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Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Verbindung von Arithmetik und
Geometrie - Chance für einen
kindorientierten Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Wer kennt es nicht
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• Schulanfänger ...
Wer kennt es nicht
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• Schulanfänger ...
• Kinder in Klasse 4, nach 3 Jahren
Mathematikunterricht ...
Wer kennt es nicht
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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
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Kernthese:
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
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Kernthese:
Mathematische Bildung muss aus der
Kindperspektive aufgebaut sein
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
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Kernthese:
Mathematische Bildung muss aus der
Kindperspektive aufgebaut sein
und dabei die Fachsystematik im Auge
behalten.
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
• Ist das so selbstverständlich?
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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
• Ist das so selbstverständlich?
• einige Materialien sind Realsatire ...
• Komm mit ins Zahlenland
• Klopfen, Klingeln, Knoten fühlen
• Mit Reimen lernen
• ...
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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
• Ist das so selbstverständlich?
• einige Materialien sind Realsatire ...
• Komm mit ins Zahlenland
• Klopfen, Klingeln, Knoten fühlen
• Mit Reimen lernen
• ...
• sinnfreie Leerbücher
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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
• Rechenschwache Kinder fallen
nicht vom Himmel ...
• es gibt ein Problem der Passung ...
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Lernen von Mathematik ist
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• Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion
Lernen von Mathematik ist
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion
• sozialer Prozess aus der Sache heraus
Lernen von Mathematik ist
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• Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion
• sozialer Prozess aus der Sache heraus
• Prozess, der einer gezielten, geleiteten
Auseinandersetzung bedarf
Lernen von Mathematik ist
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Grundvorstellungen sichern
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Vorstellung zu Zahlen
Grundvorstellungen sichern
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Vorstellung zu Zahlen
Vorstellungen zu Operationen
Grundvorstellungen sichern
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Vorstellung zu Zahlen
Vorstellungen zu Operationen
Größenvorstellungen
Grundvorstellungen sichern
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Vorstellung zu Zahlen
Vorstellungen zu Operationen
Größenvorstellungen
Geometrische Vorstellungen
Grundvorstellungen sichern
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Vorstellung zu Zahlen
Vorstellungen zu Operationen
Größenvorstellungen
Geometrische Vorstellungen
. . . Was heißt das konkret?
Grundvorstellungen sichern
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aktive eigene Sinnkonstruktion . . .
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Verstehen ermöglichen - einsehen
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25 • 36
Verstehen ermöglichen - einsehen
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25 • 36
100 • 9 = 900
Verstehen ermöglichen - einsehen
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25 • 36
100 • 9 = 900
• Ist es die Lehrerin, die hier einen !Trick“
zeigt, ihn ERLAUBT?
oder
• Kann das Kind sehen warum das stimmt?
Verstehen ermöglichen - einsehen
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3 • 8
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6 • 4
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6 • 4
„Halb so hoch ist doppelt so breit.“
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
2
1
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
3
2
1
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
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Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
3
2
1
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Zunächst eine Zeichenübung
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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Zunächst eine Zeichenübung
• Welche arithmetischen Fragen kann
man aufwerfen?
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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Zunächst eine Zeichenübung
• Welche arithmetischen Fragen kann
man aufwerfen?
• Was kann man vermuten?
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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Zunächst eine Zeichenübung
• Welche arithmetischen Fragen kann
man aufwerfen?
• Was kann man vermuten?
• Wie kann man diese Vermutungen
begründen?
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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Kann man Gegebenes und Gesuchtes
vertauschen?
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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Kann man Gegebenes und Gesuchtes
vertauschen?
• Kann man funktionale Abhängigkeiten
untersuchen?
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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Kann man Gegebenes und Gesuchtes
vertauschen?
• Kann man funktionale Abhängigkeiten
untersuchen?
Probieren und notieren Sie ...
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Beispiel: Muster am Zehnerkreis
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Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung
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• Abermals: Aufgabe gelöst
Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung
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• Abermals: Aufgabe gelöst
• realisierbare Ziele?
Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung
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• Abermals: Aufgabe gelöst
• realisierbare Ziele?
• Mögliche Weiterführungen?
Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung
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• Abermals: Aufgabe gelöst
• realisierbare Ziele?
• Mögliche Weiterführungen?
• Möglichkeiten zu differenzierendem
Arbeiten?
Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung
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Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
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• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)
Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
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• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)
• Muster"an"der"Hundertertafel,"amKalender ...
Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
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• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)
• Muster"an"der"Hundertertafel,"amKalender ...
• Wie sieht das Muster aus, wenn nicht
addiert, sondern multipliziert wird?
Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
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• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)
• Muster"an"der"Hundertertafel,"amKalender ...
• Wie sieht das Muster aus, wenn nicht
addiert, sondern multipliziert wird?
... Anlass zum Erkunden von Strukturen,
zu arithmetischen Betrachtungen
Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
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Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
• Welche Sterne berührenim Zehnerkreis jede Zahl?
• Wie ist das im 12er Kreis?
• Gibt es einen Kreis, beidem alle Sterne jede Zahlberühren?
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ENAKTIVE EBENE
IKONISCHE EBENE
VERBAL-SYMB.
Ebene
NONV.-SYMB.
EbeneHier erst mal Terme, statt „fertige“Gleichungen
Ebenen des Lernens nach BRUNER
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Paul hat gesagt, dass dazu die Aufgabe 3 • 2 passt. Wie er das wohl gemeint?
Laura: „Drei mal 2 ist sechs“
I.: „kannst Du es mir zeigen?“
aktive eigene Sinnkonstruktion
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Laura: „Da hinten sind 3“ (malt die drei an)
„Und hier sind 2. Drei mal 2 ist 6“(malt vorn zwei Würfel an)
aktive eigene Sinnkonstruktion
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I.: „Kannst Du mir hier drei mal zwei legen?“
Laura: „Ja, drei mal 2 ist 6“(legt mit Würfeln)
aktive eigene Sinnkonstruktion
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aktive eigene Sinnkonstruktion
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aktive eigene Sinnkonstruktion
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I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“
aktive eigene Sinnkonstruktion
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I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“
Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)
aktive eigene Sinnkonstruktion
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I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“
Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)
aktive eigene Sinnkonstruktion
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I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“
Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)
I.: Was hast Du jetzt gelegt?
aktive eigene Sinnkonstruktion
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I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“
Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)
I.: Was hast Du jetzt gelegt?
Laura: „Das Mal“
aktive eigene Sinnkonstruktion
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20 : 2 = ____
Schreibe dazu einen passenden Text.
aktive eigene Sinnkonstruktion
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20 : 2 = ____
Schreibe dazu einen passenden Text.
20 Autos stehen auf dem Parkplatz.2 Autos fahren weg. Wie viele Autos sind noch da? (Dividiere!)
aktive eigene Sinnkonstruktion
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20 : 2 = ____
Schreibe dazu einen passenden Text.
20 Autos stehen auf dem Parkplatz.2 Autos fahren weg. Wie viele Autos sind noch da? (Dividiere!)
„Eigentlich muss ich minus rechnen, Es wird ja weniger. Aber Du wolltestdoch, dass ich teile.“
aktive eigene Sinnkonstruktion
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Unterricht wird nicht dadurch anschaulich,
dass genau die in den Sachverhalten
benutzten Dinge vorhanden sind.
Anschauung im Mathematikunterricht
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Anschauung im Mathematikunterricht
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Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder
Anschauung im Mathematikunterricht
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Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder
• grundlegende Erfahrungen besitzen,
Anschauung im Mathematikunterricht
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Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder
• grundlegende Erfahrungen besitzen,
• prinzipielle Mittel und Methoden des
Veranschaulichens kennen und
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Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder
• grundlegende Erfahrungen besitzen,
• prinzipielle Mittel und Methoden des
Veranschaulichens kennen und
• diese und ihre produktive Phantasie
nutzen. (vgl. rosa Elefant)
Anschauung im Mathematikunterricht
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...WÜRFEL !
Anschauung im Mathematikunterricht
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...WÜRFEL !
die Bausteine der Raumgeometrie
Anschauung im Mathematikunterricht
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Anschauung im Mathematikunterricht
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Räumliche Objekte und Prozesse
veranschaulichen
• Zahlen,
• Zahlbeziehungen und
• Operationen
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Räumliche Objekte und Prozesse
veranschaulichen
• Zahlen,
• Zahlbeziehungen und
• Operationen
Dabei permanent: Entwicklung des
räumlichen Vorstellungsvermögens
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als Repräsentanten von Zahlen
1. Vorstellen von Objekten
4 8 9
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als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von
Rechenoperationen (statisch)
1. Vorstellen von Objekten
4 8 9 4 + 6 6 + 3
Anschauung im Mathematikunterricht
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als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von
Rechenoperationen (statisch)
als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)
1. Vorstellen von Objekten
2. Vorstellen von Prozessen
4 8 9 4 + 6 6 + 3
Anschauung im Mathematikunterricht
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als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von
Rechenoperationen (statisch)
als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)
1. Vorstellen von Objekten
2. Vorstellen von Prozessen
4 8 9 4 + 6 6 + 3
Anschauung im Mathematikunterricht
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als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von
Rechenoperationen (statisch)
als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)
1. Vorstellen von Objekten
2. Vorstellen von Prozessen
4 8 9 4 + 6 6 + 3
7 + 2
Anschauung im Mathematikunterricht
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Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
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Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl
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Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl
• So nutzen wir den Zahlenstrahl
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Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl
• So nutzen wir den Zahlenstrahl
• Zahlenstrahl und leerer Zahlenstrahl(„Rechenstrich“)
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Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl
• So nutzen wir den Zahlenstrahl
• Zahlenstrahl und leerer Zahlenstrahl(„Rechenstrich“)
• Konstruktion, Medium zum Austauschund zur Diagnose
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Anschauung im Mathematikunterricht
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Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
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8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
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4 8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
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40 8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
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40 8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
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40 8
0 4 8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
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Gleichgültig, wie groß die Einheit ist:4 ist immer die Mitte zwischen 0 und 8
40 8
0 4 8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
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Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
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Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
+ 30
27 + 38
+ 8
27 47 55
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Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
+ 30
27 + 38
+ 8
27 47 55
+ 30
27 + 38
+ 8
27 57 55
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Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
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+ 30
27 + 38
+ 8
27 57 65
Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
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+ 30
27 + 38
+ 8
27 57 65
27 + _ = 65
27 65
Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
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+ 30
27 + 38
+ 8
27 57 65
27 + _ = 65
27 65
20 – _ = 50
20
Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
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Hier spielt die VeranschaulichungZahlenstrahl ihre Mächtigkeit aus:
- gebrochene Zahlen (ZV, OV)- ganze Zahlen (ZV, OV)- Proportionale Beziehungen,
Konsequenz für die Kooperation GS - Sek.
Anschauung im Mathematikunterricht
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Lege mit Würfeln Rechtecke aus.
Bei welchen Zahlen gibt es viele Möglichkeiten?
Bei welchen Zahlen kannst du Quadrate legen?
Bei welchen Zahlen werden es nur „Schlangen“?
Anschauung im Mathematikunterricht
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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Die Summe zweier ungerader Zahlen ist
stets gerade.
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Die Summe von drei aufeinanderfolgendenZahlen ist immer durch 3 teilbar.
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Die Summe von drei aufeinanderfolgendenZahlen ist immer durch 3 teilbar.
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Die Summe von vier aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Die Summe von vier aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Ausgehend von Handlungen können die
Kinder selbst herausfinden, was hier
und bei anderen Zahlen gilt.
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Saufz;-)Summen aufeinanderfolgender Zahlen
Gesetzmäßigkeiten - von der Arithmetik aus
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Welche Zahlen sind keine SAUFZ?
Gesetzmäßigkeiten - von der Arithmetik aus
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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Warum kann man bei Produkten mit
mehreren Faktoren die Faktoren in
beliebiger Reihenfolge multiplizieren?
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Warum kann man bei Produkten mit
mehreren Faktoren die Faktoren in
beliebiger Reihenfolge multiplizieren?
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Warum kann man bei Produkten mit
mehreren Faktoren die Faktoren in
beliebiger Reihenfolge multiplizieren?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?
Wie viele sind es bei 100 Quadraten?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?
Wie viele sind es bei 100 Quadraten?
1 + 2
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?
Wie viele sind es bei 100 Quadraten?
1 + 2
1 + 2 + 3
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Wie viele Quadrate sind in jeder Figur zu
sehen?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Wie viele Quadrate sind in jeder Figur zu
sehen?
Wie viele sind es im Hunderterquadrat?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Wie viele Schnittpunkte entstehenhöchstens bei2 Geraden3 Geraden4 Geraden5 Geraden100 Geraden
Wer sieht die Regelmäßigkeit?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
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Kompetenzen laut Bildungsstandards
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Als Planungs- und Strukturierungshilfe:
• Ein Raster, in das Formen der Auseinandersetzung
mit Mathematik eingeordnet werden können.
• Arten von Aufgaben, die bestimmte Kompetenzen
entwickeln helfen und ein geeignetes Arbeiten mit
ihnen.
Kompetenzen laut Bildungsstandards
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Kompetenzen laut Bildungsstandards
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Kompetenzen laut Bildungsstandards
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• AB I „Reproduzieren“
Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und
das Ausführen von Routinetätigkeiten.
Kompetenzen laut Bildungsstandards
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• AB I „Reproduzieren“
Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und
das Ausführen von Routinetätigkeiten.
• AB II „Zusammenhänge herstellen“
Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen
und Nutzen von Zusammenhängen.
Kompetenzen laut Bildungsstandards
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• AB I „Reproduzieren“
Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und
das Ausführen von Routinetätigkeiten.
• AB II „Zusammenhänge herstellen“
Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen
und Nutzen von Zusammenhängen.
• AB III „Verallgemeinern und Reflektieren“
Das Lösen der Aufgabe erfordert komplexe
Tätigkeiten wie Strukturieren, Entwickeln von
Strategien, Beurteilen und Verallgemeinern.
Kompetenzen laut Bildungsstandards
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Kompetenzen laut Bildungsstandards
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Kompetenzen laut Bildungsstandards
• Bedeutung der kleinen Würfel
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Kompetenzen laut Bildungsstandards
• Bedeutung der kleinen Würfel
• Lernbiografie des Kindes: z. B.: Wo liegen 7 i 8, wo 21 i 5 …
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Kompetenzen laut Bildungsstandards
• Bedeutung der kleinen Würfel
• Lernbiografie des Kindes: z. B.: Wo liegen 7 i 8, wo 21 i 5 …
• Sind alle Felder gefüllt?
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Kompetenzen laut Bildungsstandards
• Bedeutung der kleinen Würfel
• Lernbiografie des Kindes: z. B.: Wo liegen 7 i 8, wo 21 i 5 …
• Sind alle Felder gefüllt?
• Bedeutung des Arbeitens mit Aufgaben.
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Kompetenzen laut Bildungsstandards
Anmerkung zu Muster und Strukturen
„A pattern describes a problem which occurs over and
over in our environment, and then describes the core of
the solution to that problem.”
Christopher Alexander (1977)
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Bildungsstandards der KMK
• Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich
in der Auseinandersetzung mit Mathematik und auf die
gleiche Weise werden sie erworben
• Die angestrebten Formen der Nutzung von
Mathematik müssen daher auch regelmäßig genutzte
Formen des Mathematiklernens sein.
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Also: Geeignetes Arbeiten mit passenden Aufgaben
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Arbeiten mit Aufgaben
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AUFGABEN
Arbeiten mit Aufgaben
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AUFGABEN
sind Aufforderungen zum Handeln
Arbeiten mit Aufgaben
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AUFGABEN
sind Aufforderungen zum Handeln
• die das Kind mit seinem Wissen und Können bewältigen kann oder
Arbeiten mit Aufgaben
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AUFGABEN
sind Aufforderungen zum Handeln
• die das Kind mit seinem Wissen und Können bewältigen kann oder
• als unbewältigbar erkennen kann.
Arbeiten mit Aufgaben
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AUFGABEN
sind Aufforderungen zum Handeln
• die das Kind mit seinem Wissen und Können bewältigen kann oder
• als unbewältigbar erkennen kann.
Was für ein konkretes Kind eine Aufgabe ist, hängt also
von diesem Kind ab, ist eine Frage der Passung!
(vgl. L. Wygotski)
Arbeiten mit Aufgaben
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Als Tätigkeit des Lehrers
Arbeiten mit Aufgaben
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Als Tätigkeit des Lehrers
• Auswahl der Aufgaben
Arbeiten mit Aufgaben
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Als Tätigkeit des Lehrers
• Auswahl der Aufgaben
• Anordnung der Aufgaben
Arbeiten mit Aufgaben
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Als Tätigkeit des Lehrers
• Auswahl der Aufgaben
• Anordnung der Aufgaben
• Stellen der Aufgaben im Unterricht
Arbeiten mit Aufgaben
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Als Tätigkeit des Lehrers
• Auswahl der Aufgaben
• Anordnung der Aufgaben
• Stellen der Aufgaben im Unterricht
• Ingangsetzen und Inganghalten des Prozesses der
Aufgabenbearbeitung
Arbeiten mit Aufgaben
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Als Tätigkeit des Lehrers
• Auswahl der Aufgaben
• Anordnung der Aufgaben
• Stellen der Aufgaben im Unterricht
• Ingangsetzen und Inganghalten des Prozesses der
Aufgabenbearbeitung
• Organisation der Rückbesinnung
! auf das Ergebnis
! auf den Lösungsweg
Arbeiten mit Aufgaben
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Eine Vielzahl wesensverschiedener Angebote ist
• unter realen Bedingungen kaum praktikabel,
• für leistungsschwächere Kinder eher frustrierend,
• Leistungsunterschiede zementierend.
Heterogenität der Leistungsniveaus
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Heterogenität der Leistungsniveaus
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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
Heterogenität der Leistungsniveaus
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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
• deren Wesen alle Kinder erfassen können,
Heterogenität der Leistungsniveaus
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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
• deren Wesen alle Kinder erfassen können,
• die erst einmal allen offen stehen,
Heterogenität der Leistungsniveaus
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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
• deren Wesen alle Kinder erfassen können,
• die erst einmal allen offen stehen,
• an denen alle Kinder - und sei es in elementarster
Form - arbeiten können,
Heterogenität der Leistungsniveaus
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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
• deren Wesen alle Kinder erfassen können,
• die erst einmal allen offen stehen,
• an denen alle Kinder - und sei es in elementarster
Form - arbeiten können,
• in die Kinder während der Arbeit unterschiedlich
tief eindringen können,
Heterogenität der Leistungsniveaus
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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
• deren Wesen alle Kinder erfassen können,
• die erst einmal allen offen stehen,
• an denen alle Kinder - und sei es in elementarster
Form - arbeiten können,
• in die Kinder während der Arbeit unterschiedlich
tief eindringen können,
• die von der Lehrerin rasch durch Variation
erschwert oder vereinfacht werden können
Heterogenität der Leistungsniveaus
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geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Beispiel 1: Rechentreppen
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Beispiel 1: Rechentreppen
5 + 2 = 7
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Beispiel 1: Rechentreppen
5 + 2 = 7
2 + 7 = 9
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Beispiel 1: Rechentreppen
5 + 2 = 7
2 + 7 = 9
7 + 9 = 16
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Beispiel 1: Rechentreppen
5 + 2 = 7
2 + 7 = 9
7 + 9 = 16
Wie kann damit gearbeitet werden?
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Entdeckungen an Rechentreppen
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Entdeckungen an Rechentreppen
Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Entdeckungen an Rechentreppen
Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...
5‘ + 2 = 7‘
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Entdeckungen an Rechentreppen
Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...
5‘ + 2 = 7‘
2 + 7‘ = 9‘
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Entdeckungen an Rechentreppen
Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...
5‘ + 2 = 7‘
2 + 7‘ = 9‘
7‘ + 9‘ = 16‘‘
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Entdeckungen an Rechentreppen
Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...
5‘ + 2 = 7‘
2 + 7‘ = 9‘
7‘ + 9‘ = 16‘‘
Funktionale Abhängigkeiten erfassen, beschreiben
und begründen.
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
__ + __ = __
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
__ + __ = __
__ + __ = __
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = 100
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = 100
Wer findet hier eine, mehrere, alle Lösungen?
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = 100
Wer findet hier eine, mehrere, alle Lösungen?
Diese Fragen kann die Lehrerin ohne Extrakopie o.ä.
bei Bedarf aufwerfen.
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Nebenbei: Gibt es für jede Zahl x Lösungen?
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = x
Braucht man dazu Variablen? - (Kanone auf Spatz)
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Nebenbei: Gibt es für jede Zahl x Lösungen?
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = x
Braucht man dazu Variablen? - (Kanone auf Spatz)
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
a + b = a + b
b + a + b = a + 2b
a + b + a + 2b = 2a + 3b
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Nebenbei: Gibt es für jede Zahl x Lösungen?
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = x
Braucht man dazu Variablen? - (Kanone auf Spatz)
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
a + b = a + b
b + a + b = a + 2b
a + b + a + 2b = 2a + 3b
Besser: Inhaltlich überlegen …
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geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Deutlich wird:
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Deutlich wird:
• Es gibt keine „guten“ Aufgaben „an sich“.
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Deutlich wird:
• Es gibt keine „guten“ Aufgaben „an sich“.
• Es gibt nur Aufgaben mit Potenzen und
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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Deutlich wird:
• Es gibt keine „guten“ Aufgaben „an sich“.
• Es gibt nur Aufgaben mit Potenzen und
• ein geeignetes Arbeiten mit diesen Aufgaben.
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
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geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Nicht alle Kinder kommen bei der Arbeit an
Rechentreppen zu funktionalen Betrachtungen . . .
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geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Nicht alle Kinder kommen bei der Arbeit an
Rechentreppen zu funktionalen Betrachtungen . . .
Also: Funktionale Betrachtungen beim Arbeiten
an weiteren Aufgabenformaten aufgreifen.
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Korrespondenz: Standards und Lernen
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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
Korrespondenz: Standards und Lernen
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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
Korrespondenz: Standards und Lernen
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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
ResultatLösung
6 • 8 = 48
Korrespondenz: Standards und Lernen
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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "
ResultatLösung
6 • 8 = 48
Korrespondenz: Standards und Lernen
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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "
ResultatLösung
6 • 8 = 48
• Fähigkeiten
• Verfahrensk.
• Gewohnheiten
• Einstellungen
Korrespondenz: Standards und Lernen
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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "
ResultatLösung
6 • 8 = 48
• Fähigkeiten
• Verfahrensk.
• Gewohnheiten
• Einstellungen
• Kenntnisse
der GAG
Korrespondenz: Standards und Lernen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "
ResultatLösung
6 • 8 = 48
• Fähigkeiten
• Verfahrensk.
• Gewohnheiten
• Einstellungen
• Kenntnisse
der GAG
„Inneres Bild“ vom Mathematikunterricht
Korrespondenz: Standards und Lernen
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ENAKTIVE EBENE
IKONISCHE EBENE
VERBAL-SYMB.
Ebene
NONV.-SYMB.
EbeneHier erst mal Terme, statt „fertige“Gleichungen
Ebenen des Lernens nach BRUNER
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E - I - S- verstehen- anwenden