Post on 06-Apr-2016
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Berechnung stationärer Strömungen in Fließgewässern
Olaf A. Cirpka, Eawag W+TWolfgang Kinzelbach, ETH IfU
Variablen + Relationen
• Durchfluss Q [m3/s]• Laterale Zuflüsse q [m2/s]• Fließgeschwindigkeit u = Q/A [m/s]• Querschnittsfläche A [m2]• Abflusstiefe h [m]• Gewässerbreite b [m]• Sohlgefälle I0 [-]
• Reibungsgefälle IE [-]• Benetzter Umfang U [m]• Hydraulischer Radius rhyd = A/U [m]
h
dbhA0
)()(
Definition von Höhenh Abflusstiefe
u2/(2g)Geschwindigkeitshöhe
H0
spezifische EnergiehöhezGeodätische Höhe des Talweges
HE
Energiehöhe
Reibungsansätze• Darcy-Weisbach
– Rohrhydraulik– Reibungsbeiwert
• Gauckler-Manning-Strickler– Beiwert hängt von rhyd ab– Neuer, dimensionsbehafteter
Koeffizient• Strickler Koeffizient kSt [m1/3/s]• Manning’s n [s/m1/3]
hydE gr
uI8
2
3/42
2
3/4
22
hydSthydE rk
ur
nuI
Typische Reibungsbeiwertekst [m1/3/s] n [s/m1/3]
gerader Fluss mit glatter Sohle
30-40 0.025-0.033
mäandrierend, verkrautet 20-30 0.035-0.050mit vielen Büschen und Becken
7-14 0.070-0.150
grasiges Vorland 20-40 0.025-0.050Vorland mit Büschen 6-30 0.035-0.160bewaldetes Vorland mit Unterholz
5-12 0.080-0.200
Normalabfluss
• Gleichförmiger Abfluss: h(x) = h x• Reibungsgefälle = Sohlgefälle• Wird über lange Fließstrecken ohne Änderungen
erreicht
nrI
u
rnuI
II
hyd
hyd
E
3/22/10
3/4
22
0
0
03/2
3/52/10 nU
AIQ
UAr
AQu hyd ;
Normalabflusstiefe
• Newton Verfahren
)(
35
32
)(
)(
0)(
3/2
3/22/10
3/5
3/52/10
3/2
3/52/10
1
1
hbhA
nUAI
hU
nUAI
hf
nUAIQhf
hfhfhh
hf
iiii
h
f
f(h)
f(hi)
hi+1
Gegliederter Querschnitt
• Überströmung von Vorländern:– größere Rauhigkeit als in Flussschlauch– geringere Abflusstiefe– Niedrigere Geschwindigkeit
linkes Vorland rechtes VorlandFlussschlauch
Normalabfluss in gegliederter Querschnitten
• Gleiches Energieliniengefälle in Flussschlauch und auf Vorländern: IE,F = IE,V = I0
• Berechne für jeden Abschnitt Fläche, Umfang und Durchfluss
• Addiere alle Teilabflüsse• Umkehrung h(Q) erfordert
Iteration
03/2
3/52/10
i ii
i
UnAIQ
linkes Vorland rechtes VorlandFlussschlauch
Ungleichförmiger stationärer Abfluss
• Veränderung mit dem Fließweg• Ursachen der Ungleichförmigkeit:
– Rückstau– Änderung des Gefälles– Änderung des Profils– Änderung der Rauhigkeit
• Erfordert Integration der stationären Saint-Venant Gleichungen (Volumen- und Impulsbilanz)
Annahmen
• Erhalt von Volumen und Impuls in einer infinitesimal dünnen Flussscheibe
• Eindimensionale Betrachtung• Gleichförmige Geschwindigkeitsverteilung über
den Querschnitt:
• Reibung nach Gauckler-Manning-Strickler
AQdAu
A
22
Impulserhalt 1:Speichergröße und Flüsse
• Impulsdichte s = u• Gesamtimpuls im Querschnitt
• Impulsflussdichte in Längsrichtung: konvektive Impulsübertragung plus hydrostatische Druck
• Gesamtimpulsstrom [Kraft])(2 hguf
)()()(
2
0
2grav
h
hhgAA
QdbhgdAuF
QdAuS
Impulserhalt 2:Quellen/Senken
• Reibung an der Sohle
• Beschleunigung durch Sohlgefälle
• (Druckkräfte auf die Sohle bei Veränderung des Querschnitts)
0AgIxzAg
EAgIU 0
Impulserhalt 3:Bilanzgleichung
SenkenQuellenxF
tS
Allgemeine Bilanzgleichung:
Egrav
Egrav
IIAghhgAA
Qxt
Q
IIAghhgAA
Qxt
Q
0
2
0
2
)(
)(
Einsetzen der Terme:
Impulserhalt 4:Divergenz des Impulsstroms
xhgA
AQ
x
hbhxhhb
xhhA
xhg
AQ
x
dbhx
hdbhx
hhdbxhg
AQ
x
dbdbhx
gA
Qx
dbhx
gA
Qx
dbhgdAuxx
F
hhh
hh
h
h
2
2
000
2
00
2
0
2
0
2
)()(
)()()(
)()(
)()(
)()(
• Hier für konstantes ProfilGilt nur, wenn Zustandsgrößen stetig differenzierbar sind!
Saint Venant Gleichungen
EIIAgxhAg
AQ
xtQ
qxQ
tA
0
2
ltImpulserha
altVolumenerh
EIIAgxhAg
AQ
x
qxQ
0
2
ltImpulserha
altVolumenerh
Stationäre Strömung:
Anmerkung zu den Saint Venant Gleichungen
• Bei graduellen Veränderungen der Zustandsgrößen sind die Impulsgleichung und die Energiegleichung identisch
• Bei Diskontinuitäten ist dies nicht mehr erfüllt:– Gesamtimpulsstrom ist an der Diskontinuität
kontinuierlich (Kräftebilanz)– Mechanische Energie bleibt nicht erhalten
(lokale Verluste)
Berechnung von Durchfluss und Abflusstiefe
EIIAgxhAg
AQ
x
qxQ
0
2
ltImpulserha
altVolumenerh
xhbuuq
xh
hA
AQ
xQ
AQ
AxQ
xQ
AAQ
x
22
2
222
22
11
Umformung:
uqIIAgxhbuAg E 20
2
Einsetzen:
Berechnung von Durchfluss und Abflusstiefe
AguqII
xhFr
qxQ
E21feAbflusstie
Durchfluss
02
AgbuFr Froude Zahl:
kritische Froude-Zahl: 1
Berechnung von Durchfluss und Wassertiefe
• Durchflussberechnung immer stromabwärts
erfordert Flussrandbedingung am Zufluss
• Wasserstandsberechnung abhängig von Froude-Zahl– Fr<1 (strömender Abfluss): Integration stromaufwärts
erfordert Randbedingung am Ausfluss– Fr>1 (schießender Abfluss): Integration stromabwärts
erfordert 2. Randbedingung am Zufluss
qxxQxxQ )()(
• Strömender Abfluss:
• Schießender Abfluss:
– Werte Term in der Klammer an x 0.5x aus– Erfordert Iteration
Berechnung der Wassertiefe
xhFr
AguqIIxxhxxh E
20 2)()(
20
2)()( Frxh
AguqIIxxhxxh E
Randbedingungen
• NormalabflussIE = I0
• Kritischer AbflussFr = 1
• Wasserstand (Stauziel), ev. als Funktion des Durchflusses (Schlüsselkurve)h = hfix
Strömender Abflussunterstromiger Rand: Stauziel
Stauziel
strebt Normalabfluss an
Strömender Abfluss unterstromiger Rand: kritische Höhe
strebt Normalabfluss an
Fr = 1
Schießende Strömung oberstromiger Rand: kritische Höhe
Fr = 1
strebt Normalabfluss an
Wechselsprungschießende Strömung + Stauziel
Stauziel
Fr = 1
schießend strömend
Lage des Wechselsprunges
1. Berechne strömenden Abfluss stromaufwärts2. Berechne schießenden Abfluss stromabwärts3. Am Wechselsprung sind die beiden
Gesamtimpulsströme identisch
4. An allen anderen Stellen ist die Lösung mit dem höheren Gesamtimpulsstrom die richtige
1
2
1
2
)()(
Frgrav
Frgrav hhgA
AQhhgA
AQ
Ungleichförmiger Abfluss bei gegliedertem Querschnitt
• u variiert über den Querschnitt
EA
IIAgxhAgdAu
x
qxQ
02ltImpulserha
altVolumenerh
Stationäre Strömung (korrekt):
AQ
A
udAdAu A
A
2
2
2
Korrekturfaktor für die kinetische Energie
A
dAuQA 2
2• wird in St. Venant-
Gleichungen eingesetzt• hängt von Wassertiefe ab
• Gegliederter Querschnitt:– u jeweils im Flussschlauch
und auf Vorländern über den Querschnitt konstant
– Gleiches EnergieliniengefälleiII EiE ,
i
i
Ai A
QdAui
22
Berechnung von für gegliederten Querschnitt
3/42
3/72
3/42
3/42
ii
iE
Ai
ii
iEi
UnAIdAu
UnAIu
i
3/2
3/52/1
3/2
3/22/1
ii
iEiii
ii
iEi
UnAIAuQ
UnAIu
2
3/2
3/5
3/42
3/7
i ii
i
i ii
i
ii
UnA
UnAA
2
2
22
ii
i Ai
ii
A Q
dAuA
dAuQA i
Beispielberechnung
• Selber Reibungsbeiwert für Vorländer und Flussschlauch• Stärkster Effekt bei beginnender Vorlandüberflutung
Stationäre Saint Venant Gleichungen
EIIAgxhAg
AQ
x
qxQ
0
2
ltImpulserha
altVolumenerh
• Alle weiteren Umformungen wie für u konstant über den Querschnitt
• Berechne in den Iterationsschritten mit