des UniversumsDie Geometrie - lsw.uni- · PDF fileKausale Struktur der RaumZeit ... (gemessen...

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Max Camenzind

APCOSMO

TUDA @ SS2012

• Hubble: Das Universum der Galaxien expandiert !

• Das Universum ist jedoch ein Kontinuum aus Raum und Zeit

Das Universum Expandiert Der Raum wird gestreckt

Mike Turner 2009

• Wie beschreibt man ein expandierendes Universum ? – nur über Einstein

• Woraus besteht das Universum ? – DM, B, DE

• Dynamik: Die 2 Friedmann-Gleichungen

• Die Zustandsgleichung der Materie - w

• Zeitliche Dichteentwicklung bis heute.

• Modelle des Universums: de Sitter, LCDM, …

• Alter des Universums

• Leuchtkraftdistanz SN Ia vermessen das Universum.

• Winkeldurchmesser im expandierenden Universum.

• Die Fundamentalebene der Kosmologie.

Basics zur Kosmologie

1915 zeigt Albert Einstein Die Geometrie

der RaumZeit folgt aus Energie und Impuls Verteilung.

Allgemeine Relativitätstheorie

(ART) (ART) zur Beschreibung des

RaumZeit Kontinuums.

Albert Einstein

Grundlage ART

H.P. Robertson

Amerikaner

A.G. Walker

Britisch

W. de Sitter

Holländer

Albert Einstein

Deutsch

A. Friedmann

G. LeMaitre

Belgier

Allgemeine Herleitung der Metrik eines

isotropen und homogenen Universums in

ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)

Allgemeine

Relativität (1915);

Statisches, geschl.

Universum (1917)

Vakuum-Energie-

gefülltes

Universum

“de Sitter” (1917)

Entwicklung eines homogenen,

expandierenden Universums

“Friedmann Modelle” (1922) „burst of fireworks“ 1927

hat den Big Bang erfunden

Die Begründer der Kosmologie

Lemaître überzeugt Einstein 1932 Einstein gibt das statische Universum auf

… treffen sich in Kalifornien Lemaître überzeugt Einstein ! Einstein-de-Sitter

• Im freien Fall sieht ein Fundamental-Beobachter

lokal die RaumZeit der Speziellen Relativität

(Einsteinsches Äquivalenzprinzip):

Minkowski RaumZeit = flach

• Spezielle Relativität Minkowski-Raum: 4D

• Alle Fundamental-Beobachter messen daher

dieselben Zeitunterschiede dt.

22222222 dzdydxdtcdcds

Einsteinsches Äquivalenzprinzip

3-Raum

Zeitartig

Raumartig

Lichtartig, Null

In jedem Ereignis

ist ein Lichtkegel

definiert.

Kausale Struktur der RaumZeit

Beobachtungen

sind nur längs

Lichtkegel

möglich !

Messen mit Euklidischer Metrik

ds2 dx2 dy22-D

ds2 dx2 dy2 dz23-D

ds2 dr2 r2d22-D

2222222 sin drdrdrds 3-D

r sind

(dx2+dy2)1/2

Kugelkoordinaten

Winkel d(Rektaszension)rd

Großkreise Winkel

(Deklination)

r sin() d

Nach Pythagoras:

ds² = r² d² + r²sin² d²

ds² = g11

d² + g22

Metrische Funktionen:

= r² , g22

= r²sin²

Messen auf der Kugelfläche S²

Sphäre mit Radius r

Einstein 1915: RaumZeit =

Riemannsche Geometrie

ds2 giji, j 0

dx idx j

• gij is der Metrische Tensor (symmetrischer Tensor 2. Stufe) : 10 Fun • Vorschrift, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet • Aus metrischem Tensor werden Riemann und Ricci Tensoren berechnet. Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole. Technische Details, s. ART Vorlesung, oder Lehrbuch: Hobson, Efstathiou & Lasenby: GR, Introduction for Phys., CUP2006

ikikikik TcGgRgR )/8( 4

GEOMETRIE VAKUUM MATERIE

Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm:

folgt aus Riemann Tensor

Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Vakuum-Energie, …)

Krümmung der RaumZeit

Bestätigung im Sonnensystem

• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).

• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.

• Periheldrehung der Planeten, insbeson-dere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.

• Shapiro-Laufzeitverzögerung.

• Diese Effekte treten verstärkt auch bei Binär-Pulsaren auf.

• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitations-wellen existieren (gibt es in Newtonscher Physik nicht).

Materie des heutigen Universums

Dunkle Materie im Coma-Haufen Fritz Zwicky 1933 Haufen nicht gebunden

Dunkle Materie im Coma-Haufen

Bindet Haufengas gravitativ

Optisch

dominiert 2 Ellipsen Röntgenstrahlung

Van Waerbeke & Heymans

Galaxienhaufen bilden sich in DM Halos

Dunkle Materie in Galaxien Vera Rubin Rotationskurven

Scheibe

Galaxie eingebettet

in Halo Dunkler Materie

100 kpc

Michael S Turner

Mike Turner

Weder Erde noch Sonne

im Zentrum des Universums !

Kosmologisches Prinzip (Milne 1933)

1. Wir befinden uns an keiner

ausgezeichneten Position des

Universums ( kein Zentrum).

2. Das Universum ist isotrop. Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!

Isotropie der CMB-Strahlung

2000 –

2008 S

Jeder Punkt

ist eine Galaxie

Wir sind

scheinbar

im Zentrum

Universums

Kugel-

Schale:

r = const

Kugel-

schalen

expandieren

mit der Zeit

r a(t) r

Photosphäre

Universum

3000 K

2,725 K

Galaxien-

Sphäre

Big Bang Kosmische Sphären

iversu

Alter des Universums in Mrd. Jahren

381000 a 0

? Modernes Universum

Kosmische Sphären je tiefer umso jünger

• Wie sieht der Raum aus ds32 ?

• Aus Kosmologischen Prinzip

(Homogenität + Isotropie)

räumliche Krümmung

überall konstant.

• Nur 3 Möglichkeiten: • 3-Sphäre – positive

Krümmung K > 0

• 3-Sattel – negative

Krümmung K < 0

• Flacher E3 – keine

Krümmung K = 0

Geometrien des 3-Raumes

FLRW RaumZeit des Universums

r,, sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Objekte).

t: ausgezeichnete kosmologische Zeit (gemessen von Atom-

uhren im Zentrum von Galaxienhaufen).

dx = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).

a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.

a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt

die universelle Expansionsrate des Universums.

a(t0) = 1 normiert, wobei t0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).

Räumliche Krümmung (+1,0,-1)

FLRW Geometrie des Universums

• Dieses Friedmann-Modell des expandier-enden Universums erklärt folgendes:

• 1. wie Photonen im Universum propagieren Lichtkegelstruktur;

• 2. die kosmologische Rotverschiebung;

• 3. das Hubble-Gesetz und seine nicht-lineare Erweiterung für z > 0,1;

• 4. Distanzen im Universum als Func(z);

• 5. Winkeldurchmesser als Func(z).

• 6. Alter des Universums als Func(z).

Das Friedmann-Universum erklärt

1. Lichtausbreitung: längs Null-Geodäten

• Wie propagieren Photonen im expandierenden Universum ?

• Betrachte Photon emittiert bei

(re) längs einer Linie mit konst

Länge und Breite (d= 0 = d).

• Die Trajektorie ist eine

Null-Geodäte (Eigenzeit = 0):

0)( 222222 drtRdtcdc k = 0

Lichtausbreitung unter Expansion

• Bewegungsgleichung eines Photons (a = R):

“Comoving distance”

= mitbewegte Distanz

nimmt ab.

drtRdtc

2. Kosmologische Rotverschiebung

Da rechte Seiten identisch

Der erste Term hebt sich gegen letzten weg

Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt !

Intrinsische Leuchtkraft und beobachter Strahlungsstrom:

Die Berechnung der intrinsischen Leuchtkraft einer Galaxie bei Rotversch. z

mittels beobachtetem Strom beruht auf der Struktur der Null-Geodäten

Robertson-Walker Metrik:

22 2 2

dr0 ds cdt R(t)

2 2 2 2 2 2 2

drds c dt R (t) r sin d d

3. Das Hubble-Gesetz Expansion

Hubble-Gesetz

& Bedeutung H0

Hubble-Gesetz mit Supernovae

• H0 ist die “Hubble Konstante”,

• H0 = 63 +/- 6

km/s/Mpc

Calán/Tololo Daten 1989 - 1995

• in jedem expandierenden Universum

tritt die kosmische Rotverschiebung auf

1+z = 1/a Maß für die Schrumpfung;

• Wellenlängen werden durch die

Expansion gestreckt: lBeob = lem(1+z);

• kosmische Rotverschiebung ist kein

Dopplereffekt (Lemaître 1927);

• in jedem expandierenden Universum

ist Hubble-Relation cz = H0d erfüllt, z<0,1

Fazit: Expansion

Von Einsteins Feld-Gleichungen zu

Friedmann-Gleichungen 1922

G00 = 3/a2 (å2 + kc²)/c²

Gki = 1/a2 (2aä + å2 + kc²)/c² k

Tmn= diag[(t)c², –p(t), –p(t), –p(t)] = Energie-Impuls-Tensor

Einsteins Feld Glg

i,k = 1,2,3

Friedmann-

Gleichungen

Gegeben Zustandsgleichung p(), zu lösen a(t)…

3 (å2 + kc²) /a2 = 8 G (t)

(2a ä + å2 + kc²) /a2 = -8 G p(t)/c²

Gmn = Rm

n – 1/2 mn R = 8G/c4 Tm

Lemaître 1927

Friedmann

1922 & 1924

1. Hauptsatz der

Thermodynamik

Beschleunigung

2 Terme

Materie bremst

• Aus den Friedmann-Gleichungen (c=1):

~ a-3(w+1)

• folgt

– d/dt(a3) = -p d/dt(a3) dU = -p dV , dS = 0

• Für Zustandsgleichung p = w gilt dann

• a3 d = -(w+1) 3 a2 da

• Falls w=constant

3 (å2 + k) /a2 = 8 G (t)

(2a ä + å2 + k) /a2 = -8 G p(t)

Energieerhaltung (1. Hauptsatz)

• Definiert über die Gleichung: p = w c²

• als “Zustandsgleichung (EoS)” bezeichnet

• Spezielle Werte:

– w=0 p=0 zB. Dunkle Materie, Baryonen;

– gut erfüllt für nicht-relativistische Baryonen!

– w=1/3 Strahlung, masselose Neutrinos

– w=-1 Vakuumenergie, sieht wie kosmologische Konstante aus.

Die Kosmische

Zustandsgleichung w

• Materie dominiert (w=0): ~ a-3

• Strahlung dominiert (w=1/3): ~ a-4

• Kosmologische Konstante (w=-1): = const

• Dunkle Energie mit w<-1, zB w=-2: ~ a3 – Energiedichte würde dann zunehmen!

– würde dann sogar Materie dominieren, die aus normalen Elementen besteht! (sog. “Big Rip”)

– w < -1 ist unwahrscheinlich.

– -1 < w < -1/3 jedoch möglich.

~ a-3(w+1)

Die Entwicklung der Dichte

Dichte-Entwicklung im

expandierenden Universum

Dunkle Energie

Dichte-Entwicklung ; 1+z = 1/a

• tot = r + m + DE

• r = r 0 a-4 , da ~ a-4 und a = 1 heute

– r0 ≡ heutige Strahlungsenergiedichte

– r0 ≡ r0 / crit nach Definition

– Index 0 wird häufig weggelassen r0

• Deshalb gilt r = crit r a-4

– und ähnlich für m, DE

• Daher finden wir für Dichte in Friedman-Glg

tot = crit [ r a-4 + m a-3 + DE a-3(1+w)]

falls w für DE constant

Totale Dichte-Entwicklung

Hubble-Radius

RH = c/H0

= 4200 Mpc

Da das Univer-

sum flach

erscheint:

k = - 0,006

k = +1

R0 > 10 RH

Fundamentalebene

der Kosmologie

Omega-Parameter des Universums

• Einsetzen in Friedmann-Glgl., H0 ≡ (å/a)0:

(t) = crit [ r a-4 + m a-3 + DE a-3(1+w)]

(å/a)2 = 8 G (t) /3 – kc²/a²

H2 (z) = H02 [ r (1+z)4 + m (1+z)3

+k (1+z)2 + DE (1+z)3(1+w) ]

1+z = 1/a

w = const

Die 1. Friedmann Gleichung

• Einsetzen in Friedmann-Glgl., 1+z = 1/a • beschreibt Expansionsrate bei Rotverschiebung z.

H(z) = H0 [ r (1+z)4 + m (1+z)3

+k (1+z)2 + DE (1+z)3(1+w) ]1/2

Die Hubble-Funktion

Dichte-Entwicklung ; 1+z = 1/a

Drei Phasen in Dichte-Entwicklung

dominiert

Materie

dominiert Strahlung

dominiert

• (i) Hubble-Konstante H0;

• (ii) Dichteparameter der nicht-

relativistischen Materie: m = DM + B.

• (iii) Dichteparameter der relativistischen

Materie: rad = g + n

• (iv) Krümmungsparameter k = -k RH²/R0².

Dabei gilt heute R0 >> RH CDM-Modell

• (v) Parameter der Dunklen Energie DE=

• (vi) Zustandsgleichung der Dunklen Energie

w ~ -1, w´ = 0 („Vakuum Energie“).

Die Parameter des Universums

Zusammenfassung

• Nur ein Relativistisches Modell kann das

expandierende Universum erklären FLRW

• Das Kosmologische Prinzip Geometrie.

• Friedmann-Gleichungen bestimmen die

Expansion des Universums.

• Materie besteht aus verschiedenen

Komponenten: Baryonen, Photonen, Neutrinos,

DM und Dunkle Energie.

• Die Omega-Parameter des Universums.

• Die einzelnen Anteile bestimmen die Expansion –

heutiges Universum offenbar durch Dunkle

Energie dominiert und flach, da R0 > 10 RH.

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