+ All Categories
Transcript
Page 1: Nat ü rliche Zahlen

NatNatüürliche Zahlenrliche Zahlen

PaedDr. Ján GunčagaPaedDr. Ján Gunčaga, PhD., PhD. Lehrstuhl fLehrstuhl füür Mathematik undr Mathematik und PhysikPhysik

Pädagogische Fakultät Pädagogische Fakultät Katholische Universität in Ružomberok Katholische Universität in Ružomberok

Slowakei Slowakei [email protected]@fedu.ku.sk

Page 2: Nat ü rliche Zahlen

Relationen

Beispiel.Beispiel. Ich bereite mich Ich bereite mich auf dasauf das Abitur vor. Abitur vor. DazuDazu mache mache ich ich diesen Plan:diesen Plan:

MM-Mathematik, -Mathematik, PP-Physik, -Physik, EE-Englisch, -Englisch, DD-Deutsch, -Deutsch,

M GM G-Geschichte.

PP

EE

DD

GG

Mo Di Mi Do FrMo Di Mi Do Fr

Page 3: Nat ü rliche Zahlen

Relationen

Menge TMenge T == {Mo, Di, Mi, Do, Fr} {Mo, Di, Mi, Do, Fr}Menge F Menge F == {M, P, E, D, G} {M, P, E, D, G}Relation R Relation R == {[Mo, E], [Mo, M], [Di, P], {[Mo, E], [Mo, M], [Di, P],

[Mi,D], [Do, G], [Do, P], [Fr, D], [Fr, [Mi,D], [Do, G], [Do, P], [Fr, D], [Fr, M]} M]} (die geordnete Paare)(die geordnete Paare)

Relation ist jede Relation ist jede Teilmenge des Teilmenge des Kreuzproduktes Kreuzproduktes der beiden Mengen der beiden Mengen (R (R TTF)F)..

Page 4: Nat ü rliche Zahlen

AbbildungenAbbildungen

A BA B

ff

verbotenverboten

Page 5: Nat ü rliche Zahlen

AbAbbbildungenildungen

Eine Relation f nennen wir Eine Relation f nennen wir die Abbildung f: A die Abbildung f: A BB, wenn , wenn jedes Element xjedes Element xA genau ein A genau ein Element yElement yB zum Partner hatB zum Partner hat. Wir schreiben . Wir schreiben statt statt [[xx, , yy] ] f y = f(x).f y = f(x).

RR – reelle Zahlen – reelle Zahlen

Im Fall, wenn Im Fall, wenn A A RR und B = und B = RR, , die Abbildung f die Abbildung f ist ist die Funktion.die Funktion.

Page 6: Nat ü rliche Zahlen

AbbildungenAbbildungen

A BA B

ff

SurjektionSurjektion

Page 7: Nat ü rliche Zahlen

AbbildungenAbbildungen

A CA C

gg

InjektionInjektion

Page 8: Nat ü rliche Zahlen

AbbildungenAbbildungen

A A DD

hh

BijektionBijektion

Die Mengen Die Mengen A A undund D D sind sind äquivalentäquivalent, , A A DD..

Page 9: Nat ü rliche Zahlen

NatNatüürliche Zahlenrliche Zahlen wie Kardinalzahlenwie Kardinalzahlen

SS - - das Mengensystemdas Mengensystem

KardinalzahlKardinalzahl AA= = {X {X SS ; X ; X A}A} AA= = DD NatNatüürliche Zahlenrliche Zahlen sindsind Kardinalzahlen Kardinalzahlen von allen von allen

Mengen, die endlich und nicht leer sind.Mengen, die endlich und nicht leer sind.

2 2 a 1 a 1

b 2 …b 2 …

Page 10: Nat ü rliche Zahlen

NatNatüürliche Zahlenrliche Zahlen wie Kardinalzahlenwie Kardinalzahlen

Operationen und AnordnungenOperationen und Anordnungen

WennWenn A A B= B= (Durchschnitt)(Durchschnitt), dann , dann

AA++BB== A A BB(Vereinigung).(Vereinigung).

Die Die Kardinalzahl des KreuzproduktesKardinalzahl des Kreuzproduktes ist gleich ist gleich dem Produktdem Produkt der Kardinalzahlen von A und B: der Kardinalzahlen von A und B:

AA..BB== A A BB

WennWenn A A B* und B* B* und B* B, B*B, B* BB (eigene (eigene

Teilmenge)Teilmenge), dann, dann AA BB..

Page 11: Nat ü rliche Zahlen

NatNatüürliche Zahlenrliche Zahlen als als Peano Peano - Menge- Menge

Das MDas Männchen von Giuseppe Peanoännchen von Giuseppe Peano

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ein Modell ffüürr Peano Peano –– Axiome

Page 12: Nat ü rliche Zahlen

Das MDas Männchen von ännchen von Giuseppe PeanoGiuseppe Peano

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Page 13: Nat ü rliche Zahlen

Das MDas Männchen von ännchen von Giuseppe PeanoGiuseppe Peano

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

•Das Männchen lebt an einer Zahlengerade von den natürlichen Zahlenürlichen Zahlen.

•Es kann nur auf den natürlichen Zahlen vorwärts ürlichen Zahlen vorwärts gehen. gehen.

•Es kann einEs kann einen Schritten Schritt nur zur nächsten nur zur nächsten natürlichen ürlichen Zahl machen.Zahl machen.

Page 14: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Page 15: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Männchen kann immer einen Schritt vorwärts von einer natürlichen Zahlürlichen Zahl zur nächsten zur nächsten natürlichen Zahl ürlichen Zahl machen.machen.

Axiom Nr. 1: Jede Axiom Nr. 1: Jede natürliche Zahlürliche Zahl a hat genau einen (mindestens und höchstens einen) Nachfolger a´ in der Menge von natürlichen ürlichen Zahlen.Zahlen.

Page 16: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Männchen kann keinen Schritt vorwärts von einer natürlichen Zahlürlichen Zahl zur zur natürlichen Zahl ürlichen Zahl 11 machen.machen.

Axiom Nr. Axiom Nr. 22: 1 kann kein Nachfolger : 1 kann kein Nachfolger ffüürr eine natürliche Zahlürliche Zahl sein sein (1 ist also die kleinste natürliche Zahlürliche Zahl).

Page 17: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Page 18: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 Männchen stehen auf zwei verschiedenen wei verschiedenen natürlichen ürlichen Zahlen.Zahlen.

Sie machen einen Schritt vorwärts.

2 Männchen stehen wieder auf zwei verschiedenen wei verschiedenen natürlichen Zahlen.ürlichen Zahlen.

Axiom Nr. 3: Zwei verschiedene Axiom Nr. 3: Zwei verschiedene natürliche ürliche Zahlen haben auch verschiedene NachfolgerZahlen haben auch verschiedene Nachfolger.

Page 19: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Page 20: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Männchen hat einen Topf mit roter Farbe vor sich.

Es steht auf einer natürlichen Zahl.ürlichen Zahl.

Es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl rot an rot an..

Es macht einen Schritt vorwärts und es steht auf einer natürlichen Zahl.ürlichen Zahl.

Es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl auch rot an auch rot an..

Page 21: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen

Page 22: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht,, macht eses einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen

Page 23: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, , macht eses einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen

Page 24: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, , macht eses einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen

Page 25: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, es, es macht einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen

Page 26: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, , macht eses einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen

Page 27: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, , macht eses einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen

Page 28: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, , macht eses einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen

Page 29: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, , macht es es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen

Page 30: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, , macht eses einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen

Page 31: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen natürlicher Zahlen,,

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

Page 32: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen natürlicher Zahlen,,

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

Page 33: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen natürlicher Zahlen,, die die die 1 enthältdie 1 enthält

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

Page 34: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen natürlicher Zahlen,, die die die 1 enthältdie 1 enthält; ;

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a

Page 35: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen natürlicher Zahlen,, die die die 1 enthältdie 1 enthält; es gilt; es gilt ffüürr jede Zahl jede Zahl:: ausaus aaMM

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a

Page 36: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaMM

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 37: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM;;

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 38: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM;;

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 39: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM;;

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 40: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM;;

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 41: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM;;

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 42: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM;;

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 43: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM;;

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 44: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM;;

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 45: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM;;

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 46: Nat ü rliche Zahlen

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM; M; M ist die Menge N selbst (M=N).

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

a a´

Page 47: Nat ü rliche Zahlen

Natürliche Zahlen als Natürliche Zahlen als Peano - MengePeano - Menge

Addition:

a) x + 1 = x´

b) x + y = (x + y)´

Wenn für die natürlichen Zahlen Wenn für die natürlichen Zahlen a, ba, b gilt: gilt: b = a b = a +x+x und und x ist eine natürliche Zahlx ist eine natürliche Zahl, dann , dann gilt gilt auch: auch: a a b.

Operationen und Operationen und AnordnungenAnordnungen

Multiplikation: a) x . 1 = x

b) x . y´ = x . y + x

Page 48: Nat ü rliche Zahlen

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Das Männchen ist müde!


Top Related