Regelungstechnik I
Vorlesung
Inhaltsverzeichnis
1 Beschreibung des dynamischen Verhaltens von bertragungsstrecken 5
1.1 Vollstndige Dierentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Vollstndiger Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Physikalisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Denition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Physikalisches Standartmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Herkmmliche Regelsysteme 9
2.1 Aufbau eines Regelsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Struktur, Begrie und Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Das Stabilittsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Der Frequenzgang F0 der aufgeschnittenen Regelschleife . . . . . . 102.2.2 Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Systems und de-
ren Zusammenhang mit den Polen von Fg (in der p-Ebene) . . . . 102.2.3 Stabilittskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 Vorschriften in der p-Ebene fr Stabilitt und Dmpfung . . . . . 12
2.3 Die wichtigsten herkmmlichen Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Kennzeichnung des momentanen Zustands einer bertragungsstrecke durch
einen Satz von Zustandsvariablen 13
3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Zustandsvariable einer S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Regelysteme nach dem Prinzip der Rckfhrung eines vollstndigen Satzes
von Zustandsvariablen 14
4.1 Rckfhrung der Ausgangsgrse und ihrer ersten n-1 Ableitungen nach
der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Rckfhrung der Ausgangsgrssen der Bausteine mit Zeitverhalten des
physikalischen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.1 Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Zur Wahl des Verstrkungsfaktors K und der n Rckfhrungsparameter
K1 bis Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3.1 Parameterbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2
4.3.2 bertragungsbeiwert der Fhrung im Beharrungszustand (Kw) . . 204.3.3 Relationen der Koezienten des Nennerpolynoms . . . . . . . . . . 20
4.3.4 Zeitmastab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Behandlung von bertragungsstrecken mit einem von eins verschiedenen
Zhlerpolynom ihres Frequenzgangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Lage der Pole und Zeitverhalten eines Regelsystems 24
5.1 Bestimmung der Sprungantwort im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . 24
5.2 Zwei Beispiele fr Pollage und Zeitverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.1 Die Standartbertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.2 Tiefpass mit kritischer Dmpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Mglichkeiten zur Ausbildung eines echten Integralverhaltens 25
6.1 berlagerte I-Regelschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 Bypass-I-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.3 Vergleich zwischen berlagerter I-Regelschleife und Bypass-I-Regler . . . . 27
7 Der quivalente Regler 28
7.1 Denition des quivalenten Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.2 quivalenter Regler zum Regelsystem mit Rckfhrung der Ausgangsgrs-
se und ihrer n-1 Ableitungen nach der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.3 quivalenter Regler zum Regelsystem mit Rckfhrung der n Ausgangs-
grssen der Bausteine des physikalischen Modells . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4 quivalenter Regler zum Regelsystem mit berlagerter Regelschleife . . . 30
7.5 quivalenter Regler zum Regelsystem mit Bypass-I-Regler . . . . . . . . . 31
8 Methode zur Dimensionierung herkmmlicher Regler 32
9 Das Beobachterprinzip (auch Luenberger-Beobachter genannt) 33
9.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.2 Der vollstndige Streckenbeobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.2.2 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2.3 Beobachter ohne bleibende Abweichung (bei Strung mit bleiben-
dem Anteil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.3 Teilstreckenbeobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.3.2 Beispiel fr einen Teilstreckenbeobachter 1. Ordnung . . . . . . . . 35
9.3.3 Beispiel fr einen Teilstreckenbeobachter 2. Ordnung . . . . . . . . 35
9.4 Festlegung der Gewichtsfaktoren g in Beobachtern . . . . . . . . . . . . . 35
10 Systemfhrung nach dem Prinzip unterlagerter Schleifen 36
11 System mit einem Wechsel der Regelgre 37
11.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3
11.2 Lsung bei Regelsystemen mit unterlagerten Schleifen (Kaskadenregelung) 37
11.3 Ablseregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4
1 Beschreibung des dynamischen
Verhaltens von bertragungsstrecken
bertragungsstrecke S mit:
Eingangsgre xe
Ausgangsgre xa
Strgre z
Vorraussetzungen fr S:
rckwirkungsfrei (von aussen gesehen)
lineares Verhalten (berlagerungssatz gltig!)
ohne Totzeiten
Strgre zzunchst= 0
5
1.1 Vollstndige Dierentialgleichung
Die vollstndige Dierentialgleichung lsst sich aus der physikalischen Grundgleichung
der Teilsysteme ermitteln:
Mechanische Teilsysteme:
F = m a ; M = J d dt
Elektrische Teilsysteme:
uR = R iR ; uL = Ld iLdt; iC = C
d uCdt
Thermische Teilsysteme:
entsprechende Bezeichnungen fr thermischen Widerstand und thermische Kapazitt
Bei linearem Verhalten ohne Totzeiten, diskreten energieaufnhemenden Elementen und
zeitinvarianten Parametern:
n+1(n)xa (t) + + 3 xa(t) + 2 xa(t) + 1 xa(t) + 0
= 1 xe(t) + 2 xe(t) + + m+1(m)xe (t) (1)
Zweckmig: Festlegung der Nullpunkte fr xe und xa im Beharrungspunkt (z.B. Nenn-betrieb)
xe, xa Abweichungen vom Beharrungszustand 0 = 0
Gl.(1) stets darstellbar in der Form:
an+1(n)xa (t) + + a3 xa(t) + a2 xa(t) + a1 xa(t)
= b1 xe(t) + b2 xe(t) + + bm+1(m)xe (t) (2)
wobei b1 = 1 und im Sonderfall b1 = 0 gilt
Vereinbarung:
Im folgenden werden S durch Dierentialgleichungen (DGL) gem Gl.(2) beschrie-
ben
6
1.2 Vollstndiger Frequenzgang
Blatt 1..3 zu Kapitel 1
1.3 Physikalisches Modell
1.3.1 Denition und Eigenschaften
ohne Beweis (Literatur: W. Oppelt)
Eine S mit n voneinander unabhngigen Energiespeichern wird durch eine bertra-
gungsfunktion n-ter Ordnung beschrieben und umgekehrt.
Denition: Energiespeicher sind dann voneinander unabhngig, wenn ihr Energieinhalt
vom System getrennt beeinusst werden kann
Beispiele:
7
Physikalisches Modell fr S n-ter Ordnung:
Reihen-/ Parallel-/ Kreisschaltung von insgesamt n unabhngigen Integrierern undPT1-Gliedern (Verzgerungsglieder 1. Ordnung)
Signalausgnge der Integrierer und PT1-Glieder kennzeichnen jeweils den Energi-einhalt eines eindeutig zugeordneten Energiespeichers der Original-S
zustzlich zur Reihen-/ Parallel-/ Kreisschaltung treten weitere Rck- oder Vor-wrtskopplungen nur als P-Glieder (Proportionalglieder) auf
Blatt 5+6 zu Kapitel 1
1.3.2 Beispiele
Blatt 7..23 zu Kapitel 1
1.4 Physikalisches Standartmodell
Forderungen wie beim physikalischen Modell fr S n-ter Ordnung mit der
Einschrnkung:
Ab Glieder mit Zeitverhalten drfen nur Integrierer auftreten
8
2 Herkmmliche Regelsysteme
2.1 Aufbau eines Regelsystems
2.1.1 Struktur, Begrie und Aufgabe
Ein Regelsystem ist eine Anordnung, bei welcher die Ausgangsgre einer bertragungs-
strecke laufend gemessen und mit der dafr vorgegebenen Fhrungsgre verglichen wird
und bei der mit der so gebildeten Dierenz die Strecke derart beeinusst wird, dass die
Regelgre, auch unter dem Einuss einer ganz oder teilweise unbekannten Strgre, an
ihren Sollwertverlauf angeglichen wird.
Blatt 1+2 zu Kapitel 2
2.1.2 Ein Beispiel
Blatt 3..6 zu Kapitel 2
9
2.2 Das Stabilittsproblem
2.2.1 Der Frequenzgang F0 der aufgeschnittenen Regelschleife
Aufschneiden der Rckfhrungsschleife vor der Bildung der Regeldierenz:
Anregung mit harmonischer Schwingung (xe)Ermittlung von deren Wirkung auf x (ergibt unter den getroenen Voraussetzungenebenfalls eine harmonische Schwingung)
Dafr wird w = 0 und z = 0 vorrausgesetzt; beide hier unerheblich (berlagerungssatz!)FG der aufgeschnittenen Regelschleife:
F0 =x
xe= FR FS
Blatt 7..9 zu Kapitel 2
2.2.2 Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Systems und
deren Zusammenhang mit den Polen von Fg (in der p-Ebene)
Unter den getroenen Vorraussetzungen Darstellung von Fg und Fgz stets wie folgt mg-lich (2.1.2):
Fg(p) =x
w=Zg(p)Ng(p), Fgz(p) =
x
z=Zgz(p)Ng(p)
Somit:
x Ng(p) = w Zg(p)(. . . d p3 + c p2 + b p+ a) x = (. . . p3 + p2 + p+ ) w (12)wobei a, b, c . . . und , , . . . reellx x; w w; p ddt
. . . d...
x + c x+ b x+ a x = . . . ...
w + w + w + w (13)
10
Lsung von DGL(13):
eine spezielle Lsung von (13) mit w 6= 0 [inhomogene Form von (13)] summiert mitallgemeiner Lsung von (13) mit w = 0 [homogene Form von (13)]
Allein die homogene Form von (13) entscheidet ber Stabilitt
Spezielle Lsung von (13): dazu Sprung in w zur Zeit t = 0
t 0: w = const. = wS ; w = 0 ; w = 0 ; . . .xs =
awS
Homogene Lsung von (13): dazu charakteristische Gleichung (CGL) zur DGL(13)
. . . d 3 + c 2 + b + a = 0 (14)
Eigenwerte der CGL: 1 ; 2 ; . . . ; n
xh = D1 e1 t +D2 e2 t + +Dn en t
(gilt fr einfache Eigenwerte; Lsung bei zusamenfallenden Eigenwerten siehe HM)
Bedingung fr die Stabilitt des durch DGL(13) beschriebenen Systems:
Realteile smtlicher Wurzeln der CGL(14) negativ
Wurzeln der CGL(14) (in komplexer Ebene) identisch mit Wurzeln (in p-Ebene)des Nennerpolynoms Ng von Fg(p) und Fgz(p) Folgt aus Vergleich von (14) mit (12)
Blatt 11+12 zu Kapitel 2
2.2.3 Stabilittskriterium
Blatt 13 zu Kapitel 2
F0(p) =K
1 + p TaN sN + p2 TA TaN sN 2 Pole mit neg. Realteil
1p TaN 1 Pol bei p = 0
((8))
= () (0) mit () = |(0) = |0
11
(0) =pi
2 arctan
KsN 1Re[F0(j)]0Im[F0(j)]0
=pi
2
Fr K = 48: () = pi = pi2 stabilFr K = 144: () = pi = 32pi instabil
Blatt 14..16 zu Kapitel 2
2.2.4 Vorschriften in der p-Ebene fr Stabilitt und Dmpfung
Betrachtung der Lage der Pole von Fg(p) in der p-Ebene
Blatt 17..19 zu Kapitel 2
2.3 Die wichtigsten herkmmlichen Regler
Blatt 21..28 zu Kapitel 2
12
3 Kennzeichnung des momentanen
Zustands einer bertragungsstrecke
durch einen Satz von
Zustandsvariablen
3.1 Problemstellung
S bende sich zur Zeit t = t0 auerhalb ihres Beharrungszustandes infolge von Ein-ssen, welche zu Zeiten t < t0 erfolgten, zum Zeitpunkt t = t0 aber bereits wiedervollstndig abgeklungen sind.
Gesucht: xa = xa(t) fr t > t0, wobei fr t > t0 xe 0 und z 0
3.2 Zustandsvariable einer S
Denition:
Ein Satz von Zustandsvariablen einer S ist ein Satz von Kenngrssen, deren Momen-
tanwerte zu einem Zeitpunkt t = t0 das Verhalten der S fr t > t0 ohne weitereBeeinussungen (xe 0, z 0 fr t > t0) eindeutig festlegen.
Blatt 1 zu Kapitel 3
13
4 Regelysteme nach dem Prinzip der
Rckfhrung eines vollstndigen
Satzes von Zustandsvariablen
Herkmmlicher Weg:
Nachteil:
Zustzliche Informationen ber die S werden beim Aufbau des Regelsystems nicht be-
rcksichtigt
Stabilittsproblem unntig schwierig lsbar
Zweckmiger:
x1, x2, . . ., xn: Vollstndiger Satz von Zustandsvariablen der S
14
Vorteile:
einfach stabil zuhalten
Stabilitt ziemlich Unempndlich gegenber Parametereinstellungen
bertragungsverhalten des Regelsystems zumindest theoretisch frei einstellbar
Einfacher Aufbau des RRG bei zeitlich konstant gewichteter Rckfhrung eines vollstn-
digen Satzes von Zustandsvariablen
x1, x2, . . ., xn: Vollstndiger Satz von Zustandsvariablen der SK, K1, . . ., Kn: Einstellparameter des RRG (reell, n+ 1 freie Parameter)
4.1 Rckfhrung der Ausgangsgrse und ihrer ersten n-1
Ableitungen nach der Zeit
x1 = xx2 = xx3 = x.
.
.
xn =(n1)x
15
Durch RRG wird festgelegt:
y = K(w C1 x C2 x C3 x Cn(n1)x ) (1)
Bei S entsprechend Gl.(2) in 1.1 mit (b1 = 1; b2, b3 . . . bn+1 = 0):
y = a1 x+ a2 x+ a3 x+ + an+1(n)x(2)
Aus (1) und (2):
an+1(n)x + + a3 x+ a2 x+ a1 x = KW KC1 xKC2 xKC3 x KCn
(n1)x
(n)x
an+1K
+(n1)x
(Cn +
anK
).
.
.
+ x(C3 +
a3K
)+ x(C2 +
a2K
)+ x(C1 +
a1K
)= w (3)
Vollstndige Lsung zu Gl.(3) (DGL n-ter Ordnung):
Lsung = eine spezielle Lsung der inhomogenen Form von Gl.(3) (w 6= 0)+ allgemeine Lsung der homogenen Form von Gl.(3) (w = 0)
16
Spezielle Lsung der inhomogenen Form von Gl.(3)
Annahme: Sprung in w zur Zeit t = 0 von 0 auf wS
t > +0: w = wS = const.w, w, . . . = 0
Eingesetzt in Gl.(3), eine Lsung von Gl.(3)
xs = wSC1 + a1K(4)
Allgemeine Lsung der inhomogenen Form von Gl.(3)
CGL:
nan+1K
+ n1(Cn +
anK
)+ 2
(C3 +
a3K
)+ (C2 +
a2K
)+ 1(C1 +
a1K
)= 0 (5)
Allgemeine Lsung der homogenen Form von Gl.(3):
xh = D1 e1 t +D2 e2 t + +Dn en t (6)
Vollstndige Lsung von Gl.(3):
x = xs + xh =wS
C1 + a1K+D1 e1 t +D2 e2 t + +Dn en t (7)
mit D1 . . . Dn aus den Anfangsbedingungen
Aus Gl.(7) folgt:
1 . . . n bestimmen Art und Weise und insbesondere die Geschwindigkeit, mitwelcher der neue Beharrungszustand angelaufern wird
bertragungsbeiwert der Fhrung im Beharrungszustand:
Kw =xsws
(4)=
1C1 + a1K(8)
17
blich:
Kw = 1 (9)
Zunchst n+1 freie Parameter: K und C1 . . . Cn (Eisntellparameter des RRG)Gl.(8) legt eine Beziehung zwischen diesen n+1 freien Parametern fest; somit verbleiben
n Parameter zur freien Wahl (zur Festlegung der Wurzeln der CGL)
(8)(5):
n Kwan+1K
=qn Tn
+n1 Kw(Cn +
anK
)
=qn1 Tn1
+ + 2 Kw(C3 +
a3K
)
=q2 T 2
+ Kw(C2 +
a2K
)
=T
+1 = 0
(10)
Aus (3), (8) und (10) Fhrungs-FG:x
w= Kw
11 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn (11)
Hierzu Kw frei whlbar. Durch dessen Vorgabe entsteht gem Gl.(8) eine Bindung zwi-schen C1 und K. Unterstellt man z.B. dass hierdurch ber C1 verfgt wird, sind q2 bisqn und T ber eine geeignete Wahl von K und C2 bis Cn(reell) vllig beliebig whlbar.Damit sind die Wurzeln der CGL (1 . . . n) theoretisch vllig frei festzulegen.Praktische Grenzen durch limitierten Hub des Stellgliedes und Empndlichkeit des Sys-
tems gegenber Strsignalen.
Nachteil: hier mehrfache Dierentation des Ausgangssignal erforderlich
4.2 Rckfhrung der Ausgangsgrssen der Bausteine mit
Zeitverhalten des physikalischen Modells
4.2.1 Prinzip
Blatt 1+2 zu Kapitel 4
4.2.2 Beispiele
Blatt 3..9 zu Kapitel 4
18
4.3 Zur Wahl des Verstrkungsfaktors K und der n
Rckfhrungsparameter K1 bis Kn
x
w= Kw
11 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn ((11) aus 4.1)
(sofern Zhlerpolynom des FG
xy der Regelstrecke Grad0, d.h. Regelstrecke ohne Kreis-
und Parallelschaltung und Vorwrtskopplungen)
Eigenschaftsparameter Kw, T, q2, q3, . . . , qn ber Einstellparameter K,K1,K2, . . . ,Kntheoretisch beliebig whlbar.
Theoretisch optimal:
x
w= Kw (blicherweise = 1)
also T = 0 (und alle q endlich) Forderung (vgl. Beispiele) K =Erfllung (auch nur nherungsweise) nicht sinnvoll
4.3.1 Parameterbilanz
Einstellparameter Parameter Parameterzahl
Gewichtung der Signale in den Rckfhrungs-
schleifen
K1,K2, . . . ,Kn n
Verstrkung des P-Gliedes nach dem Summati-
onspunkt
K 1
Gesamtzahl, Haben n+1
Eigenschaftsparameter Parameter Parameterzahl
bertragungsbeiwert der Fhrung im Behar-
rungszustand
Kw 1
Relationen der Koezienten des Nennerpoly-
noms
q2, q3, . . . , qn n-1
Zeitmastab (gewnschte oder mgliche Regel-
geschwindigkeit)
T 1
Gesamtzahl, Soll n+1
19
4.3.2 bertragungsbeiwert der Fhrung im Beharrungszustand (Kw)
blicherweise Kw = 1 (Ausnahme eventuell bei berlagerung weiterer Schleifen)
4.3.3 Relationen der Koezienten des Nennerpolynoms
Die Beziehung:
x
w= Kw
11 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn ((11) aus 4.1)
beschreibt das Verhalten eines Tiefpasslters.
Die Filtertheorie liefert zahlreiche sinnvolle Relationen der Koezienten q2 . . . qn fr eingnstiges Fhrungsverhalten.
Blatt 11..13 zu Kapitel 4
4.3.4 Zeitmastab
x
w= Kw
11 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn ((11) aus 4.1)
Eigentlich gewnscht:
T klein
K sehr gro hohe Systemunruhe hohe Reserve im Stellglied erforderlich oder rasches Austreten aus dem weitgehendlinearen Bereich
Kompromiss erforderlich zwischen hoher Regelgeschwindigkeit, ausreichender Systemru-
he und Bedarf an Stellreserve.
Dazu Kenntnis erforderlich ber:
Gre und Art von Sollwertvernderungen
Gre, Art und Angrispunkte von Strgren
Gre und Frequenzen von Strsignalen im Sollwert und Istwert
20
Diese sind in der Entwurfsphase meist nicht vollstndig bekannt endgltige Einstellungdes Zeitmastabs bei der Inbetriebnahme vor Ort.
Daher: Aufgrund vorliegender Grobkenntnisse K oder T whlen und damit, sowie aus Kwund q2 . . . qn (K),K1 . . .Kn berechnen und als erste Einstellempfehlung verwenden.
Auerdem: Verschiedene K oder T um den ersten Wert herum whlen und zugehrige
Stze (K),K1 . . .Kn berechnen verschiedene Koezientenstze fr Inbetriebnahme
Noch oen: Wahl von T fr erste Einstellempfehlung
a) Grober Schtzwert aus bekannter Hhe von Sollwertsprngen sowie bekannter Stell-
reserve bei bekanntem Arbeitspunkt
Blatt 15..19 zu Kapitel 4
b) Grober Schtzwert aus Polverteilung der bertragungsstrecke
Blatt 20..26 zu Kapitel 4
4.4 Behandlung von bertragungsstrecken mit einem von
eins verschiedenen Zhlerpolynom ihres Frequenzgangs
Blatt 27..29 zu Kapitel 4
Zunchst: Denition einer zentralen Zustandsgre xc gem:
an+1(n)xc (t) + + a3 xc(t) + a2 xc(t) + a1 xc(t) = y(t) (4)bzw.
xcy
=1
a1 + a2 p+ a3 p2 + + an+1 pn (5)
Aus (2a) und (5):
x = xc(b1 + b2 p+ b3 p2 + + bm+1 pm) (6)x(t) = b1 xc(t) + b2 xc(t) + b3 xc(t) + + bm+1
(m)xc (t) (7)
21
Ein vollstndiger Satz von Zustandsgren einer S ist stets ein Satz von n linear unab-
hngigen Linearkombinationen ihrer zentralen Zustandsgre xc und deren (n-1) Ablei-tungen nach der Zeit.
Die n Ausgangsgren der Bausteine mit Zeitverhalten des physikalischen Modells einer
S sind stets ein Satz von Zustandsgren
Ein Regelsystem mit Rckfhrung der Ausgangsgren des physikalischen Modellslsst sich auf ein solches mit Rckfhrung der zentralen Zustandsgre und deren (n-1)
Ableitungen nach der Zeit zurckfhren.
Blatt 30 zu Kapitel 4
K1 x+K2 x2 + +Kn xn = C1 xc + C2 xc + + Cn(n1)xc (8)
gem (11) aus 4.1:
xcw
= Kw1
1 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn
mit
Kw =1
C1 + a1K((8) aus 4.1)
T = Kw(C2 +
a2K
)((10) aus 4.1)
q T = Kw
(C+1 +
a+1K
)fr = 2, 3, . . . (n 1)
qn Tn = Kw
an+1K
22
Fhrungs-FG des Regelsystems:
(6) mit (11) aus 4.1:
x
w= Kw
b1 + b2 p+ b3 p2 + + bm+1 pm1 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn (10)
Kw sowie die Parameter q2 . . . qn und T des Nennerpolynoms (und damit die Poledes Fhrungs-FG) sind ber K sowie C1 bis Cn bzw K1 bis Kn theoretisch beliebigeinstellbar (Beweis siehe 4.1 und 4.2)
Zhlerpolynom (b1 . . . bm+1) durch S gegeben, kann ber die Parameter des RRGnicht beeinusst werden
Die Stabilitt des Regelsystems ist nur durch die Pole des Fhrungs-FG (also durchdessen Nennerpolynom) bestimmt; diese sind ebenso frei einstellbar wie bei den S
mit Zhlerpolynom 1
Blatt 31..35 zu Kapitel 4
23
5 Lage der Pole und Zeitverhalten eines
Regelsystems
5.1 Bestimmung der Sprungantwort im Zeit- und
Frequenzbereich
Beispiel: Regelsystem nach dem Prinzip der Rckfhrung eines vollstndigen, zeitlich
konstant gewichteten Satz von Zustandsvariablen fr die Drehzahl einer Gleichstromstel-
ler gespeisten, fremderregten Gleichstrommaschine.
(Beispiel 1 aus 4.2.2)
Gegeben: Sprung in der Fhrungsgre w von w = 0 auf w = 1 zum Zeitpunkt t = 0(bei mW = 0)
Gesucht: Sprungantwort xu im Zeit- und Frequenzbereichfr alle Zeitfunktionen gilt: f(t)|t
6 Mglichkeiten zur Ausbildung eines
echten Integralverhaltens
Blatt 1..4 zu Kapitel 6
Echtes Integralverhalten ist auf 2 verschiedenen Wegen erreichbar:
berlagerte I-Regelschleife 6.1
Bypass-I-Regler 6.2
Um ws xs = 0 generell sicherzustellen, ist w x zu bilden, auf einen Integrierer zugeben und mit dessen Ausgang das System geeignet zu beinussen
6.1 berlagerte I-Regelschleife
Vorgehen in Teilschritten a) und b)
a) Inneres Regelsystem mit zeitlich konstant gewichteter Rckfhrung der Ausgangs-
gren der Bausteine mit Zeitverhalten des physikalischen Modells aufzubauen, Eingang
w, Ausgang x
25
xw
= Kw1
1 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn T nwobei die Eigenschaftsparameter Kw, T , q2, . . . , qn des inneren Regelsystems ber dieEinstellparameter K,K1, . . . ,Kn frei einstellbar sind
b) Inneres Regelsystem nach a) mit Eingang w und Ausgang x in herkmmlicher Weisemit einem I-Regler versehen.
x
w=
11 + p TIKw + p
2 TIKw
T + q2 p3TIKw
T 2 + + qn pn+1 TIKwT n
TI und Kw hier direkt gegeneinander austauschbar z.B. Kw = 1 (keine Einschrn-kung!)
xw
=1
1 + p TI + p2 TI T + q2 p3 TI T 2 + + qn pn+1 TI T n lsst sich schreiben in der bekannten form
xw
=1
1 + p T + q2 p2 T 2 + + qn+1 pn+1 Tn+1
mit T = TI ; q2 = TT , q3 = q
2
(T T
)2, . . . , qn+1 = qn
(T T
)n
26
Wurzeln der bertragungsfunktion (n+1)-ter Ordnung wieder theoretisch frei whlbar
und
xsws
= 1, da berlagerter I-Regler
Parameter-Bilanz
Einstellparameter Parameter Parameterzahl
Gewichtung der Signale in den n Rckfhrungs-
schleifen des inneren Regelsystems
K1,K2, . . . ,Kn n
Verstrkung des R-Gliedes nach dem Summati-
onspunkt des inneren Regelsystems
K 1
berlagerter I-Regler TI 1
Gesamtzahl, Haben n+2
Eigenschaftsparameter Parameter Parameterzahl
bertragungsbeiwert der Fhrung im Behar-
rungspunkt des inneren Regelsystems (=1)
Kw = 1 1
Relationen der Koezienten des Nennerpoly-
noms des Gesamtsystems
q2, q3, . . . , qn+1 n
Zeitmastab T 1
Gesamtzahl, Soll n+2
Anmerkung: Erhhung der Ordnungszahl um 1, Strecke n-ter Ordnung fhrt auf Fh-
rungsbertragungsfunktion (n+1)-ter Ordnung
6.2 Bypass-I-Regler
Blatt 5..9 zu Kapitel 6
6.3 Vergleich zwischen berlagerter I-Regelschleife und
Bypass-I-Regler
Blatt 10..12 zu Kapitel 6
27
7 Der quivalente Regler
7.1 Denition des quivalenten Reglers
Dem quivalenten Regler werden nur Informationen ber den Soll- und Istwert derRegelgre zugefhrt
Er soll dasselbe leisten (bezglich Fhrungsverhalten) wie die beschriebenen Re-gelsysteme mit Rckfhrung eines vollstndigen Satzes von Zustandsvariablen
7.2 quivalenter Regler zum Regelsystem mit Rckfhrung
der Ausgangsgrsse und ihrer n-1 Ableitungen nach der
Zeit
Anordnung:
x
w= Kw
11 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn ((11) aus 4.1)
28
EigenschaftsparameterKw, T, q2, q3, . . . , qn ber die EinstellparameterK,C1, . . . Cn theo-retisch beliebig whlbar
Schritt 1: Anordnung umgezeichnet gem Forderung aus 7.1
Strverhalten: PDn1-Regler wirksam
Schritt 2: Anordnung umgezeichnet
Merkmale:
Bestimmung von K,C1, . . . Cn wie frher beschrieben
Gesamtverhalten wie System mit PDn1-Regler und vorgeschaltetem Fhrungsl-ter (n-1)-ter Ordnung
Fr Regelstrecken hherer Ordnung geringe praktische Bedeutung, da mehrfacheDierentiation wegen Strgren in der Ausgangsgre technisch nicht sinnvol rea-
lisierbar. Die quivalenz ist fr Regelstrecken bis 2. Ordnung (PD-Regler) inter-
essant.
Dynamsich wirksamer Teil des Fhrungslters kann hug entfallen, abhngig vonCharakter des zeitlichen Verlaufs der Fhrungsgre und abhngig von den Stell-
grenzen innerhalb der Regelstrecke
29
7.3 quivalenter Regler zum Regelsystem mit Rckfhrung
der n Ausgangsgrssen der Bausteine des physikalischen
Modells
Blatt 1 zu Kapitel 7
K1 x+ K2 x2+ K2 x2.
.
.
+ Kn xn
= xR =
x[G1
+ p G2+ p2 G3.
.
.
+ pn1 Gn]mit G abhngig von den Parametern der Regelstrecke und von den Einstellparameterndes RRG
und G zeitlich konstant
Merkmale:
Bestimmung von K,K1, . . . ,Kn wie frher beschrieben
wie 7.2
7.4 quivalenter Regler zum Regelsystem mit berlagerter
Regelschleife
Blatt 2 zu Kapitel 7
Merkmale:
Bestimmung von TI ,K,K1, . . . ,Kn wie frher beschrieben
Gesamtverhalten wie System mit PIDn1-Regler und vorgeschaltetem Fhrungs-lter n-ter Ordnung
wie bei 7.2
30
7.5 quivalenter Regler zum Regelsystem mit
Bypass-I-Regler
Blatt 3 zu Kapitel 7
Merkmale:
Bestimmung von TI ,K,K1, . . . ,Kn wie frher beschrieben
Gesamtverhalten wie System mit PIDn1-Regler und vorgeschaltetem Fhrungs-lter n-ter Ordnung. Ordnung des Fhrungslters kann durch geeignete Festlegung
von TI auf (n-1) reduziert werden.
wie bei 7.2
31
8 Methode zur Dimensionierung
herkmmlicher Regler
Blatt 1..9 zu Kapitel 8
32
9 Das Beobachterprinzip (auch
Luenberger-Beobachter genannt)
9.1 Aufgabenstellung
Blatt 1+2 zu Kapitel 9
9.2 Der vollstndige Streckenbeobachter
9.2.1 Grundlagen
Blatt 3 zu Kapitel 9
Denition: Gi(p) ist die bertragungsfunktion der Streckennachbildung vom Eingang Eizum Ausgang xBOriginalstrecke fr = 0 bzw. = 0:
x = F (p) y (1)
Streckennachbildung (unter Anwendung berlagerungssatz)
xB = F (p) y +[g1 G1(p) + g2 G2(p) + + gn Gn(p)
](x xB
)(2)
(1) in (2):
xB[1 +
n=1
g G(p)]
= F (p) y[1 +
n=1
g G(p)]
xB = F (p) y (3)
Dies gilt fr alle Werte von g1, , gn (inklusive 0)!
Wahl der reellen Faktoren g1, , gn
Dazu Strung annehmen
33
modizierte Strgre am Ausgang der Original-S soll diesselbe Wirkung her-vorrufen wie
Reaktion des Systems auf Strgre (dafr kann y = 0 angenommen werden)
xB = ( xB)n=1
g G(p)
xB
= 1 11 +
n=1
g G(p)(4)
Erwnscht: Auch bei Strung soll Beobachter mglichst diesselbe Ausgangsgre liefern
wie die Strecke selbst
xR
mglichst
rasch 1 R(p) = 11 +
n=1
g G(p)
mglichst
rasch 0
Wahl von g1 . . . gna) Betrge mglichst gro
b) Relationen so, dass mglichst schnell der eingeschwungene Zustand erreicht wird
Feststellung: Gi(p) sind jeweils Quotienten zweier Polynome in p von jeweils max. n-terOrdnung
Blatt 5 zu Kapitel 9
9.2.2 Ein Beispiel
Blatt 6..10 zu Kapitel 9
9.2.3 Beobachter ohne bleibende Abweichung (bei Strung mit
bleibendem Anteil)
9.2.3.1 Problemstellung und grundstzliche Lsung
Blatt 11+12 zu Kapitel 9
34
9.2.3.2 Dimsensionierung
Blatt 13+14 zu Kapitel 9
9.2.3.3 Ein Beispiel
Blatt 15..18 zu Kapitel 9
9.3 Teilstreckenbeobachter
9.3.1 Grundlagen
Blatt 19 zu Kapitel 9
Blatt 20..22 zu Kapitel 9
9.3.2 Beispiel fr einen Teilstreckenbeobachter 1. Ordnung
Blatt 23..25 zu Kapitel 9
9.3.3 Beispiel fr einen Teilstreckenbeobachter 2. Ordnung
Blatt 26..31 zu Kapitel 9
9.4 Festlegung der Gewichtsfaktoren g in Beobachtern
Zunchst annehmen, dass die zu beobachtenden Gren doch direkt erfassbar sind und
gesamtes Regelsystem dimensionieren Zeitverhalten des Regelsystems festgelegt
Beobachter diesem Zeitverhalten zuordnen (vgl. 9.2)
35
10 Systemfhrung nach dem Prinzip
unterlagerter Schleifen
Blatt 1..9 zu Kapitel 10
36
11 System mit einem Wechsel der
Regelgre
11.1 Problemstellung
Blatt 1..3 zu Kapitel 11
11.2 Lsung bei Regelsystemen mit unterlagerten Schleifen
(Kaskadenregelung)
Schritt 1: Ankerstromregelung
Aufbau gem 10.3; dabei nung der Kreisschaltung ber das Glied 1pTaNgem 4.4 C2 = 1C Ankerstrombegrenzer vorschalten
Blatt 4 zu Kapitel 11
Schritt 2: Regelung der Maschinendrehzahl bzw. der Kabinengeschwindigkeit
Aufbau gem 10.2
Begrenzereinheit vorschalten, Anschlge sind ber ein Steuersignal von auen sym-metrisch verstellbar
Blatt 5 zu Kapitel 11
37
Schritt 3: Wegregelung
Aufbau gem 10.2, dabei E, E1, E2, E3 z.B. als Tiefpass mit kritischer Dmpfungauslegen (4.3.3e), da kein berschwingen erlaubt
Bei Bedarf echtes Integralverhalten z.B. mit Bypass-I-Regler (6.2) keine blei-bende Regelabweichung im Weg
Begrenzereinheit vorschalten (Anschlge bei 0 und L)
Blatt 6 zu Kapitel 11
Schritt4: Funktionsgeber fr Geschwindigkeits-Weg-Prol
Bei Bedarf unterschiedliche Prole fr Berg- und Talfahrt
Blatt 7 zu Kapitel 11
Funktionsbeschreibung:
Blatt 8 zu Kapitel 11
11.3 Ablseregelung
Blatt 9 zu Kapitel 11
Schritt 1: Drehzahlregelung
1.1: Beobachter fr den ungegltteten Motorstrom ( iB)
Grund: i enthlt hohe Wechselanteile Glttung (z.B. Tiefpass 1. Ordnung mitder Messzeitkonstanten Tm) erforderlich ( ig) ig ist keine dynamisch hochwertige Information
Aufbau gem 9.3 (Teilstreckenbeobachter)
Blatt 10 zu Kapitel 11
38
1.2: Drehzahlregelung mit Bypass-I-Regler
Aufbau gem 6.2
Blatt 11 zu Kapitel 11
Schritt 2: Dynamisch mglichst hochwertige Stromregelung
iB (aus Schritt 1.1) ist als Istwert hierfr allein nicht ausreichend (statisch zuungenau)
Verwendung von ig als Regelgre (Metiefpass aus Schritt 1.1)
Ankerstromregelung mit Bypass-I-Regler nach 6.2
Aufbau gem. 10.3; dabei nung der Kreisschaltung ber das Glied 1pTaN gem 4.4 C3 = 1C
Blatt 12 zu Kapitel 11
Schritt 3: Kombination beider Regelsysteme
Sollwertvorgabe fr die Drehzahl: w
Sollwertvorgabe fr den Ankerstrom: v = imax,zul.
Blatt 13 zu Kapitel 11
39