Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2)
x² - 3x – 4 = 0 =>
x = 4 oder x = -1
Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Parabelmethode
Betrachte den Graphen der Parabel
y = -2x² + 6x +8
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Parabelmethode
Betrachte den Graphen der Parabel
y = -2x² + 6x +8
Mit den gefundenen Nullstellen
x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht,
kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!)
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Parabelmethode
Betrachte den Graphen der Parabel
y = -2x² + 6x +8
Mit den gefundenen Nullstellen
x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht,
kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!)
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Parabelmethode
y = -2x² + 6x +8 > 0 heißt doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen.
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Parabelmethode
y = -2x² + 6x +8 > 0 heisst doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen.
Das sind dann alle Punkte der Parabel, die oberhalb der x-Achse liegen.
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Parabelmethode
Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Parabelmethode
Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.
Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören.
Wie viele sind das ?
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Parabelmethode
Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.
Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören.
Wie viele sind das ?
Unendlich viele !
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Parabelmethode
Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.
Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören.
Wie viele sind das ?
Unendlich viele !
Aber sie liegen alle in dem Intervall
]-1 ; 4[
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Parabelmethode
Aber sie liegen alle in dem Intervall
]-1 ; 4[
Das ist die Lösung!
]-1 ; 4[
Lösung
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2)
x² - 3x – 4 = 0 =>
x = 4 oder x = -1
Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.
Neben der Parabelmethode gibt es noch die
„Zahlenstrahltabelle“.
Parabelmethode
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Erinnere dich an den Satz von Vieta:
-2x² + 6x +8 = 0 I :(-2)
x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 =>
(x – 4)(x + 1) = 0
Die „-2“ wieder ran => -2(x – 4)(x + 1) = 0
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Also ist
-2x² + 6x +8 > 0 , wenn
-2(x – 4)(x + 1) > 0 ist.
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
Der Term -2(x – 4)(x + 1) ist ein Produkt aus drei Faktoren. Mit der Zahlenstrahltabelle untersucht man die Vorzeichen der drei Faktoren.
Also gut, beginne mit einem Zahlenstrahl!
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
0-1 4
„Zahlenstrahltabelle“
Es ist sicher nützlich, wenn man die gefundenen Nullstellen auch auf dem Zahlenstrahl markiert.
x
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
„Zahlenstrahltabelle“
Die beiden Nullstellen geben nämlich die Lage der Spalten vor.Auf die „0“ kann man jetzt verzichten.
x
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
0-1 4
„Zahlenstrahltabelle“
Und dann braucht man noch eine Spalte für die drei Faktoren.
x
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Jetzt musst du dir überlegen, welches Vorzeichen der jeweilige Term hat, wenn sich das x auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts bewegt.
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Bei –2 ist das einfach, weil das x keinen Einfluss nimmt.
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.
-
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.
- -
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.
In die erste Zeile müssen also drei „-“ – Zeichen.
- - -
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Jetzt ist die zweite Zeile dran.
Setze in (x – 4 ) einfach einen Beispielwert aus dem Bereich des Zahlenstrahls ein.
- - -
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Z.B.: (-2 – 4 ) = - 6
- - -
-
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Z.B.: (1 – 4 ) = - 3
- - -
- -
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Z.B.: (5 – 4 ) = + 1
- - -
- - +
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
Es geht auch noch anders.
(x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!
- - -
- - +
0
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
(x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!
Dann muss der Term links von –1 negativ sein,
- - -
-
- +
0
-
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
-1 4
-2
(x-4)
(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
(x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!
Dann muss der Term links von –1 negativ sein,
und rechts von –1 positiv !
- - -
-
- +
0 + +
-
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
0-1 4
-2
(x-4)
(x+1) -
- -
- -
-
+ +
+
-2(x-4)(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
So, jetzt ist das Vorzeichen des gesamten Produkts dran.
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
0-1 4
-2
(x-4)
(x+1) -
- -
- -
-
+ +
+
-2(x-4)(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
„Minus mal Minus mal Minus“ gibt ?
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
0-1 4
-2
(x-4)
(x+1) -
- -
- -
-
+ +
+
-2(x-4)(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
„Minus mal Minus mal Minus“ gibt ? Minus!
-
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
0-1 4
-2
(x-4)
(x+1) -
- -
- -
-
+ +
+
-2(x-4)(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
„Minus mal Minus mal Plus“ gibt ?
-
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
0-1 4
-2
(x-4)
(x+1) -
- -
- -
-
+ +
+
-2(x-4)(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
„Minus mal Minus mal Plus“ gibt ? Plus!
- +
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
0-1 4
-2
(x-4)
(x+1) -
- -
- -
-
+ +
+
-2(x-4)(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
„Minus mal Plus mal Plus“ gibt ?
- +
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
0-1 4
-2
(x-4)
(x+1) -
- -
- -
-
+ +
+
-2(x-4)(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
„Minus mal Plus mal Plus“ gibt ? Minus!
- + -
Lösen von quadratischen Ungleichungen
Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0
0-1 4
-2
(x-4)
(x+1) -
- -
- -
-
+ +
+
-2(x-4)(x+1)
„Zahlenstrahltabelle“
x
So, fast fertig! Für welchen Bereich des Zahlenstrahls ist denn das Produkt nun positiv?
- + -