April 2002 Blatt 2.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Modelle zur Prozessidentikation
Testsignale Zur Durchführung der PI sind experimentelle Untersuchungen erforderlich, um hieraus auf das Systemverhalten zu schließen und ein
mathematisches Modell erstellen zu können.
Anforderungen einfach zu erzeugenan Signale reproduzierbar (z.B. Signalgenerator)
einfache mathematische Beschreibung anwendbar/zugeschnitten auf Prozess
anwendbar auf vorhandene Stellglieder Signalverarbeitung auf System
April 2002 Blatt 2.2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Identifikation / Einfluss der Stellglieder
Stellgliedy
Prozessu1
Gesucht: Übertragungsverhalten P
Alle Elemente und Glieder des Systems sind zu berücksichtigen !
u2
G = GS GP U2 = GS U1 Y = GP U2 Y = GP GS U1
Wenn u2 messbar, kann GP2 direkt aus u2 und y identifiziert werden !
Wenn u2 nicht messbar, kann GP2 direkt aus u1 , y und Kenntnis von GS identifiziert werden !
GP = Y/U2 GP = 1/GS Y/U1
April 2002 Blatt 2.3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel Heizungsregelung
Schema:
Ein/Aus
Luft
Gas
yRegler Brenner
w uKessel
RohrleitungKörper
Raum
Messen
Wirkungsplan:
Aufgabenstellung:
Das Zeitverhaltens des Wohn-Raumes für die Heizungs-Regelung ist durch Identifikation zu bestimmen.
April 2002 Blatt 2.4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel Heizungsregelung
Wirkungsplan
yRegler Brenner
w u1
KesselLeitungKörper
Raum
Messen
y
Brenner
u1 Kessel
RohrleitungKörper
Raum
Pt PT1 PT1 PT1
Für Identifikation Raumverhalten Kenntnis von u4 erforderlich
u2
u3
u4
April 2002 Blatt 2.5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Einfluss Verzögerungselemente
Identifikation:
Bei Wahl der Messorte Sind Verzögerungselemente (Systemkomponenten) zu berücksichtigen, welche die Dynamik des Zeitverhaltensbeeinflussen.
Fälle:a) Proportional / zeitverzögertb) Proportional / zeitverzögert
mit Rückkopplung c) unstetig / integrierend
(z.B. Stell-/Schrittmotor)
April 2002 Blatt 2.6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Signalarten
Kriterien für Signale: • natürlich / künstlich• deterministisch / stochastisch• periodisch / nicht periodisch• kontinuierlich / diskret
Signale: Physikalisch in Form von Spannung, Strom, Temperatur, DruckBeschreibung in Form von Amplitudenwert(Funktionswert) für definierte Zeitpunkte
Definitionen: Deterministisch:in jedem Zeitpunkt ist ein eindeutig vorher-sehbarer Wert definiert.Stochastisch:Signalverlauf ist nicht eindeutig vorhersehbarBeschreibung durch Mittelwert, Streuung, etc.
April 2002 Blatt 2.7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kontinuierlich Diskret
Nicht periodisch SprungfunktionRampeDreiecksfunktion
SprungfunktionRampeDreiecksfunktion
Periodisch Sinus-/CosinusfunktionRechteckfolgeDreiecksfolge
Sinus-/CosinusfunktionRechteckfolgeDreiecksfolge
stochastisch Zufallsignal (kontinuierlich)
Binäres Rauschen(beliebige O/1-Folge)
Unterscheidungsmerkmale Signalformen
April 2002 Blatt 2.8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiele für Signalverläufe
Nicht periodisch
Periodisch
stochastisch (Binäres Rauschen)
stochastisch(konti. Rauschen)
April 2002 Blatt 2.9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
LTI-Systeme – Voraussetzung für unsere Betrachtungen
Ausgangspunkt für die Entwicklung von Identifikationsverfahren istdie Verwendung math. Modelle für Systeme, Prozesse und Signale.
Es werden LTI-Systeme betrachtet.• linear: Superposition• zeitinvariant: Systemreaktion unabhängig vom Zeitpunkt der
Betrachtung
Signalbeschreibungen für nichtparametrische Modelle • Kurven / Wertetabellen • System als black box • g(t), h(t), Frequenzgang
System)(tua)(tue
April 2002 Blatt 2.10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beschreibungen für nicht para. Modelle
Beschreibung im Zeitbereich/Frequenzbereich:
Gewichtsfunktion g(t) = g(t) * δ(t) G(s) = G(s) 1
Sprungantwort h(t) = g(t) * ε(t) H(s) = G(s) 1/sSystemantwort y(t) = g(t) * u(t) Y(s) = G(s) U(s)
g(t) = d/dt h(t)
Frequenzgang G(s) -> G(jw) G(jw) = Y(jw)/U(jw) = |G(jw)|ejphi(w)
g(t)G(s)
)(tua)(tue
April 2002 Blatt 2.11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beschreibungen für param. Modelle
Signalbeschreibungen für parametrische Modelle
• System als white/grey box
• Systemstruktur bekannt (DGL, G(s))
g(t)G(s)
)(tua)(tue
dmy/dtm + am-1dm-1y/dtm-1 + .... + a0y = bndnu/dt + bn-1dn-1u/dtn-1 + .... + b1du/dt + bou
)(
)(=
++
+=
)(
)(=)( 2
210
10
sA
sB
sasaa
sbb
sU
sUsG
e
a
Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße wird durch eine Dgl. oder Übertragungsfunktion eindeutig wiedergegeben !
April 2002 Blatt 2.12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT1)
Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied)
)(
)(=
+1=
+1=
)(
)(=)(
1
0
sA
sB
sT
K
sa
b
sU
sUsG
e
a y(t) = Ku0(1-e-t/T)
0
20
40
60
80
100
120
0 25 50 75 100 125
u0
u
0
20
40
60
80
100
120
0 25 50 75 100 125
Ku0(1-e-t/Ts) Δ y
TS
Y(00) := KS *u0
y/Ku0
April 2002 Blatt 2.13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied)
)()(
=)+1)(+1(
=++
=)()(
=)(21
2210
0
sAsB
sTsTK
sasaab
sUsU
sGe
a
T1 = ZeitkonstanteT2 = ZeikonstanteK = K1 K2
Fall 1: Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden „Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ?“
PT1K1 T1
)(tu PT1K2 T2
)(ty )(tu PT2K T1 T2
)(ty=
Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT1) (1 + sT2)
April 2002 Blatt 2.14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich:Partialbruchzerlegung:
Y(s) = K / s (1 + sT1) (1 + sT2) = A0/s + A1/(1 + sT1) + A2/(1 + sT2)
Koeffizientenbestimmung nach (Satz nach HEAVISIDE): Ak = lim (Y(s) ( s-sk))
A0 = K
A1 = lim (K/s(1+sT2)) = -KT1 /(1-T2/T1) = -KT12/(T1 – T2)
A2 = lim (K/s(1+sT1)) = -KT2 /(1-T1/T2) = -KT22/(T1 – T2)
s->sk
s->-1/T1
s->-1/T2
April 2002 Blatt 2.15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Y(s) = A0/s + A1/(1 + sT1) + A2/(1 + sT2)
Y(s) = K/s - KT12/(T1 – T2) 1 /(1 + sT1) + KT2
2/(T1 – T2) 1/(1 + sT2)
Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt:
y(t) = K [ 1 - T1/(T1 – T2) e-t/T1 + T2/(T1 – T2) e-t/T2 ]
Beipiel PT1-PT9 Glieder mit verschiedenen ZeitkonstantenExcel-Kurven (Anlage) Verdopplung der Zeitkonstanten T2 = 2 T1; T3 = 2 T2; T4 = 2 T3; .....
April 2002 Blatt 2.16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Verallgemeinerung PTn-Glied mit unterschiedlichen Zeitkonstanten:
Ai = 1 für i = 0
Ai = - (Ti) n / Π (Ti – Tj) für i > 0 i j und n>1j=1
n
Beispiel : PT4-Glied, d.h. n=4
A0 = 1A1 = -T1
4 / [ (T1-T2) (T1- T3) (T1-T4) ]A2 = -T2
4 / [ (T2-T1) (T2- T3) (T2-T4) ]A3 = -T3
4 / [ (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) ]A4 = -T4
4 / [ (T4-T1) (T4- T3) (T4-T3) ]
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn)
April 2002 Blatt 2.17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Sprungantwort System 4. Ordnung
Beispiel : PT4-Glied, (n=4), verschiedene Zeitkonstanten
A0 = 1A1 = -T1
4 / [ (T1-T2) (T1- T3) (T1-T4) ]A2 = -T2
4 / [ (T2-T1) (T2- T3) (T2-T4) ]A3 = -T3
4 / [ (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) ]A4 = -T4
4 / [ (T4-T1) (T4- T3) (T4-T3) ]
y(t) = K [ 1 - T13/(T1 – T2) (T1- T3) (T1-T4) e-t/T1
- T23/(T2 – T1) (T2- T3) (T2-T4) e-t/T2
- T33 / (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) e-t/T3
- T43 / (T4-T1) (T4- T2) (T4-T3) e-t/T4]
April 2002 Blatt 2.18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied)
)()(
=)+1(
=++
=)()(
=)( 22210
0
sAsB
sTK
sasaab
sUsU
sGe
a
T1 = T2 ZeitkonstanteK = K1 K2
Fall 2: Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden „Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ?“
PT1K1 T
)(tu PT1K2 T
)(ty )(tu PT2K T
)(ty=
Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT)2 = K / T2/ [s (s + 1/T)2]
April 2002 Blatt 2.19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich:Partialbruchzerlegung:
Y(s) =K / T2/ [s (s + 1/T)2] = A0/s + A1/(s + 1/T) + A2/(s + 1/T)2
Koeffizientenbestimmung nach Ak = 1/(n-k)! lim (d(n-k)/ds(n-k)[Y(s) ( s-sk)n]) k = 1 ...n-1
An = lim (Y(s) ( s-sk)n)
A0 = K
A1 = lim (K/T2 d/ds(1/s)) = lim K/T2 (-1/s2) = -K
A2 = lim ( K/T2 /s) = -K/T
s->sk
s->-1/T
s->-1/T
s->-1/T
s->sk
April 2002 Blatt 2.20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Y(s) = A0/s + A1/(s+ 1/T) + A2/(s + 1/T)2
Y(s) = K/s - K 1 /(s + 1/T) + K/T 1/(s + 1/T)2
Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt:
Y(t) = K [ 1 - e-t/T - t/T e-t/T ] = K[1-(1+t/T)e-t/T]
Herleitung nach Laplace-Korrespondenztabelle
1/s(s-a)2 <-> 1/a2 [1 + (at-1) eat]
April 2002 Blatt 2.21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Verallgemeinerung Sprungantwort von PTn-Gliedernmit gleicher Zeitkonstanten:
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn)
Y(t) = K (1 - e-t/T [ Σ 1/k! (t/T)k]k=0
n-1
Beispiele:
n=1: y(t) = K(1- e-t/T )n=2: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T])n=3: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T+ 1/2 t2/T2])n=4: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T+ 1/2 t2/T2 + 1/6 t3/T3])
Beipiel PT1-PT9 Glieder mit gleicher ZeitkonstantenExcel-Kurven (Anlage)
April 2002 Blatt 2.22 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kurvencharakteristik
Kurvenverlauf:• mit zunehmender Ordnung flacher• mit zunehmender Ordnung wird die Systemreaktion „langsamer“• Kurvenverlauf mit Wendepunkt
Wendepunkt bedeutet mathematisch:• 1. Ableitung weist im WP Maximum/Minimum auf• 2. Ableitung hat O-stelle im WP
Wir finden den Wendepunkt der Sprungantwort in dem Zeitpunkt,wo sich das Maximum / Minimum der Ableitungskurve (Gewichtsfunktion) befindet.
g(t) = y(t) = K / Tn · tn-1/ (n-1)! · e-t/T PTn-Glied gleiche Zeitkonst..
April 2002 Blatt 2.23 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kurvenzusammenstellung PTn-Glied mit gleicher Zeitkonstanten
Sprungantwort Gewichtsfunktion
April 2002 Blatt 2.24 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (2)
Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2S-Glied)
)()(
=1+
2+1
=++
=)()(
=)(
200
2210
0
sAsB
ωωςK
sasaab
sUsU
sGe
aω0= KreisfrequenzD = DämpfungK = Verstärkungsfaktor
G(s) = K / (s-s1)(s-s2) mit s1,2 = ω0(-ζ± √(ζ 2-1)
Fall 1:ζ >1: aperiodische Dämpfung / Reihenschaltung von 2 Verzögerungs-Gliedern 1. Ordnung (wie vor; s1 = -1/T1; s2 = -1/T2)
h(t) = K(1 + 1/(T1-T2) (T2e-t/T2-T1e-t/T1)
April 2002 Blatt 2.25 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (3)
Fall 2:D=1 Doppelpoliger aperiodischer Grenzfall (wie vor)
h(t) = K(1 – (1+ t/T )e-t/T)
Fall 3:0< ζ < 1 Periodische Dämpfung
h(t) = K(1 – 1/√(1- ζ 2) e- ζ ωot(sin(ω0√(1- ζ 2)t +φ)
April 2002 Blatt 2.26 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Übersicht einfacher Übertragungsglieder
April 2002 Blatt 2.27 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (1)
April 2002 Blatt 2.28 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (2)
April 2002 Blatt 2.29 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder
© Übetragungsglieder 1- 3: Quelle: Unbehauen: Regelungstechnik I, Vieweg Verlag