UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Flächentragwerke – WS 2015/2016
3. Platten
3.1 Schnittgrößen in Platten3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Platentheorie3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Platentheorie
3.3.1 Gleichgewichtsgleichungen3.3.2 Kinematik3.3.3 Werkstoffgesetz
3.3.3.1 Spannungs-Verschiebungsbeziehungen3.3.3.2 Momenten-Verschiebungsbeziehungen3.3.3.3 Querkraft-Verschiebungsbeziehungen
3.4 Kirchhoffesche Plattengleichung3.5 Platengleichung im Polarkoordinatensystem3.6 Ersatzquerkräfte und Eckkräfte3.7 Randbedingungen
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3.8 Lösung der Plattengleichung 3.8.1 Lösungen im kartesischen Koordinatensystem
3.8.1.1 Plattenstreifen3.8.1.2 Plattenhalbstreifen3.8.1.3 Rechteckplatte mit 2 gelenkig gelagerten Parallelrändern (LEVYsche
Lösung)3.8.1.4 Vierseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte (NAVIERsche Lösung)3.8.1.5 Rechteckplatten mit beliebiger Lagerung
3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten3.9 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten
3.9.1 Einfeldplatten3.9.1.1 Einachsig gespannte Platten3.9.1.2 Zweiachsig gespannte Platten
3.9.1.2.1 Drillfreie Platten (MARCUS-Verfahren, Tabellen nach STIGLAT/WIPPEL)
3.9.1.2.2 Drillsteife Platten (CZERNY-Tafeln, Tabellen nach HAHN)3.9.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte
(Einzugsflächen-Verfahren)3.9.2 Durchlaufende Platten (Verfahren nach Pieper/Martens)
Flächentragwerke – WS 2015/2016
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Platten: Voraussetzungen
Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken quer zur Plattenebene
Verkrümmung der Plattenebene!
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3.1 Schnittgrößen in Platten
xy
xyyx
x
y
zh
yz xz
SpannungenPlattenmittelebene
• Normalspannungen: ,x y
• Schubspannungen: , ,xy yx xz yz
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3.1 Schnittgrößen in Platten
Schnittgrößen Plattenmittelebene
x
y
zh
xymyxm
xqyqxm
ym
• Biegemomente: ,x ym m
• Querkräfte: ,x yq q
• Drillmoment: xy yxm m
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3.1 Schnittgrößen in Platten
Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen:
h
2hz
2hz
z
2
2
wobei: h
hx x x xxm z dz m m
2
2
wobei: h
hy y y yym z dz m m
• Biegemomente:
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3.1 Schnittgrößen in Platten
• Drillmoment2
2
h
hxy xym z dz
xy yxm m
• Querkräfte
2
2
h
hx xzq dz
(qx = resultierende Kraft von xz )
2
2
h
hy yzq dz
(qy = resultierende Kraft von yz)
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3.1 Schnittgrößen in Platten
Hauptmomente:
1 2, , , Hauptmomentex y xym m m m m
22
1,2 2 2x y x y
xy
m m m mm m
2
tan 2 xy
x y
mm m
2m
1m
yxm
ym
xym
xm
x
y
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Bemerkungen:
Die Hauptmomente und die Hauptrichtungen können auch mit dem Mohrschen Kreis bestimmt werden.
Vorgehensweise zur Konstruktion des Mohrschen Kreises: Siehe Mohrscher Spannungskreis oder Mohrscher Dehnungskreis!
3.1 Schnittgrößen in Platten
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Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast
1xm m
2ym m
2m1m
2
27,2pl2
21,6xyplm 2m
1 2 xym m m
x
y
auf der -Achsexm xmax. xm
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Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast
1infolge bzw. xym m
Bemerkungen:• mx und my in der Plattenmitte am größten, |mxy| in den Ecken am größten.• Rissbilder auf der Plattenunterseite
Rissbilder auf der Plattenoberseite2infolge bzw. - xym m
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3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
Die Durchbiegung w der Platte (Verschiebung in z-Richtung) ist unabhängig von z: w = w(x,y), d.h.: alle Punkte P auf der Normalen besitzen die gleiche Durchbiegung w(x,y).
Es gilt die Normalenhypothese:Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht (orthogonal) zur Plattenmittelebene!
Normale
zw
P
P
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3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
,, 0Z
w x yw w x y
z
0 Schubverzerrungxz yz
Daher werden die Kirchhoffschen Platten auch als „schubstarre“ Platten bezeichnet.
Die Normalspannung senkrecht zur Plattenmittelebene ist vernachlässigbar, d.h.
0z (Ebener Spannungszustand)
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3.3.1 Gleichgewichtsgleichungen
,x u
,y v
,z w
0yxx x y y
qqq dx dy q dy q dy dx q dx pdxdyx y
yx qq px y
dx
dy
yq dxxq dy
xx
qq dx dyx
yy
qq dy dx
y
pdxdy
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,x u
,y v
,z w
02 2
xy y yxy y xy y y y
m m qdy dym dy m dx m dx dy m dy dx q dx q dy dxx y y
2xy y y
y
m m q dyqx y y
0 xy y
y
m mq
x y
Term höherer Ordnung!
dxdy
yq dx
xq dy
xx
qq dx dyx
yy
qq dy dx
y
pdxdy
yy
mm dy dx
y
yx
yx
mm dy dx
y
xyxy
mm dx dy
x
xx
mm dx dyx
xym dy
xm dy
ym dx yxm dx
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,x u
,y v
,z w
02 2
yx x xyx x x yx x x
m m qdx dxm dx dy m dx dy m dy m dx q dy q dx dyx x x
2yxx x
x
mm q dxqx y x
0 yxx
x
mm qx y
dxdy
yq dx
xq dy
xx
qq dx dyx
yy
qq dy dx
y
pdxdy
yy
mm dy dx
y
yx
yx
mm dy dx
y
xyxy
mm dx dy
x
xx
mm dx dyx
xym dy
xm dy
ym dx yxm dx
Term höherer Ordnung!
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3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
2 22
2 22 ,
xy yx m mm p x yx x y y
Gleichgewichtsgleichungen
yx qq px y
yxxx
mm qx y
y xyy
m mq
y x
(1´)
(2´)
(3´)
(1)
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3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
3.3.2 Kinematik
wx
z
P
P
( , )w x yz
x
wu zx
wu zx
wv zy
• Verschiebungen:,x u
,y v
,z w (2)
(3)
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3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
2
2xu w zx x
2
2yv w zy y
2
2 xy
u v w zy x x y
• Dehnungen und Verzerrung:
(4)
(5)
(6)
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3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
3.3.3 Werkstoffgesetz (Hookesches Gesetz)
2 2
2 2 2 21 1x x yE E z w w
x y
2 2
2 2 2 21 1y y xE E z w w
y x
2
2xy xywG G z
x y
Elastizitätsmodul Querkontraktionszahl/Querdehnzahl
Schubmodul : 2(1 )
E
EG G
3.3.3.1 Spannungs-Verschiebungsbeziehungen
(7)
(8)
(9)
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3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
3.3.3.2 Momenten-Verschiebungsbeziehungen
3
2Plattensteifigkeit:
12 1E hK
2 2
2 2
2 22
2 2 2
2 2 /232 2 2 /2
3 2 2
2 2 2
2 2
2 2
1
1 = z1 3
=12(1 )
=
h h
h hx x
h
h
E w wm z dz z dzx y
E w wx y
Eh w wx y
w wKx y
Analog für und !y xym m
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3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
3.3.3.2 Momenten-Verschiebungsbeziehungen
2 2
2 2xw wm K
x y
2 2
2 2yw wm K
y x
2
1xywm K
x y
3
2Plattensteifigkeit:
12 1E hK
(10)
(11)
(12)
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3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
3.3.3.3 Querkraft-Verschiebungsbeziehungen
3 3
3 2 xw wq K
x x y
3 3
3 2yw wq K
y x y
(13)
(14)
Man kann die Gleichungen (13) und (14) durch Einsetzen von Gleichungen
(10) - (12) in die Gleichungen (2´) und (3´) erhalten!
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, ,x y xy
, ,u v w3 Verschiebungsgrößen:
3 Dehnungs- und Verzerrungsgrößen: , ,x y xy
3 Spannungen:
Man hat also insgesamt 14 Gleichungen (1)-(14) (oder (1´)-(3´) plus (2)-(12)!) für 14 unbekannte Größen. Das Plattenproblem ist daher eindeutig lösbar.
, , , ,x y xy x ym m m q q5 Schnittgrößen:
Zusammenfassung: Plattenproblem
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3.4 Kirchhoffsche Plattengleichung
Einsetzen der Gleichungen (19)-(12) für mx, my und mxy in die Gleichgewichts-
gleichung (1) für die Momente liefert die Kirchhoffsche Plattengleichung:
4 4 4
4 2 2 4
,2
p x yw w w
Kx x y y
oder
pwK
Partielle DGL 4. Ordnung,Inhomogene Bipotentialgleichung
Bemerkung:Die Kirchhoffsche Plattengleichung kann als eine Verallgemeinerung derEuler-Bernoullischen Balkengleichung EIwIV = p betrachtet werden!
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K w p
IVEIw p
pwK
0F
Vergleich mit Balken und Scheiben
Platten:
Balken:
Platten:
Scheiben:
Vergleich mit Scheiben
Vergleich mit Balken
(Inhomogene Bipotentialgleichung)
(Homogene Bipotentialgleichung)
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3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
Für Kreisplatten, Kreisringplatten, Kreissektorplatten oder Platten mit einem
Kreisloch ist es sinnvoll, das Polarkoordinatensystem zu verwenden.
z
dr
rh
r
z
r
rz
r
d
zm
rm q
dr
r
d
rmrm
rq
h
Spannungen
Schnittgrößen
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3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
( , )( , ) p rw rK
Rotationssymmetrische Probleme:
2 2
2 2 2
4 3 2 4 3 2 4
4 3 2 2 3 2 2 2 3 2 4 2 4 4
1 1
,2 1 1 2 2 4 1
wr rr r
p rw w w w w w w wwr r Kr r r r r r r r r r r
4 3 2
4 3 2 2 3
( ), ( ), 0
2 1 1
w w r p p r
p rd w d w d w dwr dr Kdr dr r dr r
Inhomogene EulerscheDGL 4. Ordnung!
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3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
Momenten-Verschiebungsbeziehungen:2 2
2 2 2
1 1r
w w wm Kr rr r
2 2
2 2 2
1 1w w wm Kr rr r
11r rwm m K
r r
rq K wr
1q K wr
Querkraft-Verschiebungsbeziehungen:
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3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
Rotationssymmetrische Probleme:2
2
1r
d w dwm Kdr r dr
2
2
1d w dwm Kr drdr
0r rm m
2
2
1r
d d w dwq Kdr r drdr
0q
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3.6 Ersatzquerkräfte und Eckkräfte
An jedem Rand der Platten treten 3 Schnittgrößen auf: Biegemoment, Drillmoment und Querkraft. Im Rahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie können aber nur 2 Randkräfte vorgeschrieben werden. Um diese Schwierigkeit zu beseitigen, werden an jedem Rand die Querkräfte und die Drillmomente zu den so genannten Kirchhoffschen Ersatzquerkräften zusammengefasst:
3 3
3 2, 2
xyx xy x x
m w wq m q q Ky x x y
3 3
3 2, 2yxy yx y y
m w wq m q q Kx y x y
Dabei wird das Drillmoment myx=mxy durch äquivalente Kräftepaare ersetzt. Für ein infinitesimales Randelement dx verbleibt dann nur ein Zuwachs als effektive Kraft in z-Richtung.
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3.6 Ersatzquerkräfte und Eckkräfte
xym dx
xyxy
mm dx dx
x
/xyxy
mm dx dx dx
x
/xym dx dx
dx dx
x
y
//xyxyxy
xy
mm dx dx dx
x
m
m dx dx
dxx
Resultierende
dx/xy xym m
dx dxx x
verteil t aufxymdx dx
x
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3.6 Ersatzquerkräfte und Eckkräfte
xymx
yq
yq
An Plattenecken verbleibt an beiden Rändern in der Ecke eine resultierende Einzelkraft, die sich nicht abhebt. Diese Kraft wird als Eckkraft bezeichnet.
2
2 2 (1 )xy yx xywF m m m K
x y
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3.6 Ersatzquerkräfte und Eckkräfte
xym dyyxm dx
/yx yxm dx dx m
dydx
x
y /xy xym dy dy m
xy yxmF m Resultierende Eckkraft
Fx
y
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3.6 Ersatzquerkräfte und Eckkräfte
Diese Eckkraft ist abhebend!
Maßnahmen gegen Abheben:1) durch Auflast in der Ecke,2) durch Verankerung,3) durch biegesteife Verbindung der Ecke mit der Unterstützung oder
benachbarter Platte.
Quelle: Prof. J. Hegger: Vorlesung Massivbau II, RWTH Aachen.
1m
2m
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3.7 Randbedingungen
1.) Gelenkig gelagerter Rand 0
0x
wm
xx
y(0, ) 0
(0, ) 0
w y
w y
2
2
2 2 2
2 2 2
(0, ) 0 0
(0, ) 0 0 0x
w ww yy y
w w wm yx y x
Naviersche RB
0 2 ,xy xy xxm F m q q Beachte:
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3.7 Randbedingungen
2.) Eingespannter Rand
2
2
2
(0, ) 0 0
(0, ) 0 0 (0, ) 0xy
w ww yy y
w wy m yx x y
(kein Drillmoment)
2 0 , (0, ) (0, )xy xxF m q y q y Beachte:
00xy
wm
x
x
y
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3.7 Randbedingungen
3.) Freier Rand
2 2
2 2
3 3
3 2
(0, ) 0 (0, ) (0, ) 0
(0, ) 0 (0, ) 2 (0, ) 0
x
x
w wm y y yx y
w wq y y yx x y
0
0x
x
m
q
xx
y
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3.7 Randbedingungen
4.) Eingespannte Ecke
x
y2
0 0 2 0xy xyw m F m
x y
Abhebende Eckenkraft!
5.) Gelenkig gelagerte Ecke
x
y
0,0 0
0,0 0
0,0 0
0,0 0
2 0
x
y
xy
xy
w
m
m
m
F m
Keine abhebende Eckenkraft!
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3.7 Randbedingungen
6.) Freie Ecke
Keine abhebende Eckenkraft!
Bemerkung:
Mehr zu Randbedingungen siehe Arbeitsblätter „Platten (Randbedingungen)“!
x
y
2
0,0 0 0 0xywm F
x y
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3.8 Lösungen der Plattengleichung
pwK
Die Plattengleichung ist eine inhomogene Bipotentialgleichung:
Gesamtlösung:
Dabei:
wh: homogene Lösung der Plattengleichung
wp: Partikularlösung der Plattengleichung
h pw w w
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3.8 Lösungen der Plattengleichung
0hw Die homogene Lösung wh erfüllt die homogene Bipotentialgleichung:
Diese homogene DGL ist identisch mit der DGL der Scheibenprobleme. Daher kann man den Lösungskatalog für die Airysche Spannungsfunktion Fverwenden. Dabei wird F einfach durch wh ersetzt (vgl. Kapitel 2 „Scheiben“)!
Die Partikularlösung wp erfüllt die inhomogene Bipotentialgleichung:
ppwK
wp kann z.B. mittels „Ansatz vom Typ der rechten Seite“ gewonnen werden!
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K w p
w
, , , ,x y xy x ym m m q q , ,x y xy
,u v , ,x y xy
Schnittgrößen Spannungen
Dehnungen & Verzerrung
VerschiebungenGl (2),(3) Gl (4)-(6)
Gl (10)-(14) Gl (7)-(9)
Plattenprobleme: Zusammenfassung
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3.8.1 Lösungen im kartesischen Koordinatensystem
Möglichkeiten für die homogene Lösung:• Polynome in x and y: 2 2 2 2, ,...; , ,...; , , ,...x x y y xy x y y x
• Exponentialfunktionen: , ,...; , ,...x x y ye xe e ye
• Trigonometrische Funktionen:sin( ),cos( );sin( ),cos( );...x x y y
• Fourier-Reihen:
1 1( , ) sin( )sin( )h mn m n
m nw x y W x y
• Fourier-Integrale:
0
( , ) ( )sin( ) ( ) cos( ) yhw x y A x B x e d
• Kombinationen der obigen Möglichkeiten
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3.8.1.1 Plattenstreifen
Unendlich lange Plattenstreifen:
xy
a
1m1m Streifen
Annahme: ( , ) ( )p x y p x
2 3 4
2 3 4( , ) ( ), 0w w w ww x y w xy y y y
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K w p IVKw p
3.8.1.1 Plattenstreifen
IVEIw pvgl. mit Balken:
Balken (1m Streifen):31
12hI
1mb
h
3
12IVBalken
Eh w p
3
212(1 )IVPlatte
Eh w p
32(1 )
12IVPlatte
Eh w p
Platte:
IVBalkenEIw p
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2(1 )Platte Balkenw w
3.8.1.1 Plattenstreifen
Daraus folgt:
Bemerkungen:
• Durchbiegung der Platte ist kleiner als Durchbiegung des Balkens:
da 0!Platte Balkenw w
• Grund: Platte ist etwas steifer als Balken wegen Quer-behinderung der Verformung.
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3.8.1.1 Plattenstreifen
Plattenstreifen Balken
DGL
Steifigkeit
Nicht vorhanden
Nicht vorhanden
Nicht vorhanden
IVKw p IVEIw p3
212(1 )EhK
3112
E hEI
( )w x 2(1 )Platte Balkenw w Balkenw
( )xm x xm Kw xM EIw
( )ym x y xm m
( )xym x 0
( )xq x xq Kw xQ EIw
( )yq x 0
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1m1m Streifen
p
a
Beispiel 1:
3.8.1.1 Plattenstreifen
Lösungsweg 1Aus TM II oder Schneider-Bautabellen:
4 32
2 34Balkenpa x x xwEI a a a
4 342 2
4 342
3
4 34
3 2
(1 ) (1 ) 2 348
=(1 ) 2 348 ( /12)
= 2 348 /12(1 )
Platte Balkenpa x x xw w
EI a a a
pa x x xE h a a a
pa x x xa a aEh
4 34
= 2 348pa x x x
K a a a
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Lösungsweg 2 4-malige direkte Integrationen der DGL ohne Zerlegung der Gesamtlösung in
homogene und partikuläre Lösungen. Anpassung an die RB liefert dann die 4 Integrationskonstanten.
Lösungsweg 3 Zerlegung der Gesamtlösung in homogene und partikuläre Lösungen. Homogene Lösung: durch 4-malige direkte Integrationen der DGL. Partikuläre Lösung: durch „Ansatz vom Typ der rechten Seite“. Anpassung an die RB liefert dann die 4 Integrationskonstanten.
3.8.1.1 Plattenstreifen
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3.8.1.1 Plattenstreifen
1m1m Streifen
p
a
Beispiel 2: Beliebige p(x)
Fourier-Reihen:
1
1
( ) sin
( ) sin
mm
mm
mp x p xa
mw x w xa
K w p 4
1( / )
mm
pwK m a
41
1( ) sin( / )
m
m
p mw x xK m a a
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3.8.1.1 Plattenstreifen
Bemerkungen:
Die RB bei und sind durch den Ansatz für w(x)automatisch erfüllt.
Fourier-Koeffizienten: ,m mp w
0
2 ( )sina
mmp p x x dx
a a
0x x a
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3.8.1.2 Plattenhalbstreifen
xy
a
frei gelenkig eingespannt
1 21
( , ) sinm yh m m m m
m
w x y c c y e x
41
1( , ) sinmp m
m m
pw x y xK
Homogene Lösung:
Partikuläre Lösung:
mma
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Fourier-Koeffizient:
0
2 ( )sina
mmp p x x dx
a a
Bemerkungen:
RB bei sind durch die Sinus-Funktion automatisch erfüllt.
Die homogene Lösung klingt vom Rand ab.
Die noch unbekannten Konstanten c1m und c2m können aus den
RB bei bestimmt werden.
3.8.1.2 Plattenhalbstreifen
0x
0y
0y
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xy
a
3.8.1.2 Plattenhalbstreifen
Beispiel: Gelenkige Lagerung am Rand
1 21
( , ) sinm yh m m m m
m
w x y c c y e x
41
1( , ) sinmp m
m m
pw x y xK
1 241
1 sinm ymh p m m m m
m m
pw w w c c y e xK
Gesamtlösung:
Randbedingungen:
( , 0) 0w x y ( , 0) 0ym x y
0y
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( , 0) 0w x y 1 4
1 mm
m
pcK
( , 0) 0ym x y 2 2
2 20
y
y
w wm Ky x
2 1 4
1 12 2
mm m
m
pc cK
41
1 1( , ) 1 1 sin2
m ymm m
m m
pw x y y e xK
3.8.1.2 Plattenhalbstreifen
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3.8.1.2 Plattenhalbstreifen
Sonderfall: Konstante Flächenlast
0 0
0
1
2 2( )sin sin
2 1 cos
2 1 1 cos
2 1 1
2 1 1
a a
m m m
a
mm
m
m
m
m
m
p p x x dx p x dxa a
p xa
p ma
pa
pa
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3.8.1.3 Rechteckplatte mit 2 gelenkig gelagerten Parallelrändern
xy
a
b
1 2 3 41
( , ) sinm my yh m m m m m m m
mw x y c c y e c c y e x
41
1( , ) sinmp m
m m
pw x y xK
• Homogene Lösung:
• Partikuläre Lösung:
mma
LEVYsche Lösung:
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3.8.1.3 Rechteckplatte mit 2 gelenkig gelagerten Parallelrändern
1 2 3 441
1( , ) sinm my ymm m m m m m m
m m
pw x y c c y e c c y e xK
• Gesamtlösung:
Bemerkungen: RB bei sind durch die Sinus-Funktion automatisch erfüllt.
Der 1. Anteil der homogenen Lösung klingt vom Rand ab,
während der 2. Anteil vom Rand abklingt.
Die unbekannten Konstanten c1m, c2m, c3m und c4m können aus
den RB bei und bestimmt werden.
0x
0y
y b
0y y b
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xy
a
b
3.8.1.4 Vierseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
1 1
( , ) sin sinmn m nm n
p x y p x y
, m nm na b
NAVIERsche Lösung:
1 1
( , ) sin sinmn m nm n
w x y w x y
K w p 22 2
1 mnmn
m n
pwK
22 21 1
1( , ) sin sinmnm n
m n m n
pw x y x yK
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Bemerkungen: Das Problem kann auch mit der LEVYschen Lösung gelöst
werden, falls die Flächenlast p unabhängig von y ist.
Die RB an allen 4 Rändern sind durch die Sinus-Funktionen
automatisch erfüllt.
Fourier-Koeffizienten: ,mn mnp w
0 0
2 2 ( , )sin sina b
mnm np p x y x y dxdy
a b a b
3.8.1.4 Vierseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
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3.8.1.5 Rechteckplatten mit beliebiger Lagerung
Mit Hilfe des Superpositionsprinzips können auch analytischeLösungen für Platten mit komplizierter Lagerung hergeleitet werden.
Beispiel: Vielseitig eingespannte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast
Hans Eschenauer, Walter Schnell: Elastizitätstheorie, 3., vollständig überarbeitetet und erweiterte Auflage,Wissenschaftsverlag, 1993.
x
y
b
a
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3.8.1.5 Rechteckplatten mit beliebiger Lagerung
Zerlegung in Teilprobleme:•Problem „0“: w0
Vielseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte (Naviersche Lösung)•Problem „1“: w1
Rechteckplatte mit 2 gelenkig gelagerten Parallelrändern (LevyscheLösung) und noch unbekanntem Randmoment mxx1
•Problem „2“: w2Rechteckplatte mit 2 gelenkig gelagerten Parallelrändern (LevyscheLösung) und noch unbekanntem Randmoment myy2
31 2
31 2
0, 0,
0, 0,
ww w x ax x x
ww w y by y y
Verträglichkeitsbedingungen: keine Verdrehungen an den 4 Rändern!
1 2,xx yym m1 2,w w 0 1 2w w w w
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3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten
Für Kreisplatten und Kreisringplatten ist es sinnvoll, das Polar-
koordinatensystem zu verwenden.
Bei allgemeinen Belastungen sind die Lösungen im Polarkoor-
dinatensystem im Allgemeinen recht kompliziert.
Große Vereinfachungen erhält man bei rotationssymmetri-
schen Belastungen:
( , ) ( )p r p r 2 3 4
2 3 4
( , ) ( )
0
w r w rw w w w
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3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten
2
2
1 1( )
1 1( )
d w dw d dww r rdr r dr r dr dr
d d d dw pw r r rr dr dr r dr dr K
Gesamtlösung:
h pw w w Homogene Lösung:Die homogene Lösung kann durch die 4-maligen Integrationen der obigen DGL bestimmt werden!
2 21 2 3 4( ) ln lnhw r c c r c r c r r
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Partikuläre Lösung:Die partikuläre Lösung ist abhängig von der Belastung p(r) und kann durch „Ansatz vom Typ der rechten Seite“ gewonnen werden!
3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten
Bemerkungen: Die unbekannten Integrationskonstanten c1, c2, c3 und c4 können aus den RB
bestimmt werden. Mit der oben angegebenen homogenen Lösung können viele Vollplatten und
Ringplatten unter rotationssymmetrischer Belastung behandelt werden.
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3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten
Vollplatten
Flächenlast
Teilflächenlast
Ringlast(Linienlast)
Einzellast
a
p
a
p
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3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten
Ringplatten
Flächenlast
Ringlast(Linienlast)
p
a
b
a
b
p
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3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten
Ringplatten
p p pp
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a
0p
3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten
Beispiel: Kreisplatte unter konstanter Flächenlast
2 21 2 3 4( ) ln lnhw r c c r c r c r r
Homogene Lösung:
Partikuläre Lösung:
40( )64p
pw r rK
2 2 401 2 3 4( ) ln ln
64pw r c c r c r c r r r
K
Gesamtlösung:
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3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten
2
2
202 3 42
1
1 (1 ) 2 (1 ) 2(1 ) ln 3 316
rd w dwm Kdr r dr
pK c c c r rr K
0r rm m 2
042
1 42rp rd d w dwq K K c
dr dr r dr r K
0q
2
2
202 3 42
1
1 (1 ) 2 (1 ) 2(1 ) ln 3 1 3 116
d w dwm Kdr r dr
pK c c c r rr K
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3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten
Regularitätsbedingungen:
( 0)w r
( 0)rq r 2 0c
4 0c
Randbedingungen:
( ) 0w r a 4 201 3 0
64p a c c a
K
( ) 0rm r a 2032 (1 ) 3 0
16pK c aK
4 2
0 01 3
5 3, 1 64 1 32
p a p ac cK K
2 440 5 3( ) 2
64 1 1p a r rw r
K a a
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3.9 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten
Bei komplizierten Plattengeometrien und Belastungen sind analytischeLösungen der Plattengleichung meistens aussichtslos. Vielmehr müssenComputerprogramme (z.B. Finite Elemente Methode bzw. FEM) verwendetwerden. Auch Näherungslösungen oder vereinfachte Methoden in Form vonTabellen und Diagrammen können dafür eingesetzt werden.
3.9.1 Einfeldplatten
xy
a
b
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3.9.1 Einfeldplatten
Einachsig gespannte Platte 2-achsig gespannte Platte
Einachsig gespannte Platten:Lastabtragung nur in einer Richtung
2-achsig gespannte Platten:Lastabtragung in 2 Richtungen
Einfeldplatten
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3.9.1.1 Einachsig gespannte Platten
1m1m Streifen
p
a
Einachsig gespannte Platten:•Bedingung:•Bei einer einachsig gespannter Platte kann ein 1m-Streifen als Balken betrachtet werden.•Beispiel: konstante Flächenlast
2
max. 8x
pam
max. 2xpaq
2 !y xl l
max. y xm m
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3.9.1.2 Zweiachsig gespannte Platten
Drillfreie bzw. drillweiche Platten:
Drillsteife Platten:
2-achsig gespannte
Platten
0xym
0xym
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Drillfreie bzw. drillweiche Platten:• Marcus-Verfahren (Streifenkreuz-Verfahren, Streifenmethode,
Lastaufteilungsverfahren).• Tabellen nach Stiglat-Wippel
Drillsteife Platten:• Czerny-Tafeln:
4- und 3-seitige Lagerung, konstante und dreiecksförmige Belastung.• Hahn:
3-seitige Lagerung, Linienlast am freien Rand.• Bruckner:
4- und 3-seitige Lagerung, Punkt- und Linienlasten.• Stiglat und Wippel, Pucher, Bittner:
Sonderfälle.
2-achsig gespannte Platten: Überblick
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Literatur:Bittner, E.: Platten und Behälter. Springer-Verlag, Wien/New York, 1965.
Bruckner, H.: Elastische Platten. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1977.
Hahn, J.: Durchlaufträger, Rahmen, Platten und Balken auf elastische Bettung.
Werner-Verlag, Düsseldorf, 1981.
Pucher, A.: Einflußfelder elastischer Platten. 5. Auflage, Springer-Verlag, 1977.
Stiglat, K., Wippel, H.: Massive Platten. In: Beton-Kalender, Teil 2, Ernst & Sohn
Verlag, 2000, Seiten 211-290.
Stiglat, K, Wippel, H.: Platten. Ernst & Sohn Verlag, 3. Auflage, 1993.
Czerny, F.: Tafeln für Rechteckplatten. In: Beton-Kalender, Teil 1, Ernst & Sohn
Verlag, 1999, Seiten 277-330.
2-achsig gespannte Platten: Überblick
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3.9.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren
xl
yl
1m
1m
p
xp
xl
yl
yp
Lastaufteilung:
x y
x x
y y
p p p
p k pp k p
1x yk k
und sind von RB abhängig und sie sind tabelliert!x yk k
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast
22
max. , max. , 0 8 8
y yx xx y xy
p lp lm m m
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
1 4 4
4 4 4 4 4
11 , 1 y xx y x
x y x y
l lk k kl l l l
y
x
ll
3.9.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren
Aus der nachfolgenden Tabelle abgelesen:
Bemerkung:Die beiden Lastaufteilungsfaktoren können aus der Bedingung der gleichenDurchbiegung der beiden Streifen in der Plattenmitte (Kompatibilitätsbedingung)bestimmt werden.
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
xl
yl
1m
1m
p
xp
xf
yf
yp
44 55 , 384 384
y yx xx y
p lp lf fEI EI
x yf f
4 4x x y yp l p l
x yp p p
4
4 4
y
x
x y
k
yl
lp p
l
4
4 4 ,
x
y
y
k
xx
ll l
p p
3.9.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bautabelle Schneider
Drillfreie Platten:
Streifenkreuz-
Verfahren
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.9.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel
Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000.
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Alle 4 Ränder eingespannt
3.9.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel
Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000.
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Annahme: 0
3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
gelenkig
eingespannt
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder eingespannt
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3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder eingespannt
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder eingespannt
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3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
3-seitig gelenkig gelagert
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3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
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Quelle: Bautabelle Schneider
3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
3-seitig eingespannt
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3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
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Bemerkungen:•Bei einigen Tabellen wird vereinfachend =0 angenommen (z. B. Czerny-Tafeln, Bittner). Dies ist zulässig im Stahlbetonbau, mit der Ausnahme von Fahrbahnplatten.•Falls die Querkontraktionszahl zu berücksichtigen ist, dann erfolgt die folgende Umrechnung:
( ) ( 0) ( 0)
( ) ( 0) ( 0)
( ) (1 ) ( 0)
( ) ( 0)( ) ( 0)
( 0)( ) ( 0) (1 )
( 0)( ) ( 0) (1 )
x x y
y y x
xy xy
x x
y y
xyx x
xyy y
m m m
m m m
m m
q qq q
mq q
ym
q qx
Drillsteife Platten
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Quelle: Bautabelle Schneider
3.9.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte
Die Auflager- und Eckkräfte können mit der Methode der Einzugsflächenäherungsweise bestimmt werden.
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bautabelle Schneider
Bestimmung der
Auflager- und
Eckkräfte:
Methode der
Einzugsfläche
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Quelle: Bautabelle Schneider
3.9.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
xl
yl
p
x
yBeispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
unter konstanter Flächenlast
/ 1,5y xl l
22
2max
22
22
max
22
0,07313,7
0,073
0,02835,7
0,02934,7
0,06116,3
xxm x
x xm x
xym x
xy x
xxye x
plm pl
m m pl
plm pl
plm pl
plm pl
22
2max
22
22
max
0,1287,8
0,128
0,0520
0,0519,9
0
xxm x
x xm x
xym x
xy x
xye
plm pl
m m pl
plm pl
plm pl
m
22
2max
22
2max
0,1048
0,104
0,0468
0,046
0
x xxm x
x xm x
y yym x
y ym x
xye
p lm pl
m m pl
p lm pl
m m pl
m
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
Czerny-Tafel:Stiglat/Wippel:
Marcus:
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Momente Czerny(drillsteif)
Stiglat/Wippel(drillweich)
Marcus(drillweich)
xmm
maxxm
maxymymm
xyem
20,073 xpl
20,073 xpl
20,028 xpl
20,029 xpl20,061 xpl
20,128 xpl
20,128 xpl
20,05 xpl20,05 xpl
0
20,104 xpl
20,104 xpl
20,046 xpl20,046 xpl
0
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
Bemerkungen: Die maximalen Feldmomente bei der drillsteifen Platte sind kleiner als bei der
drillweichen Platte! Grund: Die 4 Ecken der drillsteifen Platte tragen die Last mit!
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Überblick:
Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren)• Dieses Verfahren wird auch als „Schachbrettverfahren“ bezeichnet.• Dabei werden die Verkehrslast (veränderliche Last) „schachbrettartig“ so
umgeordnet, dass es jeweils zu max. Feldmomenten und max. Stützmomenten (in Betrag) führt.
• Voraussetzung: min. l / max. l ≥0,75.
Verfahren nach Pieper/Martens• Voraussetzungen: q ≤ 2g, q ≤ 2(g+q)/3 (g: Eigenlast, q: Verkehrslast).• Verfahren beruht auf BU-Verfahren.• Verfahren liefert im Allgemeinen größere Feldmomente als BU-Verfahren
(auf der sicheren Seite).• Rechenaufwand wesentlich geringer als BU-Verfahren.
3.9.2 Durchlaufende Platten
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Wände
3.9.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
Schachbrettartige Anordnung der Verkehrslast q
Für max. Feldmoment Für max. Stützmoment (Betrag)
x
y
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Eigenlast : g
Verkehrslast : q
Eigenlast : g
Verkehrslast : / 2q
Verkehrslast : / 2q
Anordnung der Verkehrslast q
3.9.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
+
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
/2g q
Ersatzsystem für max. Feldmoment
Innenfeld
3.9.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
/ 2q
Innenfeld
Ersatzsystem für max. Feldmoment
1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2
Bestimmung von max. Feldmoment
In y-Richtung genauso!
gelenkigeingespannt/2g q / 2q
x
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
/2g q
Ersatzsystem für max. Stützmoment
Innenfeld
3.9.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
Innenfeld
Ersatzsystem für max. Feldmoment
1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2
Bestimmung von max. Stützmoment (in Betrag)
In x-Richtung wie beim max. Feldmoment!
/ 2q
eingespannt
gelenkig
y
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider
3.9.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bautabelle Schneider
Durchlaufende Platten:
Verfahren nach
Pieper/Martens
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider
3.9.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bautabelle Schneider
Durchlaufende
Platten:
Verfahren nach
Pieper/Martens
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Quelle: Bautabelle Schneider
3.9.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens
Wände 4
6
Beispiel