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81
1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’
Netzteil
a) Welche Spannungen werden von PC-Netzteilen bereitgestellt?
b) Warum können PC-Netzteile hohe Leistungen liefern, obwohl die eingebauten
Transformatoren nur relativ klein sind?
c) Wie sind Schaltnetzteile aufgebaut? Skizzieren Sie ein Blockschaltbild!
3,3 V , 5 V, 12 V
,-5 V
,-12W
Schalt hetz teil i hohe Frequenz ⇒ hohe
Leistung übertragen
23in ¥ü¥ →-
LI → JE →
¥ü¥→ ¥ I "
€ Fein, ←needy
]
82 1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’
Grafikkarten
a) Was sind die Hauptaufgaben einer Grafikkarte?
b) Was ist ein ‘‘Back-Buffer’’, was ist ein ‘‘Front-Buffer’’?
Optische Laufwerke
a) Was sind Pits und Land?
b) Was reflektiert Licht: Pits, Land oder beides?
c) Welche Tiefe müssen die Pits haben, damit man die mit Pits und Land gespeicherte
Information sinnvoll auslesen kann? Warum?
- Schnittstelle zwischen PC und Display- Beschleunigung von Grafik - Operationen
Front - Buffer wird am Bildschirm
dargestellt , während in den Buchhaltergeschrieben wird
Land : Reflektierende OberflächePits : Eindeckungen I Vertiefungen
beide
If Wellenlänge Laser
¥ + ¥ = Iz ⇒ destruktive hier ferenz( dunkel )
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Festplatte
a) Was ist eine Festplatten-Spur?
b) Was ist ein Festplatten-Zylinder?
c) Was ist ein Festplatten-Sektor?
d) Was sind typische Sektor-Größen?
e) Was für Informationen werden in Sektoren neben den Nutzdaten noch zusätzlich
abgespeichert?
Kreis , den die Schreibt Lesehöpfe auf
der Platte abfahren , wenn sich
der Kopf nicht bewegt
Menge der Spuren ,die gleichzeitig
gelesen I geschrieben werden
kleinste adressiert are Einheit .
Dort werden die Daten gespeichert
\ 512 byhi, 4 KBYK
Verwaltungs - tutor nationen
Beispiele : Pnüfsummen ,Start - und Ende -
Uuarhi errungen , Zylinder - ID
84 1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’
f) Skizzieren Sie grob einen Regelkreis der zur Positionierung des Festplatten-Arms
verwendet werden kann.
soll -
positionIöfwo Regelung-
o aspnlenstnmist -
Positionschreibe / . GespeicherteLesehopf positions daten
85
Prozessor
a) Aus welchen logischen Grundeinheiten besteht ein Prozessor?
b) Welche Schritte führt ein Prozessor aus, wenn er den nächsten Befehl aus dem
Speicher lädt?
c) Wo können die Operanden eines Befehls generell abgelegt sein?
. Rechen werk / ALU
. Register. Steuerwerte I Leitwerk
- Befehls kgiskr BRIIR- Befehls zähler Bz Ipc
- Flags. Bustreiber
° Caches. Einheit zur A dress - Übersetzung 1
virtueller Speicher
- Wert von Befehls zähler auf Adressbus legen- vom Speicher bereitgestelltes Daten Wort ein lesen und
- im Befehlskgister ablegen
- Register- Speicher- direkt im Befehls Wort C Direkt operand )
86 1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’
Bussystem
a) In welche drei Busse lässt sich ein Bussystem oft aufgliedern?
b) Was ist die Funktion dieser drei Busse?
c) Welche dieser Busse sind unidirektional, welche bidirektional?
- Adressbns : adressiert Speicher zellen
oder Geräte
;unidirectional
- Daten bus : Übertragung der Daten
; bidinhtiuual
- Steuerungs bus : Info ob schreiben I lesen /timing
;unidirectional
:o .
87
Rechner-Architekturen
a) Was ist der Haupt-Unterschied zwischen einer Harvard- und einer von Neumann-
Architektur?
b) Wie kann man die Aussage verstehen, dass heutige Rechnersysteme oft sowohl
eine Harvard- als auch eine von Neumann-Architektur haben?
Harvard : Getrennte Speicher für Befehle und Daten
v. Neumann : Befehle und Daten liegen im selben Speicher
gemeinsamer Speicher für Befehle und
Daten ( RAM ) , jedoch oft getrennteCaches für Befehle und Daten
88 1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’
2.1 Bits, Byte, Datenworte und Logikpegel 89
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf
Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f (X ).
Programm
ProzessorEingabe X Ausgabe Y
Die Art und Weise, wie diese Transformationen durchgeführt werden, ist durch die
Programme festgelegt, die von einem Prozessor ausgeführt werden. Beispiele:
• Dokument drucken:
• X: Dokument bzw. Datensatz in einer Applikation
• Y: Befehle/Daten, die an den Drucker geschickt werdenmüssen, damit
dieser das (durch X repräsentierte) Dokument druckt
• Programm: Applikation, aus der heraus das Dokument gedruckt wird
(z.B. Textverarbeitungsprogramm) sowie der Druckertreiber
• Rastern von Grafiken: X = Repräsentation eines Objekts (z.B. Linie);
Y = Farbintensitätswerte von Pixeln
Linie von (x1, y1) nach (x2, y2),Dicke: d, Farbe: RGB = (0, 0, 0),Hintergrund: weiß
0
00
190
190190
255
255255
X Y
• Berechnungen: Y aus X berechnen; z.B. X = zwei Vektoren, Y = Skalarprodukt
321
10
30
20 = 1·10 + 2·20 + 3·30 =
X Y
140·
X und Y sind Daten, die als Zahlen oder als Zeichen interpretiert werden können. Sie
werden in Computersystemen durch sog. Bits repräsentiert.
.
90 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.1 Bits, Byte, Datenworte und LogikpegelDaten werden in Computersystemen durch Bits dargestellt bzw. als Bits verarbeitet. Der
Begriff Bit steht für binary digit und meint Binärziffer, d.h. Ziffern, die nur Werte 0 und
1 annehmen können. Bei der Verarbeitung von Daten durch elektrische Schaltungen
entspricht ‘‘0’’ oft dem sog. Low-Pegel, z.B. -0,3 ... +1,3 Volt, und ‘‘1’’ dem sog.
High-Pegel, z.B. +2,3 ... +5,3 Volt.
5V
0V
High
Low
Darüber hinaus findet man auch andere Zuordnungen/Spannungsbereiche. Bei der
seriellen Schnittstelle RS-232 beispielsweise entsprechen Spannungen zwischen +3 V
... +15 V dem Low-Pegel, während Spannungen zwischen -15 V ... -3 V High-Pegel
darstellen.
Mit einem einzelnen Bit können nur zwei Zustände, High und Low, dargestellt werden.
Um mehr als zwei Zustände gleichzeitig abzubilden, werden mehrere Bits zu einem
Datenwort zusammengefasst. Mit einem Datenwort der Breite n Bits lassen sich 2n
verschiedene Low-/High-Kombinationen darstellen.
Nachfolgende Abbildung zeigt ein Datenwort der Breite n = 32 Bit sowie die entspre-
chende Darstellung in Hexadezimal-Schreibweise.
11111011100000000011101011000010
B3C 82 0 FA0 x
32 Bit breites Datenwort:
Hexadezimale Darstellung:Prefix
Die hexadezimale Darstellung wird häufig verwendet, da hier immer vier Bits (sog.Nibble)
zu einer einzelnen Ziffer zusammengefasst werden:
C: 1100B: 1011 D: 11019: 1001 F: 1111E: 11108: 1000 A: 1010
4: 00103: 0011 5: 01011: 0001 7: 01116: 01100: 0000 2: 0010
2.1 Bits, Byte, Datenworte und Logikpegel 91
So lassen sich auch längere binäre Datenworte ohne großen Platzbedarf darstellen.
Gleichzeitig kann durch die feste 4-zu-1-Abbildung der Wert der einzelnen Bits direkt
extrahiert werden.
Zur Kennzeichnung einer hexadezimalen Codierung wird das Prefix ‘‘0x’’ verwendet,
d.h. hexadezimal codierten Zahlen wird ‘‘0x’’ vorangestellt.
Seltener findet man oktale Codierungen. Hier wird das Prefix ‘‘0’’ verwendet. Bei oktaler
Codierung werden immer 3 Bits zu einer Ziffer zusammengefasst.
100011110101111000110001
376 61 5 400
24 Bit breites Datenwort:
Oktale Darstellung:Prefix
1: 001 2: 010 6: 1103: 011 5: 1014: 010 7: 1110: 000
In Computersystemen werden häufig Worte der Breite 8, 16, 32 oder 64 Bit verwendet.
Datenworte mit der Wortbreite 8 Bit werden Byte genannt. Ein Byte wird dabei oft
als elementare Datenwortgröße angesehen. Alle anderen Datenworte sind dann ein
ganzzahliges Vielfaches eines Bytes.
Nachfolgende Abschnitte zeigen, wie in Computersystemen mit solchen binären Daten-
worten Zahlen und Zeichen dargestellt werden. Die darauf folgenden Kapitel zeigen, wie
diese Datenworte/Zahlen/Zeichen von Prozessoren verarbeitet werden.
92 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.2 ZeichenZeichen sind Symbole (z.B. ‘a’, ‘b’, ‘c’, ...), mit deren Hilfe Dinge beschrieben werden
können. Zur Darstellung von Texten werden Zeichen zu Zeichenketten (Worte) kombi-
niert und Zeichenketten in Anordnungen (Sätze) gruppiert. Die ‘‘Beschreibung’’ findet
dadurch statt, dass unser Gehirn beim Lesen lernen die Bedeutung der verschiedenen
Zeichenketten (Symbol-Kombinationen) sowie die Bedeutung verschiedener Anord-
nungen gelernt hat. In Computersystemen werden Zeichen durch Bits repräsentiert.
Nachfolgende Tabelle zeigt die Codierung von Zeichen gemäß ASCII-Standard.
6
w
b
{
d
n
c
SYN
S3
E
&
W
0x2…
q
Z
0x1…
N
EOT
DLE
…2 DC2
…F
!
…6
s
\
O _
;
HT
BS
ACK F
U
…0
a
VT
L
ENQ
NUL
0x6…
h
'
<
ETB…7
o
z…A : J
)
e
0x4…
SO
…8
?
ESC
V
m]
DC4
0x5…
…3
…9
CAN x
…4
%
9
p
2
~
…C
H
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SUB
/
"
X
@
…E
#
u
l
D
SOH
NP
i
DEL
r
…B
CR
ETX
Q
0x7…
^
0x3…
g
EM
$
BEL
5
tT
I
v
K
GS
FS
j
B
Y
DC1
…5
,
`
C
k
(
M
SI
-
4
f
8
=
0x0…
G
0
|
DC3
R
>
…D
[
…1
*
A
SP
.RS
STX
1
NL
P
NAK
+
7
US
y
l G'
=
Oz÷Steuerzeichen druck bare Zeichen
2.2 Zeichen 93
‘‘ASCII’’ (oft auch US-ASCII) steht für American Standards Code for Information In-
terchange und ist ein weit verbreiteter Standard zur Codierung von 128 ausgewählten
Zeichen durch 7 Bit breite Datenworte.
Druckbare Zeichen, d.h. Zeichen, die auch am Bildschirm/Drucker ausgegeben werden
können, befinden sich ab Bitkombination 0x20, d.h. Zeichen 33 - 128.
Die unteren 32 Zeichen, d.h. Bitkombinationen 0x00, 0x01, ... , 0x1F definieren sog.
Steuerzeichen. Steuerzeichen wurden früher dafür verwendet um Fernschreiber anzu-
steuern.
0x0F (SI): Shift in 0x1F (US): Unit separator
0x0E (SO): Shift out 0x1E (RS): Record separator
0x0D (CR): Carriage return 0x1D (GS): Group separator
0x1C (FS): File separator0x0C (FF): Form feed; new page
0x0B (VT): Vertical tab 0x1B (ESC): Escape
0x0A (LF): Line feed; new line 0x1A (SUB): Substitute
0x09 (HT): Horizontal tab 0x19 (EM): End of medium
0x18 (CAN): Cancel0x08 (BS): Backspace
0x17 (ETB): End of transmission block0x07 (BEL): Bell
0x16 (SYN): Synchronous idle0x06 (ACK): Acknowledge
0x05 (ENQ): Enquiry 0x15 (NAK): Negative acknowledge
0x04 (EOT): End of transmission 0x14 (DC 4): Device control 4
0x03 (ETX): End of text 0x13 (DC 3): Device control 3
0x12 (DC 2): Device control 20x02 (STX): Start of text
0x11 (DC1): Device control 10x01 (SOH): Start of header
0x10 (DLE): Data link escape0x00 (NUL): Null
Die meisten Steuerzeichen werden heute nur noch selten verwendet. Häufig verwendet
wird beispielsweise 0x00 wird, um das Ende von Zeichenketten anzuzeigen, 0x0A um
einen Zeilenumbruch zu markieren, 0x09 für Tabulatoren.
94 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Der ASCII-Code definiert ausschließlich die Codierung der in Amerika häufig verwen-
deten Zeichen. Codierungen für international verwendete Zeichen wie bspw. deutsche
Umlaute ‘‘ä’’, ‘‘ö’’ und ‘‘ü’’ sowie ‘‘ß’’ etc. werden nicht definiert. Dazu muss der ASCII-
Zeichensatz erweitert werden. Beispiele hierzu sind der Standard ISO 8859-1 (Latin-1)
oder Zeichentabellen, wie sie unter MS-DOS eingesetzt wurden (z.B. Codepage 850 für
Westeuropa).
Heute wird häufig der Unicode-Zeichensatz verwendet. Dieser hat zum Ziel, jedem auf
der Welt verwendeten Schriftzeichen eine eindeutige Zahl zuzuweisen.
Zur Codierung dieser Zahlen werden häufig UTF-8 und UTF-16 eingesetzt. Diese
Verfahren codieren den Unicode-Zeichensatz in variable Wortbreiten. So können zur
Codierung häufig vorkommender Zeichen geringere Wortbreiten verwendet werden als
zur Codierung seltener vorkommender Zeichen. Diese Form der Komprimierung sorgt
dafür, das Text aus Sprachen, die auf dem lateinischen Alphabet basieren, effizient
abgespeichert bzw. über das Internet übertrag werden können.
Nachfolgende Abbildung zeigt die Codierung gemäß UTF-8.
Unicode-ZeichenCodierung
0x080 - 0x7FF
11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx
1110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx
0xxxxxxx
0x0800 - 0xFFFF
110xxx 10xxxxxx
0x010000 - 0x10FFFF
0x00 - 0x7F (entspricht ASCII)
Im Gegensatz dazu wird in UTF-32 jedes Unicode-Zeichen mit 32 Bit codiert. Vorteil:
Einfach zu codieren; Nachteil: Hoher Speicherbedarf für Texte.
÷×
2.3 Zahlen 95
2.3 Zahlen
Zahlen dienen zur Darstellung vonGrößen/Beträgen. Siewerden durch Ziffern dargestellt.
Ziffer
1 0 2 4
Ziffer Ziffer Ziffer
Zahl:
Ziffern sind Zeichen, die jedem Element einer Symbol-Menge (z.B. {‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’,
‘5’, ‘6’, ‘7’, ‘8’, ‘9’} ) ein Vielfaches eines Grundbetrags als Wert zuordnen. Beispiel: ‘0’ ist
‘‘nichts’’ bzw. keinmal der Grundbetrag, ‘1’ ist der Grundbetrag, ‘2’ ist zweimal so viel
wie der Grundbetrag; ‘3’ ist dreimal so viel wie der Grundbetrag, etc.
4 :=
3 :=
2 :=
1 :=
0 :=
9 :=
8 :=
7 :=
6 :=
5 :=
Die Menge der in einem Zahlensystem vorgesehenen Symbole wird Basis b genannt.
Beispiel: Im Zahlensystem zur Basis b = 2 gibt es nur zwei Symbole: ‘0’ und ‘1’.
Mit einer Ziffer können nur b verschiedene Dinge/Werte dargestellt werden. Um mehr
als b verschiedene Werte abzubilden werden mehrere Ziffern aneinandergereiht. Dabei
erhöht sich mit jeder weiteren Ziffer die Anzahl unterschiedlicher Symbol-Kombinationen
um den Faktor b. Durch Aneinanderreihung von n Ziffern zu einer n Stellen langen Zahl
lassen sich b · b · ... · b| {z }n mal
= b
n verschiedene Symbolkombinationen und damit b
n verschie-
dene Werte/Beträge darstellen.
Nachfolgende Abbildung zeigt die Symbole zur Darstellung von Beträgen mit zwei Ziffern
aus der Symbolmenge ‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’, ‘6’, ‘7’, ‘8’, ‘9’.
96 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
65
7874
35
68
28
00
52
76
92
45
69
44
07
67
71
95
42
0803
63
34
58
13
86
60
33
11
41
88
99
73
17
55
26
53
05
12
29
15
94
24
98
64
51
32
91
02
84
37 38
9390
43
25 2720
36
46
10 19
31
82
48
23
87
18
97
21
83
22
16
39
72
49
30
14
5754 59
89
77
62
81 8580
79
40
04
70
96
0601
56
61
75
50
47
66
09
• Der kleinste Wert wird dadurch repräsentiert, dass alle Ziffern das Symbol des
niedrigsten Werts darstellen.
• Ausgehend vom kleinsten Wert wird der nächst höhere Wert stets dadurch
repräsentiert, dass bei der rechtesten Ziffer das dem nächst höheren Ziffern-
Wert entsprechende Symbol ausgewählt wird.
• Ist bei einer Ziffer bereits das werthöchste Symbol ausgewählt, wird bei dieser
Ziffer das wertniedrigste Symbol ausgewählt. Gleichzeitig wird die links an-
grenzende Ziffer durch das dem nächst höheren Ziffern-Wert entsprechende
Symbol ersetzt.
Durch dieses Vorgehen haben die einzelnen Ziffern-Positionen unterschiedliche Wertig-
keiten. Numeriert man die Ziffern-Positionen i von rechts nach links durch, beginnend
mit i = 0, dann hat jede Ziffernposition den Wert b
i . Beispiel mit b = 10:
103=1000
1 0 2 4
102=100
101=10
100=1
Zahl:
Stellen-Wertigkeit:
Der Wert der Zahl ergibt sich zu 1 · 1000 + 0 · 100 + 2 · 10 + 4 · 1 = 1024.
Irak
-i
. i.
i ri
2.3 Zahlen 97
Im Gegensatz zu Ziffern-Positionen links von i = 0 stellen Ziffern-Positionen rechts
von i = 0, d.h. i < 0, nicht ein Vielfaches des Grundelements dar, sondern einen
Bruchteil des Grundelements. Nachfolgende Abbildung zeigt am Beispiel b = 10, wie
die Stellenwertigkeit von links nach rechts auf b
i , d.h. b
�1, b
�2, b
�3, ... reduziert wird.
Grundelement b0 = 1
b-1 = 0,1 b-2 = 0,01 b-3 = 0,001
i
Aufteilen des Grund-elements in b = 10 gleich große Teile
Sind Stellen i < 0 vorhanden, so wird der Übergang (i = 0) ! (i < 0) durch das
Komma-Symbol gekennzeichnet.
52,1 0 2 4Zahl:
Stellen-Wertigkeit:
10-2
= 0,0110-1
= 0,1Komma103
= 1000102
= 100101
= 10100
= 1
Da es unendlich viele Zahlen gibt, verfügen Zahlen (theoretisch) über unendlich viele
Stellen vor bzw. nach dem Komma. Für in der Praxis auftretende Zahlen werden in der
Regel jedoch nur wenige Stellen vor und wenige Stellen nach dem Komma benötigt.
Die restlichen (unendliche vielen) führenden bzw. nachlaufenden Nullen werden nicht
dargestellt.
98 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.4 Codierung von FestkommazahlenFestkommazahlen sind Zahlen, bei denen das Komma an einer zuvor vereinbarten, d.h.
festen Position steht. Nachfolgende Abbildung zeigt eine solche Festkommazahl:
Y Y … Y X X X X X X X X ,
n Stellen zur Aufnahme von n Ziffern; X = 0…b-1; führende Nullen werdenbei Darstellungen oft weggelassen
Annahme unendlich vieler füh-render Stellen, die nicht dar-gestellt/abgespeichert werden
Komma nach derEiner-Stelle
Annahme unendlich vieler nach- folgender Nullen, die nicht dar-gestellt/abgespeichert werden
0 0 … 00n-1
X steht für die Ziffern 0, 1, ... , b-1, wobei b die Basis des verwendeten Zahlensystems
darstellt (z.B. b = 2 für Binärzahlen, b = 10 für Dezimalzahlen, ...).
n ist die Wortbreite, d.h. es stehen n Bits zum Abspeichern der Zahl zur Verfügung.
Y steht für die unendlich vielen Stellen, die nicht mit abgespeichert werden.
Festkommazahlen funktionieren nach dem zuvor beschriebenen Prinzip ‘‘Vielfaches ei-
nes Grundelements’’. Aus diesemGrund sind die Abstände zwischen zwei benachbarten
Zahlen stets gleich groß (Äquidistanz).
0
Vorzeichenlose Festkommazahlen
Vorzeichenlose Festkommazahlen haben kein Vorzeichen, d.h. sie sind stets positiv. Der
Wert v (v = value) einer vorzeichenlosen Festkommazahl ergibt sich zu:
v = (an�1 · b
n�1 + · · · + a1 · b
1 + a0 · b
0) · b
r
• n ist die Stellenzahl, d.h. die maximale Menge an Ziffern, die zur Darstellung
bzw. Abspeicherung der Zahl vorgesehen ist. In Prozessoren wird häufig eine
Stellenzahl von n = 8, 16, 32 oder 64 (Binär-) Stellen verwendet.
In der Mathematik gibt es keine begrenzte Stellenzahl; dort gilt n ! 1.
• b ist die Basis des Zahlensystems, z.B. 10 für das Dezimalsystem (Ziffern
0 ... 9) oder 2 für Binärzahlen (Ziffern 0 und 1). Ziffern an der Stelle i haben die
Wertigkeit b
i . In Prozessoren wird aufgrund der Darstellung von Werten durch
<Worlbreikn
>
←r = radix
Position desKommas
2.4 Codierung von Festkommazahlen 99
Logik-Pegel ‘‘Low’’ und ‘‘High’’ als Basis b = 2 verwendet.
• Die Koffizienten a
i
sind die Ziffern an den Stellen i . Die Werte der Ziffern liegen
im Bereich 0...(b � 1) und geben an, wie oft die Wertigkeit der jeweiligen Stelle
zum Wert der Zahl beiträgt.
• Der Wert von r (r = radix) legt die Position des Kommas fest:
• r = 0: Dieser Fall ist der Normalfall: DurchMultiplikationmit br = b
0 = 1
bleibt v = a
n�1 · b
n�1 + · · · + a1 · b
1 + a0 · b
0. Das Komma steht hinter
der Einer-Stelle und wird weggelassen. Es werden ganze Zahlen mit
den Werten 0, 1, ... , bn � 1 dargestellt.
• r > 0: Durch Multiplikation mit b
r können größere Zahlen dargestellt
werden, jedoch auf Kosten geringerer Genauigkeit. Die Ziffern der Zahl
werden um r Stellen nach links geschoben, die frei werdenden Posi-
tionen werden mit Nullen aufgefüllt. Das Komma wird weggelassen.
Darstellungsbeispiel einer Festkommazahl für n = 8 und r = 3:
xxxxxxxx000. Die Zeichen ‘‘x’’ stehen dabei jeweils für eine der Ziffern
a
n�1 ... a0.
• r < 0: Da r < 0, entspricht die Multiplikation mit b
r einer Division
durch b
|r |, d.h. das (nach der Einer-Stelle implizit stehende) Komma
wird um r Stellen nach links geschoben. Die Genauigkeit erhöht sich
auf Kosten der größtmöglich darstellbaren Zahl. Darstellungsbeispiel
für n = 8 und r = �3: xxxxx,xxx.
Im folgendenwerden nur noch Dezimalzahlen (b = 10) und Binärzahlen (b = 2) betrachtet.
.
100 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Nachfolgender Zahlenring zeigt die Zuordnung von Binär- zu Dezimalzahlen für diese
Codierung:
0151
2
3
4
56
7
1413
12
11
109
8
000011110001
0010
0011
0100
0101
011001111000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
RichtungsteigenderWerte
Die Darstellung zeigt, dass die Richtung steigender Werte bei beiden Codierungen (Binär
und Dezimal) identisch ist. Als Folge können bei dieser Darstellung für die gewählte
Binärcodierung dieselben Rechenregeln angewendet werden, wie bei Dezimalzahlen.
Beispiel:
• 210 + 110 = 310
• 00102 + 00012 = 00112
3 0 3 0 3 0
1111 + 0001 = 10000
www.tbfite1
]
2.4 Codierung von Festkommazahlen 101
Aufgaben
Die folgenden Aufgaben betrachten Binärzahlen, d.h. b = 2.
a) Welches ist die kleinste darstellbare vorzeichenlose Festkommazahl?
b) Wieviele unterschiedliche vorzeichenlose Festkommazahlen können mit n Bit dar-
gestellt werden?
c) Geben Sie für r = 0 den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl in
Abhängigkeit von n an.
d) Geben Sie für n = 8 und r = 2 den Wert der größten vorzeichenlosen Festkomma-
zahl an.
e) Betrachten Sie den Zahlenring. Wie kann man bei Binärdarstellung einen Überlauf
von vorzeichenlosen Zahlen feststellen?
f) Sind alle Abstände vorzeichenloser Binärzahlen zum nächst kleineren und nächst
größeren Nachbarn äquidistant? Skizzieren Sie für r = �2 und n = 3 die entspre-
chenden Werte auf dem Zahlenstrahl.
0
:"
2"
- 1
1111 1111 00 = 1020
( zu . 1) . 2T = zur - zr = 28+2-4=1020
Carryout , d. h.
Bit an Stelle nth istgesetzt
Jaiäqwi distant .
vlztvt5175KI.lt % HAT
102 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Im Folgenden gilt n = 8 und r = 0.
g) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.
Dezimal Binär vorzeichenlos
0
75
127
128
255
256
h) Wandeln Sie folgende hexadezimale Zahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.
Hexadezimal Binär vorzeichenlos
0x52416352
0x7A8F23DE
i) Berechnen Sie 24 + 17 = 3 im Binärsystem.
0000 0000
01001011
0111 1111
10000000
11111111-
010100100100 UUUA . .-
.
41x
24 00011000
+1-7+OVG10001
41 00101001.
2.4 Codierung von Festkommazahlen 103
Im Folgenden gilt n = 6 und r = �3
j) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.
Dezimal Binär vorzeichenlos
0
0,125
1,75
3,375
5
k) Berechnen Sie 2,25 + 4,375 im Binärsystem.
000000
000001
001 110
011 011
101 000
010 010
100 011
110 1101 = 6,625
104 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Aufgaben Tutorium
Im Folgenden gilt n = 8, r = 0.
T a) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.
Dezimal Binär vorzeichenlos
0
5
67
126
253
T b) Berechnen Sie 17 + 23 im Binärsystem.
2.4 Codierung von Festkommazahlen 105
T c) Geben Sie für n = 6 und r = 3 den Wert der größten vorzeichenlosen Festkomma-
zahl an.
Im Folgenden gilt n = 8 und r = �3
T d) Wandeln Sie die angegebenen Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.
Dezimal Binär vorzeichenlos
0
0,375
7,25
10
12,5
17,625
T e) Berechnen Sie 1,75 + 3,125 im Binärsystem.
106 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, binäre vorzeichenbehaftete Festkommazahlen dar-
zustellen:
• Vorzeichen und Betrag
• Einer-Komplement
• Zweier-Komplement
Vorzeichen und Betrag
Bei dieser Darstellung werden Vorzeichen und Betrag der Zahl separat abgespeichert:
• Das Vorzeichen wird repräsentiert durch das höherwertigste Bit: Hat das Bit
den Wert 0, ist die Zahl positiv, hat das Bit den Wert 1, ist die Zahl negativ.
• Der Betrag der Zahl wird durch die restlichen Bits dargestellt.
Ob eine Zahl positiv oder negativ ist, kann direkt am MSB abgelesen werden. Zur
Negation einer Zahl muss nur das höherwertigste Bit geändert werden.
Ein Problem bei dieser Darstellung ist die doppelte Null:
• 00 ... 0002 ) +0
• 10 ... 0002 ) �0
Nachfolgende Abbildung zeigt für n = 4 die Zuodnung von Binär- zu Dezimalzahlen.
• Für positive Zahlen ist die Richtung steigender Werte für Binär- und Dezimal-
zahlen die selbe.
• Für negative Zahlen ist die Richtung jedoch unterschiedlich; Beispiel:
• 10102 + 00012 = 10112: Bewegung im Uhrzeigersinn
• �210 + 110 = �110: Bewegung gegen den Uhrzeigersinn
• Ergebnis falsch: �110 6= 10112
2.4 Codierung von Festkommazahlen 107
0-71
2
3
4
5
67
-6-5
-4
-3
-2
-1-0
000011110001
0010
0011
0100
0101
011001111000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
positivnegativ
Aufgaben
a) Welche Auswirkungen hat es, dass für negative Zahlen die Richtung steigender
Werte nicht übereinstimmt?
b) Ist der Wertebereich symmetrisch? Begründung!
↳ e.
Zahlen in den beiden Darstellungs arten
können nicht in gleicher Art und Weise
behandelt werden
108 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
c) Geben Sie den Wertebereich für r = 0 in Abhängigkeit von n an.
d) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär in die Darstellung
‘‘Vorzeichen und Betrag’’.
Dezimal Binär
-10
0
20
e) Codieren Sie für n = 6 und r = �2 die folgenden Zahlen in die binäre Darstellung
‘‘Vorzeichen und Betrag’’.
Dezimal Binär
-2,25
0
5,5
10001010
00000000
00010100
101001
000000
010110
2.4 Codierung von Festkommazahlen 109
Aufgaben Tutorium
T a) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär in die Darstellung
‘‘Vorzeichen und Betrag’’.
Dezimal Binär
-17
-5
17
T b) Codieren Sie für n = 6 und r = �2 die angegebenen Zahlen in die binären
Darstellung ‘‘Vorzeichen und Betrag’’.
Dezimal Binär
-3,75
-0,5
7,25
110 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Einer-Komplement
Bei dieser Darstellung werden zur Negierung einer Zahl alle Bits invertiert. Um eine
eindeutige Unterscheidung zwischen positiven und negativen Zahlen zu gewährleisten,
ist der Betrag der Zahlen auf 2n�1 � 1 beschränkt. Dadurch kann das Vorzeichen der
Zahl wieder direkt am MSB abgelesen werden (0 ) positiv; 1 ) negativ).
Der Vorteil dieser Darstellung im Vergleich der Darstellung ‘‘Vorzeichen und Betrag’’
liegt darin, dass die Codierung der negativen Zahlen in derselben Richtung erfolgt wie
die Codierung der positiven Zahlen, so dass positive und negative Zahlen auf die gleiche
Art und Weise addiert (bzw. subtrahiert) werden können.
0-01
2
3
4
5
67
-1-2
-3
-4
-5
-6-7
000011110001
0010
0011
0100
0101
011001111000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
positivnegativ
f.. od
2.4 Codierung von Festkommazahlen 111
Aufgaben
a) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung für r = 0 in
Abhängigkeit von n an.
b) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung allgemein in
Abhängigkeit von r und n an.
c) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung für r = �2 und
n = 8 an.
d) Ist der Wertebereich asymmetrisch?
e) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement.
Dezimal Binär
-10
0
20
- 31,75 . . . .
+ 31,75
Nein , symmetrisch
11110101
00000000
00010100
112 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
f) Codieren Sie für n = 6 und r = �2 die folgenden Zahlen im Einer-Komplement.
Dezimal Binär
-2,25
0
5,5
g) Zeigen Sie an einem Beispiel, wie sich bei dieser Codierung zur Addition von Binär-
zahlen derselbe Algorithmus verwenden lässt wie zur Addition von Dezimalzahlen
– sowohl bei positiven als auch bei negativen Werten.
h) Wann gibt es bei Verwendung der Einer-Komplement-Codierung Probleme bei der
Addition?
i) Wie könnte man das Problem lösen?
1101 10
0000 00
010 1 10
pos : 2,0+3,0=510 0010 toque=0101
ueg : - Grot Zeo = -4,0 1001+0010=1011
Doppelte Null : - 2. + 3. = Mo f- 1101+0.411=0000
andere Codierung verwenden,
so dass
die doppelte Null verschwindet
1111 → -1 no
1110 → -2 so
iii. → ....FI::S.nu#u
addieren⇒ Zer Kompliment
2.4 Codierung von Festkommazahlen 113
Aufgaben
T a) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement.
Dezimal Binär
-17
-5
17
T b) Codieren Sie für n = 6 und r = �2 die folgenden Zahlen binär im Einer-
Komplement.
Dezimal Binär
-3,75
-0,5
7,25
114 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Zweier-Komplement
Beim Zweier-Komplement wird zunächst das Einer-Komplement gebildet und dann
noch binär der Wert 1 addiert. Auf diese Weise wird die doppelte Null vermieden. Der
Wertebereich wird asymmetrisch, was jedoch kein Problem darstellt. Berechnungen
können in dieser Codierung mit demselben Algorithmus durchgeführt werden wie im
Dezimalsystem. Aus diesem Grund werden vorzeichenbehaftete Festkomma-Zahlen in
der Regel im Zweier-Komplement codiert.
0-11
2
3
4
5
67
-2-3
-4
-5
-6
-7-8
000011110001
0010
0011
0100
0101
011001111000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
positivnegativ
<
g- Überlaut vorzeichen lose
Zahlen
.no
• →
*überlaut im
Zer - Kompliment