U N I V E R S I T A T R E G E N S B U R G
Naturwissenschaftliche Fakultat II - Physik
Anleitung zum Physikpraktikum fur Chemiker
Versuch”ww“: Wechselstromwiderstand
Dr. Tobias Korn
Manuel Marz
Inhaltsverzeichnis
1 Einfuhrung 2
2 Grundlagen 2
2.1 Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Zeigerdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Vorbereitungsaufgaben 8
4 Durchfuhrung 9
4.1 Strom und Spannung an einem Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Strom und Spannung an einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Hochpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.5 RLC-Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 GRUNDLAGEN
1 Einfuhrung
Passive elektrische Schaltungen enthalten Widerstande, Spulen (Induktivitaten) und
Kondensatoren (Kapazitaten). Das Verhalten dieser Elemente unter dem Einfluss einer
Wechselspannung ist die Grundlage fur das Verstandnis der Schaltungen. Die Bezie-
hung zwischen Wechselstrom und Wechselspannung, d.h. der Wechselstromwiderstand
von (Ohmschem) Widerstand R, Induktivitat L und Kapazitat C sowie das Resonanz-
verhalten verschiedener Schaltungen, insbesondere des RLC-Kreises, sollen gelernt und
erprobt werden.
2 Grundlagen
2.1 Kondensator
Der Spannungsabfall UC an einem an eine Wechselspannungsquelle angeschlossenen Kon-
densator (Abbildung 1) ist gleich der Generatorspannung UG = Umax cos(ωt):
UC(t) = Umax cos(ωt) (1)
Der Spannungsabfall am Kondensator ist gegeben durch
UC =q
C(2)
und damit
q = CUC = CUmax cos(ωt) = qmax cos(ωt) (3)
Die Stromstarke ist dann
I(t) =dq
dt= −ωqmax sinωt = −Imax sinωt (4)
UG UCC
Abbildung 1: An eine Wechselspannungsquelle angeschlossener Kondensator
- 2 -
2 GRUNDLAGEN 2.2 Spule
Mit Hilfe der Beziehung sinφ = −cos(φ+ π2 ) lasst sich das darstellen als:
I(t) = Imax cos(ωt+π
2) (5)
Das bedeutet Strom und Spannung sind um 90 phasenverschoben. Der Strom eilt hierbei
der Spannung um eine Viertelperiode voraus. Physikalisch lasst sich das folgendermaßen
verstehen: Die Ladung q am Kondensator ist proportional zum Spannungsabfall am
Kondensator UC . Sie nimmt am starksten zu wenn der Kondensator nicht geladen ist,
also UC = 0 ist. Dann ist der Strom I = dqdt maximal.
Die Beziehung zwischen den Maximalwerten von Strom und Spannung lasst sich auf eine
Form wie bei einem Ohmschen Widerstand bringen:
Imax = ω qmax = ωC Umax (6)
=UmaxXC
(7)
Dabei wird XC = 1ωC als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet.
Die momentane Leistungsaufnahme eines Kondensators ist gegeben durch
P (t) = U(t)I(t) = −UmaxImax cos(ωt) sin(ωt) (8)
Daraus folgt mit∫ T0 sin(ωt) cos(ωt)dt = 0, dass die mittlere Leistungsaufnahme am
Kondensator gleich Null ist.
2.2 Spule
Der Spannungsabfall UL an einer an eine Wechselspannungsquelle angeschlossene Spule
(Abbildung 2) ist gleich der Generatorspannung UG = Umax cos(ωt):
UL = Umax cos(ωt) (9)
der Spannungsabfall an der Spule ist gegeben durch
UL = LdI
dt(10)
und damit
dI =UmaxL
cos(ωt)dt (11)
- 3 -
2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme
UG ULL
Abbildung 2: An eine Wechselspannungsquelle angeschlossene Spule
durch Integration erhalt man die Stromstarke
I(t) =UmaxL
∫ t
0cos(ωt′)dt′ (12)
=UmaxωL
sin(ωt) (13)
mit sin(Φ) = cos(Φ− π2 ) und Imax = Umax
ωL kann der Strom ausgedruckt werden als
I(t) = Imax cos(ωt− π
2) (14)
Das bedeutet dass Strom und Spannung an einer Spule um 90 phasenverschoben sind.
Die Spannung eilt hierbei dem Strom um eine Viertelperiode voraus.
Die Beziehung zwischen den Maximalwerten von Strom und Spannung lasst sich auf eine
Form wie bei einem Ohmschen Widerstand bringen:
Imax =UmaxωL
(15)
=UmaxXL
(16)
Dabei wird XL = ωL als induktiver Blindwiderstand bezeichnet.
Die Leistungsaufnahme an einer Spule ist
P (t) = U(t)I(t) = UmaxImax cos(ωt) sin(ωt) (17)
und damit die mittlere Leistungsaufnahme wie beim Kondensator gleich Null.
2.3 Zeigerdiagramme
In einem Wechselstromkreis sind die Spannungsabfalle an den einzelnen Elementen in der
Regel zueinander phasenverschoben. Deshalb ist die Summe der maximalen Spannungs-
- 4 -
2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme
UR
x
y
𝜔 𝑡 𝛿-
Abbildung 3: Zeigerdiagramm: Spannungsabfall an einem Widerstand
abfalle an den einzelnen Komponenten im Allgemeinen nicht gleich der maximalen Ge-
neratorspannung. Zur Darstellung der Phasenbeziehung zwischen Spannung und Strom
an Spulen, Kondensatoren und Widerstanden eignen sich zweidimensionale Vektoren in
sogenannten Zeigerdiagrammen.
In Abbildung 3 reprasentiert der Zeiger UR den Spannungsabfall an einem Ohmschen
Widerstand. Der Zeiger hat den Betrag RImax. Strom und Spannung sind in diesem Fall
in Phase.
Allgemein ist der Strom in einem Wechselstromkreis von der Zeit abhangig I(t) =
Imax cos(ωt−δ) mit der Kreisfrequenz ω und einem Phasenwinkel δ. Der Spannungsabfall
am ist dann also
UR(t) = RI(t) = RImax cos(ωt− δ) (18)
Er entspricht also der x-Komponente des Zeigers UR der mit der Winkelgeschwindigkeit
ω gegen den Uhrzeigersinn rotiert. Werden mehrere Bauelemente in Reihe geschaltet, so
addieren sich die Spannungen zur Generatorspannung. In den Zeigerdiagrammen konnen
die einzelnen Zeiger vektoriell addiert werden womit die muhsame algebraische Addition
von Sinus- und Cosinus-Funktionen vermieden wird.
Die Vorgehensweise soll am Beispiel eines seriellen RLC-Kreises und eines RC-Tiefpassfilters
veranschaulicht werden:
Serieller RLC-Kreis: An einen seriellen RLC-Kreis liegt die Generatorspannnung UG =
UG,max cos(ωt) an. Das Zeigerdiagramm der Spannungsabfalle des Kreises ist in Abbil-
dung 4 dargestellt. Durch alle Bauelemente fließt der gleiche Strom I(t). Die Spannung,
die am Widerstand abfallt, ist durch den Zeiger UR dargestellt, der die selbe Phase
- 5 -
2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme
ULUG
UC
UR
U - L UC
x
y
𝛿
𝜔 𝑡
𝜔 𝑡
𝛿-
𝜔t
Abbildung 4: Zeigerdiagramm: Spannungsabfall an Widerstand, Spule, Kondensator
und Generatorspannung
wie der Strom und den Betrag UR = RImax hat. Der Spannungsabfall an der Spule wird
durch den Zeiger UL mit Betrag UL = XLImax dargestellt. Er eilt dem Strom und damit
UR wie oben beschrieben um 90 voraus. Analog ist der Spannungsabfall am Konden-
sator durch den Zeiger UC mit Betrag UC = XCImax dargestellt. Er ist dem Strom und
damit UR um 90 hinterher.
Die Summe der Spannungsabfalle ist gleich der Generatorspannung:
UG = UR + UL + UC (19)
Fur den Betrag heißt das:
UG,max = |UR + UL + UC | (20)
=√U2R + (UL − UC)2 (21)
=√R2 + (XL −XC)2 Imax (22)
= Z Imax (23)
wobei Z =√R2 + (XL −XC)2 als Impedanz des Stromkreises bezeichnet wird.
- 6 -
2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme
Die Zeiger UG und UR schließen den Winkel δ ein fur den gilt:
tan(δ) =|UL + UC ||UR|
=XLImax −XCImax
RImax(24)
=XL −XC
R(25)
Der durch UR reprasentierte Spannungsabfall am Widerstand ist in Phase mit dem
Strom, fur den sich folglich ergibt:
I(t) = Imax cos(ωt− δ) =UG,maxZ
cos(ωt− δ) (26)
Sind im Reihenschwingkreis die Blindwiderstande XL und XC gleich groß ist der Ge-
samtblindwiderstand XL−XC = 0 und die Impedanz nimmt den kleinstmoglichen Wert
R an. Imax wird maximal und der Phasenwinkel δ wird null. Die Frequenz, bei der dies
auftritt, wird als Resonanzfrequenz bezeichnet.
RC-Tiefpass: In Abbildung 5 ist ein Tiefpassfilter abgebildet. Als Tiefpass bezeichnet
man Filter, die Signalanteile mit Frequenzen unterhalb ihrer Grenzfrequenz annahernd
ungeschwacht passieren lassen, Anteile mit hoheren Frequenzen dagegen abschwachen.
Im folgenden wird die Ausgangsspannung UA,max bestimmt:
Der Spannungsabfall am Kondensator ist gemaß Gleichung 7:
UA,max = XC Imax (27)
Fur den Strom Imax gilt nach Gleichung 23:
Imax =UE,maxZ
(28)
UE UAC
R
Abbildung 5: Schaltplan eines Tiefpasses
- 7 -
3 VORBEREITUNGSAUFGABEN
wobei zur Impedanz hier nur R und XC beitragen. Damit ist die Ausgangsspannung:
UA,max =XC UE,maxR2 +X2
C
(29)
=UE,max√
1 + ω2(RC)2(30)
3 Vorbereitungsaufgaben
1. Was bedeuten hohe beziehungsweise niedrige Spannungsfrequenzen fur einen Strom-
kreis mit Kondensator beziehungsweise Spule.
2. In Abbildung 6 sind zwei mogliche Schaltungen dargestellt, mit denen in einem
Stromkreis gleichzeitig zeitlicher Strom- und Spannungsverlauf an einem Bauteil
gemessen werden kann. Erlautere die Funktionsweise der Schaltungen und ihre
Vor- und Nachteile. Warum kann in einem Messaufbau, in dem Frequenzgenerator
und Oszilloskop auf Erde liegen, Variante b) nicht funktionieren?
3. Leiten Sie fur einen RL-Hochpass die Formel fur die Ausgangsspannung her (Einen
RL-Hochpass erhalt man wenn man den Kondensator eines RC-Tiefpasses durch
eine Spule ersetzt).
4. Wie verhalt sich die Ausgangsspannung UA,max eines RL-Hoch bzw. RC-Tiefpasses
fur die Grenzfalle kleiner und großer Frequenzen (ω → 0, ω →∞)
5. Als Grenzfrequenz wird die Frequenz bezeichnet ab der die Ausgangsspannung
weniger als 1/√2 der Eingangsspannung betragt. Bestimmen Sie fur einen RL-Hoch
und einen RC-Tiefpass die Formeln fur die Grenzfrequenz.
6. Wie ist bei einem RL-Hoch- bzw. RC-Tiefpass das Verhaltnis von Blindwiderstand
zu Ohmschen Widerstand bei Erreichen der Grenzfrequenz?
7. Bestimmen Sie anhand eines Zeigerdiagramms den jeweiligen Phasenunterschied
zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung bei der Grenzfrequenz
8. Berechnen Sie fur einen RC-Tiefpass mit R = 470 Ω und C = 0, 1 µF die Grenz-
frequenz.
9. Berechnen Sie fur einen RL-Hochpass mit R = 470 Ω und L = 100 mH die Grenz-
frequenz.
- 8 -
4 DURCHFUHRUNG
AC
R=0,47Ω
AC
R
? ?-
- +
+- -
--
+ +
++
(a) (b)
Abbildung 6: Gleichzeitige Strom- und Spannungsmessung an einem Bauteil: (a) uber
einen sogenannten Shunt (b) uber einen in Reihe geschalteten Messwiderstand
10. Zeichnen Sie einen seriellen RLC-Kreis in dem Sie gleichzeitig Strom und Genera-
torspannung messen konnen. Welche Variante aus Aufgabe 2 ist geeigneter?
11. Leiten Sie die Formel fur die Resonanzfrequenz in einem seriellen RLC-Kreis her
und berechnen Sie die Resonanzfrequenz fur einen RLC-Kreis mit L = 100 mH
und C = 0, 1 µF.
4 Durchfuhrung
4.1 Strom und Spannung an einem Kondensator
Betrachten Sie den zeitlichen Strom und Spannungsverlauf an einem Kondensator, an
den eine Wechselspannung angelegt ist. Versuchen Sie die Phasenverschiebungen aus
dem Einfuhrungsteil zu bestatigen. Zeichnen Sie den dazu benotigten Schaltplan und
skizzieren Sie qualitativ ihre Beobachtungen.
4.2 Strom und Spannung an einer Spule
Wiederholen Sie die vorherige Messaufgabe mit einer Spule.
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4 DURCHFUHRUNG 4.3 Tiefpass
4.3 Tiefpass
Bauen Sie einen RC-Tiefpass auf. Tragen Sie das Verhaltnis von Ausgangsspannung und
Eingangsspannung, und die Phasendifferenz von Ausgangsspannung und Eingangsspan-
nung in Abhangigkeit der Frequenz auf. Vergleichen Sie die Ergebnisse untereinander
und mit den theoretischen Werten aus Vorbereitungsaufgabe 8.
4.4 Hochpass
Wiederholen Sie Aufgabe 4.3 fur einen RL-Hochpass.
4.5 RLC-Kreis
Bauen Sie einen seriellen RLC-Kreis auf, in dem Sie gleichzeitig den Strom und die
Generatorspannung messen konnen. Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz sowohl durch
Messung der Phasenverschiebung von Generatorspannnung und Strom, als auch durch
Strommessung. Vergleichen Sie die erhaltenen Werte untereinander und mit dem theo-
retischen Wert aus Vorbereitungsaufgabe 11.
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