Hochschule MunchenFakultat 03
Skript zur Vorlesung
Mathematik I: Analysis
Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf
15. Dezember 2014
Erstversion erstellt von Sindy Engelerweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen 41.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Mengenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Spezielle Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Darstellung und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Anordnung der Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Beschranktheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Komplexe Zahlen 72.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Darstellungsformen von komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Arithmetische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Umrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2 Multiplikation und Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Reelle Zahlenfolgen 143.1 Definition von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.1 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.2 Beschranktheit und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Funktionen einer Variablen 194.1 Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4 Verkettete Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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4.5 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5.1 Arten von Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.6 Funktionsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.6.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.6.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6.3 Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 254.6.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6.6 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Differentialrechnung fur Funktionen einer Variablen 275.1 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1.1 Differential einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.1.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.1.3 Mittelwertsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.4 Regel von l’HOSPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Funktionsverhalten und besondere Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung fur Extremwerte und
Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Newtoniteration zur Bestimmung von Nullstellen . . . . . . . . . . . . . 32
6 Integralrechnung 336.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.1.1 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.1.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . 346.1.4 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2.2 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2.4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7 Reihen 387.1 Unendliche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.1.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.1.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2.2 Konvergenz und Eigenschaften von Potenzreihen . . . . . . . . . . 41
7.3 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe . . . . . . . . . . 447.3.3 Anwendungen Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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1 Mengen
1.1 Begriffe
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte. Die Objekteheißen Elemente.
x ∈M : x ist Element in M
x /∈M : x ist nicht Element in M
Leere Menge: M = � = {}
Beispiel 1.1 Mengen
M1 = {2, 4, 6} aufzahlende Form
M2 = {x|(x > 1) ∧ (x < 5)} beschreibende Form
1.1.1 Mengenrelationen
A = B Gleichheit von 2 Mengen (A = B)⇐⇒ (a ∈ A⇐⇒ a ∈ B)
A ⊆ B A ist in B enthalten (A ⊆ B)⇐⇒ (a ∈ A⇒ a ∈ B)
A ⊂ B A ist echt in B enthalten (A ⊂ B)⇐⇒ (A ⊆ B ∧ ∃ b ∈ B ∧ b /∈ A)
1.1.2 Operationen
A ∪B Vereinigung von A u. B (a ∈ A ∪B)⇐⇒ (a ∈ A ∨ a ∈ B)
A ∩B Schnitt von A u. B (a ∈ A ∩B)⇐⇒ (a ∈ A ∧ a ∈ B)
A\B Differenz von A u. B (a ∈ A\B)⇐⇒ (a ∈ A ∧ a /∈ B)
A Komplementarmengebzgl. einer GrundmengeM
∀a ∈M :(a ∈ A
)⇐⇒ (a /∈ A)
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1.2 Spezielle Mengen
Menge der naturlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, 4, . . . }Menge der ganzen Zahlen: Z = {0,±1,±2,±3, . . . }Menge der rationalen Zahlen: Q =
{x|x = a
b, a ∈ Z; b ∈ Z\ {0}
}x ist ein endlicher oder ein periodischer Dezimalbruch
Menge der reellen Zahlen: R = {x|x = ein Dezimalbruch}Erweiterung von Q um unendliche, nichtperiodische Dezimalbruche (π, e, . . . )
Menge der komplexen Zahlen: C = {x|x = a+ bj, a, b ∈ R; j2 = −1}
1.3 Menge der reellen Zahlen
1.4 Darstellung und Eigenschaften
Zahlengerade
Eigenschaften: ∀ a, b ∈ R
1. Mogliche Operationen
a+ b, a− b, a · b, ab, b 6= 0
2. Kommutativgesetz
a+ b = b+ a
a · b = b · a
3. Assoziativgesetz
a+ (b+ c) = (a+ b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
4. Distributivgesetz
a(b+ c) = a · b+ a · c
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1.4.1 Anordnung der Zahlen
3 mogliche Beziehungen:
∀ a, b ∈ Ra < b
a = b
a > b
1.4.2 Intervalle
a, b ∈ R, a < b
1. endliche Intervalle
[ a; b ] = {x| a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall
[ a; b [ = {x| a ≤ x < b} halboffenes Intervall
] a; b ] = {x| a ≤ x < b} halboffenes Intervall
]a; b [ = {x| a < x < b} offenes Intervall
2. unendliche Intervalle
[a; ∞[ = {x| a ≤ x <∞}]a; ∞[ = {x| a < x <∞}
] -∞; b] = {x| -∞ < x ≤ b}]-∞; b[ = {x| -∞ < x < b}]-∞; 0[ = R−
]0; ∞[ = R+
[ 0; ∞ [ = R+0
]-∞; ∞[ = R
1.5 Beschranktheit von Mengen
Definition 1.1 Beschranktheit
Eine Zahlenmenge M heißt nach oben (unten) beschrankt, wenn eine Zahl S ∈ Rexistiert, so dass gilt x ≤ S (x ≥ S) ist, fur alle x ∈MJedes S mit dieser Eigenschaft heißt obere (untere) Schranke.
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2 Komplexe Zahlen
2.1 Grundbegriffe
Definition 2.1 Imaginare Einheit j
Die Definition der Imaginaren Einheit j, ergibt sich aus der Losung der folgendenGleichung
x2 + 1 = 0
→ x2 = −1
x = ±√−1︸ ︷︷ ︸j
Die imaginare Einheit j ist eine Zahl, fur die gilt:
j2 = −1
Definition 2.2 Komplexe Zahl
Eine komplexe Zahl z ist die Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginarenZahl bj:
z = a+ bj
a heißt Realteil,b heißt Imaginarteil von z.Die Menge der komplexen Zahlen wird als C bezeichnet.Es gilt C = {Z|Z = a+ bj, j2 = −1; a, b ∈ R}
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Gauß´sche Zahlenebene
Der Betrag ergibt sich zu: |Z| = r =√a2 + b2
Konjugiert komplexe Zahl
Definition 2.3 Konjugiert komplexe Zahl
Die Zahl Z = a− bj heißt konjugiert komplex zu Z = a+ bj.Dies entspricht in der Gauß’schen Zahlenebene einer Spiegelung an der Re(Z)-Achse.
2.2 Darstellungsformen von komplexen Zahlen
2.2.1 Arithmetische Form
Z = a︸︷︷︸Realteil
+ b︸︷︷︸Imaginarteil
j, a, b ∈ R
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2.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form
Beziehungen:
|Z| = r
tanϕ =b
a
sinϕ =b
r
cosϕ =a
ra = r · cosϕ
b = r · sinϕ
Z = r (cosϕ+ j sinϕ) , 0 ≤ ϕ < 2π bzw. 0° ≤ ϕ < 360°
2.2.3 Exponentialform
Euler’sche Formel: e jϕ = cosϕ+ j · sinϕ
Z = r · e jϕ, 0 ≤ ϕ < 2π bzw. 0° ≤ ϕ < 360°
2.3 Umrechnungen
arithmetische in goniometrische bzw. in Exponentialform
Z = a+ bj
Z = r (cosϕ+ j · sinϕ)
bzw:
Z = r · e j·ϕ
mit:
r =√a2 + b2
ϕ = arctan
(b
a
)Exponentialform in arithmetische
Z = r · e j ϕ
a = r · cos (ϕ)
b = r · sin (ϕ)
Z = r · cos (ϕ) + j · r · sin (ϕ)
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2.4 Rechnen mit komplexen Zahlen
2.4.1 Addition und Subtraktion
Definition 2.4 Summenbildung
Die Summen und Differenzbildung erfolgt bei komplexen Zahlen, durch Addition bzw.Subtraktion der Komponenten (vgl. Vektoraddition)
Z1 = a1 + b1j
Z2 = a2 + b2j
Z1 + Z2 = (a1 + a2) + j (b1 + b2)
Z1 − Z2 = (a1 − a2) + j (b1 − b2)
Die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen ist ausschließlich in derarithmetischen Form moglich!
2.4.2 Multiplikation und Division
In arithmetischer Form
Multiplikation
Z1 · Z2 = (a1 + jb1) · (a2 + jb2)
→ Real- und Imaginarteil sortieren
= a1a2 + a1b2j + a2b1j − b1b2
= (a1a2 − b1b2) + j (a1b2 + a2b1)
Multiplikation konjugiert komplexer Zahlen
Z = a+ bj
Z = a− bjZ · Z = (a+ bj) · (a− bj)
= a2 − b2j2
= a2 + b2
es entsteht eine reelle Zahl!
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Division Dieser Effekt der Produkte konjugiert komplexer Zahlen, wird ausgenutzt zurBildung des Quotienten zweier beliebiger komplexer Zahlen.
Z1 = a1 + b1j
Z2 = a2 + b2j
Z1
Z2
=a1 + b1j
a2 + b2jErweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner
=⇒ Z1
Z2
=a1 + b1j
a2 + b2j· a2 − b2j
a2 − b2j
=a1a2 + b1b2 + (a2b1 − a1b2) j
a22 + b2
2
=a1a2 + b1b2
a22 + b2
2
+ ja2b1 − a1b2
a22 + b2
2
Goniometrische Form/ Exponentialform
Multiplikation
Z1 = r1 · ejϕ1
Z2 = r2 · ejϕ2
in Exponentialform:
Z1 · Z2 = r1 · r2 · ej(ϕ1+ϕ2)
analog in goniometrischer Form:
Z1 · Z2 = r1 · r2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + j sin (ϕ1 + ϕ2))
Zwei komplexe Zahlen in goniometrischer bzw. in Exponentialform werdenmultipliziert, indem man die Betrage multipliziert, die Winkel jedoch ad-diert.
Division
Z1 = r1 · ejϕ1
Z2 = r2 · ejϕ2
Z1
Z2
=r1
r2
· ej(ϕ1−ϕ2)
Z1
Z2
=r1
r2
(cos (ϕ1 − ϕ2) + j sin (ϕ1 − ϕ2))
Zwei komplexe Zahlen in goniometrischer bzw. in Exponentialform werden dividiert,indem man die Betrage dividiert, die Winkel jedoch subtrahiert.
Potenzieren und radizieren
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Potenzieren
Z1 = r1 · ejϕ1
Zn1 =
(r1 · ejϕ1
)nZn
1 = rn1 · en·jϕ1
Zn1 = rn1 (cos (nϕ1) + j sin (nϕ1))
Eine komplexe Zahl in goniometrischer bzw. in Exponentialform wird mit npotenziert, indem man den Betrag mit n potenziert, den Winkel jedoch mitn multipliziert.
Radizieren
1 = x2 ⇒ x = 1 ∨ x = −1
1 = x4 ⇒ x = 1 ∨ x = −1 ∨ x = j ∨ x = −jda:
j4 =(j2)2
= (−1)2 = 1
(−j)4 =((−j)2)2
= (1)2 = 1
Fur den Ausdruck n√x existieren n Losungen im Abstand von 360◦
n, bei konstanten Be-
tragen. Fur die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl Z = a+ bj = r · ejϕ gilt:
n√Z = r
1n · ej(
ϕn
+k· 360◦
n )
Fur
k = 0, 1, . . . , n− 1
Die Losung fur k = 0 wird als Hauptwert bezeichnet.
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Anwendung: Uberlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Allgemeine Sinusschwingung:
s (t) = A · sin (ωt+ ϕ)
Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Form:
s(t) = A · (cos (ωt+ ϕ) + j sin (ωt+ ϕ)) = A · ej(ωt+ϕ)
=⇒ s (t) = Im (s(t))
Zwei gleichfrequente Schwingungen uberlagern:
s1 (t) = A1 · sin (ωt+ ϕ1)
s2 (t) = A2 · sin (ωt+ ϕ2)
Gesucht wird die Summenfunktion:
sΣ (t) = s1 (t) + s2 (t) = A1 · sin (ωt+ ϕ1) + A2 · sin (ωt+ ϕ2) = AΣ sin (ωt+ ϕΣ)
Gebildet wird zuerst die komplexe Summe, vom Ergebnis wird der Imaginarteil be-stimmt. Bildung der komplexen Summe:
s (t) = s1 (t) + s2 (t)
= A1 · ej(ωt+ϕ1) + A2 · ej(ωt+ϕ2)
= A1 · ejϕ1︸ ︷︷ ︸A1
·ejωt + A2 · ejϕ2︸ ︷︷ ︸A2
·ejωt
=(A1 + A2
)︸ ︷︷ ︸A
·ejωt
Daraus ergibt sich folgende Vorgehensweise:
1. Ubergang zur komplexen Form
s1(t) = A1 · ejωt mit A1 = A1 · ejϕ1
s2(t) = A2 · ejωt mit A2 = A2 · ejϕ2
2. Addition der komplexen Amplituden
A = A1 + A2
3. Rucktransformation: Bildung des Imaginarteils der komplexen Sinusschwingung
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3 Reelle Zahlenfolgen
3.1 Definition von Zahlenfolgen
Definition 3.1 Zahlenfolge
Unter einer reellen Zahlenfolge (ZF) versteht man eine geordnete Menge reeller Zahlen.Jedem n ≥ K (meistens K = 0 oder K = 1) n ∈ N wird in eindeutiger Weise einereelle Zahl an zugeordnet.an heißt n-tes Glied der ZF.
(an) = a0, a1, a2, . . .
3.1.1 Darstellung
1. Analytische Darstellung
Das n-te Folgeglied lasst sich direkt berechnen
an =1
n
2. Rekursive Darstellung
Das n-te Folgeglied berechnet sich aus dem (n− 1)-ten Folgeglied (ggf. n− 2 . . . )
an = a2n−1 − 1; a0 = 2
→ (an) = 2, 3, 8, 63 . . .
3. Graphische Darstellung - Zahlenstrahl
Bsp. an) = n2 − 1
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4. Graphische Darstellung - Koordinatensystem
3.2 Spezielle Folgen
1. Arithmetische FolgeDifferenz von 2 benachbarten Folgengliedern ist gleich d
a0, d ∈ R
an = an−1 + d rekursive Darstellung
mit a0 = 1, d = 2⇒ (an) = an−1 + 2 = 1, 3, 5, 7 . . .
an = analytische Darstellung
2. Geometrische FolgeQuotient von 2 benachbarten Folgengliedern ist gleich q
a0, q ∈ R
an = q · an−1 rekursive Darstellung
mit a0 = 1, q =1
2⇒ (an) =
1
2· an−1 = 1,
1
2,
1
4,
1
8. . .
an = analytische Darstellung
3.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen
3.3.1 Konvergenz
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Definition 3.2 Konvergenz
Eine Zahlenfolge (an) heißt
1. konvergent gegen den Grenzwert g ∈ R, wenn zu jedem ε > 0 ein N ∈ Nexistiert, so dass gilt |an − g| < ε, d.h. an ∈ Uε(g)
limn→∞
(an) = g
2. Nullfolge, wenn
limn→∞
(an) = 0
3. divergent, wenn sie nicht konvergent ist
4. bestimmt divergent, wenn
limn→∞
(an) =∞
limn→∞
(an) = -∞
5. unbestimmt divergent, wenn Sie divergent, aber nicht bestimmt divergent ist.
Definition 3.3 Alternierende Zahlenfolge
Eine ZF heißt alternierend, wenn benachbarte Folgenglieder unterschiedlicheVorzeichen besitzen.
Beispiel 3.1 Einfache alternierende ZF
an = (-1)n · 1
n2, n > 0
(an) = -1;1
4; −1
9;
1
16. . .
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Konvergenz elementarer Folgen
1. Arithmetische Folge an = a0 + n · d
limn→∞
(an) =
, d > 0 bestimmt divergent, d = 0 konvergent, d < 0 bestimmt divergent
2. Geometrische Folge an = a0 · qn
limn→∞
(an) =
fur |q| < 1fur q = 1fur q = -1fur q > 1fur q < -1
3. Gebrochen rationale Folge cn = p(n)q(n)
mit den Polynomen
p(n) = ak nk + ak−1 n
k−1 + · · ·+ a1 n+ a0
q(n) = bl nl + bl−1 n
l−1 + · · ·+ b1 n+ b0
vom Grad k bzw l
limn→∞
(cn) =
fur k > l, ak
bl> 0
fur k > l, akbl< 0
fur k < lfur k = l
4. limn→∞
1
n=
5. limn→∞
n√a = , a > 0
6. limn→∞
n√n =
7. limn→∞
an
n!=
Fakultat:n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · · 1
8. limn→∞
na
n!= , a ∈ R
9. limn→∞
(1 +
1
n
)n=
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Rechenregeln fur konvergente Zahlenfolgen
limn→∞
(an) = a; limn→∞
(bn) = b
1. limn→∞
(an + bn) = a+ b
2.(
limn→∞
(an))· c = a · c
3. limn→∞
(an · bn) = a · b
4. limn→∞
(anbn
)=a
bb 6= 0 bn 6= 0
Die Regeln gelten auch fur bestimmt divergente Zahlenfolgen, wenn man definiert:
1. ∞+∞ =∞
±∞± a = ±∞
2.c · (±∞) =
±∞; c > 0∓∞; c < 0n.d.; c = 0
3.c
±∞= 0
∞ · ±∞ = ±∞-∞ · ±∞ = ∓∞
3.3.2 Beschranktheit und Konvergenz
Definition 3.4 Beschranktheit
Eine Folge (an) heißt beschrankt gegen eine obere bzw. untere Schranke S ∈ R, fallsfur alle Folgenglieder gilt ai ≤ S bzw. ai ≥ S, i ∈ N.
Satz:
1. Jede konvergente Folge ist beschrankt.
2. Jede nach oben bzw. unten beschrankte monoton steigende bzw. fallende Folgeist konvergent gegen ihr Supremum bzw. Infimum.
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4 Funktionen einer Variablen
4.1 Funktionsbegriff
Definition 4.1 Funktion
Eine Vorschrift f, die jedem Element x ∈ D ⊆ R in eindeutiger Weise ein Elementy ∈W ⊆ R zuordnet, heißt reelle Funktion.
f : D → W ; y = f(x)
Darstellungsmoglichkeiten
1. Verbale Darstellung
2. Tabelle von Messwerten
3. Grafische Darstellung
4. Analytische Darstellung
a) Explizite Darstellung
y = f(x), y = f(x) = x2
b) Implizite Darstellung
F (x, y) = 0
4.2 Eigenschaften von Funktionen
Definition 4.2 Beschrankung
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Funktionen sind per Definition beschrankt auf den Definitionsbereich D.Eine Funktion f : D→W heißt beschrankt, falls ein c > 0 existiert mit
|f(x)| ≤ c, ∀x ∈ D.
Ansonsten heißt die Funktion unbeschrankt.
Definition 4.3 Monotonie
� monoton wachsend
f(x1) ≤ f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
� streng monoton wachsend
f(x1) < f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
� monoton fallend
f(x1) ≥ f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
� streng monoton fallend
f(x1) > f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
Definition 4.4 Periodizitat
Eine Funktion f heißt auf D periodisch mit der Periode p 6= 0, wenn gilt:
x ∈ D ⇒ x+ p ∈ D
und
f(x) = f(x+ p) = f(x+ k · p)
HS Munchen 20 Fakultat 03
Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf Analysis
Definition 4.5 Symmetrie
� Eine Funktion f heißt auf D gerade, wenn gilt
x ∈ D ⇒ −x ∈ D
und
f(x) = f(−x)
Symmetrie zur y-Achse (Achsensymmetrie)
� Eine Funktion f heißt auf D ungerade, wenn gilt
x ∈ D ⇒ −x ∈ D
und
f(x) = −f(−x)
Symmetrie zum Koordinatenursprung (Punkt oder Drehsymmetrie um denNullpunkt)
4.3 Umkehrfunktion
Es sei y = f(x) eine Funktion x ∈ D, d.h. sie ordnet jedem Element aus D genau einElement aus W zu.Gilt auch die Umkehrung d.h. zu jedem Element y ∈ W gehort genau ein x ∈ D, soheißt f eineindeutig und besitzt eine Umkehrfunktion, die mit f−1 bezeichnet wird.
Df−1 = Wf Wf−1 = Df
Vorgehensweise zur Bildung der Umkehrfunktion:
1. Auflosen der Gleichung nach x
2. formales Vertauschen von x und y
y = f−1(x)
wird nicht angewandt bei technischen Großen
4.4 Verkettete Funktion
Definition 4.6 Verkettete Funktion
Es seien y1 = f(x), x ∈ Df und y1 = g(x), x ∈ Dg. Funktionen mit der EigenschaftWg ⊆ Df heißt (f ◦ g)(x) = f(g(x)) verkettete Funktion.
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4.5 Stetigkeit
Definition 4.7 Stetigkeit und Grenzwert
1. Sei f = D → W,x0 ∈ D; g ∈ R heißt linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert,von f an der Stelle x0, wenn
limn→∞
f(xn) = g
fur jede von links bzw. rechts gegen x0 konvergierende Folge (xn) ∈ D gilt.Schreibweise:
links: limx→x−0
f(x) = g
rechts: limx→x+0
f(x) = g
g = ±∞ heißt uneigentlicher Grenzwert.
2. g heißt Grenzwert von f in x0 falls
g = limx→x+0
f(x) = limx→x−0
f(x)
Schreibweise:
g = limx→x0
f(x)
3. f heißt stetig in x0, falls
g = limx→x0
f(x) = f(x0)
ansonsten unstetig. f heißt stetig auf D, falls f∀x ∈ D stetig ist. (Grafisch: Graphin einem Zug zeichenbar)
4.5.1 Arten von Unstetigkeitsstellen
Sprung limx→x−0
f(x) = g1 6= g2 = limx→x+0
f(x)
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Lucke limx→x−0
f(x) = limx→x+0
f(x) = g
Definition 4.8 Stetige Erganzung
Hat f(x) in x0 eine Lucke, so heißt die durch den Grenzwert der Luckevervollstandigte Funktion, stetig erganzt.
f(x) =
{f(x), x 6= x0
g, x = x0
Polstelle limx→x−0
f(x) = ±∞, limx→x+0
f(x) = ±∞
4.6 Funktionsklassen
4.6.1 Ganzrationale Funktionen
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Definition 4.9 Ganzrationale Funktion
Eine Funktion der Gestalt
pn(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0, a0, . . . , an ∈ R, an 6= 0
heißt ganzrationale Funktion oder Polynom n-ten Grades.
Satz: Fundamentalsatz der Algebra
Jedes Polynom lasst sich aufspalten in:
pn(x) = an(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)
wobei die xn, die (ggf. komplexen) Nullstellen darstellen.
4.6.2 Gebrochenrationale Funktionen
Definition 4.10 Gebrochenrationale Funktion
Der Quotient zweier Polynome heißt gebrochenrationale Funktion.
f(x) =pm(x)
pn(x)=amx
m + · · ·+ a0
bnxn + · · ·+ b0
Sie heißt echt gebrochen, falls m < n, ansonsten unecht.
Falls x0 NS von pm(x) und pn(x) ist, so hat f(x) dort eine Lucke.Falls x0 nur NS von pn(x), so hat f(x) dort einen Pol.
4.6.3 Wurzelfunktion
f(x) = xmn = n
√xm
Beispiel 4.1 Wurzelfunktion
f(x) = 3x32 = 3 · 2
√x3 D = R+
0
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4.6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Definition 4.11 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Sei a ∈ R mit a > 0, a 6= 0, dann heißt
f(x) = axD = R
Exponentialfunktion mit Basis a. x heißt Exponent.Es gilt ferner:
f−1(x) = loga x, D = R+
Logarithmusfunktion von x zur Basis a.
Rechenregeln:
1. ax · ay = ax+y
2. ax
ay= ax−y
3. (ax)y = ax·y
4. loga(x · y) = loga x+ loga y
5. loga(x
y) = loga x− loga y
6. loga xy = y · loga x
7. loga x = loga b · logb x ⇒ loga x
loga b= logb x (Basiswechsel)
4.6.5 Trigonometrische Funktionen
1. f(x) = sinx, Df = R, Wf = [−1, 1]
Periode p = 2π; ungerade FunktionUmkehrfunktion:
[−π
2; π
2
]Definitionsbereich des Sinus zum Finden der Umkehr-
funktion
f−1(x) = arcsin x Df−1 = [−1; 1], Wf−1 =[−π
2;π
2
]
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2. f(x) = cos x, Df = R, Wf = [−1, 1]
Periode p = 2π; gerade FunktionUmkehrfunktion: [0; π] Definitionsbereich des Kosinus zum Finden der Umkehr-funktion
f−1(x) = arccos x Df−1 = [−1; 1], Wf−1 = [0; π]
3. f(x) = tan x =sinx
cosx
Df ={x|x ∈ R, x 6= (2k − 1)
π
2, k ∈ G
},Wf = R
Periode p = π; ungerade Funktion
Umkehrfunktion auf: ]− π2, π
2[ f−1 = arctanx Df−1 = R, Wf−1 = ]− π
2, π
2[
4. f(x) = cot x =1
tanx
Df = {x|x ∈ R, x 6= k · π, k ∈ G} ,Wf = R
Periode p = π; gerade Funktion
4.6.6 Hyperbelfunktionen
1. sinhx =ex − e−x
2
D = R, W = R
2. coshx =ex + e−x
2
D = R, W = [ 1; ∞ [
3. tanhx =sinhx
coshx=ex − e−x
ex + e−x
D = R, W = ]− 1; 1 [
4. cothx =coshx
sinhx=ex + e−x
ex − e−x
D = R\ {0} , W = R\ [−1; 1]
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5 Differentialrechnung fur Funktioneneiner Variablen
5.1 Differentialrechnung
Definition 5.1 Differenzierbarkeit
Eine Funktion f auf ] a; b [ heißt an der Stelle x0 (x0 ∈ ]a; b[) differenzierbar, falls derGrenzwert des Differenzenquotienten
lim∆x→0
∆y
∆x= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
existiert.f ′(x0) heißt Ableitung von f an der Stelle x0. f heißt diffenzierbar im Intervall ] a; b [ ,falls f∀x ∈ ] a; b [ differenzierbar ist.
Definition 5.2 Tangente und Normale
Tangente:
t(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)
27
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Normale:
n(x) = f(x0)− 1
f ′(x0)(x− x0)
5.1.1 Differential einer Funktion
Definition 5.3 Differential
Das Differential dy = df = f ′(x0) · dx einer Funktion beschreibt den Zuwachs derOrdinate auf der, an der Stelle x0 errichteten Tangente bei einer Anderung der Abzissevon ∆x = dx.
∆y Zuwachs der Funktionswerte
∆y = f(x0 + ∆x)− f(x)
Fur kleine ∆x = dx→ dy ≈ ∆y
5.1.2 Differentiationsregeln
Seien f(x), g(x) Funktionen
� Summenregel
y(x) = f(x) + g(x)
y′(x) = f ′(x) + g′(x)
� Produktregel
y(x) = f(x) · g(x)
y′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
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� Quotientenregel
y(x) =f(x)
g(x)
y′(x) =f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
g2(x)
� Kettenregel
y(x) = f(g(x)) = f(x) ◦ g(x)
y′(x) = g′(x) · f ′(g(x))
Innere Ableitung mal außerer Ableitung
� Ableitung der UmkehrfunktionSei f : D → W umkehrbar und differenzierbar. dann hat f−1 : W → D dieAbleitung:[
f−1(x)]′
=1
f ′(f−1(x))
5.1.3 Mittelwertsatze
Satz: Satz von ROLLE
Eine Funktion f(x) sei auf [a, b] stetig und auf ] a, b [ differenzierbar und seif(a) = f(b). Dann existiert mindestens eine Stelle x0 ∈ [a, b] mit f ′(x0) = 0
Satz: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
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Eine Funktion f(x) sei auf [a, b] stetig und auf ] a, b [ differenzierbar. Dann existiert
mindestens eine Stelle x0 ∈ [a, b] mit f ′(x0) = f(b)−f(a)b−a (Steigung der Sekante)
5.1.4 Regel von l’HOSPITAL
Seien f(x), g(x) differenzierbar auf ] a, b [ und g′(x) 6= 0 ∀ x ∈ ] a, b [Weiterhin seien
limx→a
f(x) = limx→a
g(x) = ±∞ oder 0
Dann gilt
limx→a
=f(x)
g(x)= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
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5.2 Funktionsverhalten und besondere Punkte
Monotonie:streng monoton steigend
f ′(x) > 0
monoton steigend
f ′(x) ≥ 0
streng monoton fallend
f ′(x) < 0
monoton fallend
f ′(x) ≤ 0
Krummung:
f ′(x) > 0 > 0 < 0 < 0f ′′(x) > 0 < 0 > 0 < 0
streng monoton steigend streng monoton fallendLinkskurve Rechtskurve Linkskurve Rechtskurve
Extremwerte:
lokales Maximum:
f(xH) > f(x) ∈ U(xH)
lokales Minimum:
f(xT ) < f(x) ∈ U(xT )
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5.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung fur Extremwerteund Wendepunkte
Extremwerte:
1. f ′(xE) = 0
2. f ′(xE) = · · · = f (n−1)(xE) = 0, fn(xE) 6= 0
wenn n ungerade → bei xE kein Extremwert
n gerade:
{f (n)(xE) > 0 ⇒ Minimum
f (n)(xE) < 0 ⇒ Maximum
Haufig ist schon f ′′(xE) 6= 0.
Wendepunkte:
Anderung des Krummungsverhaltens in xW
1. f ′′(xW ) = 0
2. f ′′(xW ) = · · · = f (n−1)(xW ) = 0, fn(xW ) 6= 0
n gerade → kein Wendepunktn ungerade → WendepunktHaufig ist schon f ′′′(xW ) 6= 0.
5.3 Newtoniteration zur Bestimmung von Nullstellen
t(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)
Berechnung von x1 (Nullstelle von t0(x))
0 = f(x0) + f ′(x0)(x1 − x0)
x1 = − f(x0)
f ′(x0)+ x0
Allgemein:
xn = − f(xn−1)
f ′(xn−1)+ xn−1
Konvergenzkriterium fur Startwert x0∣∣∣∣f(x0) · f ′′(x0)
[f ′(x0)]2
∣∣∣∣ < 1
HS Munchen 32 Fakultat 03
6 Integralrechnung
6.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integral
6.1.1 Bestimmtes Integral
Rechteck: ∆xk · f(xk)
b∫a
f(x) dx = limn→∞
n∑k=1
f(xk)∆xk
Eigenschaften
1.b∫
a
f(x) dx =
b∫a
f(t) dt
2.b∫
a
f(x) dx = −a∫b
f(x) dx
3.
a∫a
f(x) dx = 0
4.b∫
a
f(x) dx+
c∫b
f(x) dx =
c∫a
f(x) dx
5.b∫
a
k · f(x) dx = k ·b∫
a
f(x) dx
6.b∫
a
f(x) dx+
b∫a
g(x) dx =
b∫a
(f(x) + g(x)) dx
7. f(x) ≤ g(x) auf [a, b] =
b∫a
f(x) dx ≤b∫
a
g(x) dx
33
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6.1.2 Stammfunktion
Definition 6.1 Stammfunktionen
F (x) heißt Stammfunktion von f(x), falls F ′(x) = f(x) .
Seien F1(x), F2(x) zwei Stammfunktionen von f(x), dann folgt aus F ′1 = F ′2 = f , dassF ′1 − F ′2 = (F1 − F2)′ = 0. Damit gilt: (F1 − F2) = C, mit C ∈ R. Es ergibt sich alsodirekt der folgende Satz.
Satz: Stammfunktion
Seien F1(x), F2(x) zwei Stammfunktionen von f(x). Dann unterscheiden sichF1(x), F2(x) nur um eine additive Konstante.
F1(x) = F2(x) + C
Sei F (x) eine Stammfunktion von f(x), dann gilt:
b∫a
f(x) dx = F (b)− F (a)
6.1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt den Zusammenhangzwischen der Differentiation und der Integration her.
Satz: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Sei f stetig auf einem Intervall I. Fur einen beliebigen Punkt a ∈ I sei(Integralfunktion)
F (x) =
∫ x
a
f(t)dt.
Dann gilt:
1. F ist eine Stammfunktion von f , d.h. F ist in I differenzierbar und es gilt
F ′(x) = f(x).
2. Fur jede Stammfunktion G von f und a, b ∈ I gilt:
b∫a
f(x) dx = G(b)−G(a).
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6.1.4 Unbestimmtes Integral
Definition 6.2 Unbestimmtes Integral
Unter∫f(x) dx versteht man die Menge aller Stammfunktionen von f(x).
∫f(x) dx
heißt unbestimmtes Integral.
Folgerung:Sei F (x) irgend eine Stammfunktion von f(x), dann ist
∫f(x) dx = F (x) + C wobei C
alle reellen Zahlen durchlauft.
6.2 Integrationsverfahren
6.2.1 Partielle Integration
(u · v)′ = u′v + uv′
⇒ u · v′ = (u · v)′ − u′v |∫
b∫a
u · v′ dx =
b∫a
(u · v)′ dx−b∫
a
u′v dx
b∫a
u · v′ dx = [u · v]ba −b∫
a
u′ · v dx
∫u · v′ dx = u · v −
∫u′ · v dx
6.2.2 Substitution
Allgemeines Verfahren zur Losung von:∫f(x)dx
1. Aufstellung der Substitutionsgleichung:
u = g1(x)⇒ du
dx= g′1(x)⇒ dx =
du
g′1(x)
oder
x = g2(u)⇒ dx
du= g′2(u)︸ ︷︷ ︸
Ableitung nach u
⇒ dx = g′2(u) · du
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2. Durchfuhrung der Substitution:Einsetzen in das Integral⇒ Integral, das nur noch von u abhangt, x muss wegfallen∫
f(x)dx =
∫h(u)du
3. Berechnung des neuen Integrals in Abhangigkeit von u:∫h(u)du = H(u) + C
4. Rucksubstition:∫f(x)dx =
∫h(u)du = H(u) + C = F (x) +K
6.2.3 Partialbruchzerlegung
Echt gebrochenrationale Funktion:
f(x) =Z(x)
N(x),
N(x), Z(x) sind Polynome, Nennergrad>Zahlergrad, falls nicht zuerst Polynomdivision .
Partialbruchzerlegung einer echt gebrochenrationalen Funktion:
1. Bestimmung der Nullstellen (Beschrankung hier auf reelle NS) des Nenners mitVielfachheit.
2. Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet:
x0 : einfache Nullstelle ⇒ A
x− x0
x0 : Zweifache Nullstelle ⇒ A1
x− x0
+A2
(x− x0)2
......
...
x0 : n-fache Nullstelle ⇒ A1
x− x0
+ · · ·+ An(x− x0)n
3. Berechnung der Konstanten A bzw. Ai durch Summation der Bruche, Haupt-nennerbildung und Einsetzen geeigneter Werte.
Berechnung des Integrals∫f(x)dx:
Nach der Partialbruchzerlegung von f(x), werden die Bruche einzeln integriert.Formeln hierfur:∫
A
x− x0
dx = A · ln |x− x0|+ C∫Ai
(x− x0)idx =
Ai(1− i)(x− x0)i−1
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6.2.4 Numerische Integration
Gesucht ist eine (angenaherte) Losung von∫ b
a
f(x)dx
Dazu wird das Integrationsintervall in Teilintervalle eingeteilt.Zerlegung des Integrationsintervalles [a, b] in: a = x0 < x1 < · · · < xn = bmit der festen Schrittweite: h = b−a
n= xi − xi−1
Trapez-Regel (Verfahren 2. Ordnung)
Begrenzung durch Polynome 1. Ordnung: Geradenstucke
∫ b
a
f(x)dx =h
2
(f(a) + 2
n−1∑k=1
f(xk) + f(b)
)+R
Der Rest R lasst sich abschatzen durch:
|R| ≤ b− a12
h2 maxa≤x≤b
|f ′′(x)|
Simpson-Regel (Verfahren 4. Ordnung)
Begrenzung durch Polynome 2. Ordnung: Parabelstucke (gerade Anzahl von Teilinter-vallen n = 2m)
∫ b
a
f(x)dx =h
3
(f(a) + 2
m−1∑k=1
f(x2k) + 4m∑k=1
f(x2k−1) + f(b)
)+R
Der Rest R lasst sich abschatzen durch:
|R| ≤ b− a180
h4 maxa≤x≤b
|f (4)(x)|
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7 Reihen
7.1 Unendliche Reihe
7.1.1 Einfuhrung
Zahlenfolge (geordnete Menge reeller Zahlen):
(an) = 1, 4, 9, 16 . . .
Partialsumme:
s1 = a1 = 1
s2 = a1 + a2 = 1 + 4 = 5
s3 = a1 + a2 + a3 = 1 + 4 + 9 = 14
...
sk = a1 + a2 + a3 + · · ·+ ak
Definition 7.1 Unendliche Reihe
Die Folge (sn) der Partialsummen einer unendlichen Zahlenfolge (an) heißt unendlicheReihe.Symbolische Schreibweise:
∞∑n=1
an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ ak + . . .
Definition 7.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe
Eine unendliche Reihe∑∞
n=1 an heißt konvergent, falls die Folge ihrer Partialsummen(sn) =
∑nk=1 ak einen Grenzwert besitzt.
limn→∞
sn = limn→∞
n∑k=1
ak = s
38
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Symbolische Schreibweise:
∞∑n=1
an = s
Konvergiert die Summe der Betrage∑∞
n=1 |an|, so heißt die Reihe absolut konvergent.Die Reihe heißt divergent, falls sie nicht konvergiert:Ist s =∞ heißt die Reihe bestimmt divergent, sonst unbestimmt divergent.
7.1.2 Konvergenzkriterien
Notwendige Bedingung
Fur die Konvergenz einer unendlichen Reihe∑∞
n=1 an mit an > 0 ist die Bedingung
limn→∞
an = 0
notwendig!, aber nicht hinreichend (d.h. es existieren Folgen, die die Bedingung erfullenund trotzdem divergieren).
Quotienten- und Wurzelkriterium
Erfullen alle Glieder einer unendlichen Reihe∑∞
n=1 an die Bedingung:
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = q < 1
bzw.
limn→∞
n√|an| = q < 1
so ist die Reihe konvergent.Ist q > 1 so ist die Reihe divergent.Fur q = 1 kann keine Aussage getroffen werden (Extrauntersuchung notwendig)
Rechenregeln fur konvergente Reihen
1. Konstante Faktoren
∞∑n=1
an = s
⇒∞∑n=1
c · an = c ·∞∑n=1
an = c · s
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2. Summen konvergenter Reihen
∞∑n=1
an = s
∞∑n=1
bn = t
⇒∞∑n=1
an ±∞∑n=1
bn =∞∑n=1
(an ± bn) = s± t
3. Produkte absolut konvergenter Reihen
∞∑n=1
an = s
∞∑n=1
bn = t
seien absolut konvergent∞∑n=1
an ·∞∑n=1
bn = s · t =∞∑n=1
wn
wn = an · b1 + an · b2 + an · b3 + an · b4 + · · ·+ an · bk + . . .
7.2 Potenzreihen
7.2.1 Einfuhrung
Definition 7.3 Potenzreihe
Unter einer Potenzreihe versteht man eine unendliche Reihe vom Typ:
(I)
P (x) =∞∑n=0
anxn = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x3 . . .
oder
(II)
P (x) =∞∑n=0
an (x− x0)n = a0 + a1 (x− x0) + a2 (x− x0)2 + . . .
x0 heißt Entwicklungszentrum.Fur x0 = 0 erhalten wir die Gleichung (II) in der Form (I).
HS Munchen 40 Fakultat 03
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7.2.2 Konvergenz und Eigenschaften von Potenzreihen
Definition 7.4 Konvergenzbereich
Die Menge aller x-Werte fur die eine Potenzreihe konvergiert heißt Konvergenzbereichder Potenzreihe.
Konvergenzverhalten:Zu jeder Potenzreihe
∑∞n=0 anx
n bzw.∑∞
n=0 an(x − x0)n gibt es eine positive Zahl r,Konvergenzradius genannt, mit den folgenden Eigenschaften:
1. Die Potenzreihe konvergiert fur |x| < r bzw. |x− x0| < r
2. Sie divergiert fur |x| > r bzw. |x− x0| > r
3. An den Randpunkten |x| = r bzw. |x− x0| = r kann keine Aussage getroffenwerden → hier mussen Extrauntersuchungen durchgefuhrt werden
Berechnung des Konvergenzradius
Der Konvergenzradius r einer Potenzreihe
∞∑n=0
anxn bzw.
∞∑n=0
an(x− x0)n
kann nach folgenden Formeln berechnet werden:
r = limr→∞
∣∣∣∣ anan+1
∣∣∣∣ oder r = limr→∞
1n√an
Eigenschaften von Potenzreihen
1. Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb ihres Konvergenzbereiches absolut.
2. Eine Potenzreihe darf innerhalb ihres Konvergenzbereiches gliedweise differenziertund integriert werden. Die neuen Potenzreihen besitzen den gleichen Konvergenz-radius wie die Ausgangsreihe.
HS Munchen 41 Fakultat 03
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3. Zwei Potenzreihen durfen innerhalb ihres gemeinsamen Konvergenzbereiches (Durch-schnitt) gliedweise addiert und subtrahiert werden. Sie durfen auch miteinandermultipliziert (Cauchy-Produkt: ausmultiplizieren) werden. Die neuen Potenzreihenkonvergieren mindestens im gemeisamen Konvergenzbereich der Ausgangsreihen.
HS Munchen 42 Fakultat 03
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7.3 Taylor-Reihen:Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe
7.3.1 Einfuhrung
Ziel: Funktion f (x) als Potenzreihe darstellen
f (x) =∞∑n=0
anxn
oder
f (x) =∞∑n=0
an(a− x0)n
Zweck:
� Annaherung einer Funktion durch ein Polynom
� Herleitung von Naherungsformeln
� Integration durch Potenzreihenentwicklung
� Naherungsweises Losen von transzendenten Gleichungen
Beispiel: Geometrische Reihe
p (x) =∞∑n=0
xn = 1 + x+ x2 + x3 + . . . konvergiert fur |x| < 1
=1
1− x= f (x)
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7.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe
Mac Laurinsche Reihe
Annahme:
1. Entwicklung von f (x) in eine Potenzreihe vom Typ f (x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .
ist moglich und eindeutig
2. f (x) ist in einer Umgebung von x = 0 beliebig oft diefferenzierbar.d.h. f (0) , f ′ (0) , f ′′ (0) . . . konnen berechnet werden
Ableitungen:
f ′ (x) = a1 + 2a2x+ 3a2x2 + 4a4x
3 + . . .
f ′′ (x) = 2a2 + 6a2x+ 12a4x2 + . . .
f ′′′ (x) = 6a2 + 24a4x+ . . .
fur x = 0:
f (0) = a0
f ′ (0) = a1
f ′′ (0) = 2a2 ⇒a2 =f ′′ (0)
2=f ′′ (0)
2!
f ′′′ (0) = 6a3 ⇒a3 =f ′′′ (0)
6=f ′′′ (0)
3!
f (n) (0) = n! · an ⇒an =fn (0)
n!
Entwicklung in eine Mac Laurinsche Reihe:Unter bestimmten Voraussetzungen lasst sich f (x) in eine Potenzreihe der Form
f (x) = f (0) +f ′ (0)
1!x+
f ′′ (0)
2!x2 + . . .
f (x) =∞∑n=0
f (n) (0)
n!· xn (mit0! = 1)
entwickeln.
Symmetrieeigenschaften: Ist f (x) eine gerade Funktion, so ist die Reihenentwicklunggerade (d.h. es treten nur gerade Exponenten auf: x0, x2, x4, x6, . . .Ist f (x) eine ungerade Funktion, so ist die Reihenentwicklung auch ungerade (d.h. estreten nur ungerade Exponenten auf: x1, x3, x5, x7, . . .
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Taylorsche Reihe
Entwicklung in Taylorreihe:
f(x) = f(x0) +f ′(x0)
1!(x− x0) +
f ′′(x0)
2!(x− x0)2 +
f ′′′(x0)
3!(x− x0)3 . . .
=∞∑n=0
f (n)(x0)
n!(x− x0)n
mit dem Entwicklungszentrum x0
Fur x0 = 0 ergibt sich die MacLaurinsche ReiheKonvergenzbereich: |x− x0| < r
7.3.3 Anwendungen Taylor-Reihe
1. Naherungspolynome
Mac Laurinsche Reihe:
f(x) = f(0) +f ′(0)
1!x+
f ′′(0)
2!x2 + · · ·+ fn(0)
n!xn︸ ︷︷ ︸
Tn(x)
+f (n+1)(0)
(n+ 1)!x(n+1)︸ ︷︷ ︸
Restglied Rn(x)
. . .
f(x) = Tn(x) +Rn(x) Taylorsche Formel
Tn(x): Mac Laurinsches Polynom vom Grade nRn(x): Restglied, bestimmt die Große des Fehlers, Rn(x) = 0 fur n→∞
Der Fehler wird abgeschatzt mit Hilfe des Restglieds nach Lagrange:
Rn(x) =f (n+1) (xθ)
(n+ 1)!x(n+1) 0 < θ < 1
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Geometrische Deutung der Naherungspolynome
Naherungspolynom erster Ordnung (Linearisierung von f(x)):
T1(x) = f(0) + f ′(0) · x
Steigung von f(x) stimmt in 0 mit T1(x) uberein.
Naherungspolynom zweiter Ordnung:
T2(x) = f(0) + f ′(0) · x+f ′′(0)
2x2
Krummung von f(x) stimmt in 0 mit T2(x) uberein.
Weitere Naherungspolynome lassen sich entsprechend mit der allgmeinen Taylor-Entwicklung bilden.
2. Integration nach Reihenentwicklung
3. Losen von Transzendenten Gleichungen
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