Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Spektral- und Pseudospektralmethoden zurLosung der Fokker-Planck und der Schrodinger
Gleichung
Daniel Seibel
Universitat des Saarlandes
5. Juli 2016
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Gliederung
1 Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und PhysikBrownsche BewegungOrnstein-Uhlenbeck-GleichungRayleigh- und Lorentz-Fokker-Planck-GleichungenSpektrallosung der Rayleigh-Gleichung
2 Numerische LosungsmethodenWiederholungFokker-Planck-GleichungSpektralmethoden mit nichtklassischen BasenPseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
3 Sturm-Liouville-ProblemeSturm-Liouville-ProblemRotation eines starren KorpersHarmonischer OszillatorZweidimensionale SchrodingergleichungAbschließende Worte
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Brownsche Bewegung
Brownsche Bewegung
Betrachte Teilsystem von Teilchen der Masse m, das mitTeilchen eines Hintergrundmediums im Gleichgewicht zurTemperatur Tb interagiert
Skalare Kraft F auf das Brownsche Teilchen ist zufallig, nurdie Reibungskomponente Fs kann als stetig angenommenwerden
Setze F (t) = Fs(t) + Fr (t) mit Zeit t und stochastischerKomponente Fr .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Brownsche Bewegung
Langevin-Gleichung
Mit skalarer Geschwindigkeit v und Reibungskoeffizienten αerhalt man
mdv
dt= −αv(t) + Fr (t)
Problem: Fr ist unbekannt!
Losung: Statt einer nicht deterministischen Gleichungbetrachtet man eine stochastische Differentialgleichung.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Brownsche Bewegung
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
In diesem Sinne lasst sich aus der Langevin-Gleichung dieOrnstein-Uhlenbeck-Gleichung mit W-Dichte P ableiten
∂P(v , t)
∂t= ν
∂
∂v
[vP(v , t) +
kBTb
m
∂P(v , t)
∂v
],
wobei v(t) Geschwindigkeit zu Zeit t, νv Drift- und ν kBTbm
Diffusionskoeffizient und ν Kollisionsfrequenz sind.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Analytische Losung
Fur t →∞ nimmt P eine stationare Form P0 an
P0(v) =
√m
2πkBTbexp
[−mv2
2kBTb
],
die eine Maxwell-Verteilung ist.
Mit der Anfangsbedingung P(v , 0) = δ(v − v0) lasst sich wiefolgt substituieren
τ =e2νt − 1
ν,
u = veντ ,
P(v , τ) = eντQ(u, τ)
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Analytische Losung
Damit wird die Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung zu
∂Q(u, τ)
∂τ= D
∂2Q(u, τ)
∂u2
mit Diffusionskoeffizienten D = νkBTbm .
Die Losung kann nun mit Fourier-Transformation bestimmtwerden
Q(u, τ) =1√
4πDτexp
[−(u − u0)2
4Dτ
],
wobei u0 durch die Anfangsbedingung v0 gegeben ist.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Analytische Losung
Rucksubstitution gibt
P(x , t) =1√
π(1− e−2νt)exp
[−(x − x0e
−νt)2
1− e−νt
]
mit reduzierter Geschwindigkeit x =√
mv2
2kBTb.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Spektralmethode
Fur die Spektrallosung substituiert man P(x , t) = e−x2g(x , t)
und erhalt
∂g(x , t)
∂t= ν
[−2x
∂g(x , t)
∂x+∂2g(x , t)
∂x2
]Entwicklung in Hermite-Polynome g(x , t) =
∑∞n=0 cnHn(x)
fuhrt zu
∞∑n=0
Hn(x)dcn(t)
dt= ν
∞∑n=0
cn(t)[−2xH ′n(x) + H ′′n (x)
]
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Ornstein-Uhlenbeck-Gleichung
Spektralmethode
Die Identitat −2xH ′n + H ′′n = −2nHn liefert zusammen mitKoeffizientenvergleich
dcn(t)
dt= −2nνcn(t),
also
cn(t) = Hn(x0)e−2nνt
2nn!√π.
Damit ist die Spektraldarstellung
P(x , t) = e−x2∞∑n=0
e−2nνt
2nn!√πHn(x0)Hn(x).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Rayleigh- und Lorentz-Fokker-Planck-Gleichungen
Rayleigh- und Lorentz-Fokker-Planck-Gleichungen
Der Kollisionsoperator fur harte Kugeln in derBoltzmann-Gleichung fur ein Gemisch aus zwei Gasen kannfur die Ubergange
γ = Mm → 0 (Rayleigh-Limit)
γ →∞ (Lorentz-Limit)
durch je eine Fokker-Planck-Gleichung beschrieben werden.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Rayleigh- und Lorentz-Fokker-Planck-Gleichungen
Lorentz-Fokker-Planck-Gleichung
Fur γ →∞ erhalt man die Fokker-Planck-Gleichung
∂P(x , t)
∂t=
1
4
∂
∂x
[(2x2 − 3)P(x , t) +
∂
∂x[xP(x , t)]
],
wobei x =√
mv2
kBTbdie reduzierte Geschwindigkeit ist.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Rayleigh- und Lorentz-Fokker-Planck-Gleichungen
Rayleigh-Fokker-Planck-Gleichung
Fur γ → 0 erhalt man die Fokker-Planck-Gleichung
∂P(y , t)
∂t=
∂
∂y
[(y − 3)P(y , t) +
∂
∂y[yP(y , t)]
]wobei y = mv2
kBTbσ0 die reduzierte Energie mit dem
Wirkungsquerschnitt σ0 ist.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Spektrallosung der Rayleigh-Gleichung
Rayleigh-Gleichung
Setzt man P(y , t) = P0(y)g(y , t) mit P0(y) =√ye−y ,
sodass so erhalt man
∂g(y , t)
∂t= y
∂2g(y , t)
∂y2+
(3
2− y
)∂g(y , t)
∂y.
Die Laguerre-Polynome L12n erfullen
yd2L
12n (y)
dy2+
(3
2− y
)dL
12n (y)
dy= −nL
12n (y).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Spektrallosung der Rayleigh-Gleichung
Spektrallosung der Rayleigh-Gleichung
Die Entwicklung in Laguerre-Polynome zur AnfangsbedingungP(y , 0) = δ(y − y0) liefert
cn =n!
Γ(n + 32 )L
12n (y0)e−nt .
Damit ist die Spektraldarstellung der Losung
P(y , t) =√ye−y
∞∑n=0
n!
Γ(n + 32 )L
12n (y0)L
12n (y)e−nt .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Wiederholung
Differentiationsmatrix
Ausgehend von der Spektraldarstellung des Differential-operators d
dx 1. Ordnung bezuglich einer Orthonormalbasis Pn
dnm =
∫w(x)Pn(x)
dPm(x)
dxdx
erhalt man mit den TransformationsmatrizenTnm =
√wmPn(xm) die pseudospektrale Darstellung
Dij =N−1∑n=0
N−1∑m=0
TindnmTmj =√wiwj
N−1∑m=0
P ′m(xi )Pm(xj).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Fokker-Planck-Gleichung
Fokker-Planck-Gleichung
Fur die Langevin-Gleichung
dv
dt= f (v) + g(v)ζ(t) + η(t)
mit ζ multiplikative und η additive Zufallsvariable und f ,gbekannt, erhalt man die Fokker-Planck-Gleichung
∂P(v , t)
∂t=
∂
∂v
[A(v)P(v , t) +
∂B(v)P(v , t)
∂v
].
Zudem soll die Anfangsbedingung P(v , 0) = δ(v − v0) gelten.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Fokker-Planck-Gleichung
Fokker-Planck-Gleichung
A und B sind zeitunabhangige Drift-undDiffusionskoeffizienten
A(v) = f (v) + βg(v)dg(v)
dv,
B(v) = D + βg(v)2
mit Konstanten β und D.
P nimmt fur t →∞ die stationare Form P0 an
P0(v) =1
B(v)exp
[−∫ v
−∞
A(w)
B(w)dw
].
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Spektralmethoden mit nichtklassischen Basen
Fokker-Planck-Gleichung
Man substituiert P(x , t) = P0(x)g(x , t) und erhalt
∂g(x , t)
∂t=
1
P0(x)
∂
∂x
[B(x)P0(x)
∂g(x , t)
∂x
]= −A(x)
∂g(x , t)
∂x+ B(x)
∂2g(x , t)
∂x2.
Ist −L der Operator auf der rechten Seite, so hat man
∂g(x , t)
∂t= −Lg(x , t).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Spektralmethoden mit nichtklassischen Basen
Spektralmethode
L ist selbstadjungiert bezuglich dem Skalarprodukt mitGewichtsfunktion P0, wenn folgendes gilt[
P0(x)B(x)∂g(x , t)
∂x
]∞0
= 0.
Betrachte nun in diesem Fall das Eigenwertproblem
Lψ(x) = λψ(x).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Spektralmethoden mit nichtklassischen Basen
Spektralmethode
Sei {Sn} die Polynombasis orthonormal bezuglich P0. Dannhat L die Spektraldarstellung
L(sp)nm =
∫ ∞0
P0(x)Sn(x)LSm(x)dx .
Partielle Integration unter Voraussetzung der Randbedingungergibt sich die symmetrische Form
L(sp)nm =
∫ ∞0
P0(x)Sn(x)1
P0(x)
d
dx
[P0(x)B(x)
dSm(x)
dx
]dx
= −∫ ∞
0P0(x)B(x)S ′n(x)S ′m(x)dx .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Pseudospektralmethode
Sei {Rn} Orthonormalbasis zur Gewichtsfunktion w mit
Rn(x) =
√P0(x)
w(x)Sn(x).
Eingesetzt in die Spektraldarstellung liefert
L(sp)nm = −
∫ ∞0
w(x)B(x)[R ′n(x) + h(x)Rn(x)
][R ′m(x) + h(x)Rm(x)
]dx .
Dabei ist h gegeben durch
h(x) =w ′
2w(x)− P ′0(x)
2P0(x).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Pseudospektralmethode
Sei {Rn} Orthonormalbasis zur Gewichtsfunktion w mit
Rn(x) =
√P0(x)
w(x)Sn(x).
Eingesetzt in die Spektraldarstellung liefert
L(sp)nm = −
∫ ∞0
w(x)B(x)[R ′n(x) + h(x)Rn(x)
][R ′m(x) + h(x)Rm(x)
]dx .
Dabei ist h gegeben durch
h(x) =w ′
2w(x)− P ′0(x)
2P0(x).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Pseudospektralmethode
Fur die pseudospektrale Darstellung wahlt man eineQuadraturmethode zur Gewichtsfunktion w
L(sp)nm = −
N∑k=1
wkB(xk)[R ′n(xk) + h(xk)Rn(xk)
][R ′m(xk) + h(xk)Rm(xk)
].
Damit erhalt man die Darstellung
L(ps)ij =
N∑m=1
N∑n=1
TinL(sp)nm Tjm
mit Transformationsmatrizen Tin =√wiRn(xi ).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Pseudospektralmethode
Die erste Summe ist fur festes k in Rn(xk)
h(xk)N∑
n=1
TinRn(xk) = h(xk)N∑
n=1
√wiRn(xi )Rn(xk)
=h(xk)√wk
δik
und in R ′n(xk)
N∑n=1
TinR′n(xk) =
N∑n=1
√wiRn(xi )
N∑`=1
Dk`
√w`wk
Rn(x`)
=Dki√wk.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Pseudospektralmethode
Fur die zweite Summe uber m erhalt man ahnliche Ergebnisseund zusammenfassen ergibt die Darstellung
L(ps)ij = −
N∑k=1
B(xk) [Dki + h(xk)δki ] [Dkj + h(xk)δkj ] .
Fur den Fall w = P0 verkurzt sich dies zu
L(ps)ij = −
N∑k=1
B(xk)DkiDkj .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Pseudospektralmethoden mit nichtklassischen Quadraturen
Losung des ursprunglichen Problems
Diagonalisierung von L(sp) gibt die normierten Eigen-funktionen ψn zu den Eigenwerten λn. Die Losung derFokker-Planck-Gleichung ist dann gegeben durch
P(x , t) = P0(x)∞∑n=1
ψn(x0)ψn(x)e−λnt ,
beziehungsweise fur L(ps) mit normierten Eigenfunktionen ψn
zu den Eigenwerten λn
P(xk , tj) ≈ P0(xk)N∑
n=1
ψn(x0)ψn(xk)e−λntj .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Sturm-Liouville-Problem
Definition
Das Sturm-Liouville-Problem ist das Eigenwertproblem
Lψn(x) = λnw(x)ψn(x)
mit einer Gewichtsfunktion w > 0 und demDifferentialoperator L gegeben durch
Lf (x) =d
dx
[p(x)
df (x)
dx
]+ q(x)f (x)
mit Diffusionskoeffizient p und Quellterm q.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Sturm-Liouville-Problem
Voraussetzungen
Seien von nun an p > 0, dpdx und q reellwertig und stuckweise
stetig. Die Eigenfunktionen ψn seien definiert auf einemIntervall [a, b] ⊂ R und erfullen die Randbedingungen
q(a)ψn(a) + p(a)ψ′n(a) = 0,
q(b)ψn(b) + p(b)ψ′n(b) = 0
Diese Randbedingungen stellen sicher, dass L selbstadjungiertbezuglich dem L2-Skalarprodukt ist.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Sturm-Liouville-Problem
Sturm-Liouville-Problem
Die Transformation y =∫ √w(x)
p(x) dx fuhrt zu
−d2φn(y)
dy2+ V (y)φn(y) = λnφn(y)
mit dem Potential V
V (y) =q[x(y)]
w [x(y)]+ m[x(y)]
d2
dy2
1
m[x(y)],
wobei m(x) = [p(x)w(x)]−14 und ψn(x) = m(x)φn[y(x)] gilt.
Orthogonale Polynome erfullen diese Gleichungen furbestimme p und q.
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Rotation eines starren Korpers
Das Modell
Die Schrodingergleichung zur Bestimmung derRotationsenergie eines zweiatomigen Molekuls ist
−~2
2I
[1
sin θ
d
dθ
(sin θ
dψ(θ)
dθ
)]= Eψ(θ)
mit der quantisierten Energie E und dem Tragheitsmoment I .
Die Substitution x = cos θ fuhrt zu
Hψ`(x) = − d
dx
[(1− x2)
dψ`(x)
dx
]= λ`ψ`(x)
mit dem dimensionslosen Hamiltonoperator H und demEnergieeigenwert E` = λ`
~2
2I .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Rotation eines starren Korpers
Pseudospektrallosung
Fur die Eigenwerte λ` gilt
λ` = `(`+ 1)
mit Eigenfunktionen ψ`, die gerade die Legendre-Polynome P`sind.
Bezuglich dieser Eigenfunktionen hat H Diagonalgestalt unddie pseudospekrale Losung lautet
H(ps)ij =
N∑k=1
(1− x2k )DkiDkj
mit der Differentiationsmatrix (Dij).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Harmonischer Oszillator
Man betrachte die Schrodingergleichung
Hψn(x) = −1
2ψ′′n(x) +
x2
2ψn(x) = λnψn(x),
Die Eigenwerte λn sind
λn = (n +1
2).
Mit welcher Methode erhalt man die besten Ergebnisse?
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Differenzenmethode mit Fourier-Polynomen
Man approximiert den Operator H durch eineDifferenzenmethode und stellt die Eigenfunktionen durchFourierpolynome dar.
Damit erhalt man
Hij =1
2(∆x)2
{π2/3 i = j2(−1)i−j
(i−j)2 i 6= j
}+
x2i
2δij .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Konvergenz der Eigenwerte
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Eigenfunktion
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Lagrange-Mesh-Methode
Eine Pseudospektralmethode mit Hermite-Polynomen liefertdie Darstellung
Hij =
{(4N − 1− 2x2
i )/12 i = j
(−1)i−j[1/(xi − xj)
2 − 1/4]
i 6= j
}+
x2i
2δij .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Tabelle mit Eigenwerten
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Ghost Levels
Es treten falsche Eigenwerte auf, die ghost levels genanntwerden.
Dies wird auf nicht exakte Quadratur zuruckgefuhrt. Furn = m = N ist der Integrand von
Vnm =1
2
∫ ∞−∞
w(x)Hn(x)x2Hm(x)dx
ein Polynom vom Grad 2N + 2, die Quadratur der Ordnung Nist aber nur bis 2N + 1 exakt!
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Pseudospektralmethode
Man substituiert ψn(x) = e−x2
2 φ(x) in der Schrodinger-gleichung und erhalt
1
2φ′′n(x)− xφ′n(x) = nφn(x).
Dies ist gerade eine definierende Gleichung der Hermite-Polynome.
Die Losung kann also direkt angegeben werden
H(ps)ij =
1
2
N∑k=1
DkiDkj .
Eigenwerte sind exakt λn = n und Eigenfunktionenφn(xi ) = Hn(xi ).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Konvergenz der Eigenwerte
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Eigenfunktion
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Harmonischer Oszillator
Konvergenz der Eigenwerte
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Zweidimensionale Schrodingergleichung
Spektralmethode
Der zweidimensionale Hamiltonoperator hat die Form[− ∂2
∂x2− ∂2
∂y2+ V (x , y)
]ψnm(x , y) = λnmψnm(x , y).
Mit Polynombasen Xn(x) zur Gewichtsfunktion u(x) undYm(y) zu v(y) erhalt man analog zum eindimensionalen Fall
Hn′m′,nm = δm′m
∫u(x)X ′n′(x)X ′n(x)dx +
δn′n
∫v(y)Y ′m′(y)Y ′m(y)dy +
(Vn′m′,nm − Vn′m′,nm).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Zweidimensionale Schrodingergleichung
Spektralmethode
Dabei ist V gegeben durch
Vn′m′,nm = δm′m
∫ (1
4U2(x)− 1
2U ′(x)
)u(x)X ′n′(x)X ′n(x)dx +
δn′n
∫ (1
4V 2(y)− 1
2V ′(y)
)v(y)Y ′m′(y)Y ′m(y)dy
mit U(x) = −u′(x)u(x) und V (y) = − v ′(y)
v(y) .
V ist dabei
Vn′m′,nm =
∫ ∫u(x)v(y)Xn′(x)Ym′(y)
V (x , y)Xn(x)Ym(y)dxdy .
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Zweidimensionale Schrodingergleichung
Pseudospektralmethode
Entsprechend ist die pseudospektrale Darstellung
Hij ,k` = δj`
N∑n=1
DniDnk + δik
M∑m=1
DmjDm`
+[V (xi , yj)− V (xi , yj)
]δikδj`
mit
V (x , y) =
(1
4U2(x)− U ′(x)
)+
(1
4V 2(y)− V ′(y)
).
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Zweidimensionale Schrodingergleichung
Plot der Eigenfunktionen
Fokker-Planck-Gleichung in Chemie und Physik Numerische Losungsmethoden Sturm-Liouville-Probleme
Abschließende Worte
Zusammenfassung
Numerisches Losen einer Fokker-Planck-Gleichung kann aufein Eigenwertproblem vom Sturm-Liouville-Typ zuruckgefuhrtwerden.
Spezielle orthogonale Polynome losen das Eigenwertproblem.
Spektral-und Pseudospektrallosungen konnen mit Hilfe dieserorthogonalen Polynome beschrieben werden.