Vektorrechnung
Raumgeometrie
Sofja Kowalewskaja (*1850, † 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, †415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, †1799)
Emmy Noether (*1882, †1935) Émilie du Châtelet (*1706, †1749) Cathleen Morawetz (*1923, †2017)
Frauen in der Mathematik: Frauen dürfen erst seit Mitte bis Ende 19. Jahrhundert ein Studium besuchen. Dennoch ist es Frauen seit der Antike immer wieder gelungen wichtige Beiträge zur Forschung zu leisten.
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Vermischte Aufgaben
Aufgabe 28: Ein Punkt bewegt sich gemäss der Vektorgleichung
−
= + 2 13 2
8 3
r t .
Wo befindet sich der Punkt zur Zeit t = 0; 1; 3; 10?
Aufgabe 29: Ein Körper bewegt sich geradlinig, gleichförmig und ist für t = 1 in P1(5|–4|7) und für t = 3 in P3(1|2|4). Ermitteln Sie den konstanten Geschwindigkeitsvektor
v , den Punkt, wo
der Körper zur Zeit t = 0 war, und den Punkt, wo er sich zu einer beliebigen Zeit t befindet. Wann und wo erreicht er die xz-Ebene?
Aufgabe 30: Wir betrachten eine Gerade durch die Punkte E(19|11) und F(7|4).
a) Wie lautet eine Parametergleichung der Geraden durch diese Punkte? Wie lautet die Koordinatengleichung?
b) Liegen die Punkte P(–5|–3) bzw. Q(2|1) auf dieser Geraden?
c) Ermitteln Sie die Koordinaten u bzw. v so, dass die Punkte S(u|74) bzw. T(–17|v) auf der Geraden liegen.
Aufgabe 31: Gegeben ist ein Punkt A(0|3|1) und ein Vektor
−
=24
5
a .
a) Gebe eine Parametergleichung der Geraden an, die durch den Punkt A geht und parallel zum Vektor
a ist.
b) Liegen die Punkte P(–4|11|– 9) und Q(6|– 9|11) auf dieser Geraden?
c) Ermitteln Sie die fehlenden Koordinaten der Punkte R(–6|y|z) und S(x|y|13) so, dass sie auf der Geraden liegen.
d) Berechnen Sie den Abstand ihrer beiden Spurpunkte Sxy und Sxz.
e) Welcher Punkt auf der Geraden hat von A den Abstand ⋅30 5 ?
Aufgabe 32: Schneidet die Gerade g1 die Gerade g2 oder g3. Berechne gegebenfalls den Schnittpunkt.
g1:
−
= + 5 32 1
0 7
r t g2: − −
= + 6 215 4
17 1
r t g3: − −
= + 1 40 2
3 1
r t
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Aufgabe 43: Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene H, die durch den Punkt P(2|1|5) geht
und zur Ebene E: x 4 4 1y 5 2 0z 3 2 3
s t
− − −
= + + parallel ist.
Aufgabe 44: Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die durch die drei Punkte A(1|–1|2), B(–2|0|3) und C(3|1|–2) geht.
Aufgabe 45: Stelle die Koordinatengleichung der Ebene E auf, die den Punkt P(4|2|1) und die
Gerade g:
−
= +x 2 1y 1 3z 3 1
t enthält.
Aufgabe 46: Die Ebene E verlaufe durch die drei Punkte A(–2|2|4), B(–1 |1|6) und C(1|3|5). Bestimme eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene F, die durch den Punkt P(2|–5|3) geht und die zur Ebene E parallel ist.
Aufgabe 47: Bestimme die Koordinatengleichung derjenigen Ebene E, die
a) durch den Punkt P(2|–3|–1) geht und die zur Geraden g durch die Punkte A(6|4|0) und B(–2|8|8) senkrecht steht.
b) durch die Punkte A(–1|–2|0) und B(1|1|2) geht und zur Ebene F: x + 2y + 2z – 4=0 senkrecht steht?
Aufgabe 48: Wie lautet die Gleichung der xy-, der yz- und der xz-Ebene?
Aufgabe 49: Welche räumlichen Lagen haben die folgenden Ebenen? Gehen die Ebenen durch den Nullpunkt? Sind die Ebenen parallel zu einer Hauptebene oder zu einer Achse des Koordinatensystems? a) E: 2x – 4y + z = 0 b) F: x – z = 0 c) G: y + 2z – 6 = 0 d) H: z + 3 = 0
Durchstosspunkte
Aufgabe 50: Bestimme den Durchstosspunkt der Gerade durch die Ebene E:
a) E: 2x – y+ 3z + 3 = 0 g:
− −
= +3 2
r 4 11 1
t
b) E: 2x – y + 3z + 5 = 0 g: 3 2
r 5 10
––
1
t
= +
c) E: 1 3 5
r 2 7 21 4 3
s t −
= + + g: 6 3
r 4 35 7
t −
= +
Aufgabe 51: Bestimme den Durchstosspunkt der Geraden g durch die Punkte A(–1|0|4) und B(1|2|0) mit der Ebene E mit Gleichung x – y + 2z – 3 = 0.
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Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden
Aufgabe 60: Gegeben sind die Gerade g: 4 3
1 1
2 2
r t æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-è ø è ø
= + ⋅ und der Punkt P(2|–3|4).
Berechne den Abstand von P von g.
Aufgabe 61: Berechnen Sie den Abstand der Punkte P(0|5|6), Q(5|–4|3) und R(–26|7|8) von der Geraden durch die Punkte A(2|0|1) und B(–2|1|2).
Aufgabe 62: Wir betrachten die Gerade g: 4x – 3y – 17 = 0. Berechne den Abstand des Punktes P(9|–2) von der Geraden g.
Aufgabe 63: Berechne die Länge der Höhe ha des Dreiecks A(–37), B(–5–7), C(72).
Aufgabe 64: Ein Schiff startet in (4|2) und fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 10 Knoten in Richtung einer Boje in (7|6). In welchem Punkt kommt das Schiff einem Felsen in (5|5) am nächsten? Wann erreicht es diesen Punkt? Wie weit ist dieser Punkt vom Felsen entfernt? Die Koordinaten sind in Seemeilen (1 Seemeile = 1852 m) und die Geschwindigkeit in Knoten (1 Knoten = 1 Seemeile pro Stunde) angegeben.
Aufgabe 65: Gegeben seien die zwei Geraden h: 1 11 43 3
r t − −
= + ⋅ und g:
102
r t −
= ⋅
Zeige, dass g und h windschief sind. Berechne ihren Abstand.
Aufgabe 66: Welche beiden Geraden stehen zur Geraden g: 3x – 4y – 12 = 0 senkrecht und haben vom Punkt P(10) den Abstand 10?