TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENEVorlesung am 7. April 2006
Thomas Schörner-Sadenius
Universität Hamburg, IExpPhSommersemester 2006
TSS SS06: Teilchenphysik II 2
ÜBERBLICK
1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen 1.1 Schrödinger-Gleichung 1.2 Klein-Gordon-Gleichung 1.3 Hinführung zur Dirac-Gleichung 1.4 Niederenergiegrenzfall der Dirac-Gleichungen 1.5 Die Pauli-Gleichung, das magnetische Moment des
Elektrons 1.6 Kovariante Schreibweise, Notation 1.7 Vollständige Lösung der Dirac-Gleichung 1.8 Spin des Elektrons 1.9 Viererstromdichte 1.10 Die Lösungen negativer Energie - Antiteilchen
TSS SS06: Teilchenphysik II 3
mit der Frequenz 0.
Anwendung des Energie-Operators auf die vier Lösungen ergibt:
Was ist die Interpretation der Lösungen mit negativer Energie ?
Wir betrachten zuerst ein freies, ruhendes Elektron:
Dann vereinfacht sich die Dirac-Gleichung:
Ausgeschrieben bedeutet das:
Dafür gibt es 4 unabhängige Lösungen:
1.4 GRENZFALL NIEDRIGER ENERGIEN
TSS SS06: Teilchenphysik II 4
Einsetzen in die Dirac-Gleichung
Einzelne Betrachtung der oberen und unteren Komponente; zuerst die untere:
Nach einiger Rechnung und unter Verwendung
von und p2/2m<<mc2 kann man zeigen, dass
Daher wird die kleine, die große Komponente genannt.
Die große Komponente erfüllt die Schrödinger-Gleichung (später oder Übung) – die SGL ist der nicht-relativistische Grenzfall der Dirac-Gleichung.
Jetzt gehen wir von kleinen kinetischen Energien aus: Wir benutzen die Taylor-Entwicklung der Quadrat-Wurzel …
… und entwickeln die Energie-Wurzel; der kinetische Term wird als kleine Störung der Ruheenergie betrachtet:
Die Zeitabhängigkeit ist daher in etwa die des ruhenden Elektrons exp(-i0t); wir wählen folgenden Ansatz für die Wellenfunktion :
1.4 GRENZFALL NIEDRIGER ENERGIEN
0
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Geladenes Teilchen im Potential A,: Ersetzen des Impuls …
… und Berücksichtigen der potentiellen Energie:
Übergang zu Operatoren …
… führt zu folgender Gleichung für die “große” Komponente:
Das wiederum führt zur Pauli-Gleichung:
Diese Gleichung beinhaltet sowohl den Spin als auch das magnetische Moment des Elektrons und seine Wechselwirkung mit dem B-Feld.
Die potentielle Energie eines magnetischen Moments im B-Feld lautet:
Der Term proportional zum B-Feld stellt diese potentielle Energie dar; das magnetische Moment des Elektrons lautet also …
… wobei gilt:
Der Faktor 2 in der Definition des magn. Moments des Elektrons ist der Lande-Faktor g, dessen Wert im Experiment zu etwa 2 bestimmt wurde, der aber bis zu Dirac unerklärlich war!
Die Abweichung g-2 kann in der QED berechnet werden; die Messung dieser Größe stellt einen der genauesten Tests der QED dar!
1.5 DIE PAULI-GLEICHUNG
Aqpp
qmcAqpci 2
AqiAqpP
qPPm
i
2
1
eB
m
eAei
mi
22
1 2
BEpot
Sm
e B
2
2
.2
und 2
S
m
eB
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Definiere den kontravarianten Vierervektor:
Beispiel: Viererimpuls p, Raumzeit x:
Metrischer Tensor:
Einsteinsche Summenkonvention und kovarianter Vierervektor:
Vierervektor-Produkte sind lorentz-invariant:
1.6 KOVARIANTE SCHREIBWEISE
Beispiel:
Die Viererableitungen:
Zur weiteren Komplikation setzt man:
Man drückt also Geschwindigkeiten in Einheiten von c und Wirkungen in Einheiten des Plankschen Quantums aus!
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Wir wollen nun die Kovarianz der Dirac-Gleichung auch in der Schreibweise herausstellen. Dazu definieren wir die -Matrizen:
Damit schreibt man die Dirac-Gleichung um:
1.7 DIRAC KOVARIANT
Der Vierervektor der -Matrizen …
… und die kovariante Ableitung …
… erlauben folgende Schreibweise:
Mit dem “dagger”-Symbol …
… folgt:
Die -Matrizen erfüllen die Vertauschungsrelation:
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Nun die generelle Lösung der Dirac-Gleichung. Wir betrachten folgenden oszillatorischen Term:
Für die Energie-Eigenwerte folgt (E>0):
Wahl des Ansatzesund Einsetzen:
1.7 VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG DER DIRAC-GL.
Nebenrechnung:
Damit folgt das Gleichungssystem:
Für positive Energien folgtaus der 2. Gleichung:
Es zeigt sich, dass frei wählbar ist; wähle und verifiziere durch Einsetzen in obere Gleichung:
Oberes Vorzeichen:positive Energie;unteres Vorzeichen:negative Energie.
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Das führt auf zwei Lösungen positiver Energie. Mit
folgt:
Jetzt negative Energien (unteres Vorzeichen). Aus der ersten Gleichung folgt
und jedes erfüllt Gleichungen.
1.7 VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG DER DIRAC-GL.
Normierung N der Dirac-Spinoren? Konvention:
Die vollständigen Lösungen der Dirac-Gleichung lauten also:
mEpipp
ippp
zyx
yxz
1
)(
1
0
)( ,)(
0
1
)( 21
mE
pmE
ippNpu
mE
ippmE
pNpu
z
yx
yx
z
0
1
)(
)( ,
1
0)(
)( 21mE
ippmE
p
NpvmE
pmE
ipp
Npv yx
z
z
yx
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Spezialfall 1: Impuls in +z-Richtung:
Explizite Form der Spinoren:
Anwendung des Spin-Operators S3 auf u1 etc.:
Analog: S3u2=-½u2, S3v1=-½v21, S3v2=½v2
Dirac-Gleichung liefert korrekten Spin ½!
Kleine Komplikation: In der Zukunft werden v1,2 Antiteilchen beschreiben – daher dreht sich noch das Vorzeichen um; v1 hat also Spin +½, v2 Spin -½.
Spezialfall 2: Impuls in -z-Richtung:
Die Form des Spinors ändert sich …
… aber der Spin bleibt der gleiche:
Spin ist bezogen auf die Quantitiserungsachse!
1.8 DER SPIN DES ELEKTRONS
ppppp zz || ),,0,0(
0
1
0 ,
1
0
0
,0
1
0
,
0
0
1
21
21
mEp
mEvmEp
mEv
mEp
mEumE
pmEu
113 2
1
0
0
1
1000
0100
0010
0001
2
1u
mEpmEuS
ppppp zz || ),,0,0(
0
0
1
1
mEpmEu
113 2
1
0
0
1
1000
0100
0010
0001
2
1u
mEpmEuS
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Wir schreiben zuerst die Stromdichte um:
Dabei wurde die Definition des adjungierten Spinors verwendet:
Zusammen mit der Dichte
kann man dann eine Viererstromdichte definieren:
Die Kontinuitätsgleichung wird dann zu (nachrechnen!):
1.9 DIE VIERERSTROMDICHTE
00cj
0
000
),( jj
0)j( 0
j
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Idee Dirac (1928, NP 1933):
Gemäß dieser Löcher- und See-Theorie sollten sich Löcher wie positiv geladene Teilchen verhalten Begriff der Antiteilchen.
Anwendung auf Festkörper (Halbleiter!) sehr erfolgreich; Probleme in der Teilchenphysik – das Pauli-Prinzip gilt nicht für Bosonen!
Daher alternative Idee von Feynman (E>0!): Für positive/negative Energien galt ja:
1.10 DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE
Alle Zustände negativer Energie sind besetzt (Pauli- Prinzip) bei voller Besetzung sind sie egal.- Ist eines der Niveaus unbesetzt, dann kann ein Elektron mit E>0 dahin wechseln und ein Photon mit E>2me aussenden;- Alternativ kann ein Photon mit E>2me ein Elektron von negativer auf positive Energie heben.
Man interpretiert Lösungen negativer Energie als Teilchen, die rückwärts in der Zeit laufen beziehungsweise als Antiteilchen, die vorwärts in der Zeit laufen :
ENTWEDER hat das Teilchen negative Energie und ImpulsODER es hat positive Energie und Impuls und läuft rückwärts in der Zeit.
Was aber bedeutet:Ein Teilchen läuft rückwärts in der Zeit?
)()(
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~
xpitiE
xpitEi
xpiiEtipx
e
e
ee
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”Ein Schritt”:
1.10 DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE
Mehrere Schritte:
t
x
1
2
e–
1
2
e+
Das Elektron (die negative Ladung) wandertvon 1 nach 2 effektiv wandert eine positive Ladung (das Positron) von 2 nach 1.
t
x3
e+ 1
2
e– 1
2
3
Das Elektron wandert rückwärts in der Zeit – der Schritt 23 kommt also VOR dem Schritt 12 Das Positron wandert 321, also vorwärts in der Zeit
Antiteilchen tragen die negativen additiven Quantenzahlen der Teilchen!