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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Konvektive Massenflüsse III
• In dieser Vorlesung wollen wir uns nochmals mit den konvektiven Massenflüssen befassen, da uns immer noch ein umfassendes Bild der Physik solcher Vorgänge fehlt.
• Wir wollen damit beginnen, uns den kapazitiven Feldern nochmals zuzuwenden.
• Wir werden uns sodann mit der inneren Energie der Materie befassen.
• Schliesslich werden wir diese Erkenntnisse auf allgemeine Transportphänomene ausdehnen, bei welchen Massen-flüsse einen integralen Bestandteil der Energieflüsse ausmachen.
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Übersicht
• Kapazitive Felder• Die innere Energie der Materie• Der Bus-bond und die Bus-verknüpfung• Wärmeleitung• Volumenarbeit• Das allgemeine Austauschelement• Mehrphasensysteme• Verdunstung und Kondensation• Mischungsthermodynamik• Multielementsysteme
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Kapazitive Felder III
• Betrachten wir kurz die folgende elektrische Schaltung:
C1
C2
C3
i1 i2i3
i1-i3 i2+i3u1 u2
i1 – i3 = C1 · du1 /dt
i2 + i3 = C3 · du2 /dt
i3 = C2 · (du1 /dt – du2 /dt )
i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt
i2 = – C2 · du1 /dt + ( C2 + C3 ) · du2 /dt
0 0 1 0 0
C1 C2 C3
i1
i2
i3
i3 i3
i1-i3i2+ i3
u1 u1
u1
u2
u2
u2u1-u2
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Kapazitive Felder IV
i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt
i2 = – C2 · du1 /dt + ( C2 + C3 ) · du2 /dt
i1
i2
=( C1 + C2 ) – C2
– C2 ( C2 + C3 )
·du1 /dt
du2 /dt
i1
i2
=
( C2 + C3 ) C2
C2 ( C1 + C2 ) ·du1 /dt
du2 /dt C1 C2 + C1 C3 + C2 C3
Symmetrische Kapazitätsmatrix
0 0 1 0 0
C1 C2 C3
i1
i2
i3
i3 i3
i1-i3i2+ i3
u1 u1
u1
u2
u2
u2u1-u2 0 CF
i1
u1 0i2
u2
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Volumen- und Entropiespeicher• Sehen wir uns nochmals die Situation der letzten Vorlesung
an.
0 1 0
C
I
CCth
0 SF 0
CthS/V
Es war kein Zufall, dass ich die beiden Kapazitäten so nahe beieinander ge-zeichnet habe. In Wirklichkeit handelt es sich um zwei Ports desselben kapazitiven Feldes. Schliesslich sind ja Wärme und Volumen nur zwei verschiedene Eigenschaften derselben Materie.
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Die innere Energie der Materie I
• Wie wir bereits gesehen haben, gibt es drei verschiedene Speichergrössen der Materie:
• Diese drei Speichergrössen sind verschiedene Speicher-eigenschaften desselben Mediums.
• Somit handelt es sich um ein Speicherfeld.• Dieses Speicherfeld ist kapazitiver Natur.• Das kapazitive Feld speichert die innere Energie der
Materie.
Masse Volumen Wärme
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Innere Energie II
• Die Änderung der inneren Energie in einem System, d.h. der Gesamtleistungsfluss in das kapazitive Feld hinein, kann wie folgt geschrieben werden:
• Dies ist die Gibbs’sche Gleichung.
U = T · S - p · V + i · Nii
· · · ·
Wärmefluss Massenfluss
Volumenfluss
Fluss der inneren Energie
Chemisches Potential
Molarer Massenfluss
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Innere Energie III
• Die innere Energie ist proportional zur Gesamtmasse n.
• Durch Normierung mit n können wir alle extensiven Variablen intensiv machen.
• Somit:
u = Un s = S
n v = Vn ni =
Nin
id
dt(n·u) = T · d
dt (n·s) - p · ddt
(n·v) + i · (n· ni )d
dt
id
dt(n·u) - T · d
dt (n·s) + p · ddt
(n·v) - i · (n· ni ) = 0ddt
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Innere Energie IV
id
dt(n·u) - T · d
dt (n·s) + p · ddt
(n·v) - i · (n· ni ) = 0ddt
i
dudt - T · + p · - i · n ·[ ds
dtdvdt
dni
dt ]
= 0+dndt ·[u - T · s + p · v - i ·
ni
i ]
Diese Gleichung muss gelten unabhängig von der Menge n, somit:
= 0u - T · s + p · v - i · ni
i
i
dudt - T · + p · - i ·
dsdt
dvdt
dni
dt = 0Fluss der inneren Energie
Innere Energie
Hier nun endlich die Erklärung, warum mit „merkwürdigen“ Ab-leitungen gerechnet werden durfte.
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Innere Energie V
U = T · S - p · V + i ·Nii
U = T · S - p · V + i · Ni + T · S - p · V + i · Ni i
· · · ·i
· · ·
= T · S - p · V + i · Nii· · ·
T · S - p · V + i · Ni = 0· · ·
Dies ist die Gibbs-Duhem Gleichung.
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Das kapazitive Feld der Materie
C C
C
GY
GY GY
TS·
pq
i i
Vp·
p·VT·
T·
S
S
i·
i· nini
CF
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Vereinfachung• Für den Fall, dass keine chemischen Reaktionen stattfinden,
ist es möglich, die molaren Massenflüsse durch gewöhn-liche Massenflüsse zu ersetzen.
• In diesem Fall wird das chemische Potential durch das Gibbs’sche Potential ersetzt.
MgVpSTdt
dU
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Bus-Bond und Bus-0-Verknüpfung• Die drei äusseren Beine des CF-Elements können zusammen-
gebunden werden.
pq
TS
g
M
.
.
0
0 0
CFCF
C C
C
3Ø CF
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Nochmals Wärmeleitung
CFCF CFCF
11
T
2T
S.
T
1
1
1 S.
1
S.
1
2
0 mGSmGS
2T
Ø Ø
TT S
.1
2
S.
12
S.
1x S.
2xT1
3 3
CFCF1CFCF2
3 3HE
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Die Volumenarbeit
pq q11
1 p2
0 GSGS
2T1T
Ø Ø33
CFCF1 CFCF2
pq
p p
2q
2q
S1x
. S2x
.
CFCF1CFCF2
3 3PVE
Druck wird ausgeglichen. Es wird hier angenommen, dass die Trägheit vernachlässigt werden darf (relativ kleine Massen und/oder Geschwin-digkeiten), und dass beim Ausgleich Reibung im Spiel ist.
Das Modell ist sinnvoll, wenn der Ausgleich lokal erfolgt, d.h. wenn das Medium nicht sehr stark bewegt wird.
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Allgemeines Austauschelement I
pq
11
GS
0
1 pq
211
GS
11 11
0
mGS
0
mGS
TS. 1 T
S. 2
1 2
g
M. 1 g
M. 2
SwSw
Die drei Flüsse sind über die RS-Elemente miteinander gekop-pelt.
Schaltelement in Bond-graphennotation. Dieses wurde noch nicht vor-gestellt.
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Allgemeines Austauschelement II
• Beim allgemeinen Austauschvorgang werden gleichzeitig die Temperaturen, die Drücke und die Gibbs’schen Potentiale ausgeglichen.
• Es handelt sich dabei um ein Widerstandsfeld.
Ø Ø3RF
3
33
CFCF1 CFCF2
, S1 1 , S2 2
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Mehrphasensysteme
• Wir müssen nun auch Phänomene wie Verdunstung und Kondensation berücksichtigen.
CFCFgas
3
ØHE, PVE,
Verdunstung(und Kondensation)
3
CFCFfl
3
Ø3
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Verdunstung (Verdampfung)• Der Massen- und Energieaustausch zwischen kapazitiven
Materiespeichern (CF-Elementen), die verschiedene Phasen repräsentieren, wird durch spezielle Widerstands-felder (RF-Elemente) bewerkstelligt.
• Die Massenflüsse werden als Funktion des Drucks und des entsprechenden Sättigungsdrucks berechnet.
• Die Volumenflüsse werden als Produkt der Masseflüsse mit dem Sättigungsvolumen bei der gegebenen Temperatur berechnet.
• Die Entropieflüsse werden überlagert mit der Verdunstungsenthalpie (bei der Verdunstung wird dem thermischen Bereich Wärme entzogen latente Wärme).
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Kondensation an kalten Oberflächen• Hier muss die Grenzschicht berücksichtigt werden.
CFCFfl
CFCFGas
CFCFOberfläche
3
3
Ø
Ø
Rand-schicht
3
3
Wärmeleitung (HE)Volumenarbeit (PVE)
Kondensation und Verdunstung
3 3HEPVERF
3 3HEPVERF
CFCFfl
CFCF Gas
3
3
Ø
Ø
3
3TS
.
Wärmeleitung (HE)Volumenarbeit (PVE)
Kondensation und Verdunstung
HE
gas
s
T S
HE
fl
s
.
Grenzschicht
Ø 3
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Mischungsthermodynamik• Beim Mischen von Flüssigkeiten oder Gasen entsteht
zusätzliche Entropie.
• Diese Mischungsentropie muss unter den teilnehmenden Komponenten verteilt werden.
• Die Verteilung ist eine Funktion der Massenanteile.
• Normalerweise sollten CF-Elemente nichts voneinander wissen. Beim Mischen ist dies unvermeidbar. Die benötigte Information wird ausgetauscht.
CF1 CF2MIMI
{M1}
{x1
{M2}
{x2
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Mischungsentropie• Die Mischungsentropie wird dem Gibbs’schen Potential
entzogen.TS.
pq 11
1
1
11
g1(T,p)11M
.1
TS.
pq
1
1
g1 (T,p)
M.
1
mix
TRSM.
1
g1
Sid
mix
1
CFCF11 CFCF12
TS.
pq 11
2
2
11
g2(T,p)11M
.2
TS.
pq
2
2
g2 (T,p)
M.
2
mix
TRSM.
2
g2
Sid
mix
2
CFCF21 CFCF22
MIMI
x21
x11
M21
M11
HEPVE.
.
Es wurde hier ange-nommen, dass die zu mischenden Liquide dieselben Temperaturen und Drücke aufweisen.
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
T2
S.
p2
q 112
2
11
g2(T2,p2) 11M.
2
T2mix
S.
p2mix
q
2
2
g2 (T2,p2)
M2
.mix
CFCF 21 CFCF 22
MIMI HEPVE
RS
M.
2g2
S2
.RS mRS
0
p2
T2
q2
S2
.
T2mix
T1
S.
p1
q 111
1
11
g1 (T1,p1) 11M.
1
T1mix
S.
p1mix
q
1
1g1 (T1,p1)
M1
.mix
CFCF 11
RS
M.
1
g1
S1
.RS mRS
0
p1
T1
q1
S1
.
T1mix
CFCF 12
Die zu mischenden Liquide können auch unterschiedliche Tem-peraturen oder Drücke aufweisen.
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Konvektion in Multielementsystemen
CF12
CF13
CF11
Ø
3
3
3
3
3
Ø
Ø
3
PVEHE
3
3
HEPVE CF22
CF23
CF21
3
3
3
3
3
Ø
Ø
Ø
3
PVEHE
3
3PVEHE
3
HEPVE
3
PVEHE
3RF
PVEHE
3
3 3RFPVEHE
3 3RFPVEHE
horizontalerAustausch(Transport)
vertikalerAustausch
(Mischung)
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Zweielement-, Zweiphasen-, Zweiunterteilungs-konvektives System
Gas
CF11
Fl.
CF11
Fl.
CF21
Gas
CF21
Ø
3
3
3
3
3
Ø
Ø
Ø
3
PVEHE
3
HEKondensation/Verdunstung
PVE
3
3
3
3
HEKondensation/Verdunstung
PVE
Gas
CF12
Fl.
CF12
Fl.
CF22
Gas
CF22
Ø3
3
3
3
3
3
Ø
Ø
Ø
3
PVEHE
3
HEKondensation/Verdunstung
PVE
3
3
3PVEHE
3
HEKondensation/Verdunstung
PVE
3
PVEHE
3RF
PVEE
3
3 3
3 3
HEPVERF
HEPVERF
3 3RF
PVEHE
Phasen-grenze
3
PVEHE
3
3
PVEHE
3
3
PVEHE
3
3
PVEHE
3
MIMI{x21, S
E
21, VE
21}
{M21, T21, p 21} MIMI1 2
+
Vge
s
+
Vge
s
{M11, T
11, p
11}
{x21,
SE
21,
VE
21}
{M12, T
12, p
12}
{x12,
SE
12,
VE
12}
{M22, T22, p 22}
{x22, SE
22, VE
22}
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Konzentrationenaustausch
• Es mag sein, dass verschiedene Unterteilungen nicht völlig homogen sind. Dann müssen auch Konzentrationen aus-getauscht werden.
CFCFii
3
Ø 3 3HEPVECE
3
Ø
CFCFi+1i+1
33... ...
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Referenzen I
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 9.
• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling convective flows using bond graphs,” Proc. ICBGM’01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 276 – 284.
12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Referenzen II
• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling multi-phase systems using bond graphs,” Proc. ICBGM’01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 285 – 291.
• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling multi-element systems using bond graphs,” Proc. ESS’01, European Simulation Symposium, Marseille, France, pp. 758 – 766.