Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 1
Vorlesungsskript „Physik“ (Physics)
für ET/IT & TI
HS Pforzheim, Fakultät für Technik
Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach
Inhalt & Aufbau
Kapitel Unterteilung Beispiele
Einführung
Physikalische
Herangehensweise,
Einheiten
Freier Fall als
„Experiment“
Mechanik
Statik
Kinematik
Dynamik
Balkenwaage
Autofahrt
Freier Fall
Schwingungen Harmonische und
erzwungene Schwingungen
Pendel
Resonanz
Wärmelehre Temperatur
Wärmetransport
Wärmemenge
Kühlkörper
Deformierbare
Medien
Hookesches Gesetz
Strömungslehre Feder
Wellen / Optik Wellenausbreitung
Brechung, Beugung
Reflexion
Linsen
Anhang Basics, weitere Infos, … ,
Übungsaufgaben Vektoren
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 2
Dieses Skript kann im Internet (www.hs-pforzheim.de, Homepage Blankenbach)
heruntergeladen werden, dort sind auch Beispiel-Aufgaben aus Klausuren (Achtung:
es waren verschiedene Hilfsmittel erlaubt, insofern haben die Aufgaben
unterschiedliche Schwierigkeitsgrade) zu finden.
Der Inhalt wurde komplett überarbeitet, ist aber im Wesentlichen kompatibel zu den
‚Vorgänger’-Vorlesungen.
Um jedem etwas bieten zu können findet man bestimmt einige Druckfehler.
Ferner ist's wie im richtigen Leben - ohne Gewähr.
Relevante Begriffe werden auch Englisch angegeben „zum leichteren Lernen“
Physikbücher etc. zum Selbststudium und Verständnis &
Übungsaufgaben
Douglas C. Giancoli: Physik (deutsch), PEARSON Studium
(DAS Buch fürs Leben! Das beste Phyikbuch für Nicht-Physik-Studenten,
welches ich bisher gesehen habe. Viele Praxisbeispiele und Übungsaufgaben
etc. sowie weiterführende Internetlinks.)
Bohrmann et al.: Physik für Ingenieure, Verlag Harri Deutsch
Haliday. Resnick, Walker: Haliday Physik, Wiley (übersichtlich mit Beispielen)
Hering et al: Physik für Ingenieure, VDI Verlag
Kuypers: Physik für Ingenieure, VCH
Lindner: Physik für Ingenieure, Fachbuchverlag Leipzig-Köln
Stroppe: Physik für Studenten der Naturwissenschaften, Hanser Verlag
Schulz et al.: Experimentalphysik für Ingenieure, Vieweg
Thuselt: Physik, Vogel (HS Pforzheim)
Formel- und Tabellensammlung
Kuchling: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch
Stöcker: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch
Java Applets: z.B. www.walter-fendt.de/ph14d (Stand Aug. 2011)
ergänzend: Vogel: Vorkurs Physik, Springer (leider keine Neuauflage - Bibliothek)
www.brueckenkurs-physik.de (Dies stellt nur eine Auswahl dar)
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1. Einführung (Introduction)
Traditionelle Physik Moderne Physik
‘unbelebte Natur’
Biophysik, Physiologie
Mechanik
Akustik
Wärme Zusammenführung, sowie
Elektrizität neue Effekte (z.B. Quanten-Hall-Effekt)
Magnetismus
Optik
- Aufbau der Materie
(Festkörperphysik, Atomphysik, Kernphysik,
Teilchenphysik, Astrophysik)
- Theoretische Physik
(Quantenmechanik, Relativitätstheorie)
Die traditionellen Abgrenzungen verschwimmen in der modernen Physik:
Die Effekte in der Akustik und Wärmelehre werden auf die mechanische Deutung ‘Bewegung
und Stöße von ungeladenen Teilchen’ zurückgeführt.
Bsp: Schallwellenausbreitung durch fortschreitende Druckänderungen,
welche aber wiederum Temperaturänderungen erzeugen (pV T)
Licht wird als elektromagnetische Welle beschrieben; Optik und Elektromagnetismus
(Funkwellen) beschreiben dieselben Phänomene.
Ebenso sind Licht und Wärmestrahlung wesensgleich.
Erhaltungssätze, wie der Energiesatz in der Mechanik oder die Ladungserhaltung in der
Elektrotechnik, beruhen auf demselben Prinzip.
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Neue Gebiete der Physik (ab ca. 1900):
Aufbau der Materie (siehe unten)
Festkörper-, Molekül-, Atom-, Kern- und Teilchenphysik
Bsp: Festkörperphysik ist die Basis der Halbleitertechnik
Theoretische Physik
Mathematische (Weiter-)Entwicklung einer physikalischen Theorie
Verifikation durch die Experimentelle Physik
Bsp: ohne Einsteins Relativitätstheorie kein GPS-System,
Empfängerpreis ab 100 € !
Aufgabe und Technische Anwendung der Physik / Ingenieurphysik :
- systematische Untersuchung
- Auffinden von Zusammenhängen
- Rückführung komplizierter Vorgänge auf einfache Gesetzmäßigkeiten
Bsp: - Materialeigenschaften (Dichte, spezifischer Widerstand, ...)
folgen aus dem komplexen Aufbau der Materie
- Gasdruck: Stöße von Molekülen an die Begrenzungswand
- Formeln : z.B. Auto s = v t
wichtig: Unterschied zwischen ‘mathematischen’ Formeln und experimentell ermittelten
Formeln:
mathematisch: Bewegung mit a = const. v = a t s = ½ a t2
Fit : Hookesches Gesetz F x ist empirisch, gilt nur für kleine x
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1.1 Physikalische Größen (Units)
Wert der physikalischen Größe = Zahlenwert * Einheit
Bsp: t = 5 s
Einheiten gemäß SI-System
1.1.1 Basisgrößen (SI-System)
Basisgröße Größenzeichen Basiseinheit Einheitszeichen
Länge [l] Meter m
Masse [m] Kilogramm kg
Zeit [t] Sekunde s
El. Stromstärke [I] Ampere A
Temperatur [T] Kelvin K
Lichtstärke [I] Candela cd
Stoffmenge [y] Mol mol
englisch: l = length / m = mass / t = time, ...
Umstellung physikalischer Einheit in der Praxis teilweise schwierig:
Bsp: Automotor - Leistung PS kW
Einheit in der Informationstechnik : 1 Bit
Aus den 7 Basisgrößen werden alle anderen physikalischen Größen mit Formeln abgeleitet.
Vergleich s.u.
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1.1.2 Abgeleitete Größen (SI-System)
Beispiel Formel Einheit
Geschwindigkeit
t
sv
s
m
Ladung Q = I t A s = C
Weitere Bsp: N, J
1.1.3 Vorsätze für Maßeinheiten
Vereinfachung physikalische Maßeinheiten mit Vorsilben :
einfachere Schreibweisen bei sehr großen oder sehr kleinen Zahlenwerten:
Zehnerpotenz Vorsilbe Kennbuchstabe
10-12 Piko p
10-9 Nano n
10-6 Mikro µ
10-3 Milli m
103 Kilo k
106 Mega M
109 Giga G
Bsp: 0,001 m = 1 * 10-3 m = 1 mm
Standardisierung der Einheiten ist wichtig !
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1.2 Messungen (Measurements)
Physikalischen Formel müssen durch Experimente verifiziert werden!
Voraussetzung: geeignete Meßgeräte
Bsp: Längenmessung
Meterstab : geringe Genauigkeit (auch Zollstock, Einheit !)
Meßschieber: hohe Genauigkeit ca. 1/10 mm
Meßaufgabe\-mittel Meterstab Meßschieber
Tafelbreite +
-
(Aneinanderreihen der Meßschiebermessungen)
Durchmesser Stab -
(grobe Skalierung und Paralaxe) +
Faustregel:
- Maximalwert der Meßgröße kleiner als der Skalenendwert
- Minimalwert etwa 10% des Skalenendwertes.
Meßfehler statistische Fehler Systematische Fehler
Beispiel Ablesen Messschieber "billiger" Meßschieber
Fehlerreduzierung Wiederholtes Messen und Ablesen "teurer" Meßschieber
Verfahren Statistik (Mittelwert,
Standardabweichung, ...)
Beschreibung des
Meßverfahrens
Gesamtfehler = statistische + systematische Fehler
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1.3 Physikalische Methodik
Experimentelle Physik (Ingenieurwissenschaften):
1. Beobachtung reproduzierbarer Vorgänge (Experimente)
2. Messung der relevanten Parameter
3. Aufstellen einer Formel
4. Verifikation der Formel mit Randbedingungen und Fehlern
Beispiel: Freier Fall einer Stahlkugel 1. Beobachtung Kugel fällt immer Richtung Erde
2. Messung
3. Formel durch Probieren und Fitten findet man: hconstt mit const = 0,452 s m-0,5
4. Verifikation
Der gefundene Zusammenhang gilt nur für eine Stahlkugel und ca. 500m über
Meeresniveau. Deutliche Abweichungen bei einem Tischtennisball (Luftwiderstand)
oder in sehr großen Höhen.
Aber: Kann die Konstante besser beschrieben werden ?
Sie hängt offensichtlich von der Erdanziehungskraft ab.
Die exakte (ideale) Formel erhält man leichter aus der
Theoretischen Physik, ausgehend von der Beschleunigung;
siehe Kinematik: 2tg
2
1h.bzw
g
h2t
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
0 2 4 6 8 10 12
Fallhöhe h /m
Fa
lld
au
er
t /s
Fehlerbalken übertrieben
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2. Mechanik (Mechanics)
Mechanik ist ältester Teil der Physik
Sachverhalte leicht sichtbar und greifbar, tägliche Erfahrung
leichtes Erlernen der physikalischen Methodik und Denkweise
Erste Erfahrungen: Pfeil + Bogen, Wurfmaschinen der alten Griechen und Römer
Erste Beschreibung durch Newton ca. 1700
2.1 Einführung
Mechanik: Gleichgewicht und Bewegung von Körpern im Raum unter dem
Einfluß von Kräften
2.1.1 Einteilung
Abgrenzung Beispiel
Klassische Mechanik "Technik" Auto
Relativitätstheorie hohe Geschwindigkeiten
(Lichtgeschwindigkeit)
Elektron in Braunscher
Röhre,
Astronomie
Quantenmechanik "kleinste Körper" Atome, Moleküle, Kristalle
Wellenmechanik Wechselwirkung von
elektromagnetischen Wellen mit
Atomen, Molekülen, Kristallen
"rote Sonne" beim Auf- und
Untergang
Klassische Mechanik:
- Grenzfall der Relativitätstheorie für kleine Geschwindigkeiten
- Grenzfall der Quanten- und Wellenmechanik für große Körper
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2.1.2 Klassische Mechanik (Classical Mechanics)
Gebiete Inhalt Beispiel
Statik Kräfte Balkenwaage
Kinematik Bewegungsformen Autofahrt, Wurf
Dynamik Kräfte als Ursache der Bewegung
Arbeit, Energie, Leistung, Impuls
Freier Fall, Rakete,
Schwingungen
Reale Beschreibung meist schwierig, deshalb vereinfachte Beschreibung durch Modellkörper
2.1.3 Modellkörper
Definition Beispiel
Massepunkt keine Ausdehnung,nur Masse Autofahrt (Kinematik)
Starrer Körper Ausgedehnt, keine Verformung Balkenwaage (Statik, Dynamik)
Elastischer Körper * Verformung Feder
Ideale Flüssigkeit * keine Reibung Wasserströmung im Rohr
Ideales Gas * kein Eigenvolumen Luftkompression
(*): Mechanik Deformierbarer Medien
Bedeutung der Mechanik: Vorhersage von (Bewegungs-) Zuständen, wenn der
gegenwärtige Zustand (Anfangsbedingungen) bekannt ist.
Beispiele:
- Vorhersage der Ankunftszeit eines Autos aus Restentfernung und Geschwindigkeit
- Kfz-Assistenzsysteme z.B. „Automatisches Gaswegnehmen“ bei Geschwindigkeitslimit auf
Basis von Navigationskarten – hier: Berechnung wieviele Meter vor Schild ?
Problem:
Messung aller Anfangsbedingungen und externer Einflüsse, z.B. Flug eines Luftballons
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Vorgehensweise zur erfolgreichen Lösung von
Mechanik - Aufgaben
- Skizze
- Reibung ?
- Modellkörper ?
- Aufstellen der Bewegungsgleichung
Fall: - Statik (a = v = 0)
- Kinematik, Dynamik, Schwingungen
Art: Translation , Rotation , Translation Rotation
Falls nicht Statik, Bewegungstyp ?
Kinematik Dynamik
Betrachte nur a:
- a = 0
- a = const.
- a const.
typisch: v, a, t gegeben
bzw. gesucht
- Kraftansatz F = 0 , M = 0 (typisch a gesucht)
- Energieansatz Eges = const. (meist h oder v gegeben)
- Impulsansatz p = const. (2 Körper stoßen aufeinander)
(Schwingungen immer mit Kraftansatz)
- Koordinatensystem festlegen und in Skizze einzeichnen und Variablen anpassen
- Lösung dann mit Differential avs;vs bzw. Integral ²dtadtvs;dtav
- Anfangs- (t=0) bzw. Endbedingungen einsetzen
PS.: Dies stellt lediglich eine allgemeine Übersicht dar.
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2.2 Statik des Starren Körpers (Statics of Rigid Body)
Definition: Körper mit genau definierter Form, welche sich nicht (nie) ändert
Bsp: Stange, Quader
Grenzfall: z. B. Lineal verbiegen
Anwendung des Modellkörpers „Starrer Körper“ bei technischen Bau- und Maschinenteilen
(Stein, Stange, ...) unter Vernachlässigung von Formänderungen (z.B. Biegung)
Statik umfaßt Systeme, welche sich nicht (mehr) bewegen
Bsp: Balkenwaage vor Auflegen Gewicht und wieder im eingeschwungenen (statischen)
Zustand
weiteres Bsp: Hausbau: Berechnung der Statik aber Dynamik Erdbeben Einsturz
Definition Statik
Ein Starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Wirkung aller auf ihn
angreifenden Kräfte Null ist.
Kraft kann z.B. durch Drücken (Gewicht, Lineal), Ziehen (Schnur) und Gewicht auflegen
(Balkenwaage) erzeugt werden. Ein Starrer Körper deformiert sich dabei nicht.
Versuche:
- 2 Seile an Körper: Kraft offensichtlich vektoriell
- Balkenwaage
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2.2.1 Kraft (Force) als Vektorielle Größe
Die Kraftwirkung am Starren Körper hängt vom - Angriffspunkt (A, A')
- Betrag (Größe)
- Richtung
des Kraftvektors F
ab.
Einheit der Kraft: [F] = N = ²s
mkg
JAVA Applett: Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten
Kräfte – Angriffspunkt€ an Starrem Körper:
- gemeinsamer Angriffspunkt : Schachtel mit 2 Schnüren in 1 Öse
- unterschiedl. " : " " 2 Ösen
1 Ny
x
A'
F'
AF
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2.2.2 Kräfteaddition
2.2.2.1 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt
Mehrere Kräfte z.B. 3 Seile an einer Befestigung
zeichnerisch : Konstruktion mit "Krafteck"
rechnerisch : ...FFFF 321r
Kräfteaddition
n
i
ir FF1
(MS - 1)
JAVA Applett: Gesamtkraft mehrerer Kräfte (Vektoraddition)
Summationszeichen:
n
1i
n21i a...aaaS
Bsp:
3
1i
6321iS
F3
F2
Fr
F1
A
Krafteck:Kraftvektoren parallelverschieben
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Gleichgewicht zweier Kräfte 0Fr
Versuch: - Tauziehen
- Feder mit Gewicht Federkraft = Gewichtskraft
0FFF 21r
(da Statik !)
21 FF
21 FF
Versuch: Gewicht auf Tisch / Lineal durchbiegen
Im Gleichgewicht ist Kraft gleich Gegenkraft: FP = - FG FP + FG = 0 = Fr
Konsequenz: Wenn ein Körper in Ruhe ist, können trotzdem Kräfte auf ihn wirken
Newtonsches Grundgesetz der Statik
Ein Kraft erzeugt eine gleich große Gegenkraft : actio = reactio
besser: actio + reactio = 0
andere Formulierung:
Ohne äußere Kraftwirkung verharrt ein Körper in Ruhe (oder er bewegt sich
gleichförmig
( Kinematik)
Grundgesetz der Statik
FR = 0 bzw. Fi = 0
(MS - 2)
Bsp: Ball auf einem Tisch rollen lassen (ist das noch Statik ?)
F2 F1
F
F
G e w ich t
P la tte
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2.2.2.2 Hebelgesetz (Arm, Lever)
Hebelgesetz
Die Abstände der Kräfte von der Resultierenden
verhalten sich umgekehrt wie die Kräfte
JAVA Applett: Hebelgesetz
1
2
2
1
l
l
F
F
(MS - 3)
Bsp: l1 l2 : Balkenwaage, Kinderwippe
l1 >> l2 : Hebel zum Möbelanheben, Brechstange
2.2.2.3 Kraft auf Unterlage bei Schiefer Ebene
Neigungswinkel
Hangabtriebskraft
Normalkraft
tan = h / s
FH = FG sin
FN = FG cos
(MS - 4)
(Kraft auf Unterlage,
relevant für Gleitreibung)
JAVA Applett: Schiefe Ebene
F1F2
l1 l2Gleichgew.Unterstützung
FN
FG
FH
s
h
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2.2.3 Drehmoment (Torque)
Was bewirkt Kraft auf drehbaren Körper ? Drehung
Bsp: - Schraube anziehen mit Gabelschlüssel
- Autoreifen: Drehmomentschlüssel
- Automotor : Drehmoment
Wirkt auf einen drehbaren Starren Körper eine Kraft, so erzeugt sie ein Drehmoment.
Drehmoment
[M] = Nm
FrM
(MS - 5)
Das Drehmoment steht senkrecht auf r und F,
da Vektorprodukt.
Betrag: FlsinFrM
Anschaulich:
Drehmoment
- in Drehachsenrichtung
- erzeugt Drehbewegung
Kinematik der Rotation
M /Nm
U / 1/min
D
A
F
M
rD
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Beispiel zum Drehmoment (Übung)
0
0
m1
r
0
N1
0
F
Nm1
0
0
0
N1
0
0
0
m1
FrM
Gleichgewichtsbedingung Rotation
Ein drehbarer Starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der angreifenden
Drehmomente Null ergibt, d.h. er dreht sich nicht um seinen Drehpunkt.
Bsp: Balkenwaage
Grundgesetz der Statik für Rotation
n
1i
i 0M
(MS - 6)
das ist Schwerpunktsbedingung; vgl. F = 0
Hieraus folgt die Bedingung für den Schwerpunkt eines Starren Körpers. Der Schwerpunkt ist
derjenige Aufhängepunkt, bei dem sich der Starre Körper unter dem Einfluß der Schwerkraft
(Erdanziehungskraft) nicht dreht.
r
FM
x
yz
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Schwerpunkt (Centre of Gravity)
Bsp: Hantel mit masseloser Stange
m1 = m2
Aus Gleichgewichtsbedingung und
Hebelgesetz folgt:
1a2
2a
F
F
2
1
Herleitung des Schwerpunktes mit Drehmoment und Schwergewichtsbedingung:
Gesamtdrehmoment = Summe der Einzeldrehmomente: M = 0 da Fr
genügen
Beträge
Nebenbed.: l1 + l2 = a
M1 + M2 - Mswp = 0
m1 g x1 + m2 g x2 - (m1 + m2) g xs = 0 (x r)
21
2211s
mm
xmxmx
Schwerpunkt 21
21s
mm
am0mx
= a/2
Schwerpunkt (allgemein)
y und z analog
i
ii
sm
xmx
(MS - 7)
F F2
0 a xXs
a
l1 l2
m mS
1
11
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Experimentelle Schwerpunktsbestimmung
durch Ausbalancieren - Aufhängen
- Unterlegen einer Stange / Walze
Schwerpunkt:
- Auto: Lastverteilung Vorderachse zu Hinterachse; z.B. Anfahrverhalten bei Schnee
- wichtig bei Flugzeugen, Schiffen, Raketen , ... : "Lastverteilung"
Einzelgeräte-Schwerpunkte während Konstruktionsphase über Drehmoment verkoppelt
ergibt den Gesamtschwerpunkt.
Anmerkung:
Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des Starren Körpers liegen. Bsp. Ring (Torus)
Auftriebskraft
Hebelwirkung
Antriebsloser Flug
Gewichtskraft in Abh. von Schwerpunktlage
ideal
schwanzlastig kopflastig
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Übungsblatt Statik, Kräfte, Vektoren
1. Geben Sie Betrag und Richtung der Vektoren an:
3
2
1
v;
1
0
2
v;0
2v 321
2. Addieren Sie die Kräfte bzw. Vektoren und geben Sie Betrag und Richtung an. a) und b)
auch graphisch.
a)
1
1b;
1
1a
b)
4
3c;
2
1b;
1
2a
c)
3
2
1
b;
5
4
3
a
3. Zerlegen Sie die Kraft in 2 orthogonale Kraftvektoren (Rechnung und Zeichnung)
2
4F
4. Auf einen Starren Körper, welcher den Weg s zurücklegt wirkt die Kraft
F . Wie groß ist
die Arbeit? ([s] = m ; [F] = N)
a)
2
3F;
1
2s
b)
0
1000F;
1
0s
5. Berechnen Sie das Drehmoment und vergleichen Sie 4) und 5) .
6
5F;
2
1r
6. Berechnen Sie die Hangabtriebskraft für einen Winkel von 30° und einen runden Körper
der Masse 1 kg .
7. Berechnen Sie den Schwerpunkt: 3 gleiche Massen im gleichseitigen Dreieck und
masselose Stangen
8. Bei welchem Flüssigkeitsstand ist die Standfestigkeit einer Getränkedose am größten, d.h.
der Schwerpunkt am tiefsten? Idealisierung: Dünnwandige Zylinderdose, welche am
Anfang ganz voll ist. Masse Dose < Masse Getränk (voll).
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Übungsblatt Statik, Kräfte, Vektoren - Lösungen 1.
v1 v2 v3
Betrag 2 5 14
Richtung 0° (xy) xy : 0° xz : 26,6°
xy (Azimut): 63,4° xy auf z (Elevation) 53,3°
(Elevation : Vektor ( 5 /3) )
2. a)
0
2c
; b)
3
4c
; c)
8
2
4
c
3.
0
4Fx
;
2
0Fy
4. a) W = 8 Nm
b) W = 0 Nm
5.
4
0
0
M
M45,13sin615sinFrM
M und W haben dieselbe Einheit aber Vektor und Skalar! 6. FH = 5 N
7. für normale Gewichtsverhältnisse : xs = L/2 ; ys 0,3 L
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2.3 Kinematik (Kinematics)
Beobachtung: Körper bewegen sich: Ball, Auto, Karusell, ...
Beschreibung dieser Bewegung durch die Kinematik = Bewegungslehre
Definition:
Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne die Ursache für die Bewegung zu
betrachten.
Bewegung eines Körpers kann beliebig sein, die geradlinige Bewegung d.h. die Translation
ist der einfachster Fall. Bei krummlinigen Bewegungen können einzelne Abschnitte durch
Kreisbewegungen d.h. Rotationen und Translationen angefittet werden.
Beispiel: - Ballwurf eines Kindes: Kreisförmige Bewegung mit translativem Abwurf.
- Geradeausfahrt auf Autobahn + kreisförmige Ausfahrt
Allgemein: Krummlinige Bewegung angefittet durch Translation + Rotation
Solche Daten bilden die Grundlage in Navigationsdaten
Modellkörper - Translation : Massepunkt
- Rotation : Massepunkt an steifer, gewichtsloser Stange
Rotation
Translation
s(t)
D
R
Massepunkt
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Versuch drehende Balkenwaage
Starrer Körper, der um einen Drehpunkt (vgl. Drehmoment) rotiert, führt eine Kreisbewegung
aus.
Kreisbewegung in der Technik ebenso wichtig wie Translation, da alle rotierenden
Gegenstände wie Antriebsachsen, Ritzel, Räder, ... Kreisbewegungen durchführen.
Arten Translation
(Translation)
Rotation
(Rotation)
Bewegung Geradlinig Drehung
Koordinatensystem Rechtwinklig Polarkoordinaten
Beschreibung Vektoren Skalare
Weg s
Drehwinkel (Def. über Bogenmaß)
Modellkörper Massepunkt Massepunkt an gewichtloser,
drehbarer Stange
Bsp: Aufzug Karusell
Grundlage: Ortsänderung im Bezugssystem
wichtig: geeignetes Bezugssystem: kartesische- - Polarkoordinaten !
z
x T1T0
t = T0 t = T
1
s
yr0
s
r1
Orts-Diagramm Weg-Zeit-Diagramm
t
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Relative Bewegungen
Windstille !
Wie ist dieses Photo „entstanden“ ?
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2.3.1 Geschwindigkeit (Velocity) Maß für Wegänderung pro Zeiteinheit : Geschwindigkeit
Def.:
Ortsänderung pro Zeiteinheit
Geschwindigkeit
s
mv
s
td
sd
t
sv
alDifferentiDifferenz
(MK - 1)
bzw. vektoriell sv
Geschwindigkeit = Zeitableitung des Weges (path)
Beispiele zur Ableitung (und Integration): (eindimensional) (Übung)
geg. s(t) s
dt
dsv sv
dt
dva
Beschleunigungstyp
1 0 0
t 1 0 0
t² 2t 2 const
t³ * 3t² 6t const
sint cost -²sint = -² s Schwingung
*: t³ z. B. bei Anlauf- bzw. Abbremsprofilen von Motoren
Das Vorgehen von „links“ nach „rechts“ beschreibt die Ableitung.
Das umgekehrte Vorgehen (Integration) ist auch möglich und wichtig (s.u.)
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Weg kann durch zeitliche Integration der Geschwindigkeit berechnet werden:
Aus (MK 1) : ds = v dt
integrieren = umgekehrte Differentiation, daraus erhält man den Weg
Herleitung: Weg berechnen, wenn v gegeben
v = ds / dt | dt
v dt = ds |
0
T
T
sdt)t(v)t(s1
0
(MK - 2)
Anwendung Flugzeug:
Staudruck-Messgerät mißt nur die Geschwindigkeit Integration ergibt s !
Problem Integration und Variable t
Herleitung für v = const. : tvsTvTTvdtvsüblich
1T
0T
01
Achtung: übliche Definition: t als relative Zeit nach Meßbeginn !!
Spezialfall: )t(vv
, d.h. v = const: ostv)t(s
s0 : Integrationskonstante, Weg zu Beginn bei T0
Beispiel: Auto mit v = 10 m/s = const. ; Zeitdauer 100 s ; so = 0 m
m1000s10010dt10dt10sdt)t(v)t(ss
m
s100
0
s
m
s100
0
s
m0
T
T
1
0
Def.: Mittlere Geschwindigkeit
z.B. Berechnung durch Tripcomputer t
svm
(MK - 3)
für t 0 :
Def.:aktuelle Momentangeschwindigkeit
z.B. Wert auf Tachometer s
td
sdva
(MK - 4)
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2.3.2 Beschleunigung (Acceleration)
Was passiert, wenn sich Geschwindigkeit zeitlich ändert z.B. Auto anfährt ?
Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, d.h. ist zeitabhängig.
Def.: Beschleunigung
= Geschwindigkeitsänderung
pro Zeiteinheit
[a] = m/s
sv
td
vd
t
va
werttanMomen.aktttswertDurchschni
(MK - 5)
Technik: a > 0 : Beschleunigung ; a < 0 : Verzögerung
Zahlenbeispiele siehe obenstehende Tabelle zur Ableitung und Integration
Elektrotechnik: Beschleunigung von geladenen Teilchen :
Strahlung nach Maxwell - Gleichungen : Synchrotonstrahlung
Geschwindigkeit und Weg können aus der Beschleunigung durch zeitliche Integration
berechnet werden:
Geschwindigkeit 0vdt)t(a)t(v
(MK - 6)
Weg 0sdt)t(v)t(s
(MK - 7)
Analog für Rotation, statt Weg s den Winkel verwenden (s.u.) !
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 29
2.3.3 Translation (Translation {Motion})
Vereinfachung eindimensionale Betrachtung (1D): ss
(o.B.d.A.)
Def.: Bewegungstyp / -form
Art Gleichförmig gleichmäßig
beschleunigt
ungleichmäßig
beschleunigt
a 0 const. const.
v const. Lineare Änderung, v t const.
Bsp. Auto 100 km/h Freier Fall Pendel
es gibt nur 3 Arten der Translation (bzw. Rotation):
2.3.3.1 Gleichförmige Translation
Typ: a = 0
aus (MK - 6): v = vo
aus (MK - 7): s = vdt = vo t + C
s = vo t + so (MK – 8)
JAVA Applett: Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Beispiel:
Bei einer Autofahrt mit konstanter Geschwindigkeit entspricht die Momentangeschwindigkeit
der mittleren Geschwindigkeit, Formel s / t
s v
t
a
ov
os
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 30
2.3.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Translation
Versuch: - Ball fallen lassen
- Wagen mit Gewicht und Umlenkrolle
d.i. Freier Fall = gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Typ: a(t) = const Bsp.: Freier Fall
aus (MK – 6): tadt.constv
aus (MK - 7): s = vdt = atdt = ½ a t2
Formeln aus (MK - 6) und (MK - 7), so = 0
Geg. vo = 0 vo 0
a, t
v = at
s = 1/2 at²
v = at + vo
s = 1/2 at² + vo t
a, s
sa2v
2
ovsa2v
(MK - 9)
s v
t
a
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 31
2.3.3.3 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Versuch Pendelschwingungen :
Umkehrpunkt: Richtungsumkehr von Geschwindigkeit und Beschleunigung
ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Typ: a(t) const. ; a = a(t)
Beispiel:
Mechanische Schwingungen
Anfangsbed. für t = 0 : s(0) = 1 ; v(0) = 0
geg: a cost
dtav sint
dtas 2
dtv cost
s a , s s typ. für Schwingungen
Beispiel (Übung) kta Bem: [k] = m/s²
kt2
1dttkdtav
2
32 kt6
1dttk
2
1dtvs
t
s
v
a
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 32
Beispiele einfacher Translationen: Freier Fall / Schiefer Wurf
2.3.3.4 Einfache Translationen im Erdfeld
a = g = 9,81 m/s² 10 m/s² = const. gleichförmig beschleunigte Bewegung,
Modellkörper : Massepunkt
NB: - Erdoberfläche, s klein, kein Luftwiderstand, keine Erdrotation
- g verringert sich mit zunehmenden Abstand von der Erdoberfläche (Übungsaufgabe)
- g sehr exakt mit Pendeln meßbar, so daß Höhe über Meeresspiegel bestimmbar
Dim Bez. Anfangsgeschwindigkeit *
1 Freier Fall voz = 0
Senkrechter Wurf voz > 0 nach oben
voz < 0 nach unten
2/3 Waagrechter Wurf vox 0 voz = 0
Schiefer Wurf vox und voz 0
(*) :
z0
y0
x0
0
v
v
v
v
y hier als konstant gewählt, ebenso liegt der Abwurfort im Ursprung !
Beides kann durch lineare Koordinatentransformation (und ggf. Drehung) immer erreicht
werden.
Bei Wurf mit Seitenwind ist y nicht konstant, also zu berücksichtigen !
z
x
y
V = 0oy
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 33
für die beiden Beispiele gilt : - a = g aus (MK - 9): 0vtgv
- AB: 0)0t(v
, 0)0t(s
a) Freier Fall (Übung) Kinematik
00
2 stvgt2
1s
1D gas
für 0s0 und 0v0
2gt2
1s gtv
g
vt
g2
v
g
vg
2
1s
2
2
2
Energiesatz (Vorgriff)
siehe Ekin = Epot
mgh2
mv2
gh2gs2v g2
vs
2
2gt
2
1s ; gtv ;
g2
vs
2
(MK – 10)
d.h. beide Wege führen zum selben Ziel !
Wenn aber Zeitabhängigkeit gefragt ist, kommt man nur mit kinematischen Methoden
zum Ziel!
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 34
b) Wurf (Übung)
vektorielle Betrachtung
Zusammensetzung von
- gleichförmiger Translation und
- gleichmäßiger Beschleunigung (Freier Fall)
Anfangsbedingungen (t = 0) :
.Bew.beschl.gleichm
.Bew.unbeschl
g
0
0
a;
v
0
v
v;
0
0
0
s 0
oz
ox
00
Achtung: rechtshändiges
Koordinatensystem !
Rechengang: v = adt ; s = vdt
.beschl.gleichmiggleichförm
oz
ox
tg
0
0
v
0
v
v
2
oz
ox
2oz
ox
tg2
1tv
0
tv
tg2
10
0
tv
0
tv
s
(MK - 11)
Probe: gs!
z
Übung: Vereinfachen Sie obige Formeln für senkrechten Wurf nach oben und unten.
z
x
y
V0x
g
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 35
Bsp: Waagrechter Wurf voz = 0 (Übung)
tg
0
v
v
X0
2
X0
tg2
10
tv
s
Absolutgeschwindigkeit: ²t²gv)t(vvvvvv 2
x0hier
2
z
2
y
2
x
Fälle: - t klein : v vx
- t groß : v gt bisher: alle Werte zeitabhängig, aber auf welche Bahn fliegt der Massepunkt ? Bahnkurve
sx = vox t U (i)
sz = - 1/2 gt² V (ii) aus (i) t = U / vox (i’) (i’) in (ii)
²xv2
gz.bzwU
v2
gV
2
ox
2
2
ox
das ist eine (Wurf-) Parabel z ~ x²
Absolutgeschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve
²xv
²gv)z,x(vv
2
ox
2
ox (1') in v eingesetzt
x
v
0 xv
~ x
JAVA Applett: Schiefer Wurf
vx
x
z
t = 0
|v|vy
0 xv
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Wie hoch ‚fliegt’ ein Skispringer ?
Olympia-Schanzen Calgary
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 37
Übungsblatt Kinematik 1
1. 2 Autos fahren mit konstanter Geschwindigkeit von v1 = 80km/h und v2 = 100km/h auf der
rechten bzw. linken Spur einer freien Autobahn. Zum Zeitpunkt t=0 ist das 1. Auto 250m
vor dem 2. Auto. Nach welcher Zeit und Strecke hat das 2. Auto das 1. um 50m überholt?
Lsg.: t=54s, s = 1500m
2. Der ICE erreicht eine Geschwindigkeit von 250 km/h innerhalb 600s. Zum Abbremsen
benötigt er 140s, bei einer Notbremsung nur 60s. Wie groß sind die durchschnittlichen
Beschleunigungen?
Lsg.: a /m/s² : 0,116 / -0,5 / -1,16
3. Sie lassen einen Stein in einen sehr tiefen Brunnen fallen. Nach t Sekunden hören Sie den
Aufschlag. Wie tief ist der Brunnen? Bis zu welcher Tiefe können Sie die Tiefe vereinfacht
berechnen?
Lsg.: Annahme t = 3,14s ==> h = 45m ; für 55m Fehler ohne Schallgeschwindigkeit 5%
4. Sie schießen eine Billardkugel über einen Tisch der Höhe 1m. Der Auftreffpunkt auf dem
Boden ist horizontal 1m von der Kante entfernt. Wie groß war die Geschwindigkeit der
Kugel an der Tischkante?
Lsg.: v = 2,24m/s
5. Skispringen Obersdorf: Die (waagrechte) Absprunggeschwindigkeit beträgt 72km/h, die
Landepiste hat ein Gefälle von 45°. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes ist die
Flugzeit und die Sprungweite (ohne Schanzentisch) gesucht.
Lsg.: a = 113m ; t = 4s
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 38
2.3.4 Rotation
Bsp: Pendel, drehbare Balkenwaage
Modellkörper : Massepunkt an gewichtsloser, steifer Stange
wichtigste Größe (analog zum Weg s):
Drehwinkel
(angle of rotation)
= s /r s = r
(MK 12)
r = const. ; s(t) : Bogenmaß ; [] = rad 180° =
Winkelgeschwindigkeit
[] = rad/s
dt
d
t
(MK - 13)
Winkelbeschleunigung
[] = rad/s²
dt
d
t
(MK - 14)
Alle Definitionen wie Translation
, , sind Skalare, keine Vektoren !!
1 Variable , da r = const.
karthesischeKoordinaten
2 Variable: x , y
x
y
Polarkoordinaten
r
s
D
+vozt
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 39
Zusammenführung Translation - Rotation
(hier nur Skalare bzw. Beträge)
Translation Rotation T R
Weg s s = r
Geschwindigkeit v v = r
Beschleunigung a a = r
(MK - 15)
Bewegungsformen wie Translation :
- gleichförmig = 0
- gleichmäßig beschleunigt = const
- ungleichmäßig beschleunigt const.
Vektorielle Betrachtung
Beschleunigung = Geschwindigkeitsdifferenz
zeigt bei Bewegung in Gegenuhrzeigersinn
‚ins Blatt’ hinein
Geschwindigkeit
Tangential zur Bahn rv
(MK - 16)
Zentripetalbeschleunigung
- zeigt zur Rotationsachse (Mittelpunkt)
- meist nur Betrag: a = ² r interessant r
r
va 2
2
(MK 17)
Beschleunigung zeigt nach ‘innen’, die Kraftwirkung auf einen Körper, der sich auf einer
Kreisbahn bewegt ist dann nach außen: Karussell, Satellit.
Bedingung für Schwerelosigkeit : v²/r = g
T2
v
a für dt
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 40
Zentripetalkraft
Ursache der Zentralbewegung (Beschleunigung in Richtung
Mittelpunkt)
JAVA Applett: Karussell (Zentripetalkraft)
Zentrifugalkraft
ist Trägheitskraft (Scheinkraft, nicht sichtbar von außen),
welche der Zentripetalkraft entgegengesetzt ist, also vom
Drehzentrum weg. Von lateinisch 'fugare' = fliehen
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
)am(rmr
vmF 2
2
zp
zpzf FF
(MK - 18)
Zum Weiterlesen: Coriolis-Kraft
D
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 41
Bsp: Gleichförmige Kreisbewegung = const. ; = 0
z.B. gleichmäßig drehender Motor
Drehwinkel aus konstanter Winkelgeschwindigkeit
1 Umdrehung d.h. 360° bzw. 2 entspricht 1 Periode
Drehwinkel (entspr. s = v t )
Periodendauer
Frequenz
Anzahl der Umdrehungen
Drehzahl
t
2T
2T
1f
N = / 2
f2dt2
dN
dt
dN
t
Nn
(MK - 19)
Periodendauer wird bei großen Zeiten z.B. Erdumdrehung in 24 h verwendet,
dagegen Frequenz bzw. Drehzahl bei kleinen Dauern: Motor 6000/min, HF-Technik 100 MHz
JAVA Applett: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 42
Bsp: Gleichmäßig Beschleunigte Kreisbewegung = const.
z.B. anlaufender Motor
Winkelgeschwindigkeit
Drehwinkel
= t
= t = 1/2 t²
(MK - 20)
Analog gleichmäßig beschleunigte Translation
Rotation in karthesischen Koordinaten
Reell:
sin
scoR)(r;)t(
rv
cos
sinRv
v tangential zu r
sva
rvsin
cosR
sin
cosRa
a
zeigt zur Drehachse (MK - 21)
cos
sin
a
v
r
IM y
R RE xD
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 43
Zusammenfassung Kinematik
Art gleichförmig Gleichförmig
beschleunigt
Ungleichförmig
beschleunigt
Beschleunigung 0 konstant nicht konstant
a = a(t) , = (t) nein nein ja
v , const const * t v = a dt , = dt
s , const * t 1/2 const * t² s = v dt , = dt
alle Anfangswerte hier Null : vo = o = so = o = 0
s = r ; v = r ; a = r
1D - ggf. Vektoren verwenden
Ableitungen, wenn s bzw. zeitabhängig gegeben: ;sva
Def. - aktueller Momentanwert aus Differenz z.B. td
sdva
- Mittel- bzw.Durchschnittswert aus Differential (t 0) z.B. t
m
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 44
Übungsblatt Kinematik 2
1. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit und die Umlaufdauer eines erdnahen Satelliten
(g=const.). Erklären Sie die Schwerelosigkeit.
Lsg.: T = 84min ; v = 8km/s
2. Sie sind im Projektteam für einen neuen Weltraumfilm. Um realistische Aufnahmen zeigen
zu können, benötigen Sie natürlich Szenen in Schwerelosigkeit. Aus Budgetgründen
können Sie natürlich keinen Raumflug (auch nicht mit einem Space Shuttle) chartern.
Welche Möglichkeit bleibt Ihnen? Versuchen Sie dies ausgehend von Ihrer Erfahrung als
Autofahrer bei Fahrten über eine Kuppe und dem schiefen Wurf (Fitten Parabel - Kreis)
anzudenken.
Lsg.: Kreisbahn ar = g mit v = 300m/s ; Viertelkreis 47s Filmzeit
3. Sie lassen eine Kugel (ohne Luftwiderstand) aus einem Ballon fallen, der sich in 30km
Höhe befindet. Die Erdbeschleunigung ist höhenabhängig nach der Formel b = g(R/r)² mit
g = 10m/s², Erdradius R = 6387km und r der Entfernung von Erdmittelpunkt. Wann und mit
welcher Geschwindigkeit kommt die Kugel auf der Erdoberfläche auf. Vergleichen Sie dies
mit der Rechnung mit konstanter Erdbeschleunigung 10m/s². Ansatz: g(R/r)² + a = 0.
mit g=const: g = 10 m/s: t = 77,46s ; v = 774,6m/s, Zerlegen Sie die Fallhöhe in Intervall
mit adaptierter Fallbeschleunigung.
4. Ein Motor erreicht nach 60s eine Drehzahl von 7200/min bei gleichmäßiger
Beschleunigung. Ein an ihm befestigte Scheibe hat den Durchmesser 1,2m. Berechnen
Sie die Winkelbeschleunigung, die Umfangsgeschwindigkeit nach 30s und die Anzahl der
Umdrehungen nach 10s.
Lsg.: = 12,6 1/s² ; v = 226m/s ; N = 100
5. Ein Motor hat 15s nach dem Anlaufen 500 Umdrehungen durchgeführt. Das Anlaufen ist
während der ersten 5 Sekunden gleichmäßig beschleunigt und danach gleichförmig. Wie
ist hoch ist die Drehzahl des Motors? Lsg.: N = 40 1/s
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 45
2.4 Dynamik (Dynamics)
Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet,
hier wird die Statik mit der Kinematik zusammengeführt.
Inhalt: Bewegungsgleichungen - Energie - Impuls, ....
Translation Rotation
Modellkörper Massepunkt Starrer Körper
Grundgesetz F = m a M = J
Bsp Wagen mit Gewicht Motor
Ziel: Bewegungsgleichung aufstellen !
2.4.1 Translation
2.4.1.1 Newtonsche Gesetze (Newton's Three Laws of Motion)
1. Trägheitsgesetz
Ein Körper bleibt in Ruhe oder er bewegt sich
gleichförmig, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn
einwirken oder diese in Summe Null sind
Beispiele:
- Gegenstand hinlegen - aber : Erde dreht sich um sich selbst und um Sonne
- Auto prallt auf Baum: Nicht angeschnallte Insassen „fliegen“ unbeschleunigt
weiter; d.h. Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte
Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand:
Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik:
zusammengeführt im
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 46
2. Grundgesetz der Mechanik
Speziell
allgemein
m = const. (Newton)
m const., p: Impuls
amF
p
dt
vmdF
(MD - 1)
Allgemeine Formulierung
amvmvmvmdt
vmd
mit m = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom)
Vgl: Strom in der ET: Ladung pro Zeiteinheit
I = Q / t
Fälle: - m = m(t) : Rakete
- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein)
vereinfachte Formulierung:
Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die
gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist
Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 47
3. Kraft erzeugt Gegenkraft
aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null Fi = 0 ; Bsp. Gewicht auf Unterlage
Erweiterung auf Dynamik:
Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit
bei Fahrt in Kurve merkt man Kräfte bzw. beim Anfahren.
= Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen : sogenannte Trägheitskräfte
- Anfahrt Zug: Flasche fällt vom Tisch
- Gasballon in Auto, bremsen - wohin bewegt sich Ballon ?
nach hinten, da Luft sich nach vorne bewegt (vorne größerer Luftdruck)
Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null
Dynamisches Gleichgewicht
auch d’Alembertsches Prinzip
(D'Alembert's Principle)
Fi = 0
(MD - 2)
Versuche: - Ball auf Wagen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit
- Ball mit Hand unterstützen : Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert.
Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ?
- Gewicht an Federwage
* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen,
nimmt das angezeigte Gewicht zu
* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt,
nimmt das angezeigte Gewicht ab
Bsp. Aufzug: aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter, aber Person fühlt sich
unbewegt !
Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich !
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 48
Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertsches Prinzipes
aus 0Fi
(d´Alembert)
Fb : beschleunigende Kraft, statisch, z.B.Gewichtskraft
Ft : Trägheitskraft
0FF tb
Ft = m a
(MD - 3)
mit : m : Gesamtmasse des Systemes
a : Beschleunigung des Systemes, für Statik a = 0, siehe NB
Trägkeitskraft - Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft)
- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen
NB: es kann auch mit bt FamF
gerechnet werden. Dann ist die Dynamik auf der
linken
Seite der Gleichung und die Statik auf der rechten Seite.
Äquivalenzprinzip: Ist die träge Masse gleich der schweren Masse ?
- träge Masse : Dynamik - Trägheitskraft
- schwere Masse : Statik - Gewicht in Ruhe
Die Äquivalenz ist im Rahmen höchster Meßgenauigkeiten als erfüllt nachgewiesen.
Aufgabe der Dynamik:
Bewegungsgleichung aus Kraftansatz / Energiesatz erstellen und lösen
Mit Dynamik kann Beschleunigung berechnet werden, was mit der Kinematik nicht möglich
ist.
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 49
Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip (Übung)
Freier Fall
Kraftansatz
1) d’Alembert: F = 0
Fb - Ft = 0
2) Kräfte bestimmen
Fb = m g = Fg
Ft = m a (immer, '-' im Ansatz)
3) einsetzen
m g - m a = 0
a = g = x
gleichmäßig beschl. Bewegung
x = v = g t, x = ½ g t²
xg2vx
Energieansatz (Vorgriff)
Eges = const
Epot = Ekin
m g x = ½ m v²
xg2vx
x(t);v(t) schwierig
Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des Systems
!
Energieansatz erscheint 'leichter', ist aber deutlich aufwendiger aufwendiger,
wenn s(t) und v(t) gesucht ! Das geht am besten mit dem Kraftansatz und Kinematik
Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-Geschwindigkeits-
Zusammenhang.
Wenn ein Ansatz nicht 'funktioniert', den anderen Ansatz verwenden !
m (Massepunkt)
0
x
Start
F = m at
FG
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 50
Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle (Übung)
„Kochrezepet“ für Kraftansatz nach
d’Alembert: F = 0
1) Fb - Ft = 0
2) Kräfte bestimmen
Fb = mG g
Ft = (mw + mG) a
mw + mG = Gesamtmasse des Systems
3) einsetzen
mG g - (mw + mG)a = 0
gmm
ma
GW
G
Rest: Kinematik
JAVA Applett: 2. Gesetz von Newton
(Fahrbahnversuch)
Weitere Berechnungen dann wie Kinematik gleichmäßig beschleunigte Translation
Stimmt das Ergebnis ?
Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln:
a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses ?
b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ?
angewandt auf obiges Beispiel:
a) Einheit : [a]= m/s²
b) Extremfälle - mw 0 : a g
- mw >> mG : a 0
- mG = 0 : a = 0
t = 0 0x
Ft
mW
FG
Fb
mG
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 51
2.4.1.2 Arbeit (Work)
Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar, die Wirkung wird mit dem
Begriff Arbeit erfaßt:
'umgangssprachlich': Arbeit = Kraft * Weg
Bsp: Gewicht in Hand und laufen - keine Arbeit wird verrichtet, da Gewicht nur gehalten
wird
(Kraft Weg), Maßkrug-Haltewettbewerb Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren.
Kraft F Arbeit [W] = Nm = J
- konstant sFW
- wegabhängig
1
o
s
s
sd)s(FW
(MD - 4)
Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden
Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies, Sand
Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt
Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit:
F = const. : sFsdF1
o
s
s
SI-fremd : - kWh = 3,6 MJ (Energiewirtschaft)
- eV = 1,6 10-19 J (Atomphysik)
Arten Beispiele (Vereinfachung: 1D)
Hubarbeit Gewichtheben,
Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const.
Beschleunigungsarbeit Anfahren Auto
Reibungsarbeit Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene
Verformungsarbeit Feder spannen
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 52
Hubarbeit im Schwerefeld der Erde
Annahme: g = const
F = const, Weg klein
Whub = F ds
mit F = m g und s = h erhält man
Hubarbeit Whub = m g h (MD - 5)
Versuche:
- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle
- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft * Weg = Arbeit
- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger Arbeit = konst.
- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-) Weg
dafür entsprechend länger Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug.
Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodaß auch schwere Gegenstände
hochgehoben werden können
JAVA Applett: Flaschenzug
h
W hub
W ~ hhub
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 53
Beschleunigungsarbeit
Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und v = 0
Fall: a = const Fall: a const
Fbeschl = m a = const
Wbeschl = m a s
gleichmäßig beschleunigte Translation:
sa2v
nach a auflösen und einsetzen
Wbeschl = m s v²/2s
Wbeschl = F ds = m ads
2
1
V
V
dvvmdt
dsdvm
dsdt
dvm
Wbeschl = ½ m v² Wbeschl = 2
1
2
2 vvm2
1
(MD - 6)
Achtung: gilt nur, wenn
Anfangsgeschwindigkeit = 0
Immer verwenden, wenn
Anfangsgeschwindigkeit 0
Bsp: m = 2 kg
sm6v
sm5v
2
1
sm1v
J112536m2
1Wbeschl
nicht J11m2
1 2 !
Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden,
nicht die beiden Zahlen subtrahieren und dann potenzieren !
Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die Differenz gebildet werden.
v
Wbeschl
W ~ v2
beschl
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 54
Spannarbeit (Verformungsarbeit)
z.B. bei Feder
Aus 1
o
s
s
sd)s(FW
mit s = x
F = F(x) = FF = - D x (Hooke)
D : Federkonstante, [D] = N/m
→ 2
1
2
2
x
x
x
x
s xx²xD2
1dxxDW 1
2
2
1
Spannarbeit 2
1
2
2
x
x
Fs xxD2
1dxFW
2
1
(MD - 7)
wobei x1/2 : Auslenkung aus unbeeinflußter Länge
x = x2 - x1: aktuell gedehneter Weg
+ aus Sicht von außen
- aus Sicht der Feder
- x1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit
Beispiel : Kraft ist wegabhängig x; Spannarbeit
1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen Ws = ½ D x² = ½ D
2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen
Ws =
2
1
2
1D
2
3)14(D
2
1²xD
2
1dxxD
nicht additiv wie bei Hubarbeit !!
Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen
Ws
W ~ x2
s
x
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 55
Reibungsarbeit
Versuch : Würfel fallen lassen - dasselbe Schiefe Ebene: v geringer, da Reibung
Reibung Fr Beispiel
Festkörper µ FN Gleitreibung, FN : Auflagekraft, schiefe Ebene
Flüssigkeit v Strömungswiderstand (laminar)
Gas v² Luftwiderstand (turbulent)
Verformung deform. Medien Feder spannen
(MD - 8)
Reibungsarbeit
bei wegunabhängiger Reibungskraft
Wr = Fr s (MD - 9)
Reibungsarbeit wird praktisch immer in Wärme umgewandelt.
Bsp.: - 'glühende' Bremsscheiben Formel 1
- Schutzschild Raumfähren
- Mikrowellenherd
d’Alembertsches Prinzip mit Reibungskraft Fb - Fr - Ft = 0 (MD - 10)
Reibung wirkt der beschleunigenden Kraft entgegen ; siehe Bsp. Freier Fall mit Reibung
Reibungsphänomene komplex: - Luftwiderstand Auto im Windkanal optimieren
- Luftwiderstand Golfball
Beispiele sihe Differentialgleichungen (Mathe 2).
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Beispiel Auto:
- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h : Motor- , Getriebereibung, Luftwiderstand, ...
- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h - 7 l bei konstant 120 km/h :
Differenz höhere Luftreibung
Höchstgeschwindigkeit hängt vom Luftwiderstand ab
- Luftwiderstand
(Richtwerte) Geschwindigskeitsbereich Reibung
< 50 km/h vernachlässigbar
50 - 100 km/h 'naja', typ. ~ v
> 100 km/h typ. ~ v²
2.4.1.3 Energie (Energy)
Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit
umgewandelt werden kann.
Energiesatz
[E] = J
Eges = const.
Eges (To) = Eges (T1)
(MD - 11)
Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt
sich von alleine ab und springt hoch !
Einheit wie Arbeit
Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt
werden! kein Perpetuum mobile
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Zusammenfassung und Übersicht zur Energie
Energie -
Arten
Formel Beispiel Energie-
Speicher
Energie-
Transport
Kinetisch
(Translation)
Ekin = ½ m v² Ekin bei Autounfall
Rotation
(2.4.2)
Erot = ½ J ² Motor beim
Auslaufen
Schwungrad
Potentiell
(Erde)
Epot = m g h Freier Fall Speicher-
kraftwerk
Pumpstation
Reibung Siehe Arbeit Luftwiderstand
Wärme Ew = c m T Kochen Wasser-
speicher
Fernwärme
Elektrisch Eel = U I t Leiter = Transport
von Energie !!
Akku Hochspannungs-
leitung
Chemisch Reaktionswärme Benzin Tank
Strahlung E Photosynthese,
Solarenergie,
IR-Thermometer
‘Sonne’
?!?
em. Wellen
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Beispiel Kinetische Energie
Setzt man die Kinetische Energie eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt sich
diese bei 140 km/h !!
Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert
ebenfalls quadratisch verlaufen könnte.
Daraus folgt dann ein doppelt so hohes Risiko, wenn die Geschwindigkeit von
100 auf 120 km/h gesteigert wird.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
100 120 140 160 180 200 220
v / km/h
Kinetische Energie bei Autofahrt / -unfall
~ v²
~ v
physiologische Belastung ~v²*v²
Ekin /% (100%= 100 km/h)
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Translativer Energiesatz ohne Reibung mit Reibung
Ekin(T0) + Epot(To) = Ekin(T1) + Epot(T1)
Ekin(T0) + Epot(To) + Ereib = Eges(T1)
(MD - 12)
Bemerkungen
- Ereib ~ Wreib
- Reibung ggf. bei T0 und T1 berücksichtigen
- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer Abhängigkeit !
- gilt z. B. nicht in Wasserströmung! Ernergie von A nach B kann dort wegabhängig sein.
Bsp.: Energieumwandlung Epot1 Ekin Epot2
Versuch :
a) Würfel im Freien Fall
b) Würfel über schiefe Ebene
Epot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = Epot2) des
Gegenstandes G geringer, da ein Teil von Epot2 in Reibungswärme umgewandelt wird.
Weitere Verlust durch Aufprall.
Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren !
Versuch: Ball / Blatt Papier fallen lassen Ball schneller obwohl Epot gleich
EW
h
a)b)
G
pot1
Epot2
Ekin
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Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand (Übung)
a) Energieansatz: Epot (To) = Ekin (T1) + Er (T1)
mit Er = F s m g h = ½ m v² + k v² h k : Reibungskoeffizient
v² (½ m + k h) = m g h
hk2
m
hgmv
Extremfälle:
- keine Reibung (k = 0) : hg2v
- große Reibung ( k ) : v 0 aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ??? Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier
als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige
Beschleunigung.
b) Kraftansatz F = 0
Fb - Fr - Ft = 0
mg - kv² - m a = 0 (DGL 2. Sem), a = dv/dt ‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber Endgeschwindigkeit : a = v = 0 mg - k v² = 0
k
gmvend
Extremwerte: k 0 : vend
k : vend 0
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v durch Luftwiderstand konstant : Beschleunigung a 0
weiteres Beispiel Energieansatz (Übung):
Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.)
Epot = Ekin
mG g h = ½ * (mw + mG) v²
Gw
G
mm
hgm2v
v = v(h) !
Grenzfälle analog Kraftansatz
0
10
20
30
40
50
0 50 100 150
v /
m/s
Fallweg / m
Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien Fall
mit Luftwiderstand
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2.4.1.4 Leistung (Power)
Leistung ist ein weiterer Begriff aus demtäglichem Leben.
„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. : vFt
WP
aus vFdt
dsF
t
sF
t
WP
[P] = W = J/s (Normierung auf Zeit)
„früher“: Auto : PS ; 1 PS = 0,73 kW
Leistung („Arbeit pro Zeit“)
'genaue' Formulierung
tanMomen
0t
ttDurchschni
td
Wd
t
WP
(MD - 13)
Durchschnittsleistung t
WPm
aktuelle Momentanleistung Wtd
WdPa
(Definitionen analog Kinematik Geschwindigkeit)
erweiterte Betrachtung vFsFtd
)sF(d
td
WdP
constFfür0
kinetische und potentielle Leistung
vFxF
dt
dxgm
td
)t(xgmd
td
WdP
vFvamvvmdt
²dvm
2
1
td
)²t(vmd
td
WdP
constm
pot
pot
constm
21
kinkin
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Wirkungsgrad
(Efficiency) 1
P
P
gesamt
nutz
Pnutz = Pgesamt - Pverlust
(MD - 14)
Pnutz : nutzbare, benutzte Leistung
z.B: Auto Vortrieb : Beschleunigungsarbeit
Pgesamt : Summe aller Einzelleistungen
z.B. Auto: Vortrieb + Wärme + Lichtmaschine + Lärm, ...
d.h. alles was Reibung, Geräusche, … verursacht, mindert !
Beispiel (Übung):
Wieviel PS sind nötig, um Auto (m = 1,3 t) von 0 auf 100 in 9.2 s zu beschleunigen ?
Pm = Wkin /t = ½ mv²/ 9,2 s = 55 kW 75 PS
Prospekt VW GOLF FSI 150 PS : t = 9,2s 0.5
Wirkungsgradverminderung durch :
- Reibung
- Schaltzeiten
- Leistungs - Drehzahl- Charakteristik : Motor gibt nur bei best. Drehzahl 150 PS ab
- ...
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„Leistung“ in der BWL
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2.4.1.5 Impuls (Momentum)
Beispiele:
- Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung
- Zusammenstoß Autos: 2x Auto, Auto gegen Mauer, Baum,…
Fälle: „weich“, „hart“, „bewegt auf ruhend“, …
Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel
Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander
Modellkörper : 2 Massepunkte
Impuls [p] = kg m/s = Ns
Fallemeinerlgal.constmNäherung
Fp,vmp
(MD - 15)
allgemein: Vektor p
JAVA Applett:
- Elastischer und unelastischer Stoß
- Newtons Wiege (Energie- und Impulserhaltung)
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Einfachster Fall :
2 harte Kugeln prallen aufeinander
eine ist vor dem Stoß in Ruhe
Herleitung Impulserhaltung (auch zur Übung)
a) Kraftansatz F = 0
v = const. außer bei Zusammenprall
d.h. keine Beschleunigung Ft = 0
F1 + F2 = 0 ( 1: vor, 2 nach Stoß)
.constpp
0ppd
dt0dt
ppd
0dt
pd
dt
pdpp
21
21
21
2121
cpp 21
b) Energieansatz Eges = const
Ekin vor = Ekin nach + Edeformation
(Edeformation hier Null)
½ m1v1² + ½ m2v2² = ½ m1v’1² + ½ m2v’2²
' : nach dem Stoß
mit 0td
Ed ges (für m = const)
m1 v1 + m2 v2 = m1 v’1 + m2 v’2
c'p'ppp 2121
Impulserhaltung
(Conservation of momentum)
.constpi
i
(MD - 16)
Bsp.:
Stein vom Surfbrett nach hinten ins Wasser werfen
Surfbrett bewegt sich vorwärts !
pStein = pSurfbrett Wasserreibung gering, vernachlässigt
pStein
pSurfbrett
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allgemeine Impulsdefinition
aus (MD - 15)
1D, Vektoren ggf. ergänzen
NewtonRakete
amvmvmvmtd
)vm(d
td
(MD - 15')
zeitlich veränderliche Masse: Massenstrom
m
td
md
t
m
werttanMomen.aktttDurchschni
Anwendungen z. B.
- Verfahrenstechnik: 'konstante Zugabemenge pro Zeiteinheit'
z.B. Schüttgüter, Flüssigkeiten
- Auto: Kraftstoffeinspritzung
m
t
m
t
- Rakete : Masse verändert sich durch rasches Verbrennen des Treibstoffes
Massenstrom vergleichbar mit elektrischem Strom : Qtd
Qd
t
QI
rein physikalisch gesehen gelten bei Transportvorgängen dieselben Gleichungen (s.o.), d.h.
es ist 'egal', ob
- Masse (Mechanik)
- Ladung (ET)
- Wärme (Kap. 3)
- Wellen (Energie) (Kap. 5)
transportiert wird. Man spricht in allen Fällen von einem Strom.
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 68
Sonderfälle (einfachste Modellvorstellungen):
Masse Relevante
Größe
Stoß Merkmal Fall für
m1 = m2
v2 = 0
Beispiele
bleibt
konstant
Material-
eigenschaften
Elastisch*
‘v’ wird
weitergegeben
v1’ = 0
v2’ = v1
Stahlkugeln, Billard,
Reflexion an Wand
Unelastisch*
Gemeinsames v
v1’ = v2’
= v1/2
kleben aneinander, Bsp.
Kugel in Schwamm.
Ekin wird in Verformung
umgewandelt Wärme
Vektor-
eigenschaften
Zentral
p
Massenpunkte auf
Gerade,
p ist hier ein Skalar
Nicht zentral
p
Modellkörper: Starre bzw.
deformierbar Körper
Billard, seitlicher Stoß,
p ist hier ein Vektor
ändert
sich
m = m(t)
Rakete
p = dF/dt
m ändert sich
Rakete gibt Treibstoff
ab, v nimmt zu
* : ideale Grenzfälle
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Raketen zum Weiterlesen für Interessierte
2.4.1.6 ‘Raketenphysik’ einer Modellrakete
Kinematik / Kraft- / Energieansatz
Näherung : - m = const., da wenig Treibstoff im Vergleich zur Gesamtmasse
- g = const., da niedrige Flughöhe
- keine Reibung
2 Antriebsphasen:
- mit Gasausstoß
- ohne ‘’ , nach Brennschluß
3 Flugphasen
a) beschleunigte Bewegung
b) Senkrechter Wurf nach oben
c) Freier Fall nach unten
b) und c) können zusammengefaßt werden, wenn
Senkrechter Wurf mit Abwurfhöhe und -
geschwindigkeit verwendet wird.
Antrieb -slos
tbeschl.Bewegung a
senkr.Wurf b
freier Fall c
h
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 70
a) Start :
beschleunigt (Brenndauer 5s), a = const.; senkrechter, beschleunigter Wurf : FAn - FG - Ft = 0 mit FAn : Startschub
FAn – mg – ma = 0
Startbeschleunigung : gm
Fa An
S
bei Brennschluß (t = 5 s) Geschwindigkeit : vBs = ast
Höhe : hBs = 1/2 ast²
hier Fan = 2N , m = 0,1kg as = 10 m/s²
vBs = 50 m/s, hBs = 125m
nach Brennschluß
b) Senkrechter Wurf Max. Steighöhe: hmax = hbs + hsw
g2
vh
2
bssw (z.B. aus Energiesatz hg2v )
= 125m hmax = 250m
nach Gipfelpunkt c) Freier Fall
aus Energiesatz bzw. Kinematik : s
m70hg2v maxauftreff
tatsächlich geringer, da Reibung aber : Masse nicht konstant, also Impulsansatz
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 71
Impulsansatz
Grundlage aus (MD - 15’): amvmvmvmtd
)vm(d
td
pdF (*)
aus (*), falls keine äußere Kräfte F = 0 :
amvm0
wmv)t(m
dt|wdt
dm
dt
dvm (DGL 2. Sem.)
C)m(lnw
v
dmm
1dv
w
1
|dmm
1dv
w
1
Aus Anfangsbedingungen : t = 0 : v = 0 , m = mo (Startmasse)
C = ln(mo)
m
mlnwv o mit m = m(t) z.B. m(t) = mo - kt > mBS
bis hierher: parallel zur Erdoberfläche
bei Start nach oben : t)h(gm
mlnwv o
Achtung g = g(h) !
max. Höhe: v integrieren, schwierig
m(t)
v = wGasv
Rakete
x
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 72
Modellrakete: w = 1000 m/s, mo = 0,1 kg, mBS = 0,08 kg, t = 5 s
vBS = 173 m/s (50 m/s Kinematik)
aus Formelsammlung : hBS = 550 m (125 m Kinematik)
d. h. Faktor 2 - 3 ‚mehr’ bei lediglich 20% Differenz der Masse (100 g → 80 g)
zwischen (falschem) Kinematikansatz im Vergleich zu Impulsansatz !
Reale Raketen
m
mlnwv o
w 3 km/s
1-stufig : typisch: 6m
m
BS
o
vend 2w
vBS 6 km/s also schneller als Treibstoffausstoß !!
aber:
Erreichen einer Erdumlaufbahn erfordert vmin = 8 km/s . Dies ist mit 1-stufiger Rakete nicht
möglich, da das Massenverhältnis aus konstruktiven Gründen und der Treibstoff nicht
beliebig optimiert werden können. Dies erreicht man aber bei gleichen Parametern
(Startmasse, Nutzlast, Treibstoff) mit einer dreistufigen Rakete:
Geschwindigkeit nach Brennschluß der i–ten Stufe:
BZ
Z0
2B
02
1B
01eB
M
M...
M
M
M
Mlnwv .
Das Argument des Logarithmus heißt „totales Massenverhältnis“ : B
0
M
M
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 73
Im folgenden Rechenbeispiel werde dieselbe Nutzlast bei denselben
Massen von Rakete und Treibstoff beschleunigt; w = 2,7 km/s.
Einstufenrakete
Nutzlast MH = 0,04 t
Rakete MR = 8,44 t Treibstoff Mt = 42,20 t
Startmasse M0 = 50,68 t
Brennschlußmasse MB = 8,48 t
Brennschlußgeschwindigkeit
48,8
68,50ln
s
km7,2vBS
vBS = 4,8 km/s
Dreistufenrakete
Nutzlast MN = 0,04 t 3. Stufe MR3 = 0,04 t ; MT3 = 0,20 t
2. Stufe MR2 = 0,40 t ; MT2 = 2,00 t
1. Stufe MR1 = 8,00 t ; MT1 = 40,00 t
MR = 8,44 t ; MT = 42,20 t
→ Startmasse M0 = 50,68 t 1. Stufe
Masse bei Zündung M01 = 50,68 t
Brennschlußmasse MB1 = 10,68 t
v1 = 4,21 km/s 2. Stufe
Masse bei Zündung M02 = 2,68 t
Brennschlußmasse MB2 = 0,68 t
v2 = 3,71 km/s
3. Stufe
Masse bei Zündung M03 = 0,28 t
Brennschlußmasse MB3 = 0,08 t
v3 = 3,39 km/s
Brennschlußgeschwindigkeit der 3. Stufe
vBS = v1 + v2 + v3
vBS= 11,31 km/s
Dies bedeutet: Mit einer einstufigen Rakete kann man keine Kreisbahn um die Erde
erreichen, da die erste kosmische Geschwindigkeit (für eine Kreisbahn an der luftleer
gedachten Erdoberfläche) bereits 7,9 km/s beträgt. Für das Verlassen des Erdschwerefeldes
sind bereits 11,8 km/s nötig, die kosmische Geshwindigkeit der Erde
(„Fluchtgeschwindigkeit“).
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 74
Raketenstart und Flugstabilisierung
Schwierigkeit beim Start : vo = 0 : instabil, da keine Ruderwirkung, Triebwerke schwenken !
besser bei Sylvesterraketen, da SWP unter Antriebsangriffspunkt
analog Seiltänzer mit Stange bzw. Motorradartist
Weltraumraketen: komplexe Schubvektorsteuerung ( Triebwerk dreht sich – Vektorcharakter
des Impulses ) erfordert schnelle Winkelmeß und Regelstrecken.
SWP
Kraft
SWP
Kraft
Seilrolle
SWP oberhalb Unterstützung : labil Stabil, da SWP unterhalb Kraftangriff
Kraft Kraft
SWP
SWP
'Auflagekraft'Seil :
SWP
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 75
2.4.2 Rotation (Rotation)
Anwendungen: Motor, Fahrdynamik, Fliehkraftregler,
Modellkörper: Starrer Körper
Versuch zur Fliehkraft
Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich schwere Kugeln
bei gleicher Umdrehungsgeschwindigkeit dieselbe Höhe ?
2.4.2.1. Zentripetalkraft
Bsp:
Anpressdruck Karusell merkt Ausenstehender nicht ,
daher Typ 'Trägheitskraft, Scheinkraft'
Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp
Praxis: meist nur Betrag interessant
Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender
Beobachter spürt (Fliehkraft)
Zentripetalkraft Fzp
Zentrifugalkraft Fzf
Zfrv
2
zpr Fr²mr
vmamFF
(MD - 17)
Bem.: Fzp ~ ²
D
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
r
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 76
2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz
Modellkörper: starrer Körper
Translation Kraft F M Drehmoment Rotation :
Drehmoment
iiig FrMM
Herleitung eindimensional
1D : F = m a | r
r F = r m a | a = r (Winkelbeschleunigung)
M = (mr²) = J
J : Massenträgheitsmoment (mass moment of inertia)
aus Tabellen, Mehrfach-Integralen, bzw. experimentelle Bestimmung
bei zusammengesetzten Körpern :
iiges JMM
Dynamisches Grundgesetz
[J] = kgm²
JM (MD - 18)
Vergleich Translation : amF
d’Alembertes Prinzip der Rotation M = 0 (MD - 19)
Vergleich Translation : F = 0
D
r1
m1
r2
m2
Dr m
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 77
Tabelle Massenträgheitsmoment
hier: Schwerpunkt auf Drehachse, sonst Unwucht, z.B. Autoreifen
Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen Kapitel Schwingungen
Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen i Vol
22
ii dVrrmJ
Kugel
massiv 2
zyx rm5
2JJJ
dünne Schale 2
zyx rm3
2JJJ
Vollzylinder
2
x rm2
1J 22
zy lm12
1rm
4
1JJ
dünner Stab (l >> r)
2
x rm2
1J 2
zy lm12
1JJ
dünner Scheibe (l << r)
2
x rm2
1J 2
zy rm4
1JJ
Hohlzylinder
2
i
2
ax rrm2
1J
22
i
2
azy l3
1rrm
4
1JJ
dünnwandiger Hohlzylinder mit ra ri
dünner Ring(ra ri, l << r)
2
x rm2
1J 2
zy rm2
1JJ
Quader
22
x hbm12
1J
22
y hlm12
1J
22
z lbm12
1J
x
y
z
r
x
y
z
l
r
r
a
i
y
z
x b
lh
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 78
Drehpunkt außerhalb Schwerpunkt
Bsp: Kugel an Seil – Pendel
Starrer Körper
Satz von Steiner d : Abstand A - SWP
Ja = JSWP + m d²
(MD - 20)
Bsp.: MP an gewichtsloser Stange Ja = m d² da JSWP = 0 (s.o.)
2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation
Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad
- fallen lassen mit abgewickelter Schnur : Fall schnell, bleibt unten
- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur : Fall langsamer, kommt wieder hoch
Untersuchung : Ekin JoJo < Ekin Kugel (da v geringer) Wo steckt Energiedifferenz ? Offenbar in der Rotation !
Epot Ekin + Erot Energiespeicher Rotation Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen Frage zur Systemauslegung (warum gibt’s das nicht mehr?)
Arbeit
Energieerhaltung
Rotationsenergie
Leistung
(vgl. Translation)
Wrot = Md
Ekin + Epot + Erot = const.
Erot = 1/2 J ²
MP
(MD - 21)
D
d
m
SWP
D
d
m
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 79
2.4.2.4 Impuls bei Rotation : Drehimpuls (Angular Momentum)
Drehimpuls [L] = kg m² /s
Drehmoment - Drehimpuls
Drehimpulserhaltung
.constL
JJLM
prJL
.constJfalls,0
(MD - 23)
Bsp. Drehimpulserhaltung :
- Einfangen eines rotierenden Satelliten ‚schwierig’, da Impulsübertrag auf Raumschiff
- Kreiselstabilisierung, Richtung von L ist raumfest, Anwendung: Kreiselkompass
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 80
2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung
Mit der Tabelle erhält man aus der Translation die Formeln der Rotation durch
„Buchstabentauschen“: Dies kann immer angewandt werden.
s v a m J F M p L
(skalar, Vektoren ggf. ergänzen)
Translation Variable/Formel Rotation Variable/Formel
Weg s Winkel = s / r
Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung a Winkelbeschleunigung
Masse m Massenträgheitsmoment J = mr²
Kraft F = ma Drehmoment M = J
Kraftansatz F = 0 Drehmomentansatz M = 0
Impuls p = mv ; Fp Drehimpuls L = J ; ML
Impulserhaltung p = const. Drehimpulserhaltung L = const.
Arbeit W = Fds Arbeit W = Md
Energie Ekin = 1/2 mv² Energie Ekin rot = 1/2 J²
Leistung P = F v Leistung P = M
entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc.
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 81
Übungsblatt Dynamik
1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines Elektrons in einer Braunschen Röhre im
Elektrischen und Magnetischen Feld auf. Tip: Zuerst Skizze, dann Kraft- oder
Energieansatz.
Formeln: BveF;UeE;EeF magpotel
a) Bewegung in einem Elektrischen Feld mit einer Spannung von 30 kV (Elektron ruht zu
Beginn). v = 105 km/s
b) Ablenkung in einem Elektrischen Querfeld (Elektron bewegt sich senkrecht zum Feld
der Länge d. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Bewegungsform.
Parabel
c) Welche Bewegung beschreibt das Elektron in einem magnetischen Querfeld, in das es
mit einer Geschwindigkeit v einfliegt. Wie sieht es hier mit der Arbeit aus?
Kreis, Arbeit = 0
2. An einer Rolle sind mittels einer idealen Schnur 2 Gewichte der Massen m1 und m2
befestigt. Berechnen Sie die Beschleunigung
a) bei masseloser Rolle g
mm
mma
21
21
b) bei massebehafteter Rolle mit Radius r g
r
Jmm
mma
221
21
3. Sie setzen mit Ihrem Auto zum Überholen an. Ihre Geschwindigkeit steigert sich hierbei
innerhalb von 15s von 50 auf 90km/h; m = 1t. Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit
(ideal) 216 kJ
4. Ihr Auto rollt in San Francisco mit 6m/s an Ihnen vorbei. Da Sie aber vorsichtshalber
wegen des Gefälles von 4° die Handbremse angezogen haben, schätzen Sie den
Reibungskoeffizienten µ mit 0,1 ab. Wie weit müssen Sie laufen?
61,2 m
5. Sie fahren an der Ampel mit Ihrem Auto (1000kg) mit einer Kraft von 4000N für 3s an und
fahren 1s mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Danach bremsen Sie mit 3000N.
Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Momentanleistung, wann stehen Sie wieder?
8 s
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3. Schwingungen (Oscillation, vibration)
Kinematik + Dynamik : beliebige Bewegungen (Translation, Rotation, krummlinig)
mechanische Schwingungen: periodische Bewegung
periodisch = sich wiederholend
Bsp: Pendel, Feder
Freier Fall ist keine Schwingung da nicht periodisch.
Schwingungen treten überall, nicht nur in der Technik, auf:
- Autofederung
- Schwingungen von Maschinen z.B. Unwucht
- EM - Schwingungen Funkwellen
- Schwingungen bei Regelvorgängen
- Gezeiten
- Schwingungen von Gebäuden, Bauwerken, ...
- . . .
- Wirtschaft (Zinsen, Aktien,so genannter „Schweinezyklus“, ... s.u.)
A
t
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Dax 1960 – 2011
In den „Boomjahren“(60-ziger und 70-ziger) praktisch konstant, danach steigende Kurse mit
„Schwankungen“
Fragen: - Warum haben die (Zinssatz-) ‚Schwingungen’ ca. 2000 aufgehört ?
- Warum ist der Zinssatz 2005 auf historischem Tiefstand ?
Auffallend: Keine Schw(ank / ing)ungen beim DAX Schw(ank / ing)ungen beim Zinssatz
und umgekehrt
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 84
3.1 Einführendes Beispiel: Mathematisches Pendel
Vorkenntnisse : - Kräftezerlegung
- Bewegung von Massepunkten
- Newtonsche Gesetz
- trigonometrische Funktionen
Ziel : Grundlagen von harmonisch schwingenden Systemen
Physikalische Beschreibung der beobachteten Schwingungen idealisiert durch Modellkörper:
Mathematisches Pendel
Pendel mit punktförmiger Masse und masseloser Stange im Gravitationsfeld
Fadenpendel (Gewicht an dünnen Faden) als reales Beispiel für Mathematisches Pendel :
Beobachtung: - periodische Bewegung um Ruhelage
- Auslenkwinkel ändert sich
- Ursache der Schwingung ist die Schwerkraft, da
keine anderen Kräfte von außen wirken
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 85
Mathematisches Pendel
mit relevanten Kräften und Definitionen
JAVA Applett: Fadenpendel
Eigenschaften des Pendels
- oben beweglich aufgehängt - senkrecht nach unten Ruhelage
- beliebige Auslenkung aber konstante Pendellänge l
- punktförmige Masse m
- Winkel aus Ruhelage
- Massepunkt bewegt Kreisbahn mit Radius l
- Weg aus Ruhelage : s = Bogenlänge
- auf Massepunkt wirkt als einzige Kraft die Gewichtskraft FG = m g
Vorgehen zur Bewegungsgleichung
- Zerlegen der Gewichtskraft in 2 Teile
- ein Teil in Fadenrichtung, wird von der Stange aufgenommen
- 2. Teil ist tangential zur Bahn wirkt als rückstellende bzw. beschleunigende Kraft FRK
in Richtung Ruhelage und ist für die Schwingung verantwortlich
- Winkel der Kraftzerlegung in Dreiecken entsprechen dem Auslenkungswinkel
l
m
s
F = m gG
Ft
FRK
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 86
Kraftansatz d'Alembertsches Prinzip : F = 0
1) Fb - Ft = 0
2) beschleunigende = rückstellende Kraft aus Gewichtskraft und Auslenkwinkel
Rückstellende Kraft
Fb = FRK = m g sin
(SW - 1)
Trägheitskraft smFt
(Beschleunigung = 2. Zeitableitung des Weges)
Weg s entspricht Bogenlänge = Pendellänge * Auslenkwinkel
s = - l ls
Minuszeichen : entgegengesetzten Zählrichtungen von Kraft und Winkel
l konstant, zeitliche Änderung nur Winkel
Trägheitskraft
in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel
lmFt
(SW - 2)
3) einsetzen (m fällt heraus)
Bewegungsgleichung 0singl
(SW - 3)
gesucht : (t) ? , das ist eine Differentialgleichung (Mathe II) für den Auslenkwinkel
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 87
Lösung von (SW - 3) wegen gleichzeitigen Auftretens von und sin kompliziert
für kleine Schwingungsamplituden entspricht der Sinus ungefähr (im Bogenmaß)
bis 10° : Gerade und Sinusfunktion praktisch gleich
kleine Auslenkung sin [] = rad
rückstellende Kraft ist proportional zum Auslenkwinkel FRK
Ersetzen in Differentialgleichung (SW – 3) von sin durch , ergibt
Harmonische Schwingungsgleichung
0l
g
(SW - 4)
Lösung beschreibt zeitliche Bewegung des mathematischen Pendels bei kleinen
Auslenkungen
Vergleich: y = sin(x) zu y = x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
x /rad
y
y = sin(x)
y = x
10°
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 88
Als Lösung gesucht :
periodische Funktion, deren 2. Ableitung proportional zu der Funktion ist : f~f
Idee: Sinus bzw. Cosinus - Funktion
Experimente
Pendel, aus dem Sand auf eine Folie herausrieselt. Bewegt man die Folie, zeigt sich der
zeitliche Verlauf und der Abstand von der Ruhelage proportional zum Auslenkwinkel
Sinusfunktion
Messung des Auslenkwinkel mit Winkelsensor (Beschleinigungsmesser) zeigt ebenfalls
einen sinusförmigen Verlauf
Betrachtet man den Beginn des Experiments (Loslassen mit einem gewissen Anfangswinkel)
kann die periodische Funktion nicht ein Sinus (ohne Phase) sein, da sin(0) = 0 !
also Cosinus, da cos(0) = 1
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 89
Lösungsansatz
für zeitabhängige Winkeländerung (t)
(t) = o cos(ot)
(SW - 5)
mit - o : Anfangsauslenkung
- o : ungedämpfte Kreisfrequenz (ideal, keine Reibung etc.)
Schwingungsdauer
2f;
2
f
1T 0
0
Beweis durch Einsetzen in Harmonische Schwingungsgleichung:
zuerst ableiten
Geschwindigkeit
ändert periodisch
)tsin( ooo
(SW - 6)
Beschleunigung
2
ooo
2
o )tcos(a
(SW - 6')
Mechanische Schwingungen sind ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen !
Einsetzen in (SW - 4) 0l
g2
o l
g2
0
Eigenfrequenz o
der Mathematischen Pendels
l
go
(SW - 7)
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 90
Physikalisch interessanter als Kreisfrequenz bei Pendeln ist die Schwingungsdauer, da
meßbar
Schwingungen artverwandt mit Rotation :
- Eine Periode entspricht 2 , hier * T Periodendauer Schwingungsdauer T
- Versuch: Fadenpendel schwingen und kreisen lassen - kein Unterschied
aus SW - 7 folgt damit
Schwingungsdauer
des Mathematischen Pendels bei
kleinen Auslenkungen
g
l2TMP
(SW - 8)
Schwingungsdauer
- proportional zur Wurzel aus Pendellänge
- unabhängig von Masse und Amplitude
Achtung: kleine Amplitude war Ansatz zum Finden der Lösung !!
Versuch : Messung Pendellänge 1m / Wurzel aus 1/10 = 0,3 mal 6 = 2s
Folgerung: Harmonische Schwingungen können durch eine Cosinusfunktion mit einer
bestimmten Frequenz beschrieben werden.
t
T = 2
T
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Zusammenfassung (Klausur-relevant)
Mathematisches Pendel mit Anfangsauslenkung (aus Kraftansatz):
0l
g
l
g2
0 ; 0
2T
Lösung: tcos o0
Merkmale idealer harmonischer Schwingungen
- Gleichung 0xx 2
o
- Schwingungsdauer und Frequenz unabhängig von Amplitude
- Rückstellende (= beschleunigende ) Kraft proportional Amplitude (Mechanik) x~FRk
- o beschreibt die ‚Eigenschaften’ des schwingungsfähigen Systemes
- o ist die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems
Andere schwingende Systeme (Federpendel, elektrische Schwingkreise, etc.) werden
ebenfalls mit dieser Gleichung beschrieben (ggf. mit anderen Variablen). Mittels
Koeffizientenvergleich erhält man sofort Frequenz und Schwingungsdauer
reale Systeme: Reibung, äußere, nichtlineare, ... Kräfte berücksichtigen (s.u.)
Energieansatz, komplexer Lösungsansatz, Reibung etc. s.u.
Hinweis: Lösungsmethoden kein Prüfungsstoff, nur Ergebnisse;
mathematisches Lösungsverfahren Mathe DGL 2. Sem.
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 92
3.2 Übersicht
allgemein: periodische Zustandsänderungen (Energieverschiebungen)
Bsp. Pendel: Epot Ekin Epot (trotzdem Kraftansatz verwenden !)
Gemeinsamkeit: rückstellende Komponente
Anzahl der Komponenten Form Ausbreitung Bsp
wenige Schwingung ortsfest Pendel
1 Körper Eigenschwingung o im Körper Stimmgabel
viele Wellen Fortpflanzung Schallwelle
Schwingungsart Harmonisch Anharmonisch
Mathematische Beschreibung 1 Sinus bzw. Cosinus beliebig
Bsp: Pendel,
LC - Schwingkreis
Rechteck, Ebbe, Flut
Pulsschlag, EKG
Schwingungsart ungedämpft gedämpft
Annahmen ideal mit Verlusten, z.B. Reibung
Bsp Math. Pendel Luftwiderstand, Federpendel
Schwingungsart frei erzwungen
Merkmal - System bleibt sich selbst überlassen
- abklingende Amplitude
- äußere Energiezufuhr
- Resonanz
Bez.: Oszillator Resonator
Schwingungsüberlagerung
Addition von Schwingungen 1D oder vektoriell
Frequenz Richtung parallel senkrecht
Gleich Verstärkung / Auslöschung Lissajous
Verschieden Schwebung
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 93
3.3 Ungedämpfte Harmonische Schwingungen
3.3.1 Physikalisches Pendel
wie 4.1: Kraftansatz, da Rotation mit Drehmomentansatz M = 0 MRK - MT = 0
Mathematisches Pendel
Physikalisches Pendel
Def.: Starrer Körper mit Drehpunkt und Schwerpunkt
Mathematisches Pendel (mit Drehmomentansatz M = 0, da quasi Rotation, s. o. ):
- Drehmoment JMT
- singmrFrMRK
- Satz von Steiner: JA = Js + mr² (MD - 16) - Aufhängepunkt – Schwerpunkt = r
Die Formeln gelten ebenso für Starren Körper, da Masse im Schwerpunkt ‘wirkt’
D
r
SWP
FRK
FG
D
SWP
r
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 94
dann analog zu (SW 1-4) :
0.vgl0J
gmr
0gmrJ
2
o
a
A
2o
Eigenfrequenz des Physikalischen Pendels
bei kleinen Auslenkungen
²rmJ
gmr
J
gmr
sA
2
o
(SW - 9)
Kontrolle für Mathematisches Pendel und Vergleich mit (SW – 7):
Massepunkt: Js = 0 r
go
Technische Bedeutung: Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 95
Zum Weiterlesen und als Beispiel (mechanische) Schwingungen
mit dem Kraftansatz zu rechnen
3.3.2 Beschreibung des Mathematischen Pendels mit
Energieansatz
Ekin + Epot = const ; aus Anfangsbed. v oder h
1/2 mv² + mgh = const.
mit - cos1lh
- klein: cos 1 – 1/2 ² h l ² / 2
- s = l und v = l
Vorteile:
- Vorzeichen von v „uninteressant“, da v2
- Ansatz einfacher
Schwingungsgleichung
des Mathematischen Pendels bei kleinen
Auslenkungen aus Energiesatz
const²sl
g²s
(SW - 10)
Einsetzen der Lösung aus Kraftansatz: s = so cos(wot)
o² so² sin²(ot) + g/l so² cos²(ot) = const
mit o² = g/l
g/l so²[sin²(ot) + cos²(ot)] = g/l so² = const., da sin² + cos² = 1
Vgl. Kraftansatz: 0xl
gx mit (SW-10)
aus (SW – 10) dt
dconst²s
l
g²s 0ss
l
g2ss2 0s
l
gs
Energieansatz - auch möglich, aber komplizierter in Lösung etc.
- nicht üblich
- inkompatibel mit LC-Schwingkreis
h
l
nur Epot
kin potE + E
v = 0
kinnur E
maxv = v
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 96
3.3.3 Korrekte Lösung der Harmonischen Schwingungs-
gleichung (zur Übersicht, Details Mathe 2)
Problem bei Anfangsbedingungen (t = 0)
- Auslenkung (Lageenergie) oder Geschwindigkeit (kin. Energie)
- Auslenkung (Lageenergie) + Geschwindigkeit (kin. Energie)
Allgemeine Harmonische
Schwingungsgleichung
0xx 2
o
(SW - 11)
Lösungsansatz : x(t) = c1 cos(ot+) + c2 sin(ot+)
c1, c2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen
„Allgemeine“ Lösung der Allgemeinen Harmonische Schwingungsgleichung
Pendel
tsinv
tcosx)t(x o
o
ooo
(SW - 12)
Mit - xo : Anfangsamplitude
- vo : Anfangsgeschwindigkeit
- o : Eigenfrequenz
- : Phase
- Geschwindigkeit x~v
- Beschleunigung xx~v~a 2
o (ungleichm. beschleunigte Bew.)
In (SW - 12) setzt man die Anfangsbedingungen ein :
- nur Anfangsauslenkung : vo = 0 (sin0 = 0)
- nur Anfangsgeschwindigkeit : xo = 0 (cos0 = 1)
- gemischt : vo und xo 0
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 97
Allgemeine Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung (wichtig)
- Gilt „immer“ für ungedämpfte harmonisch schwingende Systeme !
- Ist allgemeiner Fall der „mechanischen“ Lösung SW-12
tBtAtx oo sincos)(
(SW – 12‘)
Mit - A, B : Anfangsamplituden
- o : Eigenfrequenz
- : Phase
Weiterlesen : Komplexe Lösung der Schwingungsgleichung.
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 98
3.3.4 Beispiele Harmonischer Schwingungen (Übung + Klausur)
- Federpendel
Feder anfänglich gedehnt
Kraftansatz: F = 0
1) Fb - Ft = 0 FRK - Ft = 0 2) Hooke: FRK = - D x = FF da in -x - Richtung
xmFt
3)
0xm
Dx
2o
Feder anfänglich gestaucht
2) Hooke: FRK = + D x = FF da negatives x
xmFt , da in -x - Richtung
Rest identisch
Probe: - m : a 0
- D 0 : a 0
JAVA Applett: Federpendel
gilt auch für senkrechte Pendel
0
Ft
xRuhelage
F = FFF RK
0
Ft
xRuhelage
F = FFF RK
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 99
- Torsionspendel
hier gilt nicht v = r ,da nicht konstant
Hier: o =
Herleitung siehe Übungsaufgabe mit : MRK = - D und MT = J folgt :
0J
D
20
- LC – Schwingkreis siehe E- Technik
0ILC
1I
20
UC ebenfalls periodisch ! JAVA Applett: Elektromagnetischer Schwingkreis
- Flüssigkeit in U-Rohr
siehe Übungsaufgabe
d' Alembert: FRK = - mbeschl g = Fb ( '-', da nach unten)
FT = mges z
Flüssigkeit: mFL = A h
mges = A l , l : Gesamtlänge
mbesch = 2 A z (2, da über- & unterhalb z = 0)
0zl
g2z
2o
Vgl. Mathematisches Pendel l
g2
o
D
J
Ruhelage
LC
UC
I
mbeschl
mges
z
0
Ft
FRK
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 100
3.3.5 Zusammenfassung Mechanik harmonische Schwingungen
(nur Beträge) Translation Rotation
Ansatz
F = 0
M = 0
Variable
Weg x
Winkel
Rücktreibende Komponente
FRK = cT x
MRK = cR
Trägheitskomponente
FT = m x
MT = J
Eigenfrequenz
m
cT2
o
J
cR2
o
Bem.: - Rücktreibende Komponente Auslenkung
- Frequenz unabhängig von Amplitude
3.4 Gedämpfte Harmonische Schwingungen
Einfluß von Reibung oder anderen Verlusten: Verringerung der Amplitude mit der Zeit
Reibungsphänomene siehe Dynamik
Als Einführung, relevant für Klausur sind die drei Fälle (Skizze, s.u.)
Reibungsarten FR FR proportional Amplitude
Gleitreibung Normalkraft lineare Abnahme, nicht geschlossen lösbar
viskos xv typ. exponentielle Abnahme (*)
Newton 2v Abnahme, DGL schwer lösbar
(*): viskose Reibung entspricht einem Ohmschen Widerstand in ET !
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 101
Bsp: Viskose Reibung
z.B. Luftdämpfung eines Pendels bzw. R in LC-Schwingkreis, d.h. vˆx~FR
d'Alembertscher Ansatz
F = 0
Reibungskraft, siehe Tabelle
Ft + FR + FRK = 0
(SW - 13)
Mechanisches System :
0xxm
bx 2
0
2
mit - b : Reibungskonstante
- m : Masse
Vereinfachung der Lösung mit Abklingkoeffizient : m2
b
0xx2x 2
0
Lösung der DGL (Mathe II, hier nur zur Info)
Ansatz: x(t) = xo et
einsetzen: ² + 2 + o² = 0 "charakteristisches Polynom"
Lösung der Quadratischen Gleichung: ² + 2 + o² = 0
oD
²j 2
o2/1
(*)
Folge: Frequenz einer gedämpften Schwingung ist kleiner als die der Ungedämpften !
Kontrolle: keine Dämpfung b = 0 ; = j o (siehe Ansatz)
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 102
3 Fälle aus (*) Bed: Schwingung Bem.
Schwingfall o > ja Wurzel positiv
Kriechfall o < nein Wurzel komplex
Aperiodischer Grenzfall o = nein Wurzel Null
(nur Dämpfungsanteil)
Diese Skizze ist relevant:
Schwingfall - gedämpfte Schwingfrequenz kleiner als Eigenfrequenz 22
0D
- exp. Abnahme (Einhüllende) der Amplitude : Schwingung
tj
Abnahme.exp
t
o)t(Deexx
- Wann ist Schwingung (Amplitudenverlauf te~ ) abgeklungen ?
zur Vereinfachung : t = 0 : e0 = 1
für t > 0 : e-5 0,007 d.h. 5t ist Restamplitude kleiner 1%
Abklingdauer
5Tabkling
(SW - 14)
Versuche : - LC-Schwingkreis
- Pohlsches Drehpendel
Zum Weiterlesen: anharmonische Schwingungen, Frequenzverdopplung
z.B. Klirrfaktor im Audiobereich
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 103
3.5 Erzwungene Schwingungen
Prinzip: Äußere Kraft bzw. Energie wirkt auf schwingungsfähiges System Relevant: „Physikalische Effekte“ wie z.B. Skizzen, nicht Formeln. Versuch: Drehpendel aus Kraftansatz
Schwingungsgleichung
für erzwungene Schwingungen
x + 2 x + o2 x = Fext
(SW - 17)
Fext : - Äußere Kraft , Fälle siehe s.u.
- Fext = 0 : Freie, gedämpfte Schwingung (s.o.)
- Fext = x2 : Kompensation der Reibung durch Äußere Kraftzufuhr
z.B. schaukelndes Kind bei konstanter Amplitude
anwachsende Amplitude : Resonanz s.u.
Fext Zeitverhalten Bsp. Pendel
Kurzzeitig, einmalig
(‚Schlag’)
„Anschub“- Anfangsbed.
Danach gedämpfte
Schwingungen
z.B. Stimmgabel, Börsencrash
Permanent
Dauernde Auslenkung
Schwingungsdauer T =
z.B. Festklemmen
Periodisch
bzw. „beliebig“
Wichtigster Fall
Anregung mit Eigenfrequenz
das ist Resonanz
Praxis: Mit einem ‚Schlag’ und Messung von Schwingfrequenz und Amplitude erhält man
alles Systeminformationen wie o und
t
Fext
t
Fext
t
Fext
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 104
3.5.1 Viskos gedämpfte Schwingungen mit Sinusanregung Versuch : Drehpendel, LC-Schwingkreis JAVA Applett: Erzwungene Schwingungen (Resonanz)
Schingungsgleichung mit
Dämpfung und Äußerer Anregung
tjext2
0exte
m
Fxx2x
(SW - 18)
Komplexer Lösungsansatz : tj
0extexx
(Rechnung hier rein 'informativ , siehe Mathe II)
einsetzen: m
F2jx ext2
0ext
2
ext0
Maximalamplitude : ext
2
ext
2
0
ext0
2jm
Fx
Resonanz ext0
Re(x0): ext
ext0
m2
Fx
Dämfung 0 bedeutet Amplitude , dies nennt man 'Resonanzkatastrophe'
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 105
Resonanzen - vermeiden, da Materialzerstörung (s.u.)
- erwünscht z.B. Funkempfänger (LC-Schwingkreis)
Meßtechnik : Bestimmung der Resonanzfrequenz
Beispiel Schiffsantrieb:
Video Tacoma - Bridge
… praktische Anwendung : LC – Schwingkreis“
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 106
Übungsblatt Schwingungen
1. Simulieren Sie Schwingungsphänomene mit dem Computer (z.B. EXCEL):
Dämpfung - Erzwungene und anharmonische Schwingungen - Überlagerung
2. Weisen Sie nach, dass beim Mathematischen Pendel die Lösung des Kraftansatzes
(vereinfacht s = so sin(wot) ) auch die Lösung des Energieansatzes (s'² + o
² s² = const)
ist.
3. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für ein Torsionspendel (siehe
Vorlesung) auf und geben Sie die Eigenfrequenz an. Welche meßtechnische Bedeutung
hat ein Torsionspendel?
4. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für eine Flüssigkeit in einem U-Rohr
(siehe Vorlesung) auf, Eigenfrequenz ?
5. Sie bohren ein Loch durch die Erde (senkrecht, durch den Erdmittelpunkt). Wenn Sie
einen Gegenstand hineinbringen und loslassen, wird er durch die Erdanziehungskraft
hineingezogen
( gR
ra mit R = 6400km, g = 10m/s², Abstand r vom Erdmittelpunkt, ohne Reibung etc.).
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie sie
(Bewegungsform, relevante Parameter)
b) Vergleichen Sie die Zeit, die der Gegenstand zu Durchqueren der Erde und zurück
braucht mit der Umlaufzeit eines niedrigfliegenden Erdsatelliten
(Übungsblatt Kinematik) "etwa gleich groß"
6. Wie groß ist die Schwingungsdauer einer langen Stange (Dicke vernachlässigen), die an
einem Ende aufgehängt ist (harmonisch, ohne Reibung)? Vergleichen Sie dies mit einem
Mathematischen Pendel. Lsg: 2/3 eines gleichlangen M. P.
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 107
7. Ein Seil der Länge l und der Masse m liegt so auf einem Tisch, daß der längere Teil
hinunterhängt. Nach dem Loslassen soll das Seil reibungsfrei über die Tischkante gleiten.
Stellen Sie die Bewegungsgleichung und und vergleichen Sie diese "einmalige"
Bewegung mit einer Harmonischen Schwingung.
8. Ein Teilchen der Ladung q und der Masse m befindet sich im homogenen Feld eines
senkrecht zur Erde stehenden genügend großen Plattenkondensators (Abstand d). An
diesem liegt eine Wechselspannung an, so daß eine Kraft F = qUmax/d cost horizontal
und die Erdanziehungskraft vertikal wirkt. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und
integrieren diese.
9. Ein waagrecht liegender Harmonischer Federoszillator der Masse 1kg (Masse incl. Feder,
Ansatz: waagrechtes Federpendel) und D = 100N/m befindet sich in seiner Ruhelage. Er
wird von einer Kugel (10g) durchschlagen, die mit 500m/s auftrifft und mit 250m/s austritt.
Berechnen Sie die Schwingungsamplitude nach dem Durchschlag des Geschosses
(reibungsfrei). 25 cm
10. Ein unten mit Blei gefülltes Reagenzglas (Gesamtgewicht m) schwimmt senkrecht im
Wasser. Zeigen Sie, daß das Reagenzglas harmonische Schwingungen (ohne Reibung)
durchführt, wenn es etwas ins Wasser gedrückt und dann losgelassen wird.
11. Ein Federpendel besitzt zur Zeit t=0 eine Auslenkung von 5cm, die Geschwindigkeit
10cm/s und die Beschleunigung -20cm/s². Wie groß ist die Amplitude und die
Kreisfrequenz der Schwingung? 7,07 cm 2 1/s
12. Ein 2-atomiges Molekül kann durch ein Feder-Masse-Modell beschrieben werden. 2 harte
Kugeln der Einzelmassen 1,67 10-27 kg sind mit einer Feder (D = 510 N/m) verbunden.
Achten Sie auf die Bewegung des Schwerpunktes, hier tritt sonst ein Faktor 2 auf !
a) Eigenfrequenz des Moleküls 1,24 1014 Hz
b) In welchem Wellenlängenbereich liegt diese?
c) Welche meßtechnische Bedeutung hat dies?
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 108
4. Wärmelehre (Thermodynamics)
Das menschliches Temperaturempfinden ‚warm – kalt‘
ist im Vergleich zum Sehen nur ungenau
physikalische Beschreibung der Temperatur notwendig
4.1 Temperatur (Temperature)
Temperatur ist eine der 7 Basisgrößen [T] = K
Vergleich Kelvin - °C K °C
absoluter Nullpunkt 0 -273
Siedepunkt N2 77 -196
Schmelzpunkt H2O 273 0
Siedepunkt H2O 373 100
Schmelzpunkt Eisen 1.800 K
Sonne innen 107 K
Sonne außen 6 * 103 K (siehe Kap. Wärmestrahlung)
Der „Erfinder“ & „Konkurrenten“ Celsius und Fahrenheit
^
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 109
Temperaturangaben in technischen Spezifikationen (Specification)
Betriebstemperatur (Operating Temperature)
Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen betrieben werden kann
Lagertemperatur (Storage Temperature)
Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen gelagert werden kann,
es ist hierbei nicht eingeschaltet und muss vor dem Einschalten in den
Betriebstemperaturbereich gebracht werden.
Unter Temperatur versteht man hier typischerweise die Temperatur der Umgebungsluft,
die Temperatur im Inneren liegt höher.
Beispiel aus der PC-Welt : Betrieb +10°C ... +35°C , Lagerung -40°C ... +65°C
Typische Betriebstemperaturen :
Bezeichnung Bereich /°C
Commercial +5 ... + 50
Industrial (indoor) 0 ... +70
Industrial (outdoor) 25 ... +75
Automotive -35 ... +85
Military -55 ... + 125
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 110
Messung durch temperaturabhängige Zustandsgrößen:
Zustandsgröße Anwendung (Beispiel) Ausführung (Beispiel)
Volumen Flüssigkeits-, Gasthermometer
Längenaus-
dehnung
Bimetall-Thermostat
(Kaffeemaschine)
ungleiche
Metalle
Thermoelement
(Verfahrenstechnik)
Widerstand Pt100 – Messtechnik (Industrie)
'Farbe' des
emittierten
Lichtes
Pyrometer (rotglühender Stahl),
siehe Diagramm
physikalisch –
chemisch
Temperaturstreifen
- Flüssigkristalle reversibel
- chemisch irreversibel
(max. Temperatur)
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 111
4.2 Kalorimetrie (Calorimetry)
Wärmemenge (Heat Quantity)
[Q] = J ('Energie')
TmcQC
(WL - 1)
mit m : Masse, [m] = kg
c : spezifische Wärmekapazität [c] = J / kg K , Werte s.u.
C : Wärmekapazität eines bestimmten Körpers (= c m)
T : Temperaturdifferenz, [T] = K
Anmerkungen - eigentlich müßte die Formel Q lauten
- Q nicht proportional T falls Phasenübergänge !
Energieformen können ineinander umgewandelt werden.
Ausnahme: selbstständiges Abkühlen unter die Umgebungstemperatur
Bsp: Stein kühlt sich ab und hüpft mit der gewonnenen Energie hoch
(2. Hauptsatz Thermodynamik)
Mischungstemperatur
Bringt man verschiedene Stoffe mit unterschiedlicher Temperatur, spez. Wärmemenge etc.
miteinander in Kontakt, so stellt sich die sogenannte Mischungstemperatur aufgrund der
Energieerhaltung ein:
mit m : Masse
c : spez.Wärmekapazität
T : Temperatur vor Mischen
...mcmc
...TmcTmcT
2211
222111Misch
(WL - 1')
Beispiel heißes (80°C) und kaltes (20°C) Wasser (je 1 kg) zusammengießen:
C50K3232
K646
kg1Kkg
kJ2,4kg1
Kkg
kJ2,4
K293kg1Kkg
kJ2,4K353kg1
Kkg
kJ2,4
TMisch
Übungsaufgabe: Welche Temperatur messen Sie, wenn Sie in 1l 80°C warme Luft einem
10g schweren Eisen-Temperaturfühler mit der Temperatur von 20°C bringen?
‚Unberechenbar’ : Ort und Temperatur der einzelnen Wassermoleküle zu jedem Zeitpunkt
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 112
Bsp.: Elektrische Energie (Arbeit, Work) Wärme (Heat)
z.B. Herd oder elektrische Geräte mit der Leistung Pel = U I : Wel = U I t = Q
zu erwarten ist eine lineare Zunahme der Temperatur mit der Zeit:
U I t = c m T T ~ t
Dies wird experimentell nicht beobachtet (s.u.) !
Gründe:
- Wärmeabgabe durch Wärmedurchgang durch Gehäusewand, Lüfter, Abstrahlung, ...
- mögliche Phasenübergänge
Die Meßkurve läßt sich sehr gut mit einer e-Funktion anfitten, d.h. vgl. Ladekurve RC-Glied
Aufheizen einer LCD-Anzeigetafel
25
30
35
40
45
50
0 10 20 30 40 50 60
T nach Einschalten /min
T /°C
Messung
Gleichgewichtstemperatur
exp - Fit
lineare Zunahme
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 113
Bsp.: Kinetische Energie in Wärme (Übung)
Auto bremst von 108 km/h auf 0 km/h mit ABS (nicht blockierend)
Ekin Q
Qvm2
1 2
Folge: Bremsscheibe wird heiß, aber wie ändert sich hier T ?
aus (WL - 1) TmcQ mc
QT
Werte: mauto = 1000 kg
mBremsscheibe = 2 kg
v = 30 m/s 0 m/s (Achtung, siehe Wkin)
ceisen = 500 J/kgK
beBremsschei
2
Auto
mc2
vmT
Einheiten:
2
2
2
22
s
mkgJK
kgJs
Kmkg
T 450 K
Achtung: Dieser Effekt tritt auch bei langen Passabfahrten ohne Motorbremse auf, bzw.
bei Autorennen mit vielen Kurven !
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 114
4.2.1 Spezifische Wärmekapazität (Specific Heat Capacity)
es gilt: - cp (p = const)
- cV (V = const)
- c = c(T)
- c(0K) = 0
für Festkörper und Flüssigkeiten cp cV c
für Gase cp > cV
Material c / Kkg
J @ T 300 K
Eisen 500
Holz 2.000
Wasser 4.200
Luft cp
cV
1.000
720
Bestimmung (Messung) der spezifischen Wärmekapazität z.B. durch Mischungsexperimente
(siehe Formel WL-1’ mit Dewar-Gefäß)
Wärmekapazität eines Systemes, z.B. Gehäuse, Dewargefäß
C = c m
mit C = C1 + C2 + ... = T
Q
Anwendung bei Verbundgefäßen, z.B. Thermoskanne, dort wird C experimentell
bestimmt. Messung durch Mischversuch: Tgemessen < Tmisch errechnet
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 115
Materialien besitzen spezifische Eigenschaften, die bei Temperaturänderungen oder anderen
Wärmeeffekten zum Tragen kommen, siehe nachfolgende Tabelle.
Wärmeeigenschaften ausgewählter Materialien
Hier nur ungefähre Werte aufgeführt !
Aluminium
Eisen
Gold
H20
Spez. Wärmekapazität (300K) / Kkg
kJ
Luft : 1 Kkg
kJ
0,90
0,45
0,13
4,2
Schmelztemperatur /°C
650
1.500
1.060
0
spez. Schmelzwärme q / kg
kJ
400
280
70
330
Wärmemenge, um 1 kg von Zimmertemperatur zu schmelzen /kJ
967
946
205
Siedetemperatur /°C
2.500
2.700
2.700
100
spez. Verdampfungswärme r / kg
kJ
11.000
6.300
1.700
2.250
linearer Ausdehnungskoeffizient
/ K
10 6
23
12
14
Volumenausdehnungskoeffizient
/ K
1
Festkörper
10-5
Flüssigkeiten
10-4
Gase
10-3
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 116
Bsp.: Geräteerwärmung (Übung)
Wie lange braucht ein elektrisches Gerät zum Aufheizen auf eine maximal erlaubte
Temperatur ?
Leistung am Transistor (TO-3, Metall): U = 3V , I = 1A
Kunststoffgehäuse 1l Luft , = 1,2 g/l
To = 25°C, Tmax = 75°C -> T = 50K
Welektrisch = QWärme
U I t = c m T
→ mc
QT
IU
Tmct LuftLuft
s13
500012,01000t
= 20 s
stimmt das ???
- Einheit: sW
sW
AV
1
1
K
1
kg
Kkg
J]t[
Bem: - t gemäß Erfahrung größer: Aufheizen von Transistor (Metall) und Gehäuse
(Kunststoff) sowie Wärmeabstrahlung und Wärmeleitung des Gehäuses
vernachlässigt, es wurde nur Erwärmung der Luft im Gehäuse berechnet !
(siehe oben, Aufheizen LCD-Tafel)
- Rechnung mit Metall (10 g) und Kunststoff (100 g):
.min30s1800
s3
500012,010001,0100001,0450
IU
Tmcmcmct LLKKMM
(Ausklammern von T erlaubt, da ‚Alles’ dieselbe Temperatur hat)
- Wärmeleitungsverluste (Thermisches Gleichgewicht) berücksichtigen
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 117
4.3.1 Phasen
fest flüssig gasförmig
Form definiert Beliebig bel.
Volumen def def. bel.
Bsp Metall Wasser Luft
Weitere Phasen : flüssigkristalline - und Plasma - Phase
Ohne diese beiden gäbe es wohl keine flachen Displays!) Weiterlesen
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 118
4.3.2 Phasenübergänge (Phase Change, ~ Transition)
Phasenübergang T steigend T fallend
Fest (solid)- flüssig Schmelzen (melting) Erstarren (solodify)
Flüssig (fluid) - gasförmig Sieden (boil) Kondensieren (condense)
fest – gasförmig (gaseous) Sublimation (z.B. Schwefel) Desublimation
Sublimationswärme = Schmelz- + Verdampfungswärme
Energetische Betrachtung der Phasenübergänge
konstante Wärmemenge pro
Zeiteinheit wird ständig
zugeführt
Versuche: Eiswasser, Wasser
kochen, T bleibt eine zeitlang
konstant !
T
Q bzw. tSchmelzwärme Verdampfungswärme
Schmelz T
Verdampfungs T
Phasenübergang T steigend Wärmemenge aufwenden
T fallend Wärmemenge wird frei
Schmelz-, Erstarrungswärme Siede-, Kondensationswärme
Qsm = q m
Qsd = r m
(WL - 3)
q : spez. Schmelzwärme [q] = J/kg Werte siehe Tabelle Wärmeeigenschaften (s.o.)
r : " Verdampfungswärme
m : Masse
Anwendung : Wärmepumpe
- ext. Wärmeaufnahme: niedrigverdampfende Flüssigkeit
- int. Wärmeabgabe : Kondensation an Heizflüssigkeit Kondensationswärme wird frei !
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 119
Zur Info: Druck - Temperatur - Abhängigkeit
Bsp: H2O
Anmerkungen:
Sublimationsdruckkurve
Eis Wasserdampf; Beispiel Trockeneis
Schmelzdruckkurve
nahezu druckunabhängig, Bsp Eislaufen
Dampfdruckkurve
T-abhängig: Wasser kocht im Gebirge bei niedrigerer T
als am Meer, Kavitation bei Schiffsschraube
Tripelpunkt
alle 3 Phasen existieren
H20 : T = 273,16 K (T-Def.); p = 610,6 Pa
kritischer Punkt
nur unterhalb der kritischen Temperatur lassen sich Gase
durch
Druck verflüssigen
p /Pa
T /°C-100 0 100 300
1
106
" 1 at "
Eis
Wasser
Wasserdampf
kritischer
Punkt
Tripelpunkt
Schmelzdruckkurve
Sublimationsdruckkurve
Dampfdruckkurve
102
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 120
Schmelzen kann lange dauern bei guter Wärmeisolation:
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 121
4.4 Zustandsgleichungen (Constitutive Equitation)
4.4.1 Ideales Gas
Gilt nur für hohe Temperaturen,
da T 0 V = 0 bedingt
p V = n R T
(WL - 4)
Mit - R = 8,3 J/Kmol Allgemeine Gaskonstante
- n : Stoffmenge, [n] = mol
- T : Temperatur in K
Messverfahren siehe rechts, im Schlauch
befindet sich eine Flüssigkeit
JAVA Applett: Zustandsänderungen eines idealen Gases
4.4.2 Flüssigkeiten und Festkörper
allgemein : V = V(T,p)
d.h. Fkt mehrerer Veränderlicher: Linearisierung als Näherung
Volumenveränderung V(T,p) = Vo ( 1 + T - p) (WL - 5)
mit :
Vo, To, po : Ausgangszustand laut DIN bei 20°C (293 K)
V, T, p : aktueller Zustand
T = T - To
p = p - po
Achtung: = Aktueller Wert - Ausgangswert
: Volumenausdehnungskoeffizient [] = 1/K, hier isotrop d.h. (x) angenommen !
: Kompressibilität [] = 1/Pa
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 122
- Prinzipiell können diese Parameter richtungsabhängig sein, wie z.B. bei Verbundstoffen !
- und sind Temperatur-abhängig !
Typische Werte /1/K /1/MPa
Festkörper 10-5 1
Flüssigkeiten 10-4 100
Gase 10-3 10.000
T und p verursachen V
Maschinenbau: Gehäuse: V = const: T p Kraft F : Spannungen
E-Technik: T-abhängige Parameter z.B. Widerstand
in 'einem Gerät / Schaltung' nur Materialien mit gleicher T-Abhängigkeit verwenden!
Näherungen:
Volumenveränderung V(T) = Vo ( 1 + T) Vo ( 1 + 3 T) (WL – 5’)
bei konstantem Druck, : Längenausdehnungskoeffizient
Geometrie
Bei langgestreckten Gegenständen,
z.B. Stäben kann man vereinfachend
nur mit der Längenausdehung
rechnen oder falls nur eine Richtung
für die Aufgabenstellung relevant ist.
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 123
Längenausdehnungskoeffizient L(T) = Lo (1 + T) (WL - 6)
(Thermal Coefficient of Expansion, TCE)
[] : / 1/K , üblich für T von 0 ... 100°C
- ist temperaturabhängig, z.B. Platin (siehe unten) = (T)
Tabellen meist für 20°C, da WL - 6 lineare Näherung !
- Materialwerte siehe Tabelle
Bem.:
- Concorde bei Mach 2,2:
L 30 cm
bei ca. 50m Länge
- Blackbird-Triebwerk (re.)
- (WL - 6) ist eine lineare Näherung (Polynomentwicklung) !
- Längenausdehnung L(T) = Lo (1 + T)
- Hookesches Gesetz F(x) = (0 + Dx)
- E-Technik R(T) = R25
(1 + T)
Polynome werden zum Anfitten an experimentelle Werte verwendet. Diese linearen
Gleichungen gelten nur für einen bestimmten und engen Bereich.
Will mans genauer wissen: höheres Polynom, z.B. Platin : 6. Grad !
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 124
Unterschiedliche Ausdehunungskoeffizienten führen zum Bruch bzw. Materialermüdung:
10mm
Vergußmasse
Polyimid
Silizium
Kleber
Träger
/ 10 K-6 l / µm
(-65°C ... +150°C)
20
40
3,5
40
17
43
86
7,5
86
37
Thermische Ausdehnung bei IC
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 125
4.5 Wärmetransport (Heat Transport)
Art Charaktristik Bsp
Wärmestrahlung
(thermal radiation) em-Strahlung (meist IR) Sonne, Mikrowelle, Lagerfeuer
Wärmeströmung
(thermal flow)
(Konvektion)
Materialtransport
Konvektionsheizung (z.B. Luft), PC-
Lüfter, Meer: kaltes Wasser unten,
oben warm
Wärmeleitung
(thermal conduction) Energieübertragung
erwünscht : Kühlkörper
unerwünscht : Thermoskanne
Statt ‚thermal ...‘ wird im Englischen auch oft ‚heat ...‘ benutzt.
4.5.1 Wärmestrom (Thermal Flow)
Wärmestrom
auch Wärmeabgabe
mit Q = c m T
vgl. mit Strom und Ladung
LeistungWs
J
Qdt
dQ
t
Q
TmcTmcTmc
| | | Bsp. Lüfter Statisches z.B. Gase, c(T) Abkühlen oder Phasenübergang
(WL - 8)
zeitliche Abhängigkeit analog Kinematik !
Bsp: - abkühlender Körper ( 0c,0m ) : Q = 90 J in t = 15 s = 6 W
- Gehäuselüfter mit permanentem Massenstrom 5 l/min, T = 20 K ( 0T )
min
l5
t
m
dt
dmm
, Wärmekapazität konstant : 0c
W2K20s60
kg50012,0
Kkg
J1000Tmc
Solarkonstante (Äquator, senkrechter Einfall): qsolar = A
= 1,35 kW/m²
(Deutschland 0,7 kW/m²)
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 126
Analogie Wärmelehre - E-Technik
Transport von 'Wärmeteilchen' im Vergleich zu geladenen Teilchen
Die treibende Kraft für den Transport ist eine Potential- bzw. Temperaturdifferenz !
Wärmelehre E-Technik (Gleichstrom)
T-Differenz T U Potentialdifferenz
Wärmestrom I Strom
Wärmewiderstand Rth R Widerstand
TRth
I
UR Ohmsches Gesetz
Wärmeleitwert
thR
1
R
1G Leitwert
Mehrere Schichten Rth ges = Rth Rges = R Serienschaltung
'Vergrößerung
eines Kühlkörpers'
...R
1
R
1
R
1
2th1thgesth
...R
1
R
1
R
1
21ges
Parallelschaltung
Wärmekapazität C C Kondensatorkapazität
(Serien- und
Parallelschaltung
entsprechend)
Vergleiche mit Aufheizkurve (S. 104) mit der Ladekurve U(t) der
Kondensatorspannung eines RC-Schaltkreises.
Gehäuse
Isolierscheibe
Kühlkörper
Betrachtung nur in diese Richtung
Pel
Luft
LuftTHLT Geh.T IsoT Kk.T
C : Wärmekapazität, R : Wärmewiderstand
LastR
= Abgabe an Umgebungsluft
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 127
2 Fälle des Wärmestroms :
permanente Wärmeentwicklung
‚leicht‘ zu berechnen, d.h. (Wärme-) Kapazitäten werden vernachlässigt, nur Widerstände
berücksichtigen.
Annahme, dass der Aufwärmvorgang abgeschlossen ist.
Typische Aufgabe: - Berechnung der Gleichgewichts-Temperatur
- Berechnung eines Kühlkörpers
Einschalt- und Abschaltvorgänge
‚komplexer‘, meist nur interessant bei kurzen Betriebsdauern (‚Ladezeit‘, danach Fall
‚permanent‘), z.B. HF-Teil Handy, da typischerweise 5 min. in Betrieb. Vgl. RC-Verhalten
bzw. Einschalten LCD-Tafel
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 128
4.5.2 Wärmestrahlung (Thermal Radiation)
auf der Erde in Luft und Wasser für kleinere Körper (z. B. ICs) meist vernachlässigbar
im All: Wärmeabgabe nur über Strahlung möglich
Bsp: Astronauten müssen mit Flüssigkeit gekühlt werden, da der Körper mehr Wärme
erzeugt als durch Strahlung abgeführt werden kann, also ‘Wärmetod’ nicht ‘Kältetod’ !
Plancksches Strahlungsgesetz
gilt genau genommen nur im All
4TA
(WL - 9)
mit
= 5,7 10-8 42 Km
W (Stefan-Boltzmann - Konstante)
= Emissionsvermögen : schwarzer Kühlkörper 0,9 ... 0,95 , weiße Fläche 0,5
A : Fläche des Schwarzen Körpers /m²
[T] = K
Achtung: Näherung, gilt nicht, wenn Wände etc. in der Nähe sind!
Bei der Stahlerzeugung ist deutlich die
Abhängigkeit der Farbe mit zunehmender
Temperatur (Strahlung) zu erkennen: Rot
(600°C) - Gelb (1100°C) - Weißglut (1300°C)
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 129
5.3 Wärmeströmung (Thermal Flow)
- Transport von Materie, d.h. Wärmetransport durch Teilchentransport ! - meist aktiv, z.B. mit Lüfter oder Pumpe betrieben. - Konvektion: Strömung durch Dichteunterschiede, z.B. warme Luft steigt auf
Wärmeströmung
m : Massenstrom (vgl. Impuls)
T : T-Differenz ausströmende - angesaugt Luft
bzw. Flüssigkeit oder Gas
TmcQtd
Qd
t
Q
(WL - 10)
Man kann mittels der transportierten Stoffmenge (z.B. Luft bei Lüfter, Angabe in m³/min) den
Wärmestrom berechenen:
Bsp: Wieviel Verlustleistung kann ein Lüfter aus einem elektrischen Gerät transportieren ?
Lüfter mit 0,1 min
m3
Luft : T = 30 K
(ausgeblasene -
eingesaugte
Temperatur)
Dichte : 1,2 kg/m³
= c m T
= K30s60
kg12,0
kgK
J1000
= 60 W
Beispiel Lüfter-Spec Bestellbezeichnung: 0410N-12
Abmessungen: a x b (mm)
40 x 40
Bautiefe:c(mm) 25
d (mm) 32
e (mm) 4,5
Nennspannung VDC
24
Volumenstrom m³/h 165
Luftdruck mm H2O 7,2
Stromaufnahme mA 340
Geräuschpegel dBA 44
Lagerungsart Kugellager
Temperaturbereich -10 ... + 70 °C
Lebensdauer in h bei 25°C
51.000
Lebensdauer in h bei 70°C
40.000
Zulassung UL/CSA/TÜV
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 130
Anwendungen:
In Schaltschränken ist die Temperatur ‚oben‘ am höchsten (Bauteile-Belastung !). Deshalb
sollten oben (Abluft) und unten (Zuluft) Lüftungsschlitze angebracht sein. Zu beachten ist
aber eine ‚Verschmutzung (Staub) des Gerätes und eine erhöhte Wasserempfindlichkeit.
Achtung : Bei erhöhten Umweltanforderungen (z.B. wasserdicht) kommt eine Wärmeabfuhr
durch Lüftung (Massestrom) nicht in Betracht. Die Wärmeleitung und die maximal erlaubte
Bauteiltemperatur bestimmt dann maßgeblich die maximal erlaubte elektrische
Verbrauchsleistung !
4.5.4 Wärmeleitung (Thermal Conduction)
Metall fühlt sich ‚kälter‘ als Holz in einem 20°C warmen Raum an obwohl beide Gegenstände
gleich warm sind. Grund: Metalle haben eine höhere Wärmeleitfähigkeit und transportieren
so die ‚Wärme‘ der Finger schneller ab, die (wärmeren) Finger kühlen sich also ab.
Hauptfälle : - Wärmeleitung durch eine Wand sowie von Festkörper auf Fluid
- Wärmedurchgang durch eine Wand
- Wärmeabgabe eines Körpers durch Abkühlen bzw. bei 'ständiger' Heizung
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 131
4.5.4.1 „Reine“ Wärmeleitung durch Wand
Welcher Wärmestrom fließt durch eine Wand bzw.
welche Leistung wird durch eine Wand in
Abhängigkeit vom Temperaturgefälle transportiert ?
Achtung : Das folgende beschreibt nur einen
Teilaspekt der Wärmeübertragung durch eine Wand,
vollständig s.u. !
Wärmestrom analog Ohmschen Gesetz : thR
TI
R
U
Hieraus folgt
Wärmewiderstand [Rth] = W
K
s : Wanddicke, A : Fläche
Ak
1
A
sRth
(WL - 11)
: Wärmeleitzahl, [] = mK
W (Materialeigenschaft)
k : Wärmedurchgangszahl, s
k
; Anwendung z.B: Baubranche
Wärmeleitung
Erhöhte Wärmeabgabe durch Ver-
größerung der Oberfläche (Kühl-
körper, Rippen bei Elektromotoren)
TAs
TAk)TT(AkR
TBA
th
(WL - 12)
ATA T
B
T
s
TA
TB
x
s
U
R Analogie
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 132
Wärmedurchgangszahl „Normierung“ auf Dicke
[k] = 2mK
W
sk
(WL - 13)
Material
Werte für 300 K !
Wärmeleitzahl / mK
W Wärmedurchgangszahl k /2mK
W
Eis 2,33
Wasser 0,6
Luft 0,025
Stahl 14
PVC 0,16
Kork 0,05
Ziegel 1 1,5 (30 cm Hohlziegel)
Glas 0,8 5,6 (1 cm) (Doppelglas)
Beispiel: Wie stark muß die Heizung einer Studentenbude sein ?
Werte : Länge Außenwand 10 m (Ecke), 2,5 m hoch, 2 Außenwände, k = 1
W/Km²
Innenwände, Boden, Decke vernachlässigt, da Hochhaus
Temperatur 0°C außen, 20°C innen gewünscht
= k A T = 1 W/Km² 25 m² 20 K = 500 W
Bei einer Wand aus mehreren Schichten wird einfach die
'Serienschaltung' (vgl. ET) angewendet:
Rthges = Rth1 + Rth2 + ...
'Parallelschaltung' : ...R
1
R
1
R
1
2th1thgesth
(Vergrößerung der ‚Durchgangsfläche’)
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 133
4.5.4.2 Wärmeleitung von Festkörper auf Fluid (Flüssigkeit, Gas)
Welche Wärmeleistung wird von einem
Festkörper auf ein Fluid abgegeben ?
hier geht nur der Wärmeübergangskoeffizient
des Fluids ein !
T = TFK - Tfluid
Wärmestrom durch Übergang FK - Fluid
: Wärmeübergangskoeffizient, [] = W / m² K
= (vfließ, Medium)
TA
(WL - 14)
Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid
vgl. Wärmedurchgangswiderstand Ak
1
A
sRth
A
1Rth
(WL - 15)
Metall - Medium / W/m²K
Luft : ruhend 3 - 30
langsam 30 - 60
schnell 60 - 300
Wasser 500 - 5000
Wärmeübergangskoeffizient
für strömende Luft längs einer ebener Wand
Einheitenmiterenmultiplizi
sm5vfürv7
sm5vfürv4678,0
Bsp: - Motor: Wodurch unterscheiden sich Luft – Wasserkühlung ? Vorteile - Nachteile, ...
- PC mit Wasserkühlung
Hier vernachlässigt: Wärmeübergang FK auf FK
x
FK Fluid
T
TFK
TFluid
T
A
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 134
4.5.4.3 „Vollständiger“ Wärmedurchgang durch Wand
Wärmeübertragung von Fluid durch Wand (hier Verbundwand) an Fluid Wärmeübergangskoeffizient von Wand 1 auf Wand 2 wird vernachlässigt.
Innenwand 1 : Wärmeübergangskoeff. 1
Wärmeleitung durch Wand 1 : Wärmeleitzahl 1
Wärmeübergang Wand1 - Wand 2 vernachlässigt
Wärmeleitung durch Wand 2 : Wärmeleitzahl 2
Außenwand 2 : Wärmeübergangskoeff. 2
Elektrisches Ersatzschaltbild mit Strom I
- Wärmewiderstand als Serienschaltung : Rth ges = Rth überA + Rth durch1 + Rth durch2 + Rth überB
- Einzelwiderstände aus (WL - 15).
- Funktioniert ebenso mit 1 oder mehreren Wandkomponenten.
Wärmestrom innen außen :
221122
2
1
1
1
thges 1
k
1
k
11
TA
A
1
A
s
A
s
A
1
T
R
T
Näherung : T des Gesamtsystems (ist aber üblich)
Beispiel (Übung): Zimmerwand (1 m² mit = 6 W/m²K ) mit 30 cm dicken Ziegeln, (k = /s =
1 W/m²K) und 1 cm Gips (k = /s = 2 W/m²K) innen. Temperaturdifferenz von außen nach
innen 20 °C (20K).
Gesucht : Wärmestrom und Verlustwärme pro m² bzw. s ?
Wärmedurchgangswiderstand :
W
K83,1
²mW
K²m1
6
1
2
1
1
1
6
1
A
11
k
1
k
11R
2211
thges
Wärmestrom pro m² : = T / Rth = 20 W / 1,83 = 11 W
Verlustwärme pro m² und sec : Q = t = 11 J
Bei 45 m² anrechenbarer Fläche und 2000 h p.a. Heizung einer Wohnung ergibt sich :
= 500 W, Q = 1000 kWh, Heizkosten bei 0,4 €/kW : 400 € pro Jahr
Beispiel Studibude (S. 123): 25 m² bei = 11 W entspricht ca. 275 W, nur ‚Wand’ ergibt 500 W
TA
TB
A
s1
1
s2
2
T
xinnen außen
I
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 135
4.5.4.4 Wärmeabgabe
Statisches Abkühlen
- es wird keine Wärme nachgeliefert
- T const, gesucht: T = T(t) ?
Bsp: Eisenwürfel (Fe)
- Anfangsbedingung : T(t = 0) = 70°C = 343 K
Fläche des Würfels zur Luft hin:
A = 5 * (0,3 m)² = 0,45 m²
Näherung:
- TEisen im Würfel räumlich konstant
- Umgebungsluft erwärmt sich nicht
- keine Volumenschrumpfung
- keine Wärmestrahlung
- Materialparameter seien T-unabhängig
- cFK >> cFluid
70°C30 cm
isoliert aufgeklebt
Luft ruhend20°CFe
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 136
Def.: Temperaturdifferenz : Tdiff = TEisen - TLuft
einerseits: = dQ / dt differentielle Schreibweise
thR
T (Rth ist hier der Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid)
dQ = A Tdiff dt (Wärmeleitung) (i)
dQ : differentielle Änderung der Wärmemenge
Wärmeverlust in der 1. Minute für TKörper = const.
kJ7s60K50²m45,0K²m
W5Q
(vgl. mit Wärmestrahlung ! )
andererseits: dQ = c m dTdiff (im Eisenwürfel gespeicherte Wärmemenge) (ii)
mit c = 0,55 J/gK
m = V
Energieerhaltung : - Wärme kann nicht verschwinden
- Wärmeaufnahme der Luft = Wärmeverlust (-abgabe) des Eisenwürfels
Summe aller Änderungen der Wärmemenge muß Null sein
dQ = 0 dQauf + dQab = 0
mit (i) und (ii) folgt : - dQEisen = dQLuft
Relevant (für „Wissen“ und Klausur): Ansatz & Ergebnis
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 137
Berechnung der Differenztemperatur:
dtTAdTmc diffdiff vernachlässigt : - TLuft = TLuft (t)
diffdiff T
mc
A
dt
dT DGL 1. Ordnung (Mathe 2)
dtmc
A
T
dT
diff
diff
Ctmc
ATln diff
| e
t
mc
A
diff ekT
k aus Anfangsbedingung : Tdiff (t = 0) = TEisen(0) - TLuft (hier 50 K bzw. 50°C)
k = TEisen(0) - TLuft
t
mc
A
Luft)0(Eisendiff e)TT(T
t : LuftEisendiff TT0T
dann herrscht thermisches Gleichgewicht
Anwendung : - Bestimmung von (ggf. ln - Darstellung)
- Hitzdrahtinstrument z B. als Luftmassenmesser in Vergasern
Strom um T zu halten ~ zur Geschwindigkeit (Eichung notwendig)
Vergleich mit Entladekurve RC-Glied
R : Abflußwiderstand (Rth) ≡ 1/A
C : Speicherelement (CEisen) ≡ c m
UC Tdiff
t
CR
1
0C eUU
Benefit:
Aufgaben aus der Wärmelehre können mit Schaltungssimulations-Software gelöst werden !
t
Tdiff
TEisen(0)
TLuft
LuftTEisenT
LuftR
thR
EisenC
(klein,
Kurzschluß)
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 138
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 139
Praktisches Beispiel (Übung):
In welchem Fall ist heißer Kaffee, welcher frisch in einen Styroporbecher gegossen wird nach
10 min. kälter ? Wenn die Milch sofort oder erst nach 10 min dazugegeben wird ?
Werte für t = 0: Kaffee : TK = 70°C , mK = 100 g
Milch : TM = 10°C , mM = 10 g
TLuft = 20°C , cKaffee = cMilch = c
Wärmekapazität und -leitung der Styroportasse vernachlässigt
bzw. in TK enthalten (beim Eingießen war der Kaffee heißer)
a) Milch sofort hinein Berechne TMisch c mK T = c mM T , dann Abkühlen
cK mK (TK - TMisch) = cM mM (TMisch - TM) Kaffee wird kälter, Milch wärmer, cK mK TK + cM mM TM = (cM mM + cK mK)TMisch
Mischtemperatur zweier Stoffe : MMKK
MMMKKKMisch
mcmc
TmcTmcT
(WL - 1')
C5,65K5,337kg11,0
K283kg01,0K343kg1,0TMisch
mit
s
1106
mc
Aconst
kg11,0m;Kkg
J4200c
)sigtvernachläselgdemzufocherStyroporbeeKaffeetassda,flächeWasserober(²m003,0A;K²m
W10
5
t.const
diff eK5,45T
K44eK5,45T 04,0
diff
TKaffee nach 10 min 64°C b) Milch erst nach 10 min hinein Erst Abkühlen, dann Mischen berechnen
K48eK50T 04,0
diff TK nach 10 min = 341 K = 68° C
Hier ist das Abkühlen während 10 min. schneller, da die Temperaturdifferenz größer ist !
C63K336kg11,0
K283kg01,0K341kg1,0T min10nachMisch
Kaffee ist kälter, wenn man die Milch erst 'zum Schluß' dazugibt ! Weitere Überlegung: „Pusten“ erhöht Wärmeübergangskoeffizienten !
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 140
Dynamische Wärmeabgabe = permanente Wärmeentwicklung und –abgabe (Bsp. Kochen)
Beispiel: Kühlkörper mit Transistor und ständiger Verlustleistung
Gleichgewicht : TKühlkörper = const.
(erreicht bei Abschluß des Aufheizprozesses, vgl. LCD-Tafel, s.o.)
Nebenbedingung : - großes Reservoir der umgebenden Luft, d.h. TLuft = const.
- kein Lüfter
Ziel: Berechnung des thermischen Widerstandes Rth des Kühlkörpers
in Abhängigkeit von der (erlaubten) Bauteile- und der Umgebungstemperatur
(andere Aufgabenstellung : Berechnung der Gleichgewichtstemperatur eines elektrischen
Gerätes bei gegebenem thermischen Widerstand und elektrischer Verlustleistung)
Einerseits: Q = U I t dQ = U I dt PstungVerlustlei
IUQ (*)
mit U : Spannungsabfall am Bauteil
andererseits: thR
TQ
dt
dQ (**)
mit T = (erlaubte maximale bzw. gewünschte) Bauteiletemperatur - Lufttemperatur
(*) = (**) : Zufuhr
th
th P
TR;
R
TIU
Thermischer Widerstand des Kühlkörpers in Abhängigkeit von Leistung und Temperatur
KühlkörperthasteWärmeleitp,IsolierungthBauteilthth
stungVerlustleieelektrisch
LuftBauelementLuftBauelementth RRRR;
P
TT
IU
TTR
Bemerkung: - der Übergangswiderstand Kühlkörper - Luft 'steckt' in Rth
- Rth wird üblicherweise im Datenblatt angegeben (s.u.)
- Übergang Bauteil – Kühlkörper kann vernachlässigt werden, falls
(die dringend empfohlene) Wärmeleitpaste eingesetzt wird.
- TLuft stellt die maximal erlaubte Umgebungslufttemperatur dar,
danach ist der Kühlkörper auszulegen !
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 141
Bsp: TBE = 60°C (commercial 0 ... 70°C), TLuft = 40°C , U = 1V , I = 1 A
W
K20
W1
K20
IU
TTR
LuftBauelement
th
Praxis:
Rth (Kühlkörper) muß kleiner sein als Rth
(berechnet) wegen Kontaktwiderstand
(Rthcontact Reduktion durch Wärmeleitpaste)
etc.
hier: minimal 30 cm² Alu 2 mm dick
Rthcontact und PVerlust minimieren
Warum ist für 1 mm dickes Alu der
thermische Widerstand bei gleicher Fläche
größer ?
Wegen der dünneren Materialstärke kann
die Wärme von einer punktförmigen Quelle
(z.b. Transistor) in der Mitte nicht 'so gut' in
Richtung Rand abgeleitet werden.
Die Temperaturverteilung der Fläche ist
inhomogen
Rth
10
5
30
1
10 30 100
Kühlkörperfläche
2 mm Alu
1 mm Alu
/ K/W
A /cm²
Temperatur-gefälle
punktförmigeWärmequelle
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 142
Einfaches Kühlkörperdatenblatt
nichtlinearer Zusammenhang :
- doppelte Kühlkörpergröße halber thermischer Widerstand
Rth (50 mm) = 2,8 K/W aber Rth (100 mm) nicht Rth (50 mm)/2
- 'gilt auch für Preis'
Grund: - Wärmeausbreitung von Punktquelle aus
- Luftströmungsverhalten des Kühlkörpers
(Einbauort und -lage beachten !)
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 143
Maximal erlaubte Verlustleistung eines kleinen IC-SMD-Gehäuses in Abhängigkeit von der
- a) Umgebungstemperatur
- b) Luftgeschwindigkeit und Platinenkühlfläche
a) linearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und
Umgebungslufttemperatur mit Gehäusetyp als Parameter
b) nichtlinearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und Kühlfläche
mit Parameter Strömungsgeschwindigkeit für 25 °C (wenig praxisrelevant, da T meist
höher)
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 144
Berechnungen und Simulationen zur Temperaturverteilung sind wegen der Vielzahl von
Parametern (Bauteile, Platine, Kühlkörper, Einbaulage, ...) und der dreidimensionalen
Verteilung (mechanischer Aufbau, ...) sehr aufwändig. Die Ergebnisse sind mit Vorsicht zu
genießen und sollten mit Messungen (z.B. IR bzw. Temperaturfühler oder –streifen)
untermauert werden.
Beispiel : Simulation einer DC/DC-Wandlerschaltung (http://power.national.com)
Die Schaltung ‚reduziert‘
eine Eingangsspannung
von 12 V auf 3,3 V und
liefert ca. 2,5 A
Ohne Kühlkörper
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 145
Mit Kühlköper
Die heißesten Teile sind die Diode und der IC. Durch den Kühlkörper sinkt die Temperatur
‚nur‘ um 3 – 6 °C. Die lateralen Abmessungen der Platine erhöhen sich um jeweils ca. 12 mm
! Der Aufwand scheint hoch, es gilt aber zu beachten, daß bei einer Umgebungstemperatur
von ‚nur‘ 30°C bereits Bauteile-Temperaturen von 60°C erreicht werden.
Temperaturen /°C Diode IC
Kühlkörper Ohne Mit Ohne Mit
Umgebungs- 30 62 56 61 57
Temperatur 50 82 78 78 73
Zu beachten ist, daß die Simulation mit der Stromversogrung als einziges Bauteil
durchgeführt wurde – in einem abgeschlossenen Gehäuse mit Verbrauchern erhöht sich die
Temperatur, so daß hier mit einer ‚inneren‘ Umgebungstemperatur im Bereich 50°C zu
rechnen ist. Kommerzielle Bauteile (0 ... +70°C) kommen dann bereits nicht mehr in Frage !
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 146
Zur Info: Kleine Formelsammlung zur Elektronikkühlung (www.flomerics.de)
Luftaustrittstemperatur aus einem zwangsbelüfteten Gehäuse
V
P1,3TT rittintEAustritt
T : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
V : Volumenstrom des Lüfters /m³/h
Mittlere Lufttemperatur in einem geschlossenen Gehäuse
k
AußenInnenAk
PTT
T : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
k : Wärmedurchgangszahl, typisch k = 5,5 W/m²K
Ak : Wärmeübertragende Gehäusefläche (DIN 57660)
Homogen bestückte Leiterplatte in freier Konvektion
Mit Strahlung :
86,0
UmgebungPlatteA
P1,0TT
Ohne Strahlung :
80,0
UmgebungPlatteA
P3,0TT
TPlatte : Durchschnittstemperatur der Platine /°C
TUmgebung : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
A : Fläche der Platine /m²
Temperaturänderung bei Wärmedurchgang
PA
dTT KaltWarm
T.. : Temperatur /°C
d : Schichtdicke /m
: Wärmeleitfähigkeit des Schichtmaterials /W/mK
P : Wärmestrom durch Fläche A /W
A : Fläche des Wärmedurchganges /m²
TEintritt
TAustritt
Tinnen
Taußen
TUmgebung
TPlatte
P
dT
kalt
Twarm
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 147
4.6 Thermodynamik (Einführung) (Thermodynamics)
Im Wesentlichen zum Weiterlesen, Relevantes ist mit Rahmen „markiert“
Aufgabe : Beschreibung makroskopischer (c, , , k, ...) Materieeigenschaften durch
physikalische Größen aus Kristallgitter, Atom- und Moleküleigenschaften.
Beispiele : spezifische Wäremleitfähigkeit, molare Wärmekapazität, …
Grundlage Statistik, da sonst pro Mol ca. 1025 Gleichungen zu lösen wären !
Bsp: Wärmekapazität c Gase pro Freiheitsgrad TkB21 c = c(T)
c1atomig = TkB23 : 3 x Translation, z.B. He
c2atomig = TkB25 : 3 x Translation + 2 x Rotation, z.B. H2
4.6.1 System-Definitionen
Thermodynamische Systeme sind Materieansammlung, deren Eigenschaften durch
Zustandsvariablen (z.B. V, E, T, p, z.B. p V = N R T Ideales Gas) beschrieben werden
können.
System Definition Formel Beispiel
Ab- geschlossenes System
keine Wechselwirkung (Ww)
oder Materieaustausch
(Teilchenzahl konstant) mit
der Umgebung;
Gesamtenergie (mechanisch,
elektrisch, ...) konstant
- Eges = W = const - n = const.
Technisch angenähert
durch Dewar-Gefäß
(Thermoskanne)
kein Wärmetransport
durch Strahlung oder
Wärmeleitung
Geschlossenes
System
Energieaustausch mit der
Umgebung zugelassen,
jedoch kein Materieaustausch
- Eges = W const. - n = const
Wärmebad,
Kühlkörper
Offenes
System
Energieaustausch und
Materieaustausch mit der
Umgebung zugelassen
- Eges = W const
- n const
Gehäuse mit Lüfter
wie geschlossenes
System mit
Materialtransport
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 148
4.6.2 Zustands-Definitionen
Gleichgewichtszustand
- Zustand, welcher sich von selbst einstellt
- 'Hineinlaufen' in den Gleichgewichtszustand meist ‘komplex’ (s.u. *)
Bsp: Thermisches Gleichgewicht:
Zusammenbringen zweier Teilsysteme im energetischem Kontakt
(kein Materieaustausch), bis keine Energie mehr fließt
(Nullter Hauptsatz der Thermodynamik),
z.B. taktile Temperaturmessung (s.u. **)
Stationärer Zustand
wie Gleichgewichtszustand aber mit Energiefluß
Bsp: - Warmhalteplatte T = const, aber elektrische Energiezufuhr
- Aufheizen Elektronikgehäuse (s.o.)
Beispiel : Gleichgewichtszustand (Steady State, Equilibrum) und das Hineinlaufen (*)
In eine Wanne werden aus einem Bottich 50 l mit 20 °C kaltem Wasser hineingegossen. Es
werden dann mit einem anderen Bottich 50 l mit 40 °C dazugegeben. In der Badwanne
befinden sich nach Durchmischen 100 l Wasser mit einer Temperatur von 30 °C.
Der Anfangs- (2* 50 l, 20 bzw. 40°C) und Endzustand (100 l mit 30°C) ist leicht berechenbar.
Unberechenbar ist hingegen das Hineinlaufen in den Gleichgewichtszustand, d.h. die
zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Wasserströme können beispielsweise
mit gefärbten Wasser sichtbar gemacht werden (weiteres Beispiel: Milch in Kaffee gießen
ohne Umzurühren ergibt minutenlanges Strömen der Milch vor Gleichgewichtsverteilung).
Ferner ist es nicht möglich, den ursprünglichen Zustand (2 Bottiche mit je 50 l und 20 bzw. 40
°C) aus dem Gemisch zu extrahieren. Das Zusammengießen stellt also einen irreversiblen
Prozeß (s.u.) dar.
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 149
Beispiel : Thermisches Gleichgewicht (**) (Thermal Equilibrum, - Balance)
Die Temperaturmessung mit einem Thermometer geschieht dadurch, daß das zu messende
Objekt in Kontakt mit dem Temperaturfühler gebracht wird. Nach einer gewissen Zeit stehen
Objekt und Fühler im thermischen Gleichgewicht, d.h. sie besitzen dieselbe Temperatur.
Dieser Prozeß, der einem Mischen entspricht, verfälscht das Meßergebnis :
Konkretes Beispiel : Die Temperatur von 1 l Luft mit 330 K (z.B. per Infrarot-Messung
bestimmt) soll mit einem Temperaturfühler aus Metall, der eine Temperatur von 300 K
aufweist, gemessen werden. Wie groß ist die gemessene Temperatur in diesem Extremfall:
aus (WL - 1') FFLL
FFFLLLMisch
mcmc
TmcTmcT
hier : - Luft mL = 1,2 g ; cL = 1 J/gK
- Fühler mF = 10 g ; cF = 0,5 J/gK
K52,1
30053302,1TMisch
= 306 K
Damit der Fehler also klein bleibt, darf muß 'Beitrag' des Fühlers genügend klein sein !
Rein rechnerisch (theoretisch) könnte die wahre Lufttemperatur errechnet werden: nach TL
auflösen, Tmisch wurde gemessen, ‚Rest’ bekannt. Nachteile: Luft wird abgekühlt,
Messgenaiugkeit relativ gering.
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 150
4.6.3 Hauptsätze der Thermodynamik
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik
Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch
untereinander im thermischen Gleichgewicht.
Zur Erlangung des thermischen Gleichgewichtes findet solange ein Wärmetausch
(-transport) statt, bis die Temperaturen der betroffenen Systeme gleich sind.
Das ist der Fall bei taktilen (berührenden) Temperaturmessungen !
Dies gilt auch für
mehrere Körper
(Systeme).
Achtung : Die
‚Umwelt’ ist hier
nicht betrachtet !
Zur Verdeutlichung als Ring →
Erster Hauptsatz (law) der Thermodynamik
Die Änderung der Inneren Energie U eines Systemes bei einer beliebigen
Zustandsänderung ist die Summe der mit der Umgebung ausgetauschten Arbeit W und
der Wärme Q :
U = W + Q . Üblich ist die differentielle Formulierung :
Innere Energie
= 'Mechanische Arbeit + Wärmemenge'
dU = dW + dQ
(WL - 16)
dW < 0 : Arbeit, welche vom System geleistet wird
dW > 0 : Arbeit, welche am System geleistet wird, z.B. Luftpumpe wird warm
Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art!
(Maschine, welche dauernd Arbeit leistet, ohne die Umgebung zu verändern)
Innere Energie gibt’s auch in der Elektrotechnik : Entladen Akku (reversibel), Batterie
(irreversibel)
ThermischesGleichgewicht
Alle untereinander im thermischen Gleichgewicht
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 151
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Teil der Wärme von
einem wärmeren auf einen kälteres System übergeht (Wärmekraftmaschine).
Wärme kann von einem kälteren auf ein wärmeres System nur mittels mechanischer
Arbeit übertragen werden (Kältemaschine).
Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art
Durch Abkühlung kann Wärme nicht zu 100% in Arbeit umgewandelt werden
('Ein Körper kann nicht durch selbsttätige Abkühlung in die Luft springen')
physikalische Formulierung über Entropie S (Maß für Ordnung)
Entropie (Entropy)
K
JS
T
QdSd
(WL - 17)
Je größer die Entropie S, desto größer die 'Unordnung'
Fälle: dS = 0 reversibler Prozess, kann in beide Richtungen ablaufen
dS > 0 irreversibel, Prozess läuft nur in eine Richtung ab, Unordnung nimmt zu
dS < 0 nur möglich, wenn von außen Energie zugeführt wird. Ordnung kann also nur
durch Energieaufwand erzeugt werden !
Abgeschlossene Systeme streben einen Gleichgewichtszustand an, der durch ein Maximum
der Entropie gekennzeichnet ist.
Mechanische und elektrische Systeme streben ein Minimum an potentielle Energie an (Stein
fällt zur Erde / Ladungsdifferenzen gleichen sich aus)
Alle Naturvorgänge verlaufen so, dass die gesamte Entropie aller beteiligten Systeme
zunimmt.
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 152
Beispiele :
- Durch Expansion des Weltalls wird dessen Ordnung kleiner, S nimmt also zu
- Zusammenmischen zweier Wassereimer erhöht die Unordnung, da zuvor zumindest
der Ort der Moleküle (Eimer 1 oder 2) festgelegt war, danach kann dies nicht mehr
'gesagt' werden (s.o.)
Alternative Formulierung 2. Hauptsatzes
dS 0
(WL - 18)
Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Die Entropie am absoluten Nullpunkt ist Null: S(0K) = 0 J/K
Folgerungen:
- die spezifische Wärmekapazität im Nullpunkt ist Null c (T=0) = 0
- der absolute Nullpunkt ist experimentell nicht erreichbar, 'Rekord' 10-6 K
4.6.4 Zustandsänderungen
reversibel
Durch Umkehr der Ablaufrichtung wird der Ausgangszustand wieder erreicht, ohne daß
Energiezufuhr notwendig ist.
Beispiele: Mechanisches Pendel, Entladen Akku
irreversibel
Eine Umkehr des Ablaufes ist von alleine nicht möglich. Dies betrifft alle Übergänge vom
Nichtgleichgewicht ins Gleichgewicht.
Beispiele: - Temperaturausgleich zweier Systeme
2 Eimer werden zusammengeschüttet. Ein Trennen in den Ausgangszustand
ist nicht mehr möglich (s.o.) !
- Ein Akku lädt sich nicht von ‚alleine‘ auf. Durch elektrische Energiezufuhr
kann aber der ‚Ausgangszustand‘ wiederhergestellt werden
- Entladen Batterie
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 153
4.6.5 Thermodynamik Idealer Gase
reversible Arbeit beim 1. Hauptsatz
für p V = n R T
2
1
V
V
rev dVpW
(WL - 19)
Zustandsänderung Gleichung p - V - Diagramm
Isochor
.constT
p
Isobar
.constT
V
Isotherm
p V = const.
Boyle Mariotte
Adiabatisch
hier v
p
c
c
einatomiges Gas: 3
5
p V = const
p
V
p
V
p
V
Hyperbel p ~ 1/V
p
Visotherm
adiabatisch
Blankenbach / Wärme + Thermodynamik / 12.12.2011 21:22:00 154 / 247
Zustandsänderung Isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop
Bedingung
V = const
p = const
T = const
S = const
dQ = 0
pV = const
Beispiel für Ideales Gas:
Temperaturänderung in
einem Behälter
'Luftpumpe'
(frei) bei äußerer
T-Erhöhung
Wärmebad
Dewar-Gefäß
schnelle Prozesse
in nichtisolierten
Systemen
Wärmeenergie
Q = cv m T
Q = cp m T
Q = W
Q = 0
Arbeit 2
1
V
V
rev dVpW
W = 0
(keine mechanische
Arbeit, da V = const))
W = p V
W = p V
W = - cv m T
1. Hauptsatz
dU = dQ
dU = dW + dQ
dQ = dW
dU = - dW
dU = dW + dQ
: Adiabaten- bzw. Polytropenkoeffizient = 0 isobare Prozesse
= 1 isotherme "
isochore "
sonst adiabatisch
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 155
4.6.6 Carnotscher Kreisprozeß (Carnot Cycle)
periodisch arbeitende Maschine mit Idealem Gas als Arbeitsmedium in einem Kreisprozeß als
Idealisierung realer Kreisprozesse z.B. Motor
Isotherm: T = const,
p V
1 (Hyperbel)
adiabatisch: pV = const,
T const
Ziel: mechanische Energieerzeugung durch periodischen Wechsel zwischen warm und kalt !
Lernziel: „Wissen, dass es Carnot gibt + Grundprinzip“
Teilzyklen:
Beschreibung Formel
a Innere Energie konstant
Wärme wird zugeführt
(Isothermal heat supply)
U = 0
1
2B
V
VlnTkNQ
b durch Expansion geleistete Arbeit wird aus U
entnommen, T sinkt
(isentropic expansion)
W = U = cv m T
c wie a, nur Wärme wird abgegeben
(Isothermal heat rejection)
d wie b, nur T steigt (isentropic compression)
nach einem Umlauf muß die Summe aller Parameter Null sein 0T
QdS
p
V
isotherme Expansion
adiabatischeExpansion
adiabatische
Kompression
a
b
c
d
T hoch
T niedrigisotherme Kompression
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 156
Definition : Entropie
b
aT
QdS;
T
QdSd
Entropie ist die bei der Temperatur T ausgetauschte Wärmemenge
Energiebilanz
im Prozeß erzeugt Wärme = umgesetzte Wärmemenge W = - Q
Wärme(energie) wird in Arbeit umgewandelt
Wirkungsgrad
[T] = K
1T
T1
hoch
niedrig
(WL - 20)
Wirkungsgrad ist hoch für große T- Differenzen
reale Maschinen : real < carnot
Der Carnotscher Kreisprozeß ermöglicht die Erzeugung von Arbeit durch Wärmetausch zwischen
kalten und heißen Medien.
Anwendung: Wärmepumpe, Kältemaschine, Motor
Beispiel für Solarzellen bei Sonnentemperatur von 6.000 K :
- Solarzelle bei Raumtemperatur : %95K000.6
K3001
T
T1
hoch
niedrig
- Durch Sonnenstrahlung erwärmte Solarzelle : %93K000.6
K4001
Der theoretische Höchst-Wirkungsgrad verringert sich aufgrund der geringeren
Temperaturdifferenz – Hochleistungs-Solarzellen werden deshalb mit einer Wärmeabfuhr
versehen. Praktisch werden 10 – 20% erreicht.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 157
Anwendung des Carnotschen Kreisprozesses : Otto – Motor (nur zur Info)
Beim Viertaktmotor werden vier Arbeitsgänge
Ansaugen - Verdichten - Arbeiten - Ausstoßen
in vier Bewegungen eines jeden Kolbens verrichtet. Bei allen Verbrennungsmotoren mit
Ausnahme des Wankelmotors treiben die aufwärts – und abwärtsgleitenden Kolben über Pleuel
eine Kurbelwelle an. Die Antriebskraft wird über die Kupplung, das Wechselgetriebe, die
Kardanwelle, das Ausgleichsgetriebe und die Antriebswellen auf die Räder übertragen.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 158
Der Kreisprozeß im Otto – Motor soll durch folgenden Idealisierten Kreisprozeß angenähert
werden:
I Adiabatische Kompression des idealen Arbeitsgases vom Volumen V1, der
Temperatur T1 und dem Druck p1 zum Volumen V2
II
isochore Druckerhöhung, wobei das Gas mit einem Wärmebad der konstanten
Temperatur T3 in Berührung gebracht und Temperaturausgleich abgewartet wird
III
adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V1
IV
isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p1, wobei das Gas mit einem
zweiten Wärmebad der konstanten Temperatur T1 in Berührung gebracht und
Temperaturausgleich abgewartet wird
p - V – Diagramm des Kreisprozesses
Die Ziffern 1 – 4 bezeichnen die
Anfangszustände der vier Teilprozesse
3
2
1
4
III
I
II
IV
W
V2
V1 V
p
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 159
Druck, Volumen und Temperatur für die Anfangspunkte der vier Teilprozesse
'Motorwerte' - Volumen aller Zylinder V1 = 1,5 dm³
- Kompressionsverhältnis 8V
V
2
1
- Umgebungstemperatur der angesaugten Luft T1 = 303 K
- Umgebungsdruck der angesaugten Luft p1 = 1 bar
- Höchsttemperatur des gezündeten Gemisches T3 = 1973 K , = 1,4
- cV konstant angenommen
Anfangszustand 1 2 3 4
V /dm³
1,5
0,1875
0,1875
1,5
p /bar
1,0
18,38
52,10
2,84
T /K
303
696,1
1973
858,9
Prozeß Berechnung obiger Tabellendaten
I
2211 VpVp ; bar38,188bar1pp 4,1
12
K1,6968K303TV
VTT 4,01
1
1
2
112
II
bar1,52K1,696
K0,1973bar38,18
T
Tpp
2
323
III
bar84,28
bar10,52p
V
Vpp
4,1
3
4
334
IV
K9,858bar1
bar84,2K303
p
pTT
1
414
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 160
Gewonnene Arbeit pro Umlauf im p V – Diagramm
Arbeit 4123 QQW
Aufgenommene Wärmemenge 0TTcmQ 23v23
Abgegebene Wärmemenge 0TTcmQ 41v41
Wärmekapazität des Arbeitsgases vv cmC
Mit : 1s
11
TR
Vpm ;
1
1
T
Vp
cc
c
T
Vp
R
c
T
VpC
1
11
vp
v
1
11
s
v
1
11v
K
J238,1
mK14,1303
mN105,110C
2
335
v
Wärmemengen : J3,1580K1,6961973K
Nm238,1Q23
J688K9,858303K
Nm238,1Q23
J3,892J688J3,1580W
Leistung des Viertakt – Motores bei einer Drehfrequenz 1min4500f
kW5,33s260
4500J3,892
2
fWP
denn W wird während zweier Umdrehungen des Motors erzeugt !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 161
Wirkungsgrad rev
einer Carnot–Maschine, die mit den beiden Wärmebädern arbeitet :
Thermodynamischer Wirkungsgrad %6,84
K1973
K3031973
T
TT
3
13rev
Effektiver Wirkungsgrad des 'realen' Motors :
Effektiver Wirkungsgrad %5,56J3,1580
J3,892
TT
TT1
Q
Q1
Q
W
23
41
23
41
23
aus den Formeln für die betreffenden Prozesse:
I
1
1
221
V
VTT
III
1
1
234
V
VTT
folgt I – III %5,568
11
11
V
V
TT
TT4,01
1
1
2
32
41
Der Wirkungsgrad hängt nur vom Kompressionsverhältnis ab !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 162
Entropieerzeugung pro Umlauf im p - V – Diagramm
geg.: Abgeschlossenes System aus Arbeitsgas und Wärmebehältern
Die Entropie des Gases ändert sich bei einem Umlauf im p – V – Diagramm nicht,
weil S eine Zustandsgröße ist.
Für die Wärmebehälter / - speicher gilt :
Abgabe bei T3 = konst.: K
J801,0
K1973
J3,1580
T
QS
3
233
Aufnahme bei T1 = konst.: K
J271,2
K303
J688
T
QS
1
411
Resultierende Entropie – Erzeugung: K
J47,1
K
J80,027,2SSS 31
S > 0 , weil die Prozesse II und IV irreversibel sind.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 163
Entropieänderungen des Arbeitsgases bei den einzelnen Zustandsänderungen I – IV
Adiabatische Prozesse I und III S = 0
Isochore Prozesse
2
3vII
T
TlnCS
II
4
1vIV S
T
TlnCS
mit Division von
1
1
221
V
VTT
durch
1
1
234
V
VTT
siehe Wirkungsgrad
erhält man 3
2
4
1
T
T
T
T
K
J29,1
K1,696
K1973ln
K
J238,1SII
Entropie S(T) – Temperatur -
Diagramm
Der Wert von S(T1) braucht nicht bekannt
zu sein. Die Kurven II und IV laufen
proportional zu ln(T)
III
II
IV
I
T1 T2 T4 T3
S
T
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 164
Übungsblatt Wärmelehre
1. Zeigen Sie: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 + T)³ Vo ( 1 + 3 T)
2. Eine Brücke hat eine Länge von 35,0 m bei - 30°C. Wie groß ist die von den Fugen
‘aufzufangende’ Längenänderung bei +50°C
( = 10 10-6 1/K) ? 28 mm
3. Ein Schwimmbad hat eine unveränderliche angenommene Grundfläche von 20m * 50m . Es
wurde mit 10°C kaltes Wasser auf genau 10,0 m gefüllt. Um wie viel höher steht das Wasser
nach dem Aufwärmen auf 30°C ( = 0,18 10-3 1/K) ? 36 mm
4. Das Wasser in einer Badewanne (V = 600l = 600kg) wird von 20°C auf 50°C mit einem
Tauchsieder erwärmt.
a) Welche Energie muss dem Wasser zugeführt werden ? 75 MJ
b) Wie viel Kilowattstunden elektrischer Energie sind das ? 21 kWh
5. Thermisches Gleichgewicht als Ergänzung zu den Beispielen:
a) Wie groß ist der Fehler, wenn der Fühler auf 325 K vorgewärmt wurde ?
b) Wie viel Liter Luft muss mindestens vorhanden sein, damit der Messfehler bei
Bedingungen wie im Skript (Fühler 10 g ; 300 K) kleiner als 0,5 K wird.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 165
5. Mechanik Deformierbarer Medien
Deformierbare Medien: Körper, welche sich unter dem Einfluß äußerer Kräfte verformen (können).
5.1 Einteilung
Phase Statik Dynamik Modellkörper
fest Deformation
(Lineal)
Schwingungen
(Lineal an Tischkante)
deformierbarer Festkörper
flüssig Hydro-
(Auftrieb Ball in Wasser)
Hydro-
(Wasser in Rohr)
Ideale Flüssigkeit (*)
gas Aero-
(Heißluftballon)
Aero-
(Flugzeug)
Ideales Gas (*)
(*) reibungsfrei
Zusammenhang zwischen Modellkörper - Form und Volumen
Bsp: Stab, Wasser in Glas, Ballon drücken
Modellkörper Verschiebbarkeit der Teilchen (Moleküle, Atome)
Festkörper keine
Deformierbarer FK ‘schwer’
Ideale Fl. + Gas reibungsfrei
Modellkörper Form Volumen Beispiel
Def. Festkörper definiert def. Lineal
Ideale Flüssigkeit beliebig def. Wasser in Glas
Ideales Gas bel. bel. Luftballon
Festkörper : Moleküle haben "feste" Positionen zueinander
Fl. + Gase : Moleküle beliebig verschiebbar
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 166
5.2 Druck
Ein Gewicht der Masse m und der
Auflagefläche F übt über die Gewichtskraft F
'Druck' auf die Unterlage aus
Druck
[p] = N/m² = Pa (Pascal)
A
Fp
(DM - 1)
Bsp: Wer übt größeren Druck aus ? Elefant Nadel
Masse m 5 to 1 g
Auflagefläche A 1 m² 0,1 mm²
Druck p 50 kPa 100 kPa
m
FG
A
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 167
5.3 Feder
als wichtigstes Beispiel für Deformierbare Medien und zur Erläuterung nichtlinearer Effekte
hier nur linearer Bereich, Weg x klein:
Beispiel: Feder
Hookesches Gesetz
FF = - D x
(DM - 2)
D : Federkonstante ; [D] = N / m = kg / s²
Aus F = 0: Fa : äußere Kraft, entgegengesetzt FF
Fa + FF = 0 FF = - D x
Fa = D x
Spannung – Dehnung
l : Anfangslänge, l : Längenänderung
ngngenänderurelativeLä:l
l
l
lE
A
Fp
= E
(DM - 3)
p : Druck [p] = N/m² = Pa
E : Elastizitätsmodul (Youngscher Modul); [E] = Pa ; E-Modul Metalle: ca. 200 GPa
: Spannung (Druck)
: Dehnung
A : Fläche im Normalzustand (da Verkleinerung)
Hookesches Gesetz gilt nur für kleine Dehnungen
Beispiel mit Metallen: = 200 GPa 0,1 m/ 100 m → p = = 0,2 GPa = 200 MPa
Vergleich: normaler Luftdruck : 100 kPa = 1.000 hPa
x
F ~ x
F
F > 0
X0
F = 0
FF
a
a
F = 0F
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 168
Spannungs - Dehnungs - Diagramm / Messmaschine
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 169
5.4 Grenzflächeneffekte
Kraftwirkung
Kohäsion
in Flüssigkeit
Adhäsion
Flüssigkeit - Festkörper
Benetzung keine Benetzung
Kräfte
Adhäsion >> Kohäsion
Adhäsion << Kohäsion
Tropfen auf Oberfläche 'Wasser auf Autolack'
Kapillarwirkung
Beispiel
Wasser
Quecksilber
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 170
5.5 Beispiele Deformierbarer Festkörper
Deformationsart Formänderung Volumenänderung Bsp.
Dehnung, Biegung ja ja Feder (+), Stütze (-),Balken
Kompression nein ja allseitig, unter Wasser
Scherung, Torsion
(Drillung)
ja nein Nieten, Achsen,
Torsionsfederung
5.5.1 Dehnung
F
A
l l
Bereich Deformation Bsp : Kugelschreiberfeder
elasitsch reversibel leicht dehnen
plastisch bleibend stark dehnen
F
l
e la s ti s ch p la s ti s ch
l i n e a r (H o o k)n i ch tl i n e a r
B ru ch
A
l
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 171
Linearer Bereich: Hookesches Gesetz
l
lE
A
F (DM 2’)
= E
E : Elastizitätsmodul / Youngscher Modul [E] = Pa
: Spannung / Druck
: Dehnung
A : Fläche im Normalzustand (da Verkleinerung)
l : Länge, l : Längenänderung
E-Modul Metalle: 200 GPa
Biegung
einseitige Einspannung,
Last am Ende des Balkens :
'ideal' : s FG
klein
F = FG + F e ig e n
G
n e u tra leFa s e r
Z u g
D ru ck
0
s
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 172
Zur Info und zum Weiterlesen
Querdehnung
bei Längs- und Querdehnung kann sich das Volumen ändern.
Kompression
K
p
V
V
(DM - 4)
Kompressionsmodul [K] = Pa
Scherung
Isotrop: Gx = Gy = Gz
Anisotrop: Gx Gy Gz Bsp: Bleistift
statt Strecke Winkel
GA
F (DM - 5)
G : Schubmodul [G] = Pa
: Winkel (klein : tan = )
F
d /2
p
FA
z
y
x
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 173
Torsion
F
M
Sonderfall der Scherung Verdrillung, klein Halten bei Antriebsachsen, Schrauben etc.
Kreisförmiger Querschnitt: klein
M R4 (DM - 6)
M = - D Hooke, Spiralfeder für Schwingungen M Drehmoment, R4 bringt "viel Steifigkeit"
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 174
5.6 Beispiele für Flüssigkeiten und Gase
Modellkörper: Ideale Flüssigkeit / Ideales Gas
Eigenschaften :
- Ideale Flüssigkeit : Form unbestimmt, Volumen bestimmt, Moleküle reibungsfrei verschiebbar
- Gas: füllt jedes Volumen aus, Moleküle reibungsfrei verschiebbar
Effekte: statische und dynamische Eigenschaften
5.6.1 Statik
Druck: p = F / A wie Festkörper, nicht vektoriell, wirkt in alle Richtungen
F in Druckgleichung nimmt wegen Eigengewicht zu ==> Auftrieb
Schweredruck Flüssigkeit
V = A h
p = m g / A = V g / A
= g h (DM - 7)
JAVA Applett: Schweredruck in Flüssigkeiten
Folgerungen:
- Flüssigkeitsspiegel horizontal wegen Schwerkraft
- Hydrostatisches Paradoxon:
Schweredruck unabhängig von Gefäßform
(h = const.)
h
h
p = co n s t
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 175
- Kommunizierende Gefäße
h = const.
Falls unterschiedlich: Druckdifferenz bis
Druck ausgeglichen, dann aber h = const.
"nichts" fließt mehr
- Staumauer
p = F/A = g h
F h
Uhren und Wassertiefe – Definitionen sind oft verwirrend !
Ta n k M e ßro h r
h =co n s t
hp = co n s t ==>
h
F
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 176
Kompressibilität
aus Festkörper: Druck bewirkt Volumenabnahme
pV
V
(DM - 8)
Kompressibilität = 1/K [] = 1/Pa
Phase / 1/Pa Modell
fest
10-11
Starrer Körper
(inkompressibel)
flüssig 10-9 inkompressibel
gas 10-4 kompressibel
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 177
Konsequenz aus Kompressibilität
Kolbendruck
p = const
F1 / A1 = F2 / A2
Modell Technik
Flüssigkeit inkompressibel Hydraulik
Gas kompressibel Pneumatik Preßluft
Anwendung: Kraftübertragung auch ‚um die Ecke’ wie bei elektr. Strom
beliebig krumme Leitungen, Vorteil gegenüber mechanischem Gestänge
Leitungsdichtigkeit: Hydraulik: kritisch, da Verschmutzung
Preßluft: unkritisch, nur Druckverlust
A1
A2
F1 F2
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 178
Schweredruck Gas
Schweredruck Gas komplizierter als Flüssigkeit wegen Kompressibilität
Säule komrimiert darunterliegendes Gas
kompressibel, T = const:
Barometrische Höhenformel: p = po e-Ch (DM - 9)
po 100 kPa Druck am Boden
C = 126 1/m Konstante
real: T const : Internationale Höhenformel
Wie ist dieses Bild entstanden ?
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 179
Auftrieb
entgegengesetzt Erdanziehungskraft
Fo
Fu
Fl
Fr = - Fl
h
, V
FA
FG
oben: kleinere Säule wie unten
rechts-links: hebt sich auf
Fu > Fo
FA = Fu - Fo
= mverdr g Newton, Masse verdrängtes Vol
= A h g Dichte, Durchschnittswert
= g V (DM - 10)
FG : FA Körper Beispiel
> sinkt Stein
= schwebt Mostwaage
< steigt Gas- , Heißluftballon
JAVA Applett: Auftriebskraft in Flüssigkeiten
Ein U-Boot vom Boden kann nicht auftauchen da Fu fehlt !
Theoretisch, da in Praxis runder Rumpf
Fo
Fu = 0
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 180
Ideales Gasgesetz
p V = n R T (DM - 11)
p V = N k T
n : Anzahl Mol, 1 Mol = 22,4 l z.B. 28g N2
R : Gaskonstante 8,3 J/Mol K
N : Anzahl Teilchen
k : Boltzmann Konstante 1,4 10-23 J/K
[T] = K absoluter Nullpunkt : 0 K
Ideales Gas nur Modell für höhere Temepraturen, da für T = 0 das Volumen Null wäre!
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 181
5.6.2 Dynamik
allgemein:
Strömungsfeld
komplex da vektoriell
Ge s ch w . v
A1
A2
M a s s e flu ß m
Transport von Materie durch Druckdifferenz analog: Ladung (Strom), Wärme Hydrodynamik
Vorr: inkompressible Materie, gilt auch für Gase bis ca. 1/3 Schallgeschwindigkeit
Materiestrom
Volumen V = A v t aus s = v t
Volumenstrom I = V / t = dV / dt = A v
Massefluß m = V
Massestrom m' = A v aus m / t
Fluß durch Flächenelement: m' = A v dA
analog anwendbar auf: - Ladungen (Strom)
- Wärmetransport
- Diffusion
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 182
Durchfluß durch Röhren
- technisch wichtigster Fall
- Massen- und Volumenerhaltung: m = const.
- da inkompressibel V = const.
A1
A2
v 1
v 2
Kontinuitätsgleichung
A v = const (DM - 12)
A1 v1 = A2 v2 A groß - v klein und umgekehrt
Bernoulli - Gleichung für horizontale Rohre
parallel zur Erdoberfläche
z
x
A1, v1
A2, v2
p1p2
rechts: langsamer als links wegen
Kontinuitätsgleichung
Bernoulli-Gleichung
p + ½ v2 = po = const (DM - 13)
Epot + Ekin
Die Bernoulli-Gleichung ist ein Erhaltungsgesetz, welches aus dem Energiesatz folgt.
Druckmessung
stat. Druck
Gesamtdruck
dynam. Druck
Rechts: Anwendung Staudruckmesser bei
Flugzeugen
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 183
Anwendungen der Bernoulli - Gleichung
1. Auslaufen aus Gefäß
h
v 2
p
1
2p
v 1
großes Volumen,
kleiner Ausfluß
h = const.
Druck Ort 1 2
Betriebs = Luftdruck p p
Schweredruck gh 0
Dynamischer Druck 1/2 v1² 1/2 v2²
v1 aus Kontinuitätsgleichung: A1 v1 = A2 v2
1/2 v2²( A2/A1)2 + g h = 1/2 v2²
A2 << A1 : g h = 1/2 v²
hg2v analog Freier Fall
2. Parfümzerstäuber
p L
v
pLuft = p + 1/2 v²
p < pLuft
Gewicht Wassersäule vernachlässigt
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 184
Dynamischer Auftrieb
Beispiel : Flügel
Weg länger
v größer --> p kleiner
dyn. FApo
pu
Folge aus Bernoulli
dyn. Auftrieb aus p = F/A
Strecke länger, damit kein Vakuum hinter
Flügel entsteht müssen beide Teile
gleichzeitig ‘ankommen’ : Kinematik s = v t
Bernoulli:
po + ½ vo2 = pu + ½ vu
2
p = ½ (vo2 - vu
2) > 0
Fadyn = cA /2 A v2 (DM - 14)
cA = Auftriebsbeiwert (vgl cW : Widerstandsbeiwert)
Frage zu obiger Skizze: Warum bzw. wie kann ein Flugzeug auf dem Rücken fliegen ?
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 185
Reale Strömungen
mit Reibung zwischen Molekülen
Fälle:
laminar turbulent
v nimmt zu
rechenbar ‘komplex’
Laminare Strömung in Rohren
v
R
r
Hagen-Poiseuillsches Gesetz
Flüssigkeitsstrom I = V / t
I p/l R4 (DM - 15)
l : Länge des Rohres
p : Druckabfall entlang l
Folgerung:
- Durchflussvolumen besser durch R- als durch p-Erhöhung steigern, da R4
- Druckabfall in Rohren
Ursache: Reibungsverluste
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 186
Übungsblatt Deformierbare Medien
1. Eine auf einer Platte senkrecht stehende Feder mit der Feder-konstanten D = 100 N/m ist 5 cm
gespannt. Auf Ihr liegt ein Gewicht (50g). Die Feder wird freigegeben, das Gewicht bewegt sich
senkrecht nach oben.
a) Welche Idealisierungen verwenden Sie?
b) Welche Bewegungsformen treten auf?
c) Welche Höhe oberhalb des Ruhezustandes der Feder erreicht das
Gewicht? 25 cm
d) Welche Maximalgeschwindigkeit erreicht das Gewicht, wo?
2. Ein Flugzeug hat ein Startgewicht von 100t. Wie groß muß die Flü-gelfläche minimal sein, damit
das Flugzeug überhaupt abheben kann?
a) statisch 10 m²
b) dynamisch (vstart = 300 km/h , cA = 0,01) 22000 m²
3. Wie hoch ist die maximale Förderhöhe einer Saugpumpe (vgl. Saugen mit Spritze). Warum
können Bäume höher wachsen? 10 m
4. Eine Feder der Länge L und der Federkonstanten D wird in der Mitte durchtrennt. Die beiden
Hälften werden an ihren losen Enden ideal miteinander verbunden. Wie groß ist die
Federkonstante D dieser 'Parallelschaltung', wenn vorher und nachher um dieselbe Strecke x
gedehnt werden soll? D = 4D
5. Wie lange kann ein Stahldrahtseil, welches an einem Ende aufge-hängt ist, maximal sein, bevor
es unter seinem Eigengewicht zer-reißt (Zugfestigkeit/Bruchspannung 0,7 kN/mm² , = 7
kg/dm³)?
10 km
6. Vergleichen Sie einen Vollstab mit einem Rohr bzgl. ihres Verhaltens bei Torsion (R = 2 cm).
Bsp. Ri = 1,5cm: 30% weniger Steifigkeit, 56% weniger Gewicht
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 187
6. Wellen (Waves)
Wellen: - "Schwingungen", welche sich ausbreiten
- räumliche und zeitliche Zustandsänderungen
- Energietransport
Versuche mit mechanischen und optischen Wellen im Internet :
- http://www-pluto.informatik.uni- oldenburg.de/~geo/unterrichtsprojekte/physik/Schwingungen%20und%20Wellen/Wellenmaschine.html,
- http://wwwfk.physik.uni-ulm.de/www_fk/german/OptikLinks/Optilink.htm
Wer's genau wissen möchte:
z.B. Langkau, Lindström, Schobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg
Anzahl der
Komponenten
Form Ausbreitung Bsp
wenige Schwingung ortsfest Pendel
1 Körper Eigenschwingung
'stehende Wellen'
im Körper Stimmgabel, Hui-Maschine
viele Wellen Fortpflanzung Schallwellen (Akustik)
Optik (em - Wellen)
Beschreibung:
Schwingung (Oscillation) Welle
Darstellungsarten:
Amplitude an einem Ort zu vielen
Zeitpunkten
Amplitude zu einem Zeitpunkt an
vielen Orten
y
t
y
t
y
1 Ort x
x
1 Zeitpunkt t
Ausbreitungsrichtung
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 188
Mechanik, Akustik:
Deformation greift auf Nachbarbereich über Fortschreiten der Deformation Welle
benötigt Übertragungsmedium z.B. Luft oder Metall
Bsp.: - Schallwellen, Oberflächenwellen (Wasser)
- Versuch: Stimmgabel Eigenschwingungen Wellen
Elektrotechnik (Funk), Optik : Elektromagnetische Wellen - funktioniert auch im Vakuum
JAVA Applett: Elektromagnetische Welle
Grundlage (Gleichungen „nur zur Info“)
Wellengleichung
- aus den Maxwellgleichungen
- 3D mit Vektoren
2
2
22
2
td
d
c
1
xd
d
(WE - 1)
- c: Ausbreitungsgeschwindigkeit
Problem: Randbedingungen
allgemeine Lösung
ctx
(WE - 2)
Gesucht: Funktion mit 2. Ableitung nach Zeit ~ 2. Ableitung nach Weg x
Fälle (Wellenformen, s.u.):
- Kugelwellen (freie Ausbreitung, z.B. Böller in Luft)
- Ebene Wellen (z.B. Laserstrahl)
- Wellen in Hohlleitern
- ...
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 189
6.1 Ebene Harmonische Wellen
‘einfachste’ Wellen mit kleiner, sinusmodulierter Amplitude sowie einer Richtung und Frequenz
z.B. Laserpointer
Ebene Harmonische Wellen
1D
vektoriell
y = yo sin(t kx + )
xktsinyy o
(WE - 3)
mit
Maximalamplitude yo
Kreisfrequenz T
2 ; f2 ;
f
1T ;
s
1
Periodendauer T ; [T] = s
Wellenzahl
2k
; m
1k
Wellenlänge ; [] = m
Phase (Bogenmaß)
+ : nach links fortschreitend (gem. DIN)
- : nach rechts fortschreitend
Ausbreitung
Polarisation: „hier nicht betrachtet“, zum Weiterlesen
Bestimmung von Werten aus Skizze :
- Wellenlänge = 4 (cm) m
1157
m04,0
2k
- Periodendauer = 4 (s) s
157,1
s4
2
- Amplitude z.B. : yo = 4 cm (Unterschiedliche Einheiten für Mechanik, Akustik, HF, Licht)
- Wellengleichung : x157t57,1sin4)t(y (mit den entsprechenden Einheiten)
y
t x
Wellental -berg
Periodendauer T
Wellenlänge
yo
1
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 190
Frequenz und Wellenlänge sind über die Ausbreitungsgeschwindigkeit verknüpft:
Ausbreitungsgeschwindigkeit (velocity of propagation)
[c] = m/s
c = f
(WE - 4)
c hängt ab von - Typ akustische- oder em-Wellen
- Medium (z.B. Luft, Wasser, ...)
- Frequenz (Dispersion, z.B. Spektralzerlegung Prisma)
- Wellenart (s.u.)
Bem.: - c ist Materialgröße
- em Welle im Vakuum oo
o
1c
300.000 km/s
- co entspricht max. Geschwindigkeit gem. Relativitätstheorie
- f bleibt konstant nach E = h , d.h. Wellenlänge 'passt' sich an
Ausbreitungsgeschwindigkeit Beispiele
Akustik (Schallgeschwindigkeit) Luft 330 m/s Eisen 5000 m/s
Elektromagnetische Wellen
(Lichtgeschwindigkeit)
Luft 300.000 km/s Glas 200.000 km/s
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 191
6.2 Wellenlänge und Frequenz (c = f )
(alle Angaben ca.-Werte)
6.2.1 Akustik cLuft = 330 m/s
Bezeichnung Frequenzbereich Wellenlänge
Infraschall < 20 Hz > 15 m
Hörbereich 20 - 20.000 Hz 0,015 - 15 m
Ultraschall > 20 kHz < 0,015 m
6.2.2 EM-Wellen cLuft = 300.000 km/s
Bezeichnung Frequenz /Hz Wellenlänge
- Strahlung
1019
3 10-11 m
Röntgenstrahlung
1017
3 nm
UV
1016
30 nm
sichtbares Licht
5 * 1014
600 nm
Infrarot
1013
30 µm
Mikrowellen
1010
3 cm
UKW
108
3 m
KW
107
30 m
MW
106
300 m
LW
105
3 km
sichtbares Licht
Farbe Frequenz /1012Hz Wellenlänge /nm
Blau 630 475
Grün 550 550
Rot 460 650
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 192
Zur Info: „Beginn“
Typische Darstellungsweise von Wellen mit mehreren (vielen) Frequenzen: Spektrum
Spektrum :
Energie, Amplitude, Intensität, ... über der Frequenz bzw. Wellenlänge, ggf. logarithmisch
Akustik
Empfindlichkeit des menschlichen Ohres Übertragungskennlinie Lautsprecher
Elektrotechnik / Hochfrequenztechnik
Frequenzgang OP - Tiefpass HF - Spektrum
1E-13
1E-12
1E-11
1E-10
1E-09
1E-08
1E-07
1E-06
1E-05
1E-04
1E-03
1E-02
1E-01
1E+00
1E+01
10 100 1000 10000
Sch
all
inte
nsit
ät
/W/m
²
Frequenz /Hz
Ohr: Kurven gleicher Lautstärke 100 Phon
50 Phon
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 193
Optik
Empfindlichkeit des menschlichen Auges und
Sonnenspektrum
LEDs und Laser
Glühlampe (A) und Normleuchtstoffröhre (D65) LCD-CCFL
Problem des menschlichen Farbsehens: alle 3 Spektren werden als 'weiß' interpretiert !
Das bedeutet: Im Gegensatz zur 'deterministischen' Technik können hier unterschiedliche
Eingangssignale dasselbe Ausgangssignal, nämlich 'weiß' hervorrufen.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 194
Definitionen bei Spektrallinien, Bandbreiten, ...
Grenzfrequenz Tiefpass (low pass filter)
Definition:
Abfall der Amplitude auf das 2
1 - fache ( 0,7)
bzw. um -3 dB des Maximalwertes
Die zugehörige Frequenz wird als
Grenzfrequenz fg definiert.
Bandbreite (bandwidth) / Güte
Bandbreite B = fgo - fgu
Amplitudenabfall s.o.
'Güte' Q bei Schwingkreisen etc. mit
Resonanzfrequenz fr : B
fQ r
Halbwertsbreite
typisch in der Optik, hier auch Linienbreite
genannt
teilweise auch Definition mit 1/e bzw. halbe
Fläche der Gesamtkurve
Zur Info: „Ende“
f
Ua
fg
Ue
1
0,707
ff gu
1
0,707
fgo
rel. Ua
rf
gu
1
0,5
go
rel. A
m
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 195
6.3 Wellenformen
Kugelwellen Geometrie Ebene Wellen
Welle
(weit weg)
Theorie
Beugung
Welleneigenschaften
berücksichtigen
0
kleine Ab-
messungen
Strahlen (Geometrische Optik)
Wellencharakter vernachlässigt
Bsp.
- Sonne
- China-Böller (in Luft)
- Wasserwelle’
- Spalt
- Laser
- Sonnenlicht auf Erde
- Megaphon
Dies sind nur 2 ideale Fälle, es gibt viele weitere
Formen
Bsp.: Richtfunkantenne
Geometrische Dämpfung bei Kugelwellen
²r
1~)r(I
Quellintensität breitet sich kugelförmig aus
Beispiel : I(x = 1m) = 1 ; I(x = 2m) = 0,25
Antenne
Abstrahl-charakteristik
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 196
Es gibt auch noch andere Arten von Wellen:
Wellenausbreitung nach dem Huygensschen Prinzip
Jeder Punkt einer Welle ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle. Eine neue Wellenfront ergibt sich
aus der Überlagerung aller Kugelwellen. Hiermit lassen sich viele Wellenphänomene wie
Reflexion, Brechung und Beugung in einfacher Weise quantitativ beschreiben.
JAVA Applett: Reflexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung Prinzip von Huygens)
Wellen-frontbeisehrvielenKugel-wellen
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 197
6.4 Wellenarten
Longitudinal (Longitudinal) Transversal (Transversal)
Bsp.
Akustik (Schall) (acoustics) - em-Wellen (Funk, Licht)
- Seil, Wasser
Ausbreitung „Medium erforderlich“ „geht im Vakuum“
Auslenkung /
Fortpflanzungs-
richtung
|| (parallel)
(senkrecht)
1 Zeitpunkt
y = po sin(t + kx) + pN
Longitudinalwellen breiten sich als
'Deformation' aus, die Amplitude
hat dieselbe Richtung wie die
Ausbreitungsrichtung:
- Stab nach Anschlagen
- Luft als Druckschwankungen
E-Feld synchron und
senkrecht zu B-Feld
Schwingungsrichtung Polarisation
Bsp.: - Polfilter
- H bzw. V-Polarisation
bei SAT-Signalen
y
x
niedriger hoher Druck
p
x
0
Normal-druck
pN
y
t
Seil 2D
y
x
Licht 3Dz
Ausbreitungsrichtung
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 198
6.5 Wichtige Begriffe und Definitionen der Wellenlehre
(hier vereinfacht für Ebene Wellen, Bezeichnungen und Abkürzungen s.o.):
Intensität
Quadrat der Amplitude (immer positiv) in der Optik
I = y²
(WE - 5)
Achtung
Die Frequenz der Intensität ist
wegen des 'Gleichrichteffektes'
scheinbar doppelt so groß wie
die der Welle
Superpositionsprinzip
nur kleine Amplituden, sonst nichtlineare Effekte
yr = y1 + y2 + ... = yi
(WE - 6)
Interferenz Phänomene bei der Überlagerung von Wellen (siehe auch Gangunterschied)
Gangunterschied
k2
(WE - 7)
Bsp: 2 Wellen gleicher Frequenz und Richtung, 1D
y1 = sin(t - kx)
y2 = sin(t - kx + )
yr = y1 + y2 = ?
Rechenregel:
sin + sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]
yr = 2 cos[/2] * sin(t - kx + /2)
Amplitude * Interferenzterm
( hier 90°)
Intensität
-1
-0,5
0
0,5
1
0 2 4 6 8 10
x, t
rel. Wert
sinx
sinx^2
Welle
y
x
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 199
typische Werte
/° /rad yr
0 0 2 0
90 /2 1,4 /4
180 0 /2
Bei der Überlagerung gelten für Wellen bzgl. Wellenlänge dieselben Gesetzmäßigkeiten wie für
Schwingungen bzgl. ihrer Phase:
Schwingungen Wellen m = 0, 1, 2, ...
Verstärkung
Gleichphasig
= 0°
konstruktive Interferenz
= m
Auslöschung
Gegenphasig
= 180°
destruktive Interferenz
2
1m2
(WE - 8)
Anwendung: - Beugung
- Interferometrie (Michelson - Morley, Relativitätstheorie)
- Lärmreduktion mit gegenphasiger Schallerzeugung
JAVA Applett: Interferenz zweier Kreis- oder Kugelwellen
Bsp: Gangunterschied bei 2 Quellen in einer Ebene
ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge ( 2121 kk )
Ir = (y1 + y2)² (binomische Formel)
= y1² + y2² + 2 y1 y2
erst quadrieren, dann summieren !
(Erklärung auch mit Pythagoras s.u.)
Phasendifferenz
= (t -kr1) - (t -kr2 +)
= k(r2 - r1) - = Gangunterschied
ztermInterferen
21
y
2
y
1r cosII2III22
21
unterschiedliche Länge von r1 und r2
Q1
Q2
Pr1
r2
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 200
Beispiele für Interferenz
Interferenz ebener Wellen
blau : Wellenberge
Interferenz zweier radialer Wellen (Wasser)
Erläuterung der Überlagerungsformel mit Pythogoras (zur Info):
I² = {y1 cos(1) + y2 cos(2)}²
+ {y1 sin(1) + y2 sin(2)}²
= y²1 cos²(1) + 2y1 y2 cos(1) cos(2) +y²2 cos²(2)
+ y²1 sin²(1) + 2y1 y2 sin(1) sin(2) +y²2 sin²(2)
mit sin² + cos² = 1 und sin sin und cos cos
= y²1 + y²2 + 2y1 y2 cos(1 - 2)
1
2
y1 cos(1)
y1 sin(1)
r1
r2
rr
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 201
6.5.1 Überlagerung von Wellen (Superposition)
Parallele Überlagerung: Schwebung
JAVA Applett: Schwebungen
Beachte Einhüllende mit niedrigerer Frequenz
Rundfunkübertragung : - AM : Amplitudenmodulation (s.o.)
- FM : Frequenzmodulation (Sendefrequenz ist amplitudenabhängig)
Vorteil: Signalschwankungen beeinflussen Empfang nicht
Frequenzverhältnis 9:10
t
Amplitude
Frequenzverhältnis 1:10
t
Amplitude
ÜberlagerungSignalfrequenz
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 202
Parallele Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz
Bei senkrechte Überlagerung : Lissajous-Figuren, z.B. Oszi im x-y-Betrieb (Normal y-t)
Gleiche Phase : Maximale Verstärkung
-2
-1
0
1
2
0 5 10 15 20
t
Amplitude
Überlagerung
Phase 180° (gegenphasig) : Auslöschung
-2
-1
0
1
2
0 5 10 15 20
t
Amplitude
Überlagerung
beliebige Phase
-2
-1
0
1
2
0 5 10 15 20
t
Amplitude
Überlagerung
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 203
6.6 Reflexion und Brechung (Reflection and Refraction)
Trifft eine Welle an der Grenze eines Medium auf ein anderes so wird sie völlig (z.B. Licht auf
Spiegel) oder teilweise (Licht auf Wasser) reflektiert; der übrige Teil wird gebrochen; oder alles
wird absorbiert (schwarze Oberfläche)
Versuche: - Reflexion Laserstrahl Spiegel bzw. Leinwand
- Brechung an Plastikplatten
- Echo an Wand
- Laser auf doppelte Fensterglasscheibe ergibt 4 sichtbare Reflexionen
JAVA Applett: Reflexion und Brechung von Licht / Reflexion und Brechung von Lichtwellen
(Erklärung Prinzip von Huygens)
Bemerkungen:
- Die nachfolgenden Gesetze gelten für akustische und em-Wellen.
- Intensitätsverteilung Reflexion - Brechung kompliziert !
(z.B. Langkau, Lindström, Scobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg)
Reflexion und Brechung treten auf, wenn eine Welle auf einen Übergang von einem Medium in ein
anderes trifft. Die Intensitätsverteilung zwischen gebrochenem und reflektiertem Anteil ist nur
mittels exakter Rechnung mit em-Wellen zu erhalten. Die räumliche Verteilung des reflektierten
Anteils hängt von dem Material und der Oberfläche ab, wie z.B. bei Glas, Spiegel oder Leinwand.
n2 > n
1
'
Reflexion
Brechung
Bsp.: Luft
Glas
ideal
diffuse Reflexion
n1
Intensitäts-verteilungReflexion
einfallender Strahl
c1
c2
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 204
6.6.1 Reflexion
Gerichtete Reflexion gilt nur Idealfall z.B. für Spiegel :
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
= '
(WE - 9)
(Reflexion nur in einer einzigen Richtung sichtbar)
Problem: Intensitätsverteilung bei Reflexion und Brechung (s.u.)
Anwendung Reflexion: Parabolspiegel
Wellenrichtung umkehrbar
verstärkter Empfang von Wellen (em / akustisch)
z.B. Sat-Schüssel, Vogelstimmen-Mikro
1 m² Antennenfläche 1 cm² Empfängerfläche
Aussenden "gerichteter" Strahlen:
Richtfunk (em), Megaphon,
Autoscheinwerfer, Taschenlampe
weitere: - Nierenlithotripter (Ellipse)
- Funkwellen: Reflexion an oberen Luftschichten
Überreichweiten (‘round the world in 0,1s’)
- Katakaustik bei Reflexion an Kreis, z.B. Kaffeetasse
Diffuse Reflexion bei ‚unebenen‘ Grenzflächen
z.B. bei Leinwänden und Papier (Reflexion von
allen Seiten sichtbar) s.u.
Weiterer Reflexionseffekt : Bi-directional Reflection Distribution Function (BRDF) :
Tritt z.B. bei Mähen
(Fußballplatz) auf. Ist ein
größeres Problem bei
Weltraumgestützter
Landwirtschaft-Beobachtung.
Empfänger / Sender
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 205
6.6.2 Brechung
Versuch: Reflexion Laserstrahl
Beugung an Plastikplatten
Brechung: Übergang von einem Medium in ein anderes
Gilt sinngemäß auch für Reflexion !
Reflexion: = '
n2 > n1 (unten optisch dichter)
c1 > c2 (oben schneller)
Huygenssches Prinzip:
unterschiedlicher zurückgelegter
Weg in oberem und unteren
Medium in derselben Zeit wegen
unterschiedlicher
Ausbreitungsgeschwindigkeit
JAVA Applett: Reflexion und Brechung von Licht
Snelliussches Brechungsgesetz
n: Brechungsindex (Index of Refraction)
Akustik
2
1
Optik
1
2
c
c
n
n
sin
sin
(WE - 10)
n ( : Dielektrizitätskonstante) : Zusammenhang Optik - ET / hoch- niedrigfrequent
Wellenlängen- bzw. Frequenzabhängigkeit : Dispersion: n = n() = n(f), z.B. Regenbogen
Dielektrizitätskonstante : r = r(f) in der ET
Bsp: Reflexion: Bild im See, am Fenster, Echo, Reflexion an Fensterglas ca. 4%
Brechung: Stab ins Wasser, "Knick"
n1 c1
n2 c2
Weg und in gleicherZeit zurückgelegtin Medium 1 und 2
Wellenfront
Lot
2
1
s
s1
c
2c1
s2
s
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 206
Medium Brechungsindex für = 600 nm
n = cvakuum / cmedium ; n = n()
Glas 1,5
Luft 1,003 nVakuum = 1
Wasser 1,333
Diamant 2,4
Bsp: Luft Wasser = 30° = 22°
zum Weiterlesen : Doppelbrechung (Birefringence)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 207
Totalreflexion (Total Reflectance)
- tritt auf bei Übergang von optisch dichterem in optisch dünneres Medium
- bei einem bestimmten Winkel wird der einfallende Strahl nur noch in der Grenzschicht geleitet
- bei größeren Winkeln tritt der Strahl nicht ins dünnere Medium über Totalreflexion
1
2g
n
nsin Totalreflexion für alle g
Anwendung: Prisma
Lotwinkel hier 45° > g (38°)
nur Reflexion, keine Brechung, Erklärung: komplexe Wellenoptik
Medium Grenzwinkel zu Luft
Diamant 23°
Glas 38°
Wasser 49°
dichter n1
dünner n2 < n1
Totalreflexion
g
45°
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 208
Anwendung der Totalreflexion
Lichtleiter - Glasfaserkabel
kann auch gebogen werden solange
Totalreflexionsbedingung erfüllt bleibt n1
n2 < n1
10 µm
nicht, da Totalreflexion
‚Sprung‘ des Brechungsindexes
Innen- typ. 62,5 µm
Achtung: Unterschiedliche Laufzeiten !
‚allmähliche‘ Änderung des Brechungsindexes
typ. 62,5 µm
‚Sprung‘ des Brechungsindexes,
typ. 9 µm, deshalb praktisch kein Reflexionseinfluß
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 209
Intensitätsverteilung
Bsp: Durchgang durch Glas
Absorption durch Eindringen in Material
Intensitätsabnahme bei Ausbreitung in einem
Medium üblicherweise als e-Funktion
Absorption
: Absorptionskoeffizient [] = 1/m
d : Eindringtiefe [d] = m
d
)refeingeb eAAA
(WE - 13)
Der Absorptionskoeffizient ist wellenlängenabhängig : = ()
Beispiel: Der menschliche Körper ist für sichtbares Licht undurchdringbar, nicht aber für
Röntgenstrahlung !
I
x
Luft Glas Luft
1
einfallend
reflektiert
durch-
tretend
absorbiert
reflektiert
reflektiert
(übertrieben dargestellt)
I
dVakuum absorbierendenMedium
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 210
Reflexion in Abhängigkeit von der Einfallsrichtung
senkrechter Einfall :
22
1'n
1'nrLuftgegenOberfläche
n'n
n'nradflexionsgrRe
typischer Wert Luft - Glas r 0,05 (5%)
schräger Einfall :
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 211
6.6.4 Wellenbetrachtung der Reflexion
Festes Ende (mechanisch) bzw. optisch
dichteres Medium
Loses Ende (mechanisch) bzw. optisch
dünneres Medium
Phasensprung um
Wellenknoten
keine Phasensprung
Wellenbauch
Wellenknoten : Amplitude immer Null, auch Schwingungsknoten
Wellenbauch : hier tritt die Maximalamplitude auf, auch Schwingungsbauch genannt
t t
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 212
Versuch: mechanische Transversal-Wellenmaschine (fest: unten festhalten bzw. lose)
hieraus ergeben sich die Gesetze für Wellen in begrenzten Medien.
Eine gute Simulation und Visulisierung in Internet findet sich unter :
http://www.muk.uni-hannover.de/~finke/physlet/waves/wave_refl.html
Zeitlicher Verlauf : Bei T = T/4 ist der Phasensprung um bei festem Ende zu erkennen
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 213
6.7 Wellen in begrenzten Medien / Stehende Wellen
Def: Wellen (hier 2) die gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung das gleiche Medium
durchlaufen überlagern sich zu einer stehenden Welle.
Voraussetzung: Amplitude, Frequenz konstant und feste Phase
Am häufigsten geschieht dies durch Reflexion einer ebenen Welle an einer Grenzfläche; dies gilt
sowohl an dichteren/festen als auch an dünneren/losem Medium/Ende.
Beispielrechnung:
y1 = sin(t - kx) nach rechts
y2 = sin(t + kx) nach links
yr = y1 + y2 = 2 coskx sint
Das ist eine Sinusschwingung mit ortsabhängiger Maximal-Amplitude (k = 2 /)
Simulation im Web : - http://www.physiknetz.de/special/java/physik/phys/stlwellen.htm
- http://www.schulphysik.de/physik/mech/swell/
Wellenknoten -bauch
x
y
2
2cos(kx) = 0 = 1
sin( t) = 1
sin( t) = 0
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 214
JAVA Applett:
- Stehende Welle (Erklärung durch Überlagerung mit der reflektierten Welle)
- Stehende Längswellen
Was passiert, wenn man beispielsweise eine Saite anzupft ?
Die Phänomene der Eigenschwingung bei festem und losem Ende können sehr schön mit einem
Stab oder Lineal ausprobiert werden.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 215
In einem Medium begrenzter Länge L kann sich eine Stehende Welle (zeitlich und örtlich
konstante Überlagerung einer Welle mit sich selbst) nur ausbilden, wenn nachfolgende
Bedingungen erfüllt sind:
'Enden' Eigenschwingung
(Eigenfrequency))
1. Oberwelle
(Second Harmonic)
Wellenlänge
(Wave Length)
2 freie
Bsp.: Leerrohr
2 feste
Bsp.: Gitarrensaite
f2f;L 11
(WE - 14)
n
n
n
cf
1n
L2
n = 0, 1 , 2
Fest + frei
Bsp.: Blasen über
Sprudelflasche
f3f;L3
411
n
n
n
cf
1n2
L4
Obige 'Bilder' erhält man durch Erfüllen der Randbedingungen (fest, lose) unter Berücksichtigung
von Wellenknoten (Intensitätsminimum) und -bäuchen (Intensitätsmaximum) sowie Einpassen der
Wellenlängen bzw. deren Bruchteilen.
Anwendung: - Musikinstrumente (z.B. Orgelpfeifen, Klavier, Gitarre)
- Optik : Resonator, Laser
- Antennen (z.B. UKW : 100 MHz 3 m /4-Antenne l = 75 cm)
Warum singen Männer lieber in der Badewanne (L = 1,8 m) , Frauen im WC (L = 1 m) ?
Resonanz mit 2 festen Enden: Männer haben eine tiefere Stimme größere Wellenlänge
L
cf1 ergibt Stehende Welle für Badewanne mit 180 Hz bzw. WC mit 330 Hz, etc.
A
xL
Wellenbauch -knoten
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 216
Warum kann man Musikinstrumente unterscheiden, auch wenn sie alle
denselben Ton (z.B. Kammerton 440 Hz) spielen ?
Die unterschiedliche Verteilung der Oberwellenintensitäten 'macht' den Klang eines
Musikinstrumentes (Skizziert, real keine scharfen Peaks).
rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Trompete rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Horn
rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Oboe rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Clarinette
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 217
6.8 Doppler - Effekt (Doppler Effect) (zur Information)
- tritt auf, wenn sich Wellenerreger (Quelle) und Beobachter relativ zueinander bewegen
- Effekt: Frequenzänderung
Versuch: Simulation am PC, bewegte Stimmgabel auf Pendel
JAVA Applett: Doppler-Effekt
Es gibt 2 Fälle
a) Ruhende Quelle, bewegter Beobachter
+ : Beobachter nähert sich der Quelle
- : Beobachter entfernt sich von Quelle
c
v1ff B
QB
(WE - 15)
Bsp: Zug - Übergangs-Glocke
fQ = 440 Hz (a) ; vB = 30 m/s , c = 330 m/s
Zug nähert sich: fB = 480 Hz ; Zug entfernt sich: fB = 400 Hz f = 80 Hz Terz
ruh en de Q ue lle
ruh en de r B eo ba ch ter
v
b ewe gte r B eo ba ch te r
T : Z e i t zw is chen 2 W ellenbäuc hen
T =c
T =c + v
0
0,5
1
1,5
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fre
qu
en
z r
ela
tiv z
ur
au
sg
esan
dte
n
Fre
qu
en
z
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
B entfernt sich
B nähert sich
Doppler Effekt : Ruhende Quelle - Bewegter
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 218
b) Bewegte Quelle, ruhender Beobachter
+ : Quelle entfernt sich vom Beobachter
- : Quelle nähert sich zum Beobachter c
v1
ff
Q
QB
(WE - 16)
pro Zeiteinheit kommen mehr Wellen an als bei ruhender Quelle
Doppler Effekt bei bewegter Quelle ist nichtlinear :
Bsp: Verkehrs-Radar
fQ = 10 GHz , vQ = 30 m/s , c = 3 108 m/s fB = 10,000001 GHz f = 1 kHz
Beispiel: - Durchbrechen der Schallmauer (s.u.)
- Einsatzfahrzeuge (Martinshorn)
Anwendung: - Geschw. Messung Radar
- Astronomie zur Bestimmung von Planetengeschwindigkeiten
be w eg te Q ue lle
ruhender Beobachter
v
0
0,5
1
1,5
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fre
qu
en
z r
ela
tiv z
ur
au
sg
es
an
dte
n
Fre
qu
en
z
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Q entfernt sich
Q nähert sich
Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) -
0
4
8
12
16
20
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fre
qu
en
z r
ela
tiv z
ur
au
sg
es
an
dte
n
Fre
qu
en
z
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Q entfernt sich
Q nähert sich
Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) -
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 219
Obige Gesetze für den Doppler Effekt gelten
- für akustische und em-Wellen
- nur Spezialfall : Quelle und Beobachter auf einer Geraden, einer ruht, anderer bewegt sich!
Doppler-Effekt, falls sich Quelle und Empfänger nicht auf einer Geraden bewegen
c
cosv1ff Q
QB
mit als Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor der Quelle und der Verbindungsgeraden Quelle
– Empfänger.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 220
Machscher Kegel () / Schallmauer (Sonic Barrier)
Bei schnell fliegenden Flugzeugen entsteht der sog. Machsche Kegel, dessen Spitze beim
Durchbrechen der Schallmauer 'durchstoßen' wird, d.h. 'der Schall kommt nicht mehr nach !'
‚Klappt‘ auch im Wasser :
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 221
7. Optik (Optics)
7.1 Anwendung von Reflexion und Brechung in der Optik
Effekt: Reflexion und Brechung Richtungsumlenkung
Spektralzerlegung durch Dispersion n = n():
gilt auch für Linsen und das Auge Unschärfe bei Farbbildern !
Reflexion an Spiegel
weiß
Prisma
spektralzerlegt
Dispersion
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 222
7.1.1 Optische Effekte in der Atmosphäre
Prinzip: wellenlängenabhängige Brechung des Sonnenlichtes (Dispersion)
Himmelsblau
Rayleigh - Streuung
Sonnenauf- / untergang
(vereinfachende Erklärung)
Regenbogen (Rainbow)
1 Reflexion 2 Reflexionen (intensitätsschwächer)
Erde
weiß
Luftweiß Luft
Erde
weiß
42°
Sonne
Regentropfen
Hauptregenbogen 42° Nebenbogen 52°Farbabfolge umgekehrt
weiß
rotations-
symmetrisch
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 223
Regenbogen
Wie ist dieses Bild entstanden ?
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 224
Spektrum des weißen Sonnenlichtes inkl. Treibhausproblematik (CO2)
Spektralzerlegung von weißem Licht
Der rechte und linke Rand (li.) erscheint dunkel, da
das Auge dort relativ unempfindlich ist im
Gegensatz zu Photodioden (re).
Die Spektralzerlegung (d.h. Zerlegung nach 'Frequenzen' - Analogie zur Fouriertransformation)
geht auch mit (optischen) Spalten oder Gittern !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 225
7.2 Geometrische Optik
Definition / Näherung: - Licht breitet sich strahlenförmig und geradlinig aus,
- 'Licht' besitze keine Welleneigenschaften, d.h. 0
Bsp: Laser und Sonnenlicht erfüllen die Näherung gut
Grenze der Geometrischen Optik:
kleine Abmessungen im Bereich der Wellenlänge, z.B. Spalte
Näherung dicke Linsen (real) dünne Linsen
Prinzip von Linsen (lens):
durch geschickte Formgebung unter
Anwendung der Brechung (s.o.) werden
nutzbare Effekte erzielt !
Wichtigste Linsenformen bikonvex Bikonkav
Symbol
Funktion: (Normalfall)
Umgebung optisch dünner
Sammellinse
Zerstreuungslinse
" " dichter Zerstreuungslinse Sammellinse
Nur zur Info:
Effekte an Linsen Erwünscht Entsteht durch Abhilfe
Brechung +
Reflexion - Vorder- und Rückseite Vergütung
Absorption - molekulare Absorption Spezialglas
Streuung - Verunreinigungen Hochreines Glas
Dispersion - Material Spezialglas
Thermische Ausdehnung - Material Spezialglas
Optimierungsmöglichkeiten meist nicht gleichzeitig realisierbar
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 226
Beispiel
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 227
Allgemeine Regeln zur Linsenkonstruktion (DIN 1335)
- Lichtrichtung von links nach rechts
- Gegenstand: y (früher G)
- Bild y' (früher B)
- y-Achse nach oben positiv
- f Brennweite
- F Brennpunkt
- a Gegenstandsweite (früher g)
- a' Bildweite (früher b)
- Lichtweg umkehrbar
Abbildungsgleichung
nur je ein Brechungsindex
für Linse und Umgebung
Abbildungsmaßstab
a
1
'a
1
f
1
(OP - 2)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Bildweite a'
Gegenstandsweite a
Abbildungsgleichung
Objektiv : Objekt reell, Bild reell, umgekehrt
Lupe : Objekt reell, Bild virtuell, aufrecht
Objekt virtuell, Bild reell, aufrecht
normiert auf f = +1
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 228
7.2.1 Sammellinse als Dünne Linse
Kennzeichen: Brennweite f > 0 ; z.B. + 30mm
Konstruktionsprinzip: - Parallelstrahl F' - (Brennpunkts-) Strahl
- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse behält Richtung bei
Fall Konstruktion Bild Beispiel
a < f
virtuell,
vergrößert,
aufrecht
Lupe
f < a < 2f
reell,
vergrößert,
umgekehrt
Projektor
a > 2f
reell,
verkleinert,
umgekehrt
Fernrohr
JAVA Applett: Bilderzeugung durch Sammellinsen
Die Linsen sind mit ihrer Form gezeichnet, die Konstruktion vernachlässigt aber ihre Dicke !
F F'
aa'
f
yy'
optische
Achse
F
f
aa'
y'
yF'
2f
F
f
aa'
y'
yF'
2f
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 229
7.2.2 Zerstreuungslinse
Kennzeichen f < 0 ; z.B. - 30 mm
Anwendung z.B. Galileisches Fernrohr
Aufrechtes virtuelles Bild ; verkleinert
Konstruktionsprinzip:
- Parallelstrahl mit Strahl von F (Brennpunkt)
ausgehend
- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse
unverändert
weiterer Linsentyp: Fresnel-Linsen (flach, z.B. Overhead-Projektor, Campingbus, Leuchtturm)
Links Strahlengang : Entscheidend für die Wirkung einer Sammellinse ist nicht deren Dicke,
sondern die Oberflächenkrümmung. Im Prinzip stellt die Fresnel-Linse eine konvexe
Sammellinse dar, bei der außerhalb der Mittellinse nur dünne ‚Oberflächenteile‘
verwendet werden
Mitte Draufsicht
Rechts Anwendung bei Leuchttürmen als 360° Linse
F'
y'
F
f
aa'
y
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 230
7.2.3 Linsensysteme (zur Information)
Zweck Vergrößerung: Mikroskop, Lupe kleine Gegenstände ; Fernrohr kleine Winkel
Limitierung: Beugung (Wellencharakter kann nicht vernachlässigt werden, s.u.)
Lupe (Magnifier)
Vergrößerung der Lupe
f
sv
mit s als deutliche Sehweite des
unbewaffneten Auges
üblicher Wert : s = 25 cm
Die Lupe ist das einfachste optische Instrument zur Vergrößerung von Gegenständen, die sich
Endlichen befinden. Am einfachsten wird der Gegenstand in der Brennebene einer Sammellinse
positioniert. Diese Lupenlinse verwandelt dann die Lichtstrahlen von allen Gegenstandspunkten zu
Parallelstrahlen, die von der Augenlinse wieder auf ihre bildseitige Brennebene abgebildet werden.
Damit wir dieses Bild scharf sehen, muß die Augenlinse so akkomodiert sein, daß sich diese
Brennebene gerade auf der Ebene der Retina befindet. D.h. wir stellen unser Auge auf das Sehen
von Gegenstände im Unendlichen ein. Die ist die Ruhestellung des Auges und daher am
wenigsten anstrengend.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 231
Mikroskop (Microscope)
Vergrößerung des Mikroskopes
OkularObjektiv ff
stv
mit s als deutliche Sehweite des
unbewaffneten Auges
üblicher Wert : s = 25 cm
Das Mikroskop vergrößert den Sehwinkel.
Bei einem Mikroskop (2* Sammellinse) ist ein Gegenstand sehr nahe am Brennpunkt der sog.
Objektivlinse, es wird ein stark vergrössertes Bild erzeugt. Dieses Bild (Zwischenbild) wird in einer
Ebene im Abstand t vom zweiten Brennpunkt des Okulars erzeugt. Dieses Zwischenbild wird von
der zweiten Linse (Okular) weiterverarbeitet. Das Okular ist so plaziert, dass das von der ersten
Linse erzeugte Bild genau auf seinem Brennpunkt erzeugt wird. Die Strahlen aus der er-sten
Linse, dem Objektiv, werden nun so gebrochen, dass sie divergent sind. Dies entspricht der Lupen
- Funktion. Das Auge formt wieder ein reelles Bild, das nun aber sehr stark vergrössert ist.
Fernrohr (Telescope)
(Keplersches Fernrohr)
Vergrößerung des Fernrohres
Okular
Objektiv
f
fv
Je größer die Objektivbrennweite und je
kleiner die Okularbrennweite desto
größer die Vergrößerung.
JAVA Applett: Keplersches Fernrohr
Annahme : Gegenstände befinden sich im Unendlichen, d.h. die Lichtstrahlen von diesen
Gegenständen erreichen das Fernrohr als Parallelstrahlen. Die Objektivlinse ist eine Sammellinse,
die ein reelles Bild des Gegenstands in ihrer bildseitigen Brennebene entwirft. Dieses
Zwischenbild liegt in der Brennebene der Okkukarlinse.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 232
7.3 Beugung (Diffraction)
Geometrische Optik: : Wellenausbreitung mit geradlinigen Strahlen
7.3.1 Prinzip
Exp: Laser - Licht geradlinig - Geräteachse - kreisrunder Fleck auf Wand -Schirm
Spalt in Strahlengang
Geom. Optik: kleinerer Fleck aufgrund Abschattung
Spalt verkleinern: Aufweitung mit helle und dunkle Streifen
Beobachtung:
- Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung an Hindernissen
- Licht als Welle
Mathematische Behandlung komplex.
Qualitatives Verständnis: Überlagerungs- und Ausbreitungseigenschaften von Wellen mit
- Superpositionsprinzip Überlagerung mehrerer Wellen an einem Ort
analog Überlagerung von Schwingungen
I = I1 + I2 + I3 + ...
-Interferenz: Wechselwirkung einer Welle mit sich selbst
Extremfälle 2 Wellen gleicher Frequenz
- effektiver Gangunterschied = 0 in Phase max. Verstärkung
- Einzelamplituden gegenphasig = /2 : Auslöschung
--Ausbreitung von Lichtwellen - Huygensches Prinzip:
Bsp: Wasserwellen - hineingeworfener Stein
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 233
Abweichung von Geometrischer Optik
Licht als Welle
optischen Instrumente mit endlichen
Öffnungsweiten: Beugung beschränkt
Auflösungsvermögen
Beugungsart a, b Licht Beschreibung
Fresnel klein divergent Komplex
Fraunhofer
a, b <
parallel
ggf. Sammellinsen
Winkel 'einfach'
7.3.3 Fraunhofersche Beugung
7.3.3.1 Einzelspalt
JAVA Applett: Beugung von Licht am
Einfachspalt
Beugungswinkel
Gangunterschied der Randstrahlen
= BC = d * sin
Näherung: Spaltbreite d << Spaltlänge l
a
Spalt Schirmb
Beugung
geom.
Optik
x
0
xmax
A
B
Cd
einfallendeWellenfront
nicht gebeugte Wellenfront
gebeugteWellenfront
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 234
Erklärung für die dunklen Stellen
Huygensches Prinzip:
Jeder Punkt im Spalt ist Quelle einer neuen
Elementarwelle. Am Hindernis werden die
Wellen abgelenkt
Oberer und mittlerer sowie mittlerer und
unterer Strahl sind gegenphasig und
löschen sich somit aus !
Auslöschung bei Abstand d/2 BC = d.h. Gangunterschied = /2
BC: = d sinmin = 1. Minimum
Bsp: d = 10 min 6°
Geometrische Optik d >> oder 0 Strahlen
weiteren Minima Gangunterschied ganzzahliges Vielfaches von
Minima (dunkel)
Beugungsordnung n = 1, 2, ...
n = d sinmin
(OP - 3)
A
BC
d/2
min
Auslöschung !
Auslöschung !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 235
Beobachtung Versuch :
Zwischen Minima helle Stellen : Maxima
Superpositionsprinzip: Gangunterschied zwischen max. Verstärkung und Auslöschung /2
Maxima (hell)
Beugungsordnung n = 0, 1, 2, ...
(n + 1/2) = d sinmax
(OP - 4)
Die Intensität der Beugungsmaxima - noch deren Verlauf können aber (rein geometrisch) nicht
hergeleitet werden. Zu vermuten ist aber ein geringere Helligkeit des 1. Maximums, da sich die
beiden unteren Strahlen auslöschen !
A
B
Cd/3
max
Verstärkung !
Auslöschung !
32
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 236
Beispiel Chip einer- Digitalkamera
- Chip 5 mm breit = 1000 Pixel, d.h. 1 Pixel = 5 µm breit
- Linsendurchmesser d = 5 mm (als Spalt)
- Abstand Linse - CCD : b = 10 mm
- Annahme: Heller Spot in Pixelmitte
- Trifft das 1. Beugungsmaximum ein danebenliegendes Pixel ?
Entspricht der Ort für das erste Maximum (xmax) der Pixelbreite (5 µm) ?
- Geometrie : tan = xmax/b
1. Maximum 1/2 = d sinmax =d tan für kleine Winkel : 1/2 = d xmax / b
grünes Licht : 0,550 µm /2= 5mm xmax / 10mm
xmax = 0,55 µm
d.h. Pixelpitch liegt um einen Faktor von 10 über dem 1. Beugungmaximum !
selbst wenn gebeugtes Licht auf ein benachbartes fällt, wäre die Intensität
max. 5% des durchgehenden Strahles (s.u.). Dies wird relevant, wenn ein Pixel
100% 'hell' und das benachbarte ganz 'dunkel' sein soll, was üblicherweise nur
bei Testbildern vorkommt.
Beugung von polychromatischem Licht
polychromatisch: Licht mit 'vielen' verschiedenen Wellenlängen, z.B. Sonnenlicht
jede Wellenlänge wird an einen anderen Orte gebeugt, d.h. weißes Licht wird ‘farbig’
analog zur Spektralzerlegung durch Dispersion (s.o.)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 237
Intensität
winkelabhängiger Intensitätsverlauf nicht ermittelbar aus den bisherigen Überlegungen
mathematische Herleitung aus Kirchhoffschen Formeln ist komplex, nachfolgend vereinfacht:
Berechne die in P ankommende Wellen
(auf '1' normierte Amplitude) :
ro : yo = sin(t - kro)
r1 : y1 = sin(t - kr1)
Gangunterschied = z sin
mit z als Koordinate
r1 mit r0 ausgedrückt
r1 = sin(t - k{ro + })
r1 = sin(t - kro – k z sin)
Überlagerung aller Elementarwellen des Spaltes:
- Aufsummieren aller Wellen
- für 'sehr viele' Wellen Übergang Summe - Integral :
(Vgl. Herleitung Integral durch Ober- und Untersummen von Rechtecken)
Gangunterschied
P
- d/2
+ d/2
r0r1
z
0
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 238
sin2
kdcossin
2
kdcos
sink
1
sinzkkrtcossink
1dzsinzkkrtsiny
2
d
2
d
o
2
d
2
d
o
mit cos(-) - cos(+) = 2 sin sin
sind
sin2
kdxmit
x
xsind~y
sin2
kd
sin2
kdsin
dkrtsin
sin2
kdsinkrtsin
sink
2y
o
o
Intensitätsverlauf Einzelspalt
hyperbolische Abnahme der Helligkeitsmaxima mit 1/x²
x = 0 nach L'Hopitalscher Regel I = 1
x entspricht Formel für Minima * wegen Sinus
sind
x
x
xsin~I
2
(I(0) 1)
(OP - 6)
Zum Weiterlesen: Babinetsches Prinzip
Öffnungen und Hindernisse haben komplementäre Beugungsbilder
Versuch Spalt mit Draht vertauscht
es ergibt sich dasselbe Beugungsbild,
nur ist 'hell' und 'dunkel' vertauscht
x
I
0 xmax
~ 1
x2
Geometrische Optik
Beugung
5 %
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 239
7.3.3.2 Gitter (Grid)
Versuch: Einzelspalt - breite Streifen
Gitter: scharfe Punkte, groß = Hauptmaxima
Verstärkung :Gangunterschied =
analog Minimum Einzelspalt
g >> d : Spaltbreite << Spaltabstand
Spalte = Punktquellen
Hauptmaxima beim Gitter m = 0, 1, 2, ... m = g sinmax (OP - 7)
durchgehender Strahl m = 0 = Hauptmaximum 0. Ordnung
Anwendung : - Messung von
- Strukturuntersuchungen mit Röntgenstrahlung Kristallgitter
Bsp: Gesucht: Beugungswinkel für Maximum 1. Ordnung bzw. Wellenlänge aus Ort
g = 1/500 mm, m = 1 , = 500 nm
= g sinmax
max = arcsin(/g) = arcsin(500 10-9 500 10-3)
= arcsin(0,25) 0,25
max 15°
tanmax = xmax / b und = g sinmax
A
B
Cd
g
max
Verstärkung !
Schirmb
0
xmax
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 240
Zum Weiterlesen: Moiré - Streifen
werden erzeugt durch zwei nicht deckungsgleich aufeinanderliegende Gitter
Teilungsmoiré
Die Gitterkonstanten sind leicht
unterschiedlich - also 'verstimmt'.
Wie bei einer niederfrequenten Schwebung
(s.o.) im Zeitbereich tritt hier eine
'niedrigere' Ortsfrequenz auf.
Moiré-Streifenabstand: 12
12M
gg
gga
Verdrehungsmoiré
entstehen, wenn 2 Gitter mit gleicher
Gitterkonstante um den Winkel
gegeneinander verdreht sind.
Moiré-Streifenabstand:
g
aM
Auftreten der Moiré-Streifen bei Bildschirmen mit 'festen' Pixelraster (= Gitter) und Darstellung von
Bildinhalten mit gitterähnlicher Struktur
- 'Pepita' - Anzüge im Fernsehen
- schlechter Abgleich / Einstellung bei LCD-Videobeamern mit Analogeingang
- Digitale Bildaufnahme (Foto, Scanner [Pixel per Inch]) und Wiedergabe (Pixelraster)
am
am
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 241
Moire bei sw-Bildern aufgrund
von Rasterung.
Beispiel: Eingescanntes Bild
bei hoher Scan-Auflösung
(links) und bei Scan-
Auflösung im Bereich der
Druckauflösung (rechts)
Moiré verursacht bei Farbbildern außerdem Farbrauschen
Vergrößert Original
Bilder mit Digitalkamera von
Bildschirm Streifenmuster
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 242
Zusammenfassung
Fraunhofersche
Beugung
Einzelspalt
Gitter
(viele Spalte / mm)
Intensitätsverlauf
2
x
xsin~I
; ( I(0) 1 )
scharfe, diskrete Maxima
Formel für Maxima
b
xtanarc max
n = 1, 2, 3, ...
b : Abstand Spalt -
Schirm
d2
1nsin
(OP - 2)
d: Spaltbreite
gnsin
(OP - 3)
g: Abstand Gitterlinien
Fouriertransformation als Analogie zur optischen Beugung
mathematische Transformation eines
Rechtecksignales im Zeitbereich
Spaltfunktion im Frequenzbereich
Beugungsbild eines Spaltes entspricht Fouriertransformation eines Rechteckes mit der
Durchlässigkeit (0 1 0)
Die geometrische Optik erzeugt ein schmales und scharfes Rechteck, hier als Linie dargestellt
geometrische Optik
0 xmax x
Beugung
I I
x
geometrische Optik
0 xmax
f
Fouriertransformation
y(t) | F(f) |
t
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 243
Gegenüberstellung von Fouriertransformation und Beugung
Fourier / Beugung Zeit- / Ortsbereich Frequenz- / Wellenlängenbereich
Rechtecksignal
Gitter
2 Reckeckimpulse
Doppeltspalt
1 Rechteckpuls
Einzelspalt
Hieraus ist ersichtlich, daß das zugrundeliegende physikalische Prinzip dasselbe ist !
A
t, x
... ...
A
Frequenz, Wellenlänge
A
t, x
A
Frequenz, Wellenlänge
A
t, x
A
Frequenz, Wellenlänge
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 244
Bsp: Beugung an Linsen begrenzt das Auflösungsvermögen
Fernrohr auf 2 dicht benachbarte Sterne (Lichtquellen) gerichtet
Beugung führt zur Verbreiterung der Bilder
im Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-Maxima
nur 1 hellen Fleck ; Analoges gilt für das Mikroskop
Beugungsbild zweier
benachbarter Quellen
Überlagerung in einem verbreiterten
'Punkt'
Fernrohr 2 dicht benachbarte Sterne 2 Lichtquellen
Beugung Verbreiterung der Bilder
Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-
Maxima
nur 1 hellen Fleck (Mikroskop analog)
Beugungsbild einer Linse
mit 2 Lichtquellen (z.B. Sterne)
‚Rutschen‘ die Lichtquellen enger
zusammen (unten links und rechts)
können Sie nicht mehr
unterschieden (‚aufgelöst‘) werden !
Linse
Bildebene
Intensität
praktisch nichtunterscheidbar !
ÜberlagerungLicht zweierbenachbarterObjektez.B. Sterne
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 245
Anwendung der Beugung
- Messtechnik
- Röntgenuntersuchung (Werkstoffkunde)
Bsp: DNA (Watson-Crick)
Materialuntersuchungen mit Röntgenstrahlen
Voraussetzung: Beugung am Punktgitter
Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz
muß erfüllt sein:
n = 2 d sin mit n = 1, 2, 3, ...
Laue-Aufnahme von NaCl schwarze Punkte = Interferenzen
d
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 246
Beispiel für Untersuchungen mit Beugung: Muskel
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 247
Übungsblatt Wellen/Optik
1. Berechnen Sie die erhöhte Eingangsleistung eines Parabolspiegels (A = 1m²) für einen 1cm²
großen Empfänger bei parallel einfallender Strahlung. Wie hoch ist der Gewinn (dB) bei 1W
Leistung. Versuchen Sie die geometrischen Verhältnisse mittels Computer nachzubilden (y=x²,
Tangentensteigung - Reflexionsbedingung). 60dB
2. Zeichnen Sie das Reflexionsbild für einen Halbkreis für senkrecht einfallende parallele Strahlen
(Katakaustik). Gut zu erkennen bei seitlich beleuchteter Kaffetasse.
3. Zeichnen Sie die Winkel für das 1. Maximum eines Einzelspaltes für die Wellenlänge 300nm
500nm und 700nm in Abhängigkeit von der Spaltbreite (0-30mm) auf. Warum wird bei der
Waferbelichtung möglichst kurzwelliges Licht verwendet? Berechnen Sie dies für eine
Leiterbahnbreite = Leiterbahnabstand von 0,5µm und einen „Schirm“abstand (Masken -
Waferabstand) von 1mm in Abhängigkeit von . Optimierungsmöglichkeiten ?
4. Sie wollen die Wellenlänge von monochromatischem Licht mit einem Gitter bestimmen. Bei
einer Gitterkonstanten von 10000 (Linien/cm) messen Sie im Abstand von 1m hinter dem Gitter
einen Abstand von 0,5m zwischen dem Hauptmaximum und dem 1. Maximum. ? 477nm
5. Vergegenwärtigen Sie sich die Beugungserscheinungen an einem Doppelspalt ausgehend von
dem Huygensschen Prinzip.
6. Skizzieren Sie einzeln die 3 Fälle für die Sammellinse und vergleichen Sie.
7. Welche Extremfälle treten beim Auftreffen von Licht auf eine keilförmige Platte auf
a) monochromatisch
b) polychromatisch
(Beugung und Keilwinkel vernachlässigen)