Related-Rates-Problems– Aufgaben mit verketteten Änderungsraten –
Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht
MNU- Tagung am 09.10.2007 an der Universität in Dortmund Klaus Gerber, Leichlingen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
1. Geometrisch orientierte Strategien
2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI
3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen
4. Experimentelle Untersuchungen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
1. Geometrisch orientierte Strategien
2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI
3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen
4. Experimentelle Untersuchungen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
In ein trichterförmiges Gefäß läuft
Wasser ein. Es hat die Form eines
auf der Spitze stehenden Kegels mit
dem Radius r = 5 cm und der Höhe
h = 10 cm. Die Zuflussgeschwindig-
keit beträgt 9 cm3/min.
Mit welcher Geschwindigkeit steigt
der Wasserpegel, wenn die
Füllhöhe gerade 6 cm beträgt?
Pólyas Kegel
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Pólyas Kegel
1. Zeichnung:
2. Gegebene Änderungsrate:
Gesuchte Änderungsrate:
3. Kettenregel:
4. Es gilt:
Mit der Ähnlichkeitsbeziehung erhält man:
Ableiten ergibt:
mincm3
9dtdV
dtdy
yx)y,x(V 231
h
r
y
x 3
2
2
31)( y
h
ryV
2412
2
2
yyh
r
dy
dV
241
min
3
9
ydt
dy cm
dydVdtdV
mincm
mincm 32,0
1dtdy
5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel:
Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:
Gesucht!
Lösung:
dtdy
dydV
dtdV
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1. Fertige eine Zeichnung mit den relevanten geometrischen Größen an.
2. Notiere die gegebenen und die gesuchten Änderungsraten.
3. Formuliere die Kettenregel, die die Änderungsraten verknüpft.
4. Finde die unbekannte Änderungsrate in der Kettenregel mit geometrischen Hilfsmitteln (Ähnlichkeit, Pythagoras, Koordinatengeometrie).
5. Setze die gefundene Änderungsrate in die Kettenregel ein, und berechne die gesuchten Größen.
Die Lösungsschritte lassen sich zusammenfassen:
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Verwandte Aufgaben:
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1. Geometrisch orientierte Strategien
2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI
3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen
4. Experimentelle Untersuchungen
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Ein Glas entsteht durch die Rotation
des Graphen zu f(x) = 0,5 x
im Intervall [0; 10].
Nun wird das Glas mit der Spitze
nach unten aufrecht gestellt und mit
Wein gefüllt. Die Zufluss-
geschwindigkeit beträgt 9 cm3/min.
Berechne die momentane
Pegelgeschwindigkeit, wenn die
Füllhöhe 6 cm beträgt?
Pólyas Kegel mit dem HDI
4. Berandungsfunktion f mit . f und f2 sind stetig. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die
Integralfunktion mit dem Term differenzierbar und es gilt:
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Pólyas Kegel mit dem HDI
1. Zeichnung:
2. Gegebene Änderungsrate:
Gesuchte Änderungsrate:
3. Kettenregel:
mincm3
9dtdV
dt
dx
241
mincm
dxdVdtdV
x
9
dt
dx3
mincm
mincm 32,0
1
dt
dx
5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel:
Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:
Gesucht!
Lösung:
xxf 21
x
0
2 dttfxV
2412'
)(xxfxV
dx
xdV
dt
dx
dx
dV
dt
dV
Allgemein gilt:
2.fktBerandungs
.chwZuflussges.eschwlgPege
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Verwandte Aufgaben:
Vasen, Silos, Sektschalen, Weinkelche ......
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1. Geometrisch orientierte Strategien
2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI
3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen
4. Experimentelle Untersuchungen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
In das trichterförmiges Gefäß läuft
Wasser ein. (Radius r = 5cm und
der Höhe h = 10cm.)
Wasser läuft nun mit der
veränderlichen Zuflussgeschwindig-
keit dV/dt = t zu.
Berechne die momentane
Pegelgeschwindigkeit 3s nach dem
Start des Zuflusses in das leere
Glas?
Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss
Einsetzen in die umgeformte Kettenregel:
Separation der Variablen:
Integration:
Wenn für t=0 die Füllhöhe 0cm beträgt, ist die Integrationskonstante c=0 und wir können die Lösungsfunktion der Differentialgleichung durch Auflösen nach y bestimmen:
Ihre Ableitungsfunktion beschreibt die Pegelgeschwindigkeit:
3s nach dem Start des Zuflusses beträgt die gesuchte Pegelgeschwindigkeit :
t
yy4
'2
ct
ycdtt
dtyy
23
312 24
'
32
332 66
tt
ty
241
dydVdtdV
y
tdtdy
3323
32 66
' 31
ttty
dt
dy
cm cm2 33 s s
2y ' 3s 0,57
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1. Geometrisch orientierte Strategien
2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI
3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen
4. Experimentelle Untersuchungen
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1. Aufzeichnung des Füllvorgangs mit einer Videokamera und Auswertung mit einer Videoanalyse-Software (z.B.: VIANA)
Befüllung einer Glaskaraffe
y = -1,0155E-05x4 + 2,8438E-04x3 - 1,1964E-02x2 + 4,7493E-01x - 3,9873E+00
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 5 10 15 20 25 30
Füllhöhe y in cm
Pe
ge
lge
sc
hw
ind
igk
eit
dy
/dt
in c
m/s
2. Entwicklung eines mathematischen Modells mit einer ganzrationalen Berandungsfunktion und Lösung als Related-Rates-Problem.
3. Vergleich der Modelle.
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Danke für Ihre Aufmerksamkeit!