M 10.1
©Carina Mittermayer (2010)
In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel :
Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors
Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ):
Umrechnungsformeln:
Besondere Werte:
Gradmaß
Bogenmaß
Kreissektoren und Bogenmaß
M 10.2
©Carina Mittermayer (2010)
Ist der Radius einer Kugel, so gilt:
Volumen:
Oberfläche:
Kugel
M 10.3
©Carina Mittermayer (2010)
Für beliebige Winkel gibt
der Sinus die -Koordinate:
der Kosinus die -Koordinate:
eines Punktes an, der unter auf dem Einheitskreis liegt.
Die Sinuswerte (bzw. Kosinuswerte ) haben für den spitzen Winkel sowie für die Winkel und denselben Betrag. Die Vorzeichen liefern die Quadranten:
Alle anderen Winkel lassen sich durch Addition und Subtraktion von Vielfachen von auf einen Winkel zwischen und zurückführen.
am Einheitskreis
am Einheitskreis
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
M 10.4
©Carina Mittermayer (2010)
Eigenschaften:
Sinusfunktion Kosinusfunktion
periodisch mit der Periode
periodisch mit der Periode
Definitionsmenge
Wertemenge
punktsymmetrisch zum Ursprung achsensymmetrisch zur -Achse
Sinus- & Kosinusfunktion
im Gradmaß im Bogenmaß
M 10.5
©Carina Mittermayer (2010)
Durch die allgemeine Sinusfunktion lassen sich
beliebige sinusförmige Graphen beschreiben:
: Streckung/Stauchung in -Richtung (Amplitude)
b: Streckung/Stauchung in -Richtung
c: Verschiebung in -Richtung
d: Verschiebung in -Richtung
: Doppelter Ausschlag nach oben ( )
: Doppelte Periode ( )
: Verschiebung um
nach links
: Verschiebung um nach unten
Die allgemeine Sinusfunktion
M 10.6
©Carina Mittermayer (2010)
Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum
Konstanter Zuwachs pro Zeiteinheit Konstanter Wachstumsfaktor in gleichen
(Zeit-) Schritten
Nimmt die Größe um zu, so wächst die Größe stets um einen festen Summanden .
Nimmt die Größe um zu, so wächst die Größe stets um einen festen Faktor .
Lineares und exponentielles Wachstum
M 10.7
©Carina Mittermayer (2010)
Funktionen der Form ( , , , ) heißen
Exponentialfunktionen. Die Konstante gibt den Wachstumsfaktor an. Die
Konstante gibt den Anfangswert der Funktion für an, also ist .
Spiegelt man den Graphen von an der -Achse,
so erhält man den Graphen von
und umgekehrt.
Exponentialfunktion
Für steigt der Graph Wachstum
Ist , so wird der Graph in -Richtung mit dem
Faktor gestreckt ) bzw. gestaucht (|b| ).
Ist , so wird der gestreckte/gestauchte Graph
zusätzlich an der -Achse gespiegelt.
Für fällt der Graph negatives Wachstum
Der Graph verläuft durch den Punkt .
Die -Achse ist Asymptote.
M 10.8
©Carina Mittermayer (2010)
Die eindeutige Lösung der (Exponential-)Gleichung (für , ,
) bezeichnet man als Logarithmus von zur Basis und schreibt
:
„Logarithmus“ ist ein Name für „Exponent zu einer bestimmten Basis“:
Rechenregeln:
(Produktregel)
(Quotientenregel)
(Potenzregel)
(Wechsel der Basis)
Logarithmus
M 10.9
©Carina Mittermayer (2010)
Bei einer Exponentialgleichung tritt die Unbekannte im Exponenten auf.
Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen, für die es
unterschiedliche Lösungsstrategien gibt:
Logarithmieren Substitution Grafisch
Exponentialgleichungen, die in die Form gebracht werden können, löst man durch Logarithmieren:
Substitution: (
Lösung der quadratischen Gleichung und Resubstitution liefert das Ergebnis:
Exponentialgleichungen in denen die Unbekannte im Exponenten und in der Basis auftreten sind rechnerisch unlösbar.
Eine näherungsweise Lösung bietet das Zeichnen in einem Koordinatensystem:
Exponentialgleichungen
M 10.10
©Carina Mittermayer (2010)
Statistische Angaben über zwei Merkmale mit jeweils zwei
Merkmalsausprägungen stellt man üblicherweise in einer sog. Vierfeldertafel dar.
Diese kann Anzahlen oder auch Wahrscheinlichkeiten enthalten. Die
Wahrscheinlichkeiten findet man auch im zugehörigen Baumdiagramm.
Vierfeldertafel
1. Merkmal
( ) 2. Merkmal
( )
M 10.11
©Carina Mittermayer (2010)
ist die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung, dass
eingetreten ist. Die möglichen Ergebnisse sind nur noch die Ergebnisse von .
Die günstigen Ergebnisse sind die Ergebnisse von , bei denen zusätzlich
eintritt.
1. Baumdiagramm 2. Baumdiagramm
Berechnung:
Bedingte Wahrscheinlichkeit
1. Merkmal ( ) 2. Merkmal ( ) 1. Merkmal ( ) 2. Merkmal ( )
M 10.12
©Carina Mittermayer (2010)
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Unendlichen:
höchster vorkommende Exponent (hier )
gerade ungerade
Leitkoeffizient (hier )
„von links oben nach
rechts oben“ „von links unten nach
rechts oben“
„von links unten nach
rechts unten“ „von links oben
nach rechts unten“
Ganzrationale Funktionen
Polynom
ganzrationale Funktion
Grad Potenzfunktionen Koeffizienten
M 10.13
©Carina Mittermayer (2010)
Polynomdivision
M 10.14
©Carina Mittermayer (2010)
Eine ganzrationale Funktion -ten Grades hat höchstens Nullstellen.
Bestimmung der Nullstellen der Funktion
Faktorisierte Form: (doppelte Nullstelle bei )
Tritt in der vollständig faktorisierten Form eine Nullstelle
ungeradzahlig oft auf, wechselt bei das Vorzeichen,
geradzahlig oft auf, wechselt bei das Vorzeichen nicht.
Nullstellen einer ganzrationalen Funktion
Restliche Nullstellen durch Mitternachtsformel (bzw. Vieta) bestimmen
Schreibe Funktion als Produkt mit Restpolynom
Errate Nullstelle durch systematisches
Probieren (NST Teiler von )
Polynomdivision
falls Grad des Restpolynoms
M 10.15
©Carina Mittermayer (2010)
Achsensymmetrie zur -Achse Punktsymmetrie zum Ursprung
Gleich weit vom Nullpunkt entferte -Werte besitzen stets denselben Funktionswert.
Gleich weit vom Nullpunkt entfernte -Werte besitzen stets den betragmäßig
gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Symmetrie von Funktionsgraphen
M 10.16
©Carina Mittermayer (2010)
Name Term Beispiel Graph
1 Lineare
Funktionen
2 Quadratische Funktionen
3 Ganzrationale
Funktionen
4 Gebrochen rationale
Funktionen
5 Exponential-funktionen
6 Winkel-
funktionen
Grundfunktionen
M 10.17
©Carina Mittermayer (2010)
Konvergenz Divergenz
Kommen die Funktionswerte einer Funktion für beliebig groß werdende -Werte einer Zahl beliebig nahe, so
nennt man den Grenzwert der Funktion für gegen unendlich ( ).
Die Gerade mit der Gleichung ist dann waagrechte Asymptote von
Funktionen, die keinen Grenzwert für bzw. besitzen,
bezeichnet man als divergent.
Verhalten im Unendlichen
M 10.18
©Carina Mittermayer (2010)
Ganzrationale Funktionen
und
Gebrochen rationale Funktionen
jedes Glied des Zählers und Nenners durch die höchste Nennerpotenz dividieren:
=
Strategien zum Untersuchen des Verhaltens im Unendlichen
vgl. 10.12
geht gegen
geht gegen größte Nennerpotenz
M 10.19
©Carina Mittermayer (2010)
Verschiebung von Funktionsgraphen
: Streckung/Stauchung in -Richtung
b: Streckung/Stauchung in -Richtung
Strecken (Stauchen) von Funktionsgraphen
c: Verschiebung in -Richtung
d: Verschiebung in -Richtung
Spiegelung an der -Achse
ist der an der -Achse gespiegelte Graph von
Spiegelung an der -Achse
ist der an der -Achse gespiegelte Graph von
Verschieben, Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen