Liouville, Strahlung und Selbst-Effekte
Liouvillesches Theoremlineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap)normierte EmittanzSynchrotron SchwingungEin-Teilchen Synchrotron-Strahlungkohärente und inkohärente Synchrotron-StrahlungSektormagnet mit StrahlungBeispielDämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theoremnatürliche StrahlemittanzSelbsteffekte (Raumladung und Wakes)
Liouvillesches Theoremlineare Abbildung im Phasenraum: aabb XTX
Volumen im Phasenraum: aabb dVdV Tdet
Liouvillesches Theorem:
keine Singularitäten,keine Teilchen-Teilchen Streuung,keine inkohärente Synchrotron Strahlung
kanonische Koordinaten:
tpqpqpq 332211X mit
ii q
tqqLp
,,
Volumen im Phasenraum ist invariantsymplektische Abbildung TtST = Sfür glatte elektromagnetische Felder und kanonische Koordinaten
glatte elektromagentische Felder:
Lagrange Funktion L und Bewegungsglg. aus Hamilton Funktion
Liouvillesches Theorem
Beschleuniger Koordinaten
lyyxx
X sind nicht kanonisch!
aber die Orts- und Momentum-Koordinaten
z
y
x
pzpypx
~~~~~~
sind es, wenn das
Vektorpotential des Magnetfeldes verschwindet;z.B. im feldfreien Raum (Drift) kann das V.p. verschwindend gewählt werden
111
1
~~~
22
,
,
,
yx
pyx
yx
p
ppp
refref
z
y
x
lyx
vlt
zyx
0~~~
r
Koordinatentransformation für Drift:
Liouvillesches TheoremPhasenraumdichte in Beschleuniger Koordinaten:
aass XTX
s
s
s asasaas XM
TTXTX 1
sslsysxsysx
s
sRsk
sRsk
sslsysysxsx
dsd
y
x
M
000000100001
00000001000
10000000010
2
asas s TMT
s
sdsd
as
asasas
asasasas
MTTMTT
TTTT
spurdetspurdet
spurdetdet
1
1
magnetisches System, ebene Trajektorie,entkoppelte Ebenen:
0spur sM
für das bisher betrachtete magnetische System bleibt die Phasenraumdichteauch in Beschleuniger Koordinaten erhalten;
Liouvillesches Theorem
Konsequenz:
die Phasenraumdichte kann nicht erhöht werdendie Quelle bestimmt die Phasenraumdichteman kann in ein Bucket nur einmal injizieren
Bilder aus [K.Wille]
erweiterter linearer Formalismus
Transport mit zusätzlicher konstanter Anregung
VTXX ab
ab XTV0
X111
kann durch erweiterte Matrix Schreibweise berücksichtigt werden
umlaufendes System VTXX nn 1
stationäre Lösung VTIX 1s
Differenz Lösung snn XXY
dafür gilt wieder die homogene Rekursion nn TYY 1
wichtig für stationäre Lösung: Invertiebarkeit von ITwichtig für Stabilität: Eigenwerte von T
bisher
100000100
00000000
000000
565251 sRsRsRsSsCsSsC
sDsSsCsDsSsC
syy
yy
xx
xx
T
magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen:
0det TI
keine Phasefokusierung;Probleme mit longitudinalem Phasenraum: Momentum-Abweichungwird nicht behoben, akumuliert sich bei konstanter Anregung immerweiter auf; auch ohne Anregung: die Verteilung zerflieβt longitudinal(siehe Übung 6d);
wir brauchen: longitudinale Beschleunigung, also RF-Felder und Dämpfung durch inkoheränte Synchrotron Strahlung
mit Dämpfung könnte man im Phasenraum akumulieren
Bilder aus [K.Wille]
lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap)
gap
E(t)
gStrahlrohr
p1
p2
12
0
1201
cmpcm tegE 12
12 xx pp
12 yy pp
relativistische Näherung (p1/m0c >>1):
diskretes (sehr kurzes) Gap mit beschleunigendem Feld:
c
tegEpp zz 12
cl
cEeg
cegEpp zz
112
00 Linearisierung des zeitabhängigen Feldes:
lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap)
gap
E(t)
gStrahlrohr
p1
p2
1121
1 zzx pxxclpppp
clpppp 1
ref,11ref,22 11
12 yy
ref,2
ref,2ref,11
ref,2ref,2
ref,112 p
pppl
cpp
pp
12 xx
dxpp
px
clppp
pxxz
z1
1,ref
1,ref1
11
112
dyy 12
12 ll
ppp
d
1,ref
1,ref
lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap)
gap
E(t)
gStrahlrohr
p1
p2
1,ref2,ref pp
100000
100000100000000000010000000000001
1
ref,11
ref,12
dw
d
d
XX ref,11
ref,22
00000100000000000010000000000001
XX
ddw
d
d
ppp 1,ref2,ref
ppp
d
1,ref
1,ref
gleiches Referenz-Momentum: angepaβtes Referenz-Momentum:
ref,1cppw
normierte Emittanz
1111
11111, det
xxxxxxxx
x
dxxxxxxxx
xxx 1,121,12t
1111
1111122, TdetTTdet
d0
01T 12 pp
pd
1,ref
1,ref
11,22, pp xx
relativistische Näherung (p1/m0c >>1):
nxxx
nx 2,22,11,1,
cmpp 01,1||1
cmpp 02,2||2
mit
vor dem Gap:
dahinter:
wir brauchen ein rückstellende Kraft!im linearisierten Modellgibt es nur den Typ “Schwingung”
Synchrotron Schwingung
zwei Typen von Lösungen
“Schwingung”“Rotation”separatrix
longitudinale Dynamik: Position l und Momentum-Abweichung Phasenfokusierung:
tEtE cos0
zeitharmonisches longitudinales Feld
tEEtE pa
Synchrotron Schwingung
100000100
00000000
000000
565251 RRRSCSC
DSCDSC
yy
yy
xx
xx
T
wRwRRR
SCSC
DSCDSC
w
yy
yy
xx
xx
56
565251
10000100
00000000
000000
10000010000001000000100000010000001
T
magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen, ein Umlauf:
wo ist die Phasenfokusierung gebleiben?wir brauchen ein zeitabhängiges longitudinales Feld: Resonator im Nulldurchgang, denn wir haben noch keine Energie-Verluste
horizontale Betatron Schwingung vertikale Betatron Schwingung
longitudinale Synchrotron SchwingungGap im Nulldurchgang
vereinfachte Theorie: Kopplung durch D, D’, R51, R52 vernachlässigt
Synchrotron Schwingung
e
i
ei
iei
ei ll
wRwR
56
56
11
Eigenwerte des longitudinalen Systems:
e21 mit
21arccos 56wR
Frequenz der Synchrotron Schwingung:
2
1
us T
f mit der Umlaufdauer Tu
im Gegensatz zu den transversalen (Betatron) Schwingungen ist die Wellenlängegroβ gegen die Umlauflänge; (nur ein longitudinaler Kick pro Umlauf!)
bei Ringen mit starker Fokussierung enthält der transversale Phasenvorschub einVielfaches von 2;
U
yxyx ds
s0
1
zur Erinnerung:
Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung
courtesy T. Shintakehttp://www.shintakelab.com/en/enEducationalSoft.htm
Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung
“retardiertes” Teilchen
aktuelle Position
2
4
0
2
0 61
RceP
abgestrahlte Leistung
Kausalitätskreise
Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung
einige runde Maschinen
(aus K. Wille)
kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung
2
4
0
2
0 6 RceNP
02
4
0
22
6NP
RceNPf
34320
22
CSR028.0
6 RceNP
inkohärente Strahlung von N Teilchen:
kohärente Strahlung:
unabhängig von der Energie aber abhängig von der Bunchlänge
voll-kohärent; Bunch strahlt wie ein Teilchen mit der Ladung (Ne)
kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung
30 R
Bunch Länge
abgestrahlte Leistung
Sektormagnet mit Strahlung
0R
w
Änderung des longitudinalen Momentums
mit , undxRR 00
1Rx
dsdw
01
1|| refpp
relative Momentum-Abweichung
cmpref
00 Referenz Energie
dsdw
cP
dsdp
20||
ecm
BeBpR 0
2
4
0
2
0 61
RceP
2
0000
PP
dsdw
cP
dsdp
20||
0R
w
Änderung des longitudinalen Momentums
2
02
00
02
00 1111
Rx
cP
Rx
cP
konstantes B-Feld:
Änderung der relativen Momentum-Abweichung (in 1ter Ordnung)
211
02
00||
Rx
pcP
dsdp
pdsd
refref
Sektormagnet mit Strahlung
Sektormagnet mit Strahlung
die Strahlung ist immer in Vorwärts Richtung; deswegen ändert sich nur dieGleichung für
gsslsysxsysx
s
gRgR
R
sslsysysxsx
dsd
00000
20000100001
000000001000
100000000010
0
200
0
M
refpc
Pg 200
mit
das Volumen im Phasenraum ist nicht mehr konstant: aabb dVdV Tdet
sdsd
asas MTT spurdetdet
refpc
Pgs 2002spur
M
das ist eine gute Nachricht, denn wir haben einen Dämpfungsmechanismusgefunden!
Dämpfungs Ringe
ILC
SLC
Sektormagnet mit Strahlung
einfaches Modell für kurzen Sektormagnet (L/R <<1):
hhRh00000
1
210000010000001000000100000010000001
2
0
3 XX
erst Sektormagnet ohne Strahlung
1
56
1
2
100000100cos1sin
00100000100
sin000cossincos1000sincos
XX
DRLRRL
LRLRLRLR
RLRRLRRL
RLRLLD sin2056
dann diskrete Verluste
Lpc
Phref
200
längere Magnete durch Stückelung in kurze Magnete
VTXX nz
nz 00
1
stationäre Lösung VTIX 10
sz
(siehe auch Übungsaufgabe)
kompletter Umlauf
Beispiel
an einem festen Punkt: z = z0
stationäre Lösung entlang eines Umlaufs:
Momentumverlustin den Magneten
Gewinn im Gap
dafür gilt wieder die homogene Rekursion 11
00
nz
nz TYY
(siehe auch Übungsaufgabe)Beispiel
an einem festen Punkt: z = z0
Differenz Lösung sz
nz
nz 000
XXY
100 Umläufe Synchrotron Schwingung 10000 Umläufe Dämpfung
Startwert tz 001.0000000
0Y
Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem
naives Modell:
kompleter Umlauf in magnetischem System ohne Strahlungdiskrete Strahlungsveluste des ganzen UmlaufsAusgleich der Verluste in Gap
1 2 3 4 X X X X
hh00000
1
2100000010000001000000100000010000001
23 XX
12 UXX
100000
1000000100000000000010000000000001
1
34
d
d
d
XX
1 1 0d h
refrefref cpdL
pcPh
20
Energieverlust pro Umlauf E
Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem
naives Modell:
kompleter Umlauf in magnetischem System ohne Strahlungdiskrete Strahlungsveluste des ganzen UmlaufsAusgleich der Verluste in Gap
1 2 3 4 X X X X
14
2100000010000001000000100000010000001
UXX
h
h
h
1d h
also ist die Dämpfungskonstante für transversale Schwingungen:
hT yxu 12exp refuu
yx TTh
21
2
und für longitundinale Schwingungen:
hTu 212exp || refuu TT
h
122
||
Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem
das naives Modell ergibt die richtige Dämpfung y für die vertikale Ebene, da diese
vollständig von entkoppelt ist; die Gesamtdämpfung x+|| für die anderen Ebenen
ist auch richtig, doch teilt sie sich anders auf; (siehe Übung 9);
das Robinson Theorem beschreibt die Aufteilung der Dämpfungskonstanten:
refu
x T
211
refuy T
21
refuT
212||
ds
R
dsR
kR
Dp
2
2
1
12mit
und Dp der periodischen Dispersion
kann die Phasenraumdichte beliebig klein werden?
Körnigkeit: Anregung durch Abstrahlung in Photonen (Quanten)
Kohärenz: falls die Dichte gro genug ist; dafür gilt wieder Liouville!
kann die Phasenraumdichte gröer werden ?
Körnigkeit: …
Nicht-Linearitäten: zwar bleibt die (lokale) Dichte konstant, doch die (globale) Verteilung nimmt dennoch mehr Raum ein; z.B: Filamentierung
Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung
courtesy T. Shintakehttp://www.shintakelab.com/en/enEducationalSoft.htm
3~ Rt
Spektrum der abgestrahlten Leistung
kritische Frequenz
Rc
c
3
23
natürliche Strahlemittanz
kritische FrequenzR
cc
3
23
19 -13.5 10 sc
22.8 keVc
natürliche Strahlemittanz
natürliche Strahlemittanz
sRx 2
61047.1
normierte natürliche Strahlemittanz
Rnx
3
, ~ Rc
3
~ und
DD
DDs
hängt von der periodischen Dispersion und den periodischen Twiss-Parametern ab
Selbsteffekte (Raumladung und Wakes)
Felder = externe Felder + Selbst-Felder
1-Teilchen Dynamik kollektive Effekte
Selbst-Felder
Raumladungs-Effekte Modell = lineare gleichförmige BewegungKraft ~ 1/ 2
Wake-Felder Wechselwirkung mit geometrischen Objekten(Resonatoren, Strahlrohr, ... ) für gleichförmige Bewegung(meist v c)
kurze Reichweite: verkoppelt Teilchen im gleichen Paketlange Reichweite: multi-Bunch Effekte (auch “beam loading)
kohärente Strahlung Bewegung auf gekrümmten Bahnen (meist ohnelongitudinale Beschleunigung)
Selbsteffekte (Raumladung und Wakes)
“Wakes”
Selbsteffekte (Raumladung und Wakes)
“Wakes”
…
Selbsteffekte (Raumladung und Wakes)
“Beam-Loading” tnIInTtqti bbb cos2)( 00Strahl-Strom