Fakultät Maschinenwesen
Technische Mechanik Formelsammlung
Institut für Festkörpermechanik Version: Oktober 2006
Nachfolgend wird von den Bilanzgleichungen der Kontinuumsmechanik:
• Massenerhaltung • Impulserhaltung • Drehimpulserhaltung • Energieerhaltung
- ohne zusätzlichen Hinweis darauf - Gebrauch gemacht.
Formelsammlung Technische Mechanik i
Inhaltsverzeichnis
Statik Ebene Statik ......................................................................................... 1 Lasten (Kräfte und Momente)...................................................... 1 Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele).................................... 3 Schnittgrößen beim Balken ......................................................... 4Räumliche Probleme ............................................................................ 4 Lasten (Kräfte und Momente)...................................................... 4 Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele)................................... 6 Schnittgrößen beim Balken ......................................................... 7Reibung ................................................................................................ 7 Festigkeitslehre Grundlagen…………………………………………………………………..8 Spannungen................................................................................ 8 Verzerrungen ............................................................................ 10 HOOKEsches Gesetz................................................................ 11 Zulässige Spannungen.............................................................. 13 Vergleichsspannungen.............................................................. 14Linientragwerke .................................................................................. 16 Zug (Druck) ............................................................................... 16
Biegung ..................................................................................... 16Reine Torsion............................................................................ 18Querkraftschub.......................................................................... 19Federn....................................................................................... 20Satz von CASTIGLIANO ........................................................... 21Stabilitätsproblem Knicken ........................................................ 21
Flächentragwerke............................................................................... 22 Rotationsschalen....................................................................... 22
Kreis- und Kreisringscheiben ................................................... 23Kreis- und Kreisringplatten ........................................................ 24
Kinematik Kinematik des Punktes.............................................................. 27 Kinematik des starren Körpers .................................................. 28 Kinetik starrer Körper Translation ................................................................................ 30 Beliebige Bewegung.................................................................. 31 Bewegung in der x,y-Ebene ...................................................... 33 Gerader zentrischer Stoß.......................................................... 35 LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art ........................................ 35 Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 ................................... 36 Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1...................... 40 Geometrie- und masseabhängige Kennwerte Schwerpunkt ebener Linienstrukturen....................................... 41 Schwerpunkt ebener Flächen.................................................... 42 Schwerpunkt von Körpern ......................................................... 43 Flächenmomente 2. Ordnung.................................................... 44 Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion ........ 46 Massenmomente 2. Ordnung.................................................... 47
ii Formelsammlung Technische Mechanik
Formelsammlung Technische Mechanik 1
Statik Ebene Statik
Lasten (Kräfte und Momente)
(Einzel-)Kraft
F
Vektorielle Darstellung y
z x
F
Fy
exez
Fx
x
y
x y
x x yF F
y
F F F
e e Betrag, Richtung
Koordinaten
2 2
tan
x y
y
x
F F
FF
F
Moment bezüglich der z-Achse Resultierende Kraft aus n Kräften (Einzel-)Moment z
M
Vektorielle Darstellung
2 2
1 1
tan
mit:
RyR Rx Ry R
Rxn n
Rx ix Ry iyi i
FF F F
F
F F F F
F
ze
z
cos sin
sin cosx
y
F F FF F F
z z z y xM x F y F
M e
y
z x
Mz
z zM
M e
Formelsammlung Technische Mechanik 2
Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten
1 1 1 1
n m n m
Rz iz kz i iy i ix kzi k i k
M M M x F y F M
Gleichung der Wirkungslinie der äquivalenten Kraft
Ry Rz
Rx Rx
F My xF F
Gleichgewichtsbedingungen für n Kräfte und m Einzelmomente
Kräftegleichgewicht Momentengleichgewicht
0
RF 0RzM
1
0n
ixi
F
1 1
0
n m
i iy i ix kzi k
x F y F M
1
0n
iyi
F
Integrale von Linienlasten sind mit zu erfassen, z. B.
A
q(s)
sl
ds
0
l
RF q s ds
A
FR
sR l
RR
s q s s dsF
0
1
F =q lR 0
l/2 l/2
q0
l0 2
R R
lF q l s
F =q l/R 0 2
2 3 l/ l/3A
q0
lA
2
2 30 R R
q lF s l
Formelsammlung Technische Mechanik 3
Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele)
Symbol Lagerreaktionen Reduzierter Freiheitsgrad Bezeichnung
0 Einspannung
FB
FBh
MB
B
Festlager (gelenkiges Lager)
1
(Drehung um B) FB
FBhB
Loslager (Rollenlager)
2 (Verschiebung
von B entlang der Gleitebene,
Drehung um B)
B
FB
Pendelstütze (Stützstab, Seil)
2 (Verschiebung
von B auf Kreis-bogen um C,
Drehung um B) B
CFS
Zug-/Druckfeder (Federkonstante c)
2 (horizontale
Verschiebung von B, Drehung
um B)
Drehfeder (Federkonstante ct)
2 (horizontale und
vertikale Verschiebung
von B)
B
c
F = c
M = ct tB
ct
1
(Drehung um G) Gelenk
F FG G
F FGh GhG
beliebig
Formelsammlung Technische Mechanik 4
Schnittgrößen beim Balken Beziehungen zwischen Mb, FQ, q als Funktionen von s
Für entgegengesetztes s gelten die unteren Vorzeichen. Lasten (Kräfte und Momente) (Einzel-)Kraft
F
Vektorielle Darstellung Betrag Koordinaten
M b
FQ
Mb
FQ
FLFLFL – Längskraft FQ – Querkraft Mb – Biegemoment
-Mb
2
2
bQ
b
Q
M FMs q
F dsq
s
x y z
x x y y z zF F F
F F F F
e e e
2 2
2x y zF F F FF
cos
cos
cos
x
y
z
F FF F
F F
dss
Mb
FQ
M + dMb b
FQ + dFQ
q
Auftragerichtung für Mb
Mb
+
Räumliche Probleme
z
F
yx
z
y
r
O
e z
ex e y
Fy
Fx
Fz
x
Formelsammlung Technische Mechanik
5
Moment bezüglich des Punktes O
Resultierende Kraft aus n Kräften
(Einzel-)Moment
M
Vektorielle Darstellung
x y z
x x y y zM M M
M M M M
e e ze
Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten Gleichgewichtsbedingungen für n Kräfte und m Einzelmomente
Kräftegleichgewicht Momentengleichgewicht
0
RF 0
RM
1
0n
ixi
F
1 1
0
n m
i zi i yi kxi k
y F z F M
1
0n
iyi
F
1 1
0
i
n m
i x i zi kyi k
z F x F M
1
0n
izi
F
1 1
0
n m
i yi i xi kzi k
x F y F M
Integrale von Linien-, Flächen- und Volumenlasten sind mit zu erfassen.
1 1
n m
R i ii k
k
M r F M
mit:
x x y y z
x z y
y x z
z y x
M M M
M y F z F
M z F x F
M x F y F
M r F e e ez
1
n
R ii
F F
M
z
e My
Mz
yy
r
zO
z
ex eyx
x
Mx
6 Formelsammlung Technische Mechanik
Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele)
Symbol Lagerreaktionen Reduzierter Freiheitsgrad Bezeichnung
0 Einspannung FBy
FF
Bz
Bx
M
M
M
By
Bz
BxB
xy
z
Festlager (gelenkiges Lager)
3
(Drehung um x-, y-, z-Achse
durch B)
B
xy
zFBy
F
FBz
Bx
5
Loslager (Rollenlager)
(Drehung um x-, y-, z-Achse
durch B, Verschiebung in
x- und z-Richtung)
B
xy
z FBy
Pendelstütze (Stützstab, Seil)
5 (Verschiebung
von B auf Kugel-fläche mit Radius
BC um C, Drehung um B)
Hülse (ohne axiale Verschieblichkeit)
1 (Drehung um
z-Achse)
Gelenk
3
(Drehung um x-, y-, z-Achse
durch G)
x
y
zBFBy
F
FBz
Bx
M
M
By
Bx
Gx
z
yF F
Gy Gy
FF F
Gz
Gx Gx
FSC
BB
Formelsammlung Technische Mechanik 7
Schnittgrößen beim Balken
z
y Mbx
MtFQx
FL
FQy
Mby
S
x Haftreibung 0H NF F Gleitreibung , entgegengesetzt zur Gl NF F
Relativgeschwindigkeit
Rollreibung Ro N
fF F
R
Seilreibung 0
2 1S SF F e Haften 2 1S SF F e Gleiten
mit: FH - Haftreibungskraft FGl - Gleitreibungskraft FRo - Rollreibungskraft FN - Normalkraft (Druckkraft) FS1, FS2 - Seilkräfte
0 - Haftreibungskoeffizient - Gleitreibungskoeffizient f - Hebelarm der Rollreibung R - Radius des Rollkörpers - Umschlingungswinkel
FL - Längskraft FQx , FQy - Querkräfte Mbx , Mby - Biegemomente Mt - Torsionsmoment
mit: x, y, z bilden körperfestes Rechtssystem
Reibung
} meist: fR
8 Formelsammlung Technische Mechanik
Spannungen Spannungsvektor
mit: Koordinaten:
n - Einheitsvektor in Normalenrichtung s - Einheitsvektor in Tangentenrichtung
Räumlicher Spannungszustand Spannungstensor
xx xy xz
kl yx yy yz
zx zy zz
Normalspannung
Tangentialspannung oder Schubspannung
, , ,
kl lk
kl kl
k l x y z
z
xy
F
F
zz
yy
Fxx
JzyJyz
xz
Jxy
Jzx
Jyx
FestigkeitslehreGrundlagen
dA
AFi
Mk
n
sdFN
dFT dFddA
Ft n s
N
T
dFdA
dFdA
Formelsammlung Technische Mechanik 9
Hauptspannungen aus: ( 1, 2, 3i i ) 3 2
1 2 3 0 i i iS S S 1 2 3
mit:
1
2 2 22
2 23 2
xx yy zz
xx yy yy zz zz xx xy yz zx
2xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz
S
S
S xy Hauptspannungsrichtungen in aus:
0
0
0
xx i ix xy iy xz iz
yx ix yy i iy yz iz
zx ix zy iy zz i iz
n n n
n n n
n n n
mit:
2 2
( )
1
i ix x iy y iz z
i ikk
n n e n e n e
n n
Einheitsvektor der i-ten Hauptspannungsrichtung
k = x, y, z Ebener Spannungszustand (ESZ) Spannungstensor
Für gedrehtes Koordinatensystem
xx xykl
yx yy
cos 2 sin 22 2
cos 2 sin 22 2
sin 2 cos 22
xx yy xx yyuu xy
xx yy xx yyxy
xx yyu u xy
x
y
σxx
σxx
yx
yx
xy
xy
σyy
σyy
, ,
kl lk
kl kl
k l x y
x
uy
σxxyx
xy
σyy
u
10 Formelsammlung Technische Mechanik
Hauptspannungen Hauptspannungsrichtungen Verzerrungen Verschiebungsvektor
Räumlicher Verzerrungszustand Verzerrungstensor
Dehnungen Gleitungen
Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen wie beim räumlichen Spannungszustand ( ) kl kl S. 9
x y z
x x y y z
u w
u u u
e e e
u e e ze
1 1
2 21 1
2 21 1
2 2
xx xy
kl yx yy yz
zx zy zz
xz
, ,
, ,
, ,
,
,
,
yx x
xx x x xy x y
y y zyy y y yz y z z y
xz zzz z z xz x z z x
uu uu ux yu u uu uy z
uu uu uz z
y xux
uy
ux
, , ,
2
kl lk
kl kl
k l x y z
2
21,2 2 2
xx yy xx yyxy
01,02
012
2tan 2
tan
xy
xx yy
xy
xx
für eindeutige Hauptspannungsrichtung 1
x
1
yσxx
yx
xy
σyy
1
2
2
2
u
y
z
O
ez
exey
x
uyux
uz
P
P'
Formelsammlung Technische Mechanik 11
Ebener Verzerrungszustand (EVZ) Verzerrungstensor
1
21
2
xx x
kl
yx yy
, ,
2
kl lk
kl kl
k l x yy
Für gedrehtes Koordinatensystem
xu
y
xx u u
yy
2
u2
xy
1cos 2 sin 2
2 2 2
1cos 2 sin 2
2 2 2sin 2 cos2
xx yy xx yyuu xy
xx yy xx yyxy
u u xx yy xy
Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen wie beim ebenen Spannungszustand kl kl S. 10 HOOKEsches Gesetz Voraussetzung: isotropes Material
1
1
1
1
1
1
xx xx yy zz
yy yy zz xx
zz zz xx yy
xy xy
yz yz
zx zx
TE
TE
TE
G
G
G
12 Formelsammlung Technische Mechanik
2 1E G mit:
E – Elastizitätsmodul (YOUNGs Modul) G – Schubmodul – Querkontraktionszahl ( - POISSONsche Zahl) 1m
– Temperaturdehnzahl T - Temperaturdifferenz Sonderfall: Ebener Spannungszustand (ESZ)
1
1
1
xx xx yy
yy yy xx
zz xx yy
xy xy
TE
TE
TE
G
Sonderfall: Ebener Verzerrungszustand (EVZ)
11 1
11 1
1
xx xx yy
yy yy xx
xy xy
TE
TE
G
Formelsammlung Technische Mechanik 13
Zulässige Spannungen
zähes Material
sprödes Material
F
Fzul
B
B
S
S
mit: )
)
( 1,2...2)
( 4...9)
Fließfestigkeit (Bruchfestigkeit (Sicherheitsfaktor gegen FließenSicherheitsfaktor gegen Bruch
F e
B m
F F
B B
RR
S SS S
Sicherheitsfaktoren aus Regelwerken für jeweilige Anwendung
Bei anisotropem Material zusätzlich mit analoger Definition
d zul
14 Formelsammlung Technische Mechanik
Vergleichsspannungen Festigkeitskriterium
zul
mit: Vergleichsspannung
Bei anisotropem Material zusätzlich d d zul
Allgemein Formulierung mit den Hauptspannungen 1 2 3 S. 9
Normalspannungshypothese
Isotropes Material:
Anisotropes Material:
1 3 1
1 3 1
:
:
1
3
1 3 1 1
1 3 1 1 1
1 3 1 3
0 , 0 :
0 , 0 :
0 , 0 :
und
d
d
3
Schubspannungshypothese
2 1 3
Gestaltänderungsenergiehypothese
2 2 2
3 1 2 2 3 3 1
2 2 2 2 2 2
1
2
13
2 xx yy yy zz zz xx xy yz zx
Analog für Zylinderkoordinaten:
2 2 2 2 2 23
13
2 rr zz zz rr r z zr
Formelsammlung Technische Mechanik 15
Linientragwerke (Balken, Wellen) S. 16 ff
Normalspannungshypothese
Formulierung mit den Hauptspannungen 1 2 (ESZ) S. 10
Isotropes Material:
1 2 1
1 2 1
:
:
1
2 Anisotropes Material:
1 2 1 1
1 2 1 1 1
1 2 1 2
0 , 0 :
0 , 0 :
0 , 0 :
und
d
d
2
Schubspannungshypothese
2 22 4
Gestaltänderungsenergiehypothese
2 23 3
Flächentragwerke (Behälter, Scheiben, Platten – ESZ)
Gestaltänderungsenergiehypothese
Behälter S. 22 2 2
3 l u l u
Scheiben, Platten S. 23 ff
2 23 rr rr
16 Formelsammlung Technische Mechanik
Zug (Druck) ,
( )( )
( )L L
zz zz z zF z Fz uA z EA
Sonderfall: ., 0 zz konst T
mit:
Linientragwerke
A - Querschnittsfläche
T
zz
ll
EA - Dehnsteifigkeit l - Längenänderung l - Ursprungslänge
Biegung Spannung Gerade Biegung (Biegung um Hauptträgheitsachse x)
bxzz
xx
M yI
mit: max
xxbx
IWy
Widerstandsmoment gegenüber Biegung
maxmax
bxzz
bx
MW
Schiefe Biegung, x, y – Hauptträgheitsachsen, einschließlich Längskrafteinfluss
bybxLzz
xx yy
MMF y xA I I
Gleichung der Spannungsnulllinie 0 zz
by xx xL
bx yy bx
M xI IFy xM I M
A
Formelsammlung Technische Mechanik 17
Schiefe Biegung, x, y – beliebige Schwerpunktsachsen, einschließlich Längskrafteinfluss
2 2
bx yy by xy bx xy by xxLzz
xx yy xy xx yy xy
M I M I M I M IF y xA I I I I I I
Gleichung der Spannungsnulllinie 0 zz
2
bx xy by xx xx yy xyL
bx yy by xy bx yy by xy
M I M I I I IFy xM I M I A M I M I
mit: , ,xx yy xyI I I - Flächenmomente 2. Ordnung S. 44
Verformung (gerade Biegung) Differenzialgleichung der Biegelinie
mit: ´ddz
Neigung
EI(xx) – Biegesteifigkeit I(xx) – axiales Flächenträgheitsmoment S. 44
Randbedingungen für bzw. ́
( )
( )
´́ b x
xx
MEI
xx
Mb(x) Mb(x)
z z
y, y,
18 Formelsammlung Technische Mechanik
Reine Torsion
max
t t
t t
M MW l
GI
mit: - Verdrehwinkel l - Stablänge - Drillung GIt - Torsionssteifigkeit It - Torsionsträgheitsmoment Wt - Widerstandsmoment gegenüber Torsion Sonderfall: Kreis(ring)querschnitt
max( ) t t
p p
M Mr rI W
mit: Ip - polares Flächenträgheitsmoment Ip = It = 2 Ixx= 2 Iyy
- polares Widerstandsmoment Wp=Wt =2Wbx=2Wby
r – (beliebiger) Radius innerhalb des Querschnitts
pp
a
IW
r
ra – Außenradius Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion S. 46
Formelsammlung Technische Mechanik 19
Querkraftschub Voraussetzung: x, y – Hauptträgheitsachsen
Massive Querschnitte (annähernd rechteckig) FQy
Schubspannungen
z-
-
-
y
dy
S
A y( )
b yx( )
b yx( )
y
y
yR
x
( )
( )( )
( )
( ) ( )
statisches Moment der (unterlegten)Restfläche
mit:
R
Qy xzy
xx x
y
x xy
A y
F S yy
I b y
S y y b y dy
( )
( )( )
Qx yzx
yy y
F S xx
I b x
Analog:
Dünnwandige offene Querschnitte Schubspannungen
0
0
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
mit:
ds
Qy x Qx yzs
xx yy
l s
xsl s
ys
F S s F S ss
I s I s
S s y s s ds y s s
S s x s s ds x s s ds
y
z
FQy
s
s s=l
s=s=0
r st( )
x S
MFQx
xM
yM
~~
( )s( )s ds
Koordinaten des Schubmittelpunktes M
0
1( )
1( )
l
M x txx
l
0M y t
yy
x S s r s dsI
y S s r
s dsI
20 Formelsammlung Technische Mechanik
Federn Federgesetze
Feder Federgesetz Potenzielle Energie
Zug-/Druck-Feder
Drehfeder
Ersatzfederkonstanten
Federschaltung Ersatzfederkonstante
Reihenschaltung
Parallelschaltung
Federkonstanten elastischer Linientragwerke
Beanspruchungsart Federkonstanten
Zug
Biegung
Torsion
1 2
1 2
1 1 1
1 1 1
t t t
c c c
c c c
1 2
1 2t t t
c c c
c c c
FL
M t
c1 c2
ct2ct1
w
FL
M t
c1 c2
c t2c t1
w1 w2
1 2
EAc
lFL
EA, l
Mt
GI , lt
tt
GIc
l
3 2
2
3 2:
2:
Q t
b t
EI EF c cl l
I
EI EM c cl l
I
FQ
M b
, lEI
F c w
t tM c
wc 21
2U c wFL
cMt
t21
2 tU c
Formelsammlung Technische Mechanik 21
Satz von CASTIGLIANO Voraussetzungen: x, y – Hauptträgheitsachsen, T = 0
mit: U - linearelastische Verzerrungsenergie x, y - Schubfaktoren des jeweiligen Querschnitts
1 ( )
...
analog
i
nbyi byibxi bxi ti ti
kik xx k k t kl yyi ii
Qxi Qxi Qyi QyiLi Lixi yi
k ki i i
kk
M MM M M MUF EI F F GI FEI
F F F FF F dsEA F GA F GA F
UM
ik
Stabilitätsproblem Knicken Kritische Kraft für EULERsche Knickfälle
FK FKFKFK
22Kk
E IF
l
)(für p
P
E
2 1 0,5lKl
: 0,7
mit: Schlankheitsgrad
i - Trägheitsradius S. 45
Kli
P - Proportionalitätsgrenze
22 Formelsammlung Technische Mechanik
Flächentragwerke Voraussetzung:
Belastung, Geometrie, Materialverhalten sind rotationssymmetrisch Spannungs- und Verzerrungszustand ist rotationssymmetrisch
Rotationsschalen (Behälter - Membrantheorie) Behälter Längs- Umfangs-
spannung spannung
allgemein
Kugelschale
Zylinder-schale
Kegelschale
pR
h2
Rp
hR
ph
2
Rp
h
2 sin
R ph
h R
p
p
h
Ø2R
1 2
: (Rotationsachse)
l u pR R h
R1
p
hR2
l
l
u
u
sin
R ph
l
u u
u u
l l
u u
Formelsammlung Technische Mechanik 23
Kreis- und Kreisringscheiben
Fnn
Frr rr+dF
Fnn
DT2r
dr
Frr
rdn
n
Differenzialgleichung
2
22
´ 1 1´́ ´ ´ 1 ´r r
r ru uu r u rr r r E
T
mit: - Verschiebung in radialer Richtung ( )ru r - Massendichte
2 n Winkelgeschwindigkeit (n – Drehzahl)
´r
Allgemeine Lösung
2
2 31 2
1 11 (
8
r
ra
u C r C r r T r dr E r
) r
mit:
1 2
0 (
(
,
Vollscheibe)Innenradius Ringscheibe)
Integrationskonstanten aus Randbedingungen
a
C C
Randbedingungen (je 1 pro Rand) für bzw. r rru Spannungen
2
2
´ 11
´ 11
rrr r
rr
uE u Tr
uE u Tr
24 Formelsammlung Technische Mechanik
Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 15 Dehnungen
´
r
rr r zz rruu Tr E
Alternative Lösung (günstig bei Spannungs-Randbedingungen)
2
2 31 2
2 21 22
2 21 22 2
1 1 1 11 (
8
1 3( )
8
1 1 3 1( )
8
r
ra
r
rra
r
a
u K r K r r T rE E r E r
EK K r r T r drr r
K K r E T r T r drr r
) dr
mit: K1, K2 – Integrationskonstanten Dehnungen wie oben
Kreis- und Kreisringplatten
mn
z,w
dr
mr
p r( )qr+dqr
qr
mn
hdn
n
r
mr+dmr
Formelsammlung Technische Mechanik 25
Differenzialgleichung
2 3
´́ ´ ´́ ´ 1 1 ( )´́ ´́ 2 ´ ´ ´ ´
w w w p rw w r r wr r r r r K
mit: w(r) – Verschiebung der Plattenmittelfläche in z-Richtung
3
212 1
´
PlattensteifigkeitKE h
ddr
Allgemeine Lösung für 0( ) .p r p konst
42 2 0
1 2 3 40 0
ln ln64
p rr rw C C C r C rr r
K
mit: r0 - beliebiger Bezugsradius C1, …, C4 - Integrationskonstanten aus Randbedingungen
Randbedingungen (je 2 pro Rand) für w oder qr bzw. w´ oder mr
Schnittgrößen
2
´ ´´́ ´́
´́ ´´́ ´
r
r
w wm K w m K wr r
w wq K wr r
Spannungen
3 3
1212
2 2mit:
rrr
mm z zh hh hz
Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 15 Dehnungen ´
´́ 0 rr zzwz w zr
26 Formelsammlung Technische Mechanik
Formelsammlung Technische Mechanik 27
Kinematik- Bewegung auf einer Geraden
Kinematik des Punktes
Weg ( )s s t
Geschwindigkeit s
Beschleunigung a s
( ) ( )mit: bzw.
d d d ddt ds dt d
Bewegung auf beliebiger Bahn, verschieden beschrieben
Kartesische Koordinaten
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y z
x y z
x y z
t x t y t z t
t x t y t z t
t x t y t z t
r e e
r e e
a r e e
e
e
e
P
O
x
y
z
ez
exey
r t( )
y t( )
z t( )
x t)(
Natürliche Koordinaten
2
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )ρ( )
t t
t n
t t
tt t t
s s tt s t t
tt
en
e tP
O
s t( )
e e
a e e
mit: - Krümmungsradius Polarkoordinaten (ebene Bewegung)
2
( )
( )
( ) ( 2 )CORIOLIS-Beschleunigung
r
r
r
r tt r r
t r r r r
e
e e
a e
r
eer
P
O
r( )t
e
mit: 2
T
Winkelgeschwindigkeit
T – Kreisfrequenz (Umlaufzeit)
( )t
28 Formelsammlung Technische Mechanik
Kinematik des starren Körpers
Translation A
A´´A´
BB´ B´´
0t t1t t
2t t
Ein Körperpunkt ( A bzw. B ) repräsentativ für alle Körperpunkte; Kinematik des Punktes anwendbar Rotation um raum- und körperfesten Punkt O
P
O
r
Allgemeine Bewegung r r
Ebene Bewegung Momentanpol mit:
A AP
A AP
A AP
r
r r r
a r r r r AP
r
r r
a r
PA
AP
O
rrA
r
P
A
AP
O
rrA
rer
e
e
ex
ey
ez
2
A AP
A AP
AP A
z
A z
e r
e
r r r
r r
a r r r r
P
z AM A
er r
z A A y Ax ye e xe
Formelsammlung Technische Mechanik 29
Bewegung des Punktes P relativ zu bewegtem Bezugssystem
2CORIOLIS-FührungsbeschleunigungBeschleunigung
B BP
P BP rel rel
B BP rel
B B
rr r a r r
r
r r a
r r
mit: - absolute Winkelgeschwindigkeit des bewegten
Bezugssystems
B (körperfestesBezugssystem)
B
B P
O
r
rr
P
30 Formelsammlung Technische Mechanik
Kinetik starrer Körper- Translation NEWTONs statische Interpretation Bewegungsgleichung (D´ ALEMBERT)
R SmF r 0
Sm r
RF
1 1
2 21 0 1 0
1
t
t
m m T T0 0
1( ) ( ) ( )
d t t dtF r r F 2 2R R
F
mSO
s
: 0F m s
F m s
mit: - Hilfskraft m s (Trägheitskraft)
beliebige Translation ( 0RM
)
Fm
SO
sF
m
msSO
s geradlinige Translation infolge der Kraft F
Mathematische Folgerungen für beliebige Translation
1
0
1 0( ) t
Rt
t dt mF
mit: 0, 1 - Indizes für Weganfang bzw. Wegende Für (Impulserhaltung) : 0
RF .konst
Mechanischer Arbeitssatz (Translation) mit:
RF Leistung (bei Translation)
P
kinetische Energie (der Translation) 212
T m
Formelsammlung Technische Mechanik 31
Mechanischer Energiesatz (Translation) 1
0
2 20 1 1 0 1
1 1( )
2 2
R d U U m m T TF r r 0
0 0 1 1 .U T U T konst
mit:
RF - Potenzialkraft U - potenzielle Energie (der Translation) Beispiele: Gewicht: : Federenergie S. 20
Höhemit -U mg h h
Beliebige Bewegung Schwerpunktsdefinition
folglich:
dmS
m
O
rrS( )
1S
m
dmm
r r
( )
1S
m
dmm
r r Schwerpunktssatz
Definition von Impuls und Drehimpuls Impuls
dmS P
m
O
r
ri
rS
rSP
Fi
Mk
( )
Sm
dm m p r r
Drehimpuls bezüglich des Punktes O
( )m
dm L r r
EULERs Grundgesetze der Kinetik
Impulsbilanz
R SmF p r
RM L Drehimpulsbilanz
32 Formelsammlung Technische Mechanik
Formulierung im x,y,z-Koordinatensystem
1 1 2 3 2
3 3 3 1 2 1R
J J J
M J J J
2 2 2 3 1 3 1RM J J J
1RM 3
2
m x
y
z
1
1
1
n
ixi
n
iyin
izi
S
Ry S
Rz S
F
F
F
F m
F m
Impulsbilanz
RxF Drehimpulsbilanz
bezüglich körperfester Hauptträgheitsachsen i durch den Schwerpunkt
1, 2, 3S (EULERsche Gleichungen)
mit: MRi - Koordinaten des resultierenden Moments
Ji - (Massen-)Hauptträgheitsmomente S. 48 i - Koordinaten der absoluten Winkelgeschwindigkeit
Formelsammlung Technische Mechanik 33
Bewegung in der x,y-Ebene Statische Interpretation von Impuls- und Drehimpulsbilanz für verschiedene Bezugspunkte
1 1
: 0 : 0n n
ix s iy Si i
F m x F m y
zzJ
mit: - Hilfsmoment (Moment der Trägheit) Kräftegleichgewicht (für alle Bezugspunkte gleich)
Momentengleichgewichte Mechanischer Energiesatz
2 2 2 2 2 20 1 1 1 1 0 0 0 1
0 0 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2.
S S zz S S zzU U m x y J m x y J T T
U T U T konst
0
1 1
1 1
1 1
: 0
: 0
: 0
n m
iy i ix i k S S S S zzi k
n m
iy i B ix i B k S S B S S B zzi k
n m
iy i S ix i S k zzi k
O F x F y M m y x m x y J
B F x x F y y M m y x x m x y y J
S F x x F y y M J
bzw.
bzw.
S
Jzz..
..
..
Fix
Fiyyy
m, Jzz
yi
yS z
x
yB
xB x xiS
x
O
B
mxSmyS
Mk
34 Formelsammlung Technische Mechanik
Sonderfall: Rotation um raumfeste Achse durch den Punkt A
Bewegungsgleichung (analog zur Translation) yy
mit mit: Satz von STEINER S. 45 Mathematische Folgerungen aus der Bewegungsgleichung
Für 0R zM (Drehimpulserhaltung) : Mechanischer Arbeitssatz (Rotation)
mit: RzP M Leistung (bei Rotation)
kinetische Energie (der Rotation) Mechanischer Energiesatz (Rotation)
mit: R zM aus Potenzial ableitbar U - potenzielle Energie (der Rotation)
1 1
0 0
2 21 0 1
1 1( ) ( ) ( )2 2R z R z
t
zz zzt
0M d M t t dt J J T
T
Rz zzM J
1
0
2 20 1 1
0 0 1 1
1 1( )
2 2
.
R z zz zzM d U U J J
U T U T konst
0
1 1
:n m
iy i ix i ki k
R z F x F y MM
S
Fix
Fiy
m, Jzz
yi
yS z
z xxixS
rS
x
O=A
Mk
FAh
S. 2
1 1
0n m
iy i ix i k zzi k
F x F y M J
AF2zz zz sJ J r m 2 2
S Sr x y 2S
1
0
1 0( )R z zz
t
zzt
M t dt J J
. .bzw.zzJ konst konst
212
T J
Formelsammlung Technische Mechanik 35
Gerader zentrischer Stoß
Geschwindigkeiten nach dem Stoß
mit: Stoßzahl
Geschwindigkeiten vor dem Stoß
Verlust an kinetischer Energie LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art
mit: T - kinetische Energie des Gesamtsystems - verallgemeinerte Koordinate lq
lQ - verallgemeinerte Last aus
W - Arbeitszuwachs der eingeprägten Lasten
- virtuelle Verschiebung für konstant gehaltene Zeit lq f - reduzierter Freiheitsgrad
Sonderfall: Existenz einer potenziellen Energie U für alle verall- gemeinerten Lasten
1 1 2 2 2 1 21
1 2
1 1 2 2 1 1 22
1 2
m m k mm m
m m k mm m
S1
S2
m1
m2
1 2
1 2
k
( 1: elastischer Stoß0 : plastischer Stoß )
kk
1 2,
2
21 21 2
1 2
1
2
k m mT Tm m
1, ...,ll l
T TQ l
q q
f
1
f
l ll
W Q q
0 mit :L L L T Uq q
l l
36 Formelsammlung Technische Mechanik
Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 Anm.: Aufgeführt sind jeweils die Beziehungen für Schwingungen
mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung. Ist die Schwingung ungedämpft, dann gilt: Freie gedämpfte Schwingungen
Bewegungsgleichung
andere Formulierung: mit:
Lösung für schwache Dämpfung (0
1D
)
andere Formulierung: mit:
0m s b s c s
202 δ 0s s s
1 2δ( ) cos sint C Cs t e t t
0D ( Formelzeichen s. u. ) 0 0b
20
δ =2
Dämpfung
Abklingkonstante
Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
b -bmcm
s
O
m
c b
s im raumfesten Koordinatensystem (analog für Winkel)
δ( ) cos αts t e C t
C1, C2 - Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen: 0 00 : ,t s s s
2 21 2C C C
2α arctanCC
Phasenwinkel 1
Formelsammlung Technische Mechanik 37
Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung
2 20 0δ 1 D 2
LEHRsches Dämpfungsmaß (Dämpfungsgrad) Schwingungsdauer
Logarithmisches Dekrement Erzwungene gedämpfte Schwingungen Voraussetzung: Harmonische Erregung
Lasterregung Unwuchterregung Bewegungserregung
2T
2
2 πln
1
k
k
s t D Ts t T D
t
s(t)
Ttk
te
te
0 02
bD
m
F t =F sin t( ) 0
s
O
m
c b s
O
mmu
t
ru
c b
s
O
B
u=u sin t0 s =s-ur
m
c b
38 Formelsammlung Technische Mechanik
Erregungsart Lasterregung
Erregungsfunktion F0 - konstante Lastamplitude
0( ) sin F t F t
Bewegungsgleichung
Homogene Lösung
Anfangsbedingungen
0 sinms b s c s F t
δ cos αts e C t
0 00 : ,t s s s
Partikuläre (stationäre) Lösung 0 sinp IFs V tc
Vergrößerungsfunktion
22 2
max 2
1
1 η 4 η
1
2 1
I
I
VD
VD D
2
VI
D = 0
D = 0,2
Phasenwinkel 2
2 ηarctan
1 ηD
Frequenzverhältnis
Eigenkreisfrequenz (gedämpft)
LEHRsches Dämpfungsmaß
0
20 1 D
0 02 2
b bD
m mc
Formelsammlung Technische Mechanik 39
Unwuchterregung Bewegungserregung mu ru 2
- konstante Kraftamplitude u0 - konstante Wegamplitude
2( ) sinu uF t m r t 0( ) sinu t u t
2 sinu u um m s b s c s m r t 2
0 sinr r rs b s c s tm m u
δ cos αtrs e C t δ costs e C t
0 00 : ,rr rt s s s r 0 00 : ,t s s s
2
2 ηarctan
1 η
D
3
2 21 4
2 ηarctan
1 ηDD
VII
D = 0
D = 0,2
VIII
D = 0
D = 0,2
sinup u II
u
ms r V tm m
0 sinr p IIIs u V t
2 2
22 2 2
max
1 4
1 4
11
2
III
III
DV
D
V DD
2
22 2
max 2
1 4
1
2 1
II
II
VD
VD D
für
2
0
20 1 D
0 02 2
b bD
m m c 0 02
u
bDm m
40 Formelsammlung Technische Mechanik
Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1
Bewegungsgleichung
mit: Spezialfall: Freiheitsgrad f = 2, Erregerlast F1(t) = F0 sint,
keine Dämpfung Anfangsbedingungen für t = 0 : Lösungsanteil der freien Schwingung
2
Eigenfrequenzen i (i = 1, 2) und dazugehörige -moden aus:
1 2ˆ ˆ( / )iq q
Lösungsanteil der erzwungenen Schwingung Amplituden aus: 1, q q
11 1 12 2 11 1 12 2 0
21 1 22 2 21 1 22 2
sin
0
m q m q c q c q F tm q m q c q c q
1 1 11 12
2 2 21 22
ˆ cos sin
ˆ cos sin
h
h
q q C t C t
q q C t C t
t
t
2 211 11 1 12 12 2
2 221 21 1 22 22 2
ˆ ˆ 0
ˆ ˆ 0
c m q c m q
c m q c m q
1 1 1
2 2 2
sin
sin
p p
p p
q C q
q C q
2 211 11 1 12 12 2 0
2 2 0
c m q c m q F
c m q c m q
21 21 1 22 22 2
0
M q B q C q F
, 1, ...,
Vektor der verallgemeinerten Koordinaten
Massenmatrix Komponenten:
Dämpfungsmatrix
Steifigkeitsmatrix
Vektor der Erregerlasten
k
kl lk
kl lk
kl lk
k
b
F
q
m m
b
c c
k l f
q
M
B
C
F
1 10 1 10 2 20 2 2q q q q q q
Formelsammlung Technische Mechanik 41
Schwerpunkt ebener Linienstrukturen
Geometrie- und masseabhängige Kennwerte
Allgemein
( )
( )
( )
1
1
S Ll
S Ll
l
x x dsl
y yl
l ds
x
xS L
xx
yS L
y
y y
S
ds
s=l
s
ds
Spezielle Linien
Linie Schwerpunktskoordinaten
cos
2 2
sin2 2
S L
S L
a cx
b cy
x
xS L
x
yS L
b
y yc
a
S
2S L S Lx y R
x
xS L
x
yS L
y y
R
S
Bei bekannten Werten für n Teillinien
x
xS L xS Li
x
yS L
yS Li
y y
S
SLi
li1
1
1
1
1
n
S L S Li ii
n
S L S Li ii
n
ii
x x ll
y yl
l l
l
42 Formelsammlung Technische Mechanik
Schwerpunkt ebener Flächen Allgemein
( )
( )
( )
1
1
S AA
S AA
A
x x dAA
y yA
A dA
x
xS A
xx
yS A
y
y y
S
A dA
dA
Spezielle Flächen
Fläche Schwerpunktskoordinaten
Bei bekannten Werten für n Teilflächen
x
xS A
y
a
y 2
31
3
S A
S A
x a
y b
x
yS A
b
S
x
xS A
x
yS A
y y
R
S4
3S A S Ax y R
yiy
xi
AiSi
S x yS A_
_
xS A
_
xS Ai
yS Ai
x
y
1
1
1
1
1
i
i
n
S A S A ii
n
S A S A ii
n
ii
x x AA
y yA
A A
A
Formelsammlung Technische Mechanik 43
Schwerpunkt von Körpern Allgemein
( )
( )
( )
( )
1
1
1
S mV
S mV
S mV
V
x x dmm
y ym
x
xS m xx
yS m
y
y
z
z
z
zS m
yS
m dm dm
z z dmm
m dm
Spezielle Körper
Körper Schwerpunktskoordinaten
z
Bei bekannten Werten für n Teilkörper
x
x
zS mb1
a2
a1
b2
yy
zKeil(stumpf) Pyramide(-nstumpf)
h
Quader 1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2
3
2 2 2
S ma b a b a b a bhza b a b a b a b
zKegel(stumpf)
1
1
1
1
1
1
n
S m S mi iin
S m S mi iin
S m S mi ii
n
1i
i
x x mm
y ym
z zm
m m
m
m
Pyramide(-nstumpf)
xx
zS m
S1
A1
S
S2
A2
r1
r2
z
yy
2 21 1 2 2
2 21 1 2 2
1 1 2
1 1 2 2
2 3
4
2 3
4
S mr r r rhzr r r r
2A A A AhA A A A
h
44 Formelsammlung Technische Mechanik
Flächenmomente 2. Ordnung Trägheitstensor
xx xykl
yx yy
I II
I I
2
( )
2
( )
:
xiale Flächenträgheitsmomente
mit
Axx
A
yyA
I y dA
I x dA
( )
( )Zentrifugal- oder Deviationsmoment xy xy yxA
I x y dA I I Satz von STEINER
2 2 xx xx S yy yy S xy xy S SI I y A I I x A I I x y A
Spezielle Flächen
Flächenmomente 2. Ordnung Fläche
,x y -Koordinatensystemx,y- Koordinatensystem 3
3
12
120
xx
yy
xy
b hI
h bI
I
3
3
2 2
3
3
4
xx
yy
xy
b hI
h bI
b hI
y y
x
x S
h
b
y
x
y
xS
h
b
3
3
2 2
36
36
72
xx
yy
xy
b hI
h bI
b hI
3
3
2 2
12
12
24
xx
yy
xy
b hI
h bI
b hI
Formelsammlung Technische Mechanik 45
y
x
y
x S R
4
4
4
16 9
4 1
9 8
xx yy
xy
I I R
I R
4
4
161
8
xx yy
xy
I I R
I R
Bei bekannten Werten für n Teilflächen
y
x
D=2R
S
4
4
4
640,5
xx yy
p
I I R
D
I
Hauptträgheitsmomente 1 2I I Hauptträgheitsrichtungen
01,02
012
2tan 2
tan für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1
xy
xx yy
xy
xx
II I
II I
yiy
xi
A ,I ,I ,Ii x x y y x yi i i iiiSi
S x yS_
_
xS
_
xSi
ySi
x
y
2
1
2
1
1
i i i
i i i
i i i i
n
xx x x S ii
n
yy y y S ii
n
xy x y S Si
I I y A
I I x A
iI I x y A
x
2
1
S
y
2
2
1
1
2
21,2 2 2
xx yy xx yyxy
I I I II I
02
01
Trägheitsradius
,kkk
Ii kA
x y
46 Formelsammlung Technische Mechanik
Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion
Querschnitt It Wt
Kreis (Ri=0), Kreisring
4 4
4 4
2
32
a i
a i
R R
D D
4 4
4 4
2
16
a i
a
a i
a
R RR
D DD
dünnwandig offen
3
1
1
3
n
i ii
l
max
t
i
I
dünnwandig geschlossen
24
1( )
mA
dss
Di=2Ri
Da=2Ra
min2 mA
Rechteck (h>b)
h/b 1 1,5 2 3 4
c1 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281
c2 0,208 0,231 0,246 0,267 0,282
h
b
s
Am
(s)
31c h b 2
2c h b
Formelsammlung Technische Mechanik 47
Massenmomente 2. Ordnung Trägheitstensor
mit:
Axiale Massenträgheitsmomente
dm
m
y
z
xSyS
zS
x
S
_
__
_ __
xx xy xz
kl yx yy yz
zx zy zz
J J JJ J J J
J J J
2 2
( )
2 2
( )
2 2
( )
xxm
yym
zzm
J y z dm
J z x dm
J x y dm
Zentrifugal- oder Deviationsmomente
( , , , ) kl lkJ J k l x y
( )
( )
( )
xym
xzm
yzm
J x y dm
J x z dm
J y z dm
z
Satz von STEINER
2 2
2 2
2 2
xx xx S S xy xy S S
yy yy S S xz xz S S
zz zz S S yz yz S S
J J y z m J J x y m
J J z x m J J x z m
J J x y m J J y z
m Trägheitsradius , ,kk
kJj k x ym
z
48 Formelsammlung Technische Mechanik
Spezielle Körper (Masse m)
Körper Massenmomente 2. Ordnung
Kreiszylinder
Stab
xz R
l
Sy 2
2zzmJ R 2 23
12xx yymJ J R l
x
x
y
y z
l
S
2
2
12
3
xx yy
xx yy
mJ J l
mJ J l
Kreisscheibe x
y
z
R
S2
2zzmJ R
Kreisring (dünner Kreiszylinder)
Kugel
Quader
2zzJ m Rx
y
z
R
S
Rx
y
z22
5xx yy zzJ J J m R
x
y
z
ca
b
S
2 2
12zzmJ a b
2 2
12yymJ a c
2 2
12xxmJ b c
Formelsammlung Technische Mechanik 49
Bei bekannten Werten für n Teilkörper
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
i i i i
i i i i
i i i i
n n
xx x x Si Si i xy x y Si Si ii i
n n
yy y y Si Si i xz x z Si Si ii i
n n
zz z z Si Si i yz y z Si Si ii i
J J y z m J J x y
J J z x m J J x z
J J x y m J J y z
m
m
m
Hauptträgheitsmomente Ji (i =1,2,3) aus (vgl. Hauptspannungen):
0
0
0
xx i ix xy iy xz iz
yx ix yy i iy yz iz
zx ix zy iy zz i iz
J J c J c J c
J c J J c J c
J c J c J J c
z
i ix x iy y ize c e c e c e
3 21 2 3 0 i i iJ S J S J S 1 2J J J
mit:
3
2
1
2 2 22
2 23 2
xx yy zz
xx yy yy zz zz xx xy yz zx
xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy
S J J J
S J J J J J J J J J
S J J J J J J J J J J J J Hauptträgheitsrichtungen ei
aus (vgl. Hauptspannungen):
mit:
Hauptträgheitsrichtung Einheitsvektor der i-ten
e c2 2
( )
1i ikk
k = x, y, z
50 Formelsammlung Technische Mechanik
Sonderfall: Zur x,y-Ebene symmetrischer Körper (vgl. Flächenmomente 2. Ordnung) Hauptträgheitsmomente Hauptträgheitsrichtungen
für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1 48;1;2;47;46;3;4;45;44;5;6;43;42;7;8;41;40;9;10;39;38;11;12;37;36;13;14;35;34;15;16;33;32;17;18;31;30;19;20;29;28;21;22;27;26;23;24;25
x
v
2
y 1
S
y
2
2
1
1
2
21,2 1 2
3
2 2xx yy xx yy
xy
zz
J J J JJ J
J J
J J
0101,02
2tan 2
xy
xx y
J
yJ J
012
tan xy
xx
JJ J
Formelzeichen
O Koordinatenursprung im raumfesten Koordinatensystem
Z, z alphanumerisches Zeichen zur Symbolisierung einer physikalischen oder mathematischen Größe
z Vektor bzw. Matrix z ´z (Orts-)Ableitung der Größe z ,xz partielle (Orts-)Ableitung der Größe z nach x
z Zeitableitung der Größe z z parallele Achse zur (durch den Schwerpunkt
gehenden) Achse z Z bewegter Punkt Z im raumfesten Koordinatensystem
z-Komponente des Einheitsvektors ze e
Kombinationen von Symbolen sind möglich. Die „doppelte“ Symbolik für Vektoren und Matrizen wird benutzt, weil die ausschließlich „fette“ Darstellung in handschriftlichen Aufzeich-nungen nicht eindeutig ist.
Farbsymbolik im Text S. Z Verweis auf Seite Z Farbsymbolik in den Skizzen Einheitsvektoren Lasten, Spannungen, Drücke Koordinaten, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen
Stoffauswahl, didaktisch-methodische Aufbereitung, Layout, Satz und Druck:
apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi e-Mail: [email protected] Vorschläge für Berichtungen und Ergänzungen an obige e-Mail-Adresse werden gern entgegengenommen. Der Autor ist Mitarbeiter an der Professur Elastizitätstheorie/Bruchmechanik: Inhaber: Prof. Dr.-Ing. habil. H. Balke Technische Universität Dresden Fakultät Maschinenwesen Institut für Festkörpermechanik 01062 Dresden
George-Bähr-Straße 3c Zeunerbau Zimmer 343 [email protected] [email protected]