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Mathe lernen mit Paul Die kleine Formelsammlung
2 Mathe lernen mit Paul
Inhalt
Algebra
Maße und Gewichte 4
Grundrechenarten 5
Bruchrechnung 6
Potenzen und Wurzeln 7
Prozentrechnung 8
Zinsrechnung 9
Zinsrechnung, Dreisatz 10
Quadratische Gleichungen 11
Logarithmen/Wahrscheinlichkeitsrechnung 12
Geometrie
Strahlensätze 13
Winkelarten 14
Winkel an geschnittenen Geraden 15
Dreieck 16
Flächenberechnung 18
Kreis und Linien 19
Kreis, Kreisring, Kreisausschnitt 20
Körperberechnung 21
Trigonometrie 23
© 2007 ZGS Schülerhilfe GmbH, Stand: Februar 2007
3
Algebra – Maße und Gewichte4
Längenmaße:
1 Meter (m) = 100 Zentimeter (cm) = 1.000 Millimeter (mm)
1 Kilometer (km) = 1.000 m 1 Dezimeter (dm) = 10 cm
1 cm = 10 mm
Flächenmaße:
1 Quadratmeter (m2) = 100 Quadratdezimeter (dm2)
1 Ar (a) = 100 m2
1 Hektar (ha) = 100 a = 10.000 m2
1 Quadratkilometer (km2) = 100 ha = 10.000 a = 1.000.000 m2
Körpermaße:
1 Kubikmeter (m3) = 1.000 Kubikdezimeter (dm3)
1 dm3 = 1.000 Kubikzentimeter (cm3)
1 cm3 = 1.000 Kubikmillimeter (mm3)
Hohlmaße:
1 m3 = 10 Hektoliter (hl) = 1.000 Liter (l) 1 l = 10 dl
1 hl = 100 l = 1.000 Deziliter (dl)
Gewichte:
1 Gramm (g) = 1.000 Milligramm (mg) 1 Kilogramm (kg) = 1.000 g
1 Tonne (t) = 1.000 kg 1 Pfund = 500 g = 0,5 kg
1 Unze = 28,35 g
Dezimale Vielfache und dezimale Teile:
106 Mega (M), 103 Kilo (k), 102 Hekto (h), 101 Deka (da),
10–1 Dezi (d), 10–2 Zenti (c), 10–3 Milli (m), 10–6 Mikro (µ)
Grundrechenarten 5
Addition: a + b = c
(Summand + Summand = Summe)
Subtraktion: a – b = c
(Minuend – Subtrahend = Differenz)
Multiplikation: a · b = c
(Faktor · Faktor = Produkt)
Division: a : b = c
(Dividend : Divisor = Quotient) b � 0
Grundrechenarten
Addition Multiplikation
Kommutativgesetze: a + b = b + a a · b = b · a
Assoziativgesetze: (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c
Rechengesetze
Bruchrechnung6
Erweitern: a = a · c Kürzen: a · c = ab b · c b · c b
Multiplikation: a · c = ac Division: a : c = adb d bd b d bc
Addition,
Subtraktion: a ± c = ad ± cbb d bd
Merke: Erweitere Brüche so, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben.
Addiere bzw. subtrahiere dann die Zähler.
Bruchrechnung
Potenzen und Wurzeln 7
Definitionen:
Potenz: an = a · a · a · a · a ·…· a Speziell: a1 = a, a0 = 1, (a � 0)
Wurzel:2
a2 = a2 = |a |n
x = a ↔ an = x; x ≥ 0, n
Zusammenhänge:
an · ap = an+p an : ap = an–p
(an)p = an·p an · bn = (ab)n an : bn = (a : b)n
a–n = 1 a = n
a a = n
ap a– = 1an
Potenzen und Wurzeln
√− √− √−
√− √−− √−−nap
1n
pn
pn
Prozentrechnung8
Gegeben: Prozentsatz (p), Grundwert (G) Gesucht: Prozentwert (W)
Lösung: 100 % → G Prozentformel: G · p
= W100
1. Satz: p → x2. Satz: 1% → G : 100
3. Satz: (G : 100) · p = W
Prozentwertberechnung
Gegeben: Prozentwert (W), Grundwert (G) Gesucht: Prozentsatz (p)
Lösung: G → 100 % Prozentformel: W · 100 = pG
1. Satz: W → x2. Satz: 1 → 100 : G
3. Satz: (100 : G) · W = p
Prozentsatzberechnung
Gegeben: Prozentsatz (p), Prozentwert (W) Gesucht: Grundwert (G)
Lösung: p → W Prozentformel: W · 100 = Gp
1. Satz: 100 % → x 2. Satz: 1% → W : p 3. Satz: (W : p) · 100 = G
Vermehrter Grundwert
Gegeben: Prozentsatz (p), Grundwert (G) Gesucht: vermehrter
Grundwert (G+) Lösung:
(100 + p) · G = G+100
Grundwertberechnung
Zinsrechnung 9
Gegeben: Kapital (K), Zinssatz (p), Zeit (t) Gesucht: Zinsen (Z)
Lösung: K · p · t = Z für t = Zeit in Jahren100
K · p · t = Z für t = Zeit in Monaten12 · 100K · p · t = Z für t = Zeit in Tagen360 · 100
Zinsberechnung
Gegeben: Kapital (K), Zinsen (Z), Zeit (t) Gesucht: Zinssatz (p)
Lösung: Z · 100 = p für t = Zeit in JahrenK · t
Z · 12 · 100 = p für t = Zeit in MonatenK · t
Z · 360 · 100 = p für t = Zeit in TagenK · t
Zinssatzberechnung
Gegeben: Zinsen (Z), Zinssatz (p), Zeit (t) Gesucht: Kapital (K)
Lösung: Z · 100 = K für t = Zeit in Jahrenp · t
Z · 12 · 100 = K für t = Zeit in Monatenp · t
Z · 360 · 100 = K für t = Zeit in Tagenp · t
Kapitalberechnung
Zinsrechnung, Dreisatz10
Zinseszinsen (Endwert Kn des Anfangskapitals K0 nach n Jahren)
Lösung: Kn = K0 · qn = K0 ·(100 + p) n
n = Ig Kn – Ig K0
100 Ig q
Zinseszinsberechnung
Verfahren bei
direkter Proportionalität:
Schluss vom Wert
der bekannten Mehrheit
→ auf den Wert für eine
(Mengen-)Einheit und
→ von dieser Einheit
auf die gesuchte Mehrheit
Verfahren bei
indirekter Proportionalität:
Schluss vom Wert
der bekannten Mehrheit
→ auf den Wert für eine
(Mengen-)Einheit und
→ von dieser Einheit
auf die gesuchte Mehrheit
Dreisatz
( )
Beispiel:
Beim Backen benötigt man für 5 kg
Brot 4.000 g Mehl. Wie viel Mehl
benötigt man für 3 kg Brot?
5 kg = 4.000 g
1 kg = 800 g
3 kg = 2.400 g
Beispiel:
6 Schüler benötigen 21 Stunden für
das Streichen eines Raumes ihrer
Schule. Wie viele Stunden hätten
4 Schüler gebraucht?
6 Schüler = 21 h
1 Schüler = 126 h
4 Schüler = 31,5 h
6 :
4 ·
· 6
: 4
5 :
3 ·
: 5
· 3
^
^
^
^
^
^
Quadratische Gleichungen 11
1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3. binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a2 – b2
Binomische Formeln
Allgemeine Form: ax2 + bx + c = 0
Allgemeine Lösung: x1,2 = – b ± (b2 – 4ac)
2a
Normalform: x2 + px + q = 0
Lösung (pq-Formel): x1,2 = – p
±p 2
– q2 2
Satz von Vieta: x1 + x2 = – p, x1 · x2 = q
In Linearfaktoren: (x – a) (x – b) = 0
Lösung: x1 = a, x2 = b
Bemerkung: Eine quadratische Gleichung hat genau zwei, eine oder
keine Lösung in , wenn der Wurzelterm größer ist als null, gleich null
oder kleiner als null.
Quadratische Gleichungen
(( ) )
√−−−−−−−
√−−−−−−−
Logarithmen/Wahrscheinlichkeitsrechnung12
bx = a ↔ logb a = x; a, b > 0 Speziell: logb b = 1; logb 1 = 0
Definition
Binomialkoeffizient:n
(sprich: „n über k“; k, n ; 0 < k ≤ n) k
ist der Quotient
n=
n · (n – 1) · (n – 2) · … · [n – (k – 1)] =
n! n = 1
n = n
k 1 · 2 · 3 · … · k k! (n – k)! 0 1
Rechenregeln: n
=n n
+n
=n + 1
k, n k n – k k k + 1 k + 1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Erstes Logarithmengesetz: log (a · b) = log a + log b
log (a : b) = log a – log b
Zweites Logarithmengesetz: log ab = b · log a
Speziell: log a b = log b = 1 log ba
Dekadischer Logarithmus: log10 a = lg a
Natürlicher Logarithmus: loge a = ln a, mit der eulerschen
Zahl e = 2,718281828459…
Zusammenhänge: logb a =logc a
=In a
=lg a
logc b In b lg b
logb a · loga b = 1
Logarithmengesetze
√− 1a
speziell
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
Geometrie – Strahlensätze 13
Strahlensätze
B1
A2A1
B2
S
Erster Strahlensatz: | SA1 | : | SA2 | = | SB1 | : | SB2 |
| SA1 | : | A1A2 | = | SB1 | : | B1B2 |
| SA2 | : | A1A2 | = | SB2 | : | B1B2 |
Zweiter Strahlensatz: | A1B1 | : | A2B2 | = | SA1 | : | SA2 |
| A1B1 | : | A2B2 | = | SB1 | : | SB2 |
Strahlensätze
Nullwinkel: Spitzer Winkel:
α = 0° α < 90°
Rechter Winkel: Stumpfer Winkel:
α = 90° 90° < α < 180°
Gestreckter Winkel: Überstumpfer Winkel:
α = 180° 180° < α < 360°
Vollwinkel: Winkel über 360°:
α = 360° α > 360°
Winkelarten14
Winkelarten
α
α
α
α
α
α
Winkel an geschnittenen Geraden 15
Nebenwinkel ergänzen einander zu 180°.
α + β = 180°
Scheitelwinkel sind gleich groß.
α = β
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
α = β
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
α = β
Winkel an geschnittenen Geraden
g
h
αβ
hα β
α = 90°g
g
h
α β
g
hα
βα = 90°
gα
α = 90°
βh
α
β
g ll hh
g
gα
α = 90°
βh
α
βg ll h
h
g
Dreieck16
γ
βαA
C
B
ab
c
hb
hc
ha
Dreieck
Fläche: A (Dreieck) = 1 c · hc2
A (Dreieck) = 1 b · hb2
A (Dreieck) = 1 a · ha2
Winkelsumme: α + β + γ = 180°
17
Gleichschenkliges Dreieck:
Zwei Seiten haben dieselbe Länge (a = b)
hc = a2– c 2
2
Gleichseitiges Dreieck:
Alle Seiten haben dieselbe Länge (a = b = c),
alle Winkel sind gleich groß (α = β = γ).
h = 3 · a = 3 · a A(D) = a2· 3
4 2 4
Rechtwinkliges Dreieck:
Fläche berechnet sich zu: A(D) = 1 · a · b2Der Satz des Pythagoras: c2 = a2 + b2
Der Höhensatz des Euklid: h2 = p · q
Der Kathetensatz des Euklid: a2 = c · p b2 = c · q
Dreieck
( )√−−−−−a
a
c
hc
aa
aα α
α√−− √−√−
A
C
B
ab
c pq
h
Flächenberechnung18
Quadrat Parallelogramm
Umfang (U) = 4a Umfang (U) = 2 · (a + b)
Flächeninhalt (A) = a2 Flächeninhalt (A) = g · h
Höhe (h) = Ag
Rechteck Trapez
Umfang (U) = 2 · (a + b) Umfang (U) = a + b + c + d
Flächeninhalt (A) = a · b Flächeninhalt (A) = h · (g1 + g2)2
Höhe (h) = 2 · Ag1 + g2
Dreieck
Umfang (U) = a + b + c
Flächeninhalt (A) = g · h
2Höhe (h) = 2 · A
g
Flächenberechnung
b
a
h
g
b
a
h b
a
d
c
g1
g2
ab
c
hg
a
a
Kreis und Linien 19
Kreis
Kreiszahl (Ludolfsche Zahl): π = 3,14159… π ≈ 3,14
Durchmesser = d, Radius = r
Linien am Kreis
Tangente und Berührungsradius
sind senkrecht zueinander.
Kreis und Linien
d
M
r
M
Sektor
M
Bogen
Segment
Durchmesser
M Radiu
s
Tangente
Sekante
Passante
Sehne
d = 2 · r
A = π · r2 = π
· d24
U = 2π · r = π · d
Kreis, Kreisring, Kreisausschnitt20
Satz des Thales:
Peripheriewinkel über einem
Halbkreis sind rechte Winkel.
Satz des Thales
M
Kreisring
a = r2 – r1
A = π · (r22 – r1
2)
U = 2π · (r1 + r2)
Kreisausschnitt
b =
αb =
π · r · αU 360° 180°
Aα = b · r
Aα = π · r2 · α
2 360°
Kreisring und Kreisausschnitt
M
r1a
r2
→ →
Ringbreite a
M
b
r
Kreisbogen b
αAα
Körperberechnung 21
Prisma Pyramide
G: Grundfläche G: Grundfläche
Volumen: V = G · h Volumen: V = 1 · G · h3
Oberfläche: O = 2G + M Oberfläche: O = G + M
Mantelfläche: M = U* · h
Zylinder Kegel
Volumen: V = π · r2 · h Volumen: V = 1 · π · r2 · h3
Oberfläche: O = 2πr · (r + h) Oberfläche: O = π r · (r + s)
Mantelfläche: M = 2π · r · h Mantelfläche: M = π · r · s
Körperberechnung
h
G
h
G*Umfang der
Grundfläche
G
h
G
h
Körperberechnung22
Körperberechnung
r
Kugel
Mittelpunkt (M) Radius (r)
Volumen: V = 4 · π · r33
Oberfläche: O = 4 π r2
Trigonometrie 23
Trigonometrie
Sinus: sin (α) = a = Gegenkatheter Hypotenuse
Kosinus: cos (α) = b = Ankatheter Hypotenuse
Tangens: tan (α) = sin (α) = Gegenkathetecos (α) Ankathete
Kotangens: cot (α) = cos (α) = Ankathetesin (α) Gegenkathete
Sinussatz a = sin (α) b = sin (β) a = sin (α)b sin (β) c sin (γ ) c sin (γ)
Kosinussatz: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ
α
raa
b x
f(x) = y
γ
βαA
C
B
ab
c
Geschenkt!
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ült
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uts
chei
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Ver
bin
du
ng
mit
an
der
en A
ng
ebo
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nu
r fü
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eue
Ku
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Vo
rnam
e
Nam
e
PLZ
Ort
Stra
ße
Geb
urt
sdat
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Tele
fon
E-M
ail
Unser Anspruch:
Die Schülerhilfe hilft Kindern, ihre schulischen Fähigkeiten zu verbessern, sodass sie wieder Selbstvertrauen gewinnen und Selbstbewusstsein entwickeln.
Unser Angebot:
■ Qualifizierte und motivierte Nachhilfelehrer/-innen■ Individuelles Eingehen auf die Bedürfnisse der Kinder
und Jugendlichen■ Regelmäßiger Austausch mit den Eltern über
die Fortschritte des Kindes
Weitere Informationen:
Für weitere Informationen stehen wir Ihnen montags bis freitags von 8.00 bis 20.00 Uhr gebührenfrei zur Verfügung:
0800/19 4 18 00 www.schuelerhilfe.com
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