fragen
Die drei Fragen
1. Was kann man am Altimeter bzw. am Variometer ablesen?
2. Wie sieht der Graph der Variometer-Aufzeichnung aus, wenn das Flugzeug steigt bzw. sinkt?
3. Was passiert mit dem Flugzeug, an einer Nullstelle der Variometer-Aufzeichnung?
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Aufgaben
In der Grafik sind die Daten eines Variometers im Flugverlauf aufgezeichnet. Rekonstruiere daraus den zugehörigen Graphen des Altimeters.
Erläutere deine Vorgehensweise.
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Aufgaben
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