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Vorlesung 5:

Roter Faden:

5.1. Beugung und Interferenz von Elektronen5.2. Materiewellen und Wellenpakete5.3. Heisenbergsche Unschärferelation

(Elektron: griechisch für Bernstein, der durch Reibung elektrostatisch aufgeladen wurde)

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VL1. Einleitung Die fundamentalen Bausteine und Kräfte der NaturVL2. Experimentelle Grundlagen der Atomphysik

2.1. Masse, Größe der Atome2.2. Elementarladung, spezifische Ladung des Elektrons2.3 Massenspektroskopie2.4. Struktur der Atome, Rutherford-Streuversuch

VL3. Photonen (Quanteneigenschaften des Lichts I)3.1. Photoeffekt3.2. ComptoneffektVL4. Photonen (Quanteneigenschaften des Lichts II)4.1. Gravitationseffekte des Photons4.2. TemperaturstrahlungVL5. Materiewellen (Welleneigenschaften von Teilchen)5.1. Beugung und Interferenz von Elektronen5.2. Materiewellen und Wellenpakete5.3. Heisenbergsche Unschärferelation

Einteilung der Vorlesung

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Erzeugung von Elektronen

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Erzeugung von Elektronen

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Sekundäremission

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Photomultiplier: Photoeffekt plus Sekundäremission

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Davisson und Germer: Elektron Streuung an Nickel Kristallen (Davisson Nobelpreis 1937)

Zufällige Entdeckung der Bragg-peaks bei Streuung von Elektronen an Ni-Kristalle

NachRekristallisierung

e-NiIntensität unterStreuwinkel θ

VorRekristallisierung

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Davisson und Germer: Elektron Streuung an Nickel Kristallen (Davisson Nobelpreis 1937)

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Davisson und Germer: Elektron Streuung an Nickel Kristallen

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Einzel und Doppelspalt Beugung von Elektronen

Max. und Min. in der Intensitätsverteilungnach Streuung an einem Draht zeigenInterferenz, d.h. Wellencharakter der Elektronen

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De-Broglie Beziehung

Photon: E=hv=hc/ und E2=p2c2+m2c4

Daher: für m=0 gilt: E=pc=hc/ oder

p=h/ (de Broglie)

Um Interferenzen der Elektronen zu erklärenpostulierte de Broglie das diese Beziehungauch für Teilchen gilt!

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Elektronenmikroskop

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Elektronenmikroskop

Wohldefinierte Energie=Wohldefinierte Wellenlänge ->hohe Auflösung

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Elektronenmikroskop

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Rastertunnelmikroskop

KonstanterTunnelstromdurch Höhenanpassung->Oberflächentopographie

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Rastertunnelmikroskop

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Rastertunnelmikroskop

Manipulation einzelner Atomen mit Tunnelspitze

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Rastertunnelmikroskop

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Zusammenfassung

Wenn Energien, Orte oder Impulse im Bereich E=hv und =p/hkommen, werden Quanteneffekte wichtig!

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Wellenlängen schwererer Teilchen

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Experiment mit langsamen Neutronen (v=200m/s, ldB~2 nm)

Doppelspalt: 23 mm bzw. 22 mm breit 104 mm Abstand

Beugungswinkel ~ 50 mrad (~10“)

A. Zeilinger et al. Rev. Mod. Phys. 60, p.1067 (1988)

Einzel und Doppelspalt Beugung von Neutronen

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DoppelspaltEinzelspalt

Durchgezogene Linie: Vorhersage der (linearen) Quantenmechanik (unter Berücksichtigung aller Parameter wie Geometrie, Geschwindigleitsverteilung etc ...) A. Zeilinger et al. Rev. Mod. Phys. 60, p.1067 (1988)

Einzel und Doppelspalt Beugung von Neutronen

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Welle-Teilchen Dualismus

De Broglies Erklärung für die Quantisierung der Atomniveaus und die Interferenzpatrone der Teilchen (Davisson, Germer, Doppelspalt) beweiseneindeutig den Wellencharakter. Jedoch ist das Elektron auch ein Teilchenmit wohl definierter Masse und Ladung, das eindeutige Spuren e.g. ineinem Nebelkammer hinterlässt. Wie kann man diese Eigenschaften vereinen?

Wie ist Bahn des Teilchens mit Fortpflanzung der Welle verknüpft?

Teilchen: Ekin= ½mv2 = E = hf, mv = p = h/.Die Geschwindigkeit der Welle wäre v = .f = (h/mv) . (½mv2/h) = ½v,d.h. die Welle pflanzt sich nur mit halber Teilchengeschwindigkeit fort! WAS IST FALSCH?

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Wenn ein Elektron ein wohldefinierter Impuls hat, dann hat es aucheine wohldefinierte Wellenlänge. Die einzigeWellengleichung für einewohldefinierte Wellenlänge ist

Lokalisierung eines Teilchens

mit k = 2 / , and ω= 2 f.

Das Problem: die Amplitude geht nicht gegen Null im Unendlichen,d.h. das Teilchen ist nicht lokalisiert!

Lösung des Problems:

Wellen können interferieren wenn die Impulse-und damit die Wellenlängen – NICHT scharf definiert sind.

Dann Teilchen lokalisiert in einem Wellenpaket. Wenn Teilchensehr scharf lokalisiert, muss Unsicherheit im Impuls groß sein.Dies ist Prinzip der Heisenbergschen Unsicherheitsrelation.

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Superposition von zwei Wellen

Amplitude 1-2

Freq. 2

Freq. 1Man kann Resultat der Interferenzentweder im Ortsraum oder imFrequenzraum (oder k-Raum oderImpulsraum) darstellen, wobei k=2=p/ħ

1 2X-Raum: (x,t)

Frequenz-Raum (,t) oder (k,t)

()(x)

Es reicht wenn ich Amplituden und Frequenzspektrum angebe,also (k,t). um (x,t) auszurechnen. Beide Darstellungen völlig equivalent. Transformation vom Ortsraum zum Impulsraum oder umgekehrt, nennt man Fouriertransformation

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Superposition unendlich vieler Wellen

Fouriertrafo vom Orts- zumImpulsraumfür t=0!

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Zusammenfassung

E=hv=ħωp=h/=ħk

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E2=p2c2+m2c4 oder (ħω)2= (ħk)2c2 +m2c4

Für m=0 dispersionsfrei, sonst ħω=mc2 für k=0

De Broglie Wellen

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Heisenbergsche Unschärferelation (i)

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Heisenbergsche Unschärferelation (II)

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Jede Messung von x und p ändern den Zustand des Mikroteilchens

Heisenbergsche Unschärferelation (III)

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Phasenraumpunkt [dx,dy,dz,dpx,dpy,dpz] nicht beliebiggenau zu bestimmen:ΔxΔpx>h ΔyΔpy>h ΔzΔpz>h

Fläche>ħ

Unschärferelation im Phasenraum

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Unschärfe der Unschärferelation

Viele Bücher ergeben: Δx Δp ≥ ħ statt h. Was ist der Unterschied?

Bei einem Gauss-förmigen Wellenpaket wirddie Unschärfe MINIMAL (mathematisch zu beweisen) aber wie groß ist die Unschärfe?Eine Standardabweichung oder ein Abstand bei dem die Wahrscheinlichkeit auf 1/√e gefallen ist oder …? Unschärfe ist unscharf definiert!

Gauss-förmige Wellenpakete: xp ≥ ħ

Δx=Abstand zwischenBeugungsminima-> Δx Δp ≥ h(Heisenberg)

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Überlagerung Gausscher Wellenpakete

Überlagerung unendlich vieler Wellen entsprichtdas Intergral über vielen Wellenlängen oder Impulse(p=ħk=h/). Dies ist eine Fourier transformation:

http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html

Die Fouriertransformierte einer Gauss-förmigen Amplitudenverteilung mit Standardabweichung ergibt im Impulsraum wieder eine Gauss-Form, jedoch mit Standardabweichung 1/ ! So xk ≥ 1 oder xp ≥ ħ

Wichtig!

http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html